UNIDAD : GEOMETRÍA
1. SISTEMA DE REFERENCIA 2. ECUACIONES DE UNA RECTA 3. ECUACIONES DEL PLANO 4. INCIDENCIAS
5. HAZ DE PLANO
6. ÁNGULO. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD. 7. SIMETRÍA.
8. DISTANCIAS
9. PEREPENDICULAR COMÚN
10.PROYECCIONES ORTOGONALES. 11. ÁREAS Y VOLUMENERS.
1.
SISTEMA DE REFERENCIA EN EL ESPACIO
Un sistema de referencia en el plano
O,u1,u2,u3
está formado por un punto O (llamado Origen), y por una base de vectores del plano B
u1,u2,u3
(a partir de ahora consideraremos que es una base ortonormal).A cualquier punto P le hacemos corresponder el vector de posición
OP
, y a este las coordenadas respecto de la Base B
u1,u2,u3
3 2 1 yu zu
u x
OP
P
(
x,y,z
)
A. Vector que une dos puntos
AB
Si
A
=(
a
1,b
1,c
1) y
B=
(
a
2,b
2,c
2)
AB
a2a1,b2b1,c2c1
B. Condición para que tres puntos estén alineados:
Tres puntos A, B y C está aliados si los vectores que forman entre ellos tienen la misma dirección, es decir son paralelos, por lo que sus coordenadas son
proporcionales:
Si
A
=(
a
1,b
1,c
1) y
B=
(
a
2,b
2,c
2)
yC=
(
a
3,b
3,c
3)
AB
a2 a1,b2 b1,c2 c1
;
a3 a2,b3 b2,c3 c2
BC
2 3
1 2 2 3
1 2 2 3
1 2
c c
c c b b
b b a a
a a
C. Punto medio: M es el punto medio de segmento AB, por lo tanto el
AB
2
AM
Si
A
=(
a
1,b
1,c
1) y
B=
(
a
2,b
2,c
2)
M=
(
x,y,z
)
M=(
𝑎1+𝑎22
,
𝑏1+𝑏22
,
𝑐1+𝑐22
)
2.
ECUACIONES DE UNA RECTA
Una recta viene determinada por un punto P(a,b,c) y un vector director
v1,v2,v3
v .
Un punto genérico X de la recta se define como:
v
OP
OX
ECUACIÓN VECTORIAL:
OX
OP
v
x,y a,b,c
v1,v2,v3
𝝅ECUACIÓN PARAMÉTRICA:
3 2 1
v c z
v b y
v a x
Si despejamos λ de los dos e igualamos :
1
v
a
x
;2
v
b
y
;3
v c z
ECUACIÓN CONTINUA
3 2
1 v
c z v
b y v
a
x
Operando obtenemos dos ecuaciones:
ECUACIÓN IMPLÍCITA
0
0
D
z
C
y
B
x
A
D
Cz
By
Ax
ECUACIÓN DE UNA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS
La ecuación de la recta que pasa por dos puntos
A
=(
a
1,b
1,c
1) y
B=
(
a
2,b
2,c
2)
es la recta que pasapor el punto A y tiene vector director el vector
AB
a2a1,b2 b1,c2 c1
.
x
,
y
,
z
A
AB
3.
ECUACIONES DE UN PLANO
Un plano viene determinada por un punto A(a,b,c) y dos vectores directores
u
u
1,
u
2,
u
3
y
v1,v2,v3
v .
Un punto genérico P de la recta se define como:
OP
OA
·
u
·
v
ECUACIÓN VECTORIAL:
x
,
y
,
z
a
,
b
,
c
u
1,
u
2,
u
3
v
1,
v
2,
v
3
ECUACIÓN PARAMÉTRICA:
3 3
2 2
1 1
·
·
·
·
·
·
v
u
c
z
v
u
b
y
v
u
a
x
Si pasamos a, b y c al otro lado tenemos:
3 3
2 2
1 1
·
·
·
·
·
·
v
u
c
z
v
u
b
y
v
u
a
x
Es decir
AP
es combinación lineal deu
yv
u
,v
,PX
son linealmente dependientes eldeterminante formado por sus coordenadas es 0.
