R
esuelve
Página 33
Vuelos internacionales
■Aquí tienes ahora, representados mediante flechas, los vuelos que permiten viajar el martes desde
el país B anterior hasta otro país C:
B C
C1
C2 B1
B2 B3 B4
Representa, mediante una tabla similar a la anteriormente descrita, la información recogida en el diagrama de vuelos entre los países B y C.
B1 C2
B1 3 2
B2 1 0
B3 1 0
1
Nomenclatura. Definiciones
Página 351 Escribe las matrices traspuestas de:
A =
f
3 2 71 5 6
p
B = e24 51 70o C =
f
1 0 63 2 1
5 4 0
1 1 3 –
p
D =
f
7 2 0 64 1 1 3
1 0 7 2
p
E =f
1 7 4
7 1 0
4 0 3
–
p
F = 5 4 6 1` jA t = 3
1 25 76
e o; B t = 25
7 4 1 0
f p
; C t =1 3 5 1
0 2 4 1
6 1 0 3 –
f
p
;D t = 74
1 2 1 0
0 1 7
6 3 2
f
p
; E t = 174 7
1 0
4 0 3 –
f
p
; F t =5 4 6 1
f p
2 Escribe una matriz X tal que X t = X; esto es, que sea simétrica.
Por ejemplo, X = 12 1
2 3 0
1 0 4 –
–
f
p
.3 Escribe una matriz que describa lo siguiente:
2 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 2 1 0 1 1
0 0 0 0 2 0
2
Operaciones con matrices
Página 361 Dadas las siguientes matrices:
A = e14 01 ––23o B = e––14 01 13o C = e78 –110 –01o D = e–63 12 54o
calcula E = 2A – 3B + C – 2D.
E = e82 02 ––46o–e––123 30 39o+e78 –110 –01o–e–126 24 108 o=e1816 ––151 ––2318o
Página 39
2 Efectúa todos los posibles productos entre las siguientes matrices:
A = e–12 25 31o B =
f
71 0 3
0 1 1 4
–
p
C =
f
2 6 27 3 5
1 0 1
5 0 0
– –
p
D =
f
1 0 21 5 3
1 2 3 –
–
p
A · C = e248 – – ––24 41 510o; A · D = e70 1830 –54o; B · A =
7 3 2 5
14 3 5 26
21 2 1 13 –
– –
–
f
p
C · B = 2239 9
28 3
4 – –
f
p
; D · C = 26628 1 5 38
2 2 1
5 0 10 – –
–
f
p
; D · D = 344 3 31 4
4 4 17 –
– –
f
p
3 Intenta conseguir una matriz I3 de dimensión 3 × 3 que, multiplicada por cualquier matriz cua-drada A (3 × 3), la deje igual.
Es decir: A · I3 = I3 · A = A
La matriz I3 que verifica la igualdad anterior se llama matriz unidad de orden 3.
Una vez que sepas cuál es su fisonomía, sabrás obtener la matriz unidad de cualquier orden.
I3 = 10 0
0 1 0
0 0 1
3
Propiedades de las operaciones con matrices
Página 401 Comprueba las propiedades 2 y 3 del producto de números por matrices, tomando:
a = 3, b = 6 A = e32 –53 –01o B = e74 –62 18o
propiedad2:
A
A A
9 2718 4527 09
3 6 96 159 03 1812 3018 06 2718 4527 09 –
–
– –
– –
– – =
+ = + =
f
f f f
p
p p p
4
9A = 3A + 6A
propiedad 3:
(A B)
A B
3 3 106 33 08
3 3 96 159 03 30 18
9 9
0 24 21 12
6 18
3 24
30 18
9 9
0 24 –
– –
+ =
+ =
=
+ =
f f
f f
f p
p p
p p
4
3(A + B ) = 3A + 3B
Página 41
2 Comprueba las propiedades distributivas para las siguientes matrices:
A =
f
1 0 14 5 6
p
B = e–31 50 69 –72o C = e40 –11 65 05o D =
f
1 2 5 3 –p
( )
A B C A
A B A C
3 3
6 1
12 14
7 3
15 15 21
2 5 0
68 70 96
19 15 25 11
15 17
5 0 5
42 45 60
1 10
5 4 0 4
3 5 5
26 25 36
20 25 30
15 15 21
2 5 0
68 70 96
19 15 25
· · – –
· ·
– –
–
– – –
–
+ = =
+ =
f
+ =f
f
f
f
p
p
p
p
p
4
A · (B + C ) = A · B + A · C
( )·
· ·
·
B C D
B D C D
D
3 3
6 1
12 14
7 3 0
48
24 60 24
12
24 60 –
–
– – –
–
– –
+ =
+ =
=
+ =
f
e e e
e
o p
o o
o
4
4
Matrices cuadradas
Página 431 Calcula, utilizando el método de Gauss, la inversa de cada una de las siguientes matrices en el supuesto de que la tengan:
a) e10 11o b) e13 42o c) e– –12 24o
a) e10 11 10 01o (2.ª)(1.ª) – (2.ª) e10 01 10 –11o
Así, e01 11o–1=e10 –11o
b) e13 24 10 01o (1.ª)(2.ª) – 3 · (1.ª) e10 – –22 13 01o (1.ª) + (2.ª)(2.ª) e10 01 ––23 11o (1.ª) – (2.ª)(–1/2) · (2.ª) e10 01 3 2–/2 –1 21/ o
Así, e13 24o–1=e3 2–/2 –1 21/ o
c) e– –12 24 10 01o (1.ª)(2.ª) + 2 · (1.ª) e10 20 12 01o
En la parte de la izquierda, la 2.ª fila está compuesta por ceros.
Por tanto, la matriz e– –12 24o no tiene inversa.
2 Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices o averigua que no la tiene:
a)
f
1 4 72 5 8
3 6 9
p
b)
f
1 0 1
2 1 2
3 2 4
p
c)
f
1 1 2
1 2 0
3 1 0
p
a) 14 7
2 5 8
3 6 9
1 0 0
0 1 0
0 0 1
f
p
(1.ª) (2.ª) – 4 · (1.ª) (3.ª) – 7 · (1.ª)
10 0
2 3
6 74
0 1 0
0 0 1 3
6 12
1 –
– –– ––
f
p
(1.ª) (2.ª) (3.ª) – 2 · (2.ª)
1 0 0
2 3 0
3 6 0
1 4 1
0 1 2
0 0 1 – – –
–
f
p
En la parte de la izquierda, la 3.ª fila está compuesta por ceros.
