Queda por tanto demostrado que la expresión es A

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(1)

I.E.S. Juan Carlos I

Ciempozuelos (Madrid)

Matemáticas II

* Matrices *

1. Dada la matriz A =

4

5

1

3

4

1

3

4

0

calcula A

2

, A

3

y A

428

.

A2=

(

16 25 1

9 16 1

9 16 ,0

)

=

(

42 52 (−1)2

(−3)2 (−4)2 12

(−3)2 (−4)2 ,02

)

A3=

(

64 −125 −1

−27 −64 1

−27 −64 ,0

)

=

(

43 53 (−1)3

(−3)3 (−4)3 13

(−3)3 (−4)3 ,03

)

En la misma línea se puede calcular que: A4=

(

44 54 (−1)4

(−3)4 (−4)4 14

(−3)4 (−4)4 ,04

)

A5=

(

45 55 (−1)5

(−3)5 (−4)5 15

(−3)5 (−4)5 ,05

)

...

Habría que hacer una demostración por inducción completa, pero parece que An=

(

4n 5n

(−1)n (−3)n (−4)n 1n (−3)n (−4)n ,0n

)

por tanto A428=

(

4428 5428 (−1)428

(−3)428 (−4)428 1428

(−3)428 (−4)428 ,0428

)

2. Dada la matriz A=

1 1 1

0 1 1

0 0 1

determina la expresión de su potencia n-ésima.

A2=A· A=

(

1 1 1 0 1 1 0 0 1

)

·

(

1 1 1 0 1 1 0 0 1

)

=

(

1 2 3 0 1 2 0 0 1

)

A3=A2· A=

(

1 2 3 0 1 2 0 0 1

)

·

(

1 1 1 0 1 1 0 0 1

)

=

(

1 1+2 1+2+3

0 1 1+2

0 0 1

)

=

(

1 3 6 0 1 3 0 0 1

)

A4=A3· A=

(

1 3 6 0 1 3 0 0 1

)

·

(

1 1 10 1 1 0 0 1

)

=

(

1 1+3 1+2+3

0 1 1+3

0 0 1

)

=

(

1 4 10

0 1 4

0 0 1

)

A5=A4· A=

(

1 4 10

0 1 4

0 0 1

)

·

(

1 1 1 0 1 1 0 0 1

)

=

(

1 1+4 1+2+3+4

0 1 1+4

0 0 1

)

=

(

1 5 15

0 1 5

0 0 1

)

Parece que, en general, la expresión es: An=

(

1 n 1+2+3+...+n

0 1 n

0 0 1

)

Para demostrar por inducción, y una vez comprobados los primeros casos, procedemos a deducir la expresión para An+1

suponiendo que la de Anes la expresión propuesta. Comprobaremos si obtenemos el resultado previsto:

An+1

=An· A =

(

1 n 1+2+...+n

0 1 n

0 0 1

)

·

(

1 1 10 1 1 0 0 1

)

=

(

1 n+1 1+2+...+n+n+1

0 1 n+1

0 0 1

)

Queda por tanto demostrado que la expresión es An

=

(

1 n 1+2+3+...+n

0 1 n

0 0 1

)

=

(

1 n n(n+1)

2

0 1 n

(2)

3. Calcula la matriz A

250

+ A

20

siendo A=

1 0

1 1

.

A2=A· A=

(

1 0

1 1

)

·

(

1 0 1 1

)

=

(

1 0 2 1

)

A

3=A2· A=

(

1 0

2 1

)

·

(

1 0 1 1

)

=

(

1 0 3 1

)

A

4=A3· A=

(

1 0

3 1

)

·

(

1 0 1 1

)

=

(

1 0 4 1

)

Parece que, en general, la expresión es: An=

(

1 0

n 1

)

Para demostrar por inducción, y una vez comprobados los primeros casos, procedemos a deducir la expresión para An+1

suponiendo que la de Anes la expresión propuesta. Comprobaremos si obtenemos el resultado previsto:

An+1

=An· A=

(

1 0

n 1

)

·

(

1 0 1 1

)

=

(

1 0

n+1 1

)

Queda por tanto demostrado que la expresión es An=

(

1 0

n 1

)

4. Sean A, B y C tres matrices tales que se puede efectuar la operación C

T

-AB, ¿es posible

efectuar (BC)

T

+A

T

?