0
3 3
2 2
1 1
v
u
c
z
v
u
b
y
v
u
a
x
. Operando obtenemos:
ECUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITA
Ax
By
Cz
D
0
Ecuaciones de un plano a partir de un punto y un vector normal.Sea π un plano y
n
(
A
,
B
,
C
)
un vector normal al plano (n
n
u
;
n
v
)A(a,b,c), P(x,y,z)
AP
x
a
,
y
b
,
z
c
.AP
n
AP
n
0
x
a
B
y
b
C
z
c
0
Ax
By
Cz
Aa
Bb
Cc
0
Ax
By
Cz
D
0
A
D
NOTA:
n
n
u
;
n
v
n
u
v
ECUACIÓN DE UN PLANO QUE PASA POR TRES PUNTOS
La ecuación de la recta que pasa por dos puntos
A
=(
a
1,b
1,c
1) ,
B=
(
a
2,b
2,c
2)
y C=(a
3,b
3,c
3)
es la4.
INCIDENCIAS
A.
PUNTOS
Tres puntos A, B y C está aliados si los vectores que forman entre ellos tienen la misma dirección, es decir son paralelos, por lo que sus coordenadas son proporcionales: Rango
AB,AC
1B.
RECTAS
Dos rectas en el espacio se:
CRUZAN:
CORTAN: Si se cortan en un solo punto.
PARALELAS: Si no tienen ningún punto en común.
COINCIDENTES: Si tienen todos sus puntos comunes. Pondremos siempre las rectas en paramétricas:
3 2 1 2 2 2 3 2 1 1 1 1,
,
,
,
;
,
,
,
,
v
v
v
v
c
b
a
B
s
u
u
u
u
c
b
a
A
r
Si
u
,
v
,
AB
son proporcionales DOS RECTAS COINCIDENTES.
, 13 2 1 3 2 1 v v v u u u Rango v u
Rango y
, ,
11 2 1 2 1 2 3 2 1 3 2 1 c c b b a a v v v u u u Rango AB v u Rango
u
,
v
son proporcionales, pero no aAB
DOS RECTAS PARALELAS
, 13 2 1 3 2 1 v v v u u u Rango v u
Rango y
, ,
21 2 1 2 1 2 3 2 1 3 2 1 c c b b a a v v v u u u Rango AB v u Rango
u
,
v
no son proporcionales yu
,
v
,
AB
son coplanarios DOS RECTAS QUE SE CORTAN
, 23 2 1 3 2 1 v v v u u u Rango v u
Rango y
, ,
21 2 1 2 1 2 3 2 1 3 2 1 c c b b a a v v v u u u Rango AB v u
Rango
u
,
v
no son proporcionales yu
,
v
,
AB
no son coplanarios DOS RECTAS QUE SE CRUZAN
, 23 2 1 3 2 1 v v v u u u Rango v u
Rango y
, ,
31 2 1 2 1 2 3 2 1 3 2 1 c c b b a a v v v u u u Rango AB v u
Rango
Nota: Para encontrar rectas paralelas basta con que los vectores directores sean proporcionales (podemos usar el mismo vector).
C.
POSICIÓN RELATIVA DE RECTAS Y PLANOS
Una recta y un plano en el espacio pueden tener las siguientes posiciones:
CORTAN: Si se cortan en un solo punto.
PARALELAS: Si no tienen ningún punto en común.
RECTA CONTENIDA EN EL PLANO.
