RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS I

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(1)

Resuelve ecuaciones cuadráticas I

Unidades de competencia:

Construye e interpreta modelos aritméticos, algebraicos y gráficos, aplicando las propiedades de los números reales y expresiones aritméticas y algebraicas, relacionando magnitudes constantes y variables, y empleando las literales para la representación y resolución de situaciones y/o problemas aritméticos y algebraicos concernientes a su vida cotidiana y escolar, que le ayudan a explicar y describir su realidad.

Identifica las características presentes en tablas, gráficas, mapas, diagramas o textos, provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje aritmético y/o algebraico.

Atributos a desarrollar en el bloque:

4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.

5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.

6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.

7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo,

definiendo un curso de acción con pasos específicos.

8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.

(2)

Secuencia didáctica 1.

Ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

!

Inicio

x +5 x

Actividad: 1

1. En la siguiente figura, ¿cuál es el valor de x, si con los datos se obtiene un área que mide 24cm2?

2. ¿Qué proceso utilizaste para resolver el problema anterior?

3. En la siguiente figura, ¿cuánto vale x, si el área mide 40 cm2?

4. Compara los dos problemas anteriores y explica qué dificultades encontraste para poder resolverlos

II. Observa el ejemplo para que completes la siguiente tabla. II. Observa el ejemplo para que completes la siguiente tabla.II. Observa el ejemplo para que completes la siguiente tabla. II. Observa el ejemplo para que completes la siguiente tabla.

Ecuación EcuaciónEcuación

Ecuación Factorización Factorización Factorización Factorización SoluciónSoluciónSoluciónSolución

0

12

x

8

x

2

+

=

(

x6

)(

x2

)

=0

x

=

6

ó

x

=

2

0

16

x

2

=

0

x

7

x

2

+

=

0

25

x

10

x

2

+

=

0

3

x

2

x

2

+

=

0

4

x

7

x

2

2

+

=

9 x +9

x + 2

(3)

Evaluación Evaluación Evaluación Evaluación

Actividad: 1 Producto: Complementación de la tabla. Puntaje:

Saberes SaberesSaberes Saberes Conceptual

Conceptual Conceptual

Conceptual ProcedimentalProcedimental ProcedimentalProcedimental ActitudinalActitudinalActitudinalActitudinal Identifica la solución de una

ecuación cuadrática expresada en factores.

Obtiene la solución de los factores que componen a una ecuación cuadrática.

Aprecia los conocimientos previos para identificar la solución de ecuaciones cuadráticas.

Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente

"

Desarrollo

Las ecuaciones de segundo grado con una incógnita también son conocidas como ecuaciones cuadráticas, y su forma general es:

0

c

bx

ax

2

+

+

=

con

a

0

Sus componentes son:

Como te habrás dado cuenta en la tabla de la primera actividad, el término lineal puede excluirse, así como el término independiente, pero como su condición lo dice, no se puede prescindir del término cuadrático.

La clasificación de las ecuaciones cuadráticas depende de los términos que aparezcan en ellas.

Se les llama completas cuando poseen todos los términos, e incompletas cuando carecen de alguno. Si no tiene el término lineal se denominan puras, y si no aparece el término independiente se conocen como mixtas. En el siguiente cuadro sinóptico visualizarás su estructura.

Completas: ax2+bx+c=0

Incompletas Clasificación de las

ecuaciones cuadráticas

Puras: ax2+c=0

Mixtas: ax2+bx=0 bx

c Término independiente

Término lineal Término cuadrático 2

(4)

Evaluación Evaluación Evaluación Evaluación

Actividad: 2 Producto: Complementación de la tabla. Puntaje:

Saberes Saberes Saberes Saberes Conceptual

ConceptualConceptual

Conceptual ProcedimentalProcedimentalProcedimentalProcedimental ActitudinalActitudinalActitudinalActitudinal Identifica ecuaciones

completas e incompletas de segundo grado de una variable.

Distingue las ecuaciones completas e incompletas de segundo grado con una variable.

Aprecia los conocimientos de Álgebra que le facilitan realizar la actividad con eficiencia.

Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente

Actividad: 2

Transforma las siguientes ecuaciones quitando los paréntesis y simplificando términos semejantes, para que las clasifiques en completas o incompletas (puras o mixtas).

Ecuación original Ecuación modificada Clasificación

(

x+5

)(

x−5

)

=11

(

n−6

)(

n−2

)

=−9n+32

(

x−2

)(

x+3

)

=x+19

(

)

4 x

8 x 2 4 x

− −

= +

(

x 7

)

2

(

x 1

)

2 7

(

x 1

)

2 43

+

= + +

(

y 5

)

y

(

y 2

)

35

y

2 − + + =

2 a

1 a 3 a 2

3 a

− −

=

(5)

Pareciera que las ecuaciones que desarrollaste en la actividad anterior no tienen sentido práctico, a continuación se te presentarán algunos ejemplos aplicados, en donde la ecuación que los modela es muy parecida a alguna de ellas. Los siguientes ejemplos son ejercicios del libro Álgebra de Baldor.

1. La suma de dos números es 9 y la suma de sus cuadrados es 53. Hallar los números. x: Primer número.

x

9− : Segundo número. x2+

(

9−x

)

2 =53

2. Un número positivo es los 53 de otro y su producto es 2160. Hallar los números.

y: Número mayor. y

5 3

: Número menor. y 2160

5 3

y =

    

3. Antonio tiene 3 años más que Jaime y el cuadrado de la edad de Antonio, aumentado en el cuadrado de la edad de Jaime, equivale a 317 años. Hallar ambas edades.

z: Edad de A. 3

z− : Edad de B. z2+

(

z−3

)

2=317

4. Un número es el triple de otro y la diferencia de sus cuadrados es 1800. Hallar los números.

a: Número menor. a

3 : Número mayor.

( )

3a 2 a2 1800

=

5. La longitud de una sala excede a su ancho en 4 m. Si cada dimensión se aumentara en 4 m, el área sería el doble. Hallar las dimensiones de la sala.

x: Longitud de la sala. 4

x− : Ancho de la sala.

(

x+4

)( )

x =2

[

( )(

x x−4

)

]

6. Un comerciante compró cierto número de sacos de azúcar por 1000 bolívares. Si hubiera comprado 10 sacos más por el mismo dinero, cada saco le habría costado 5 bolívares menos. ¿Cuántos sacos compró y cuánto le costó cada uno?

x: Número de sacos que compró. 10

x+ : Número de sacos que hubiera comprado.

x 1000

: Costo de cada saco que compró. 5

x 1000

− : Costo de cada saco si hubiera comprado 10 más.

