CASOS PARTICULARES : Si la parábola es de eje paralelo al eje de las ordenadas (el eje tiene

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(1)

PARÁBOLA:

DEFINICIÓN: Dados un punto F y una recta d que no pasa por F, se llama parábola de foco F y directriz d al conjunto de puntos del plano que equidistan de F y d. La recta que pasa por el foco perpendicular a

la directriz se denomina eje de la parábola. Esta recta es eje de simetría de la parábola: si un punto pertenece a ella, su simétrico respecto al eje también.

La intersección de la parábola con su eje es el vértice (V) y la distancia del foco a la directriz es el parámetro de la parábola. Dado F(α,β) y la recta d)ax+by+c=0 Vamos a hallar la ecuación de la parábola de foco F y directriz d.

Si un punto P(x,y) ∈ P(F,d) se cumple:

PF =dist(P,d)⇔ PF2 =[dist(P,d)]2⇔

+ +

− α + − β =

+

2

2 2

2 2 (ax by c) (x ) (y )

a b

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(a b )(x 2 x ) (a b )(y 2 y ) (a x 2abxy b y 2acx 2bcy c ) 0

⇒ + − α + α + + − β + β − + + + + + =

(

) (

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(a b a )x 2abxy (a b b )y 2 (a b ) 2ac x 2 (a b ) 2bc y (a b )( ) c 0

⇒ + − − + + − − α + + − β + + + + α +β − =

b2x2−2abxy+a2y2−2[α(a2+b2)+ac]x2[β(a2+b2)+bc)y+(a2+b2)(α2+β2)c2=0

Observamos: la ecuación tiene la forma de la ecuación de una cónica

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 siendo A=b2 , B=2ab , C=a2 Y la expresión B2-4AC = (2ab)2−4b2a2 =0 fi B2-4AC=0

El valor 0 de esta expresión nos indica que la cónica no tiene centro.

CASOS PARTICULARES: Si la parábola es de eje paralelo al eje de las ordenadas (el eje tiene vector director j) La directriz d resultará paralela al eje de las abscisas (x) o sea su ecuación será de la forma by+c=0 donde b≠0 y por lo tanto se podrá escribir de la forma d) y+ γ =0 ⇒ la ecuación de la parábola tendrá la forma (considerando a=0, b=1 y c=γ )

2 2 2 2

x − α − β + γ + α + β − γ =2 x 2( )y 0 donde se observa que el coeficiente de y: β+γ≠0 ya que F(α,β) œd ⇒ se puede despejar y de la ecuación:

2 2 2 2

1

y x x

2( ) 2( )

α α + β − γ

= − +

β + γ β + γ β + γ

La ecuación es de la forma y=ax2+bx+c con a0

(2)

a 1

2( )

=

β + γ , b ( ) −α =

β + γ ,

2 2 2 c 2( ) α + β − γ = β + γ ⇒ 2 2 b

4a ( )( )

c 2.( ) + β + γ β − γ = β + γ 1 2a

β + γ = b=-2aα b 2a − α = c = 2 2 2 2 b 1 2a

4a b 1

1 4a 2a

2a

( )

a[ ( )]

2.

+ β − γ

= + β − γ ⇒ c−b2

4a 2 β − γ = β−γ= 2 4ac b 2a −

+

: 2

4ac b 1

2

2a − +

β =

2

4ac b 1

4a − + β =

−−−−

:

2

1 4ac b 2

2a

− +

γ =

2

1 4ac b 4a

− +

γ =

La ecuación corresponde a una parábola de foco F( b 2a −

,

2

4ac b 1

4a − +

)

y directriz : d)

2

1 4ac b

y 0

4a

− +

+ =

Análogamente para la ecuación de la parábola de eje paralelo al eje de las abscisas, se llega a la ecuación:

2 2 2 2

1

x y y

2( ) ( ) 2( )

β α + β − γ

= − +

α + γ α + γ α + γ la ecuación es de la forma x=ay2+by+c con a≠0

siendo F(

2

4ac b 1

4a − +

, b 2a −

) y d)

