INTRALGLINCAPITULO5 pdf

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CAPÍTULO 5

MATRICES DE FUNCIONES LINEALES

Considere una función 0 À‘8 ‘ lineal Puesto que si Þ \ −‘8 entonces \ œ B M â B M

" " 8 8 Ò

se tiene que 0 Ð\Ñ œB 0 ÐM Ñ. Ahora, en esta expreción 0 ÐM Ñ es un número real y 0 Ð\Ñes una

4œ" 8

3 3 3

combinación lineal de B ß B ß B ß âß B" # $ 8, que son las cordenadas de \. La escribiremos

0 Ð\Ñ œ + B Þ 0 À 0 Ð\Ñ œ Þ

0 Ð\Ñ ã 0 Ð\Ñ

Ô ×

Õ Ø

4œ" 8

4 4 8 7

" 7

Geralizando Si ‘ Ò‘ entonces

Como cada una de las 0 Ð\Ñ3 es lineal escribimos 0 Ð\Ñ œ3 + \34 4y por tanto

4œ" 8

0 Ð\Ñ œ œ

+ B

+ B + B + B â + B + B + B + B â + B

ã + B + B +

Ô ×

Ö Ù

Õ Ø

Ô ×

Ö Ù

Õ Ø

4œ" 8

"4 4

4œ" 8

#4 4

4œ" 8

74 4

"" " "# # "$ $ "7 8 #" # ## # #$ $ #7 8 7" " 7# # 7$B â + B

œ

$ 78 8

œ œ E\

+ + + â +

À À À À

+ + + +

B B ã B

Ô ×

Ö Ù

Ö ÙÖ Ù

Ö Ù

Õ Ø

Ô ×

Õ Ø "" "# "$ "8

#" ## #$ #8 7" 7# 7$ 78

" # 8

Note que 0 ÐM Ñ œ EM œ E ß 0 ÐM Ñ œ EM œ E ß âß 0 ÐM Ñ œ EM œ E" " " # # # 8 8 8. Asi que usando las bases corrientes de ‘8 y‘7_ßla matriz correspondiente a es fácil de dar.₀

5.1 Definición: Para 0 ÀŠ‘8ß_{M ß ÞÞÞÞÞß M} ‹ ‘7ß ÐM ß" _{M ß ÞÞÞÞÞß M} Ñ‹

" 8 ÒŠ $ 7

se define Q Ð0 Ñ œ Ò0 ÐM Ñß 0 ÐM Ñß ÞÞÞß 0 ÐM ÑÓ" # 8

Matriz de sobre la bases canónicas0

Note que con la base corriente de ‘8:

Q 0 Ðla matriz de 0 Ñ es la única matriz tal que Q Ð0 Ñ\ œ J Ð\Ñ

Así que, por ejemplo, si K es lineal y H es una matriz tal que KÐ\Ñ œ H\ para todo \de ‘8ß

entonces H œ Q ÐKÑ.

Ejemplo: considere los polinomios del tipo + + B + B + B! " # # $ $ y llame, digamos , a su conjunto.Z

Lame [ a los del tipo + + B + B! " # #. Se pide:

1 Demuestrar que HB(la derivada) es una función lineal de en Z [

2 Calcular la base para Z Ðdenótela F Ñ_Z y una para [ Ðdenótela F ÑÞ_[

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Solución: Por álgebra elemental se sabe que si + + B â + B œ !! " 8 8 (con + − Ñß3 ‘ entonces

+ œ â œ + œ !Þ! 8 Por ejemplo en bachillerato se hacen los siguientes cálculos:

Si :ÐBÑ œ + + B â + B! " 8 8 y si :ÐBÑ œ !entonces ! œ :Ð!Ñ œ + Þ! Luego + œ !Þ! Así pues

! œ :ÐBÑ œ + B â + B œ BÐ+ + B â + B" 8 8 " # 8 8""Ñpara todo en particular para B B œ "Þ