(

)

5 1000

x 1000 10

x =

  

 

(6)

7. Un hombre compró cierto número de naranjas por $1.50. Se comió 5 naranjas y vendiendo las restantes a 1 cvo. más de lo que le costó cada una, recuperó lo que había gastado. ¿Cuántas naranjas compró y a qué precio?

x: Número de naranjas. 5

x− : Número de naranjas que le quedaron.

x 150

: Precio de cada naranja en cvs.

1 x 150

+ : Precio de venta.

(

)

1 150

x 150 5

x =

  

 

+

8. Se han comprado dos piezas de tela que juntas miden 20 m; el metro de cada pieza costó un número de pesos igual al número de metros de la pieza. Si una pieza costó 9 veces lo que la otra, ¿Cuál era la longitud de cada pieza?

x: Longitud de la primera pieza. x

20− : Longitud de la segunda pieza. 2

x : Costo total de la primera pieza.

(

20 x

)

2

− : Costo total de la segunda pieza.

(

20 x

)

2 9x2

=

Para resolver las ecuaciones cuadráticas se requiere aplicar algunos métodos algebraicos, los cuales varían, dependiendo del tipo de ecuación que se presente.

Métodos algebraicos de resolución de ecuaciones de segundo grado.

La solución de una ecuación cuadrática es el valor de la incógnita que al sustituirla en la ecuación la satisface, es decir, se cumple la igualdad. Por lo general una ecuación cuadrática tiene dos soluciones, y en ocasiones sólo una, como se muestra en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1.

La ecuación cuadrática x22x35=0 tiene dos soluciones, x 7

= ó x=−5, porque al sustituirlas en la ecuación,

ésta se satisface.

( )

( )

0 0

0 35 14 49

0 35 7 2 7

0 35 x 2 x

2 2

= =

− −

=

− −

=

− −

(

)

(

)

0 0

0 35 10 25

0 35 5 2 5

0 35 x 2 x

2 2

= =

+

=

− − − −

=

(7)

Ejemplo 2.

La ecuación cuadrática x26x+9=0 tiene una solución, x 3 =

( )

( )

0 0

0 9 18 9

0 9 3 6 3

0 9 x 6 x

2 2

= = +

= +

= +

A las soluciones también se les conoce como raíces de la ecuación.

Para encontrar con exactitud las soluciones de una ecuación cuadrática, primero se estudiarán las raíces o soluciones de las ecuaciones incompletas por su simplicidad, y posteriormente las raíces de las ecuaciones completas.

Solución de ecuaciones cuadráticas incompletas. Solución de ecuaciones cuadráticas incompletas.Solución de ecuaciones cuadráticas incompletas. Solución de ecuaciones cuadráticas incompletas.

Recordando, las ecuaciones incompletas se dividen en puras y mixtas. Solución de ecuaciones puras.

Las ecuaciones puras carecen de término lineal, por lo que se puede llevar a cabo el despeje de la ecuación, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo. Encontrar las raíces de la ecuación x2 16 0

=

Este tipo de ecuaciones se pueden resolver despejando la ecuación, dado que tenemos un sólo término con variable, por lo que el despeje se lleva a cabo de la siguiente forma.

4 x

16 x

16 x

0 16 x

2 2

± =

± = = =

Las raíces de la ecuación son: x1=4 ó x2 =−4

Éstas también se pueden expresar como conjunto solución: Cs=

{

4,−4

}

El conjunto solución consiste en expresar las soluciones separadas por comas y encerradas entre llaves; no es necesario guardar orden entre los elementos del conjunto.

A continuación se generalizará el método, partiendo de la forma que tienen las ecuaciones puras en general.

a c x

a c x

c ax

0 c ax

2 2 2

± =

=

(8)

Las raíces de la ecuación resultarían:

a c

x1 = − a

c x2 =− −

El conjunto solución se expresa:





=

a

c

,

a

c

Cs

Solución de ecuaciones mixtas.

Las ecuaciones mixtas carecen del término independiente, así que la opción de solución es la Factorización por factor común, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Para resolver la ecuación 3x2 7x 0

=

− , se factoriza la variable.

(

3x 7

)

0 x 0 x 7 x 3 2 = − = −

Como el resultado de la Factorización es una multiplicación cuyo producto es cero, sólo pueden pasar dos cosas, que x=0 ó 3x−7=0. Como se observa, ya se tiene la primera solución, y la segunda se despeja de la ecuación lineal, como se muestra a continuación.

3 7 x 7 x 3 0 7 x 3 = = = −

Las raíces de la ecuación son:

0 x1= ó

3 7 x2 =

El conjunto solución es:

      = 3 7 , 0 Cs

Generalizando el proceso, se toma la ecuación mixta ax2+bx=0 y se lleva a cabo la Factorización.

(

ax b

)

0 x 0 bx ax2 = + = + 0

x= ó

a b x b ax 0 b ax − = − = = +

Las raíces de la ecuación son: x1=0 ó

a b x2 =−

Y el conjunto solución queda expresado como:

(9)

Evaluación Evaluación Evaluación Evaluación

Actividad: 3 Producto: Ejercicios. Puntaje:

Saberes SaberesSaberes Saberes Conceptual

ConceptualConceptual

Conceptual ProcedimentalProcedimental ProcedimentalProcedimental ActitudinalActitudinal ActitudinalActitudinal Comprende los métodos para

resolver ecuaciones cuadráticas completas.

Aplica las técnicas algebraicas de despeje o extracción de factor común para resolver las ecuaciones incompletas.

Aprecia la utilidad de utilizar métodos específicos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas.

Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente

Actividad: 3

(10)

A continuación, se elegirán las ecuaciones puras y mixtas de los problemas aplicados 2, 4 y 5, que se plantearon como ejemplos en el desarrollo de esta secuencia, con el objetivo de desarrollar los métodos y darles solución. 2. Un número positivo es los 53 de otro y su producto es 2160. Hallar los números.

y: Número mayor. y

5 3

: Número menor

.

(

)( )

60 y

3600 y

3600 y

3 10800 y

3 5 2160 y

2160 y

5 3

2160 y

5 3 y

2 2 2 2

± =

± =

= = = = =

     

La solución de la ecuación es: y1=−60 ó y2 =−60

El problema aplicado descarta el número negativo, por lo tanto, el número mayor es 60 y el número menor es 36.

