Objetivos y Temáticas del Curso

Universidad de Managua

Curso de Optimización

Objetivos y Temáticas del Curso

Estudiantes:

Facultad de Ingeniería

Profesor:

MSc. Julio Rito

Vargas Avilés.

I Cuatrimestre 2018

ORIENTACIONES GENERALES

•

SITIOS WEB:

•

jrvargas.wordpress.com

•

juliovargas.udem.edu.ni

• Email

• [email protected]

• Libro básico:

• PRÁCTAS DE INVESTIGACIÓN DE

OPERACIONES CON POM-QM.

OBJETIVOS DEL CURSO

Decidir los algoritmos que aplicará a los problemas planteados de programación lineal, emplearlos en los mismos y analizar

críticamente los resultados para producir informes tendientes a la toma de decisiones.

 Aplicar los conceptos de optimización de redes en la formulación de modelos, principalmente en la formulación de proyectos.

 Aplicar las técnicas fundamentales de modelos de optimización para la solución de problemas de optimización.

 Determinar a través de los modelos de transporte y asignación las acciones adecuadas que deben ser tomadas por las empresas

,

 Analizar los conceptos de análisis de sensibilidad, su aplicación a la solución de modelos de optimización

TEMAS DEL CURSO DE OPTIMIZACIÓN

1. INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL - MÉTODO GRÁFICO PARA RESOLVER PPL - REGIÓN FACTIBLE, FUNCIÓN OBJETIVO,

RESTRICCIONES.

2. MÉTODO SIMPLEX PARA RESOLVER PPL

ESTRUCTURA DE LA TABLA DEL SIMPLEX PROBLEMAS

3. ANALISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD A PPL

- CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES, CAMBIOS EN LAS

VARIABLES, CAMBIOS EN LOS RECURSOS, CAMBIOS EN

LOS COEFICIENTES TECNOLOGICOS, ETC.

4. PROBLEMAS DE TRANSPORTE, TRANSBORDO Y ASIGNACIÓN.

- MÉTODOS DE SOLUCIÓN . PROBLEMAS

Concepto de Programación Lineal:

Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una

función lineal, denominada función objetivo, de tal forma

que las variables de dicha función estén sujetas a una

serie de restricciones que expresamos mediante un

sistema de inecuaciones lineales.

La programación lineal es una técnica matemática que

se utiliza para la solución de diferentes tipos de

problemas.

El éxito en su aplicación a problemas reales

y complejos es avalado por una gran cantidad de

instituciones productoras de bienes y servicios en

muchos países del mundo.

Optimización

:

En

matemáticas

o

programación

matemática la optimización intenta dar respuesta a un

tipo general de problemas donde se desea elegir la mejor

entre un conjunto de soluciones posibles. En su forma

más simple, el problema equivale un sistema de

ecuaciones e inecuaciones lineales.

Optimización

: En términos generales, un problema de

Universidad de Managua

Curso de Programación Lineal

METODOLOGÍA PARA RESOLVER

PROBLEMAS DE PL

1. Definición del problema

Esto incluye:

1. determinar los objetivos apropiados

2. las restricciones sobre lo que se puede hacer

3. las interrelaciones del área bajo estudio con otras

áreas de la organización

4. los diferentes cursos de acción posibles

5. los límites de tiempo para tomar una decisión, etc.

2.

Formulación de un modelo matemático

La forma convencional en que PROGRAMACIÓN

LINEAL realiza esto es construyendo un modelo

matemático que represente la esencia del problema.

Un modelo siempre debe ser menos complejo que el

problema real, es una aproximación abstracta de la

realidad con consideraciones y simplificaciones que

hacen más manejable el problema y permiten

evaluar

eficientemente

las

alternativas

de

3. Obtención de una solución a partir del modelo.

Resolver un modelo consiste en encontrar los valores de las variables dependientes, asociadas a las componentes controlables del sistema con el propósito de optimizar, si es posible, o cuando menos mejorar la eficiencia o la efectividad del sistema dentro del marco de referencia que fijan los objetivos y las restricciones del problema.

4. Prueba del modelo

Antes de usar el modelo debe probarse exhaustivamente para

intentar identificar y corregir todas las fallas que se puedan

presentar

5. Validación del modelo

Es importante que todas las expresiones matemáticas sean

consistentes en las dimensiones de las unidades que emplean.

Además, puede obtenerse un mejor conocimiento de la validez

del modelo variando los valores de los parámetros de entrada

y/o de las variables de decisión, y comprobando que los

6. Análisis de Sensibilidad

Esta fase consiste en determinar los rangos de variación de los

parámetros dentro de los cuales no cambia la solución del

problema.