Luego a"œ !. Así se continúa y se tiene + œ !ß a3Þ3 Asi pues Ö"ß Bß âß B ×8 es linealmente independiente para todo . Luego 8 Ö"ß Bß B ß B ×# $ es una base de Z y Ö"ß Bß B ×# es una de [ Þ

Cláramente

H Ð+ + B + B + B Ñ œ + #+ B $+ BB ! " # # $ $ " # $ #

que pertenece a [ Þ Luego H À Z_B Ò[ ÞSe sabe además que H Ð0 1Ñ œ H 0 HB B Bg y

5H Ð50 Ñ œ 5H 08 B , así que HB es lineal. Para calcular la matriz correspondiente se calculan las

imágenes de la base en términos de la base del codominio y se tiene

H Ð"Ñ œ !B œ ! !B !B# H ÐBÑ œ "B œ " !B !B# H ÐB Ñ œ #BB # œ ! #B !B# H ÐB Ñ œ $BB $ # œ ! !B $B#

Aquí 8 œ % 7 œ $ßy la matriz resultante es $ ‚ % œ 7 ‚ 8. La matriz de HB es pues

Q ÐH Ñ œ

! " ! ! ! ! # ! ! ! ! $

B

Ô ×

Õ Ø

Para ilustrar Q ÐH ÑB en acción veamosla derivando:

H Ð+ + B + B + B Ñ œ ÒQ H Ó œ œ

+ +

! " ! !

! ! # !

! ! ! $

B ! " # # $ $ B

! !

" "

# #

$ $

( )

Ô × Ô ×

Ö Ù Ö Ù

Õ Ø Õ Ø

Ô ×

Õ Ø

œ œ + #+ B $+B

+ #+ $+

Ô ×

Õ Ø

" # $

" # #.

Aquí por supuesto es la representación de a por medio de sus

Ô × Ö Ù Ö Ù Õ Ø

+ + + +

+ B + B + B !

" # $

! " # # $ $

coordenadas.

Note que las propiedades del operador Q, para funciones lineales, solo depende de cada J ÞPero estas funciones Json suceptibles de operaciones y tiene por tanto una estructura algebráica que ahora concretamos junto con su notación corriente.

L 97ÐZ ß [ Ñ

5.2 Proposición: Sean Z y [espacios cualesquiera. Entonces las funciones lineales de Z en [

forman un espacio vectorial para la suma Ð0 1ÑÐ@Ñ œ 0 Ð@Ñ 1Ð@Ñy para el producto por escalar

Ð50 ÑÐ@Ñ œ 50 Ð@ÑÞ

Demostración: queda como ejercicio.

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Espacio con base

5.3 Definición: Un "espacio vectorial con base" es una pareja ÐZ ß ÑU en donde es un espacioZ

vectorial y es una base deF Zcon un orden preciso en ella.

Se desprende de lo precedente que ÐZ ß Ñ œ Ð[ ß ÑU V si es un espacio vectorial con base , Z U [ es un espacio vectorial con base y por la igualdad V Z œ [ y UœV. Las parejas ÐZ ß ÑU se escriben de manera corta simplemente , con sub entendido. Se escriben genéricamente en la forma Z U ÐZ ß @ÑÞU

Note el resume de ÐZ ß ÑU :

Conjunto: Z œ ÐZ ß Ñ œ Ö5 @ 5 @ â 5 @ l 5 − ß a3×U " " # # 8 8 3 ‘ ,

Igualdad: 5 @ 5 @ â 5 @ œ 6 @ 6 @ â 6 @ Í 5 œ 6 ß a3" " # # 8 8 " " # # 8 8 3 3 , Suma: Ð5 @ 5 @ â 5 @ Ñ Ð6 @ 6 @ â 6 @ Ñ œ" " # # 8 8 " " # # 8 8

