2 Escribe una matriz X tal que X

46  15  Descargar (0)

Texto completo

(1)

R

esuelve

Página 33

Vuelos internacionales

Aquí tienes ahora, representados mediante flechas, los vuelos que permiten viajar el martes desde

el país B anterior hasta otro país C:

B C

C1

C2 B1

B2 B3 B4

Representa, mediante una tabla similar a la anteriormente descrita, la información recogida en el diagrama de vuelos entre los países B y C.

B1 C2

B1 3 2

B2 1 0

B3 1 0

(2)

1

Nomenclatura. Definiciones

Página 35

1 Escribe las matrices traspuestas de:

A =

f

3 2 7

1 5 6

p

B = e24 51 70o C =

f

1 0 6

3 2 1

5 4 0

1 1 3

p

D =

f

7 2 0 6

4 1 1 3

1 0 7 2

p

E =

f

1 7 4

7 1 0

4 0 3

p

F = 5 4 6 1` j

A t = 3

1 25 76

e o; B t = 25

7 4 1 0

f p

; C t =

1 3 5 1

0 2 4 1

6 1 0 3 –

f

p

;

D t = 74

1 2 1 0

0 1 7

6 3 2

f

p

; E t = 17

4 7

1 0

4 0 3 –

f

p

; F t =

5 4 6 1

f p

2 Escribe una matriz X tal que X t = X; esto es, que sea simétrica.

Por ejemplo, X = 12 1

2 3 0

1 0 4 –

f

p

.

3 Escribe una matriz que describa lo siguiente:

2 0 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 2 1 0 1 1

0 0 0 0 2 0

(3)

2

Operaciones con matrices

Página 36

1 Dadas las siguientes matrices:

A = e14 01 23o B = e–14 01 13o C = e78 110 01o D = e63 12 54o

calcula E = 2A – 3B + C – 2D.

E = e82 02 –46o–e123 30 39o+e78 11001o–e–126 24 108 o=e1816 151 2318o

Página 39

2 Efectúa todos los posibles productos entre las siguientes matrices:

A = e12 25 31o B =

f

7

1 0 3

0 1 1 4

p

C =

f

2 6 2

7 3 5

1 0 1

5 0 0

– –

p

D =

f

1 0 2

1 5 3

1 2 3

p

A · C = e248 – – ––24 41 510o; A · D = e70 183054o; B · A =

7 3 2 5

14 3 5 26

21 2 1 13 –

– –

f

p

C · B = 2239 9

28 3

4 – –

f

p

; D · C = 266

28 1 5 38

2 2 1

5 0 10 – –

f

p

; D · D = 34

4 3 31 4

4 4 17 –

– –

f

p

3 Intenta conseguir una matriz I3 de dimensión 3 × 3 que, multiplicada por cualquier matriz cua-drada A (3 × 3), la deje igual.

Es decir: A · I3 = I3 · A = A

La matriz I3 que verifica la igualdad anterior se llama matriz unidad de orden 3.

Una vez que sepas cuál es su fisonomía, sabrás obtener la matriz unidad de cualquier orden.

I3 = 10 0

0 1 0

0 0 1

(4)

3

Propiedades de las operaciones con matrices

Página 40

1 Comprueba las propiedades 2 y 3 del producto de números por matrices, tomando:

a = 3, b = 6 A = e32 53 01o B = e74 62 18o

propiedad2:

A

A A

9 2718 4527 09

3 6 96 159 03 1812 3018 06 2718 4527 09 –

– –

– –

– – =

+ = + =

f

f f f

p

p p p

4

9A = 3A + 6A

propiedad 3:

(A B)

A B

3 3 106 33 08

3 3 96 159 03 30 18

9 9

0 24 21 12

6 18

3 24

30 18

9 9

0 24 –

– –

+ =

+ =

=

+ =

f f

f f

f p

p p

p p

4

3(A + B ) = 3A + 3B

Página 41

2 Comprueba las propiedades distributivas para las siguientes matrices:

A =

f

1 0 1

4 5 6

p

B = e31 50 69 72o C = e40 11 65 05o D =

f

1 2 5 3

p

( )

A B C A

A B A C

3 3

6 1

12 14

7 3

15 15 21

2 5 0

68 70 96

19 15 25 11

15 17

5 0 5

42 45 60

1 10

5 4 0 4

3 5 5

26 25 36

20 25 30

15 15 21

2 5 0

68 70 96

19 15 25

· ·

· ·

– –

– – –

+ = =

+ =

f

+ =

f

f

f

f

p

p

p

p

p

4

A · (B + C ) = A · B + A · C

( )·

· ·

·

B C D

B D C D

D

3 3

6 1

12 14

7 3 0

48

24 60 24

12

24 60 –

– – –

– –

+ =

+ =

=

+ =

f

e e e

e

o p

o o

o

4

(5)

4

Matrices cuadradas

Página 43

1 Calcula, utilizando el método de Gauss, la inversa de cada una de las siguientes matrices en el supuesto de que la tengan:

a) e10 11o b) e13 42o c) e– –12 24o

a) e10 11 10 01o (2.ª)(1.ª) – (2.ª) e10 01 1011o

Así, e01 11o–1=e1011o

b) e13 24 10 01o (1.ª)(2.ª) – 3 · (1.ª) e10 – –22 13 01o (1.ª) + (2.ª)(2.ª) e10 0123 11o (1.ª) – (2.ª)(–1/2) · (2.ª) e10 01 3 2/2 1 21/ o

Así, e13 24o–1=e3 2/2 1 21/ o

c) e– –12 24 10 01o (1.ª)(2.ª) + 2 · (1.ª) e10 20 12 01o

En la parte de la izquierda, la 2.ª fila está compuesta por ceros.

Por tanto, la matriz e– –12 24o no tiene inversa.

2 Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices o averigua que no la tiene:

a)

f

1 4 7

2 5 8

3 6 9

p

b)

f

1 0 1

2 1 2

3 2 4

p

c)

f

1 1 2

1 2 0

3 1 0

p

a) 14 7

2 5 8

3 6 9

1 0 0

0 1 0

0 0 1

f

p

(1.ª) (2.ª) – 4 · (1.ª) (3.ª) – 7 · (1.ª)

10 0

2 3

6 74

0 1 0

0 0 1 3

6 12

1 –

– –– ––

f

p

(1.ª) (2.ª) (3.ª) – 2 · (2.ª)

1 0 0

2 3 0

3 6 0

1 4 1

0 1 2

0 0 1 – – –

f

p

En la parte de la izquierda, la 3.ª fila está compuesta por ceros.

