Introducción a los Grupos Topológicos

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(1)INTRODUCCIÓN A LOS GRUPOS TOPOLÓGICOS. Diego Arturo Dı́az Padilla. Universidad Distrital Francisco José de Caldas Facultad de Ciencias y Educación Proyecto Curricular de Matemáticas Bogotá 2015.

(2) INTRODUCCIÓN A LOS GRUPOS TOPOLÓGICOS. Diego Arturo Dı́az Padilla. Trabajo Dirigido por: Carlos Orlando Ochoa Castillo M. Sc. Universidad Nacional de Colombia. Universidad Distrital Francisco José de Caldas Facultad de Ciencias y Educación Proyecto Curricular de Matemáticas Bogotá 2015.

(3) Nota de Aceptación. Firma Nombre: Presidente del jurado. Firma Nombre: Jurado. Firma Nombre: Jurado. Bogotá, 28 de Octubre del 2015.

(4) Dedicado a mi familia, amigos, a la Universidad Distrital Francisco José de Caldas y a todos aquellos que me mostraron su afecto y apoyo..

(5) Agradecimientos Al iniciar nuestro camino académico es natural tener miedos y estar lleno de inseguridades, con un montón de cosas en nuestra cabeza para no defraudar a nadie y dar lo mejor de uno mismo. Sin embargo en la mayorı́a de las veces este camino tiene piedras y senderos peligrosos que sin la ayuda de terceros seria muy difı́cil y hasta algunas veces imposible de cruzar. Es ası́ que este espacio esta dedicado a agradecer aquellas personas que directa o indirectamente me han ayudado a seguir diariamente en este arduo trabajo. Para empezar, agradezco a Dios por darme la fuerza y la sabidurı́a a la hora de afrontar todos los retos y obstáculos que acontecieron, también extenderle un agradecimiento a la Universidad Distrital Francisco José de Caldas, por ser mi alma mater, por permitirme ser parte de tan hermosa comunidad, por haberme ofrecido los mejores maestros e instalaciones que, a pesar de haber tenido dificultades en algún momento de su historia ofreció lo mejor de sı́. Al profesor Carlos Orlando Ochoa Castillo, por haber aceptado el reto de dirigir esta monografı́a, por sus constantes correcciones y aclaraciones, por sus clases y comentarios que siempre tendré presente, gracias profe; a mis amigos, tanto de mi infancia como a los que conocı́ en la Universidad, Julieth, Claudia, Sebastian, Andres, Miguel y muchos mas que desafortunadamente me queda complicado nombrarlos a todos. A mis maestros del colegio en especial a los profesores Jhon Fredy Palomino, Clara Castillo y Elizabeth por haberme alentado a estudiar en la Universidad y en general a todos ellos por sus constantes reflexiones acerca de la vida y lo importante del estudio; también, y no menos importante, dar mi mas profundo agradecimiento a mi familia, ya que sin ellos me hubiera quedado muy difı́cil, no solo empezar este camino académico, sino continuar con él y culminarlo satisfactoriamente, quiero hacer especial mención a mi madre Miriam Teresa Padilla por el amor y la paciencia que siempre y aún continua teniendo conmigo. Gracias a todos..

(6) Índice general 0. Anteproyecto. 1. 1. Preliminares. 8. 1.1. Teorı́a de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 1.1.1. Primer teorema de isomorfia . . . . . . . . . . . . . . . .. 17. 1.2. Topologı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20. 1.2.1. Axiomas de separación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23. 2. Grupos Topológicos. 27. 2.1. Homogeneidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33. 2.2. Separación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37. 2.3. Invariante Topológico. 42. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.4. Subgrupo y grupo cociente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46. 2.4.1. Primer Teorema de Isomorfı́a . . . . . . . . . . . . . . . .. 58. Conclusiones. 62. Bibliografı́a. 62. i.

(7) Capı́tulo 0. Anteproyecto Introducción El concepto de grupo topológico o continuo, apareció inicialmente en relación con los grupos de transformaciones continuas. Más adelante se vió que para tratar la mayor parte de los problemas que se planteaban no habı́a necesidad de considerar el grupo como grupo de transformaciones, sino que bastaba estudiar el grupo por sı́ solo teniendo presente una relación adicional en él. De esta manera surgió un nuevo concepto matemático: el de grupo topológico. Desde un punto de vista, el concepto de grupo topológico es la fusión de los conceptos grupo y espacio topológico. Al considerar los grupos estudiamos la operación algebraica asociada a él, sus propiedades y consecuencias; de la misma manera al considerar los espacios topológicos estudiamos sus operaciones topológicas junto con lo que se llama la topologı́a asociada a éste. Por consiguiente el grupo topológico es, precisamente aquel que comprende y liga estos dos maravillosos conceptos; sin embargo esta noción es joven y por ende a la espera de ser usado, comprendido y sobre todo estudiado, luego se hace necesario investigar sobre este tema. Es por ello que se estudiará el capı́tulo quinto del texto An Introduction with Aplications to Topological Groups cuyo autor es George Mc Carty para elaborar esta monografı́a.. 1.

(8) CAPÍTULO 0. ANTEPROYECTO. 2. Planteamiento del problema La complejidad de la ciencia se genera cuando conceptos de diversas vertientes se ponen en relación, es natural por tanto que en Matemáticas cuando dos conceptos se relacionan dan lugar a resultados asombrosos y fascinantes como en el caso de los grupos topológicos. En este sentido se hace necesario plantear la siguiente cuestión: ¿Cuáles son las propiedades básicas de los grupos topológicos?.

(9) CAPÍTULO 0. ANTEPROYECTO. 3. Justificación Durante los últimos años, la teorı́a de grupos topológicos ha motivado numerosas investigaciones. Por una parte se han incorporado varios resultados algebraicos, como los teoremas de estructura, lo que ha permitido, por ejemplo, la descripción de la estructura de grupos abelianos localmente compactos. Por otro lado los grandes hallazgos en la teorı́a de conjuntos también se han reflejado en la teorı́a de grupos topológicos, pues las nuevas técnicas y métodos de trabajo han generado que se revelen nuevas propiedades de los grupos topológicos y además la resolución de varios problemas. Por tanto se ha considerado que el texto An Introduction with Aplications to Topological Groups es una buena herramienta para empezar nuestro estudio..

(10) CAPÍTULO 0. ANTEPROYECTO. 4. Objetivos Objetivo general Reconstruir los conceptos principales de los grupos topológicos que aparecen en el capı́tulo quinto de An Introduction with Aplications to Topological Groups.. Objetivos especı́ficos 1. Identificar las propiedades de los grupos topológicos. 2. Describir las conexiones existentes entre los espacios topológicos y la teorı́a de grupos. 3. Mostrar ejemplos de grupos topológicos..

(11) CAPÍTULO 0. ANTEPROYECTO. 5. Estado del arte Los grupos topológicos abstractos fueron estudiados por primera vez por Schreirer y por F. Leja (en 1926 y 1927 respectivamente) aunque la idea ya estaba latente en los grupos continuos de transformaciones. El tema tiene sus orı́genes por una parte en el programa de Klein (1872), consistente en estudiar las geometrı́as a través de los grupos de transformaciones asociados a ellas, y por otra parte en la teorı́a de los grupos continuos de Lie que surge de la solución de ciertas ecuaciones diferenciales. En la famosa lista de problemas de Hilbert (1900, International Congress of Mathematics), el problema quinto impulsó investigaciones en torno a los grupos topológicos. En lenguaje actual, el problema quinto planteaba lo siguiente: ¿bajo que condiciones se puede asegurar que un grupo topológico tiene una estructura analı́tica que hace de él un grupo de Lie? [6]. El famoso grupo de Bourbaki presentó también un tratamiento sistemático de los grupos topológicos (y en general, el primer tratado moderno de topologı́a general) junto con el álgebra multilineal y exterior, los espacios uniformes, la teorı́a de filtros entre otros [1]. Además en la década de los años 40 L. S. Pontryagin dictó varios cursos que le sirvieron de base para la monografia “Grupos Contı́nuos”. Mas tarde el mismo Pontryagin amplió este tema y lo expone en el año 1950 [7]. Mas adelante en 1952 el problema quinto de Hilbert fue resuelto conjuntamente por Gleason, D. Montgomery y L. Zippin; donde se puede enunciar del siguiente modo sus respuestas: un grupo topológico es un grupo de Lie si y solo si es localmente euclı́deo [6]..

(12) CAPÍTULO 0. ANTEPROYECTO. 6. Metodologı́a En la presente monografı́a se llevarán a cabo las diferentes etapas: Revisión bibliográfica. Estudio teórico de las temáticas. Elaboración de un cuaderno de notas con apuntes y teorı́a que permitan la fácil concepción del tema [2]..

(13) CAPÍTULO 0. ANTEPROYECTO. 7. Cronograma La siguiente tabla presenta una distribución del trabajo de grado en un tiempo de ocho meses.. Búsqueda de bibliografı́a Estudio y análisis de los documentos Socialización de avances ante el semillero Redacción de monografı́a. Feb-Mar X. Abr X X. May. Jun-Jul. X. X X. Agost. Sept. X X. X.

(14) Capı́tulo 1. Preliminares El propósito de este trabajo es presentar propiedades básicas de los grupos topológicos, para ello se exponen resultados previos de la teorı́a de grupos y de topologı́a.. 1.1.. Teorı́a de grupos. Cuando estudiamos los conjuntos, con éstos podemos hacer uniones, intersecciones, complementos, producto cartesiano, entre otros; estas interacciones dejan de lado propiedades que podrı́an cumplir los elementos del mismo, como por ejemplo, que al operar dos elementos de dicho conjunto el resultado esté nuevamente en el conjunto; esto motiva la siguiente definición. Definición 1.1. [3] Un grupo (G, ∗) es un conjunto G, junto con una operación binaria ∗ en G, que satisface las siguientes propiedades: 1. ∗ es cerrada en G. 2. La operación ∗ es asociativa. 3. Existe un elemento e en G tal que e∗x = x∗e = x para todos los elementos x ∈ G. Este elemento e es el elemento identidad para ∗ en G. 4. Para cada a ∈ G existe un elemento e a ∈ G con la propiedad de que e a∗a = a∗e a = e. El elemento e a es el inverso de a respecto a ∗.. 8.

