UNIDAD GEOMETRÍA

(1)

UNIDAD : GEOMETRÍA

1. SISTEMA DE REFERENCIA 2. ECUACIONES DE UNA RECTA 3. ECUACIONES DEL PLANO 4. INCIDENCIAS

5. HAZ DE PLANO

6. ÁNGULO. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD. 7. SIMETRÍA.

8. DISTANCIAS

9. PEREPENDICULAR COMÚN

10.PROYECCIONES ORTOGONALES. 11. ÁREAS Y VOLUMENERS.

1. SISTEMA DE REFERENCIA EN EL ESPACIO

Un sistema de referencia en el plano 



O,u₁,u₂,u₃



está formado por un punto O (llamado Origen), y por una base de vectores del plano B 



u₁,u₂,u₃



(a partir de ahora consideraremos que es una base ortonormal).

A cualquier punto P le hacemos corresponder el vector de posición

_OP

 , y a este las coordenadas respecto de la Base B



u1,u2,u3



  



3 2 1 yu zu

u x

OP

     





P

(

x,y,z

)

A. Vector que une dos puntos

_AB



Si

A

=(

a

1

,b

1

,c

1

) y

B=

(

a

2

,b

2

,c

2

)



AB





a2a1,b2b1,c2c1





B. Condición para que tres puntos estén alineados:

Tres puntos A, B y C está aliados si los vectores que forman entre ellos tienen la misma dirección, es decir son paralelos, por lo que sus coordenadas son

proporcionales:

Si

A

=(

a

1

,b

1

,c

1

) y

B=

(

a

2

,b

2

,c

2

)

y

C=

(

a

3

,b

3

,c

3

)



_AB





a₂ a₁,b₂ b₁,c₂ c₁





;



a3 a2,b3 b2,c3 c2



BC    



2 3

1 2 2 3

1 2

c c

c c b b

b b a a

a a

       

C. Punto medio: M es el punto medio de segmento AB, por lo tanto el

AB



2 AM

Si

A

=(

a

1

,b

1

,c

1

) y

B=

(

a

2

,b

2

,c

2

)

M=

(

x,y,z

)



M=(

𝑎1+𝑎2

2

,

𝑏1+𝑏2

2

,

𝑐1+𝑐2

2

)

2. ECUACIONES DE UNA RECTA

Una recta viene determinada por un punto P(a,b,c) y un vector director



v1,v2,v3



v .

Un punto genérico X de la recta se define como:

v

OP

OX









ECUACIÓN VECTORIAL:

OX



OP





v





  

x,y  a,b,c

 

 v1,v2,v3



(2)

𝝅ECUACIÓN PARAMÉTRICA:

    

 

3 2 1

v c z

v b y

v a x

  

Si despejamos λ de los dos e igualamos :

1

v

a

x







;

2

v

b

y







;

3

v c z

 

ECUACIÓN CONTINUA

3 2

1 v

c z v

b y v

a

x 

   

Operando obtenemos dos ecuaciones:

ECUACIÓN IMPLÍCITA



























0

0 D

z

C

y

B

x

A

D

Cz

By

Ax

ECUACIÓN DE UNA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS

La ecuación de la recta que pasa por dos puntos

A

=(

a

1

,b

1

,c

1

) y

B=

(

a

2

,b

2

,c

2

)

es la recta que pasa

por el punto A y tiene vector director el vector

_AB





a₂a₁,b₂ b₁,c₂ c₁





.



x

,

y

,

z





A





AB

3. ECUACIONES DE UN PLANO

Un plano viene determinada por un punto A(a,b,c) y dos vectores directores

u







u

₁

,

u

₂

,

u

₃



y



v1,v2,v3



v .