Por tanto, la matriz 1 4 7

2 5 8

3 6 9

f

p

no tiene inversa.

b) 10 0

2 1 2

3 2 4

1 0 0

0 1 0

0 0 1

f

p

(1.ª) (2.ª) (3.ª) – (1.ª)

10 0

2 1 0

3 2 1

1 0 1

0 1 0

0 0 1 –

f

p

(1.ª) – 3 · (3.ª) (2.ª) – 2 · (3.ª) (3.ª)

1 0 0

2 1 0

0 0 1

4 2 1

0 1 0

3 2 1 –

– –

f

p

(1.ª) – 2 · (2.ª) (2.ª) (3.ª)

10 0

0 1 0

0 0 1

0 2 1

2 1 0

1 2 1 –

– –

f

p

Así, 10 0

2 1 2

3 2 4

0 2 1

2 1 0

1 2 1 –

– –

1 –

=

(6)

c) 11 2 1 2 0 3 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

f

p

(1.ª) (2.ª) – (1.ª) (3.ª) – 2 · (1.ª)

10 0 1 1 2 3 2 6 1 1 2 0 1 0 0 0 1 – –– ––

f

p

(1.ª) (2.ª) (3.ª) + 2 · (2.ª)

1 0 0 1 1 0 3 2 10 1 1 4 0 1 2 0 0 1 – – ––

f

p

(1.ª)

–5 · (2.ª) + (3.ª) –(1/10) · (3.ª)

/ / / 1 0 0 1 5 0 3 0 1 1 1 2 5 0 3 1 5 0 1 1 10 – – – –

f

p

(1.ª) – 3 · (3.ª) –(1/5) · (2.ª) (3.ª) / / / / / / / / / 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 5 1 5 2 5 3 5 3 5 1 5 3 5 1 5 1 10 – – – – –

f

p

(1.ª) – (2.ª) (2.ª) (3.ª) / / / / / / / 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 5 2 5 0 3 5 1 5 2 5 1 5 1 10 – – – –

f

p

Así, /

/ // / / / 1 1 2 1 2 0 3 1 0 0 1 5 2 5 0 3 5 1 5 2 5 1 5 1 10 – – –– 1 – =

f

p

f

p

Página 45

3 Para las matrices A = e12 07o, B = e41 51o, C = e41 01o comprueba:

a) A · (B + C ) = (A · B) + (A · C ) b) (A + B) · C = (A · C ) + (B · C ) c) A · (B · C ) = (A · B) · C

a) ·( ) ·

· ·

A B C A

A B A C

3 5 5 0 3 41 5 10 1 26 5 3 4 15 0 7 3 41 5 10 – + = =

+ =f + =

f f f f p p p p p

4

A · (B + C ) = (A · B) + (A · C )

b) (A B C) C

A C B C

0 6 5 6 5 30 5 6 4 15 0 7 1 15 5 1 5 30 5 6 · · · · + = = + = + = f f f f f p p p

p p

4

(A + B) · C = (A · C ) + (B · C )

c) ( )

( )

A B C A

A B C C

1 15 5 1 1 107 5 3 1 26 5 3 1 107 5 3 · · · · – · + = =

=f =

f f f p p p p

4

A · (B · C ) = (A · B) · C

4 Sean A = e35 01o y B = e01 63o.

Encuentra X que cumpla: 3 · X – 2 · A = 5 · B.

(7)

5 Encuentra dos matrices, A y B, de dimensión 2 × 2 que cumplan:

2A + B = e12 40o A – B = e11 20o

A B

A B

2 12 40

1 1 20

– –

+ =

=e e o

o

4

Sumando: 3A = 0 3 60

e o → A = e01 20o

B = A – e–11 20o=e10 20o–e–11 02o=e01 00o

Solución: A = e01 20o, B=e10 00o

6 Encuentra dos matrices X e Y que verifiquen:

2X – 3Y = e14 52o X – Y = e31 06o

X Y

X Y

X Y

X Y

2 3 14 52

1 3

0 6

2 3 14 52

2 2 26 012

– –

– –

=

=

=

+ =

e

f f

e o

p p

o

4

4

Sumando: –Y = e– –32 510o → Y = e– –23 105o

X = e–31 06o+ =Y e–31 06o+e– –23 105o=e– –44 165o

Solución: X = e– –54 165o, Y =e– –23 105o

7 Averigua cómo ha de ser una matriz X que cumpla la siguiente condición:

X · e10 11o=e10 11o · X

X = cxz tym

X · e10 11o=e10 11o·e01 11o=czx x yz t++ m

·X · xz ty x zz y tt 1

0 1 1

1 0

1 1

= = + +

e o e o c m c m

x x z x y y t z z z t t

x t

z 0

= + + = + = + =

=

=

4

4

(8)

8 Efectúa las siguientes operaciones con las matrices dadas:

A = e10 23o B = e34 07o C = e13 21o

a) (A · B) + (A · C ) b) (A – B) · C c) A · B · C

a) (A · B ) + (A · C ) = e29 70o+e97 63o=e189 106 o b) (A – B ) · C = e5335o·e31 –21o=e–610 –915o

c) A · B · C = e29 70o·e1321o=e239 129o

9 Dada la matriz A = e10 21o, comprueba que (A – I )2 = 0.

(A – I )2 = 0 ·

0 2 0

0 0

2 0

0 0

0 0 = e o e o e o

10 Halla la inversa de estas matrices:

a) e27 31o b) e38 52o c)

f

1 0 0

0 2 0

0 0 1

p

d)

f

1 0 0

2 1 1

3 2 1

p

a) e27 13o·cxz tym=e10 01o 8 f72xx z++3z 7 32yy t++ tp=e10 10o

x z

x z xz

7 3 1

2 + =+ =3 03 ==1–2 7 3 02yy+ =+ =3tt 14 ty==7–3

Por tanto, la inversa es e1273o.

