PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE CANTABRIA SEPTIEMBRE - 2003 (RESUELTOS por Antonio Menguiano) MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

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(1)

I

I..EE..SS..““CCAASSTTEELLAARR””BBAADDAAJJOOZZ

A. Menguiano PRUEBA DE ACCESO (LOGSE)

UNIVERSIDAD DE CANTABRIA

SEPTIEMBRE - 2003

(RESUELTOS por Antonio Menguiano)

MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

1.-El ejercicio consta de tres bloques de problemas y cada bloque tiene dos opciones. Debe responderse necesariamente a los tres bloques, escogiendo en cada uno de ellos una sola de las opciones (A o B).

2.- Debe exponerse con claridad el planteamiento del problema o el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas.

3.- Todas las preguntas se puntúan igual. BLOQUE 1 (Álgebra)

1-A) a ) Estudiar, según los valores de a, el sistema siguiente:

    

= − +

= −

= + +

1 0 2

1 2

z y ax

y x

z y ax

.

b ) Resolver el sistema para a = 1.

--- a )

(

)

2 1 0

1 2 3 3 6 1 4 2 2 1 1

0 2 1

2 1

1 0 1 1 1

0 2 1

2 1 '

; ; 1 1

0 2 1

2 1

− =

= + =

+ = + + + = − − =

     

   

− − =

     

   

− − =

a a

a a

a

a a

M

a a M

a a M

ado er

Compatible incógnitas

n M

Rango M

Rango a

Para ' 3 º det min

2

1 = = =

(2)

{

}

{

}

3 ' 2

1

0 3 2 1 1 1

0 0 1

1 2 ,

, '

0 1 1 1 1 1 1

0 2 1

1 1 ,

, '

: ' 2

1

2 1 2 1

4 3 1

2 1 2 1

4 2 1

=

− =

   

    

 

   

    

 

≠ − = − − = −

− −

⇒ ⇒

= − − + = −

− −

⇒ ⇒

− =

M Rango a

C C C M

C C C M

es M de rango el

a Para

le Incompatib M

Rango M

Rango a

Para =− ⇒ ≠ ' ⇒

2 1

b )

Para a = 1 el sistema es:

    

= − +

= −

= + +

1 0 2

1 2

z y x

y x

z y x

. De la segunda ecuación: x = 2y.

Susti-tuyendo en las ecuaciones primera y tercera, resulta: ⇒   

= −

= +

1 3

1 2 3

z y

z y

3 2 ;

; 3 1 ;

;

0 = =

= y x

(3)

2-A) Dar una respuesta razonada a las siguientes cuestiones:

a ) En una matriz intercambiamos dos filas. ¿Qué se puede decir del determinante de la nueva matriz obtenida?

b ) Se sabe que det (A) = 5 y que A es una matriz de orden dos. ¿Cuánto vale det (3A)? c ) Dos matrices A y B son inversas una de la otra. ¿Cuánto vale det (B)?

d ) Si A es una matriz inversible de orden 3. ¿Cuánto vale el determinante de la matriz adjunta de A?

--- a )

Una de las propiedades de los determinantes es que “si se intercambian dos filas o dos columnas, el valor del determinante cambia de signo”.

El valor del determinante de la matriz obtenida es el mismo del determinante de la primera matriz, pero de signo contrario.

b )

El producto de una matriz por un número es otra matriz cuyos elementos resultan de multiplicar cada elemento de la primera matriz por el número.

Otra propiedad de los determinantes: “si se multiplican o dividen los elementos de una fila o una columna de un determinante, el valor del determinante queda multipli-cado o dividido por el número”.

Siendo A una matriz cuadrada de orden 2, det (3A) = 3 · 3 · det (A) = 9 · det (A).

( )

3A 9 · det

( )

A det

( )

A 5 det

( )

3A 9 ·5 45 det

( )

3A

det = ⇒ = ⇒ = = =

c )

Sabemos que el producto de una matriz por su inversa es la matriz identidad. Si B es la matriz inversa de A se cumple: A · B = I.

A B B

A I

B

A· = ⇒ · =1 ⇒ = 1

De lo anterior se deduce que el determinante de la inversa de una matriz es igual a la inversa del determinante de la matriz dada.

d )

(4)

     

   

=

     

   

=

A A A A

A Adj A

0 0

0 0

0 0 1

0 0

0 1 0

0 0 1 · )

( .