(15) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 9. Definición 1.2. [3] Dado un grupo (G, ∗) y un subconjunto H de G, diremos que H es un subgrupo de (G, ∗), y escribiremos (H, ∗) ≤ (G, ∗) si: 1. ∗ es cerrada en H. 2. El elemento neutro de G pertenece a H. 3. Si x ∈ H, su inverso, x−1 , también pertenece a H. Para demostrar que H es un subgrupo de un grupo G, no es necesario demostrar que se cumplen las condiciones 1, 2 y 3 dadas anteriormente sino que basta verificar una sola condición; antes de enunciarla se darán a conocer dos teoremas relevantes. Teorema 1.1. [3] Si (G, ∗) es un grupo, se tienen las siguientes propiedades: i) De a ∗ c = b ∗ c se deduce a = b. ii) De c ∗ a = c ∗ b se deduce a = b. ′. Demostración. Comencemos demostrando i). Sea c ∈ G, luego existe c ∈ G tal ′ que c ∗ c = e. Entonces, si a ∗ c = b ∗ c tenemos (a ∗ c) ∗ c. ′. =. ′. (b ∗ c) ∗ c. ′. ′. a ∗ (c ∗ c ) = b ∗ (c ∗ c ) a = b. La parte ii) se demuestra de manera similar. Teorema 1.2. [3] Sea (G, ∗) un grupo y g ∈ G, entonces se tiene (g −1 )−1 = g. ′. ′. Demostración. Sea g el inverso de g −1 ; entonces g ∗ g −1 = e. Por otro lado g ∗ g −1 = e, luego ′ g ∗ g −1 = g ∗ g −1 , ′. usando el Teorema 1.1 se tiene g = g y por lo tanto (g −1 )−1 = g. Teorema 1.3. [3] Sea (G, ∗) un grupo y H un subconjunto de G, con H ̸= ∅; H es un subgrupo de (G, ∗) si y solo si para todo x, y ∈ H, x ∗ y −1 ∈ H. Demostración. (=⇒) Supongamos que (H, ∗) es un subgrupo de (G, ∗); dados x, y ∈ H, y −1 ∈ H, y por tanto x ∗ y −1 ∈ H. (⇐=) Supongamos que se cumple la última parte del teorema; x ∈ H, x ∗ x−1 = e ∈ H; como e ∈ H, e ∗ x−1 = x−1 ∈ H; finalmente, si x, y ∈ H, y −1 ∈ H, y entonces x ∗ y = x ∗ (y −1 )−1 ∈ H; esto prueba que se cumplen las condiciones 1, 2 y 3 de la Definición 1.2 con lo cual (H, ∗) es un subgrupo de (G, ∗)..

(16) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 10. Definición 1.3. [3] Sea G un grupo y H un subgrupo de G, diremos que dos elementos x, y ∈ G son congruentes modulo H, y escribiremos x ≡ y mod(H), si x−1 y ∈ H. Teorema 1.4. [3] Sea G un grupo y H un subgrupo de G; la relación dada en la definición anterior es una relación de equivalencia y la clase de equivalencia de un elemento x ∈ G en esta relación coincide con xH. Demostración. Sea H un subgrupo de G. 1) Reflexividad. Sea x ∈ G, luego x−1 x = e ∈ H, por tanto x ≡ x(H). 2) Simetrı́a. Si x ≡ y(H) se tiene que x−1 y ∈ H; como H es un subgrupo de G, (x−1 y)−1 ∈ H y de esto último (x−1 y)−1 = y −1 x ∈ H ası́ que y ≡ x(H). 3) Transitividad. Sean x, y, z ∈ G y supongamos que x ≡ y mod(H), y ≡ z mod(H); es decir, x−1 y ∈ H y y −1 z ∈ H, y puesto que H ≤ G, x−1 z = (x−1 y)(y −1 z) ∈ H por ende x ≡ z mod(H). Sea ahora x ∈ G; si [x] denota la clase de equivalencia de x, entonces { } [x] = {y ∈ G | x ≡ y mod(H)} = y ∈ G | x−1 y ∈ H = {y ∈ G | y ∈ xH} = {xh | h ∈ H} = xH.. Hasta este momento hemos definido subgrupo y una relación de equivalencia definida a partir de él; para el estudio posterior es necesario introducir el siguiente hecho que los relaciona. Definición 1.4. [3] Un subgrupo H de un grupo G se dice normal, y escribiremos H ▹ G, si: (xH)(yH) = (xy)H. para todo x, y ∈ G.. El siguiente teorema muestra que si H es un subgrupo normal de G, entonces a G/H, que es el conjunto de clases de equivalencia que se obtiene al definir en G una relación de equivalencia dada en la Definición 1.3; se le puede dotar de una estructura de grupo..

(17) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 11. Teorema 1.5. [3] Sea G un grupo y H un subgrupo normal de G; la operación (xH)(yH) = (xy)H define en el conjunto cociente G/H un estructura de grupo. Este grupo recibe el nombre de grupo cociente de G sobre H. Demostración. Primero tenemos que verificar que la operación de clases de equi′ valencia está bien definida en G/H, es decir, si x es un representante de xH ′ ′ ′ y y es un representante de yH, x y es un representante de (xy)H. En efecto, ′ ′ ′ ′ como x ∈ xH y y ∈ yH, x y ∈ (xH)(yH) = (xy)H, por ser H ▹ G. Por otro lado, tenemos que ((xH)(yH))(zH). = ((xy)H)(zH) = (xy)zH = x(yz)H = (xH)((yH)(zH)). y se sigue la asociatividad. El elemento neutro es H = eH, puesto que (xH)(eH) = (xe)H = xH (eH)(xH) = (ex)H = xH. y para todo xH ∈ G/H.. Finalmente, si xH ∈ G/H, x−1 H es su inverso, puesto que (xH)(x−1 H) −1. (x. = (xx−1 )H = eH = H. H)(xH) =. (xx. −1. y. )H = eH = H.. Definición 1.5. [3] Si G es un grupo y H ≤ G, definimos el ı́ndice de H en G, y lo notamos mediante [G : H], como el cardinal del conjunto cociente G/H. Observemos que el ı́ndice de H en G se puede definir para cualquier subgrupo no necesariamente normal. En este caso [G : H] es el número de clases de equivalencia. El siguiente teorema nos permite verificar de una manera menos engorrosa que un subgrupo dado sea normal. Teorema 1.6. [3] Si G es un grupo y H es un subgrupo de G, las siguientes afirmaciones son equivalentes: i) H es un subgrupo normal de G. ii) xHx−1 ⊆ H para todo x ∈ G. iii) xH = Hx para todo x ∈ G..

(18) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 12. Demostración. Probemos que i) ⇒ ii), ii) ⇒ iii) y iii) ⇒ i) con lo cual quedará demostrado el teorema. i) ⇒ ii). Sea H ▹ G; entonces (xH)(x−1 H) = (xx−1 )H = eH = H para todo x ∈ G; se tiene entonces que si h ∈ H, xh ∈ xH y x−1 h ∈ x−1 H, luego (xh)(x−1 h) ∈ (xH)(x−1 H) = (xx−1 H) = H, ası́ que xhx−1 h ∈ H, es decir, xhx−1 h = h1 para algún h1 ∈ H, de tal manera xhx−1 = h1 h−1 = h2 donde h2 ∈ H; luego xhx−1 ∈ H ⊆ H lo cual demuestra ii). ii) ⇒ iii). Supongamos que xHx−1 ⊆ H para todo x ∈ G; operando x por la derecha tenemos xH ⊆ Hx; ahora, aplicando ii) para x−1 , nos da como resultado x−1 Hx ⊆ H, luego operando x a izquierda, encontramos que Hx ⊆ xH por tanto xH = Hx. iii) ⇒ i). Por último supongamos que xH = Hx para todo x ∈ G. Queremos probar que H es un subgrupo normal, es decir, (xH)(yH) = (xy)H esto para todo x, y ∈ G. ′. ′. ′. ′. Sean x ∈ xH, y ∈ yH; se tiene x = xh1 , y = yh2 , donde h1 , h2 ∈ H; entonces ′. ′. x y = (xh1 )(yh2 ) ′. y puesto que yH = Hy, existe h ∈ H tal que ′. yh = h1 y, por lo cual ′. xy. ′. = (xh1 )(yh2 ) = x(h1 y)h2 ′. ′. = x(yh )h2 = (xy)(h h2 ) ∈. (xy)H.. Esto prueba que (xH)(yH) ⊆ (xy)H. Para demostrar la otra inclusión tomemos (xy)h ∈ (xy)H; entonces (xy)h = (xe)(yh) ∈ (xH)(yH) por tanto (xy)H ⊆ (xH)(yH) y de aquı́ se sigue la normalidad de H en G..

(19) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 13. En lo que resta de esta sección, daremos la definición de homomorfismo, el cual es una función que preserva operaciones. Además este concepto va ser de gran ayuda para demostrar unos de los teoremas mas importantes del álgebra. Definición 1.6. [3] Sean (G1 , ∗) y (G2 , ◦) dos grupos y f una función de G1 en G2 . La función f se dice que es un homomorfismo si para todo x, y ∈ G1 , f (x ∗ y) = f (x) ◦ f (y). Supongamos que f es un homomorfismo; si f es, además, inyectiva diremos que f es un monomorfismo; si f es sobreyectiva, f se llamará epimorfismo; cuando f es biyectiva, diremos que f es un isomorfismo. Cuando existe un isomorfismo entre dos grupos, digamos G1 y G2 , diremos que ambos son isomorfos. Los isomorfismos entre un mismo grupo reciben el nombre de automorfismos. [3] Los siguientes teoremas son algunas propiedades de los homomorfismos. Teorema 1.7. [3] Sea f un homomorfismo entre los grupos G1 y G2 , se tiene: 1. f (e1 ) = e2 , donde ei es el elemento neutro de Gi para i = 1, 2. 2. f (x−1 ) = (f (x))−1 para todo x ∈ G1 . Demostración. 1. Sea g ∈ G1 , f (g)f (e1 ) = f (ge1 ) = f (g)e2 , es decir, f (g)f (e1 ) = f (g)e2 usando el Teorema 1.1, f (e1 ) = e2 . 2. Sea x ∈ G1 , entonces f (x)f (x−1 ) = f (x. −1. )f (x) =. f (xx−1 ) = f (e1 ) = e2 −1. f (x. y. x) = f (e1 ) = e2. es ası́ como f (x−1 ) es el inverso de f (x), luego f (x−1 ) = (f (x))−1 . Dado un homomorfismo f entre los grupos G1 y G2 , definimos el núcleo de f mediante N (f ) = {x ∈ G1 | f (x) = e2 }. Algunas veces el núcleo de f se representa por ker (f)..

