PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE CASTILLA Y LEÓN JUNIO – 2000 (RESUELTOS por Antonio Menguiano) MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

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(1)

I

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A. Menguiano PRUEBA DE ACCESO (LOGSE)

UNIVERSIDAD DE CASTILLA Y LEÓN

JUNIO – 2000

(RESUELTOS por Antonio Menguiano)

MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

Criterios generales de evaluación de la prueba: Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones.

Datos o tablas (si ha lugar): Podrá utilizarse una calculadora “en línea”. No se admitirá el uso de memoria para texto, ni las prestaciones gráficas.

Optatividad: Se proponen dos pruebas, A y B. Cada una de ellas consta de dos proble-mas y cuatro cuestiones. Cada problema tendrá una puntuación máxima de tres puntos, y cada cuestión se puntuará, como máximo, con un punto. El alumno deberá escoger una de las pruebas, A o B, y desarrollar las preguntas de la misma.

PRUEBA A

PROBLEMAS

1º) Una matriz cuadrada A tiene la propiedad de que A2 = 2A + I, donde I es la matriz unidad.

a ) Demostrar que A admite inversa, y obtenerla en función de A.

b ) Dada la matriz 

  

 

− +

=

m m

B

1 1

1 1

, hallar para que valores de m se verifica que I

B B2 =2 +

, y para esos valores escribir la matriz inversa de B. ---

a )

(

)

1

2 2

2 ·

2 ;

; 2

· ; ; 2

; ; 2

= −

= −

= − +

= = −

A I A I A I A I

A A A I A A

(2)

b ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 · 1 1 1 1 B m m m m m m m m m m m m m m m m B =       + − + + = =       + − + − + + − + + + + + =       − +       − + = I B m m m m I m m I

B  = +

     − + =       +       − + = +       − + = + 2 2 3 2 2 2 3 1 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 · 2 2 1 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = ⇒           − = + − + = + + ⇒       − + =       + − + + m m m m m m m m m m m m m 1 ; ; 1 2

1 = m =− m

Aplicando la solución del apartado anterior sería:

(3)

2º) a ) Enunciar el teorema fundamental del cálculo integral. b ) Calcular una primitiva de la función

( )

(

2

)

1 · L x x

x

f = + .

c ) Determinar el área encerrada por la gráfica de f(x), el eje OX y la recta x = 1. ---

a )

Si f(x) es una función continua en [a, b] y F(x) es su función integral asociada,

( )

x f

( )

x dx x

[

a b

]

F b a , , · ∀ ∈

=

, entonces F(x) es derivable en [a, b] y se cumple que:

( )

x f

( )

x x

[ ]

a b F' = , ∀ ∈ , .

b )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

x

)

x C I

L x C x L x x L x C x L x x L x I en do Sustituyen I C x L x C t L x t dt x I dt dx x t x dx x x dx x dx x x x dx x x I I I x L x dx x x x x x L I x v dv dx x dx x x du x L u dx x L x I = + − + + = = + + + − + = +       + − − + = = + + − = + − = − = ⇒         = = + ⇒ + − =       + − = + = = − + = + − + = ⇒ ⇒             = → = + = → + = ⇒ + =

2 1 · 2 1 1 2 1 2 1 · 2 1 2 1 2 1 · 2 : (*) 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 · 1 · · 1 · 1 (*) 1 · 2 · 1 2 · 2 2 · 1 2 · · 1 2 1 · 1 · 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 3 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c )

(4)

(

)

(

)

S u L

L L

L L

x x L x

dx x L x S

= ≅

− = − =

− − =

=

   

 

− −

   

 

− =

   

 

− + +

= +

=

2

1 0 2 2 2

1 0

2

193 ' 0 2

1 4 2

1 2 2 0 2 1 2

0 1 · 2 1 2 1 2 · 1 2

1 · 2

1 ·

1 ·

(5)

CUESTIONES

1ª) ¿Qué relación debe existir entre a y b para que los vectores u =

(

a, b,1

)

,

(

b a

)

v = − , −1, y w =

(

a,b, a

)

estén sobre un mismo plano. ---

Si los vectores u , v y w están situados en el mismo plano, su rango tiene que ser inferior a tres; si el rango es 2, al menos dos de ellos son linealmente independientes y, si el rango es 1, los tres son linealmente dependientes.