Por tanto, la matriz 1 4 7
2 5 8
3 6 9
f
p
no tiene inversa.b) 10 0
2 1 2
3 2 4
1 0 0
0 1 0
0 0 1
f
p
(1.ª) (2.ª) (3.ª) – (1.ª)
10 0
2 1 0
3 2 1
1 0 1
0 1 0
0 0 1 –
f
p
(1.ª) – 3 · (3.ª) (2.ª) – 2 · (3.ª) (3.ª)
1 0 0
2 1 0
0 0 1
4 2 1
0 1 0
3 2 1 –
– –
f
p
(1.ª) – 2 · (2.ª) (2.ª) (3.ª)
10 0
0 1 0
0 0 1
0 2 1
2 1 0
1 2 1 –
– –
f
p
Así, 10 0
2 1 2
3 2 4
0 2 1
2 1 0
1 2 1 –
– –
1 –
=
c) 11 2 1 2 0 3 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
f
p
(1.ª) (2.ª) – (1.ª) (3.ª) – 2 · (1.ª)10 0 1 1 2 3 2 6 1 1 2 0 1 0 0 0 1 – –– ––
f
p
(1.ª) (2.ª) (3.ª) + 2 · (2.ª)1 0 0 1 1 0 3 2 10 1 1 4 0 1 2 0 0 1 – – ––
f
p
(1.ª)–5 · (2.ª) + (3.ª) –(1/10) · (3.ª)
/ / / 1 0 0 1 5 0 3 0 1 1 1 2 5 0 3 1 5 0 1 1 10 – – – –
f
p
(1.ª) – 3 · (3.ª) –(1/5) · (2.ª) (3.ª) / / / / / / / / / 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 5 1 5 2 5 3 5 3 5 1 5 3 5 1 5 1 10 – – – – –
f
p
(1.ª) – (2.ª) (2.ª) (3.ª) / / / / / / / 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 5 2 5 0 3 5 1 5 2 5 1 5 1 10 – – – –
f
p
Así, /
/ // / / / 1 1 2 1 2 0 3 1 0 0 1 5 2 5 0 3 5 1 5 2 5 1 5 1 10 – – –– 1 – =
f
p
f
p
Página 45
3 Para las matrices A = e12 07o, B = e–41 –51o, C = e41 01o comprueba:
a) A · (B + C ) = (A · B) + (A · C ) b) (A + B) · C = (A · C ) + (B · C ) c) A · (B · C ) = (A · B) · C
a) ·( ) ·
· ·
A B C A
A B A C
3 5 5 0 3 41 5 10 1 26 5 3 4 15 0 7 3 41 5 10 – + = =
+ =f + =
f f f f p p p p p
4
A · (B + C ) = (A · B) + (A · C )
b) (A B C) C
A C B C
0 6 5 6 5 30 5 6 4 15 0 7 1 15 5 1 5 30 5 6 · · · · – + = = + = + = f f f f f p p p
p p
4
(A + B) · C = (A · C ) + (B · C )
c) ( )
( )
A B C A
A B C C
1 15 5 1 1 107 5 3 1 26 5 3 1 107 5 3 · · – · · – · + = =
=f =
f f f p p p p
4
A · (B · C ) = (A · B) · C4 Sean A = e35 –01o y B = e01 –63o.
Encuentra X que cumpla: 3 · X – 2 · A = 5 · B.
5 Encuentra dos matrices, A y B, de dimensión 2 × 2 que cumplan:
2A + B = e12 40o A – B = e–11 20o
A B
A B
2 12 40
1 1 20
– –
+ =
=e e o
o
4
Sumando: 3A = 0 3 60e o → A = e01 20o
B = A – e–11 20o=e10 20o–e–11 02o=e01 00o
Solución: A = e01 20o, B=e10 00o
6 Encuentra dos matrices X e Y que verifiquen:
2X – 3Y = e14 52o X – Y = e–31 06o
X Y
X Y
X Y
X Y
2 3 14 52
1 3
0 6
2 3 14 52
2 2 26 012
–
– –
–
– – –
=
=
=
+ =
e
f f
e o
p p
o
4
4
Sumando: –Y = e– –32 510o → Y = e– –23 105oX = e–31 06o+ =Y e–31 06o+e– –23 105o=e– –44 165o
Solución: X = e– –54 165o, Y =e– –23 105o
7 Averigua cómo ha de ser una matriz X que cumpla la siguiente condición:
X · e10 11o=e10 11o · X
X = cxz tym
X · e10 11o=e10 11o·e01 11o=czx x yz t++ m
·X · xz ty x zz y tt 1
0 1 1
1 0
1 1
= = + +
e o e o c m c m
x x z x y y t z z z t t
x t
z 0
= + + = + = + =
=
=
4
4
8 Efectúa las siguientes operaciones con las matrices dadas:
A = e10 23o B = e–34 07o C = e13 –21o
a) (A · B) + (A · C ) b) (A – B) · C c) A · B · C
a) (A · B ) + (A · C ) = e29 70o+e97 63o=e189 106 o b) (A – B ) · C = e–53 –35o·e31 –21o=e–610 –915o
c) A · B · C = e29 70o·e13 –21o=e239 –129o
9 Dada la matriz A = e10 21o, comprueba que (A – I )2 = 0.
(A – I )2 = 0 ·
0 2 0
0 0
2 0
0 0
0 0 = e o e o e o
10 Halla la inversa de estas matrices:
a) e27 31o b) e–38 –52o c)
f
1 0 00 2 0
0 0 1
p
d)
f
1 0 0
2 1 1
3 2 1
p
a) e27 13o·cxz tym=e10 01o 8 f72xx z++3z 7 32yy t++ tp=e10 10o
x z
x z xz
7 3 1
2 + =+ =3 03 ==1–2 7 3 02yy+ =+ =3tt 14 ty==7–3
Por tanto, la inversa es e–12 –73o.