b) e3852o·cxz tym=e10 10o 8 f38 5xx+2zz 38 5yy+2ttp=e01 10o

x z

x z xz

3 2 1

8 5 0– 58

– –

– =

+ = 3 == ––38 5 1yy+ =–2 0tt= 4 ty==––32

Por tanto, la inversa es e–5823o.

c) · 8 ad

g b

e h

c f i a

d g

b e h

c f i

1 0 0

0 2 0

0 0

1 2 2 2

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

= =

f

p

f

p

f

p

f

p

f

p

a = 1, b = 0, c = 0, 2d = 0, 2e = 1, 2f = 0, g = 0, h = 0, i = 1

Por tanto, la inversa es 10 / 0

0 1 2

0 0 0 1

f

p

.

d) · da 8

g b e h

c f i

1 0 0

2 1 1

3 2 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1 =

f

p

f

p

f

p

a d g

d g

d g

b e h

e h

e h

c f i

f i

f i

2 3

2

2 3 2

2 3

2

1 0 0

0 1 0

0 0 1

+ +

+ +

+ + +

+

+ +

+

+ =

f

p

f

p

a d g

d g

d g

a d g

b e h

e h

e h

b e h

c f i

f i

f i

c f g

2 3 1

2 0

0 1

0 0

2 3 0

2 1 0

1 1 1

2 3 0

2 0 1

1 2

1

2 3 2

– –

+ + =

+ =

+ =

= = =

+ + =

+ =

+ =

= = =

+ + =

+ = + =

= = =

4

4

4

Por tanto, la inversa es 10 0

1 1 1

1 2

1 –

– –

(9)

11 Resuelve estas ecuaciones:

a) e38 52oX+e11 32o=e715 107 o

b) Y e38 52o+e11 23o=e157 107 o

c)

f

1 0 0 2 1 1 3 2 1

p

Z –

f

4 3 2 5 7 1 1 4 0

p

=

f

4 3 2 5 6 2 2 3 1

p

a) Llamamos A = e3852o, B=e11 32o, C=e157 710o.

La ecuación es AX + B = C X = A –1 (C – B ).

Calculamos A –1:

3 8 2 5 1 0 0 1 – –

e o (1.ª)3 · (2.ª) + 8 · (1.ª) e3021 81 30o –1 · (1.ª) + 2 · (2.ª)(2.ª)

3 0 0 1 15 8 6 3 – –

e o (1.ª)/(–3)(2.ª)/(–1) e10 01 –58 32o → A –1 = 5

8 23 – – ––

e o

X = e–58 32o

>

e157 710o–e11 32o

H

=e–5832o·e616 135 o=e20 11o

b) La ecuación es, siendo A, B y C las mismas matrices del apartado anterior: YA + B = C Y = (C – B )A –1

Y =

>

e715 710o–e11 23o

H

e–5832o=e166 135 o·e–5823o=e184–70 –7127o

c) Llamamos A = , B , C

1 0 0 2 1 1 3 2 1 4 3 2 5 7 1 1 4 0 4 3 2 5 6 2 2 3 1 – = =

f

p

f

p

f

p

.

La ecuación es AZ – B = C Z = A –1 (C + B ).

1 0 0 2 1 1 3 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

f

p

(1.ª) (2.ª) (3.ª) – (2.ª)

10 0 2 1 0 3 2 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 – –

f

p

(1.ª) – 2 · (2.ª) (2.ª) (3.ª) 10 0 0 1 0 1 2 1 1 0 0 2 1 1 0 0 1 – – – –

f

p

(1.ª) – (3.ª) (2.ª) + 2 · (3.ª) (3.ª) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 2 1 – – – – –

f

p

(1.ª) (2.ª) (3.ª)/(–1)

10 8 A

0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 2 1 1 0 0 1 1 1 1 2 1 – – – – – – – – 1 – =

f

p

f

p

Z = 10 0 1 1 1 1 2 1 4 3 2 5 6 2 2 3 1 4 3 2 5 7 1 1 4 0 1 0 0 1 1 1 1 2 1 8 6 4 10 13 3 1 7 1 2 2 2 6 7 10 7 5 6 – – – – – – – – – – – – –– + = =

(10)

5

Complementos teóricos para el estudio de matrices

Página 46

1 Considera u(7, 4, –2), v (5, 0, 6), w (4, 6, –3), a = 8, b = –5, elementos de

Á

3 y de

Á

.

Comprueba las ocho propiedades que se enumeran arriba.

• Asociativa: ( u + v) + w = u + ( v + w) ( u + v) + w = (12, 4, 4) + w = (16, 10, 1) u + ( v + w) = u + (9, 6, 3) = (16, 10, 1)

• Conmutativa: u + v = v + u u + v = (12, 4, 4) = v + u • Vector nulo: v 0 v+ =

v 0+ = (5, 0, 6) + (0, 0, 0) = (5, 0, 6) = v

• Vector opuesto: v + (– v) = 0

v + (– v) = (5, 0, 6) + (–5, 0, – 6) = (0, 0, 0) • Asociativa: (a · b) · v = a · (b · v)

(a · b) · v = (8 · (–5)) · (5, 0, 6) = – 40 · (5, 0, 6) = (–200, 0, –240) a · (b · v) = 8 · [–5 · (5, 0, 6)] = 8 · (–25, 0, –30) = (–200, 0, –240)

• Distributiva I: (a + b) · v = a · v + b · v (a + b) · v = 3 · (5, 0, 6) = (15, 0, 18)

a · v + b · v = 8 · (5, 0, 6) – 5 · (5, 0, 6) = (40, 0, 48) – (25, 0, 30) = (15, 0, 18) • Distributiva II: a · ( u + v) = a · u + a · v

a · ( u + v) = 8 · (12, 4, 4) = (96, 32, 32)

a · u + a · v = 8 · (7, 4, –2) + 8 · (5, 0, 6) = (56, 32, –16) + (40, 0, 48) = (96, 32, 32) • Producto por 1: 1 · v = v

1 · v = 1 · (5, 0, 6) = (5, 0, 6) = v

Página 48

Comprueba si los siguientes conjuntos de n-uplas son L.I. o L. D.