El rango de los tres vectores es el del determinante que forman:

(

1 2

)

(

2

)

0

2 1

1

2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

= − − +

− − =

= + − −

− − = + − − − − − = −

− −

a b a b b a

ab a b a b a ab

b a a b a b a a b a

a b

b a

(6)

2ª) Dados los planos π1 ≡3x+4y+5z=0, π2 ≡2x+ y+ z=0 y el punto A(-1, 2, 1).

Ha-llar el plano π3 que pasa por el punto A y por la recta intersección de los planos π1 2

π

y .

---

Los planos π1 y π2 determinan la recta

  

= + +

= + + ≡

0 2

0 5 4 3

z y x

z y x

r , que es también la

génesis de un haz de plano.

El plano que nos piden es el correspondiente del haz que pasa por el punto A. El haz de planos es: 3x+4y+5z

(

2x+ y+z

)

=0, ∀λ∈R.

El plano del haz que pasa por A(-1, 2, 1) tiene que satisfacer su ecuación:

(

2 2 1

)

0 ;; 10 0 ;; 10

· 5 8

3+ + + − + + = + = =−

− λ λ λ

(

2

)

0 ;; 3 4 5 20 10 10 0 ;;

· 10 5 4

3x+ y+ zx+ y+z = x+ y+ zxyz= 0

5 6 17

3 ≡ x+ y+ z =

π

(7)

3ª) Calcular, simplificando el resultado todo lo posible, la derivada de la siguiente fun-ción:

( )

x x L x f cos 1 cos 1 + − = . --- Este ejercicio se puede hacer de dos formas: 1ª.- Derivando directamente:

( )

(

) (

) (

)

(

)

(

)

(

)(

)

sen x sen x ec x f

( )

x

x sen x x sen x x x sen x x x x x sen x x x x sen x x x sen x f ' cos 2 2 2 cos 1 2 cos 1 cos 1 2 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 · cos 1 cos 1 · ' 2 2 2 = = = = − = − + = − + − + + = + − + − − − + =

2ª.- Aplicando las propiedades de los logaritmos:

( )

(

) (

)

( )

( )

x f x ec x sen x sen x x x x sen x x x sen x x sen x x sen x x sen x x sen x f x L x L x x L x f ' cos 2 2 cos 1 cos 1 cos 1 · cos 1 1 cos 1 1 · cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 ' ; ; cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 2

2 = = =

− − + + = =       + + − = + + − = + − − − = + − − = + − =

3ª.- Operando previamente y teniendo en cuenta las propiedades de los logaritmos:

( )

(

(

)(

)

)

1 cos 2

[

(

1 cos

)

]

;;

cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos

1 2 2

x sen L x L x sen x L x x x L x x L x

f  = − −

     = − + − = + − =

( )

(

)

(

)

(8)

4ª) Hallar razonadamente la excentricidad de una elipse, sabiendo que los segmentos que unen los extremos de su eje menor con cada uno de los focos forman un cuadrado.

---

Las características y puntos singulares de una elipse centrada en el origen cuyos focos están situados en el eje de abscisas es la siguiente:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

, 0

)

;; '

(

, 0

)

, 0 ' ; ; , 0

0 , ' ; ; 0 ,

2 '

2 '

2 '

c F c

F

b B

b B

a A a

A

c CC

b BB

a AA

− − − =

= =

La relación fundamental de la elipse es: 2 1

2 2 2

= +

b y a

x

.

Por definición, se denomina excentricidad de una elipse a la relación: a c e= .

Por definición una elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya su-ma de distancias a dos puntos fijos es igual e igual al eje su-mayor.