b) e–38 –52o·cxz tym=e10 10o 8 f–38 5xx–+2zz –38 5yy–+2ttp=e01 10o
x z
x z xz
3 2 1
8 5 0– 58
–
– –
– =
+ = 3 == ––38 5 1yy+ =–2 0tt= 4 ty==––32
Por tanto, la inversa es e––58 ––23o.
c) · 8 ad
g b
e h
c f i a
d g
b e h
c f i
1 0 0
0 2 0
0 0
1 2 2 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= =
f
p
f
p
f
p
f
p
f
p
a = 1, b = 0, c = 0, 2d = 0, 2e = 1, 2f = 0, g = 0, h = 0, i = 1
Por tanto, la inversa es 10 / 0
0 1 2
0 0 0 1
f
p
.d) · da 8
g b e h
c f i
1 0 0
2 1 1
3 2 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1 =
f
p
f
p
f
p
a d g
d g
d g
b e h
e h
e h
c f i
f i
f i
2 3
2
2 3 2
2 3
2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
+ +
+ +
+ + +
+
+ +
+
+ =
f
p
f
p
a d g
d g
d g
a d g
b e h
e h
e h
b e h
c f i
f i
f i
c f g
2 3 1
2 0
0 1
0 0
2 3 0
2 1 0
1 1 1
2 3 0
2 0 1
1 2
1
2 3 2
– –
–
–
+ + =
+ =
+ =
= = =
+ + =
+ =
+ =
= = =
+ + =
+ = + =
= = =
4
4
4
Por tanto, la inversa es 10 0
1 1 1
1 2
1 –
– –
–
11 Resuelve estas ecuaciones:
a) e–38 –52oX+e11 32o=e–715 –107 o
b) Y e–38 –52o+e11 23o=e–157 –107 o
c)
f
1 0 0 2 1 1 3 2 1p
Z –
f
4 3 2 5 7 1 1 4 0 –p
=f
4 3 2 5 6 2 2 3 1
p
a) Llamamos A = e–38 –52o, B=e11 32o, C=e–157 –710o.
La ecuación es AX + B = C ⇒ X = A –1 (C – B ).
Calculamos A –1:
3 8 2 5 1 0 0 1 – –
e o (1.ª)3 · (2.ª) + 8 · (1.ª) e30 ––21 81 30o –1 · (1.ª) + 2 · (2.ª)(2.ª)
3 0 0 1 15 8 6 3 – –
e o (1.ª)/(–3)(2.ª)/(–1) e10 01 ––58 ––32o → A –1 = 5
8 23 – – ––
e o
X = e––58 ––32o
>
e–157 –710o–e11 32oH
=e––58 ––32o·e–616 –135 o=e20 –11ob) La ecuación es, siendo A, B y C las mismas matrices del apartado anterior: YA + B = C ⇒ Y = (C – B )A –1
Y =
>
e–715 –710o–e11 23oH
e––58 ––32o=e–166 –135 o·e––58 ––23o=e184–70 –7127oc) Llamamos A = , B , C
1 0 0 2 1 1 3 2 1 4 3 2 5 7 1 1 4 0 4 3 2 5 6 2 2 3 1 – = =
f
p
f
p
f
p
.La ecuación es AZ – B = C ⇒ Z = A –1 (C + B ).
1 0 0 2 1 1 3 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
f
p
(1.ª) (2.ª) (3.ª) – (2.ª)10 0 2 1 0 3 2 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 – –
f
p
(1.ª) – 2 · (2.ª) (2.ª) (3.ª) 10 0 0 1 0 1 2 1 1 0 0 2 1 1 0 0 1 – – – –
f
p
(1.ª) – (3.ª) (2.ª) + 2 · (3.ª) (3.ª) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 2 1 – – – – –
f
p
(1.ª) (2.ª) (3.ª)/(–1)10 8 A
0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 2 1 1 0 0 1 1 1 1 2 1 – – – – – – – – 1 – =
f
p
f
p
Z = 10 0 1 1 1 1 2 1 4 3 2 5 6 2 2 3 1 4 3 2 5 7 1 1 4 0 1 0 0 1 1 1 1 2 1 8 6 4 10 13 3 1 7 1 2 2 2 6 7 10 7 5 6 – – – – – – – – – – – – –– + = =
5
Complementos teóricos para el estudio de matrices
Página 461 Considera u(7, 4, –2), v (5, 0, 6), w (4, 6, –3), a = 8, b = –5, elementos de
Á
3 y deÁ
.Comprueba las ocho propiedades que se enumeran arriba.
• Asociativa: ( u + v) + w = u + ( v + w) ( u + v) + w = (12, 4, 4) + w = (16, 10, 1) u + ( v + w) = u + (9, 6, 3) = (16, 10, 1)
• Conmutativa: u + v = v + u u + v = (12, 4, 4) = v + u • Vector nulo: v 0 v+ =
v 0+ = (5, 0, 6) + (0, 0, 0) = (5, 0, 6) = v
• Vector opuesto: v + (– v) = 0
v + (– v) = (5, 0, 6) + (–5, 0, – 6) = (0, 0, 0) • Asociativa: (a · b) · v = a · (b · v)
(a · b) · v = (8 · (–5)) · (5, 0, 6) = – 40 · (5, 0, 6) = (–200, 0, –240) a · (b · v) = 8 · [–5 · (5, 0, 6)] = 8 · (–25, 0, –30) = (–200, 0, –240)
• Distributiva I: (a + b) · v = a · v + b · v (a + b) · v = 3 · (5, 0, 6) = (15, 0, 18)
a · v + b · v = 8 · (5, 0, 6) – 5 · (5, 0, 6) = (40, 0, 48) – (25, 0, 30) = (15, 0, 18) • Distributiva II: a · ( u + v) = a · u + a · v
a · ( u + v) = 8 · (12, 4, 4) = (96, 32, 32)
a · u + a · v = 8 · (7, 4, –2) + 8 · (5, 0, 6) = (56, 32, –16) + (40, 0, 48) = (96, 32, 32) • Producto por 1: 1 · v = v
1 · v = 1 · (5, 0, 6) = (5, 0, 6) = v
Página 48
Comprueba si los siguientes conjuntos de n-uplas son L.I. o L. D.