Para que A y B puedan multiplicarse sus dimensiones han de, ser, en general, AmXn y BnXp

Por tanto el producto A·B será (A· B)mXp. Además , y para que se pueda realizar la resta, CT tendrá que ser (CT) mXp,

lo que significa que C es CpXm. De aquí que:

BnXp·CpXm=(BC)nXm→(BC)mXn

T no se puede sumar con A nXm T

5. Calcula las matrices inversas, si existen, de las siguientes:

A=

(

0 1

2 0

)

B=

(

1 2

3 4

)

C=

(

1 2

4 8

)

D=

(

1 1 2

1

0 3

4

1 1

)

E=

(

2

1 0

3

1

2

4

0

1

)

A−1=

(

0 1 2 1 0

)

B−1=

(

−2 1 3

2 −

1 2

)

C−1=No existe. D−1=

(

−3

16 1 16

3 16 11

16 −

9 16

5 16 1

16 5

16 −

1 16

)

E−1=

(

−1

3 −

1 3

2 3

−5

3 −

2 3

4 3 4

3 4

3 −

5 3

)

6. Dadas las matrices

A=

(

1 2 3

2 1 1

)

B=

(

1

0

2

2

1

1

)

C=

1

1

1

0

a) Calcula C+AB.

b) ¿Son iguales C

-1

+ (AB)

-1

y (C+AB)

-1

?

a) C+AB=

(

1−1

1 0

)

+

(

1 2 3 2 1 1

)

·

(

−1 0

2 2

−1 −1

)

=

(

1−1

1 0

)

+

(

0 1

−1 1

)

=

(

1 0 0 1

)

=I2X2

b) C+AB=I2X2→(C+AB)−1=I2X2 C−1=

(

0 1

−1 1

)

(AB)

−1=

(

1−1

1 0

)

C

−1+(AB)−1=

(

1 0

0 1

)

=I2X2

Por tanto en este caso sí son iguales (pero no es una propiedad general de las matrices).

7. Escribe la forma general de una matriz A cuadrada de orden 2 antisimétrica. Encuentra la

expresión para A

2

, A

4

y A

33

.

A=

(

0 aa 0

)

A

2=

(

0 a

a 0

)

·

(

0 a

a 0

)

=

(

a2 0

0 −a2

)

=−a 2· I

2X2→A

3=A2· A=−a2·I · A=−a2A=

(

0−a3

a3 0

)

A4=A3· A=−a2· A· A=−a2· A2=−a2(−a2·I 2X2)=a

4· I 2X2=

(

a4 0

0 a4

)

A

5=A4· A=a4· I · A=a4· A=

(

0 a5

a5 0

)

Podemos observar cómo cambian cíclicamente los signos y posiciones de los elementos no nulos, así como las

sucesivas potencias de a. Extrapolando, por tanto: A33=

(

0 a33

(3)

8. Dada la matriz A=

3 1

1 2

determina otra matriz B tal que A+B=AB.

Despejamos B en la ecuación: A+B=ABABB=A→(AI)B=AB=(AI)−1· A Ahora calculamos la matriz B: AI=

(

2 1

1 1

)

→(AI)

−1

=

(

1 −1

−1 2

)

B=

(

1 −1

−1 2

)

·

(

3 1 1 2

)

=

(

21

1 3

)

9. Encuentra una matriz A cuadrada simétrica de orden 2, distinta de la matriz identidad, cuyos

elementos sean números naturales y tal que su inversa coincida con su traspuesta.