2 (3, 0, 0, 0), (0, 2, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (3, 2, 1, 4)

Aplicamos la propiedad fundamental:

x (3, 0, 0, 0) + y (0, 2, 0, 0) + z (0, 0, 1, 0) + t (3, 2, 1, 4) = (0, 0, 0, 0)

Esta igualdad da lugar al siguiente sistema de ecuaciones:

x t

y t

z t

t

3 3 0

2 2 0

0 4 0

2

+ =

+ =

+ = =

4

sus soluciones son: x = 0, y = 0, z = 0, t = 0

(11)

3 (3, 0, 0, 0), (0, 2, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (3, 2, 1, 0)

Aplicamos la propiedad fundamental:

x (3, 0, 0, 0) + y (0, 2, 0, 0) + z (0, 0, 1, 0) + t (3, 2, 1, 0) = (0, 0, 0, 0)

Esta igualdad da lugar al siguiente sistema de ecuaciones:

x t

y t

z t

3 3 0

2 2 0

0

2

+ =

+ =

+ =

4

sus soluciones son: x = –λ, y = –λ, z = λ, t = λ

Como hay soluciones distintas de la solución trivial, los vectores son L.D.

4 (2, – 4, 7), (1, 0, 2), (0, 1, 2)

Aplicamos la propiedad fundamental:

x (2, – 4, 7) + y (1, 0, 2) + z (0, 1, 2) = (0, 0, 0)

Operando, llegamos a:

(2x + y, – 4x + z, 7x + 2y + 2z) = (0, 0, 0) Esta igualdad da lugar al sistema:

x y

x z

x y z

2 0

4 0

7 2 2 0

– ++ ==

+ + =

4

Este sistema tiene como solución única x = 0, y = 0, z = 0. Por tanto, los vectores son linealmente independientes.

5 (1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 0)

Explica por qué si en un conjunto de vectores está el vector cero, entonces son L.D.

• Aplicamos la propiedad fundamental:

x (1, 0, 0) + y (1, 1, 0) + z (0, 0, 0) = (0, 0, 0)

Si hacemos x = 0, y = 0, z puede tomar cualquier valor, por tanto, los vectores son linealmente

de-pendientes.

• Si en un conjunto de vectores u1, u2, …, un está el vector cero, podemos conseguir una combina-ción lineal de ellos:

x1u1 = x2u2 + … + xn – 1un – 1 + xn0 = (0, 0, 0, …, 0)

(12)

6

Rango de una matriz

Página 50

1 Calcula el rango de las siguientes matrices:

A =

f

1 1 2 4 3 2 1 2 0

p

B =

f

1 2 1 3 1 10 1 5 8

p

C =

f

1 1 2 2 3 1 0 1 5 3 4 1

p

D =

f

1 0 1 0 0 2 1 8 2 1 3 7 1 1 2 9 1 2 0 4

p

A = 11 2 4 3 2 1 2 0 – –

f

p

(1.ª) (2.ª) + (1.ª) (3.ª) – 2 · (1.ª)

10 0 4 7 6 1 1 2 – –

f

p

(1.ª) (2.ª) (3.ª) – 2 · (2.ª)

10 0 4 7 20 1 1 0 – –

f

p

ran (A ) = 3

B = 1 2 1 3 1 10 1 5 8 – – –

f

p

(1.ª) (2.ª) – 2 · (1.ª) (3.ª) – (1.ª)

1 0 0 3 7 7 1 7 7 – – –

f

p

(1.ª) (2.ª) (3.ª) + (2.ª)

1 0 0 3 7 0 1 7 0 – –

f

p

ran (B ) = 2

C = 11 2 2 3 1 0 1 5 3 4 1 – – – –

f

p

(1.ª) (2.ª) + (1.ª) (3.ª) – 2 · (1.ª)

10 0 2 1 5 0 1 5 3 1 5 – –

f

p

(1.ª) (2.ª) (3.ª) – 5 · (2.ª)

10 0 2 1 0 0 1 0 3 1 0 – –

f

p

ran (C ) = 2

D = 1 0 1 0 0 2 1 8 2 1 3 7 1 1 2 9 1 2 0 4 – – –

f

p

(1.ª) (2.ª) (3.ª) + (1.ª) (4.ª) 1 0 0 0 0 2 1 8 2 1 5 7 1 1 3 9 1 2 1 4 – – –

f

p

(1.ª) (2.ª)

–2 · (3.ª) + (2.ª) (4.ª) – 4 · (2.ª)

1 0 0 0 0 2 0 0 2 1 11 11 1 1 5 5 1 2 4 4 – – – – –

f

p

(1.ª) (2.ª) (3.ª) (4.ª) + (3.ª)

1 0 0 0 0 2 0 0 2 1 11 0 1 1 5 0 1 2 4 0 – – – –

(13)

E

jercicios y problemas resueltos

Página 51

1.

Matrices traspuestas

Hazlo tú. Comprueba que: (A + B)t C t = At · C t + B t · C t

A = e31 –02 11o, B = e42 10 –01o, C = 2

1 0

1 0 3 –

f

p

(A + B )t = 1

3 02 11 42 10 01 51 12 01 5

2 0

1 1 1 –

– – – –

t t

+ = =

e o e o e o

f

p

>

H

C t = 2

1 –01 03

e o

(A + B )t C t = 52 ·

0 1 1 1

2 1 01 03

11 3 1

5 2 0

3 3 3

– – –

– =

f

p

e o

f

p

A t · C t = 12 ·

1 3 0 1

2 1

1 0

0 3

5 4 3

1 2

1 9 0 3

– – – –

– =

f

p

e o

f

p

B t · C t = 40 ·

1 2 1 0

2 1 01 03

6 1 2

4 0 1

6 3 0 –

– – =

f

p

e o

f

p

A t · C t + B t · C t = 54

3 1 2

1 9 0 3

6 1 2

4 0 1

6 3 0

11 3 1

5 2 0

3 3 3 –

– –

– – –

+ =

f

p

f

p

f

p

Hemos obtenido el mismo resultado, luego la igualdad es cierta.

2.

Cálculo de los elementos de una matriz

Hazlo tú. Dada la matriz X = ea0 1ao, calcula a para que X 2 – X = 12

0 1 20

e o.

X 2 – X = a a

a

a a a

a a

0 1

0 1

0 0

0 1

– – – – –

2 2

2

=

e o e o f p e o = fa a( 0–1) a a(–1+1)p

( )

( )

a a

a a

1

0– –1+1

f p = e120201o 8 a aa a(( + =– =1 201 12)) 4 8 a=4

3.