œ Ð5 6 Ñ@ Ð5 6 Ñ@ â Ð5 6 Ñ@" " " # # # 8 8 8

5@: 5Ð5 @ 5 @ â 5 @ Ñ œ Ð55 Ñ@ Ð55 Ñ@ â Ð55 Ñ@" " # # 8 8 " " # # 8 8

Esta notación se simplifica cuando se trabaja en ÐZ ß ÑU de manera consistente y se diluye la necesidad de recordar la base seleccionada. Se conoce como notación en coordenadas:

5.4 Notación(en coordenadas): En ÐZ ß ÑßU si \ − Z y Uœ Ö@ ß âß @ ×" 8 entonces

i \ œ @ â @ se escribe \ œ ã

α α

α α α " 8 8

" # 8 Ô × Ö Ù Ö Ù Õ Ø ii αi se llama 3- ésima coordenada de sobre \ U.

En 5.4, si se desea, se puede escribir por ejemplo \ œ con el sub índice mostrando la base de

ã Ô × Ö Ù Ö Ù Õ Ø

α α α " # 8 _U ÐZ ß ÑÞU

Las funciones lineales J À ÐZ ß F Ñ Ä Ð[ ß F ÑZ [ son simplementes funciones lineales J À Z Ä [,

pero, con la escritura mencionada, se pueden escribir como en ‘

α " α " α " 8

" "

# #

8 7

À J _ã œ _ã

Ô × Ô ×

Ö Ù Ö Ù

Õ Ø Õ Ø

El espacio de las funciones lineales de en Z [ se denota L97ÐZ ß [ Ñ para no recargar la notación que debía ser L97ÐÐZ ß F Ñß Ð[ ß F ÑÑZ [ . Así que, según 5.2 la estructura de espacio vectorial de

L97ÐZ ß [ Ñ esta dada por:

Conjunto: L97ÐZ ß [ Ñ œ Ö0 À Z Ä [ l 0es lineal sobre ‘×

Igualdad: Si 0 ß 1 − L97ÐZ ß [ Ñ 0 œ 1 Í 0 Ð@Ñ œ 1Ð@Ñß a@ − Z Þ,

Suma: Si0 ß 1 − L97ÐZ ß [ Ñ 0 1 À Z Ä [, , está dada por Ð0 1ÑÐ@Ñ œ 0 Ð@Ñ 1Ð@ÑÞ

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Hay otro espacio vectorial que ahora aparece relacionado con las funciones lineales. El de las m trices+ 7 ‚ 8ß `7‚8, del cual ya conocemos su estructura.

Recordemos cómo se obtiene la matriz asociada a 0 À ÐZ ßU_ZÑÒÐ[ ßU_[Ñ: Sean F œ Ö@ ß @ ß âß @ × FZ " # 8 y [ œ ÖA ß A ß âß A ×" # 7

Entonces0 Ð@ Ñ œ4 5 A34 3para 4 œ "ß #ß âß 8. Entonces Q Ð0 Ñ œ Ð5 Ñ34 ÞAsi que fijas lasß 3œ"

7

3œ"ß7 4œ"ß8

bases ß 0 Ð\Ñ œ Q Ð0 ÑÔ × Ôã œ ã ×Þ

Õ Ø Õ Ø

α " α " " "

8 7

5.5 Proposición:

i Si 0 ß 1 À Z Ò[ ß entonces Q Ð0 1Ñ œ Q Ð0 Ñ Q Ð1Ñ ii Si 5 − ß Q Ð50 Ñ œ 5Q Ð0 Ñ‘