· .

Pasando a determinantes:

2 3

3

) ( . 0

0

0 0

0 0 )

( .

· A

A A A

Adj A

A A A A

Adj

A = = ⇒ = =

2

) (

. A A

Adj =

(5)

BLOQUE 2 (Análisis)

2-A) Considerar la función

( )

= 2 −1

x x

f . Calcular:

a ) Su dominio, cortes con los ejes e intervalos de crecimiento. b ) Sus asíntotas.

c ) A partir de los datos anteriores, representar gráficamente la función. ---

a )

El dominio de la función

( )

= 2 −1

x x

f es el conjunto de valores reales de x tales que x2 −1≥0 ;; x2 ≥1 ;; x ≥1.

( ) (

f ⇒ −∞, −1

) ( )

∪ 1, ∞

D

Los cortes con los ejes son:

( )

(

)

( )

( )

      

− = =

=

± = =

= =

tiene No R

x f

y x

Y Eje

B A

x x

x f y X Eje

1 0

0

0 , 1 ; ; 0 , 1 1

; ; 0 1

0 2

Para estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, derivamos:

( )

1 1

2 2 '

2

2 − = −

=

x x

x x x

f

( )

( )

( )

(

)

     

− ∞ −

<

<

>

>

e Decrecient x

x f

Creciente x

x f

1 , 0

0 '

, 1 0

0 '

b )

Las asíntotas de la función son las siguientes:

Horizontales: son los valores finitos que toma y cuando x tiende a valer infinito; son de la forma y = k.

( )

x No tiene

x lím x

f x

lím k

y − =∞ ⇒

∞ → = ∞

→ =

= 2 1

(6)

Oblicuas: Son de la forma y=mx+n

(

m≠0 ; m≠∞

)

.

( )

( )

[

]

(

)

(

)(

)

x y x x x lím x x x x x lím x x x x x x x lím x x x lím x m x f x lím n m x x lím x x x lím x x x lím x x f x lím m = ⇒ = + − − +∞ → = + − − − +∞ → = = + − + − − − +∞ → = − − +∞ → = − +∞ → = = = − +∞ → = − +∞ → = − +∞ → = +∞ → = 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

( )

( )

[

]

(

)

(

)(

)

x y x x x lím x x x x x lím x x x x x x x lím x x x lím x m x f x lím n m x x x x lím x x x x x lím x x x lím x x f x lím m − = ⇒ = ∞ − = ∞ + ∞ − = − − − −∞ → = − − − − −∞ → = = − − − − + − −∞ → = + − −∞ → = − −∞ → = = − = − = =         − −∞ → =         −∞ → = − −∞ → = −∞ → = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 · 1 1 1 1 1 c )

La representación aproximada de la función es la siguiente: Y

A X

O x = -1

f(x)

x = 1

(7)

2-B) Calcular las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en una circunferencia de 2 m de radio.

---

El área del rectángulo es:

2 · b

a S = .

Del triángulo rectángulo ABC se dedu-ce que:

( )

2 2 2 2 2 2 2 2

4 ;

; 4

; ;

2r =a +b r =a +b b= ra Sustituyendo el valor de b en el área:

4 2 2 2

2

4 2 1 4

2 1 2

·

a a r a

r a b a

S= = − = −

Para que el área sea máxima, su derivada tiene que ser cero:

(

)

   

= =

= − =

= − − =

− − =

2 0 0

2 ; ; 0 2

0 4

2 4

2

4 8

· 2 1 '

2 1 2

2 3

2

4 2 2

3 2

4 2 2

3 2

r a a a

r a a

a r a

a r

a a r

a a r

a a r S

La primera de las soluciones carece de sentido lógico. (sería para mínimo). Los valores de a y b son: a=r 2.

a b r

r r

r a

r

b= 4 2 − 2 = 4 2 −2 2 = 2 2 = 2= = .

Como puede comprobarse, se trata de un cuadrado. El valor del área máxima es:

( ) ( )

2 4

2 2 2

2 · 2 2

· 2 2

2

= = = =

=

= a b r r r r

S

El valor del área máxima es 4 m2. **********

r

a

b A

B

(8)

BLOQUE 3 (Geometría)

3-A) Se consideran los puntos P(2, 1, -1), Q(1, 4, 1) y R(1, 3, 1).

a ) Comprobar que P, Q y R no están alineados y calcular el área del triángulo que de-terminan.

b ) Calcular la ecuación del plano π que los contiene a los puntos P, Q y R.

c ) Calcular la ecuación de la recta r que pasa por A(1, 1, -1) y es perpendicular al plano

π obtenido en el apartado anterior.