Operaciones con matrices

Hazlo tú. Halla los valores de a para los cuales X = ea0 02o verifica la ecuación X 2 – 3X + 2I = 0.

X 2 = a a

0 0

2 0 04

2 2

=

e o f p

X 2 – 3X + 2I = a a a a

0 0

4 3 0

0 2 2

1 0

0

1 30 2

0 0

– –

2 2

+ = +

f p e o e o f p

,

8 8

a 3a 2 a a a a

0 00

0

0 00 3 2 0 2 1

2

2

1 2

+ = + = = =

(14)

Página 52

5.

Matrices conmutables

Hazlo tú. Dada la siguiente matriz:

A = e10 21o

obtén todas las matrices B que conmutan con ella.

La matriz B = eac dbo ha de verificar A · B = B · A.

A · B = e10 21o·eac dbo=ea+c2c b+d2do

B · A = eac bdo·e10 12o=eac 22c da b++ o

8

a c

c b d d ac a bc d

a c a

b d a b

c c

d c d

2 2 2

2

2

2 2

2

+ + = +

+

+ =

+ = +

= = +

e o e o

4

De la 1.ª ecuación y de la 4.ª ecuación obtenemos c = 0. De la 2.ª ecuación obtenemos a = d.

Por tanto, B = ea b0 ao, con a, b

Á

.

Página 53

6.

Matriz inversa de sí misma

Hazlo tú. Prueba que si A 2 = A + I, entonces A es invertible (invertible es sinónimo de regular).

A 2 = A + I

A 2 – A = I A (A – I ) = I A – I es la inversa de A, luego A es invertible.

7.

Ecuación con matrices

Hazlo tú. Halla la matriz X que cumple AXA = 2BA siendo A = e23 12o y B = e12 03o.

Sea X = eac dbo.

En la ecuación AXA = 2BA multiplicamos en los dos miembros por A –1 a la izquierda y a la derecha: AXA = 2BA X = A –1 · 2BA · A –1 X = 2A –1 BI = 2A –1 B

A –1 = 2

3 12 –23 –21

1 –

=

e o e o

(15)

Página 54

9.

Despejar una matriz multiplicando por las inversas de otras dos

Hazlo tú. Halla la matriz X que verifica AXB = A + B siendo A = e10 11o y B = e41 10o.

Multiplicamos en los dos miembros de la ecuación AXB = A + B por A –1 a la izquierda y por B –1 a la

derecha:

AXB = A + B X = A –1 (A + B )B –1 = (A –1 A + A –1 B )B –1 = (I + A –1B )B –1 = B –1 + A –1BB –1 X = B –1 + A –1

A –1 = 1

0 –11 01 11

1 –

=

e o e o; B –1 = 4

1 10 01 41

– –

1 –

=

e o e o; X = e10 –41o+e10 11o=e11 50o

10.

Ecuación matricial: sacar factor común

Hazlo tú. Dadas las matrices A = e10 11o B = e31 11o C = e11 10o, halla la matriz X que verifica:

AX – A = B – C AX – A = B – C A (X – I ) = B – C

Multiplicamos en los dos miembros por A –1 a la izquierda: X – I = A –1 (B – C ) X = I + A –1 (B – C )

A –1 = 1

0 1 1

1 0

1 1 – –1

=

e o e o B – C = e31 11o–e11 01o=e22 10o

X = e10 01o+

>

e10 11o·e22 01o

H

=e10 01o+e02 11o=e12 12o

Página 55

11.

Potencia de una matriz

Hazlo tú. Dada la matriz A = e11 11o, calcula A n.

A = e11 11o; A 2 = 1

1 11

e o · e11 11o = e22 22o; A 3 = A 2 · A = 2

2 22

e o · e11 11o = e44 44o;

A 4 = A 3 · A = 4

4 4 4

e o · e11 11o = e88 88o; A n = 2

2 2 2

n n

n n

1 1

1 1 – –

– –

f p

12.

Rango de una matriz

Hazlo tú. Estudia el rango de la siguiente matriz:

B =

f

m m

1

1 1 1

1 2 2 0

+

p

según los distintos valores de m.

B = m m

1

1 1 1 1

2 2 0 +

f

p

(1.ª)(2.ª) – m · (1.ª) (3.ª) – (1.ª)

m

m

m

1 0 0

1

1 2 22

2

– –

f

p

(1.ª)(2.ª)/(1 – m) (3.ª)

m

1 0 0

1 1 22

2 –

f

p

(1.ª) (2.ª) (3.ª) – m · (2.ª)

m

1 0 0

1 1 0

2 2 2 2 – –

f

p

(16)

E

jercicios y problemas guiados

Página 56

1.

Matriz inversa igual a traspuesta

Dada la matriz A = a b 0

0 1 0

0 0 1

f

p

, calcular los valores de a y b para que la matriz inversa de A coin-cida con su traspuesta.

A –1 = A t AA –1 = AA t I = AA t

A = ab

0 0 1 0

0 0 1

f

p

A t = a b0

0 1 0

0 0 1

f

p

A · A t = ab

0 0 1 0

0 0 1

f

p

·

a b

0 0 10

0 0 1

f

p

=

a ab

ab b

0 0 1

0 0 1

2 2+

f

p

± ,

8

a ab

ab b

a ab

b a b

0 0 1

0 0 1

1 0 1 1 1

0 0

0 1 0

0 0

1 1 0

2 2

2

2

+

= = + =

= = =

f

p

f

p

4

2.

Ecuación con matrices

Calcular x, y, z tales que:

x y z y

x z

1 1 5

0 0 5

· =

e o f p e o

· 8

x zy y xz x yzy xx yzz

y x yz

x z

1 1 1 5

0 05

1 5 0

5

2

2 2

2

2 2

= +

+ +

+ =

+ =

+ =

+ =

e o f p

f

p

e o

4

y = ±2

• Si y = 2:

x z

x z

2 0 5

2++ =2= 3 → x = 2, z = –1; x = –2, z = 1

• Si y = –2:

x z

x2–+ =2 0z2=53 → x = –2, z = –1; x = 2, z = 1

Soluciones: x1 = 2, y1 = 2, z1 = –1

x2 = –2, y2 = 2, z2 = 1

x3 = –2, y3 = –2, z3 = –1

(17)

3.