En primer lugar, si la matriz ha de ser simétrica, coincidirá con su traspuesta. Por tanto nos piden una matriz simétrica de números naturales que sea su propia inversa.

A=A−1

=

(

a bb c)A · A−1

=A2

=I

(

a

2+b2 ab+bc

ab+bc b2

+c2

)

=

(

1 00 1

)

a

2

+b2

=b2

+c2

=1 ab+bc=b(a+c)=0 De la primera condición concluimos que a2

=c2 y, como han de ser números naturales (positivos) entonces a

=c. La segunda condición queda, por tanto, como a ·b=0, por tanto o bien a o bien b son 0.

- Si b=0: La primera condición haría que a2=1a=c=1 lo que daría la matriz identidad.

- Si a=0: La primera condición haría que b2=1b=1 lo que daría la matriz A=

(

0 1 1 0

)

10.Demuestra que si A y B son dos matrices invertibles se cumple que (AB)

-1

= B

-1

A

-1

.

¿Se cumple que (A

2

)

-1

=(A

-1

)

2

?, ¿y que (A

3

)

-1

=(A

-1

)

3

? Justifica tus respuestas.

Tendremos que, por definición de inversa: (AB)−1· AB=I

Eliminamos AB con sus respectivas inversas:

(AB)−1· AB=I (AB)−1· AB · B−1=I ·B1 (AB)−1· A=B−1 (AB)−1· A· A−1=B−1· A−1 (AB)1=B1· A1

11.(P.A.U. 2009) Dada la matriz:

M =

m

1 2

m

m

1

2

0 1

1

a) Determinar los valores del parámetro m para los cuales la matriz M es invertible.

b) Determinar los valores del parámetro m para los cuales la matriz M

25

es invertible.

c) Para m=-1 calcular, si es posible, la matriz inversa M

-1

de M.

a) (Se necesitan determinantes) ∣M∣=m+2m22mm=2m22m=2m(m1)

Para que exista inversa, el determinante debe ser distinto de 0, por tanto:∀m∈ℝm{0,1}M1

b) (Más fácil con determinantes)

M25

=∣M25

≠0⇔∣M∣≠0 Por tanto es la misma condición: m≠{0,1}. c)

(

−−11 11 2−2

0 1 1

1 0 0 0 1 0 0 0 1

)

F1=F1−F2

(

0 0−4

−1 1 2

0 1 1

1−1 0

0 1 0

0 0 1

)

F1=−14F1

(

−01 0 11 2

0 1 1

−1

4 1

4 0

0 1 0

0 0 1

)

F3=F3−F1

(

0 0 1

−1 1 2

0 1 0

−1

4 1

4 0

0 1 0

1

4 −

1

4 1

)

F2=F2−F3−2F1

(

−01 0 10 0

0 1 0

−1

4 1

4 0

1 4

3 4 −1 1

4 −

1

4 1

)

F2=−F2 F1⇔F2 F2⇔F3

(

1 0 00 1 0 0 0 1

−1

4 −

3

4 1

1

4 −

1

4 1

−1

4 1

4 0

)

M1=

(

1

4

3

4 1

1

4

1

4 1

1

4 1

(4)

12.(P.A.U. 2009) Dadas las matrices:

A =

4

2

1

1

B =

4

2

3

1

obtener una matriz cuadrada X de orden 2 que verifique la ecuación matricial AXB=A+B.

Despejamos X en la ecuación: A−1A X B B−1

=A−1

(A+B)B−1

X=A1

(A+B)B1 Ahora calculamos la matriz X:

A−1

=

(

1 6

1 3

−1

6 2 3

)

A+B=

(

8 −4 −2 2

)

B

−1

=

(

−1

2 −1

−3

2 −2

)

X=

(

1

3

2 3

5

3

4 3

)

13.Dada la matriz B =

1 1 0

1 1 0

0 0 1

calcula B

10

.