Pondremos siempre las rectas en paramétricas
3 2 1v
c
z
v
b
y
v
a
x
y el plano en forma general
0
Ax
By
Cz
D
1
2
3
0
A
a
v
B
b
v
C
c
v
D
Ecuación de 1er grado que puede salir: λ=número Se CORTAN en un punto
0λ=número≠0 Sin solución: PARALELOS
0λ=0 Infinitas soluciones: RECTA CONTENIDA EN EL PLANO
D.
POSICIÓN RELATIVA DE DOS PLANOS
Dos planos en el espacio pueden ser:
CORTAN: Si se cortan en una recta.
PARALELAS: Si no tienen ningún punto en común.
COINCIDENTES.
Pondremos siempre los planos en forma general
0
;
0
Ax
By
Cz
D
A
x
B
y
C
z
D
.
D
D
C
C
B
B
A
A
PLANOS COINCIDENTES.
D
D
C
C
B
B
A
A
PLANOS PARALELOS
C
C
B
B
B
B
A
A
´ó
SE CORTAN EN UNA RECTAE.
POSICIÓN RELATIVA DE TRES PLANOS
Para saber su posición relativa discutimos el sistema:
0
0
0
D
z
C
y
B
x
A
D
z
C
y
B
x
A
D
Cz
By
Ax
Rango
A
Rango
A
B
3
SCD Se CORTAN EN UN PUNTO.
Rango
A
2
Rango
A
B
3
S.I. Pueden ser dos cosas: Los planos se cortan dos a dos. (viendo que los coeficientes no son proporcionales)
Dos planos paralelos y otro que los corta (viendo que los coeficientes son proporcionales)
Rango
A
Rango
A
B
2
SCI. Se CORTAN EN UNA RECTA.
Rango
A
1
Rango
A
B
2
S.I. TRES PLANOS PARALELOS.
Rango
A
Rango
A
B
1
PLANOS COINCIDENTES.5.
HAZ DE PLANOS
Haz de planos paralelos.
Dado un plano 𝜋: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 se llama haz de plano paralelo a 𝜋 a todos
aquellos que son paralelos a él, es decir, son de la forma: Ax +By+ Cz+𝜇 = 0
Haces de planos secantes en una recta
Consideremos los planos𝜋: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 𝑦 𝜋′: 𝐴′𝑥 + 𝐵′𝑦 + 𝐶′𝑧 + 𝐷′= 0 𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 EL haz de planos tendrá de ecuación:
Ax
By
Cz
D
A
x
B
y
C
z
D
0
ó Ax+By+Cz+D +𝜇(𝐴′𝑥 + 𝐵′𝑦 + 𝐶′𝑧 + 𝐷′)Pondremos siempre las rectas en paramétricas:
3 2 1
2 2 2
3 2 1
1 1 1
,
,
,
,
;
,
,
,
,
v
v
v
v
c
b
a
B
s
u
u
u
u
c
b
a
A
r
El ángulo que forman dos rectas es el menor de los ángulos que definen.
r
^
s
se toma el más pequeño estará entre 0º y 90º, además será el ángulo formado por los vectores directores de las rectas
r
^
s
u
^
v
Ángulo
v
u
v
u
v
u
s
r
cos
^
)
^
cos(
Se toma valor absoluto para que el ángulo esté entre 0ºy 90º.
Perpendicularidad:
r
s
u
v
u
v
0
Paralelismo:
r
//
s
u
//
v
Son
proporcion
ales
u
v
0
B.
PLANOS
Pondremos siempre los planos en forma general
0
;
0
21
Ax
By
Cz
D
A
x
B
y
C
z
D
. Cogemos los vectores normales de cadaplano
n
1
A
,
B
,
C
1 yn
2
A
,
B
,
C
2 Ángulo
2 1
2 1 2
1 2
1
^
)
cos(
^
)
cos(
n
n
n
n
n
n
Se toma valor absoluto para que el ángulo estéentre 0º y 90º.
Perpendicularidad:
1
2
n
1
n
2
n
1
n
2
0
Paralelismo:
1//
2
n
1//
n
2
Son
proporcion
ales
n
1
n
2
0
C.