Ecuación matricial

Determinar la matriz X que verifique AXA – B = 0, siendo:

A = e– –32 11o, B = e51 32o y 0 la matriz nula de orden 2.

AXA – B = 0 AXA = B X = A –1 BA –1

Hallamos la inversa de A: 3

2 11 10 01 – –

e o (1.ª) 3 · (2.ª) + 2 · (1.ª) e30 11 12 30o (1.ª) + (2.ª)(2.ª)

3 0

0 1

3 2

3 3 –

e o (1.ª)/3–(2.ª) e10 01 – –12 13o → A –1 = 1

2 1

3 – –

e o

X = A –1 BA –1 = 1 · ·

2 13 51 32 12 13 43 32

– – – – – = –

e o e o e o e o

4.

Rango de una matriz

Estudiar el rango de la matriz M según los valores del parámetro t.

M =

f

t t 1

1 1

2

8 3 3 3 3

1 2 2

p

M = t

t

1 1 1

2

8 3 3 3 3

1 2 2

– –

f

p

(1.ª) (2.ª) – (1.ª) (3.ª) – (1.ª)

t

t

1 0 0

2 2 6 3

3 0 0

1 1 3 –

– –

f

p

(1.ª) (2.ª) (3.ª) + 3 · (2.ª)

t

1 0 0

2 2 0

3 0 0

1 1 0 –

f

p

La tercera fila es L.D. de las otras dos, luego el rango no es 3.

Las dos primeras filas son L.I., independientemente del valor de t, luego ran (M ) = 2 para cualquier valor de t.

5.

Ecuación con infinitas soluciones

Dadas las matrices A = e02 01o y B = e68 79o, hallar una matriz X tal que XAX –1 = B.

XAX –1 = B XA = BX

Llamamos X = eac dbo.

·

·

XA ac db

BX

a c

b d a

c b d

a c

a c

b d

b d

8 6

9 7

2 0

0 1

2 2

8 9

6 7

8 9

6 7

– –

– – – –

– – =

=

=

= f

f e

f

f

f p

p o

p

p

p

4

Igualando obtenemos un sistema de ecuaciones.

8

8 8

a a c

x a c

b b d

d b d

a a c

c a c c a

b b d

d b d b d

2 8 9

2 6 7

8 9

6 7

2 8 9

2 6 7 32

8 9

6 7

– –

– –

– –

– –

– –

– –

= = = =

=

= =

=

= =

4

3

3

Solución: X = ( / )a a b b

2 3

f p

(18)

E

jercicios y problemas propuestos

Página 57

P

ara practicar

Operaciones con matrices. Matriz inversa

1 Efectúa, si es posible, las siguientes operaciones:

A · B B · D 3B – 2C B · C D · D t

siendo: A =

f

2 0 1

1 3 0

p

B = e32 04 – –12 11o C = e03 11 12 20o D =

f

5

3 1 2

p

A(3 × 2) · B(2 × 4) = ·

2 0 1

1 3 0

3

2 04 12 11 4 6 3

8 0

4 4

6 1

3 3 1

– –

– – –

=

f

p

e o

f

p

B(2 × 4) · D(4 × 1) = 32 04 12 11 ·

5 3 1 2

30 6 –

– – – =

e o

f

p

e o

3B – 2C = 3e23 –04 – – –12 11o 2e0311 12 20o = e96012 – – –36 33o e0622 24 04o=e09 –102 1231o

B(2 × 4) · C(2 × 4) → No se pueden multiplicar.

D(4 × 1) · D t(1 × 4) = ·

5 3 1 2

5 3 1 2 25

15 5 10

15 9

3 6

5 3 1 2

10 6 2 4 –

– –

– –

– – =

f

p

` j

f

p

2 Dadas las siguientes matrices:

A = e23 21o B = e04 12o

calcula:

a) A · B b) B · A c) B –1 d) (A + B )(A – B )

e) A 2 – B 2 f ) (A + B )2 g) A 2 + B 2 + 2AB

a) A · B = e23 12o·e04 12o=e84 01o

b) B · A = e04 12o·e23 21o=e23 02o

c) e04 12 10 01o (1.ª) + (1/2) · (2.ª)(2.ª) e24 02 1 1 20 1/ o (1.ª)(2.ª) – 2 · (1.ª)

/ 2

0 – –02 12 1 20

e o 1/2 · (1.ª)(–1/2) · (2.ª) e01 01 1 21/ 1 40/ o

Por tanto, B –1 = 1 2/ /

1 1 4

(19)

d) (A + B )(A – B ) =

>

e23 12o+e04 12o

H

·

>

e23 21o–e04 12o

H

=e27 20o·e21 04o=e142 08o

e) A 2 – B 2 = 2

3 1 2

0 4

1 2

7 12

4 7

4 8

2 8

3 20

6 1

– –

2 2

= =

e o e o e o e o e o

f ) (A + B )2 = 2

3 1 2

0 4

1 2

2 7

2 0

18 14

4 14 –

2 2

+ = =

e o e o e o e o

>

H

g) A 2 + B 2 + 2AB = 7 ·

12 74 + –48 –82 +2 23 12 04 –12 = 114 15 22 + 48 –01 = 2019 132

e o e o e o e o e o e o e o

3 Dada la matriz cuadrada A =

f

3 3 2

0 1 0

8 6 5

p

, comprueba que (A + I )2 = 0 y expresa A 2 como

combinación lineal de A e I.

A + I = 33 2

0 1 0

8 6 5

1 0 0

0 1 0

0 0 1

4 3 2

0 0 0

8 6 4 –

– – –

+ =

f

p

f

p

f

p

; (A + I )2 = 43 ·

2 0 0 0

8 6 4

4 3 2

0 0 0

8 6 4

0 0 0

0 0 0

0 0 0

– – – –

=

f

p

f

p

f

p

Expresamos A 2 como combinación lineal de A e I :

(A + I )2 = 0 (A + I ) · (A + I ) = A 2 + A + A + I = A 2 + 2A + I = 0 A 2 = –2A – I

4 Dada la matriz A = e10 21o, averigua cuál de las siguientes matrices es su inversa:

M = e3 21 2// 3 21 2// o N = e10 1 21 2// o

A · M = e1021o·e3 21 2// 1 23 2// o=e11 11o. M no es inversa de A.