(20) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 14. Teorema 1.8. [3] Sea f un homomorfismo entre los grupos G1 y G2 , se tiene: 1. El núcleo de f a saber N (f ) es un subgrupo normal de G1 . 2. f es un monomorfismo si y solo si N (f ) = {e1 }, donde e1 es el elemento neutro de G1 . Demostración. 1. Demostremos primero que N (f ) es un subgrupo de G1 usando el Teorema 1.3. Si x, y son elementos de N (f ), f (x) = e2 = f (y), de donde se deduce f (xy −1 ) = f (x)f (y −1 ) = f (x)(f (y))−1 = e2 e2 = e2 luego xy −1 ∈ N (f ). Para demostrar la normalidad de N (f ), sean g ∈ G1 , x ∈ N (f ); puesto que gxg −1 ∈ gN (f )g −1 tenemos que f (gxg −1 ) = f (g)f (x)f (g −1 ) = f (g)e2 (f (g))−1 = e2 por tanto gxg −1 ∈ N (f ) y esto implica N (f ) es un subgrupo normal de G1 . 2. (=⇒) Sea f un monomorfismo; ya que e1 ∈ N (f ), solo es necesario demostrar que si x ∈ N (f ) entonces x coincide con e1 . Supongamos que x ∈ N (f ), luego f (x) = e2 = f (e1 ) y puesto que f es inyectiva f (x) = f (e1 ). implica x = e1 .. (⇐=) Supongamos que N (f ) = {e1 } y sean x, y ∈ G1 tales que f (x) = f (y); puesto que f (xy −1 ) = f (x)f (y −1 ) = f (y)(f (y))−1 = e2 se tiene xy −1 ∈ N (f ) = {e1 }; de esto último tenemos xy −1 x. = e1 = y. por tanto f es un monomorfismo. El siguiente teorema pone de manifiesto la correspondencia de subgrupos por medio de homomorfismos..

(21) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 15. Teorema 1.9. [3] Sea f un homomorfismo entre los grupos G1 y G2 entonces 1. Si H1 ≤ G1 , f (H1 ) ≤ G2 . ← − 2. Si H2 ≤ G2 , f (H2 ) ≤ G1 . ← − 3. Si H2 ▹ G2 , f (H2 ) ▹ G1 . 4. Si H1 ▹ G1 y f un epimorfismo, f (H1 ) ▹ G2 . Demostración. 1. Sean h2 , k2 ∈ f (H1 ) y mostremos que h2 k2−1 ∈ f (H1 ); como h2 ∈ f (H1 ) existe h1 ∈ H1 tal que f (h1 ) = h2 , además como k2 ∈ f (H1 ), existe k1 ∈ H1 tal que f (k1 ) = k2 ; entonces h2 k2−1 = f (h1 )(f (k1 ))−1 = f (h1 )f (k1−1 ) = f (h1 k1−1 ) y puesto que h1 k1−1 ∈ H1 , f (h1 k1−1 ) ∈ f (H1 ) que era lo que se querı́a demostrar. ← − ← − 2. Sea H2 ≤ G2 y h1 , k1 ∈ f (H2 ), basta demostrar que h1 k1−1 ∈ f (H2 ); como ← − ← − h1 ∈ f (H2 ) entonces f (h1 ) ∈ H2 y además k1 ∈ f (H2 ) entonces f (k1 ) ∈ H2 ; luego f (h1 k1−1 ) = f (h1 )f (k1−1 ) = f (h1 )(f (k1 ))−1 ∈ H2 ← − por tanto h1 k1−1 ∈ f (H2 ). ← − ′ ′ 3. Supongamos H2 ▹ G2 , sean g ∈ G1 , h ∈ f (H2 ), es decir, f (h ) = h2 ∈ H2 ; luego se tiene ′ ← − gh g −1 ∈ g f (H2 )g −1 ; además ′. ′. f (gh g −1 ) = f (g)f (h )f (g −1 ) = f (g)h2 f (g)−1 ∈ f (g)H2 f (g)−1 ⊆ H2 puesto que H2 ▹ G2 , se sigue ′. f (gh g −1 ) ∈ H2 ← − ′ esto implica que gh g −1 ∈ f (H2 ) y por tanto su normalidad. 4. Sea H1 ▹ G1 y f un epimorfismo, además tomemos g2 ∈ G2 , basta demostrar que g2 f (H1 )g2−1 ⊆ f (H1 );.

(22) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 16. ya que f es sobreyectiva, existe un elemento g1 ∈ G1 tales que f (g1 ) = g2 ; luego para todo h1 ∈ H1 = f (g1 )f (h1 )f (g1 )−1 = f (g1 )f (h1 )f (g1−1 ) = f (g1 h1 g1−1 ),. g2 f (h1 )g2−1. puesto que H1 ▹ G1 , g1 h1 g1−1 ∈ H1 y esto implica f (g1 h1 g1−1 ) = g2 f (h1 )g2−1 ∈ f (H1 ) culminando la prueba. El resultado siguiente es de vital relevancia a la hora de demostrar el primer teorema de isomorfı́a. Teorema 1.10. [3] Si f es un homomorfismo entre los grupos G1 y G2 , además J es un subgrupo de G1 de tal manera que contiene al núcleo de f , entonces ← − J = f (f (J)). ← − Demostración. Sabemos que para todo conjunto J ⊆ G1 se tiene J ⊆ f (f (J)); solo bastará probar que ← − f (f (J)) ⊆ J. ← − Sea x ∈ f (f (J)), luego f (x) ∈ f (J), de esto último existe j ∈ J de tal manera que f (j) = f (x); usando las propiedades de homomorfismo f (xj −1 ) = f (x)f (j −1 ) = f (x)(f (j))−1 = f (j)(f (j))−1 = e2 esto implica que xj −1 ∈ N (f ) y por hipótesis N (f ) ⊆ J tenemos xj −1 ∈ J; puesto que J ≤ G1 xj −1 j = xe1 = x ∈ J. ← − Por tanto f (f (J)) ⊆ J. Uno de los resultados mas fecundos en la teorı́a de grupos es la relación existente entre subgrupos normales y homomorfismos; dicha relación queda plasmada en el denominado primer teorema de isomorfı́a. Antes de introducirlo es necesario definir un nuevo concepto. Si H es un subgrupo normal de G podemos considerar el grupo cociente G/H; conjuntamente el siguiente hecho Teorema 1.11. [3] La aplicación π : G → G/H, con π(g) = gH, donde H ▹ G, es un epimorfismo. Este epimorfismo se denomina algunas veces homomorfismo canónico con núcleo H..

(23) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 17. Demostración. Sean x, y ∈ G, luego π es un homomorfismo puesto que π(xy) = (xy)H = (xH)(yH) = π(x)π(y); además sea bH ∈ G/H, por tanto tomando b ∈ G, se tiene π(b) = bH; esto prueba que π es un epimorfismo.. 1.1.1.. Primer teorema de isomorfia. Teorema 1.12. [3][PRIMER TEOREMA DE ISOMORFÍA] Sea f : G1 → G2 un epimorfismo entre los grupos G1 y G2 con núcleo N (f ). Entonces: 1. G1 /N (f ) es isomorfo a G2 . 2. Existe una correspondencia biunı́voca entre los subgrupos de G1 que contienen al núcleo N (f ) y los subgrupos de G2 . Demostración. 1. Es menester demostrar que existe una función biyectiva y además homomorfismo entre G1 /N (f ) y G2 . Sabemos que f es un epimorfismo entre los grupos G1 y G2 , además por el Teorema 1.8 N (f ) es un subgrupo normal de G1 , luego si denominamos π como el homomorfismo canónico con núcleo N (f ) obtenemos el siguiente diagrama conmutativo. Definamos la aplicación F como sigue F : G1 /N (f ) xN (f ). → G2 → F (xN (f )) = f (x).

(24) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 18. para todo x ∈ G1 . Demostremos que F es un isomorfismo. a) F es una función. Supongamos que yN (f ) = xN (f ), esto implica que yn1 y y. = xn2 para n1 , n2 ∈ N (f ), luego = xn2 n−1 tomando n3 = n2 n−1 1 , 1 ∈ N (f ) = xn3 ,. con lo cual. f (y) = f (xn3 ) = f (x)f (n3 ) = f (x)e2 = f (x). b) F es un homomorfismo. Tomando xN (f ), yN (f ) ∈ G1 /N (f ) tenemos F ((xN (f ))(yN (f ))) = F ((xy)N (f )) = f (xy) = f (x)f (y) = F (xN (f ))F (yN (f )). c) F es inyectivo. El núcleo de F se define como N (F ) = {xN (f ) ∈ G1 /N (f ) | F (xN (f )) = f (x) = e2 } resta demostrar por el ı́tem 2 del Teorema 1.8 que N (F ) = {N (f )}. Sabemos que N (f ) = e1 N (f ) ∈ N (F ), en efecto, F (N (f )) = F (e1 N (f )) = f (e1 ) = e2 ; luego si existiera otro elemento en N (F ), es decir, xN (f ) ∈ N (F ) se tendrı́a que F (xN (f )) = f (x) = e2 , esto es, x ∈ N (f ), y por tanto xN (f ) = N (f ). Con esto concluimos que N (F ) = {N (f )} y de aquı́ la inyectividad de F ..

(25) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 19. d) F es sobreyectiva. Sea y ∈ G2 , ya que f es sobreyectiva, existe x ∈ G1 tal que f (x) = y. Usando el homomorfismo canónico π, tenemos π(x) = xN (f ), por tanto existe un elemento en G1 /N (f ), a saber, xN (f ), de tal manera que F (xN (f )) = f (x) = y. Ahora demostremos la parte 2. del teorema. Sea CN (f ) (G1 ) la colección de todos los subgrupos de G1 que contienen al núcleo N (f ), y C (G2 ) la colección de todos los subgrupos de G2 ; definamos la función L : CN (f ) (G1 ) J. → →. C (G2 ) L(J) = f (J). notemos que si J ∈ CN (f ) (G1 ), L(J) = f (J) es un subgrupo de G2 por el Teorema 1.9. Probemos la biyectividad de L. a) L es sobreyectiva. ← − Sea K un subgrupo de G2 , por Teorema 1.9 J = f (K) es un subgrupo de G1 , además contiene a N (f ), en efecto, si x ∈ N (f ), f (x) = e2 , ya que K ≤ G2 , e2 ∈ K por tanto e2 = f (x) ∈ K, esto implica que ← − x ∈ J = f (K); de aquı́ ocurre por la sobreyectividad de f que ← − L(J) = f (J) = f ( f (K)). b) L es inyectiva. Sean J1 , J2 ∈ CN (f ) (G1 ) tales que J1 ̸= J2 , supongamos que L(J1 ) = L(J2 ), esto es, f (J1 ) = f (J2 ), además ← − ← − f (f (J1 )) = f (f (J2 )), luego por Teorema 1.10 J1 = J2 lo cual es un absurdo, por tanto L(J1 ) ̸= L(J2 ) y se sigue la inyectividad de L..