Un punto genérico P de la recta se define como:

OP



OA





· u







· v



ECUACIÓN VECTORIAL: 



x

,

y

,

z

 



a

,

b

,

c

 





u

₁

,

u

₂

,

u

₃

 





v

₁

,

v

₂

,

v

₃



ECUACIÓN PARAMÉTRICA:























3 3

2 2

1 1

·

· v

u

c

z

v

u

b

y

v

u

a

x













Si pasamos a, b y c al otro lado tenemos:





























3 3

2 2

1 1

·

· v

u

c

z

v

u

b

y

v

u

a

x













Es decir

AP

es combinación lineal de

u



y

v





u



,

v



,

PX

son linealmente dependientes  el

determinante formado por sus coordenadas es 0.

0

3 3

2 2

1 1





v

u

c

z

v

u

b

y

v

u

a

x

. Operando obtenemos:

ECUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITA

Ax



By



Cz



D



0

Ecuaciones de un plano a partir de un punto y un vector normal.

Sea π un plano y

n





(

A

,

B

,

C

)

un vector normal al plano (

n









n





u



;

n





v



)

A(a,b,c), P(x,y,z) 

AP





x



a

,

y



b

,

z



c



.

AP



n





AP



n





0 

x



a

 



B

y



b

 



C

z



c





0 

Ax



By



Cz



Aa



Bb



Cc



0 

Ax



By



Cz



D



0 A

D



 



 



NOTA:

n









n





u



;

n





v





n





u





v



ECUACIÓN DE UN PLANO QUE PASA POR TRES PUNTOS

La ecuación de la recta que pasa por dos puntos

A

=(

a

1

,b

1

,c

1

) ,

B=

(

a

2

,b

2

,c

2

)

y C=(

a

3

,b

3

,c

3

)

es la

(3)

4. INCIDENCIAS

A. PUNTOS

Tres puntos A, B y C está aliados si los vectores que forman entre ellos tienen la misma dirección, es decir son paralelos, por lo que sus coordenadas son proporcionales: Rango



AB,AC



1

B. RECTAS

Dos rectas en el espacio se:

 CRUZAN:

 CORTAN: Si se cortan en un solo punto.

 PARALELAS: Si no tienen ningún punto en común.

 COINCIDENTES: Si tienen todos sus puntos comunes. Pondremos siempre las rectas en paramétricas:











_

















3 2 1 2 2 2 3 2 1 1 1 1

,

;

,

v

c

b

a

B

s

u

c

b

a

A

r

_

 Si

u



,

v



,

AB

son proporcionales  DOS RECTAS COINCIDENTES.

 

, 1

3 2 1 3 2 1 _        v v v u u u Rango v u

Rango   y



_, _,



₁

1 2 1 2 1 2 3 2 1 3 2 1                c c b b a a v v v u u u Rango AB v u Rango 



u



,

v



son proporcionales, pero no a

AB

 DOS RECTAS PARALELAS

 

, 1

3 2 1 3 2 1 _        v v v u u u Rango v u

Rango   y



_, _,



₂

1 2 1 2 1 2 3 2 1 3 2 1                c c b b a a v v v u u u Rango AB v u Rango 



u



,

v



no son proporcionales y

u



,

v



,

AB

son coplanarios  DOS RECTAS QUE SE CORTAN

 

, 2

3 2 1 3 2 1 _        v v v u u u Rango v u

Rango   y



_, _,



₂

1 2 1 2 1 2 3 2 1 3 2 1                c c b b a a v v v u u u Rango AB v u

Rango  



u



,

v



no son proporcionales y

u



,

v



,

AB

no son coplanarios  DOS RECTAS QUE SE CRUZAN

 

, 2

3 2 1 3 2 1 _        v v v u u u Rango v u

Rango   y



_, _,



₃

1 2 1 2 1 2 3 2 1 3 2 1                c c b b a a v v v u u u Rango AB v u

Rango 

Nota: Para encontrar rectas paralelas basta con que los vectores directores sean proporcionales (podemos usar el mismo vector).

C. POSICIÓN RELATIVA DE RECTAS Y PLANOS

Una recta y un plano en el espacio pueden tener las siguientes posiciones:

 CORTAN: Si se cortan en un solo punto.

 RECTA CONTENIDA EN EL PLANO.