2

1 4ac b

x 0

4a

− +

+ =

INTERSECCIÓN DE RECTA CON PARÁBOLA

Hallar la intersección de la recta r) hx+py+q=0 y la parábola: P) y=ax2+bx+c

significa hallar los valores de x e y que verifiquen simultáneamente ambas ecuaciones o sea hallar la solución del sistema formado por las ecuaciones de r y P :

Si p≠0 se despeja y de la ecuación de la recta y se sustituye en la ecuación de la parábola: =− − ⇒ p q x p h

y = ax2+bx+c ⇒ ax2 (b h)x c q 0

p p

+ + + + = ⇒ queda una ecuación de segundo grado en x para resolver ya que el coeficiente de segundo grado es a ≠ 0 por ser la ecuación de una parábola. Esto significa que la recta puede ser secante , tangente o exterior a la parábola, según que la ecuación anterior tenga dos soluciones distintas , una doble o

(3)

A

A’

ninguna respectivamente. Se observa que en este caso la recta no es paralela al eje de la parábola

Si p=0 entonces la recta r) hx+q=0 es paralela al eje (y) o sea paralela al eje de la parábola, y en este caso deberá ser h≠0 ⇒ se despeja x de la ecuación de la recta y se sustituye en la

ecuación de la parábola: q h

x= − ⇒ q 2 q

h h

y a(= − ) + − +b( ) c⇒ hay un solo punto de corte ya que esta ecuación es de primer grado, pero la recta no es tangente ya que no se

encontró el punto de corte como solución doble de una ecuación de segundo grado. ELIPSE:

DEFINICIÓN: Dados dos puntos F , F’ y un número real positivo (a) tales que FF' 2a< , se llama Elipse de focos F y F’ y constante a al conjunto de puntos del plano cuya suma de distancias a F y F’ es 2a.

EJES DE LA ELIPSE:

1)EJE FOCAL : la recta FF’ es eje de simetría de E : si un punto X ∈E⇒ el simétrico respecto a FF’ : SFF’(X)= X’’ ∈E

2) EJE NO FOCAL : la mediatriz de FF’ (e) es eje de simetría de E ya que si X∈E ⇒S

e(X)=X’ ∈E

CENTRO DE LA ELIPSE : El punto medio (O) de FF’(punto de corte de los ejes de la elipse ) es centro de simetría de E. Si un punto X ∈E⇒el simétrico respecto a O : C

O(X) =X” ∈E

VÉRTICES DE LA ELIPSE: es la intersección de E con sus ejes: 1) Eje no focal : e ∩E ={B,B’ } / B’ =CO(B)

Si B ∈E⇔BF + BF’ =2a , pero B ∈e ⇔BF =BF’ Por lo tanto BF =BF’ =a ⇔ B ∈cfa(F,a) 2) Eje focal : FF’ ∩E ={A,A’ } / A’ =CO(A)

A no está en el segmento FF’ ya que si lo estuviera AF+AF’ =2c que es menor que 2a y por lo tanto A no sería de E . Como A∈E⇔AF+AF’ =2a , pero además : AF =OA−OF y AF’ =OA+OF’ =OA+OF ⇒ AF + AF’ =2.OA =2a OA= a Lo cual significa que LOS VÉRTICES DEL EJE FOCAL PERTENECEN A UNA CIRCUNFERENCIA DE CENTRO O Y RADIO a .

PROPIEDAD :

A , A’ , B y B’ son los vértices de E . En el triángulo rectángulo OBF

se cumple : OF2 + OB2 = BF2 o sea c2 + OB2 = a2 , si llamamos OB = b a2 = b2 + c2

a = SEMIEJE MAYOR b = SEMIEJE MENOR c = SEMIDISTANCIA FOCAL

(4)

HIPÉRBOLA:

DEFINICIÓN: Dados dos puntos F , F’ y un número real positivo (a) tales que FF' 2a> , se llama hipérbola de focos F y F’ y constante a, al conjunto de puntos del plano cuya diferencia de distancias a F y F’ es 2a.