(26) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 1.2.. 20. Topologı́a. La formulación de espacio topológico tardó demasiado tiempo en ser descrita; varios matemáticos como Fréchet, Hausdorff, entre otros, propusieron distintas definiciones en la primera década del siglo veinte, pero fue mucho después cuando los matemáticos establecieron la definición que parecı́a ser la mas apropiada [5]. Definición 1.7. [5] Sea X un conjunto. Una topologı́a en X es una colección τ de subconjuntos de X con las siguientes propiedades: 1. ∅ y X pertenecen a τ . 2. La unión arbitraria de elementos de τ está en τ . 3. La intersección finita de elementos de τ está en τ . A los elementos de τ se les denomina abiertos de la topologı́a y al par (X, τ ) se le llama espacio topológico. La siguiente proposición provee un mecanismo para obtener topologı́as, su prueba se extrae de [8]. Proposición 1.1. Sean (X, τ ) un espacio topológico y A ⊆ X. La colección τA = {U ∩ A|U ∈ τ } , es una topologı́a en A. Demostración. Claramente ∅ = ∅ ∩ A y A = X ∩ A son elementos de τA . Si M, N ∈ τA entonces M = U ∩ A, N = V ∩ A para U, V ∈ τ, con lo cual (U ∩ A) ∩ (V ∩ A) = (U ∩ V ) ∩ A y como U ∩ V ∈ τ tenemos que M ∩ N ∈ τA . Si {Mi }i∈I es una familia de elementos de τA entonces (∪ cada )Mi = Vi ∩∪A para un ∪ ∪ Vi ∈ τ. Asi, M = i∈I Mi = i∈I (Vi ∩ A) = A ∩ i∈I Vi y como i∈I Vi ∈ τ se tiene que M ∈ τA . A τA se le llama topologı́a inducida en A; el par (A, τA ) es un subespacio de (X, τ ). Definición 1.8. [8] Si (X, τ ) es un espacio topológico, una base para τ es una subfamilia β ⊆ τ con la propiedad que: dados un abierto U y un punto x ∈ U , existe un B ∈ β tal que x ∈ B ⊆ U . (Esto se puede expresar diciendo que cada abierto de τ es unión de elementos de β). Es común que en algunos casos sea complicado dar explı́citamente la topologı́a de un conjunto X, es por ello que es mas útil definirla en términos de una colección mas pequeña. [5]..

(27) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 21. Definición 1.9. [5] Si X es un conjunto, una base para una topologı́a en X es una colección β de subconjuntos de X (llamados elementos básicos) tal que: 1. Para cada x ∈ X, existe un elemento básico B que contiene a x. 2. Si x pertenece a la intersección de dos elementos básicos B1 y B2 , entonces existe un elemento básico B3 que contiene a x tal que B3 ⊆ B1 ∩ B2 . Teorema 1.13. [5] Sea X un conjunto y β una colección de subconjuntos de X que satisface las condiciones de la definición anterior, entonces definimos la topologı́a τ generada por β como sigue: un subconjunto U de X es llamado abierto en X (es decir, es un elemento de τ ), si para cada x ∈ U , existe un elemento básico B ∈ β tal que x ∈ B y B ⊆ U . Demostración. Comprobemos que, en efecto, la colección τ ası́ definida es una topologı́a sobre X. Si U es el conjunto vacı́o, entonces satisface la condición de ser abierto inmediatamente. De la misma manera, si U es el conjunto X entonces por la primera condición que satisface la colección β, X está en τ . Tomemos una familia indexada {Uα }α∈J de elementos de τ y probemos que ∪ U= Uα α∈J. pertenece a τ . Dado x ∈ U , existe un indice α tal que x ∈ Uα . Puesto que Uα ∈ τ , existe un elemento básico B tal que x ∈ B y B ⊆ Uα , por ende x ∈ B y B ⊆ U , por lo que U es un elemento de τ . Tomemos ahora dos elementos U1 y U2 de τ y probemos que U1 ∩ U2 pertenece a τ . Sea x ∈ U1 ∩ U2 , luego x ∈ U1 y x ∈ U2 ya que U1 y U2 pertenecen a τ , existen elementos básicos B1 y B2 tales que x ∈ B1 ⊆ U1 y x ∈ B2 ⊆ U2 . Puesto que β es una base, nos permite elegir un elemento básico B3 que contiene a x tal que B3 ⊆ B1 ∩ B2 . Por tanto, x ∈ B3 y B3 ⊆ U1 ∩ U2 ; por lo que U1 ∩ U2 pertenece a τ , por definición. Finalmente, mostramos por inducción que cualquier intersección finita U1 ∩· · ·∩ Un de elementos de τ está en τ . Este hecho es evidente para n = 1; supongamos que es cierto para n − 1 y probémoslo para n. Tenemos (U1 ∩ · · · ∩ Un ) = (U1 ∩ · · · ∩ Un−1 ) ∩ Un . Por hipótesis, U1 ∩· · ·∩Un−1 pertenece a τ ; utilizando el resultado que acabamos de probar, la intersección de U1 ∩ · · · ∩ Un−1 y Un también pertenece a τ . Por tanto hemos probado que la colección τ generada por β es una topologı́a. Otro modo para describir la topologı́a generada por una base, es la dada por el siguiente hecho. Teorema 1.14. [5] Sean X un conjunto y β una base para una topologı́a τ en X. Entonces τ es igual a la colección de todas las uniones de elementos de β, es decir: ∪ τ = {Uα }α∈I donde Uα = Bω y Bω ∈ β. ω∈J.

(28) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 22. Demostración. (⊇) Sea Uα ∈ τ para algún α ∈ I, luego ∪ Uα = Bω donde Bω ∈ β. ω∈J. Ya que β ⊆ τ , se∪tiene que Bω ∈ τ para todo ω ∈ J y por la definición de τ se tiene que Uα = ω∈J Bω pertenece a τ . (⊆) Sea U ∈ τ , elijamos∪ para cada x ∈ U un elemento Bx ∈ β tal que x ∈ Bx y Bx ⊆ U . Entonces U = x∈U Bx por lo que U es igual a la unión de elementos de β y por tanto se tiene la igualdad buscada. Definición 1.10. [5] Una subbase D para una topologı́a en X es una colección de subconjuntos de X cuya unión es igual a X. La topologı́a generada por la subbase D esta definida como la colección τ de todas las uniones de intersecciones finitas de elementos de D. El hecho de que la colección τ Definida en 1.10 sea una topologı́a en X lo prueba el siguiente teorema. Teorema 1.15. [5] Si D es una subbase entonces la colección τ que consta de todas las uniones de intersecciones finitas de elementos de D es una topologı́a en X. Demostración. Debemos comprobar que τ es una topologı́a. Para este propósito será suficiente mostrar que la colección β de todas las intersecciones finitas de elementos de D es una base, y por consiguiente, la colección τ de todas las uniones de elementos de β será una topologı́a, por el Teorema 1.14. Dado x ∈ X, éste pertenece a un elemento D de D luego x pertenece a un elemento de β ya que D ⊆ β; esta es la primera condición para una base. Para comprobar la segunda condición, sean B 1 = D1 ∩ · · · ∩ Dm. y. ′. ′. B2 = D1 ∩ · · · ∩ Dn. dos elementos de β. Su intersección ′. ′. B1 ∩ B2 = (D1 ∩ · · · ∩ Dm ) ∩ (D1 ∩ · · · ∩ Dn ) es también una intersección finita de elementos de D, por lo que pertenece a β. Definición 1.11. [8] Sean (X, τ ) un espacio topológico y x ∈ X. Decimos que βx ⊆ τ es una base local para x si y solo si dado U ∈ τ con x ∈ U existe B ∈ βx tal que x ∈ B ⊆ U . Los conceptos de base y base local están relacionados por la siguiente proposición..

(29) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 23. Proposición 1.2. [8] Sea (X, τ ) un espacio topológico. β ⊆ τ es una base para esta topologı́a si y solo si para cada x ∈ X, βx = {B ∈ β | x ∈ B} es una base local en x. Demostración. (=⇒) Sea (X, τ ) un espacio topológico. Además sea β ⊆ τ una base para τ , esto es, dado un abierto U ∈ τ , x ∈ U , existe B ∈ β tal que x ∈ B ⊆ U , pero B ∈ βx por definición, por tanto βx = {B ∈ β | x ∈ B} es una base local en x. (⇐=) Sea (X, τ ) un espacio topológico y β ⊆ τ , tal que para cada x ∈ X, βx = {B ∈ β | x ∈ B} es una base local en x. Demostremos que β es una base para τ . Dado x ∈ X, existe B ∈ βx tal que B ∈ β y x ∈ B; esta es la primera condición para una base. Para comprobar la segunda condición sean U, V ∈ β y x ∈ U ∩ V es decir, x ∈ U y x ∈ V luego U ∈ βx y V ∈ βx . Ya que β ⊆ τ , U ∩ V ∈ τ , además por ser βx una base local en x, existe B ∈ βx y por ende B ∈ β, tal que x∈B ⊆U ∩V por tanto β es una base para τ . Definición 1.12. [5] Sean (X, τ ) e (Y, η) espacios topológicos; f : X → Y es ← − continua si para todo V ∈ η, f (V ) ∈ τ . Esto es, f es continua si la imagen recı́proca de un abierto es un abierto. Definición 1.13. [8] Sea f : (X, τ ) → (Y, η) una función entre espacios topológicos. Dado x ∈ X decimos que f es continua en x si y solo si dado un abierto Nf (x) existe un abierto Ux tal que f (Ux ) ⊆ Nf (x) . Si f es continua en cada punto de X decimos que f es una función continua. Definición 1.14. [5] Sean X y Y dos espacios topológicos. Sea f : X → Y una biyección; si la función f y la función inversa f −1 : Y → X son continuas, entonces f es llamado un homeomorfismo.. 1.2.1.. Axiomas de separación. La definición de un espacio topológico es un concepto general y pocos son los resultados que se pueden obtener de esta manera. Es por ello que requerimos imponer ciertas restricciones y obtener clases mas pequeñas de espacios en donde podamos desarrollar una teorı́a mas rica. En esta sección se darán varios axiomas de separación que como su nombre lo indica, “separan” ciertas clases de conjuntos por conjuntos abiertos; estos axiomas fueron primeramente estudiados por P. S. Alexandroff y H. Hopf en 1925..