De la definición se deduce que FB+BF'=2a ;; FB = BF' ⇒ FB =a De lo anterior se deduce la relación fundamental de la elipse: 2 2 2

c b

a = + . Por condición del problema tiene que ser b = c, con lo cual se tiene:

c a

c c c c b

a2 = 2 + 2 = 2 + 2 =2 2 ;; = 2

Sustituyendo el valor de a obtenido en la excentricidad, resulta finalmente:

e c

c a c

e= = = = =

2 2 2 1 2

**********

A

A’

B

B’

F

a

O

X

Y

F’

b

(9)

PRUEBA B

PROBLEMAS

1º) a ) Concepto de sistema de ecuaciones compatible determinado y de sistema incom-patible.

b ) Consideramos la matriz 

     − = a a

A 2 1 . Calcular, en función del parámetro a, las

ma-trices X de la forma 

     = x z y x

X que verifican AX = A · X'. (Se recuerda que A’ es la matriz traspuesta de la matriz A).

--- a )

Según el Teorema de Rouché-Fröbenius:

La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones con n incógnitas tenga solución es que coincida el rango de la matriz de los coeficientes con el rango de la matriz ampliada con los términos independientes, o sea, que si los rangos son diferentes, el sistema es incompatible.

Si el rango es igual al número de incógnitas el sistema es compatible determinado. Si el rango es menor que el número de incógnitas el sistema es compatible indeter-minado.

En el caso particular de un sistema homogéneo, la condición necesaria y suficien-te para que un sissuficien-tema sea compatible es que el rango de la matriz de los coeficiensuficien-tes sea menor que el número de incógnitas. La condición necesaria y suficiente para que un sistema de n ecuaciones homogéneas con n incógnitas sea compatible es que el determi-nante de la matriz de los coeficientes sea nulo.

b )       =       =       − =       − = x y z x X x z y x X a a A a a

A ;; ;; '

(10)

Las matrices X que satisfacen las condiciones del problema son:

R x x x

X  ∀ ∈

    

= ,

2 2

(11)

2º) Tenemos que vallar un terreno circular y un terreno cuadrado, que por uno de sus lados está limitado por una casa. Calcular el área del terreno circular y del terreno cua-drado que se pueden cercar, utilizando 150 metros de valla, con la condición de que la suma de las dichas áreas sea mínima.

--- π π 2 3 150 ; ; 150 2 3 x r r x L − = = + =

(

)

(

)

( )

( )

(

) ( )

(

)

( )

( )

(

)

(

)

r

x r x x x x x x x x S x S x x x x x S x S x x x x x x r x S = + = + = + − + = + − = − = + = = + − = − = ⇒ = = − − = − − + = = − + = − + =       − + = + = 9 4 300 9 4 2 600 2 9 4 1350 1350 600 2 9 4 450 · 3 150 2 3 150 9 4 450 ; ; 450 9 4 ; ; 9 450 4 ; ; 3 150 · 2 3 2 0 ' ' 3 150 · 2 3 2 3 · 3 150 2 · 4 1 2 ' 3 150 · 4 1 4 3 150 · 2 3 150

· 2 2 2

2 2 2 2 2 2 π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π

La superficie vallada es la siguiente:

(

)

(

)

S m r x S = = = + ≅ ≅ + + = + + =       + +       + = + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 29 , 1043 11 ' 465 34 ' 485243 11 ' 465 34 ' 282743 202500 9 4 90000 202500 9 4 300 450 9 4 300 · 9 4 450 π π π π π π π π

Justificación de que se trata de un mínimo:

( )

(

)

( )

( )

0 , . . .

2 9 2 3 · 2 3 2 ' ' ; ; 3 150 · 2 3 2

' x x x S x Mínimo cq j

S = − − = − − = + > ⇒

(12)

CUESTIONES

1ª) Sean A y B matrices cuadradas con A =2 y B =3. Razonar cuánto vale el de-terminante de la matriz B−1· A · B

.