iii Si 0 À Z Ò[ y1 À [ Ò^son lineales entonces Q Ð1 ‰ 0 Ñ œ Q Ð1Ñ ‚ Q Ð0 ÑÞ

Demostración: Para À

i Ð0 1ÑÐ\Ñ œ 0 Ð\Ñ 1Ð\Ñ œ Q Ð0 Ñ\ Q Ð1Ñ\ œ ÐQ Ð0 Ñ Q Ð1ÑÑ\Þ

La matriz que aparece en esta escritura es la de 0 1 puesto que En ese caso

Ð0 1ÑÐ\Ñ œ G\×G œ Q Ð0 1ÑÞ G œ Q Ð0 Ñ Q Ð1ÑÞ

ii Ð50 ÑÐ\Ñ œ 50 Ð\Ñ œ 5ÐQ Ð0 ÑÑ\ œ Ð5Q Ð0 ÑÑ\ÞPor tanto 5Q Ð0 Ñ œ Q Ð50 ÑÞ

iii Supongamos que Q Ð0 Ñ œ Eß Q Ð1Ñ œ Fß entonces

Ð1 ‰ 0 ÑÐ\Ñ œ 1Ð0 ÐBÑÑ œ FÐ0 ÐBÑÑ œ FÐE\Ñ œ ÐFEÑÐ\Ñ

Asi que Q Ð1 ‰ 0 Ñ œ F ‚ E œ Q Ð1Ñ ‚ Q Ð0 ÑÞ

Matrices de cambio de base

Cuando en un espacio vectorial se trabaja con una base F" y por alguna razón se hace necesario cambiar

a una base F# el procedimmiento que se acaba de mensionar posee un mecanismo para escribir cualquier

elemento, dado en la base original, en la nueva base.U

5. 6 Proposición: Sea U_" œ Ö@ ß âß @ ×_" ₈ yU_#œ ÖA ß âß A ×_" ₈ bases de . Si los coeficientes deZ

\ en la base U son α αß ß âßα entonces los coeficientes de en la base \ U son Ð5 Ñ ã en

α α

" " # 8 # 34

" 8 Ô × Õ Ø

donde @ œ4 5 A 4 œ "ß âß 834 3ß 3œ"

8

Demostración: Se toma J À ÐZ ßU"ÑÒÐZ ßU#Ñ como la identidad. Por tanto

@ œ J Ð@ Ñ œ4 4 5 A Þ34 3ß 3œ"

8

por tanto Q ÐJ Ñ œ Ð5 Ñß 3 œ "ß âß 8 4 œ "ß âß 8Þ34 Así que si @ œα" "@ â α8 8 ß@ entonces

J Ð@Ñ œ Ð5 Ñ34 A â " A8 J Ð@Ñ œ @

Ô × Ô × Õ Ø Õ Ø

α " α "

" " " "

8 8

" 8

ã œ ã œ y como entonces el resultado sigue:

? œ"_"A â _" "₈A Þ₈

5 7 Þ Ejemplo: dé una formula para escribir cualquier

\ œÔ × Ô ×Ô ×Ô ×

Õ Ø Õ ØÕ ØÕ Ø

Î Ñ

Ï Ò

B " " "

B ! " "

B ! ! "

" # $

$

(5)

Solución: Como Ô × Ô × Ô × Ô ×

Õ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø

" " " "

! ! " "

! ! ! "

œ " ! !

Ô × Ô × Ô × Ô ×

! " " "

" ! " "

! ! ! "

œ " " " !

Ô × Ô × Ô × Ô ×

! " " "

! ! " "

" ! ! "

œ ! Ð " "Ñ "

Asi pues `œ y además ` œ . Por

" " " ! B B " B

! " " " B B " B

! ! " B B

Ô × Ô × Ô ×

Õ Ø Õ Ø Õ Ø

" " #

# # $

$ $

tantoÔ × Ô × Ô × Ô ×.