Pondremos siempre las rectas en paramétricas























3 2 1

v

c

z

v

b

y

v

a

x



y el plano en forma general

0 





Ax

By

Cz

D

(4)





₁

 



₂









₃







0 

A

a



v

B

b



v

C

c



v

D



Ecuación de 1er_{grado que puede salir:}

 λ=número  Se CORTAN en un punto

 0λ=número≠0  Sin solución: PARALELOS

 0λ=0  Infinitas soluciones: RECTA CONTENIDA EN EL PLANO

D. POSICIÓN RELATIVA DE DOS PLANOS

Dos planos en el espacio pueden ser:

 CORTAN: Si se cortan en una recta.

 COINCIDENTES.

Pondremos siempre los planos en forma general

0 ;

0 























Ax

By

Cz

D



A

x

B

y

C

z

D



.



D

C

B

A















PLANOS COINCIDENTES.



D

C

B

A















PLANOS PARALELOS



C

B

A











´ó

SE CORTAN EN UNA RECTA

E. POSICIÓN RELATIVA DE TRES PLANOS

Para saber su posición relativa discutimos el sistema:

























































0

0 D

z

C

y

B

x

A

D

z

C

y

B

x

A

D

Cz

By

Ax





Rango

 

A



Rango

 

A

B



3

SCD Se CORTAN EN UN PUNTO.



Rango

 

A



2 

Rango

 

A

B



3

S.I. Pueden ser dos cosas:

 Los planos se cortan dos a dos. (viendo que los coeficientes no son proporcionales)

 Dos planos paralelos y otro que los corta (viendo que los coeficientes son proporcionales)



Rango

 

A



Rango

 

A

B



2

SCI. Se CORTAN EN UNA RECTA.



Rango

 

A



1 

Rango

 

A

B



2

S.I. TRES PLANOS PARALELOS.



Rango

 

A



Rango

 

A

B



1

PLANOS COINCIDENTES.

5. HAZ DE PLANOS

Haz de planos paralelos.

Dado un plano 𝜋: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 se llama haz de plano paralelo a 𝜋 a todos

aquellos que son paralelos a él, es decir, son de la forma: Ax +By+ Cz+𝜇 = 0

Haces de planos secantes en una recta

Consideremos los planos𝜋: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 𝑦 𝜋′: 𝐴′𝑥 + 𝐵′𝑦 + 𝐶′𝑧 + 𝐷′= 0 𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎  EL haz de planos tendrá de ecuación:



Ax



By



Cz



D

 





A



x



B



y



C



z



D







0 

ó Ax+By+Cz+D +𝜇(𝐴′𝑥 + 𝐵′𝑦 + 𝐶′𝑧 + 𝐷′)

(5)

Pondremos siempre las rectas en paramétricas:











_

















3 2 1

2 2 2

3 2 1

1 1 1

,

;

,

v

c

b

a

B

s

u

c

b

a

A

r

_

El ángulo que forman dos rectas es el menor de los ángulos que definen.

 

r

^

s

se toma el más pequeño  estará entre 0º y 90º, además será el ángulo formado por los vectores directores de las rectas

  

r

^

s



u



^

v





 Ángulo





v

u

v

u

v

u

s

r

_







cos

^

)

^

cos(

Se toma valor absoluto para que el ángulo esté entre 0º

y 90º.

 Perpendicularidad:

r



s



u





v





u





v





0

 Paralelismo:

r

//

s



u



//

v





Son

proporcion

ales



u





v





0 

B. PLANOS

Pondremos siempre los planos en forma general

0 ;

0

₂

1



Ax



By



Cz



D







A



x



B



y



C



z



D







. Cogemos los vectores normales de cada

plano

n



₁





A

,

B

,

C







₁ y

n



₂





A



,

B



,

C









₂

 Ángulo

2 1

2 1 2

1 2

1

^

)

cos(

^

)

cos(

n

_









Se toma valor absoluto para que el ángulo esté

entre 0º y 90º.