B2=B ·B=

(

1 1 0 1 1 0 0 0 1

)

·

(

1 1 0 1 1 0 0 0 1

)

=

(

2 2 0 2 2 0 0 0 1

)

B3=B2· B=

(

2 2 0 2 2 0 0 0 1

)

·

(

1 1 0 1 1 0 0 0 1

)

=

(

4 4 0 4 4 0 0 0 1

)

B4

=B3·B

=

(

4 4 0 4 4 0 0 0 1

)

·

(

1 1 01 1 0 0 0 1

)

=

(

8 8 0 8 8 0 0 0 1

)

B5

=B4·B

=

(

8 8 0 8 8 0 0 0 1

)

·

(

1 1 01 1 0 0 0 1

)

=

(

16 16 0 16 16 0

0 0 1

)

Aunque sería necesaria, nos ahorramos la demostración por inducción y suponemos Bn=

(

2

n−1 2n−1 0

2n−1 2n−1 0

0 0 1

)

Por tanto B10=

(

29 29 0

29 29 0

0 0 1

)

=

(

512 512 0 512 512 0

0 0 1)

También podríamos haber aprovechado que tenemos calculada B5 y hacer B10=B5· B5.

14.Demuestra que si una matriz cuadrada A es invertible su inversa es única.

Supongamos que existen dos matrices B y C que son inversa de A, lo que significa que:AB=BA=I AC=CA=I Tomando la expresión AB=I y multiplicando por C por la izquierda:CAB=CICA

I

B=CI B=CB=C Por tanto si B y C son inversas de A, entonces son la misma matriz, luego la inversa da A es única.

15.(P.A.U. 2007) Calcular la matriz X, cuadrada de orden 3, que verifica

XA

2

+BA=A

2

siendo A=

0

0

1

0

1

0

1

0

0

y B =

0

0

2

0

2

0

2

0

0

.

En primer lugar es conveniente percatarse de que B=2A.

Teniendo en cuenta esta relación, reescribimos y despejamos X en la ecuación:

XA2+B A=A2X A2+2A2=A2XA2=−A2XA2(A2)−1=−A2(A2)−1X I=−IX=−I=

(

1 0 0

01 0

(5)

16.(P.A.U. 2007) Sean las matrices:

A=

2

0

0

1

B =

8

9

6

7

Hallar una matriz X tal que XAX

-1

=B.

Reescribimos la ecuación de modo que aparezca una única matriz desconocida, X, y no dos (X y X−1).

Para ello multiplicamos por X por la derecha:X A X−1X=BXXA=BX

Para resolver esta ecuación habra que considerar X con todos sus elementos explícitamente:X=

(

a bc d). Tenemos:

(

a bc d)·

(

2 0

0−1

)

=

(

8−9 6−7

)

·

(

a b

c d)

(

2ab

2cd)=

(

8a−9c 8b−9d

6a−7c 6b−7d) Igualando término a término ambas matrices: 2a=8a−9c→9c=6ac=2

3ab=8b−9d→9d=9bd=b 2c=6a−7c→9c=6ac=2

3ad=6b−7d→6d=6bd=b Con estas condiciones, la forma de X ha de ser: X=

(

a b

2 3a b

)

con a y b distintos de 0 (para que X sea invertible).