B " " "

B ! " "

B ! ! "

œ ÐB " B Ñ ÐB " B Ñ B "

# $

" # # $ $

F_À`7‚8 Ò_{L 97 ÐZ ß [ Ñ}

Ahora regresamos al uso de funciones lineales para ayudar ha estudiar matrices. Suponga que es unaE

matriz 8 ‚ 8ÞSea PE su aplicación lineal. Es decir que P ÀE ‘8Ê‘8esta dada porP Ð\Ñ œ E\ÞE

Es evidente que `ÐP Ñ œ EÞE Ademas note que existe una función

: `À 7‚8 ÒL97ÐR ßU_CÑß Ð[ ßU_AÑ

dada asi :ÐEÑ À Z Ò[la tomamos como

:ÐEÑÐ5 @ ß 5 @ â 5 @ Ñ œ E œ 5 E E 5 5

ã 5

" " # # 8 8 " " â 8 8 "

8 Ô × Õ Ø

œ œ œ , A â , A ‡

5 5 5 5

‡ ,_ã ,

Ô ×

Ö Ù

Õ Ø

" # $ 8

" 8

" " 7 7

+ + + â +

ã

+ + + â +

"" "# "$ "7 #" ## #$ #7 7" 7# 7$ 78

Ô ×

Õ Ø en donde en

escribimos de manera corta Ô ×el vector extendido resultante y luego damos el elemento mostrando la

Õ Ø ,

ã ,

" 8

baseÖA ß A ß âß A ×Þ" # 7 Para facilitar el cálculo tomamos Z œ‘8ß [ œ‘7y como bases las bases corrientes en ‘8 y ‘7 respectivamente. En caso de que el vector lo desee en puede por ejemplo usar_‡

la notación Ô × .

Õ Ø ,

ã ,

" 8 _F_A

Tomamos entonces por simplificación.

F `À 7‚8 ÒL97 Ð‘ ‘8ß 7Ñ

Caso en el cual si E −`7‚8ßentonces lÐEÑ:‘ Ò ‘8 7esta dada por lÐEÑÐ\Ñ œ E\

Se tiene entonces que

5 8 Þ Proposición: F `À 7‚8 ÒL97 Ð‘ ‘8ß 7Ñ es un isomorfismo de espacios vectoriales con

(6)

Demostración: Consideremos la compuesta L97Ð‘ ‘8ß 7ÑÒ `` _7‚8 ÒF L97Ð‘ ‘8ß 7Ñsi

0 − L97Ð‘ ‘8ß 7Ñ_entoncesÐ ‰F `ÑÐ0 Ñ œF `Ð Ð0 ÑÑÞ_{Asi que}

Ð ‰F `ÑÐ0 ÑÐ\Ñ œ Ð ÐF `ÑÐ0 ÑÑÐ\Ñ œ`Ð0 Ñ\ œ 0 Ð\ÑÞPor tanto Ð ‰F `ÑÐ0 Ñ œ 0 y

F `‰ œ "L97Ð‘ ‘8ß 7Ñ

Para la composición: ‘7‚8 ÒF _L97Ð‘ ‘8_ß 7_ÑÒ ‘` 7‚8 ` FÐ ÐEÑÑ œ Ò ÐEÑM ß ÐEÑM ß âß ÐEÑM ÓF " F # F 8

œ ÒEM ß EM ß âß EM Ó œ ÒE ß E ß âß E Ó œ E" # 8 " # 8

Por tanto ` F‰ œ "‘7‚8_Þ

Por tanto ` y son funciones 1-1 y sobre, inversas la una de la otra y como son lineales,F Fœ`""

y` œF""y tanto como F ` son isomorfismos.