A · N = e1021o·e01 1 21 2// o=e10 10o. N es la inversa de A.

5 Halla las matrices inversas de A = e11 20o, B = e21 04o y C =

f

1 0 0

0 1 1

1 0 1

p

.

| A | = 2 A –1

= / /1 20 1 1 2

e o; | B | = – 4 B –1

= / /1 21 0 1 4 –

e o; | C | = 1 C –1 = 10

0 1 1 1

1 0 1 –

f

p

6 a) Dada la matriz A =

f

0 0 0

2 0 0

1 1 0

p

, prueba que A 3 es la matriz nula.

b) Demuestra después que la matriz I + A + A 2 es la matriz inversa de I – A.

a) A 2 = 00

0 0 0 0

2 0 0

f

p

; A 3 = A 2 · A = 00

0 0 0 0

0 0 0

f

p

b) Veamos que I + A + A 2 es la inversa de I – A :

(I + A + A 2) (I – A ) = I – A + A – A 2 + A 2 – A 3 = I – A 3 = I – 0 = I

(20)

7 a) Comprueba que A 2 = 2A – I, siendo A =

f

52

4 4 1 4

2 1 1

p

e I la matriz unidad de orden 3.

b) Utiliza la igualdad anterior para calcular A 4.

a)

·

A A A

A I

9 4 8

8 3 8

4 2 3

2

10 4

8 8 2 8

4 2 2

1 0 0

0 1 0

0 0 1

9 4 8

8 3 8

4 2 3 –

– –

– –

– –

– – –

– –

2= =

=

f

=

f

f

f

p

p

p

p

4

A 2 = 2A – I

b) Calculamos A 4:

A 4 = (A 2)2 = (2A – I )2 = (2A – I )(2A – I ) = 4A 2 – 2A – 2A + I 2 =

= 4(2A – I ) – 4A + I = 8A – 4I – 4A + I = 4A – 3I =

= 4 52 4

4 1 4

2 1 1

3 10 0

0 1 0

0 0 1

20 8 16

16 4 16

8 4 4

3 0 0

0 3 0

0 0 3

17 8 16

16 7 16

8 4 7 –

– –

– –

– –

– –

– –

– –

= =

f

p

f

p

f

p

f

p

f

p

8 Dada la siguiente matriz: A = 0 1 1

3 4 3

4 5 4

f

p

, prueba que se verifica A 3 + I = 0 y utiliza esta

igualdad para obtener A 10.

A 2 = 01

1 3

4 3

4 5 4

1 1

1 0 4 3

1 4 3

– – –

– – –

2

=

f

p

f

p

A 3 = A 2 · A = 11 ·

1 0 4 3

1 4 3

0 1 1

3 4 3

4 5 4

1 0 0

0 1 0

0 0 1 –

– – – –

– – – –

– =

f

p

f

p

f

p

A 3 + I = 01

0 0

1 0

0 0 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0 –

– –

+ =

f

p

f

p

f

p

A 3 = –I

Por tanto:

A 4 = –I · A = –A A 5 = –A · A = –A 2 A 6 = –A 2 · A = –A 3 = I A 7 = A

(21)

Página 58

Rango de una matriz

9 Estudia el rango de las matrices siguientes:

A = e12 42 36 48o B = e11 30 00o C =

f

1 2 12 2 4 24 3 6 36

p

D =

f

1 2 3 2 4 6 3 0 0

p

E =

f

1 0 0 0 2 1 3 0 0 0 3 1

p

F =

f

0 1 0 0 0 1 1 0 0

p

A = e1242 36 48o (2.ª) + 2 · (1.ª)(1.ª) e1002 30 164 o → ran (A ) = 2

B = e11 30 00o → ran (B ) = 2

C = 12 12 2 4 24 3 6 36 – – – –

f

p

(1.ª)(2.ª) + 2 · (1.ª) (3.ª) – 12 · (1.ª)

10 0 2 0 0 3 0 0 –

f

p

ran (C ) = 1

D = 1 2 3 2 4 6 3 0 0

f

p

(1.ª) (2.ª) – 2 · (1.ª) (3.ª) – 3 · (1.ª)

1 0 0 2 0 0 3 6 9 – –

f

p

(1.ª) (2.ª)

6 · (3.ª) – 9 · (2.ª)

1 0 0 2 0 0 3 6 0 –

f

p

ran (D ) = 2

E = 1 0 0 0 2 1 3 0 0 0 3 1

f

p

(1.ª) (2.ª)

–2 · (3.ª) + (2.ª)

1 0 0 0 2 0 3 0 0 0 3 1

f

p

ran (E ) = 3

F = 01 0 0 0 1 1 0 0

f

p

ran (F ) = 3

10 Estudia el rango de estas matrices y di, en cada caso, el número de columnas que son L.I.:

A =

f

1 2 1 1 3 1 1 5 6 2 11 29

p

B =

f

2 4 6 1 2 3 3 1 2

p

C =

f

1 1 1 3 3 5 1 7 1 3 1 5 1 3 1 5 – – –

p

D =

f

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

p

A = 12 1 1 3 1 1 5 6 2 11 29 –

f

p

(1.ª) (2.ª) – 2 · (1.ª) (3.ª) – (1.ª)

10 0 1 1 2 1 3 5 2 7 27 –

f

p

(1.ª) (2.ª) (3.ª) + 2 · (2.ª)

10 0 1 1 0 1 3 11 2 7 41

f

p

ran (A ) = 3

Hay 3 columnas linealmente independientes en A.