17.(P.A.U. 2007) Dadas las matrices

A=

5 2 0

2 5 0

0 0 1

B =

a b

c c

0

0

0 0 1

se pide:

a) Encontrar las condiciones que deben cumplir a, b y c para que se verifique AB=BA.

b) Para a=b=c=1, calcular B

10

.

a) AB=

(

5a+2c 5b+2c 0 2a+5c 2b+5c 0

0 0 1

)

BA=

(

5a+2b 2a+5b 0

7c 7c 0

0 0 1

)

. Igualando término a término:

5a+2c=5a+2bc=b 5b+2c=2a+5bc=a 2a+5c=7cc=a 2b+5c=7cc=b Por tanto ha de tenerse a=b=c: B=

(

a a 0

a a 0

0 0 1

)

b) Si a=b=c=1: B=

(

1 1 0 1 1 0 0 0 1

)

y ahora se procede como en el Ejercicio 13:

B2=B ·B=

(

1 1 0 1 1 0 0 0 1

)

·

(

1 1 0 1 1 0 0 0 1

)

=

(

2 2 0 2 2 0 0 0 1

)

B3=B2· B=

(

2 2 0 2 2 0 0 0 1

)

·

(

1 1 0 1 1 0 0 0 1

)

=

(

4 4 0 4 4 0 0 0 1

)

B4=B3·B=

(

4 4 0

4 4 0 0 0 1

)

·

(

1 1 01 1 0 0 0 1

)

=

(

8 8 0 8 8 0 0 0 1

)

B5=B4·B=

(

8 8 0 8 8 0 0 0 1

)

·

(

1 1 01 1 0 0 0 1

)

=

(

16 16 0 16 16 0

0 0 1

)

Aunque sería necesaria, nos ahorramos la demostración por inducción y suponemos Bn =

(

2n−1 2n−1 0

2n−1 2n−1 0

0 0 1

)

Por tanto B10

=

(

29 29 0

29 29 0

0 0 1

)

=

(

512 512 0 512 512 0

0 0 1

)

(6)

18.(P.A.U. 2006)

a) Hallar todas las matrices A=

a a

0

b

distintas de la matriz

0 0

0 0

tales que A

2

=A.

b) Para cualquiera de las matrices A obtenidas en el apartado anterior, calcular la matriz M:

M=A+A

2

+...+A

10

a) A2=

(

a a 0 b)·

(

a a 0 b)=

(

a2 a2

+ab

0 b2

)

Igualando ahora término a término con la matriz A:

a2=aa=0ó a=1 a2+ab=bSi a= 0 entonces b puede tomar cualquier valor. Si a=1 entonces b = 0

b2=bb=0ó b=1

Combinando las condiciones, las únicas posibilidades para la matriz A son:

A=

(

0 0

0 0

)

A=

(

0 0

0 1

)

A=

(

1 1 0 0

)

b) Se puede ver fácilmente que para estas matrices las sucesivas potencias son iguales a la matriz original: A1

=A A2

=A A3

=A2A

=AA=A2

=A A4

=A3A

=AA=A2

=A... Por tanto: M=A+A2

+...+A9

+A10

=

A+A+...+A+A

10 veces

=10A

19.(P.A.U. 2006) Dada la matriz A=

1 2

0 1

encontrar todas las matrices P =

a b

c d

tales

que AP=PA.

AP=

(

a+2c b+2d

c d

)

PA=

(

a 2a+b

c 2c+d) Igualando término a término:

a+2c=ac=0 b+2d=2a+ba=d d=2c+dc=0 Por tanto se tiene: P=

(

a b

0 a)a , b∈ℝ

20. Sean las matrices:

A=

2

1

2

1

1

1

1

2

2

I =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

a) Hallar (A-I)

2

.

b) Calcular A

4

haciendo uso del apartado anterior.

a) (AI)2=

(

1 2 −1

−1 −2 1

−1 −2 1

)

·

(

−11 −22 −11

−1 −2 1

)

=

(

0 0 0 0 0 0

0 0 0

)

=O (matriz nula)

b) Desarrollando el resultado anterior(AI)2=O→(AI)(AI)=OA2AIIA+I2=OA2=2AI

Por tanto:A4=A2· A2=(2AI)(2AI)=4A22AI2IA+I2=4A24A+I=4(2AI)−4A+I=4A3I

Es decir:A4=

(

5 84

47 4

(7)

21.Encontrar las matrices P =

a b

c d

tales que P

-1

6

2

6

1

P=

2 0

0 3

.