Nuestro propósito ahora es hallar bases de L97Ð‘ ‘8ß 7Ñ_{. Para eso damos antes algunas técnicas de}

construccion de espacios y bases:

Bases de productos

5.9 Proposición: Sean ÐZ ßUZÑ y Ð[ ßU[Ñ. Entonces

i Z ‚ [ es un espacio vectorial para la suma ÐB ß C Ñ ÐB ß C Ñ œ ÐB B ß C C Ñ" " # # " # " # y la mutiplicación por escalar 5ÐB ß C Ñ œ 5Ð5B ß 5C ÑÞ" " " "

ii Z ‚ [ tiene baseWœ ÐUZ ‚ Ö!×Ñ ∪ ÐÖ!× ‚U[Ñ

iii Si .37Z œ 8 y .37[ œ 7, UZ œ Ö@ ß @ ß â@ ×" # 8 U[ œ ÖA ß A âß A ×" # 7 entonces

.37ÐZ ‚ [ Ñ œ 8 7 y una base de ÐZ ‚ [ Ñ es

ÖÐ@ ß !ÑÐ@ ß !ÑâÐ@ ß !Ñ× ∪ ÖÐ!ß A ÑÐ!ß A ÑâÐ!ß A Ñ×" # 8 " # 7

Demostración: Hacemos la segunda. Las demás quedan como ejercicio. Veamos que es linealmenteW

independiente: escribimos, por facilidad, primero las parejas con seguna coordenada . Suponga que! 5 Ð@ ß !Ñ 5 Ð@ ß !Ñ â 5 Ð@ ß !Ñ 6 Ð!ß A Ñ 6 Ð!ß A Ñ â 6 Ð!ß A Ñ œ !" " # # > > " " # # < <

Entonces

Ð5 @ 5 @ â 5 @ ß 6 A 6 A â 6 A Ñ œ !" " # # > > " " " # < <

Luego

5 @ 5 @ â 5 @ œ !" " # # > > y 6 A 6 A â 6 A œ !" " " # < < .

Por tanto 5 œ 5 œ 5 œ â œ 5 œ !" # # > y 6 œ 6 œ â œ 6 œ !" # < .

Ahora si Ð@ß AÑ − Z ‚ [, entonces ? − Z y A − [ y por tanto@ œ 5 @ 5 @ â 5 @" " # # > > y

A œ 6 A 6 A â 6 A" " # # < <, así que:

Ð@ß AÑ œ Ð@ß !Ñ Ð!ß AÑ œ Ð5 @ 5 @ â 5 @ ß !Ñ Ð!ß 6 A 6 A â 6 A Ñ œ" " # # > > " " # # < < œ 5 Ð@ ß !Ñ 5 Ð@ ß !Ñ â 5 Ð@ ß !Ñ 6 Ð!ß A 6 Ð!ß A Ñ â 6 Ð!ß A Ñ" " # # > > " "Ñ # # < <

el cual pertenece a

A

ÐUZ ‚ Ö!×Ñ ∪ ÐÖ!× ‚U[Ñ

B

. .

Con lo precedente se tiene que

5.10 Proposición:

i Si U₃, 3 œ "ß #ß âß 8ßes base de Z₃para , 3 œ "ß #ß âß 8ßentonces

U1‚ ! ‚ ! ‚ â ‚ ! ∪

! ‚U1 ‚ ! ‚ â ‚ ! ∪ ! ‚ ! ‚U_#‚ ! ‚ â ‚ ! ∪

ã

! ‚ ! ‚ ! ‚ â ‚ ! ‚U₈

(7)

Demostración: ejercicio.

En particular si todos los son iguales a , entonces VZ3 Z "‚ Z ‚ â ‚ Z# 8 se denota Z8y su dimensión es m‚n. Si es base de , su base será por supuestoU Z

U‚ ! ‚ ! ‚ â ‚ ! ∪ ! ‚U‚ ! ‚ â ‚ ! ∪ ! ‚ ! ‚U‚ ! ‚ â ‚ ! ∪

ã

! ‚ ! ‚ ! ‚ â ‚ ! ‚U

Note que Š ‹‘7 8 es un caso particular. Escribimos los vectores de ‘7 en columnas y para la potencia ₈ en filas. Además por comodidad escribimos Š ‹‘7 8en la forma ‘7‚8. Un elemento tipico de este

espacio es _– , , , _—, cuya escritura simplificada es

Ô × Ô × Ô × Ô ×

Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö Ù

+ + + + + â +

+ + + + +

ã ã ã

+ + +

â

"" "# "8 "" "# "8

#" ## #8 #" ##

7" 7# 78

â +

ã ã ã

+ + â +

#8 7" 7# 78

,

caso en el cual, el nombre (mas común) del espacio es `7‚8 y se llaman las matrices m por n. Naturalmente esto implica que el primer elemento de la primera parte de la base de Š ‹‘7 8 es