RECTA Y PLANO
Pondremos siempre las rectas en paramétricas:
3 2 1
1 1 1
,
,
,
,
u
u
u
u
c
b
a
A
r
y el plano en forma general:0
Ax
By
Cz
D
. (Cogemos el vector normal del planon
A
,
B
,
C
. Ángulo
n
u
n
u
n
u
r
sen
cos(
^
)
)
^
(
Se toma valor absoluto para que el ángulo esté entre0º y 90º.
Perpendicularidad:
r
u
//
n
Son
proporcion
ales
u
n
0
Paralelismo:
r
//
u
n
n
1
n
2
0
Ejemplos:
Hallar el ángulo que forman r y s.
r
:
x
,
y
,
z
(
1
,
0
,
0
)
1
,
1
,
2
;
1
2
1
3
1
:
z
y
x
s
º
73
´
83
)
^
(
109
´
0
14
·
6
1
1
2
3
·
2
1
1
)
1
·(
2
2
)·
1
(
3
·
1
^
cos
)
^
cos(
2 2
2 2 2 2
s
r
v
u
v
u
v
u
s
r
Hallar el ángulo que forman los planos:
1
2
x
3
y
z
2
0
;
2
x
y
3
z
1
0
11
2
,
3
,
1
º
70
´
80
)
^
(
161
´
0
154
2
11
·
14
3
3
2
)
^
cos(
)
^
cos(
1 22 1
2 1 2
1 2
1
n
n
n
n
n
n
Hallar el ángulo que forman la recta
r
:
x
,
y
,
z
(
1
,
3
,
2
)
0
,
1
,
2
y el plano
3
x
2
y
7
z
2
0
º
96
´
42
)
^
(
6815
´
0
62
·
5
14
2
0
)
^
cos(
)
^
(
r
n
u
n
u
n
u
r
sen
7.
SIMETRIAS
A. SIMETRÍA DE UN PUNTO RESPECTO A OTRO.
P´(x,y,z) es el punto simétrico de P(x1,y1,z1) respecto del
punto A(a,b,c). Entonces A es el punto medio entre P y P´.
2
1
x
x
a
2
1
y
y
b
,2
1
z
z
c
Ejemplo: Calcular el punto simétrico de P(2,3,1) respecto al punto A(2,4,6).
P´(x,y,z)
4
2
2
2
2
2
x
x
x
;8
3
5
2
3
4
y
y
y
;11
1
12
2
1
6
z
z
z
P´(2,5,11)B. SIMETRÍA DE UN PUNTO RESPECTO A UNA RECTA Pasos para calcular P´, simétrico de P respecto la recta:
1er Paso: Hallar el plano π, perpendicular a r que pasa por P.
2º Paso: Hallar A el punto de intersección de r y π.
3er Paso: Se halla el simétrico de P respecto al punto de intersección
A.
Ejemplo: Calcular el punto simétrico de P(2,4,6) respecto a la recta
4
2
2
:
z
y
x
r
1)
u
1
,
2
,
1
n
//
u
Podemos considerarlos igualesn
1
,
2
,
1
0
2
x
y
z
D
(Sustituimos el punto P)
2
2
·
4
6
D
0
D
12
0
12
2
x
y
z
2)
r
Sustituimos la recta en el plano y hallamos λ 3
5
6
10
0
12
4
2
·
2
)
2
(
A
3
17
3
5
4
;
3
10
3
5
·
2
;
3
1
3
5
2
y
z
x
3
17
,
3
10
,
3
1
A
3) P´(x,y,z)
3
4
2
3
2
2
2
3
1
x
x
x
;
3
8
4
3
20
2
4
3
10
y
y
y
;
3
16
6
3
34
2
6
3
17
z
z
z
3
16
,
3
8
,
3
4
P
C. SIMETRÍA DE UN PUNTO RESPECTO A UN PLANO Pasos para calcular P´, simétrico de P respecto de un plan:
3er Paso: Se halla el simétrico de P respecto al punto de intersección A.