Reescribimos la ecuación de modo que aparezca una única matriz desconocida, P, y no dos (P y P−1).

Para ello multiplicamos por P por la izquierda:P P−1

(

6−2 6−1

)

P=P

(

2 0 0 3

)

(

62 61

)(

a b c d

)

=

(

a b c d

)(

2 0 0 3

)

(

6 −2 6 −1

)

·

(

a b c d

)

=

(

a b c d)·

(

2 0

0 3

)

(

6a−2c 6b−2d 6ac 6bd

)

=

(

2a 3b

2c 3d

)

Igualando término a término ambas matrices:

6a−2c=2a→2c=4ac=2a 6b−2d=3b→2d=3bd=3

2b 6ac=2c→3c=6ac=2a 6bd=3d→4d=6bd=3

2b

Con estas condiciones, la forma de P ha de ser: P=

(

a b

2a 3

2b

)

con a y b distintos de 0 (para que P sea invertible).

22. (P.A.U. 2005) Dadas las matrices:

A=

1 2

0 1

I=

1 0

0 1

a) Hallar dos constantes a y b tales que A

2

=aA+bI.

b) Calcular A

5

usando la expresión obtenida en el apartado anterior.

c) Hallar todas las matrices X que satisfacen la ecuación: (A-X)(A+X)=A

2

-X

2

.

a)A2=

(

1 4 0 1

)

(

1 4 0 1

)

=

(

a 2a 0 a

)

+

(

b 0 0 b)

(

1 4 0 1

)

=

(

a+b 2a

0 a+b) Igualando término a término:

a+b=1 2a=4→a=2 b=−1

b) A5=A2· A2· A=(2AI)(2AI)A=(4A22A2A+I)A=(4A24A+I)A=[4(2AI)−4A+I]A=(4A3I)A=

=4A23A=4(2AI)−3A=5A4I=

(

1 8 0 1

)

c) (AX)(A+X)=A2X2A2+AXXAX2=A2X2AXXA=0AX=XA Explícitamente:

(

1 2 0 1

)

·

(

a b

c d)=

(

a bc d)·

(

1 2 0 1

)

(

a+2c b+2d

c d

)

=

(

a 2a+b

c 2c+d) Igualando término a término:

a+2c=ac=0 b+2d=2a+ba=d 2c+d=dc=0 Por tanto la forma de X será:X=

(

a b

0 a)

23. (P.A.U. 2005) Dadas las matrices:

A=

0

k

t

0 0

k

0 0 0

B =

1

k

t

0 1

k

0 0 1

a) Hallar A

10

.

b) Hallar la matriz inversa de B.

c) En el caso particular k=0, hallar B

10

.

a) A2=

(

0 0 k 2

0 0 0

0 0 0

)

A3=

(

0 0 0 0 0 0 0 0 0

)

=A4=A5=...=AnA10=

(

0 0 0

0 0 0 0 0 0

)

b)

(

10 1k tk 0 0 1

1 0 0 0 1 0 0 0 1

)

F2=F2−k F3→

(

1 k t

0 1 0 0 0 1

1 0 0 0 1−k 0 0 1

)

F1=F1−k F2−t F3

(

1 0 0 0 1 0 0 0 1

1 −k k2t

0 1 −k

0 0 1

)

B1=

(

1k k2

t

0 1k

0 0 1

)

c) B=

(

1 0 t

0 1 0 0 0 1

)

B2=

(

1 0 2t 0 1 0

0 0 1

)

B3=

(

1 0 3t 0 1 0

0 0 1

)

... Habría que hacer inducción, pero :B10=

(

1 0 10t

0 1 0

(8)

24.(P.A.U. 2005) Hallar una matriz X tal que:

A

-1

XA=B

siendo A=

3

1

2

1

, B=

1

1

2

1

.