, , ,

1

– —

Ô × Ô × Ô × Ô ×

Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö Ù

! ! ! ! ! â !

ã ã ã ã ã ã

! ! ! ! ! â !

! ! " ! â !

â œ

el segundo es . El primer elemento de la segunda parte es .

0 0 1

1 0

Ô × Ô ×

Ö Ù Ö Ù

Õ Ø Õ Ø

! â ! â !

! â ! ! â !

ã ã ã ã ã ã

! ! â ! ! ! â !

Así que la base de `7‚8 es Ö/ l 3 œ "ß âß 7ß 4 œ "ß âß 8×34 en donde /34 es la matriz 7 ‚ 8 qie tiene 1 en la entrada y 0 en todas las demás.34

Como las bases se transmiten por isomorfismos entonces:

5.11 Colorario: El espacio L97Ð‘ ‘8ß 7Ñ _{tiene dimensiones}7 ‚ 8_{y una de sus bases es}

Ö Ð/ Ñ 3 œ "ß #ß ÞÞß 7à 4 œ "ß #ß ÞÞß 8×F ₃₄ ¸ .

Denotemos por 0 œ34 FÐ/ Ñ34 y calculémosla: 0 À34 ‘8 Ä‘7 está dada por el vector que tiene en laB4

coodenada . Es decir3

0 B B ã B

! ã !

B !

ã ! 34

" # 8

" 3""

4 3 "

7 Ô ×

Ö Ù Ö Ù

Õ Ø

Ô ×

Ö Ù

Õ Ø

(8)

Ejercicios suplementarios:

1 Demuestre 5.2

2 Demuestre 5.10

3 Demuestre 5.11

4 Suponga que 0 À Z Ä [ es una función lineal, que Z § Z" / y que[ § [" / . Sea

Ò0 Ó À Z ÎZ" Ä [ Î[" dada por Ò0 ÓÐ@ Z Ñ œ 0 Ð@Ñ [" ".

i Demuestre que

Si , la función es lineal.

ii Aliste bases de Z ÎZ" y [ Î[" de modo que la parte pueda ser respondida.iii

Cual es la relación entre la matriz de y la de , par las bases seleeccionadas en .

iii 0 Ò0 Ó ii

5 Suponga que 0 À Z Ä [ ß3 3 3 para 3 œ "ß #son funciones lineales y sea

0 ‚ 0 À Z ‚ Z Ä [ ‚ [" # " # " #

la funcióndada por

( ) ) .

Ð0 ‚ 0 Ñ @ ß @ œ Ð0 Ð@ Ñß 0 Ð@ Ñ" # " # " " # #

Para 0 ‚ 0" #:

Demuestre que es lineal

i

Dé o calcule las bases que se necesitan (según el caso) para calcular la matriz de

ii

0 ‚ 0" #

6 i Calcule la matriz de 1 ‚ 0si 1 À Ä está dada por 1 B œ

C

" B C B " C # B " %C

‘# ‘$ _{” •} Ô ×

Õ_È# _È$ Ø

y 0 À Ä esta dada por 0 œ

B C D

B #D C D B ‘$ ‘# Ô ×

Õ Ø ” •

ii Identifique ‘#_‚‘$_y‘$_‚‘#_con‘5_{, y dé de nuevo}_{1 ‚ 0}_{con esta identificación.}

En iii descomponga en términos de la base canónica de ,