Ejemplo: Calcular el punto simétrico de P(2,0,1) respecto al plano
x
y
1
0
1)
n
1
,
1
,
0
n
//
u
Podemos considerarlos igualesu
1
,
1
,
0
Pasa por P
1
2
:
z
y
x
r
2)
r
Sustituimos la recta en el plano y hallamos λ 2
3
0
1
)
(
2
A
;
1
2
3
;
2
1
2
3
2
y
z
x
,
1
2
3
,
2
1
A
3) P´(x,y,z)
1
2
1
2
2
2
1
x
x
x
;
3
0
3
2
0
2
3
y
y
y
;
1
1
2
2
1
1
z
z
z
P
1
,
3
,
1
8.
DISTANCIAS
i.
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
2
2
2,
B
AB
a
a
b
b
c
c
A
d
. Siendo A(a,b,c) y B(a´,b´,c´)ii.
DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO
A.
RAZONADAMENTE
1) Construir la recta r perpendicular al plano que pasa por P 2) Hallar la intersección de la recta y el plano (es el punto más
cercano) Pm.
3)
d
P
,
d
P
,
P
m
B.
FÓRMULA
x
0,
y
0,
z
0
P
:
Ax
By
Cz
D
0
y seaQ
x
1,
y
1,
z
1
2 2 2
0 0
0
,
C
B
A
D
Cz
By
Ax
n
n
QP
P
d
Ejemplo: Calcular la distancia de P(0,4,0) al plano
:
x
y
z
1
0
Razonadamente: 1)
z
y
x
r
:
4
2)
1
,
3
,
1
1
0
1
4
P
m
P
d
P
P
u
d
,
,
m
1
2
1
2
1
2
3
Fórmula:
d
P
3
u
3
3
1
1
1
1
0
4
0
,
2 2
2
iii.
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
A.
RAZONADAMENTE
1) Construir el plano π perpendicular a la recta que pasa por P
2) Hallar la intersección de la recta y el plano (es el punto más cercano) Pm.
3)
d
P
,
d
P
,
P
m
B.
FÓRMULA
P
r
d
,
es la altura del paralelogramo formado porAP
y
u
u
AP
u
base
Área
r
P
d
,
Ejemplo: Calcular la distancia de P(0,0,1) a la recta
1
1
1
:
z
y
x
r
Razonadamente: 1)
:
x
y
0
2)
1
0
,
1
0
,
1
1
1
,
1
,
0
1
,
1
,
1
0
0
1
1
m
m
PP
P
P
r
d
P
P
u
d
,
,
m
1
2
1
2
0
2
2
Fórmula:
0
,
0
,
2
0
1
1
0
1
1
0
,
1
,
1
1
,
1
,
1
0
,
1
,
1
i
j
k
AP
u
AP
A
u
u
u
AP
u
r
P
d
2
2
4
,
iv.
DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS (mínima)
Lo primero que debemos hacer es estudiar la posición relativa de las dos rectas a) Si son coincidentes
r
s
d
r
,
s
0
b) Si son paralelas
r
//
s
d
r
,
s
d
P
,
s
siendo P un punto de r
P
r
c) Si se cortan
r
s
d
r
,
s
0
d) Si se cruzan
s r
s r
v
v
AB
v
v
s
r
d
,
,
,
Construimos el paralepípedo con lados
v
r,
v
s,
AB
. El volumen será
v
v
AB
V
r,
s,
. Por otro ladoV=Área base·h=
v
r
v
s ·d(r,s) (despejamos d(r,s) y obtenemos la fórmulav.