B = 2 4 6 1 2 3 3 1 2 –

f

p

(1.ª) (2.ª) – 2 · (1.ª) (3.ª) – 3 · (1.ª)

2 0 0 1 0 0 3 7 7 – –

f

p

(1.ª) (2.ª) (3.ª) – (2.ª)

2 0 0 1 0 0 3 7 0 –

f

p

ran (B ) = 2

(22)

C = 1 1 1 3 3 5 1 7 1 3 1 5 1 3 1 5 – – –

f

p

(3.ª)(2.ª) (1.ª) (4.ª) 1 1 1 3 1 5 3 7 1 3 1 5 1 3 1 5 – – –

f

p

(1.ª) (2.ª) – (1.ª) (3.ª) – (1.ª) (4.ª) – 3 · (1.ª)

1 0 0 0 1 4 4 4 1 2 2 2 1 2 2 2 – – –

f

p

(1.ª)(2.ª) (3.ª) + (2.ª) (4.ª) – (2.ª)

1 0 0 0 1 4 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0

f

p

ran (C ) = 2

Hay dos columnas linealmente independientes en C.

D = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 – – – – –

f

p

(1.ª) (2.ª) – (1.ª) (3.ª) – (1.ª) (4.ª) – (1.ª)

1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 2 0 1 2 2 2 – – – – –

f

p

ran (D ) = 4

Las cuatro columnas de D son linealmente independientes.

11 Estudia el rango de las siguientes matrices según los valores del parámetro m:

A =

f

m 1 2 2 2 1 1 2 1

p

B =

f

m

m 1 2 4 1 4 10 1

2

p

C =

m m m m 2 1 1 + e o

D =

f

m m 1 0 2 0 0 1 0 1

2

p

E = m m

2 1

1 –1

e o F =

f

m m m 2 0 0 0 1 0 1

p

• A

m 1 2 2 2 1 1 2 1 – –

f

p

(1.ª)(2.ª) – 2 · (1.ª) (3.ª) – 2 · (1.ª)

m 1 0 0 2 5 5 2 5 4 – – –

f

p

(1.ª) (2.ª) (3.ª) – (2.ª)

m 1 0 0 2 5 0 2 5 1 – – +

f

p

Si m ≠ –1 ran (A) = 3 Si m = –1 ran (A) = 2

• B m

m 1 2 4 1 4 10 1 – – 2

f

p

(1.ª) (2.ª) – 2 · (1.ª) (3.ª) – 4 · (1.ª)

m m 1 0 0 1 6 6 1 2 4 – – – – 2

f

p

(1.ª) (2.ª) (3.ª) + (2.ª)

m m m 1 0 0 1 6 0 1 2 6 – – – – – 2

f

p

m 2 – m – 6 = 0 m = 3, m = –2

Si m ≠ 3 y m ≠ –2 ran (B ) = 3

Si m = 3, la matriz transformada es 1 0 0 1 6 0 1 5 0 – –

f

p

ran (B ) = 2

Si m = –2, la matriz transformada es 1 0 0 1 6 0 1 0 0 –

(23)

• C = e2mm mm+11o (1.ª) (2.ª) – 2 · (1.ª) em m0 – –m+13o

Si m = 0, obtenemos e00 13o → ran (C ) = 1

Si m = –1, obtenemos e–01 02o → ran (C ) = 2

Si m = –3, obtenemos e– –03 02o → ran (C ) = 1

En cualquier otro caso, ran (C ) = 2.

Es decir: si m = 0 o m = –3, ran (C ) = 1 y si m ≠ 0 o m ≠ –3, ran (C ) = 2.

• D = m

m

1 0 2

0

0 1 0

1 –

2

f

p

(1.ª)(2.ª) (3.ª) + 2 · (1.ª)

m

m

1 0 0

0

0 1 0

1 –

2+

f

p

La tercera fila nunca es una fila de ceros. Si m ≠ 0 ran (D ) = 3

Si m = 0 ran (D ) = 2

• E = e21 m m1 –1o 2 · (2.ª) – (1.ª)(1.ª) e20 2m11 2m–1+1o

Si m ≠ 21 → ran (E ) = 2

Si m = 21 → ran (E ) = 1

• F = m m

m

2 0 0

0

1 0

1 –

– –

f

p

(1.ª)(2.ª)

(3.ª) + (1/m) · (2.ª)

Si m ≠ 0 m m

m m

2 0 0

0

0 0

1 1 –

– –

f

p

Miramos las filas. Si m = 2 ran (F ) = 2

m – m1 = 0 → m = –1, m = 1

Si m = 1 ran (F ) = 2 Si m = –1 ran (F ) = 2

Si m = 0, obtenemos F = 2 0 0

0 0 1

0 1 0

– –

f

p

ran (F ) = 3

(24)

Ecuaciones con matrices

12 Calcula X tal que X – B 2 = A · B, siendo:

A =

f

1 1 0

0 1 0

1 0 2

p

B =

f

1 1 0

0 1 0

1 1 1

p

X = A · B + B 2

A B

B

X

1 2 0

0 1 0

0 0 2 1 2 0

0 1 0

2 1 1

2 4 0

0 2 0

2 1 3 ·

2

=

=

=

f

f

f

p

p

p

4

13 Resuelve el siguiente sistema dado en forma matricial:

x y y

x

1 3

1 2

1 1

3 2

=

e o oe f p oe

8 8

x

y y x x yx y y x xx yy y x x yx y

1

3 –21 = 1 –1 32 3 –+2 = 33 2+–2 3 –+ =2 3= +3 2–2 3 –+ ==––32

e o oe f p oe e o f p 4 4

Sumando:

4x = –5 x = 45 → y = –3 – x = –3 + 45 =–47

Solución: x = – ; y = 45 –47

14 Halla dos matrices A y B tales que:

2A + 3B =

f

8 18

8 4 11

3 7

6 13

p

–A + 5B =

f

9 17

9 2 1 5

16 10 13

p

2A + 3B = 188 8

4 11

3 7

6 13 –

f

p

–2A + 10B = 18 34 18

4 2 10

32 20 26 –

f

p

Multiplicamos por 2 la 2.ª ecuación.

13B = 2652 26

0 13 13

39 26 39 –

f

p

Sumamos miembro a miembro.

B =

2 4 2

0 1 1

3 2 3 –

f

p

Multiplicamos por 131 .

Despejamos A en la 2.ª ecuación:

A = 5B – 179 9

2 1 5

16 10 13

10 20 10

0 5 5

15 10 15

9 17

9 2 1 5

16 10 13

1 3 1

2 4 0

1 0 2 –

– = – – – – = –

f

p

f

p

f

p

f

p

Solución: A =

1 3 1

2 4 0

1 0 2 –

f

p

, B =

2 4 2

0 1 1

3 2 3 –

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...