Despejamos X en la ecuación: A A−1X A A−1

=AB A−1

X=AB A1 Ahora calculamos la matriz X:

A−1=

(

1 1

−2 −3

)

X=

(

9 11

67

)

25. Sea la matriz

A=

2 2

2

2 2

2

2 2

2

a) Comprobar que A

3

-2A

2

=0.

b) Hallar A

n

.

a)A2=

(

4 4−4 4 4−4 4 4−4

)

A3=A2· A=

(

8 8−8 8 8−8 8 8−8

)

Evidente queA32A2=0

b) Podríamos demostrarlo por inducción o reescribir la relación como A3=2A2. Además A2=2A.

Esto significa que en el desarrollo de la potencia n-ésima cada aparición de la matriz A en el producto se puede sustituir por un factor 2, excepto la última aparición.

An=A· A

A2

=2A

· A· A· A · A...· A=2· A · A

A2

=2A

· A· A· A...· A=2·2· A · A

A2

=2A

· A· A... · A=2·2·2· A · A

A2

=2A

· A...· A=...=2n1A

Se podría también razonar por inducción siguiendo la cadena de potencias con las matrices.

26. Para describir en el plano un giro de ángulo

θ

se usa la matriz de giro

(

cos

θ −

sen

θ

sen

θ

cos

θ

)

.

Para describir dos giros consecutivos de ángulos

α

y

β

, se multiplican las matrices de giro

correspondientes.

a) Calcula la matriz inversa de una matriz de giro de ángulo

θ.

Escribe la matriz de giro de

ángulo

−θ

. Interpreta los resultados.

b) Multiplica las matrices de giro de ángulos

α

y

β .

Calcula la matriz de giro de ángulo

α

+

β

. Interpreta los resultados.

a) Mθ=

(

cos

θ −senθ

senθ cosθ

)

:

(

cosθ −senθ

senθ cosθ

1 0 0 1

)

F1=senθF1

F2=cosθF2

(

senθcosθ−sen2θ

cosθsenθ cos2θ

senθ 0

0 cosθ

)

F2=F2−F1→

(

senθcosθ −sen2θ

0 sen2θ+cos2θ

sen

θ 0

senθ cosθ

)

(

senθcosθ −sen2θ

0 1

senθ 0

senθ cosθ

)

F1=F1+sen 2θF

2→

(

senθcosθ 0

0 1

senθ−sen3θ sen2θcosθ

senθ cosθ

)

(

senθcosθ 0

0 1

senθ(1−sen2θ) sen2θcosθ

senθ cosθ

)

(

senθcosθ 0

0 1

senθcos2θ sen2θcosθ

senθ cosθ

)

F1=

F1

senθcosθ→

(

1 0 0 1

cosθ senθ −senθ cosθ

)

Mθ

1=

(

cosθ senθ −senθ cosθ

)

Por otro lado tenemos M−θ=

(

cos(−θ)−sen(−θ)

sen(−θ) cos(−θ)

)

=

(

cosθ senθ

senθ cosθ

)

M−θ=Mθ −1

La interpretación de este resultado es que elinverso de un giro de ángulo θ es un giro de ángulo − θ. b) Mα+ β=

(

cos(α+β) −sen(α+β )

sen(α+β) cos(α+β)

)

Mα·Mβ=

(

cos

α −senα

senα cosα

)

·

(

cosβ −senβ

senβ cosβ

)

=

(

cosαcosβ−senαsenβ −cosαsenβ−senαcosβ

senαcosβ+cosαsenβ −senαsenβ+cosαcosβ

)

=

(

cosαcosβ−senαsenβ −(senαcosβ +cosαsenβ) senαcosβ+cosαsenβ cosαcosβ−senαsenβ

)

=

(

cos(α+β) −sen(α +β)

sen(α+β) cos(α+β)

)

Mα+ β=Mα· Mβ

Figure

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