2 (3, 0, 0, 0), (0, 2, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (3, 2, 1, 4)
Aplicamos la propiedad fundamental:
x (3, 0, 0, 0) + y (0, 2, 0, 0) + z (0, 0, 1, 0) + t (3, 2, 1, 4) = (0, 0, 0, 0)
Esta igualdad da lugar al siguiente sistema de ecuaciones:
x t
y t
z t
t
3 3 0
2 2 0
0 4 0
2
+ =
+ =
+ = =
4
sus soluciones son: x = 0, y = 0, z = 0, t = 03 (3, 0, 0, 0), (0, 2, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (3, 2, 1, 0)
Aplicamos la propiedad fundamental:
x (3, 0, 0, 0) + y (0, 2, 0, 0) + z (0, 0, 1, 0) + t (3, 2, 1, 0) = (0, 0, 0, 0)
Esta igualdad da lugar al siguiente sistema de ecuaciones:
x t
y t
z t
3 3 0
2 2 0
0
2
+ =
+ =
+ =
4
sus soluciones son: x = –λ, y = –λ, z = λ, t = λ
Como hay soluciones distintas de la solución trivial, los vectores son L.D.
4 (2, – 4, 7), (1, 0, 2), (0, 1, 2)
Aplicamos la propiedad fundamental:
x (2, – 4, 7) + y (1, 0, 2) + z (0, 1, 2) = (0, 0, 0)
Operando, llegamos a:
(2x + y, – 4x + z, 7x + 2y + 2z) = (0, 0, 0) Esta igualdad da lugar al sistema:
x y
x z
x y z
2 0
4 0
7 2 2 0
– ++ ==
+ + =
4
Este sistema tiene como solución única x = 0, y = 0, z = 0. Por tanto, los vectores son linealmente independientes.
5 (1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 0)
Explica por qué si en un conjunto de vectores está el vector cero, entonces son L.D.
• Aplicamos la propiedad fundamental:
x (1, 0, 0) + y (1, 1, 0) + z (0, 0, 0) = (0, 0, 0)
Si hacemos x = 0, y = 0, z puede tomar cualquier valor, por tanto, los vectores son linealmente
de-pendientes.
• Si en un conjunto de vectores u1, u2, …, un está el vector cero, podemos conseguir una combina-ción lineal de ellos:
x1u1 = x2u2 + … + xn – 1un – 1 + xn0 = (0, 0, 0, …, 0)
6
Rango de una matriz
Página 501 Calcula el rango de las siguientes matrices:
A =
f
1 1 2 4 3 2 1 2 0 – –p
B =f
1 2 1 3 1 10 1 5 8 – – –p
C =
f
1 1 2 2 3 1 0 1 5 3 4 1 – – – –p
D =
f
1 0 1 0 0 2 1 8 2 1 3 7 1 1 2 9 1 2 0 4 – – –p
A = 11 2 4 3 2 1 2 0 – –
f
p
(1.ª) (2.ª) + (1.ª) (3.ª) – 2 · (1.ª)10 0 4 7 6 1 1 2 – –
f
p
(1.ª) (2.ª) (3.ª) – 2 · (2.ª)10 0 4 7 20 1 1 0 – –
f
p
→ran (A ) = 3B = 1 2 1 3 1 10 1 5 8 – – –
f
p
(1.ª) (2.ª) – 2 · (1.ª) (3.ª) – (1.ª)1 0 0 3 7 7 1 7 7 – – –
f
p
(1.ª) (2.ª) (3.ª) + (2.ª)1 0 0 3 7 0 1 7 0 – –
f
p
→ ran (B ) = 2C = 11 2 2 3 1 0 1 5 3 4 1 – – – –
f
p
(1.ª) (2.ª) + (1.ª) (3.ª) – 2 · (1.ª)10 0 2 1 5 0 1 5 3 1 5 – –
f
p
(1.ª) (2.ª) (3.ª) – 5 · (2.ª)10 0 2 1 0 0 1 0 3 1 0 – –
f
p
→ ran (C ) = 2D = 1 0 1 0 0 2 1 8 2 1 3 7 1 1 2 9 1 2 0 4 – – –
f
p
(1.ª) (2.ª) (3.ª) + (1.ª) (4.ª) 1 0 0 0 0 2 1 8 2 1 5 7 1 1 3 9 1 2 1 4 – – –f
p
(1.ª) (2.ª)–2 · (3.ª) + (2.ª) (4.ª) – 4 · (2.ª)
1 0 0 0 0 2 0 0 2 1 11 11 1 1 5 5 1 2 4 4 – – – – –
f
p
(1.ª) (2.ª) (3.ª) (4.ª) + (3.ª)1 0 0 0 0 2 0 0 2 1 11 0 1 1 5 0 1 2 4 0 – – – –
E
jercicios y problemas resueltos
Página 511.
Matrices traspuestas
Hazlo tú. Comprueba que: (A + B)t C t = At · C t + B t · C t
A = e31 –02 11o, B = e–42 10 –01o, C = 2
1 0
1 0 3 –
f
p
(A + B )t = 1
3 02 11 42 10 01 51 12 01 5
2 0
1 1 1 –
– – – –
t t
+ = =
e o e o e o
f
p
>
H
C t = 2
1 –01 03
e o
(A + B )t C t = 52 ·
0 1 1 1
2 1 01 03
11 3 1
5 2 0
3 3 3
– – –
– =
f
p
e of
p
A t · C t = 12 ·
1 3 0 1
2 1
1 0
0 3
5 4 3
1 2
1 9 0 3
– – – –
– =
f
p
e of
p
B t · C t = 40 ·
1 2 1 0
2 1 01 03
6 1 2
4 0 1
6 3 0 –
– –
–
– – =
f
p
e of
p
A t · C t + B t · C t = 54
3 1 2
1 9 0 3
6 1 2
4 0 1
6 3 0
11 3 1
5 2 0
3 3 3 –
–
– –
– – –
–
+ =
f
p
f
p
f
p
Hemos obtenido el mismo resultado, luego la igualdad es cierta.
2.
Cálculo de los elementos de una matriz
Hazlo tú. Dada la matriz X = ea0 –1ao, calcula a para que X 2 – X = 12
0 1 20 –
e o.
X 2 – X = a a
a
a a a
a a
0 1
0 1
0 0
0 1
– – – – –
2 2
2
=
e o e o f p e o = fa a( 0–1) a a(–1+1)p
( )
( )
a a
a a
1
0– –1+1
f p = e120 –201o 8 a aa a(( + =– =1 201 12)) 4 8 a=4
3.