₁





₂



n



₁



n



₂



n



₁



n



₂



0

 Paralelismo:



₁

//



₂



n



₁

//

n



₂



Son

proporcion

ales



n



₁



n



₂



0 

C. RECTA Y PLANO

Pondremos siempre las rectas en paramétricas:

















3 2 1

1 1 1

,

u

c

b

a

A

r



y el plano en forma general:

0 





Ax

By

Cz

D



. (Cogemos el vector normal del plano

n







A

,

B

,

C







.

 Ángulo

n

u

n

u

n

u

r

sen

_







cos(

^

)

^

(



Se toma valor absoluto para que el ángulo esté entre

0º y 90º.

r







u



//

n





Son

proporcion

ales



u





n







0

 Paralelismo:

r

//





u





n





n



₁



n



₂



0

Ejemplos:

 Hallar el ángulo que forman r y s.

r

:



x

,

y

,

z





(

1 ,

0 ,

0 )







1 ,



1 ,

2 

;

























1

2

1

3

1 :

z

y

x

s





 

º

73 ´

83 )

^

(

109 ´

0

14

·

6

1

2

3

·

2

1

1 )

1 ·(

2

2 )·

1 (

3

·

1 ^

cos

)

^

cos(

2 2

2 2 2 2

























s

r

v

u

v

u

v

u

s

r

_



 Hallar el ángulo que forman los planos:



₁



2 x



3 y



z



2 

0 ;



₂



x



y



3 z



1 

0 



₁

1



2 ,

3 ,

1 



(6)

º

70 ´

80 )

^

(

161 ´

0

154

2

11

·

14

3

2 )

^

cos(

)

^

cos(

₁ ₂

2 1

2 1 2

1 2

1



















n

_



 Hallar el ángulo que forman la recta

r

:



x

,

y

,

z





(

1 ,

3 ,

2 )







0 ,

1 ,

2 

y el plano





3 x



2 y



7 z



2 

0 º

96 ´

42 )

^

(

6815

´

0

62

·

5

14

2

0 )

^

cos(

)

^

(



















r

n

u

n

u

n

u

r

sen

_



7. SIMETRIAS

A. SIMETRÍA DE UN PUNTO RESPECTO A OTRO.

P´(x,y,z) es el punto simétrico de P(x1,y1,z1) respecto del

punto A(a,b,c). Entonces A es el punto medio entre P y P´.

2

1

x

a





2

1

y

b





,

2

1

z

c





Ejemplo: Calcular el punto simétrico de P(2,3,1) respecto al punto A(2,4,6).

P´(x,y,z) 

4

2

2 



x







x



x



;

8

3

5

2

3

4 



y







y



y



;

11

1

12

2

1

6 



z







z



z



 P´(2,5,11)

B. SIMETRÍA DE UN PUNTO RESPECTO A UNA RECTA Pasos para calcular P´, simétrico de P respecto la recta:

1er_{Paso: Hallar el plano π, perpendicular a r que pasa por P.}

2º Paso: Hallar A el punto de intersección de r y π.

3er_{Paso: Se halla el simétrico de P respecto al punto de intersección}

A.

Ejemplo: Calcular el punto simétrico de P(2,4,6) respecto a la recta





















4

2

2 :

z

y

x

r

1)

u









1 ,

2 ,

1 







n



//

u



Podemos considerarlos iguales

n









1 ,

2 ,

1 





0

2 











x

y

z

D



(Sustituimos el punto P)



2 

2

·

4 

6 

D



0 

D





12



0

12

2 











x

y

z



2)





r



Sustituimos la recta en el plano y hallamos λ 

3

5

6

10

0

12

4

2

·

2 )

2 (

















A 

3

17

3

5

4 ;

3

10

3

5

·

2 ;

3

1

3

5

2 







y

z

x





3

17 ,

3

10 ,

3

1 

A

3) P´(x,y,z) 

3

4

2

3

2

3

1 _



_

_

_

_

_



x

;

3

8

4

3

20

2

4

3

10 _



_

_

_

_

_

y

;

3

16

6

3

34

2

6

3

17 _



_

_

_

_

_

z







3

16 ,

3

8 ,

3

4 



P

C. SIMETRÍA DE UN PUNTO RESPECTO A UN PLANO Pasos para calcular P´, simétrico de P respecto de un plan:

(7)