4. Un número es el triple de otro y la diferencia de sus cuadrados es 1800. Hallar los números. a: Número menor.

a

3 : Número mayor.

( )

15 a

225 a

225 a

8 1800 a

1800 a

8

1800 a

a 9

1800 a

a 3

2 2 2 2 2

2 2

± =

± = = = = =

=

La solución de la ecuación es: a1=15 ó a2 =−15

En este caso no se tiene ninguna condición para los números, se toman ambas soluciones para analizarlas y descubrir la respuesta correcta.

1) Si se toma al número menor como 15, el mayor sería45. Esta afirmación es verdadera.

2) Si se toma al número menor como −15, el número mayor sería −45. Esta afirmación es falsa, dado que

15

− es mayor que −45.

(11)

5. La longitud de una sala excede a su ancho en 4 m. Si cada dimensión se aumentara en 4 m. el área sería el doble. Hallar las dimensiones de la sala.

x: Longitud de la sala. 4

x− : Ancho de la sala.

(

)( )

[

( )(

)

]

(

x 12

)

0

x

0 x 12 x

0 x 8 x 2 x 4 x

x 8 x 2 x 4 x

4 x x 2 x 4 x

2 2 2

2 2

= +

= +

= +

+

= +

= +

Las soluciones de la ecuación son: x1=0 ó x2 =12

Como la sala no puede tener longitud cero, se descarta la primera solución, entonces, la longitud de la sala es 12 m y el ancho 8 m.

0 12

x+ =

12 x

12 x

=

=

ó 0

x=

Actividad: 4

(12)

Evaluación Evaluación Evaluación Evaluación

Actividad: 4 Producto: Diseño de problemas. Puntaje:

Saberes Saberes Saberes Saberes Conceptual

Conceptual Conceptual

Conceptual ProcedimentalProcedimental ProcedimentalProcedimental ActitudinalActitudinalActitudinalActitudinal Ubica e interpreta situaciones

con ecuaciones cuadráticas incompletas.

Diseña aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas incompletas.

Se compromete con el equipo para realizar la actividad.

Escucha con atención las aportaciones de sus compañeros.

Coevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente

Solución de ecuaciones cuadráticas completas. Solución de ecuaciones cuadráticas completas.Solución de ecuaciones cuadráticas completas. Solución de ecuaciones cuadráticas completas.

Las ecuaciones cuadráticas completas, se pueden resolver por varios métodos que se derivan de la Factorización, por ello, es muy importante que repases el bloque de Factorización de trinomios.

Los métodos son:

1. Factorización de trinomios.

2. Completar el trinomio cuadrado perfecto. 3. Fórmula general.

A continuación se desarrollarán cada uno de los métodos. Factorización de trinomios.

Para utilizar este método se requiere que el trinomio sea factorizable, es decir, encontrar los números enteros que cumplan las condiciones del proceso de Factorización, como por ejemplo:

Ejemplo 1.

Para encontrar la solución de la ecuación x2+16x+63=0, se pide encontrar dos números que multiplicados den 63 y sumados 16.

(

x 9

)(

x 7

)

0 0 63 x 16 x2

= + +

= + +

Al igual que en el método de solución para ecuaciones mixtas, hay dos posibilidades cuando el producto de dos números es cero, cualquiera de los factores pueden ser cero, por lo tanto se tiene la siguiente separación:

9 x

0 9 x

= = +

ó

7 x

0 7 x

= = +

Las raíces de la ecuación son: x1=−9 ó x2 =−7

(13)

Ejemplo 2.

Resolver la ecuación 14u2+23u15=0

Recuerda que para factorizar esta ecuación debes buscar la colocación exacta de una combinación de números, primero buscar los posibles números que multiplicados den 14, y después los posibles números que multiplicados den −15, para poder hacer las combinaciones.

0 15 u 23 u

14 2+ =

(

7u−15

)(

2u−1

)

=0

7 15 u

15 u 7

0 15 u 7

=

= = +

ó

2 1 u

1 u 2

0 1 u 2

= = =

Las raíces de la ecuación son:

7 15 u1=− ó

2 1 u2 =

Y el conjunto solución se expresa como:

   

 

=

2 1 , 7 15 Cs

Actividad: 5

(14)

Evaluación Evaluación Evaluación Evaluación

Actividad: 5 Producto: Problemas de aplicación. Puntaje: Saberes

Saberes Saberes Saberes Conceptual

ConceptualConceptual

Conceptual ProcedimentalProcedimentalProcedimentalProcedimental ActitudinalActitudinal ActitudinalActitudinal Identifica el método de

Factorización para problemas aplicados que se modelan con ecuaciones cuadráticas.

Aplica el método de Factorización para resolver problemas aplicados de ecuaciones cuadráticas.

Demuestra interés para resolver los problemas aplicados.

Aprecia la importancia de los métodos de solución para solucionar problemas aplicados.

Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente

Completar trinomio cuadrado perfecto.

En la sección anterior se resolvieron ejemplos sencillos de Factorización, pero en ocasiones las ecuaciones son más complicadas de factorizar, es decir, no es tan sencillo encontrar las combinaciones de números enteros que cumplan con las condiciones debido a que frecuentemente no son números enteros, pero aún así, se pueden expresar como factores.

Para resolver este tipo de ecuaciones se utilizará el método de completar trinomio cuadrado perfecto.

Recordando, el trinomio cuadrado perfecto proviene de desarrollar un binomio al cuadrado, como se muestra a continuación.

Entonces, si se desea hacer el proceso inverso (Factorizar), recuerda que se tienen que verificar las condiciones para que resulte un binomio al cuadrado, como lo viste en el bloque 4, por ejemplo:

Al factorizar

4

y

2

20

y

+

25

=

0

, primero se verifica si es o no trinomio cuadrado perfecto.

La ecuación anterior quedaría expresada como:

(

2y 5

)

0 0 25 y 20 y 4

2 2

=

= +

El cuadrado del primer término, más el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término.