Es

necesario

generar

información

adicional

sobre

el

comportamiento de la solución debido a cambios en los

parámetros del modelo. Usualmente esto se conoce como

7. Implantación de la solución

El paso final se inicia con el proceso de

“vender" los hallazgos que se hicieron a lo

largo del proceso a los ejecutivos o tomadores

Fases de un Estudio PL FORMULACIÓN DEL PROBLEMA CONSTRUCCIÓN DEL MODELO NECESIDAD DE REORGANIZACIÓN

MODELO DEL SISTEMA REAL

SISTEMA DE INTERÉS OBTENCIÓN DE DATOS

TOMA DE DECISIONES IMPLEMENTACIÓN Y

CONTROL

SOLUCIÓN DEL MODELO

INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS E IMPLICACIONES

VALIDACIÓN DEL MODELO ANÁLISIS DE

Introducción a la Programación lineal

El problema general es asignar

recursos

limitados

entre

actividades

competitivas

de la mejor manera posible

(óptima

).

Este problema incluye elegir el nivel de

ciertas actividades que compiten por

recursos

escasos

necesarios

para

INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL

El adjetivo

lineal

significa que todas las funciones

matemáticas del modelo deber ser

funciones

lineales.

En este caso, las palabra

programación

no se refiere a programación en computadoras;

en esencia es un sinónimo de

planeación.

Así, la

programación lineal trata la

planeación de las

• La programación lineal es un método

eficiente

para

determinar

una

decisión óptima entre un gran número

de decisiones posibles

• Es impresionante el número y la

diversidad de problemas en los que

se puede aplicar.

Características de la problemas de

programación lineal

• Proporcionalidad: las variables y la

función objetivo deben ser lineales

• Aditividad: Es necesario que cada

Características de la problemas de

programación lineal

• Divisibilidad: las soluciones no deben

ser necesariamente números enteros

• Optimalidad:

La

solución

óptima

MODELO GENERAL DE PL

Los

términos

clave

son

recursos

y

actividades,

en donde

m

denota el número

de distintos tipos de recursos que se

pueden usar y

n

denota el número de

actividades bajo consideración.

Z =valor de la medida global de efectividad Xj = nivel de la actividad j (para j = 1,2,...,n)

Cj = incremento en Z que resulta al aumentar una unidad en

el nivel de la actividad j

bi =cantidad de recurso i disponible para asignar a las

actividades (para i = 1,2,...,m)

aij =cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la

Estructura de un modelo de PL

1. Función objetivo.

Consiste en optimizar el objetivo

que persigue una situación la cual es una función

lineal de las diferentes actividades del problema, la

función objetivo se maximizar o minimiza.

3. Restricciones

Estructurales

.

Diferentes

requisitos que debe cumplir cualquier solución

para que pueda llevarse a cabo, dichas

restricciones pueden ser de capacidad, mercado,

materia prima, calidad, balance de materiales,

etc.

4. Condición técnica

. Todas las variables deben

tomar valores positivos, o en algunos casos

puede ser que algunas variables tomen valores

negativos.

Modelo general de PL









n

j

i

j

ij

x

b

i

m

a

1

,...,

2

,

1

n

j

x

_j



0



,1

2

,...,



x

c

Optimizar Z =

Conjunto factible: Región del plano Cerrada (polígono) Abierta

x



0

y



0

x = 5

x



5

x – y = 0

x – y



0

¿Cuál es la región factible

del sistema









x≤5

Conjunto factible(gráfica)

Cuando un modelo de programación lineal se

expresa en términos de dos variables puede

resolverse con procedimientos gráficos.

Max z=2x +y sujeto

2x+y≤480 2x+3y≤600 x≥0

• Conceptos clave:

Conjunto factible:

Es el conjunto

de puntos que integran la región de

resolución.

Solución factible:

Cada punto que

integra la región (plana) que

resuelve el problema.

Solución óptima:

Constituye la

solución al problema de

¿ Cuál es el objetivo de la solución gráfica?

De clic sobre cada imagen….

Siguiente diapositiva

Solución óptima

Si la región factible es cerrada la solución óptima está en un vértice del polígono (cuando es única) o todo un lado del polígono (infinitas

soluciones)

Número de soluciones de un problema de programación lineal

Para un problema de minimización

Solución única Solución de arista:

Para un problema de maximización

Solución única Solución de arista:

Un problema de máximos de programación lineal

Problema 1: Una fábrica de bombones tiene almacenados 500 Kg.. de chocolate, 100 Kg.. de almendras y 85 Kg.. de frutas. Produce dos tipos de cajas: las de tipo A contienen 3 Kg. de chocolote, 1 Kg. de almendras y 1 Kg. de frutas; la de tipo B contiene 2 Kg. de chocolate, 1,5 Kg. de almendras y 1 Kg. de frutas. Los precios de las cajas de tipo A y B son 13 y 13,50 €, respectivamente. ¿Cuántas cajas de cada tipo debe fabricar para maximizar sus venta?