Operaciones con matrices
Hazlo tú. Halla los valores de a para los cuales X = ea0 02o verifica la ecuación X 2 – 3X + 2I = 0.
X 2 = a a
0 0
2 0 04
2 2
=
e o f p
X 2 – 3X + 2I = a a a a
0 0
4 3 0
0 2 2
1 0
0
1 30 2
0 0
– –
2 2
+ = +
f p e o e o f p
,
8 8
a 3a 2 a a a a
0 00
0
0 00 3 2 0 2 1
– –
2
2
1 2
+ = + = = =
Página 52
5.
Matrices conmutables
Hazlo tú. Dada la siguiente matriz:
A = e10 21o
obtén todas las matrices B que conmutan con ella.
La matriz B = eac dbo ha de verificar A · B = B · A.
A · B = e10 21o·eac dbo=ea+c2c b+d2do
B · A = eac bdo·e10 12o=eac 22c da b++ o
8
a c
c b d d ac a bc d
a c a
b d a b
c c
d c d
2 2 2
2
2
2 2
2
+ + = +
+
+ =
+ = +
= = +
e o e o
4
De la 1.ª ecuación y de la 4.ª ecuación obtenemos c = 0. De la 2.ª ecuación obtenemos a = d.
Por tanto, B = ea b0 ao, con a, b ∈
Á
.Página 53
6.
Matriz inversa de sí misma
Hazlo tú. Prueba que si A 2 = A + I, entonces A es invertible (invertible es sinónimo de regular).
A 2 = A + I
A 2 – A = I → A (A – I ) = I → A – I es la inversa de A, luego A es invertible.
7.
Ecuación con matrices
Hazlo tú. Halla la matriz X que cumple AXA = 2BA siendo A = e23 12o y B = e12 03o.
Sea X = eac dbo.
En la ecuación AXA = 2BA multiplicamos en los dos miembros por A –1 a la izquierda y a la derecha: AXA = 2BA → X = A –1 · 2BA · A –1 → X = 2A –1 BI = 2A –1 B
A –1 = 2
3 12 –23 –21
1 –
=
e o e o
Página 54
9.
Despejar una matriz multiplicando por las inversas de otras dos
Hazlo tú. Halla la matriz X que verifica AXB = A + B siendo A = e10 –11o y B = e–41 10o.
Multiplicamos en los dos miembros de la ecuación AXB = A + B por A –1 a la izquierda y por B –1 a la
derecha:
AXB = A + B → X = A –1 (A + B )B –1 = (A –1 A + A –1 B )B –1 = (I + A –1B )B –1 = B –1 + A –1BB –1 → X = B –1 + A –1
A –1 = 1
0 –11 01 11
1 –
=
e o e o; B –1 = 4
1 10 01 41
– –
1 –
=
e o e o; X = e10 –41o+e10 11o=e11 50o
10.
Ecuación matricial: sacar factor común
Hazlo tú. Dadas las matrices A = e10 –11o B = e–31 11o C = e11 10o, halla la matriz X que verifica:
AX – A = B – C AX – A = B – C → A (X – I ) = B – C
Multiplicamos en los dos miembros por A –1 a la izquierda: X – I = A –1 (B – C ) → X = I + A –1 (B – C )
A –1 = 1
0 1 1
1 0
1 1 – –1
=
e o e o B – C = e–31 11o–e11 01o=e–22 10o
X = e10 01o+
>
e10 11o·e–22 01oH
=e10 01o+e–02 11o=e–12 12oPágina 55
11.
Potencia de una matriz
Hazlo tú. Dada la matriz A = e11 11o, calcula A n.
A = e11 11o; A 2 = 1
1 11
e o · e11 11o = e22 22o; A 3 = A 2 · A = 2
2 22
e o · e11 11o = e44 44o;
A 4 = A 3 · A = 4
4 4 4
e o · e11 11o = e88 88o; A n = 2
2 2 2
n n
n n
1 1
1 1 – –
– –
f p
12.
Rango de una matriz
Hazlo tú. Estudia el rango de la siguiente matriz:
B =
f
m m1
1 1 1
1 2 2 0
+
p
según los distintos valores de m.
B = m m
1
1 1 1 1
2 2 0 +
f
p
(1.ª)(2.ª) – m · (1.ª) (3.ª) – (1.ª)m
m
m
1 0 0
1
1 2 22
2
– –
–
f
p
(1.ª)(2.ª)/(1 – m) (3.ª)
m
1 0 0
1 1 22
2 –
f
p
(1.ª) (2.ª) (3.ª) – m · (2.ª)
m
1 0 0
1 1 0
2 2 2 2 – –
f
p
E
jercicios y problemas guiados
Página 56
1.
Matriz inversa igual a traspuesta
Dada la matriz A = a b 0
0 1 0
0 0 1
f
p
, calcular los valores de a y b para que la matriz inversa de A coin-cida con su traspuesta.A –1 = A t → AA –1 = AA t → I = AA t
A = ab
0 0 1 0
0 0 1
f
p
→ A t = a b00 1 0
0 0 1
f
p
A · A t = ab
0 0 1 0
0 0 1
f
p
·a b
0 0 10
0 0 1
f
p
=a ab
ab b
0 0 1
0 0 1
2 2+
f
p
± ,
8
a ab
ab b
a ab
b a b
0 0 1
0 0 1
1 0 1 1 1
0 0
0 1 0
0 0
1 1 0
2 2
2
2
+
= = + =
= = =
f
p
f
p
4
2.
Ecuación con matrices
Calcular x, y, z tales que:
x y z y
x z
1 1 5
0 0 5
· =
e o f p e o
· 8
x zy y xz x yzy xx yzz
y x yz
x z
1 1 1 5
0 05
1 5 0
5
2
2 2
2
2 2
= +
+ +
+ =
+ =
+ =
+ =
e o f p
f
p
e o4
→ y = ±2• Si y = 2:
x z
x z
2 0 5
2++ =2= 3 → x = 2, z = –1; x = –2, z = 1
• Si y = –2:
x z
x2–+ =2 0z2=53 → x = –2, z = –1; x = 2, z = 1
Soluciones: x1 = 2, y1 = 2, z1 = –1
x2 = –2, y2 = 2, z2 = 1
x3 = –2, y3 = –2, z3 = –1
3.