(

2x 3

)

2 4x2 12x 9

+

=

Si cumple con la condición de ser el doble producto, y además, las raíces se deben elegir de signo contrario, para que el producto sea negativo.

y 2

± ±5

y 20 −

0 25 y 20 y

(15)

Para resolverla se despeja la variable quitando primero el cuadrado, eso se logra al aplicar raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación, obteniéndose así:

(

)

2 5 y 5 y 2 0 5 y 2 0 5 y 2 0 5 y 2 2 = = = − ± = − = −

El ejemplo anterior sirvió para visualizar cómo se puede factorizar una ecuación que es un trinomio cuadrado perfecto, pero cuando no lo es, es más complicado de factorizar por los métodos anteriores; en estos casos, se recomienda completar el trinomio cuadrado perfecto, esto es, forzar al trinomio para que cumpla con ser cuadrado perfecto. A continuación se mostrarán ejemplos en los cuales la ecuación no cumple con ser

trinomio cuadrado perfecto y hay que completarlo. Ejemplo 1.

Resolver la ecuación 4x224x+11=0

Como se observa, el término independiente no tiene raíz cuadrada exacta, por lo que no cumpliría con ser trinomio cuadrado perfecto.

Para hacerlo más sencillo, se divide la ecuación entre el coeficiente del término cuadrático. 0 4 11 x 6 x 4 0 4 11 x 24 x 4 2 2 = + − = + −

Se envía el nuevo término independiente al segundo miembro de la ecuación.

4 11 x 6 x2 =

Aplicando la propiedad aditiva, se suma a ambos miembros de la ecuación un término que ayude a que el primer miembro sea un trinomio cuadrado perfecto. Para ello se suma la mitad del término lineal elevado al cuadrado a los dos lados de la igualdad, como se muestra a continuación.

4 25 9 x 6 x 9 4 11 9 x 6 x 2 6 4 11 2 6 x 6 x 2 2 2 2 2 = + − + − = + −       − + − =       − + −

El primer miembro de la ecuación ya es un trinomio cuadrado perfecto, debido a que cumple con que el doble producto de las raíces del término cuadrático e independiente es igual al término lineal, por lo que se puede expresar el binomio al cuadrado.

(

)

4 25 3 x 2 = − Nicolás Copérnico Nicolás CopérnicoNicolás Copérnico Nicolás Copérnico (1473 – 1543)

“La tierra es el centro del Universo; el Sol, la Luna y los cinco planteas son satélites que giran diariamente en torno

a nuestra majestuosa tierra en un círculo perfecto. Más allá se encuentran

las estrellas fijas, que todo lo rodean. Éstas son las verdades fundamentales

que escribió el gran Claudio Tolomeo hace más de mil quinientos años y que

(16)

Una vez expresado el binomio al cuadrado, se despeja para encontrar la solución.

(

)

2 5 3 x 2 5 3 x 4 25 3 x 4 25 3 x 2 ± = ± = − ± = − = −

Las soluciones de la ecuación son:

2 11 x 2 5 3 x 1 1 = + = 2 1 x 2 5 3 x 2 2 = − =

El conjunto solución es:

      = 2 1 , 2 11 Cs

Con el siguiente ejemplo se presentan, de forma más sintetizada, los pasos para completar el trinomio cuadrado perfecto, con el fin de observar mejor el proceso.

Ejemplo 2.

Para resolver la ecuación 3x2 5x 8 0

(17)

Las soluciones de la ecuación son: 3 8 x 6 16 x 6 11 6 5 x 1 1 1 = = + = 1 x 6 6 x 6 11 6 5 x 2 2 2 − = − = − =

El conjunto solución es:

      −

= , 1

3 8 Cs

Para comprobar la solución se sustituyen los valores en la ecuación y se verifica que se cumple la igualdad, otra forma de comprobación es desarrollar los factores que se forman con las soluciones, como se muestra a continuación:

(

)

( )

0 8 x 5 x 3 0 8 x 8 x 3 x 3 0 3 3 8 x 3 8 x x 3 0 3 8 x 3 8 x x 0 1 x 3 8 x 2 2 2 2 = − − = − − + =       − − + = − − + = +       −

Actividad: 6

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas completando trinomio cuadrado perfecto.

1. x2 3x 6 0

=

− −

2. 3x2 2x 9 0

=

+

3. 2x23x+2=0

(18)

Evaluación Evaluación Evaluación Evaluación

Actividad: 6 Producto: Ejercicios. Puntaje:

Saberes Saberes Saberes Saberes Conceptual Conceptual Conceptual

Conceptual ProcedimentalProcedimental ProcedimentalProcedimental ActitudinalActitudinalActitudinalActitudinal Comprende el método de

completar trinomio cuadrado perfecto para solucionar ecuaciones cuadráticas completas.

Utiliza el método de completar trinomio cuadrado perfecto para solucionar ecuaciones cuadráticas completas.

Aprecia la utilidad de utilizar el método de completar trinomio cuadrado perfecto para resolver ecuaciones cuadráticas.

Realiza con empeño la actividad.

Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente

Fórmula general.

Este método se deriva del anterior, debido a que se completa el trinomio cuadrado perfecto con la ecuación general de segundo grado, obteniéndose así la fórmula general, como se muestra a continuación.

(19)

Ésta última es la llamada fórmula general, en la que sólo es necesario sustituir los coeficientes de la ecuación y se obtienen las soluciones utilizando aritmética.

Ejemplo 1.

Resolver la ecuación 4x220x+25=0 utilizando la fórmula general.

Primero se identifican los coeficientes de los términos de la ecuación y después se sustituyen en la fórmula.

25 c 20 b 4 a = − = =

(

)

(

)

( )( )

( )

2 5 x 8 20 x 8 0 20 x 8 400 400 20 x 4 2 25 4 4 20 20 x a 2 ac 4 b b x 2 2 = = ± = − ± = − − ± − − = − ± − =

La solución de la ecuación es 2 5 x =

Ejemplo 2.

Resolver la ecuación 3y2 5y 8 0

(20)

Las soluciones o raíces de la ecuación son: 3 8 y 6 16 y 6 11 5 y 1 1 1 = = + = ó 1 y 6 6 y 6 11 5 y 2 2 2 − = − = − = Ejemplo 3.

Resolver la ecuación 2x2+7x+4=0

4 c 7 b 2 a = = =

( )

( )( )

( )

4 17 7 x 4 32 49 7 x 2 2 4 2 4 7 7 x a 2 ac 4 b b x 2 2 ± − = − ± − = − ± − = − ± − =

Las soluciones o raíces de la ecuación son:

4 17 7

x1= − + ó

4 17 7 x2 − − =

Como habrás observado en los ejemplos anteriores, éstos tienen una o dos soluciones.

El tipo de solución de una ecuación cuadrática depende del término

b

2

4

ac

, llamado discriminante. Analizando el discriminante, se tiene las siguientes opciones de solución.