Caja tipo A Caja tip B Disponibles Chocolate 3 2 500 Almendras 1 1.5 100 Frutas 1 1 85 Precio en euros 13 13.50

La siguiente tabla resume los datos del problema

Designando por

x = nº de cajas de tipo A y = nº de cajas de tipo B

Función objetivo z = f (x, y) = 13x + 13.5y que hay que maximizar

Con las restricciones:

3x + 2y  500 (por el chocolate almacenado)

x + 1.5y  100 (por la almendra almacenada)

x + y  85 (por la fruta almacenada)

x  0

3X1 + 2X2 ≤ 500

• En un primer paso representamos la región factible.

• En un segundo paso obtenemos

los vértices de la región factible. R(0, 100/1,5)

Q(55, 30)

P(85, 0) • Finalmente evaluamos la función

objetivo z = 13x + 13,50y en cada vértice, para obtener el máximo

• z(P) = 13._85+13,50. _{0 = 1105 €}

• z(Q) = 13._55+13,50. _{30 = 1120 €}

Problema 2:

Una compañía fábrica mesas y sillas. La fabricación de una mesa requiere 10 horas y la de una silla 5 horas. El número total de horas de trabajo disponibles por periodo es de 3200 horas. Aunque el tiempo ocioso y las horas extras son opciones aceptables. La compañía desea que el número total horas de trabajo se aproxime lo más posible a 3200 horas.

Se utiliza una pieza de madera para fabricar una mesa y media pieza para una silla; durante el periodo se dispone de 300 piezas de madera y no es posible comprar más, la compañía desea utilizar lo más posible de esta reserva de madera durante cada periodo.

La compañía fabrica mesas sobre pedidos y se ha comprometido a proveer 200 mesas durante un periodo dado. Cualquier mesa adicional que se produjera tendría que mantenerse en inventario, y la empresa desea minimizar el numero de mesas que mantenga en inventario.

La demanda de sillas es incierta, pero se estima que será entre 200 y 250. la compañía desea fabricar sillas aproximándose lo mas posible a estas cifras.

Problema 2:

X1: # mesas X2: # sillas Max Z= 30X1 + 15X2

Sujeto a:

10X1 + 5X2 ≤ 3200 X1 + 0.5X2 ≤ 300

Problema2: Un grupo local posee dos emisoras de radio, una de FM y otra de AM. La emisora de FM emite diariamente 12 horas de música rock, 6 horas de música clásica y 5 horas de información general. La emisora de AM emite diariamente 5 horas de música rock, 8 horas de música clásica y 10 horas de información general. Cada día que emite la emisora de FM le cuesta al grupo 5000 €, y cada día que emite la emisora de AM le cuesta al grupo 4000 €. Sabiendo que tiene enlatado para emitir 120 horas de música rock, 180 horas de música clásica y 100 horas de información general, ¿cuántos días deberá emitir con ese material cada una de la emisoras para que el coste sea mínimo, teniendo en cuenta que entre las dos emisoras han de emitir al menos una semana?

Emisora FM Emisora AM Disponibles Música rock 12 5 120 Música clásica 6 8 180 Información general 5 10 100

Coste en euros 5000 4000

La siguiente tabla resume los datos del problema

Designando por

x = nº de días de AM y = nº de días de FM

Función objetivo z = f (x , y) = 5000x + 4000y que hemos de minimizar

Con las restricciones:

12x + 5y  120 (por la música rock)

6x + 8y  180 (por la música clásica)

5x + 10y  100 (por la información general)

x + y  7 (emitir al menos una semana)

x  0

y  0

• En un primer paso representamos la región factible.

• En un segundo paso obtenemos los vértices de la región factible.

R(0, 10)

Q(7.37, 6.32)

P(10, 0) • Finalmente evaluamos la función

objetivo z = 5000x + 4000y en cada vértice, para obtener el mínimo.

• z(P) = 5000._10+4000. _{0 = 50000 €}

• z(Q) = 5000._7.37+4000. _{6.32 =}

62130 €

• z(R) = 5000.₀₊₄₀₀₀. _{10 = 40000 €}

• z(S) = 5000.₀₊₄₀₀₀. _{7 = 28000 €}

• z(T) = 5000.₇₊₄₀₀₀. _{10 = 35000 €}

Resumen

Optimizar (maximizar o minimizar) z = a x + by sujeta a las siguientes restricciones







a2x + b2y  d2

... ... ...

anx + bny  dn

Función objetivo

• Solución posible: cualquier par de valores (x₁, y₁) que cumpla todas la restricciones.

Al conjunto de soluciones posibles de un problema lineal se le llama región factible.

• Solución óptima: un par de valores (x₁, y₁), si existe, que hace máxima o mínima la función objetivo

Un problema de programación lineal puede:

• Tener solución única

• Tener infinitas soluciones

FIN

INVESTIGACION DE