EJES DE LA HIPÉRBOLA

1) EJE FOCAL : la recta FF’ es eje de simetría de H : si un punto X ∈H ⇒ SFF’(X) =X’

∈H

2) EJE NO FOCAL : la mediatriz de FF’ (e) es eje de simetría de H ya que si X ∈H ⇒

Se(X)=X” ∈H

CENTRO DE LA HIPÉRBOLA: El punto medio (O) de FF’ (punto de corte de los ejes de la

hipérbola) es centro de simetría de H . Si un punto X ∈H ⇒ C

O(X) =X” ∈H

VÉRTICES DE LA HIPÉRBOLA: es la intersección de H con sus ejes:

- Eje no focal : e ∩H =Φ No hay puntos de H en e ya que todos sus puntos equidistan de F y F’

- Eje focal : FF’ ∩H = {A,A’ } / A’ =CO(A)

A es un punto del segmento FF’ ya que si no lo fuera |AF-AF’| =2c > 2a lo cual no se cumple

A ∈H ⇔ |AF−AF’| =2a , pero AF =OF−OA y

AF’ =OA+OF’ =OA+OF ⇒ |AF−AF’| =2.OA ⇒ OA= a ⇒ LOS VÉRTICES DEL

EJE FOCAL ESTÁN EN UNA CIRCUNFERENCIA DE CENTRO O Y RADIO a .

Como a<c , se define la relación c2−a2 = b2 ⇔ a2+b2 = c2 siendo los nombres iguales que en la elipse:

a = SEMIEJE MAYOR b = SEMIEJE MENOR c = SEMIDISTANCIA FOCAL

Dados los puntos F y F' y a >0 , un punto X ∈ E o H ⇔ XF±XF'= 2a

Si se plantea la igualdad : ±XF±XF'=2a⇒ se presentan los siguientes casos :

1) XF+XF'=2a ⇔ X∈E 2) XF−XF'=2a ⇔ X∈ H 3) −XF+XF'=2a ⇔ X∈ H

4)− XF−XF'=2a ⇔ ningún punto del plano verifica esta igualdad por lo que la ecuación no

representa nada

⇒ La igualdad planteada representa una elipse o una hipérbola y nos permitirá hallar la

ECUACIÓN CONJUNTA DE LA ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA

±XF±XF'= 2.a ⇔ ±XF=2.a ∓ XF' ⇔ XF2 =4.a2+XF'2∓4.a. XF' ⇔ XF2−XF'2−4.a2= 4.a.XF'2 (*)

A A’

F O F’

(5)

Dados F(α,β) y F'(γ,δ) tales que FF' = 2c FF'2 = 4c2 (αααα−−−−γγγγ)2+(ββββ−−−−δδδδ)2 = 4c2 (&) Usando la ecuación (*) XF2= (x−α)2+(y−β)2 = x2+y2−2αx2βy+α2+β2 ,

XF'2=(x−γ)2+(y−δ)2 =x2+y2−2γx2δy+γ2+δ2

XF2−XF'2 = 2(γ−α)x+2(δ−β)y+α2+β2−γ2−δ2

sustituyendo en (*) e igualando a cero :

[2(γ−α)x+2(δ−β)y+α2+β2−γ2−δ2−4.a2]2−16.a2(x2+y2−2γx2δy+γ2+δ2) = 0 realizando las

operaciones indicadas se obtiene la ecuación conjunta de la elipse y la hipérbola

[4(γ−α)2−16.a2]x2+8(γ−α)(δ−β)xy+[4(δ−β)2−16.a2]y2+………..=0

y es una ecuación de la forma . Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 Vamos a estudiar el signo de la expresión B2−−−−4AC :

A= 4(γ−α)2−16.a2=4[(γ−α)2−4.a2] , B=8(γ−α)(δ−β) , C=4(δ−β)2−16.a2=4[(δ−β)2−4.a2]

B2−4AC = 64(γ−α)2(δ−β)2−4.4.4[(γ−α)2−4.a2][(δ−β)2−4.a2] =

=64(γ−α)2(δ−β)2−64(γ−α)2(δ−β)2+64.4.a2(γ−α)2+64.4.a2(δ−β)2+64.16.a4 =

= 256.a2[(γ−α)2+(δ−β)2-4.a2] por (&)