(30) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 24. Definición 1.15. [8] Un espacio topológico (X, τ ) es T0 o Kolmogoroff si y solo si dados x, y ∈ X con x ̸= y, existe U abierto tal que x ∈ U pero y ∈ /U o existe V abierto tal que y ∈ V pero x ∈ / V. Definición 1.16. [8] Un espacio topológico (X, τ ) es T1 o accesible si y solo si dados x, y ∈ X con x ̸= y, existen abiertos U, V tales que x ∈ U pero y ∈ /U y y ∈ V pero x ∈ / V. Este axioma algunas veces es referido como de Fréchet o axioma de separación de Riesz. La definición anterior de T1 es equivalente a que cada conjunto unitario {a} del espacio sea cerrado. Esto es dado por el siguiente teorema. Teorema 1.16. [9] Sean (X, τ ) un espacio topológico. (X, τ ) es T1 si y solo si {a} es cerrado para todo a ∈ X. Demostración. (=⇒) Sea (X, τ ) un espacio topológico T1 y a ∈ X. Es suficiente probar que X − {a} es abierto. Sea x ∈ X − {a} un elemento arbitrario, luego por ser (X, τ ) un espacio topológico T1 y x ̸= a existe un abierto Vx que contiene a x tal que a ∈ / Vx y Vx ⊆ X − {a}; ya que x fue arbitrario se tiene que X − {a} es abierto ası́ {a} es cerrado. (⇐=) Sean (X, τ ) un espacio topológico y a ∈ X donde {a} es cerrado o equivalentemente X − {a} es abierto; ya que X − {a} es abierto, por definición para b ∈ X − {a} (claramente b ∈ / a) existe un abierto Vb de b tal que Vb ⊆ X − {a} y a ∈ / Vb , del mismo modo tomando el abierto X − {b} y puesto que b ̸= a, a ∈ X − {b}, luego existe un abierto Va de a tal que Va ⊆ X − {b} y b ∈ / Va ; por tanto (X, τ ) es T1 . Definición 1.17. [8] Un espacio topológico (X, τ ) es T2 o Hausdorff si y solo si dados x, y ∈ X existen U, V abiertos disyuntos tales que x ∈ U y y ∈ V . Es decir, en estos espacios podemos “separar” los puntos por medio de abiertos disyuntos. Notemos que todo espacio T2 es T1 y que todo espacio T1 es T0 . Sin embargo no todos los espacios T0 son T1 como lo muestra el siguiente ejemplo. Ejemplo 1.1 (Espacio de Sierpinski). Sea X = {1, 2} y τ = {∅, X, {1}} el cual es T0 , sin embargo por Teorema 1.16 al tomar {1} notamos que este conjunto no es cerrado, por tanto (X, τ ) no es T1 . Ejemplo 1.2. Tomamos el espacio topológico (R, τcof ), donde τcof = {U ⊆ R |. Uc. es finito} ∪ {∅}.

(31) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 25. es la topologı́a de los complementos finitos. Este espacio topológico es T1 , en efecto, ya que tomando x, y ∈ R con x ̸= y y los conjuntos U = R − {y} y V = R − {x} estos pertenecen a τcof y además se tiene x ∈ U pero y ∈ / U y y ∈ V pero x ∈ / V. Por otro lado supongamos que (R, τcof ) es T2 , y sean x, y ∈ R con x ̸= y, luego existen abiertos disyuntos U, V ∈ τcof tales que x ∈ U y y ∈ V . De tal manera U ∩V (U ∩ V )c Uc ∪ V c. = ∅ = (∅)c = R. lo cual es absurdo ya que U c ∪ V c es finito; por tanto (R, τcof ) es T1 pero no T2 . Definición 1.18. [8] Un espacio topológico (X, τ ) es regular si y solo si dados x ∈ X y un cerrado F ⊆ X con x ∈ / F existen U y V abiertos disyuntos tales que x ∈ U y F ⊆ V . No siempre es el caso que cada espacio regular implique los demás axiomas de separación T0 , T1 , T2 . Por ejemplo si tomamos el espacio (X, τG ), donde τG es la topologı́a grosera en X, este espacio es regular, en efecto, sean x ∈ X y un cerrado F ⊆ X de tal manera que x ∈ / F , luego tendrı́amos que F = ∅, de tal manera existen abiertos disyuntos U = X y V = ∅ tales que x ∈ X y ∅ ⊆ ∅. Sin embargo (X, τG ) no es T2 , ya que si lo fuera, al tomar x, y ∈ X con x ̸= y, existirı́an abiertos disyuntos U, V ∈ τG tales que x ∈ U y y ∈ V , esto es, U ∩ V = ∅, de esto ultimo tenemos las opciones: U = ∅ y V = X o bien U = X y V = ∅, lo cual es absurdo ya que tanto U como V deben ser distintos de vacı́o. Por consiguiente a los espacios regulares los reforzamos con la siguiente definición para que ası́ impliquen T2 . Definición 1.19. [8] Un espacio topológico (X, τ ) que es regular y además T1 se denomina un espacio T3 . Teorema 1.17. Todo espacio topológico T3 implica ser T2 . Demostración. Sea (X, τ ) un espacio topológico T3 , además elijamos x, y ∈ X con x ̸= y. Por ser T1 , {x} y {y} son cerrados; para x ∈ X y {y} ⊆ X por regularidad tenemos que existen abiertos disyuntos U, V tales que x ∈ U y {y} ⊆ V , es decir, x ∈ U y y ∈ V , por tanto (X, τ ) es T2 . El siguiente teorema nos permite relacionar de una manera distinta los espacios T3 , se extrae de [10]. Teorema 1.18. Un espacio (X, τ ) es regular si y solo si para cada subconjunto abierto U y para cada x ∈ U , existe un abierto Vx tal que x ∈ Vx ⊆ Vx ⊆ U ..

(32) CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 26. Demostración. (=⇒) Sea (X, τ ) un espacio regular y sea U un abierto y x ∈ U . Como U c es cerrado existen abiertos disyuntos V, W de x y U c respectivamente. Ası́, x ∈ V ⊆ W c, además U c ⊆ W luego. Wc ⊆ U. de aquı́ tenemos que x ∈ V ⊆ V ⊆ Wc ⊆ U ya que W c es cerrado. (⇐=) Sea F un cerrado y x ∈ / F , el conjunto F c es un abierto que contiene a x, luego por hipótesis existe un abierto Vx tal que Vx ⊆ Vx ⊆ F c . Si tomamos U = X − Vx entonces F ⊆ U , x ∈ Vx y además Vx ∩ U = ∅, por tanto (X, τ ) es regular. Definición 1.20. [10] Sean (X, τ ) y (Y, η) dos espacios topológicos. Una función continua f : X → Y es abierta (cerrada) si para todo subconjunto abierto (cerrado) A ⊆ X su imagen f (A) es abierta (cerrada) en Y . El siguiente teorema es una herramienta útil a la hora de hallar funciones abiertas. Teorema 1.19. [7] Una función f definida en un espacio topológico R en un ′ espacio topológico R es abierta si y solo si para todo a ∈ R y cualquier abierto ′ V que contenga al elemento a, existe un abierto V que contiene al elemento ′ ′ f (a) = a tales que V ⊆ f (V ). Demostración. (=⇒) Supongamos f abierta, V un abierto de R que contiene ′ al elemento a, ya que f (V ) es un abierto que contiene al elemento f (a) = a , ′ ′ existe entonces un abierto V de f (a) = a contenido en f (V ). (⇐=) Supongamos ahora que se cumple que para todo a ∈ R y cualquier abierto ′ V que contenga al elemento a, existe un abierto V que contiene al elemento ′ ′ f (a) = a tales que V ⊆ f (V ). ′. Sea U un abierto de R, demostremos que f (U ) es un abierto. Sea a ∈ f (U ); ′ entonces existe a ∈ U tal que a = f (a). Indiquemos por V un abierto del elemento a contenido en U ; tal abierto existe ′ ′ por ser U abierto. Por hipótesis, existe un abierto V del elemento f (a) = a ′ tales que V ⊆ f (V ). Puesto que V ⊆ U , se tiene f (V ) ⊆ f (U ) y a su vez ′ ′ ′ V ⊆ f (V ), luego V ⊆ f (U ); ya que a fue arbitrario, f (U ) es abierto..

(33) Capı́tulo 2. Grupos Topológicos Los objetos de nuestro estudio son los grupos topológicos, los cuales, como su nombre lo indica, implican una entidad algebraica que permite una estructura topológica. Sabemos que todo conjunto permite la introducción de una topologı́a; pero si queremos aprovechar la presencia de la operación de grupo, debemos relacionar de alguna manera la operación con la topologı́a. Es ası́ como la siguiente definición presenta las mejores condiciones para desarrollar tanto la topologı́a como el álgebra, estando ambas presentes. Definición 2.1. [4] Un conjunto G con una operación binaria ∗ y una familia τ de subconjuntos de G se llama grupo topológico si: 1. (G, ∗) es un grupo; 2. (G, τ ) es un espacio topológico; 3. las funciones g1 : G × G → G y g2 : G → G dadas por g1 (x, y) = x ∗ y y g2 (x) = x−1 son continuas, donde x−1 es el inverso de x. al grupo topológico G se acostumbra notar mediante la terna (G, ∗, τ ). Es importante aclarar que G × G está dotado de la topologı́a producto. El conjunto subyacente de (G, ∗, τ ) es G, el grupo subyacente es (G, ∗) y el espacio topológico subyacente es (G, τ ). En ocasiones se va a prescindir del uso de ∗, es decir, en vez de escribir x ∗ y se escribirá xy. Sea G = (G, ∗, τ ) un grupo topológico; si se nota con N(x) a la familia de vecindades de un punto x, se puede describir la condición 3. de la definición 2.1 como sigue: si x, y son elementos de G y U, V, W son elementos de τ , entonces para cada U ∈ N(xy) existen abiertos V ∈ N(x) y W ∈ N(y) tales que 27.