1. Si b24ac>0 se obtienen dos raíces reales diferentes.

2. Si b24ac=0 se obtienen dos raíces reales iguales (una solución). 3. Si b24ac<0 se obtienen dos raíces imaginarias diferentes. Pero, ¿que son las raíces reales e imaginarias?

Las raíces reales son números que pertenecen al conjunto de los números reales, éstos se estudiaron en el bloque 2.

Ejemplo de ellos son:

11 , 3 , 0 , 2 1 , 5 , 3 − ¿Sabías ¿Sabías ¿Sabías ¿Sabías que…que…que… que…

En 1777, Leonhard Euler definió a

1

=

i

(21)

Las raíces imaginarias son números que no son reales. Éstos provienen de raíces pares de números negativos. Como por ejemplo:

6 4 8, 32

, 4 ,

1 − − −

Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo.

Los números complejos están formados por una parte real y una parte imaginaria, y tienen la siguiente forma.

Donde “a” es la parte real, y b

i

es la parte imaginaria, por lo tanto, las ecuaciones con

discriminante negativo poseerán parte imaginaria.

Ejemplo 4.

Resolver la ecuación x24x+20=0

20 c

4 b

1 a

=

= =

Las soluciones de la ecuación son dos números complejos.

ó

i

2= –1

a+b

i

(

)

(

)

( )( )

( )

4 2 x

2 8 4 x

2 64 4

x

2 80 16 4 x

1 2

20 1 4 4 4

x

a 2

ac 4 b b x

2 2

± =

± =

± =

± =

− −

±

− −

=

±

=

i

i

Leonard Euler Leonard Euler Leonard Euler Leonard Euler

(1777 D C) Matemático suizo simboliza la raíz cuadrada de -1 con la letra

i de imaginario.

i

4 2

(22)

Evaluación Evaluación Evaluación Evaluación

Actividad: 7 Producto: Ejercicios. Puntaje:

Saberes Saberes Saberes Saberes Conceptual

ConceptualConceptual

Conceptual ProcedimentalProcedimentalProcedimentalProcedimental ActitudinalActitudinal ActitudinalActitudinal Identifica raíces reales y

complejas de ecuaciones cuadráticas.

Clasifica la naturaleza de las soluciones

de ecuaciones cuadráticas. Aprecia la utilidad de conocer con anticipación la naturaleza de las soluciones de una ecuación cuadrática.

Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente

Actividad: 7

Sin resolver las ecuaciones, determina la naturaleza de las raíces mediante el discriminante de éstas.

1. x2 5x 36 0

=

− −

2. x2 5x 7

= +

3. x23x8=0

4. 3x22x+5=0

5. 6x2+10=17x

6. 5x211x12=0

7. 2x27x5=0

8. 3x25x+1=0

9. 5x2 5x 1

+

=

(23)

Evaluación Evaluación Evaluación Evaluación

Actividad: 8 Producto: Ejercicios. Puntaje:

Saberes SaberesSaberes Saberes Conceptual

Conceptual Conceptual

Conceptual ProcedimentalProcedimental ProcedimentalProcedimental ActitudinalActitudinalActitudinalActitudinal Comprende el método de

solución de la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas.

Aplica la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas.

Comenta la facilidad de la fórmula general para resolver cualquier tipo de ecuaciones cuadráticas.

Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente

Actividad: 8

En equipo, resuelvan las siguientes ecuaciones utilizando la fórmula general y verifiquen los resultados.

1. 2x2 6 24

=

+ 2. x2+6x+8=0

3. 18x2+3x=0 4. y212y+32=0

5. 3x2+147=0 6. 40m220m+16=0

7. k2+10k20=0 8. t2t30=0

9. 25x2+60x+36=0

10. x 18 0

2 1 x2

=

(24)

Actividad: 9

Completa la tabla expresando los factores de la ecuación, y coloca en el paréntesis el número que corresponda a la ecuación correcta.

Raíces de la ecuación Factores Ecuación

1. x1=−4, x2=9

(

x+4

)(

x−9

)

=0

(

)

x2 7x 0

=

2.

3 2

x1= ,

x

2

=

1

(

)

25x2+40x+16=0

3.

5 4

x=−

(

)

9x2−30x+29=0

4. x1=0, x2=7

(

)

9x2 16 0

=

5. x1=1+2i, x2=1−2i

(

)

3x2+x−2=0

6. x1=1+ 3, x2=1− 3

(

)

4x x 18 0

2

=

− −

7. i

3 2 3 5

x1= + , i

3 2 3 5

x2 = −

(

1

)

x2−5x−36=0

8. 2i

3 4

x1= + , 2i 3 4

x2 = −

(

)

2x2+3x=0

9.

4 9

x1= , x2=−2

(

)

x2−2x−2=0

10.

3 4 x1=− ,

3 4

x2 =

(

)

x22x+5=0

11.

x

1

=

0

,

2 3

x2=−

(

)

9x2−24x+52=0

12.

x

6

(25)

Evaluación Evaluación Evaluación Evaluación

Actividad: 9 Producto: Completar la tabla. Puntaje sugerido: Saberes

SaberesSaberes Saberes Conceptual

Conceptual Conceptual

Conceptual ProcedimentalProcedimentalProcedimentalProcedimental ActitudinalActitudinalActitudinalActitudinal Identifica raíces reales y

complejas y escribe ecuaciones a partir de éstas.

Construye ecuaciones a partir de la solución de éstas.

Se interesa por realizar la actividad de forma efectiva. Reconoce sus errores en los métodos algebraicos y busca solucionarlos.

Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente

#

Cierre

1 Los ejercicios 1-7, fueron tomados del libro Algebra Elemental de Gobran.

Sitios Web recomendados:

Entra a este sitio para que compruebes los resultados que obtuviste al solucionar las ecuaciones cuadráticas.

http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/ecuaciones-cuadraticas-solucionador.html

Actividad: 10

En equipo, escriban la ecuación cuadrática que describe cada uno de los siguientes problemas1 y resuélvanlos por alguno de los métodos algebraicos.

1. La suma de dos números es 28 y la de sus cuadrados es 16 menos que el triple del producto de los números. Encuentra los números.

(26)

Actividad: 10 (continuación)

3. Un hombre pintó una casa por $800 dólares. El trabajo le llevó 20 horas menos de lo que se suponía y entonces ganó $2 más por hora de lo previsto. ¿En cuánto tiempo se suponía que pintaría la casa?