--- a )

(

) (

) (

)

(

1, 3, 1

) (

1, 4, 1

) (

0, 1, 0

)

2 , 3 , 1 1

, 1 , 2 1 , 4 , 1

− = −

= − = =

− = − −

= − = =

Q R QR v

P Q PQ u

Como puede apreciarse, los vectores u y v son linealmente independientes, lo cual significa, en efecto, que los puntos P, Q y R no están alineados, como teníamos que comprobar.

El área del triángulo que forman es la mitad del área del paralelogramo que de-terminan los vectores u y v :

( )

u S

k i i

k k

j i

S = − = − + = − + = =

− −

= 2 2 2

2 5 1

2 · 2 1 2

· 2 1 2 · 2 1 0 1 0

2 3 1 · 2 1

b )

El plano π pedido es el que tiene como vectores directores u y v y contiene a uno cualquiera de los puntos dados, por ejemplo P:

(

)

0 ;;

(

1

) (

2 2

)

0 ;; 1 2 4 0

0 1 0

2 3

1

1 1

2 ,

; = + + − = + + − =

− −

+ −

z x z x

z y

x v u P

π

0 3 2 + − =

x z

(9)

c )

La recta r pedida tiene como vector director a un vector normal del plano π :

(

)

(

)

   

+ − =

= + = ≡

⇒    

 

− =

k z

y

k x

r A

n r

1 1

2 1 1

, 1 , 1

1 , 0 , 2

r

(10)

3-B) Se considera el segmento AB de extremos A(5, 3, 1) y B(4, 2, -1). a ) Calcular las ecuaciones de los tres planos (paralelos entre si) siguientes:

- π1: pasa por A y es perpendicular al segmento AB.

- π2: pasa por B y es perpendicular al segmento AB.

- π3: es perpendicular al segmento AB y lo divide en dos partes iguales.

b ) ¿Cuál es la distancia entre π1 y π3? ¿Cuál es la distancia entre π1 y π2? ---

a )

(

4, 2, −1

) (

− 5, 3, 1

) (

= −1, −1, −2

)

= − =

= AB B A

v .

El vector v es normal los planos π1, π2 y π3, por lo cual sus ecuaciones son:

(

5,3,1

)

5 3 2 0 ;; 10 2 10 0

0 2

1

1 − − − + = = ≡ + + − =

  

= + − − − ≡

z y x D

D A

D z y x

π π

(

4,2, 1

)

4 2 2 0 ;; 4 2 4 0

0 2

2

2 − − + + = = ≡ + + − =

  

= + − − − ≡

z y x D

D B

D z y x

π π

El punto medio del segmento AB es:

(

)

(

)



 

  ⇒    

 

− 2, 0

5 , 2 9 1

, 2 , 4

1 , 3 , 5

M B

A

.

0 7 2 7

; ; 0 0

2 5 2 9 0

, 2 5 , 2 9

0 2

2 3

= − + + ≡

= =

+ − − −

⇒      

  

 

= + − − − ≡

z y x D

D M

D z y x

π π

b )

Para hallar la distancia de π1 y π3 la obtenemos tomando un punto, por ejemplo

de π1 y calculando su distancia a π3:

Un punto de π1 es A(5, 3, 1) y la distancia de un punto a un plano viene dada por

la fórmula:

(

)

2 2 2

0 0 0

,

C B A

D Cz By Ax P

d

+ +

+ + + =

π . El plano es: π3 ≡x+y+2z−7=0.

(11)

Para hallar la distancia de π1 y π2 la obtenemos tomando un punto, por ejemplo

de π1 y calculando su distancia a π2:

Un punto de π1 es A(5, 3, 1). El plano es: π2 ≡x+ y+2z−4=0.

(

1 2

) (

2

)

2 2 2 6

(

1, 2

)

6 6 4

1 1

4 2 3 5 2

1 1

4 1 · 2 3 · 1 5 · 1 ,

, π π π π

π d A u d

d = = =

+ +

− + + = +

+

− +

+ =

=

Figure

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