(34) CAPÍTULO 2. GRUPOS TOPOLÓGICOS. 28. V W ⊆ U , donde V W = {vw | v ∈ V, w ∈ W{} ; y para cada }U ∈ N(x−1 ) existe V ∈ N(x) tal que V −1 ⊆ U , donde V −1 = v −1 | v ∈ V . Existe una caracterización alternativa de grupo topológico que en ocasiones resulta mas útil. Lema 2.1. [10] Sean (G, ∗) un grupo y τ una topologı́a en G. Entonces (G, ∗, τ ) es un grupo topológico si y solo si la función g3 : G × G → G donde g3 (x, y) = xy −1 es continua. Demostración. (=⇒) Si G es un grupo topológico, es claro que la función g3 es continua, pues el producto y la operación de tomar inversos son continuos y g3 (x, y) = g1 (x, g2 (y)), donde las funciones g1 y g2 son las de la definición 2,1. (⇐=) Por otro lado, supongamos que la función g3 es continua y observemos que g2 (y) = g3 (eG , y) y g1 (x, y) = g3 (x, g2 (y)); de tal manera que g2 y g1 resultan continuas. Ejemplo 2.1. R2 con la operación a + b = (a1 + b1 , a2 + b2 ) y la topologı́a usual es un grupo topológico. Ası́ es, sabemos que (R2 , +) es un grupo y (R2 , τu ) es un espacio topológico. Veamos que las funciones adición e inversión son continuas. Mostremos que + : R2 × R2 → R2 es continua; sea ϵ > 0 y tomemos una bola abierta Bϵ (a1 + b1 , a2 + b2 ) en el codominio con centro en un punto imagen. Sea { } B = Bϵ/4 (a1 , a2 )+Bϵ/4 (b1 , b2 ) = x + w | x ∈ Bϵ/4 (a1 , a2 ) y w ∈ Bϵ/4 (b1 , b2 ) donde x = (x1 , x2 ) y w = (w1 , w2 ). Debemos probar que B ⊆ Bϵ (a1 +b1 , a2 +b2 ). Sea x + w ∈ B esto es, x ∈ Bϵ/4 (a1 , a2 ) y w ∈ Bϵ/4 (b1 , b2 ) luego |(x1 , x2 ) − (a1 , a2 )| < ϵ/4 y. |(w1 , w2 ) − (b1 , b2 )| < ϵ/4. esto implica que |x1 − a1 | < ϵ/4,. |x2 − a2 | < ϵ/4. |w1 − b1 | < ϵ/4,. |w2 − b2 | < ϵ/4.. y Basta probar que x + w ∈ Bϵ (a1 + b1 , a2 + b2 );.

(35) CAPÍTULO 2. GRUPOS TOPOLÓGICOS. 29. por consiguiente |(x1 + w1 , x2 + w2 ) − (a1 + b1 , a2 + b2 )| = = |(x1 + w1 − a1 − b1 , x2 + w2 − a2 − b2 )| ( )1/2 2 2 = |x1 + w1 − a1 − b1 | + |x2 + w2 − a2 − b2 | ( )1/2 2 2 = |x1 − a1 + w1 − b1 | + |x2 − a2 + w2 − b2 | ( )1/2 2 2 ≤ (|x1 − a1 | + |w1 − b1 |) + (|x2 − a2 | + |w2 − b2 |) )1/2 (( ϵ )2 ( ϵ ϵ )2 ϵ + + + < 4 4 4 4 ϵ = √ 2 < ϵ. Por ende la función adición es continua. Por otra parte, para mostrar que la función inversión ι : (R2 , τu ) → (R2 , τu ) donde ι(a) = −a es continua, tomemos una bola abierta Bϵ (−a1 , −a2 ) en el codominio con centro en un punto imagen. Sea Bϵ−1 (a1 , a2 ) = {−x|x ∈ Bϵ (a1 , a2 )} donde x = (x1 , x2 ). Se probará que Bϵ−1 (a1 , a2 ) ⊆ Bϵ (−a1 , −a2 ). Sea −x = (−x1 , −x2 ), −x ∈ Bϵ−1 (a1 , a2 ) luego |(−x1 , −x2 ) − (−a1 , −a2 )| = |(−x1 + a1 , −x2 + a2 )| ( )1/2 2 2 = |a1 − x1 | + |a2 − x2 | ( )1/2 2 2 = |x1 − a1 | + |x2 − a2 | = |(x1 − a1 , x2 − a2 )| = |(x1 , x2 ) − (a1 , a2 )| < ϵ. Luego la función inversión es continua, concluyendo que (R2 , +, τu ) es un grupo topológico..

(36) CAPÍTULO 2. GRUPOS TOPOLÓGICOS. 30. Ejemplo 2.2. (R − {0} , ·) los reales no nulos con la multiplicación y la topologı́a inducida de los R es un grupo topológico. En efecto, notemos R − {0} como R∗ . Sabemos que (R∗ , ·) es un grupo y que (R∗ , τind ) donde τind es la topologı́a inducida de la usual es un espacio topológico. Mostremos que las operaciones -producto e inverso- son continuas; para el primer caso: Sean x, y ∈ R∗ , tomemos un abierto N ∈ τind tal que xy ∈ N ⊆ R∗ , veamos que existen dos abiertos S, T de τind tales que ST = {st | s ∈ S,. t ∈ T } ⊆ N.. y ası́ demostrar la primera parte. Sea ϵ > 0, tal que (xy − ϵ, xy + ϵ) ⊆ N ⊆ N ∪ {0}, se quiere reducir el tamaño del intervalo, para ello definimos α = min {ϵ, |xy|}, luego (xy − α, xy + α) ⊆ (xy − ϵ, xy + ϵ) ⊆ N ⊆ N ∪ {0} ası́ (xy − α, xy + α) ⊆ N. {. Tomemos δ = min. α α , , 3|x| 3|y|. √ } α 3. y definamos S = (x − δ, x + δ) ,. T = (y − δ, y + δ) .. Sean a, b ∈ R tal que |a| < δ, |b| < δ donde z ∈ S con z = x + a y w ∈ T con w = y + b, luego |zw − xy| =. |xb + ya + ab|. ≤ |xb| + |ya| + |ab| = |x||b| + |y||a| + |a||b| <. |x|δ + |y|δ + δ 2. sin pérdida de generalidad supongamos que δ = α/3|x|, de tal manera |zw − xy| < |x|. α 3|x| α α = + 3 3 = α ≤ ϵ.. ≤ |x|. )2 α 3|x| (√ )2 α α + |y| + 3|y| 3 α + 3. α α + |y| + 3|x| 3|x|. (.

(37) CAPÍTULO 2. GRUPOS TOPOLÓGICOS. 31. Por tanto zw ∈ N . Ası́ ST ⊆ N y la operación producto es continua. Por otra parte; sea la función inversa ι : R∗ → R∗ dada(por ι(x) = x−1 y) x > 0. Tomemos un abierto N de x−1 y sea ϵ > 0 tal que x−1 − ϵ, x−1 + ϵ ⊆ N . −1 = x−1 − ϵ y b−1 = x−1 + ϵ teniendo como resultado anterior (Llamemos )a −1 −1 a , b ( ⊆ N . Tomemos el intervalo abierto (b, a), por ende ) ι (b, a) ⊆ a−1 , b−1 ya que, si x−1 ∈ ι (b, a) entonces x ∈ (b, a), esto es, b < x y x < a. Ası́: 1 1 1 1 < y < , x b a x 1 1 1 < < a x b ( −1 −1 ) −1 por ende x ∈ a , b . Cuando x < 0 la prueba es análoga a la anterior. Por tanto usando la definición 1.13 concluimos que ι es continua. Ejemplo 2.3. Sea C∗ = C − {0} los complejos no nulos con la multiplicación usual y la topologı́a inducida de R2 , es un grupo topológico. Desde luego, recordemos que el producto en C∗ se define por: si z1 , z2 ∈ C∗ , z1 = (x, y) y z2 = (a, b) entonces z1 z2 = (x, y)(a, b) = (xa − yb, ya + xb). Es ası́ como la multiplicación m : R4∗ ≈ C∗ × C∗ → C∗ ≈ R2∗ es continua, pues las funciones componentes o proyecciones p1 (z1 , z2 ) = xa − yb. y p2 (z1 , z2 ) = ya + xb. son continuas, ya que el producto de reales es continuo y la suma también, (ver ejemplos anteriores). La función inversa ι : C∗ → C∗ dada por. ( ι(z1 ) = ι(x, y) =. x −y , 2 2 2 x + y x + y2. ) =. z1 |z1 |2. es continua, ya que sus funciones componentes o proyecciones están definidas para todos los valores del dominio y teniendo en cuenta los ejemplos anteriores, por tanto se tiene la prueba. Teorema 2.1. [4] Si H es, en el sentido algebraico, un subgrupo del grupo G, y G es un grupo topológico, entonces H es un grupo topológico con la topologı́a inducida de G..

(38) CAPÍTULO 2. GRUPOS TOPOLÓGICOS. 32. Demostración. La demostración es inmediata si recordamos que la restricción de una función continua a un subconjunto de su dominio es de nuevo continua. Ejemplo 2.4. Ya que C∗ es un grupo topológico por el ejemplo anterior; S 1 ⊆ C∗ es un grupo topológico con la topologı́a inducida de C∗ y las operaciones dadas como ( iθ iϕ ) → ei(θ+ϕ) S 1 × S 1 → S 1 con e ,e y S1 → S1. con. (eiθ ) → e−iθ .. Lema 2.2. [4] Si f : X → Y es continua y A ⊆ X, f (A) ⊆ B ⊆ Y , entonces :A→B. f A×B. es continua, donde A y B están dotados con la topologı́a inducida de X e Y respectivamente. Demostración. Sea T un abierto de B, luego existe un abierto U ⊆ Y tal que ← − T = U ∩ B, esto por la definición de topologı́a inducida. Ahora, f (U ) es un abierto de X, además f (A) ⊆ B ası́ que ← − ← − A ⊆ f (f (A)) ⊆ f (B) de tal manera ← − A ⊆ f (B) ← − luego A = A ∩ f (B). Por consiguiente ← − f (U ) ∩ A. = = = = =. ← − ← − f (U ) ∩ A ∩ f (B) ← − ← − A ∩ f (U ) ∩ f (B) ← − A ∩ f (U ∩ B) ← − A ∩ f (T ) ← − f (T ) A×B. ← − lo que implica que f. (T ) es un abierto de A. A×B. El concepto de homogeneidad está presente en diversas áreas de la ciencia, significa (según el DRAE) que un cuerpo cumple dicha propiedad si es uniforme, es decir, que sus propiedades y composición son las mismas desde cualquier punto que lo veamos. Esto motiva la siguiente sección..

(39) CAPÍTULO 2. GRUPOS TOPOLÓGICOS. 2.1.. 33. Homogeneidad. Cada elemento g de un grupo topológico G determina una función Lg : G → x →. G gx. denominada multiplicación a izquierda o traslación a izquierda. Del mismo modo se tiene Rg : G → x →. G xg. llamada traslación a derecha del conjunto G. Estas funciones se caracterizan por ser homeomorfismos, tal y como lo muestra el siguiente teorema. Teorema 2.2. [7] Sea G un grupo topológico. Si g ∈ G es un elemento fijo arbitrario, entonces las funciones Lg y Rg de G en si mismo, son homeomorfismos. Además la inversión ι : G → G definida por ι(x) = x−1 para x ∈ G, también es un homeomorfismo. Demostración. Sea Lg la traslación a izquierda por g. Por la definición de grupo topológico Lg es continua. Supongamos ahora Lg (a) = ga =. Lg (b) gb. entonces. g −1 ga = a =. g −1 gb b. esto es. luego Lg es inyectiva. Sea b ∈ G como g −1 b ∈ G se tiene Lg (g −1 b) = gg −1 b = b, ası́ Lg es sobreyectiva. La inversa de Lg es Lg−1 puesto que (Lg ◦ Lg−1 )(a) = Lg (Lg−1 (a)) = Lg (g −1 a) = gg −1 a = a = IG (a) donde IG es la función identidad. Ademas Lg−1 es continua por definición de grupo topológico, por tanto Lg es un homeomorfismo. El caso para Rg es análogo, ası́ que Rg es también un homeomorfismo. Sea ι(x) = x−1 , entonces por la condición 3. de la definición 2.1, ι es continua. La igualdad ι(x) = ι(y) implica que x−1 = y −1 x−1 x = y −1 x e = y −1 x ye = yy −1 x y. = x.

