Relación entre radianes y grados sexagecimales

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Funciones Trigonométricas

Iván Castro Leonardo Rendón

icastroc@unal.edu.co,lrendona@unal.edu.co,

Ayuda en transparencias Ricardo Miranda

Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas

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Funciones

Trigonométri-cas Iván Castro. Leonardo

Rendón

Definición de Radián

Definición de Radián:Un radián es una medida de un ángulo cuyo vértice está en el centro de una circunferencia y que barre un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.

S=rθ r=rθ

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Funciones

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Rendón

Relación entre radianes y grados

sexagecimales

Como la longitud de la

circunferencia C está dada por , 2πr se tiene que:

2π →360◦

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Funciones

Trigonométri-cas Iván Castro. Leonardo

Rendón

luego se siguen las equivalencias

Radianes Grados

π 180

0 0

π

6 30

π

4 45

π

3 60

π

2 90

2 270

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Funciones

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Sentido de los ángulos

Se determina un sentido para determinar los ángulos (en radianes) en el plano cartesiano

Sentido positivo de un ángulo en posición normal

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Funciones

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Rendón

Definición de las funciones seno y coseno

Consideremos un número realt y construyamos el ángulo en posición normal de medidat radianes . Sea

P el punto de intersección de la línea terminal del ángulo con la circunferencia unitaria centrada en el origen. SiP = (x, y), definimos

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Funciones

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Rendón

Definición de seno y coseno de un ángulo

De la definición de seno y de coseno, se tiene:

Domsen =Domcos =R

|sen(t)| ≤1 , |cos(t)| ≤1

sen2(t) +cos2(t) = 1, ∀t∈R

t 0 π2 π 32π 2π

cos(t) 1 0 −1 0 1

sen(t) 0 1 0 −1 0

f es una función periódica si existe p >0 tal que, para todo x∈Domf se tiene f(x+p) =f(x). El periodo es el mínimo valor de p para el cual

f(x+p) =f(x)

sen(t+ 2π) =sen(t)

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Funciones

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Rendón sen(−t) =−sen(t) (función

impar)

cos(−t) =cos(t) (función par)

sen(π2 −t) =cos(t)

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Funciones Trigonométri-cas Iván Castro. Leonardo Rendón

Valores del seno y del coseno para ángulos con

medidas de

π4

,

π3

y

π6

x= √

2 2

sen(π

4) =

2 2

cos(π4) =

2 2

x= 12,y= √

3 2

sen(π

3) =

3 2

cos(π3) =12

x= 12,y= √

3 2

cos(π

6) =

3 2

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Funciones

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Rendón

Gráficas de seno y coseno

y(x) =sen(x)

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Funciones

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Rendón

Relaciones Trigonométricas de seno y

coseno

CO sen(t) =

h

1

CA cos(t) =

h

1

sen(t) = CO

h cos(t) =

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Funciones

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Rendón

Ley de cosenos

b2−(bcos(t))2 =h2=a2−(c−bcos(t))2

b2−b2Cos2(t) =a2−c2+ 2bccos(t)−b2cos2(t))2

b2 =a2−c2+ 2bccos(t)

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Rendón Ejemplo:

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Funciones Trigonométri-cas Iván Castro. Leonardo Rendón

Ley de senos

sen(β) = h

a , sen(α) = h

b

sen(β)

sen(α) =

b a

sen(β)

b =

sen(α)

a

sen(α)

a = sen(β)

b = sen(γ)

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Funciones

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Rendón Ejemplo:

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Funciones

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Rendón

seno y coseno de la suma y de la resta de

dos ángulos

A partir de la ley de los cosenos, se tiene:

(cos(β)−cos(α))2+ (sen(β)−sen(α))2= 1 + 1−2cos(β−α)

cos2(β)−2cos(β)cos(α) +cos2(α)+

sen2(β)−2sen(β)sen(α) +sen2(α) = 2−2cos(β−α)

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Funciones

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Rendón

seno y coseno de la suma y de la resta de

dos ángulos

Para calcularcos(α+β):

cos(α+β) =cos(α−(−β)) =cos(α)cos(−β) +sen(α)sen(−β)

=cos(α)cos(β)−sen(α)sen(β)

cos(α+β) =cos(α)cos(β)−sen(α)sen(β)

Para calcularsen(α+β):

sen(α+β) =cos(π

2−(α+β)) =cos((π

2−α)−β)

=cos(π2−α)cos(β) +sen(π2−α)sen(β)