CASOS PARTICULARES

Elipse o Hipérbola de eje focal (

x

)

Si el centro de la cónica coincide con el origen del sistema de coordenadas y el eje focal tiene la dirección del vector ( i) de la base ⇒ los focos tendrían coordenadas F(c,0) y F’(−c,0) con lo que, haciendo los cambios correspondientes (α= c, γ=−c , β=δ=0) en la ecuación conjunta resultaría: [2(−c−c)x+2(0)y+c2+02−(−c)2−02−4.a2]2−16.a2(x2+y2−2(−c)x−

2.0.y+(−c)2+02) =0

⇔ [−4cx−4a2]2−16a2(x2+y2+2cx+c2)=0 ⇔

(16c2x2+32a2cx+16a4)−16a2x2−16a2y2−32a2cx−16a2c2 =0 ⇔ (c2−−−−a2)x2−−−−a2y2+a2(a2−−−−c2)=0

Si la cónica es una elipse, se cumple la relación: a2 = b2 + c2 c2−a2=−b2 la ecuación

queda −−−−b2x2−−−−a2y2+a2b2 =0 ⇔⇔⇔⇔ 2 2 2 2 x y

1 a +b =

Si la cónica es una hipérbola, se cumple la relación: a2 +b2 = c2⇒ c2−a2=b2 la ecuación

queda b2x2−−−−a2y2−−−−a2b2 =0 ⇔⇔⇔⇔ 2 2 2 2 x y

1 a −b =

Análogamente para la ecuación de la Elipse o Hipérbola de eje focal en el eje ( y) las ecuaciones quedan

B2−−−−4AC = 256.4.a2(c2−−−−a2)

Si es Elipse c2−a2 = b2 B2−−−−4AC = 256.4.a2( b2) < 0

(6)

Elipse:

2 2

2 2 x y

1

b +a = Hipérbola:

2 2

2 2 x y

1 b a

− + =

INTERSECCIÓN DE RECTA Y ELIPSE O HIPÉRBOLA

Para estudiar la intersección tomamos una ecuación de elipse o hipérbola de eje focal en el eje (x) : C) b2x2±a2y2=a2b2 (+ÆElipse , − ÆHipérbola) y una recta cualquiera:

r) px+qy+t=0

si q≠0 entonces se puede despejar y de la ecuación de la recta: p t

q q

y= − x− ⇒ y=mx+n ⇒ se sustituye en la ecuación de la cónica: b2x2±a2(mx+n)2−a2b2=0 ⇔ b2x2±a2(m2x2+n2+2mnx)−a2b2=0 (b2±a2m2)x2±2a2mnx±a2(n2b2)=0

La ecuación es de 2° grado para el caso de Elipse: (b2+a2m2)x2+2a2mnx+a2(n2−b2)=0 ya que el coeficiente de x2 es ≠0, por lo tanto r es secante, tangente o exterior a una elipse.

En el caso de la hipérbola : (b2−a2m2)x2−2a2mnx−a2(n2 b2)=0 el coeficiente de x2 puede ser

cero si: 2 b22 ba

a

m = ⇒m= ± para estos valores de m la ecuación no es de 2° grado : 2a (2 ±ba)nx a (n− 2 2∓b ) 02 = ⇒ ±2abnx − a2(n2∓b2)=0 si n=0 esta es una ecuación

imposible ⇒ las rectas b a

y= ± x⇔ ± − =bx ay 0 son asíntotas de la hipérbola.

Si , por otro lado , n≠0 la ecuación es de primer grado lo cual significa que la recta corta a la hipérbola en un punto sin ser tangente. Estas rectas son de ecuación:

b a

y= ± x n+ ⇔ ± − +bx ay an 0= o sea que las paralelas a las asíntotas cortan a la hipérbola en un punto sin ser tangentes.

Si q=0 se despeja x : x=−pt ⇒ b2(−t p)

2±a2x2−a2b2=0 como a0 la ecuación

queda de grado 2 sea elipse o hipérbola. Estaría en el caso de recta secante , tangente o exterior a la cónica.

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