DISTANCIA DE UNA RECTA A UN PLANO
Lo primero que debemos hacer es estudiar la posición relativa de la recta y el plano. a) Si la recta está contenida en el plano
r
d
r,
0b) Si se cortan en un punto
r
P
d
r,
0c) Si son paralelas
r
//
d
r
,
d
P
,
siendo P un punto de r
P
r
vi.
DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS
d) Si son coincidentes
d
,
0e) Si se cortan en una recta
r
d
,
0f) Si son paralelas
//
d
,
d
P
,
siendo P un punto de r
P
vii.
RECTA QUE PASA POR UN PUNTO Y CORTA A DOS RECTAS QUE SE CRUZAN.
Calculados el plano que pasa por P y que contiene a r (π1)Calculados el plano que pasa por P y que contiene a s (π2).
La recta que buscamos es la intersección de los dos planos.
Ejemplo: Encuentra la recta que pasa por el punto A(1,0,-1) y corta a las rectas
1 3 : z y x r 0 4 2 0 1 2 3 : z y x z y x s
π1: vectores directores del plano: el de la recta (1,1,1) y AB
31,00,1(1)
(2,0,2).
2,0,2
: 2 2 0; 2 2 0 : 2 2 4 02 0 2
1 1
1 1 1 1
x z D A D x z
k j i AB v
n
π2: Lo hacemos por el haz de planos: 2:3x2yz12xyz40,A2
2 1 4 0, 1 1
1
3 2:3x2yz12xyz40,2:x3y2z30
0 3 2 3 0 4 2 2 : ´ 1 2
z y x
z x r
12.
RECTA PERPENDICULAR COMÚN A DOS RECTAS QUE SE CRUZAN.
El vector director de la recta es perpendicular a los vectores directores de las dos rectas. Calculados el plano que contiene a r y tiene dirección perpendicular a las dos rectas (π1)Calculados el plano que contiene a s y tiene dirección perpendicular a las dos rectas (π2).
La recta que buscamos es la intersección de los dos planos.
Ejemplo: Encuentra la recta perpendicular a las rectas
z y x r 5 1
: y
7 5 3 7 : z y x s .
Posición relativa:
57 00 1 3 1 1 0 7 10 6 7 , 10 , 6 ; 0 , 1 , 3 7 , 5 , 7 : ; 1 , 1 , 0 0 , 5 , 1 : AB v B s v A r s r
Se cruzan.
1,3, 3
0 1 3
1 1
0
k j i v v vt r s
0 11 6 3 3 1 1 1 0 5 1
1
x y z
z y x
3 9 10 4 0
3 3 1 0 1 3 7 5 7
2
x y z
z y x 0 4 10 9 3 0 11 6 : 2 1 z y x z y x t
A.
Punto sobre una recta
1er Paso: Hallar el plano π, perpendicular a r que pasa por P.
2º Paso: Hallar Pm el punto de intersección de r y π.
B.
Punto sobre un plano
1er Paso: Hallar la recta r, perpendicular al plano π que pasa por P.
2º Paso: Hallar Pm el punto de intersección de r y π.
C.
Recta sobre un plano
Estudiamos la posición relativa de la recta y el plano:
Si la recta está incluida en el plano, la proyección es la misma recta.
Si la recta es paralela al plano, hallamos la proyección (Pm) de un punto (P) sobre el plano, y la
recta que buscamos es la que pasa por el punto proyección y tiene vector director el de la recta.
Si la recta y el plano se cortan en un punto (P´), hallamos la proyección ortogonal (Pm) de otro
punto (P) de la recta sobre el plano. La recta que buscamos es la que pasa por el punto P´y tiene dirección el vector P´Pm.
14.
ÁREAS Y VOLÚMENES
A.
ÁREA DEL PARALELOGRAMO
v u A
B.
ÁREA DEL TRIÁNGULO
2
v u A
C.
VOLÚMEN DEL PARALEPÍPEDO
u v w
V ,,
D.
VOLUMEN DEL TETRAEDRO
6 , ,v w u V