(40) CAPÍTULO 2. GRUPOS TOPOLÓGICOS. 34. lo que prueba la inyección de ι. Si a ∈ G, existe a−1 ∈ G tal que ι(a−1 ) = (a−1 )−1 = a por lo cual ι es sobre. La inversa de ι es ι puesto que (ι ◦ ι)(a) = ι(ι(a)) = ι(a−1 ) = (a−1 )−1 = a = IG (a) y por lo tanto ι es un homeomorfismo. Notemos que si el grupo subyacente de G es no abeliano, éstas traslaciones son distintas ya que Lg (x) = gx ̸= xg = Rg (x). Lema 2.3. Sean X, Y dos grupos topológicos. Si f : X → Y es un homeomorfismo, entonces a) para todo A ⊆ X, f (A) = f (A). b) Además para x, y fijos, la función z 7−→ xzy es homeomorfismo. Demostración. a) Sea f un homeomorfismo y A ⊆ X. (⊆) Sea x ∈ A, luego f (x) ∈ f (A), tomemos V un abierto que contiene a f (x), ← − por ser f homeomorfismo, f (V ) es un abierto del elemento x; ya que x ∈ A se tiene que ← − f (V ) ∩ A ̸= ∅ ← − por lo que existe a ∈ f (V ) ∩ A, esto es, ← − a ∈ f (V ) y. a∈A. luego f (a) ∈ V ∩ f (A) es decir, V ∩ f (A) ̸= ∅ por lo tanto f (x) ∈ f (A). (⊇) Sea f (x) ∈ f (A), tomemos W un abierto que contiene al elemento f (x), ya que f (x) es punto adherente tenemos W ∩ f (A) ̸= ∅; sea b ∈ W ∩ f (A), esto es, b∈W. y b ∈ f (A). por ser f homeomorfismo, existe a ∈ A tal que f (a) = b, luego a = f −1 (b) ∈ f −1 (W ) ∩ A donde f −1 (W ) es un abierto de x; ası́ que f −1 (W ) ∩ A ̸= ∅.

(41) CAPÍTULO 2. GRUPOS TOPOLÓGICOS. 35. de modo que x ∈ A y esto implica f (x) ∈ f (A). b) Observemos que la función g(z) = xzy para x, y fijos, se puede ver como g(z) = Lx (Ry (z)) donde Lx y Ry se han definido en el teorema 2.2, por ende g es un homeomorfismo. Corolario 2.1. [10] Sea G un grupo topológico, a ∈ G y A, U subconjuntos de G. Entonces: 1) Si U es abierto, los conjuntos aU , U a, U −1 , AU = {au | a ∈ A, u ∈ U } , U A = {ua | u ∈ U, a ∈ A} son abiertos. 2) Si A es cerrado, aA, Aa y A−1 son conjuntos cerrados. Demostración. 1) Por teorema 2.2, La (x) = ax, Ra (x) = xa y ι(x) = x−1 son homeomorfismos para cualquier a ∈ G fijo. Por lo tanto, si U es abierto, aU = La (U ), U a = Ra (U ) y U −1 = ι(U ) también lo son. Para demostrar las dos últimas afirmaciones de este inciso; sabemos que las traslaciones Lg , Rg son homeomorfismos, luego Lg (U ) es un abierto, donde g ∈ G; de tal manera que la prueba se tiene si se demuestra que ∪ AU = {La (U ) | a ∈ A} . (⊆) Sea x = au, au ∈ AU , luego au ∈ aU = La (U ), ası́ ∪ au ∈ La (U ). a∈A. ∪. (⊇) Sea x ∈ a∈A La (U ) luego x ∈ La (U ) para algún a ∈ A, es decir, x ∈ aU , esto implica que x ∈ AU . Usando los mismos razonamientos se prueba que U A es abierto. 2) Ya que La (x) = ax, Ra (x) = xa y ι(x) = x−1 son homeomorfismos para cualquier a ∈ G fijo; luego si A es cerrado, entonces aA = La (A), Aa = Ra (A) y A−1 = ι(A) son conjuntos cerrados. Definición 2.2. [4] Un espacio topológico (X, τ ) se dice homogéneo si tiene la propiedad que, para cada par de puntos t, u ∈ X existe un homeomorfismo f :X. → X. tal que. t → f (t) = u..

(42) CAPÍTULO 2. GRUPOS TOPOLÓGICOS. 36. Un espacio homogéneo es aquel que tiene el mismo aspecto cuando se le ve desde cualquiera de sus puntos. Corolario 2.2. [10] Todo grupo topológico G (desde el punto de vista topológico) es un espacio homogéneo. Demostración. Debemos probar que dados dos elementos arbitrarios g, h ∈ G, existe un homeomorfismo de G en si mismo que envı́a g en h. Tomando φ = Lh ◦ Lg−1 = Lhg−1 tenemos φ(g) = Lhg−1 (g) = hg −1 g = h. Por tanto G es un espacio homogéneo.. Por medio del teorema anterior podemos hallar espacios los cuales no soportan una estructura de grupo topológico, como lo muestra la siguiente proposición. Proposición 2.1. El intervalo I = [0, 1] con la topologı́a inducida de R no es un espacio homogéneo y por lo tanto no es un grupo topológico. Demostración. Sea I = [0, 1] con la topologı́a inducida de R; 0 ∈ I y toda vecindad de cero contiene por lo menos un punto frontera; por otro lado, considerando 1/2 ∈ [0, 1], se ve que existen vecindades de 1/2 que no tienen puntos frontera, por ejemplo (1/4, 3/4), por ende este espacio no es un espacio homogéneo lo cual implica que bajo ninguna operación algebraica I puede ser un grupo topológico. Nótese que en un grupo topológico los elementos de una base local para la identidad e ∈ G son lo suficientemente valiosos como para darles el nombre de: núcleos. Es claro que si G es homogéneo, entonces una base local para un solo punto, determina una base local para todos los otros puntos de G (vı́a homeomorfismo), y ésta también determina la topologı́a de G usando la proposición 1.2. Además, podemos decir que un subconjunto S de G es abierto si y solo si para cada s ∈ S existe un núcleo N de G tal que Ls (N ) = sN ⊆ S. En particular, si N (eG ) es la familia de núcleos del grupo topológico G, y g ∈ G, entonces las familias {Lg (N ) | N ∈ N (eG )} ,. {Rg (N ) | N ∈ N (eG )}. son bases locales para g. Esto se puede ver con mayor detalle en el siguiente lema. Lema 2.4. [10] Sea G un grupo topológico y sea N (eG ) una base local para la identidad e. Entonces las familias {Lg (U )} y {Rg (U )}, donde g ∈ G y U ∈ N (eG ) son bases locales para g..

(43) CAPÍTULO 2. GRUPOS TOPOLÓGICOS. 37. Demostración. Sea W un conjunto abierto no vacı́o en G y a un elemento arbitrario de W . Dado que la función La−1 (x) = a−1 x es un homeomorfismo, transforma el abierto W en el abierto a−1 W , el cual contiene a la identidad eG . Como N (eG ) es una base local para eG , existe U ∈ N (eG ) tal que eG ∈ U ⊆ a−1 W . Por tanto, a ∈ aU ⊆ aa−1 W = W, lo cual demuestra que {Lg (U ) | g ∈ G, U ∈ N (eG )} es una base local para g. En forma similar se prueba que {Rg (U ) | g ∈ G, U ∈ N (eG )} es una base local para g.. 2.2.. Separación. Nosotros vamos a requerir en la definición de grupo topológico que {e} sea cerrado en G; no obstante esta demanda es cubierta por la condición de que G sea T1 . Sin embargo el requerimiento de que {e} sea cerrado en la definición de grupo topológico es reemplazada por el hecho de que G sea T0 ya que de aquı́ se sigue que G sea T1 , como se ve en el siguiente teorema. Teorema 2.3. [4] Sea G un grupo topológico. Si G es T0 entonces G es T1 . Demostración. Esto quedará claro si mostramos que G − {e} es un abierto. Sea g ̸= e, ya que G es T0 entonces: a) existe un abierto Ug tal que g es un elemento de Ug y e ∈ / Ug por lo cual Ug ⊆ G − {e}, o b) existe un abierto Ue tal que e es un elemento de Ue y g ∈ / Ue por lo cual Ue ⊆ G − {g}. Si se tiene a) entonces se sigue la prueba ya que G − {e} será abierto implicando que {e} sea cerrado y vı́a homeomorfismo (en este caso las traslaciones) {g} sera cerrado para todo g ∈ G. Supongamos que se tiene b), luego a través del homeomorfismo L−1 g = Lg −1 tenemos que Lg−1 (Ue ) ⊆ Lg−1 (G − {g}) Ug−1 ⊆ G − {e}. ası́. y usando el homeomorfismo inversión ι tenemos ι(Ug−1 ) ⊆ ι(G − {e}) Ug ⊆ G − {e}. esto es. ya que g fue arbitrario y g es un punto interior de G − {e} tenemos que G − {e} es abierto y por ende {e} es cerrado, a través del homeomorfismo Lg , {g} es cerrado para todo g ∈ G concluyendo por teorema 1.16 que G es T1 ..