4. Un hombre desea construir una caja metálica abierta. La caja debe tener una base cuadrada, los lados de 9 pulgadas de altura y una capacidad de 5184 pulgadas cúbicas. Determine el tamaño de la pieza cuadrada de metal que debe comprar para construir la caja.

(27)

Actividad: 10 (continuación)

6. El porcentaje de utilidad de un traje fue igual al precio de costo en dólares. Si el traje se vendió a $144, ¿Cuál fue el precio de costo del traje?

7. Encuentra las dimensiones de un terreno rectangular que tiene un perímetro de 858m y un área de 45200m2.

8. Se quiere cercar un terreno rectangular de 5376m2. ¿Cuántos metros de cerca de alambre se

(28)

Evaluación Evaluación Evaluación Evaluación

Actividad: 10 Producto: Problemas de aplicación. Puntaje:

Saberes Saberes Saberes Saberes Conceptual

ConceptualConceptual

Conceptual ProcedimentalProcedimental ProcedimentalProcedimental ActitudinalActitudinalActitudinalActitudinal Ubica e interpreta situaciones

con ecuaciones cuadráticas. Representa y soluciona situaciones con ecuaciones cuadráticas. Aprecia la aplicabilidad de las ecuaciones cuadráticas para representar y resolver diversas situaciones. Reconoce la importancia de colaborar en equipo para la solucionar problemas prácticos.

Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente

Actividad: 10 (continuación)

9. Determina las medidas de un rectángulo que en la base mide 4cm más que el ancho y su área es de 192m2.

(29)

Secuencia didáctica 2.

Funciones cuadráticas.

!

Inicio

Actividad: 1

x y

-2 -1 0 1 2 3

II. II. II.

II. Analiza las funciones y sus gráficas, para que contestes las preguntas correspondientes.Analiza las funciones y sus gráficas, para que contestes las preguntas correspondientes.Analiza las funciones y sus gráficas, para que contestes las preguntas correspondientes.Analiza las funciones y sus gráficas, para que contestes las preguntas correspondientes.

(

x

2

)

4

y

=

2

+

y

=

(

x

2

)

2

+

4

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

xxxx yyyy

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

xxxx yyyy

I.I.I.I. Completa la tabla de valores para que grafiques la función Completa la tabla de valores para que grafiques la función Completa la tabla de valores para que grafiques la función Completa la tabla de valores para que grafiques la función y 2

(

x 1

)

2 3

− −

=

(30)

1. ¿Qué diferencia encuentras entre las dos funciones presentadas?

2. De acuerdo a esa diferencia, ¿qué sucede con sus gráficas?

3. ¿Cuál es el punto más bajo de la gráfica de la izquierda?, ¿cuál es el punto más alto de la gráfica de la derecha?

(

x

3

)

4

y

2

+

=

y

=

4

(

x

+

3

)

2

4

(

x 3

)

4

2 1

y 2

+ =

4. ¿Qué diferencia encuentras entre las tres funciones presentadas?

5. De acuerdo a esa diferencia, ¿qué sucede con sus gráficas?

6. ¿Cuál es el punto más bajo de las tres gráficas?, ¿cómo se relaciona éste con las funciones?

7. Si te ubicas en el punto más bajo de cada una de las funciones y recorres una unidad a la derecha y a la izquierda:

a) ¿Cuántas unidades recorres hacia arriba en la primera gráfica, hasta encontrar un punto de la función? b) ¿Cuántas unidades recorres hacia arriba en la segunda gráfica, hasta encontrar un punto de la función? c) ¿Cuántas unidades recorres hacia arriba en la tercera gráfica, hasta encontrar un punto de la función? 8. ¿Cómo relacionas los resultados de los incisos anteriores con las funciones?

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

xxxx yyyy

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

xxxx yyyy

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

xxxx yyyy

(31)

Evaluación Evaluación Evaluación Evaluación

Actividad 1: Producto: Complementación de la tabla y cuestionario. Puntaje:

Saberes SaberesSaberes Saberes Conceptual

ConceptualConceptual

Conceptual ProcedimentalProcedimentalProcedimentalProcedimental ActitudinalActitudinalActitudinalActitudinal Identifica el efecto que

tienen los parámetros en el ancho y concavidad de la parábola.

Distingue el comportamiento de las

gráficas a través de los parámetros. Aprecia a los parámetros como instrumento de análisis visual del comportamiento de funciones cuadráticas.

Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente

"

Desarrollo

En el bloque 5 se definió el concepto de función, que en otras palabras, es la relación que existe entre los elementos de dos conjuntos, de tal manera que a cada elemento del primer conjunto se asocia o corresponde un elemento del segundo conjunto; si la relación se establece mediante una expresión de segundo grado, entonces se le llama función cuadrática, como se muestra a continuación.

c

bx

ax

)

x

(f

=

2

+

+

ó

y

=

ax

2

+

bx

+

c

con a,b,c∈ℜ a≠0 Una función cuadrática describe en su gráfica lo que se conoce como Parábola, a continuación se abordarán los tipos de graficación para que visualices la forma de la parábola.

Gráfica de la función cuadrática.

Existen varios métodos para graficar y visualizar el comportamiento de una función cuadrática, el método más conocido es la tabulación, es decir, la obtención de una tabla de valores correspondiente a la función. También está la forma paramétrica, que se basa en valores específicos que posee la función y por último, la intersección con los ejes, la cual es muy limitada cuando la función no se intersecta lo suficiente como para realizar la gráfica.

Graficación por tabulación. Graficación por tabulación.Graficación por tabulación. Graficación por tabulación. Ejemplo 1.

Graficar la función

y

=

x

2

+

4

x

+

3

Para trazar la gráfica de esta función, se encontrarán algunos puntos que servirán de guía para dibujarla, éstos se encontrarán sustituyendo valores en la variable independiente (x), para encontrar los correspondientes valores de la variable dependiente (y). Anteriormente se dijo que la variable independiente recibía su nombre porque los valores asignados son decisión de quien va a graficarla.

Para encontrar los correspondientes valores de “y”, se sustituirán cada uno de los valores asignados a la variable independiente en la función, obteniéndose así, los puntos de guía para trazar la gráfica, como se muestra a continuación.

Apolonio de Perga Apolonio de Perga Apolonio de Perga Apolonio de Perga

(262 – 190 A C) Fue conocido como “El gran

(32)

Utiliza tu calculadora para verificar que los datos de la tabla son correctos.

La gráfica queda de la siguiente forma:

-

Ejemplo 2.