=sen(α)cos(β) +cos(α)sen(β)

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Funciones

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Rendón

seno y coseno de la suma y resta de ángulos

Para calcularsen(α−β):

sen(α−β) =sen(α+ (−β)) =sen(α)cos(−β) +sen(−β)cos(α)

=sen(α)cos(β)−sen(β)cos(α)

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Definición Tangente

tan(t) = sencos((tt))

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Características y Gráfica de Tangente

Función impar

Función periódica con periodo π: sen(t+π)

cos(t+π) =

sen(t)cos(π)+sen(π)cos(t)

cos(t)cos(π)−sen(t)sen(π) =

sen(t)

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Definición secante, cosecante y Cotangente

sec(t) = cos1(t)

sec(t+ 2π) = cos(t1+2π) = cos1(t) =sec(t) El periodo de sec es2π

Domsec=R− {(2k+ 1)π2 :k∈Z}

csc(t) = sen1(t)

csc(t+ 2π) = sen(t1+2π) = sen1(t) =csc(t) El periodo de csces2π

Domcsc=R− {kπ :k∈Z}

cot(t) = sencos((tt))

cot(t+π) = tan(1t+π) = tan1(t) =cot(t) El periodo de cotesπ

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Gráficas de secante y cosecante

y(x) =sec(x)

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Gráfica de Cotangente

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Funciones

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Identidad Pitagórica

Circunferencia unitaria centrada en el origen.

De la ecuación de una

circunferencia centrada en el origen de radio1 se tiene que

x2+y2 = 1

por lo tanto

cos2(t) +sen2(t) = 1

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Funciones

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Identidad Pitagórica

A partir de

sen2(t) +cos2(t) = 1 se obtiene:

dividiendo la primera ecuación porcos2(t)

1 +tan2(t) =sec2(t)

dividiendo la primera ecuación porsen2(t)

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Rendón

Identidades Trigonométricas

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre

expresiones que contienen funciones trigonométricas, que es verdadera para todos los valores de los ángulos para los cuales están definidas dichas expresiones.

De la teoría anterior se tiene las siguientes relaciones fundamentales

sen2(t) +cos2(t) = 1 1 +tan2(t) =sec2(t) 1 +cot2(t) =csc2(t)

tan(t) = sencos((tt))

sec(t) = cos1(t)

csc(t) = sen1(t)

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Funciones Trigonométri-cas Iván Castro. Leonardo Rendón

Ejemplo de Identidades Trigonométricas

Demostrar que

tan(2x) = 12tantan(x)2(x)

.

Solución:

tan(2x) = sen(2x)cos(2x) =sen(x+x)cos(x+x) =cos(x)cos(x)sen(x)cos(x)+sen(x)cos(x)sen(x)sen(x)

=cos2sen(x)cos(x)2(x)sen2(x)

=

2sen(x)cos(x) cos2(x)

cos2(x)−sen2(x) cos2(x)

=

2sen(x)cos(x) cos2(x)

cos2(x) cos2(x)

sen2(x) cos2(x)

=

2sen(x) cos(x)

1−sen

2(x)

cos2(x)

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Funciones Trigonométri-cas Iván Castro. Leonardo Rendón

Ejemplo de Identidades Trigonométricas

Demostrar que

1 +tan(2x)tan(x) =sec(2x)

.

Solución:

1 +tan(2x)tan(x) = 1 + 12tantan22(x)(x)=

1+tan2(x)

1−tan2(x)

= 1+ sen2(x) cos2(x)

1−sen

2(x)

cos2(x)

= sencos22(x)(x)+cossen22(x)(x)

= 1

cos(2x)

=sec(2x)

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Ecuaciones Trigonométricas

Una ecuación trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas, que es verdadera para algunos valores de los ángulos para los cuales están definidas dichas expresiones.

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Ecuaciones Trigonométricas

EjemploResolver la ecuación para valores entre0y2π

cos(2x)csc(x) +csc(x) +cot(x) = 0

Solución: Comocos(2x) =cos2(x)−sen2(x), csc(x) =sen(x)1 y

cot(x) =sen(x)cos(x), sustituyendo se obtiene:

cos2(x)−sen2(x) sen(x) +

1 sen(x)+

cos(x) sen(x) = 0

cos2(x)−sen2(x) + 1 +cos(x) = 0 2cos2(x) +cos(x) = 0

cos(x)(2cos(x) + 1) = 0

Figure

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