3er_{Paso: Se halla el simétrico de P respecto al punto de intersección A.}

Ejemplo: Calcular el punto simétrico de P(2,0,1) respecto al plano





x



y



1 

0

1)

n







1 ,



1 ,

0 







n



//

u



Podemos considerarlos iguales

u







1 ,



1 ,

0 





Pasa por P





















1

2 :

z

y

x

r



2)





r



Sustituimos la recta en el plano y hallamos λ 

2

3

0

1 )

(

2 



















A 

;

1

2

3 ;

2

1

2

3

2 









y

z

x



,

1



2

3 ,

2

1 



A

3) P´(x,y,z) 

1

2

1

2

1 _



_

_

_

_

_

_

x

;

3

0

3

2

0

2

3 _



_

_

_

_

_

_

_



y

;

1

2

1

1 



z







z



z





P







1 ,



3 ,

1 

8. DISTANCIAS

i.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS







 

2

 

2



2

,

B

AB

a

b

c

A

d



















. Siendo A(a,b,c) y B(a´,b´,c´)

ii.

DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO

A. RAZONADAMENTE

1) Construir la recta r perpendicular al plano que pasa por P 2) Hallar la intersección de la recta y el plano (es el punto más

cercano) Pm.

3)

d



P

,



 



d

P

,

P

_m



B. FÓRMULA



x

0

,

y

0

,

z

0



P



:

Ax



By



Cz



D



0

y sea

Q



x

₁

,

y

₁

,

z

₁











2 2 2

0 0

0

,

C

B

A

D

Cz

By

Ax

n

QP

P

d









_





Ejemplo: Calcular la distancia de P(0,4,0) al plano



:

x



y



z



1 

0

 Razonadamente: 1)



















z

y

x

r

:

4

2)



1 ,

3 ,

1 

1

0

1

4 























P

_m





P

 

d

P



     

u

d

,





,

_m





1

2





1

2





1

2



3

 Fórmula:

d



P



3 u

3

1

0

4

0 ,

2 2

2











(8)

iii.

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

A. RAZONADAMENTE

1) Construir el plano π perpendicular a la recta que pasa por P

2) Hallar la intersección de la recta y el plano (es el punto más cercano) Pm.

3)

d



P

,



 



d

P

,

P

_m



B. FÓRMULA

 

P

r

d

,

es la altura del paralelogramo formado por

AP

y

u



 

u

AP

u

base

Área

r

P

d

_



_



,

Ejemplo: Calcular la distancia de P(0,0,1) a la recta





















1

1 :

z

y

x

r



 Razonadamente: 1)



:

x



y



0

2)





 



1

0 ,

1

0 ,

1

1  

1 ,

0 

1 ,

1

0

1

1 

















m

PP

P



  

P

r

d

P



     

u

d

,



,

_m



1

2



1

2



0

2



2

 Fórmula:





 







0 ,

2 

0

1

0

1

0 ,

1 ,

1

1 ,

1

0 ,

1 ,

1 

























i

j

k

AP

u

AP

A

u



 

u

AP

u

r

P

d

2

4 ,







_



iv.

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS (mínima)

Lo primero que debemos hacer es estudiar la posición relativa de las dos rectas a) Si son coincidentes

r



s



d

 

r

,

s



0

b) Si son paralelas

r

//

s



d

   

r

,

s



d

P

,

s

siendo P un punto de r



P



r



c) Si se cortan

r



s



d

 

r

,

s



0

d) Si se cruzan 

 





s r

v

AB

v

s

r

d

_







,

Construimos el paralepípedo con lados

v



_r

,

v



_s

,

AB

. El volumen será



v

AB



V





_r

,



_s

,

. Por otro lado

V=Área base·h=

v



_r



v



_s ·d(r,s) (despejamos d(r,s) y obtenemos la fórmula

v.