Para graficar la función

y

=

x

2

+

4

x

, se toman los siguientes valores y la gráfica queda de la siguiente forma. -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

xxxx yyyy

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

xxxx yyyy

x y

–5 8

–4 3

–3 0

–2 –1

–1 0

0 3

1 8

x y

–1 –5

0 0

1 3

2 4

3 3

4 0

5 –5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

(33)

En la actividad 1 se plantearon algunas preguntas que tenían que ver con la ubicación y la dirección de la parábola, esto es, dónde se encontraban los puntos más altos y bajos, y hacia dónde estaba dirigida la parábola, hacia arriba o hacia abajo. Esto va encaminado a construir una forma más rápida de graficación, para ello, es necesario identificar algunos elementos importantes que se visualizarán en la siguiente figura.

El vértice es el punto por donde pasa el eje de simetría de la parábola; dependiendo de su concavidad, éste es el punto más alto o más bajo de la parábola.

Al vértice se le asignan coordenadas especiales para poder distinguirlo de cualquier otro punto de la parábola, a la coordenada “x” se le asigna la letra “h”, y a la de “y” se le asigna la letra “k”.

) k , h ( V

Encontrar el vértice es una de las preguntas más concurridas en la aplicación de la parábola, como por ejemplo: 1. La trayectoria que sigue un proyectil al ser lanzado es una parábola. Aquí interesaría saber ¿cuál es la altura

máxima a la que llega el proyectil?, ¿qué distancia tiene cuando toca el suelo? o preguntas particulares de la ubicación del proyectil en algún momento especial.

Vértice Ramas de la Parábola

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

(34)

2. En el salto de un motociclista, éste tiene que calcular con mucha precisión la distancia que debe recorrer para poder llegar al lugar deseado, para ello tiene que ubicar el punto más alto al que va a llegar, para saber qué distancia va a recorrer, por supuesto que también tiene que considerar la velocidad, el impulso, la inclinación de las rampas, entre otras más.

3. Los arquitectos diseñan puentes en forma de parábolas, porque además de lo estético, éstas tienen varias propiedades que favorecen a la resistencia de la construcción.

Son muchas las aplicaciones que se pueden dar a la parábola, pero requiere de un mayor conocimiento de sus elementos y propiedades. En asignaturas posteriores conocerás la parábola desde un punto de vista geométrico y conocerás todos sus elementos.

Las ramas de la parábola indican su orientación y ésta depende a su vez del signo del coeficiente cuadrático, como lo habrás notado en la actividad 1.

Tomando la función cuadrática en general

y

=

ax

2

+

bx

+

c

, entonces:

(35)

Actividad: 2

Observa el ejemplo para que completes la tabla.

Forma ordinaria De la forma ordinaria a la forma general Tabla de valores Gráfica Vértice

(

x

3

)

1

2

y

=

2

+

y

=

2

(

x

3

)

2

+

1

19 x 12 x 2 y

1 18 x 12 x 2 y

1 ) 9 x 6 x ( 2 y

2 2 2

+

=

+ +

=

+ +

=

x y 1 9 2 3 3 1 4 3 5 9

V(3,1)

(

x

2

)

5

y

=

+

2

x y

(

x 4

)

2

2 1

y=− + x y

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

(36)

Evaluación Evaluación Evaluación Evaluación

Actividad 2: Producto: Complementación de la tabla. Puntaje: Saberes

Saberes Saberes Saberes Conceptual

Conceptual Conceptual

Conceptual ProcedimentalProcedimental ProcedimentalProcedimental ActitudinalActitudinalActitudinalActitudinal Reconoce la gráfica de una

función cuadrática. Ubica las coordenadas del vértice de una parábola a través de la gráfica.

Realiza la gráfica de una función

cuadrática. Se interesa por realizar la actividad con eficiencia.

Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente

Actividad: 2 (continuación)

Forma ordinaria De la forma ordinaria a la forma general Tabla de valores Gráfica Vértice

(

x

1

)

1

3

y

2

+

=

x y

(

x 2

)

7

4 1

y 2

+ +

(37)

Graficación por medio de parámetros. Graficación por medio de parámetros.Graficación por medio de parámetros. Graficación por medio de parámetros.

Como te habrás dado cuenta en la actividad 2, la función cuadrática tiene dos formas, la forma ordinaria que es la que se expresa con el binomio al cuadrado y la forma general que es donde se explicita el trinomio.

Forma ordinaria:

y

=

a

(

x

h

)

2

+

k

Forma general:

y

=

ax

2

+

bx

+

c

La forma ordinaria permite extraer las coordenadas del vértice (h, k) de forma directa. Si no te diste cuenta, compara las funciones ordinarias de la actividad 2 con el vértice que expresaste de la gráfica.

Cuando se toma la forma ordinaria para graficar, se dice que se grafica mediante parámetros, porque se toman los valores de a, h y k como parámetros para determinar el comportamiento de la función y esbozar la gráfica.

Con los siguientes ejemplos se explicará la graficación de la función cuadrática mediante parámetros. Ejemplo 1.

Para graficar la función y 2

(

x 4

)

2 5

− −

= , se analizan los parámetros y cómo influyen en la gráfica.

1.

a

=

2

, eso significa que se abre hacia arriba por ser positivo. 2. h=4, es la primera coordenada del vértice.

3. k=−5, es la segunda coordenada del vértice.

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

xxxx yyyy

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

xxxx yyyy

Para empezar a graficar, primero se coloca el vértice en el plano cartesiano.

(38)

Y finalmente se traza la gráfica.

Ejemplo 2.

Graficar la función

(

x 2

)

7 2

1

y 2

+ +

=

1.

2 1

a=− , eso significa que se abre hacia abajo por ser negativo. 2. h=−2, es la primera coordenada del vértice.

3. k=7, es la segunda coordenada del vértice.

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

xxxx yyyy

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 -1

1 2 3 4 5 6 7 8

xxxx yyyy

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

xxxx yyyy

A partir del vértice se desplaza una unidad a la derecha, una unidad a la izquierda y media unidad hacia abajo.

Se ubica el vértice.

¿Sabías que… ¿Sabías que…¿Sabías que… ¿Sabías que…

Las Olimpiadas Internacionales de

Matemáticas se iniciaron como competencias en Hungría en 1894, se les

denominó "Competencias Eötuös",

(39)

Se traza la gráfica.