---

Teniendo en cuenta que el determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes de las matrices y, por la misma razón, el determinante de la inversa de una matriz es igual a la inversa del determinante de la matriz, sería:

2 3 · 2 · 3 1 ·

· ·

· 1

1 = − = =

B A B

B A

B .

(13)

2ª) Consideramos el punto A(1, 4, 2), la recta

1 3

1 2

z y

x

r≡ = − = y el plano cuya ecuación es π ≡x+ y+z−1=0. Calcular la recta t que pasa por A, es paralela a π y corta a r.

---

En primer lugar vamos a determinar un plano π', paralelo a π que contenga al punto A; este plano contiene a r.

(

)

1 4 2 0 ;; 6 ' 7 0

2 , 4 , 1

0 '

= − + + ≡

− = =

+ + +

⇒   

= + + + ≡

z y x D

D A

D z y x

π π

Ahora vamos a determinar el punto P intersección de r con π':

La recta r se puede expresar por unas ecuaciones paramátricas:

    

= + = = ≡

λ λ λ

z y x

r 1 3

2

.

( ) (

) ( )

(

2, 4, 1

)

1

4 3 1 1 · 3 1 3 1

2 1 · 2 2

1 ;

; 0 7 1 6 ; ; 0 7 3

1 2

3 1 2

0 7 '

P z

y x z y x r

z y x

⇒      

   

= =

= + = +

= + =

= =

=

= =

− + =

− + + +

⇒       

    

= + = = ≡

= − + + ≡

λ λ λ

λ λ

λ λ λ

λ λ λ π

Un vector director de la recta puede ser AP:

(

) (

) (

)

AP

A P

AP= − = 2, 4, 1 − 1, 4, 2 = 1, 0, −1 =

La recta pedida es

    

− =

= + = ≡

λ λ

2 4 1

z y x t

(14)

3ª) Hallar el área del recinto limitado por la recta y=3−2x y la parábola 2

2x x y= − . ---

Los puntos de corte de la recta y la parábola son los siguientes:

(

)

( )

    

→ =

− →

=

± = − ± =

= + − −

= −

⇒   

− =

− =

1 , 1 1

3 , 3 3

2 2 4 2

12 16 4

; ; 0 3 4 ;

; 2

2 3 2

2 3

2 1

2 2

2

B x

A x

x

x x x

x x x

x y

x y

La representación gráfica de la situación es la siguiente:

Como puede apreciarse, todas las ordenadas de la parábola son iguales o mayores que las de las de la recta en el entorno de la superficie, (1, 3), por lo cual la superficie pedida es la siguiente:

(

)

(

)

[

(

)

(

)

]

(

)

(

)

(

)

u S

x x x dx

x x dx

x x

x

dx x x

x dx

x dx

x x S

= =

+ + =

   

 

− + − − − + − =

=

   

 

− + − = −

+ − = +

− − − =

= −

− − =

− − −

=

2

3 1 2

3 3

1 2 3

1

2

3 1

2 3

1 3

1

2

3 4 1 3 1 0 3 2 3 1 9

18 9

3 2 3 ·

3 4 ·

2 3 2

· 2 3 2

· 2 3 ·

2

**********

X

Y

-3

3 1

A x y=3−2

S

2

2x x y= − B

(15)

4ª) Calcular las asíntotas de la función

3 3

8

− =

x x

y .

--- Las asíntotas de la función son las siguientes:

Horizontales: son los valores finitos que toma y cuando x tiende

a valer infinito; son de la forma y = k.

( )

y

x x x

lím x

f x

lím k

y = =

− ∞

→ = ∞

→ =

= 1

8

3 3

Verticales: son los valores de x que anulan el denominador.

2 ;

; 0 8 ;

; 0

8 3

3 3 − = − = =

x x

x

Oblicuas: Son de la forma y=mx+n

(

m≠0 ; m≠∞

)

.

( )

oblicuas asíntotas

tiene No

x x

lím x

x x x

lím x

x f x

ím

m = ⇒

∞ = − ∞

→ = − ∞

→ = ∞

= 1 0

8 1 8

3 3 3 3

Figure

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