Ecuación matricial
Determinar la matriz X que verifique AXA – B = 0, siendo:
A = e– –32 11o, B = e51 –32o y 0 la matriz nula de orden 2.
AXA – B = 0 → AXA = B → X = A –1 BA –1
Hallamos la inversa de A: 3
2 11 10 01 – –
e o (1.ª) 3 · (2.ª) + 2 · (1.ª) e30 –11 12 30o (1.ª) + (2.ª)(2.ª)
3 0
0 1
3 2
3 3 –
e o (1.ª)/3–(2.ª) e10 01 – –12 13o → A –1 = 1
2 1
3 – –
e o
X = A –1 BA –1 = 1 · ·
2 13 51 32 12 13 43 32
– – – – – = –
e o e o e o e o
4.
Rango de una matriz
Estudiar el rango de la matriz M según los valores del parámetro t.
M =
f
t t 11 1
2
8 3 3 3 3
1 2 2 – –
p
M = t
t
1 1 1
2
8 3 3 3 3
1 2 2
– –
f
p
(1.ª) (2.ª) – (1.ª) (3.ª) – (1.ª)
t
t
1 0 0
2 2 6 3
3 0 0
1 1 3 –
– –
f
p
(1.ª) (2.ª) (3.ª) + 3 · (2.ª)
t
1 0 0
2 2 0
3 0 0
1 1 0 –
f
p
La tercera fila es L.D. de las otras dos, luego el rango no es 3.
Las dos primeras filas son L.I., independientemente del valor de t, luego ran (M ) = 2 para cualquier valor de t.
5.
Ecuación con infinitas soluciones
Dadas las matrices A = e02 –01o y B = e68 ––79o, hallar una matriz X tal que XAX –1 = B.
XAX –1 = B → XA = BX
Llamamos X = eac dbo.
·
·
XA ac db
BX
a c
b d a
c b d
a c
a c
b d
b d
8 6
9 7
2 0
0 1
2 2
8 9
6 7
8 9
6 7
– –
–
– – – –
– – =
=
=
= f
f e
f
f
f p
p o
p
p
p
4
Igualando obtenemos un sistema de ecuaciones.
8
8 8
a a c
x a c
b b d
d b d
a a c
c a c c a
b b d
d b d b d
2 8 9
2 6 7
8 9
6 7
2 8 9
2 6 7 32
8 9
6 7
– –
– –
– –
– –
– –
– –
= = = =
=
= =
=
= =
4
33
Solución: X = ( / )a a b b
2 3
f p
E
jercicios y problemas propuestos
Página 57P
ara practicar
Operaciones con matrices. Matriz inversa
1 Efectúa, si es posible, las siguientes operaciones:
A · B B · D 3B – 2C B · C D · D t
siendo: A =
f
2 0 11 3 0 –
p
B = e32 –04 – –12 11o C = e03 –11 –12 20o D =f
53 1 2 –
p
A(3 × 2) · B(2 × 4) = ·
2 0 1
1 3 0
3
2 04 12 11 4 6 3
8 0
4 4
6 1
3 3 1
– –
– –
–
– – –
=
f
p
e of
p
B(2 × 4) · D(4 × 1) = 32 04 12 11 ·
5 3 1 2
30 6 –
– – – =
e o
f
p
e o3B – 2C = 3e23 –04 – – –12 11o 2e03 –11 –12 20o = e96 –012 – – –36 33o e06 –22 –24 04o=e09 ––102 –12 ––31o
B(2 × 4) · C(2 × 4) → No se pueden multiplicar.
D(4 × 1) · D t(1 × 4) = ·
5 3 1 2
5 3 1 2 25
15 5 10
15 9
3 6
5 3 1 2
10 6 2 4 –
– –
–
– –
– – =
f
p
` jf
p
2 Dadas las siguientes matrices:
A = e23 –21o B = e04 –12o
calcula:
a) A · B b) B · A c) B –1 d) (A + B )(A – B )
e) A 2 – B 2 f ) (A + B )2 g) A 2 + B 2 + 2AB
a) A · B = e23 12o·e04 12o=e84 –01o
b) B · A = e04 –12o·e23 21o=e23 02o
c) e04 –12 10 01o (1.ª) + (1/2) · (2.ª)(2.ª) e24 –02 1 1 20 1/ o (1.ª)(2.ª) – 2 · (1.ª)
/ 2
0 – –02 12 1 20
e o 1/2 · (1.ª)(–1/2) · (2.ª) e01 01 1 21/ 1 40/ o
Por tanto, B –1 = 1 2/ /
1 1 4
d) (A + B )(A – B ) =
>
e23 12o+e04 12oH
·>
e23 21o–e04 –12oH
=e27 20o·e–21 04o=e142 08oe) A 2 – B 2 = 2
3 1 2
0 4
1 2
7 12
4 7
4 8
2 8
3 20
6 1
– – – – – –
2 2
= =
e o e o e o e o e o
f ) (A + B )2 = 2
3 1 2
0 4
1 2
2 7
2 0
18 14
4 14 –
2 2
+ = =
e o e o e o e o
>
H
g) A 2 + B 2 + 2AB = 7 ·
12 74 + –48 –82 +2 23 12 04 –12 = 114 15 22 + 48 –01 = 2019 132
e o e o e o e o e o e o e o
3 Dada la matriz cuadrada A =
f
3 3 20 1 0
8 6 5 –
– –
p
, comprueba que (A + I )2 = 0 y expresa A 2 como
combinación lineal de A e I.
A + I = 33 2
0 1 0
8 6 5
1 0 0
0 1 0
0 0 1
4 3 2
0 0 0
8 6 4 –
–
– – –
+ =
f
p
f
p
f
p
; (A + I )2 = 43 ·2 0 0 0
8 6 4
4 3 2
0 0 0
8 6 4
0 0 0
0 0 0
0 0 0
– – – –
=
f
p
f
p
f
p
Expresamos A 2 como combinación lineal de A e I :
(A + I )2 = 0 → (A + I ) · (A + I ) = A 2 + A + A + I = A 2 + 2A + I = 0 → A 2 = –2A – I
4 Dada la matriz A = e10 –21o, averigua cuál de las siguientes matrices es su inversa:
M = e3 21 2// 3 21 2// o N = e10 1 21 2// o
A · M = e10 –21o·e3 21 2// 1 23 2// o=e11 11o. M no es inversa de A.