(44) CAPÍTULO 2. GRUPOS TOPOLÓGICOS. 38. Recapitulando la demostración, si Ue es un abierto que contiene a e, entonces (ι ◦ Lg−1 )(Ue ) = Ug es un abierto que contiene a (ι ◦ Lg−1 )(e) = g. Por otra parte es claro que el espacio topológico del ejemplo 1.1 dado en el capı́tulo anterior es tal que no pueden soportar una estructura de grupo topológico. Definición 2.3. [10] Un abierto V de e se dice simétrico si V = V −1 . Ciertamente no todos los abiertos de e son simétricos, sin embargo cada uno contiene un abierto simétrico. Lema 2.5. [10] Si U ∈ N (eG ) en un grupo topológico, entonces existe un abierto V ∈ N (eG ) tal que V −1 = V ⊆ U . Demostración. Sea U ∈ N (eG ) y sea ι el homeomorfismo inversión, luego ι(U ) = U −1 es un abierto y e ∈ U −1 , ası́ que tomando V = U ∩ U −1 que es un abierto, se tiene ι(V ) V −1. = ι(U ∩ U −1 ) = ι(U ) ∩ ι(U −1 ) = U −1 ∩ U = V. por tanto V = V −1 y V = U ∩ U −1 ⊆ U . Teorema 2.4. [10] Sea G un grupo topológico. 1. Si U ∈ N (eG ), entonces para cada n ∈ Z+ existe un abierto simétrico V ∈ N (eG ) tal que Vn ⊆U. (V n = V · · · V. n-veces).. 2. Si U ∈ N (eG ), entonces existe un abierto simétrico V ∈ N (eG ) tal que V ⊆ U. Demostración. 1) Sea U ∈ N (eG ); utilicemos inducción sobre n. Para n = 1 usamos el lema 2.5, luego V ⊆ U . Supongamos que el resultado se tiene para un n ∈ Z+ esto es, existe un abierto simétrico W ∈ N (eG ) tal que W n ⊆ U . Queremos encontrar un abierto simétrico V ∈ N (eG ) tal que V n+1 ⊆ U . Ya que el producto g1 (x, y) = xy es continuo y g1 (eG , eG ) = eG , existen V1 , V2 ∈ N (eG ) tales que V1 V2 ⊆ W . Sea V = V1 ∩ V2 , entonces V ∈ N (eG ); como V ⊆ V1. y. V ⊆ V2. se tiene.

(45) CAPÍTULO 2. GRUPOS TOPOLÓGICOS V V ⊆ V1 V2 ⊆ W. 39 ası́. V 2 ⊆ W. Además V = V eG ⊆ V1 eG ⊆ V1 V2 ⊆ W. luego. V n−1 ⊆ W n−1 por tanto V n+1 = V V V n−1 ⊆ W W n−1 = W n ⊆ U. 2) Sea U ∈ N (eG ), tomemos n = 2, luego por lo expuesto en 1) existe V ∈ N (eG ) abierto simétrico tal que V 2 ⊆ U . Si x ∈ V , entonces xV ∩ V ̸= ∅; es decir, existen v1 , v2 ∈ V tales que xv1 = v2 , por lo cual x = v2 v1−1 ∈ V V −1 = V V = V 2 ⊆ U luego x ∈ U , por tanto V ⊆ U . Teorema 2.5. [4] Todo grupo topológico G es Hausdorff. Demostración. Sean x, y ∈ G tales que x ̸= y, luego x{−1 y ̸=} eG . Sabemos que { −1 } x y es un conjunto cerrado, de tal manera que G− x−1 y es un abierto que contiene a la unidad eG , por el teorema 2.4 tomando n ={ 2, existe } un abierto simétrico V ∈ N (eG ) tal que x−1 y ∈ / V V = V 2 ⊆ G − x−1 y . Además xV y yV son abiertos de x y y respectivamente; supongamos que xV ∩ yV ̸= ∅, entonces existen v1 , v2 ∈ V tales que xv1 = yv2 esto implica { } x−1 y = v1 v2−1 ∈ V V −1 = V2 ⊆ G − x−1 y { } por ende x−1 y ∈ G − x−1 y lo cual es absurdo, por tanto xV ∩ yV = ∅ y ası́ G es un espacio Hausdorff. Los grupos topológicos no dejan de sorprendernos y la nueva razón es que también satisfacen el axioma de separación T3 . Teorema 2.6. [10] Todo grupo topológico G es T3 . Demostración. Por el teorema 2.3 sabemos que G es T1 , luego basta demostrar que G es regular, es decir, debemos probar que si U ∈ N (eG ), existe un abierto V ∈ N (eG ) tal que eG ∈ V ⊆ V ⊆ U pero esto se deduce del teorema 2.4 ı́tem 2. por ende como se satisface la regularidad para la identidad eG , entonces se satisface dicha propiedad para los g ∈ G mediante los homeomorfismos de traslación; por tanto G es T3 ..

(46) CAPÍTULO 2. GRUPOS TOPOLÓGICOS. 40. Las consideraciones expuestas a lo largo del texto, ponen de manifiesto que la condición 3. de la definición 2.1 establece una relación muy estrecha entre la estructura algebraica y la estructura topológica presentes en un grupo topológico G. Gracias a ello sucede, en particular, que una vez definida el álgebra de G, para definir la topologı́a no es necesario indicar una base de todo el espacio G sino que basta indicar solamente una base local para la unidad. Es por ello que es menester enunciar el siguiente teorema. Teorema 2.7. [7] [10] Sea G un grupo topológico. Entonces existe una base local V para eG tal que: 1) 2) W 3) 4) 5). ∩. V = {eG }. si U, V son dos elementos arbitrarios de V, entonces existe W ∈ V tal que ⊆U ∩V. para cada U ∈ V existe V ∈ V tal que V V −1 ⊆ U . para cada U ∈ V y para cada x ∈ U existe V ∈ V tal que xV ⊆ U . para cada U ∈ V y a ∈ G existe W ∈ V tal que aW a−1 ⊆ U .. Recı́procamente, si tenemos un grupo G y una familia V no vacı́a de subconjuntos de G que contienen a eG , tales que se satisfacen las condiciones (1) a (5) para V, entonces cada una de las familias {xU : U ∈ V, x ∈ G} y {U x : U ∈ V, x ∈ G} es base para una topologı́a τ del grupo G, además las operaciones de grupo existentes en G son continuas en esta topologı́a y V es una base local para eG . Demostración. (=⇒) Sea G un grupo { topológico, esto implica } que G sea Hausdorff y consideremos la familia V = V ∩ V −1 : V ∈ N (eG ) . Demostremos que V es base local para eG . Sea U un abierto con eG ∈ U , luego tomando W = U ∩ U −1 el cual pertenece a V, tenemos que eG ∈ W = U ∩ U −1 ⊆ U luego V es base local para eG . ∩ ∩ ∩ 1) Supongamos que ∩ V ̸= {eG } esto implica V ̸⊆ {eG } o {eG } ̸⊆ V, supongamos que {eG } ̸⊆ V luego eG ∈ / V ∩ V −1 para todo V ∈ N (e∩ G ), es decir, −1 eG ∈ / V y eG ∈ /V lo cual es absurdo ya que V ∈ N (eG ); por tanto V = {eG }. 2) Sea U, V ∈ V, luego existen U1 , V1 elementos de N (eG ) tales que U = U1 ∩ U1−1. , V = V1 ∩ V1−1 ;. como U1 ∩ V1 ∈ N (eG ) entonces W = (U1 ∩ V1 ) ∩ (U1 ∩ V1 )−1 ∈ V.

(47) CAPÍTULO 2. GRUPOS TOPOLÓGICOS. 41. por tanto W ⊆ U ∩ V . 3) Sea U ∈ V. Por teorema 2.4 existe V ∈ N (eG ) tal que V 2 ⊆ U ; entonces W = V ∩ V −1 pertenece a V y es simétrico, luego tenemos que W = W −1 , por lo que W W −1 = W 2 ⊆ V 2 ⊆ U. 4) Sean ahora U ∈ V y x ∈ U . Como la multiplicación de grupo es continua y xeG = x, tenemos que existen abiertos Vx , W que contienen a x y al elemento eG respectivamente tales que Vx W ⊆ U. Ya que W ∈ N (eG ), V = W ∩ W −1 pertenece a V, finalmente se tiene xV = x(W ∩ W −1 ) ⊆ xW ⊆ Vx W ⊆ U lo que prueba (4). 5) Sean U ∈ V y a ∈ G, por la continuidad de la multiplicación y usando el hecho de que aa−1 = aeG a−1 = eG , existen abiertos Wa , V, Wa−1 de a, eG , a−1 respectivamente, tales que Wa V Wa−1 ⊆ U. Ya que V ∈ N (eG ) tenemos que W = V ∩ V −1 pertenece a V, por consiguiente aW a−1 = a(V ∩ V −1 )a−1 ⊆ aV a−1 ⊆ Wa V Wa−1 ⊆ U lo que implica (5). (⇐=) Sean G un grupo (en el sentido algebraico) y V una familia de subconjuntos de G que contienen a eG que satisfacen las condiciones 1)−5) del teorema. a) Debemos verificar que β = {xU : x ∈ G, U ∈ V} es una base para una topologı́a τ del grupo G. Es claro que si x ∈ G y U ∈ V, entonces x ∈ xU ; ya que xU ∈ β, se tiene el ı́tem 1. de la definición 1.9. Sean xU, xV dos elementos de β y x ∈ xU ∩xV , ya que U, V ∈ V, por la hipótesis 2) existe W ∈ V tal que W ⊆ U ∩ V , de tal manera que xW ∈ β y x ∈ xW ⊆ x(U ∩ V ) = xU ∩ xV.

(48) CAPÍTULO 2. GRUPOS TOPOLÓGICOS. 42. por tanto β satisface el ı́tem 2. de la definición 1.9 y por tanto es una base para una topologı́a τ del grupo G. b) Verifiquemos que la operación (a, b) 7−→ ab−1 es continua. Elijamos puntos a, b ∈ G y un abierto U de ab−1 . De acuerdo a la condición 4) existe V ∈ V tal que ab−1 V ⊆ U , y por 5) y 3) existen W1 , W2 ∈ V tales que bW1 b−1 ⊆ V. y W2 W2−1 ⊆ W1 .. Entonces aW2 y bW2 son abiertos de los puntos a y b para los cuales se tiene (aW2 )(bW2−1 ) =. aW2 Wa−1 b−1 ⊆ aW1 b−1. = ab−1 (bW1 b−1 ) ⊆ ab−1 V ⊆ U de donde, la operación considerada es continua. Por tanto por el lema 2.1 G es un grupo topológico. c) Probemos que V es una base local para eG . Sea U ∈ τ con eG ∈ U , puesto que β es una base para G, existen x ∈ G y V ∈ V tales que eG ∈ xV ⊆ U ; en particular x−1 ∈ V . Por 4) podemos encontrar W ∈ V con x−1 W ⊆ V , de donde eG ∈ W ⊆ xV ⊆ U, ası́ que V es una base local para eG . d) Para terminar la demostración, probemos que {U x : x ∈ G, U ∈ V} también es una base para la topologı́a τ . Sean a ∈ G y U ∈ τ tales que a ∈ U . Por la condición 4) existe V ∈ V tal que aV ⊆ U , y por la condición 5) podemos encontrar W ∈ V tal que a−1 W a ⊆ V ; entonces a ∈ W a ⊆ aV ⊆ U .. 2.3.. Invariante Topológico. Algunos autores definen la topologı́a como el estudio de aquellas propiedades del espacio que permanecen invariantes cuando el espacio se somete a homeomorfismos. Llamamos a estas propiedades invariantes topológicos. De manera más formal lo enunciamos de la siguiente manera..