DISTANCIA DE UNA RECTA A UN PLANO

Lo primero que debemos hacer es estudiar la posición relativa de la recta y el plano. a) Si la recta está contenida en el plano

r





 d



r,



0

b) Si se cortan en un punto

r







P

 d



r,



0

c) Si son paralelas

r

//





d

  

r

,





d

P

,







P



r



vi.

DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS

(9)

d) Si son coincidentes









 d



,



0

e) Si se cortan en una recta











r

 d



,



0

f) Si son paralelas



//







d





,





 



d

P

,









P







vii.

RECTA QUE PASA POR UN PUNTO Y CORTA A DOS RECTAS QUE SE CRUZAN.

Calculados el plano que pasa por P y que contiene a r (π1)

Calculados el plano que pasa por P y que contiene a s (π2).

La recta que buscamos es la intersección de los dos planos.

Ejemplo: Encuentra la recta que pasa por el punto A(1,0,-1) y corta a las rectas

             1 3 : z y x r            0 4 2 0 1 2 3 : z y x z y x s

π1: vectores directores del plano: el de la recta (1,1,1) y AB



31,00,1(1)



(2,0,2).



2,0,2



: 2 2 0; 2 2 0 : 2 2 4 0

2 0 2

1 1

1    1      1     1     



 x z D A D x z

k j i AB v

n    

π2: Lo hacemos por el haz de planos: ₂:3x2yz12xyz40,A₂

2 1 4 0, 1 1

1

3       2:3x2yz12xyz40,2:x3y2z30

              0 3 2 3 0 4 2 2 : ´ ₁ ₂

z y x

z x r  

12. RECTA PERPENDICULAR COMÚN A DOS RECTAS QUE SE CRUZAN.

El vector director de la recta es perpendicular a los vectores directores de las dos rectas. Calculados el plano que contiene a r y tiene dirección perpendicular a las dos rectas (π1)

Calculados el plano que contiene a s y tiene dirección perpendicular a las dos rectas (π2).

La recta que buscamos es la intersección de los dos planos.

Ejemplo: Encuentra la recta perpendicular a las rectas

          z y x r 5 1

: y

          7 5 3 7 : z y x s   .

Posición relativa:

















57 0

0 1 3 1 1 0 7 10 6 7 , 10 , 6 ; 0 , 1 , 3 7 , 5 , 7 : ; 1 , 1 , 0 0 , 5 , 1 :             AB v B s v A r s r 

 Se cruzan.



1,3, 3



0 1 3

1 1

0   

   k j i v v v_t _r _s

0 11 6 3 3 1 1 1 0 5 1

1     

 

 x y z

z y x

 3 9 10 4 0

3 3 1 0 1 3 7 5 7

2     

 

  

 x y z

z y x                 0 4 10 9 3 0 11 6 : 2 1 z y x z y x t  

(10)

A. Punto sobre una recta

1er_{Paso: Hallar el plano π, perpendicular a r que pasa por P.}

2º Paso: Hallar Pm el punto de intersección de r y π.

B. Punto sobre un plano

1er_{Paso: Hallar la recta r, perpendicular al plano π que pasa por P.}

2º Paso: Hallar Pm el punto de intersección de r y π.

C. Recta sobre un plano

Estudiamos la posición relativa de la recta y el plano:

 Si la recta está incluida en el plano, la proyección es la misma recta.

 Si la recta es paralela al plano, hallamos la proyección (Pm) de un punto (P) sobre el plano, y la

recta que buscamos es la que pasa por el punto proyección y tiene vector director el de la recta.

 Si la recta y el plano se cortan en un punto (P´), hallamos la proyección ortogonal (Pm) de otro

punto (P) de la recta sobre el plano. La recta que buscamos es la que pasa por el punto P´y tiene dirección el vector P´Pm.

14. ÁREAS Y VOLÚMENES

A. ÁREA DEL PARALELOGRAMO

v u A 

B. ÁREA DEL TRIÁNGULO

2

v u A

 

 

C. VOLÚMEN DEL PARALEPÍPEDO



u v w



V  ,,

D. VOLUMEN DEL TETRAEDRO





6 , ,v w u V

  

(11)