A · N = e10 –21o·e01 1 21 2// o=e10 10o. N es la inversa de A.
5 Halla las matrices inversas de A = e–11 20o, B = e–21 04o y C =
f
1 0 00 1 1
1 0 1
p
.
| A | = 2 → A –1
= / /1 20 1 1 2
–
e o; | B | = – 4 → B –1
= / /1 21 0 1 4 –
e o; | C | = 1 → C –1 = 10
0 1 1 1
1 0 1 –
–
f
p
6 a) Dada la matriz A =
f
0 0 02 0 0
1 1 0 –
p
, prueba que A 3 es la matriz nula.b) Demuestra después que la matriz I + A + A 2 es la matriz inversa de I – A.
a) A 2 = 00
0 0 0 0
2 0 0
f
p
; A 3 = A 2 · A = 000 0 0 0
0 0 0
f
p
b) Veamos que I + A + A 2 es la inversa de I – A :
(I + A + A 2) (I – A ) = I – A + A – A 2 + A 2 – A 3 = I – A 3 = I – 0 = I
7 a) Comprueba que A 2 = 2A – I, siendo A =
f
524 4 1 4
2 1 1 –
– –
–
p
e I la matriz unidad de orden 3.
b) Utiliza la igualdad anterior para calcular A 4.
a)
·
A A A
A I
9 4 8
8 3 8
4 2 3
2
10 4
8 8 2 8
4 2 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
9 4 8
8 3 8
4 2 3 –
– –
–
– –
– –
– – –
– –
–
2= =
=
f
=f
f
f
p
p
p
p
4
A 2 = 2A – I
b) Calculamos A 4:
A 4 = (A 2)2 = (2A – I )2 = (2A – I )(2A – I ) = 4A 2 – 2A – 2A + I 2 =
= 4(2A – I ) – 4A + I = 8A – 4I – 4A + I = 4A – 3I =
= 4 52 4
4 1 4
2 1 1
3 10 0
0 1 0
0 0 1
20 8 16
16 4 16
8 4 4
3 0 0
0 3 0
0 0 3
17 8 16
16 7 16
8 4 7 –
– –
– –
– –
– –
–
– –
– –
= =
f
p
f
p
f
p
f
p
f
p
8 Dada la siguiente matriz: A = 0 1 1
3 4 3
4 5 4 –
– –
f
p
, prueba que se verifica A 3 + I = 0 y utiliza estaigualdad para obtener A 10.
A 2 = 01
1 3
4 3
4 5 4
1 1
1 0 4 3
1 4 3
– – –
–
– – –
2
=
f
p
f
p
A 3 = A 2 · A = 11 ·
1 0 4 3
1 4 3
0 1 1
3 4 3
4 5 4
1 0 0
0 1 0
0 0 1 –
– – – –
– – – –
– =
f
p
f
p
f
p
A 3 + I = 01
0 0
1 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0 –
– –
+ =
f
p
f
p
f
p
→ A 3 = –IPor tanto:
A 4 = –I · A = –A A 5 = –A · A = –A 2 A 6 = –A 2 · A = –A 3 = I A 7 = A
Página 58
Rango de una matriz
9 Estudia el rango de las matrices siguientes:
A = e–12 –42 –36 48o B = e–11 30 00o C =
f
1 2 12 2 4 24 3 6 36 – – – –p
D =
f
1 2 3 2 4 6 3 0 0p
E =
f
1 0 0 0 2 1 3 0 0 0 3 1p
F =
f
0 1 0 0 0 1 1 0 0p
A = e–12 –42 –36 48o (2.ª) + 2 · (1.ª)(1.ª) e10 –02 30 164 o → ran (A ) = 2
B = e–11 30 00o → ran (B ) = 2
C = 12 12 2 4 24 3 6 36 – – – –
f
p
(1.ª)(2.ª) + 2 · (1.ª) (3.ª) – 12 · (1.ª)10 0 2 0 0 3 0 0 –
f
p
→ ran (C ) = 1D = 1 2 3 2 4 6 3 0 0
f
p
(1.ª) (2.ª) – 2 · (1.ª) (3.ª) – 3 · (1.ª)1 0 0 2 0 0 3 6 9 – –
f
p
(1.ª) (2.ª)6 · (3.ª) – 9 · (2.ª)
1 0 0 2 0 0 3 6 0 –
f
p
→ ran (D ) = 2E = 1 0 0 0 2 1 3 0 0 0 3 1
f
p
(1.ª) (2.ª)–2 · (3.ª) + (2.ª)
1 0 0 0 2 0 3 0 0 0 3 1
f
p
→ ran (E ) = 3F = 01 0 0 0 1 1 0 0
f
p
→ ran (F ) = 310 Estudia el rango de estas matrices y di, en cada caso, el número de columnas que son L.I.:
A =
f
1 2 1 1 3 1 1 5 6 2 11 29 –p
B =
f
2 4 6 1 2 3 3 1 2–
p
C =f
1 1 1 3 3 5 1 7 1 3 1 5 1 3 1 5 – – –p
D =f
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 – – – – –p
A = 12 1 1 3 1 1 5 6 2 11 29 –
f
p
(1.ª) (2.ª) – 2 · (1.ª) (3.ª) – (1.ª)10 0 1 1 2 1 3 5 2 7 27 –
f
p
(1.ª) (2.ª) (3.ª) + 2 · (2.ª)10 0 1 1 0 1 3 11 2 7 41
f
p
→ ran (A ) = 3Hay 3 columnas linealmente independientes en A.
B = 2 4 6 1 2 3 3 1 2 –
f
p
(1.ª) (2.ª) – 2 · (1.ª) (3.ª) – 3 · (1.ª)2 0 0 1 0 0 3 7 7 – –
f
p
(1.ª) (2.ª) (3.ª) – (2.ª)2 0 0 1 0 0 3 7 0 –
f
p
→ ran (B ) = 2C = 1 1 1 3 3 5 1 7 1 3 1 5 1 3 1 5 – – –
f
p
(3.ª)(2.ª) (1.ª) (4.ª) 1 1 1 3 1 5 3 7 1 3 1 5 1 3 1 5 – – –f
p
(1.ª) (2.ª) – (1.ª) (3.ª) – (1.ª) (4.ª) – 3 · (1.ª)1 0 0 0 1 4 4 4 1 2 2 2 1 2 2 2 – – –
f
p
(1.ª)(2.ª) (3.ª) + (2.ª) (4.ª) – (2.ª)1 0 0 0 1 4 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0
f
p
→ ran (C ) = 2Hay dos columnas linealmente independientes en C.
D = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 – – – – –
f
p
(1.ª) (2.ª) – (1.ª) (3.ª) – (1.ª) (4.ª) – (1.ª)1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 2 0 1 2 2 2 – – – – –
f
p
→ ran (D ) = 4Las cuatro columnas de D son linealmente independientes.
11 Estudia el rango de las siguientes matrices según los valores del parámetro m:
A =
f
m 1 2 2 2 1 1 2 1 –
–
p
B =f
mm 1 2 4 1 4 10 1 – –
2
p
C =m m m m 2 1 1 – + e o
D =
f
m m 1 0 2 0 0 1 0 1 – –2
p
E = m m2 1
1 –1 –
e o F =
f
m m m 2 0 0 0 1 0 1 – – –
p
• A →
m 1 2 2 2 1 1 2 1 – –
f
p
(1.ª)(2.ª) – 2 · (1.ª) (3.ª) – 2 · (1.ª)m 1 0 0 2 5 5 2 5 4 – – –
f
p
(1.ª) (2.ª) (3.ª) – (2.ª)m 1 0 0 2 5 0 2 5 1 – – +
f
p
Si m ≠ –1 → ran (A) = 3 Si m = –1 → ran (A) = 2
• B → m
m 1 2 4 1 4 10 1 – – 2
f
p
(1.ª) (2.ª) – 2 · (1.ª) (3.ª) – 4 · (1.ª)m m 1 0 0 1 6 6 1 2 4 – – – – 2
f
p
(1.ª) (2.ª) (3.ª) + (2.ª)m m m 1 0 0 1 6 0 1 2 6 – – – – – 2
f
p
m 2 – m – 6 = 0 → m = 3, m = –2
Si m ≠ 3 y m ≠ –2 → ran (B ) = 3
Si m = 3, la matriz transformada es 1 0 0 1 6 0 1 5 0 – –
f
p
→ ran (B ) = 2Si m = –2, la matriz transformada es 1 0 0 1 6 0 1 0 0 –
• C = e2mm mm–+11o (1.ª) (2.ª) – 2 · (1.ª) em m0 – –m+13o
Si m = 0, obtenemos e00 –13o → ran (C ) = 1
Si m = –1, obtenemos e–01 –02o → ran (C ) = 2
Si m = –3, obtenemos e– –03 02o → ran (C ) = 1
En cualquier otro caso, ran (C ) = 2.
Es decir: si m = 0 o m = –3, ran (C ) = 1 y si m ≠ 0 o m ≠ –3, ran (C ) = 2.
• D = m
m
1 0 2
0
0 1 0
1 –
–
2
f
p
(1.ª)(2.ª) (3.ª) + 2 · (1.ª)m
m
1 0 0
0
0 1 0
1 –
2+
f
p
La tercera fila nunca es una fila de ceros. Si m ≠ 0 → ran (D ) = 3
Si m = 0 → ran (D ) = 2
• E = e21 m m1 ––1o 2 · (2.ª) – (1.ª)(1.ª) e20 2m1–1 –2m–1+1o
Si m ≠ 21 → ran (E ) = 2
Si m = 21 → ran (E ) = 1
• F = m m
m
2 0 0
0
1 0
1 –
– –
f
p
(1.ª)(2.ª)(3.ª) + (1/m) · (2.ª)
Si m ≠ 0 → m m
m m
2 0 0
0
0 0
1 1 –
– –
f
p
Miramos las filas. Si m = 2 → ran (F ) = 2
m – m1 = 0 → m = –1, m = 1
Si m = 1 → ran (F ) = 2 Si m = –1 → ran (F ) = 2
Si m = 0, obtenemos F = 2 0 0
0 0 1
0 1 0
– –
f
p
→ ran (F ) = 3Ecuaciones con matrices
12 Calcula X tal que X – B 2 = A · B, siendo:
A =
f
1 1 00 1 0
1 0 2
p
B =
f
1 1 00 1 0
1 1 1 –
p
X = A · B + B 2
A B
B
X
1 2 0
0 1 0
0 0 2 1 2 0
0 1 0
2 1 1
2 4 0
0 2 0
2 1 3 ·
–
–
2
=
=
=
f
f
f
p
p
p
4
13 Resuelve el siguiente sistema dado en forma matricial:
x y y
x
1 3
1 2
1 1
3 2 –
– =
e o oe f p oe
8 8
x
y y x x yx y y x xx yy y x x yx y
1
3 –21 = 1 –1 32 3 –+2 = 33 2+–2 3 –+ =2 3= +3 2–2 3 –+ ==––32
e o oe f p oe e o f p 4 4
Sumando:
4x = –5 → x = – 45 → y = –3 – x = –3 + 45 =–47
Solución: x = – ; y = 45 –47
14 Halla dos matrices A y B tales que:
2A + 3B =
f
8 18
8 4 11
3 7
6 13
–
p
–A + 5B =f
9 179 2 1 5
16 10 13 –
–
p
2A + 3B = 188 8
4 11
3 7
6 13 –
f
p
–2A + 10B = 18 34 18
4 2 10
32 20 26 –
–
f
p
Multiplicamos por 2 la 2.ª ecuación.13B = 2652 26
0 13 13
39 26 39 –
f
p
Sumamos miembro a miembro.B =
2 4 2
0 1 1
3 2 3 –
f
p
Multiplicamos por 131 .Despejamos A en la 2.ª ecuación:
A = 5B – 179 9
2 1 5
16 10 13
10 20 10
0 5 5
15 10 15
9 17
9 2 1 5
16 10 13
1 3 1
2 4 0
1 0 2 –
– = – – – – = –
f
p
f
p
f
p
f
p
Solución: A =
1 3 1
2 4 0
1 0 2 –
f
p
, B =2 4 2
0 1 1
3 2 3 –