Como se ha visto en esta sección, la forma de graficar con parámetros depende de la forma ordinaria de la función, el problema está cuando se tiene que graficar una función cuadrática que esté expresada en su forma general.

Para ello se requiere cambiar de trinomio a un binomio al cuadrado y eso sucede únicamente si éste es trinomio cuadrado perfecto, de no ser así, se tendrá que completar.

Ejemplo 3.

Graficar la función

y

=

x

2

+

4

x

+

1

Visualizando a la función como una ecuación de dos variables, el proceso de completar trinomio cuadrado perfecto sería el mismo.

Proceso de completar trinomio Proceso de completar trinomio Proceso de completar trinomio Proceso de completar trinomio

cuadrado cuadrado cuadrado

cuadrado perfectoperfectoperfectoperfecto DescripciónDescripciónDescripciónDescripción

1

x

4

x

y

=

2

+

+

Se verifica que el coeficiente del término cuadrático sea 1, de no ser así, se divide toda la ecuación entre el coeficiente del término cuadrático.

x

4

x

1

y

=

2

+

Se pasa el término independiente al primer miembro de la ecuación.

4

x

4

x

4

1

y

+

=

2

+

+

Se suma a ambos miembros la mitad del término lineal elevado al cuadrado.

(

)

2

2

x

3

y

+

=

+

Se expresa el binomio al cuadrado en el segundo miembro, y a su vez se reducen términos semejantes en el primer miembro.

(

x

2

)

3

y

2

+

=

Se despeja “y”, pasando el término independiente al segundo miembro, quedando así la forma ordinaria.

De la forma ordinaria se deduce que:

a

=

1

y V

(

−2,−3

)

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

(40)

Por lo que la gráfica queda.

Para evitar todo este proceso, de la forma general de la función cuadrática se deducirá la forma ordinaria y así, obtener las fórmulas de las coordenadas del vértice.

a 4 b c a 2 b x a y a 4 b ac 4 a 2 b x a y a 4 b ac 4 a 2 b x a y a 4 b ac 4 a 2 b x a y a 2 b x a 4 b ac 4 a y a 2 b x a 4 b a c a y a 2 b x a b x a 2 b a c a y 2 a b x a b x 2 a b a c a y x a b x a c a y a c x a b x a y a c bx ax a y c bx ax y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − +       + = − +       + =         +       + = − +       + =       + = − −       + = + −       + + =       + −             + + =             + − + = − + + = + + = + + =

De aquí se deduce que

a 2

b

h=− y k=c−b2 , por lo que el vértice es: V− b ,c−b 

2 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 xxxx yyyy ¿Sabías que… ¿Sabías que… ¿Sabías que… ¿Sabías que…

En Grecia en los años 500-000 A.C. se adquiere en toda su pureza el concepto de número y se descubren los números irracionales por medio de un caso

(41)

Actividad: 3

Grafica las siguientes funciones utilizando los parámetros a, h y k.

1. y 6x2

=

2. y x2 5

+ =

3. y 2(x 1)2 9

+

=

4. (x 3) 2

6 1

y= + 2

5. y=(x4)2+6

6. y=5x210x14

7. y 2x2 16x 40

+ + =

8. y x2 12x 32

(42)

Evaluación Evaluación Evaluación Evaluación

Actividad 3: Producto: Ejercicios. Puntaje:

Saberes Saberes Saberes Saberes Conceptual

ConceptualConceptual

Conceptual ProcedimentalProcedimentalProcedimentalProcedimental ActitudinalActitudinalActitudinalActitudinal Comprende el método de

graficación por parámetros de funciones cuadráticas en su forma general y ordinaria.

Emplea el método de graficación por parámetros para bosquejar la gráfica de funciones cuadráticas.

Aprecia la facilidad del método de graficación por parámetros para esbozar la gráfica de funciones cuadráticas.

Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente

Graficación por intersección de ejes. Graficación por intersección de ejes.Graficación por intersección de ejes. Graficación por intersección de ejes.

Para encontrar la intersección con el eje de las abscisas (X), debe cumplirse que

y

=

0

. Y para ubicar el corte con el eje de las ordenadas (Y) forzosamente

x

=

0

.

Para graficar la función cuadrática utilizando la intersección con los ejes, se debe tomar en cuenta las siguientes opciones.

1. Cuando la función corta a los ejes en tres puntos.

2. Cuando la función corta a los ejes en dos puntos. xxxx yyyy

xxxx yyyy

xxxx yyyy

(43)

3. Cuando la función corta a los ejes en un punto.

Al hacer

x

=

0

ó

y

=

0

, se transforma la función en una ecuación que habrá que resolver. Lo anterior se representará en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1.

Graficar

y

=

2

x

2

+

5

x

12

encontrando la intersección con los ejes.

Primero se encontrarán las intersecciones con el eje de las abscisas (X). A éstas se les conocen como los ceros o raíces de la función.

Si

y

=

0

, entonces la función queda:

12

x

5

x

2

0

=

2

+

Obteniéndose una ecuación cuadrática, que por comodidad, se resolverá por la Fórmula General.

12 c

5 b

2 a

= = =

( )

( )

( )(

)

( )

4 11 5 x

4 121 5 x

4 96 25 5 x

2 2

12 2 4 5 5 x

a 2

ac 4 b b x

2 2

±

= ±

=

+ ±

=

− −

±

=

±

=

2 3 x

4 6 x

4 11 5 x

1 1 1

= =

+

=

4

x 4

16 x

4 11 5 x

1 1 2

=

=

− −

=

xxxx yyyy

(44)

Las coordenadas de los puntos que intersectan al eje de las abscisas son:     

,0

2

3 y

(

4,0

)

Para encontrar la intersección con el eje de las ordenadas, se hará

x

=

0

, por lo tanto se tiene:

( )

( )

12 y

12 0 5 0 2

y 2

=

+ =

Las coordenadas del punto que intersecta al eje de las ordenadas es:

(

0,−12

)

Como te habrás dado cuenta, el vértice no se encuentra utilizando este método, tendrías que apoyarte en las fórmulas vistas en el método de completar trinomio cuadrado perfecto para hallar el vértice y poder determinar hasta dónde baja la función.

( )

( )

( )

(

1.25, 15.125

)

8

121 , 4 5 V

2 4

5 12 , 2 2

5 V

a 4 b c , a 2

b V

2 2

− −

=

   

 

− −

    

  

− − −

   

 

− −

Ahora se dibujan los puntos para trazar la gráfica.

-6 -4 -2 2 4 6 8 10

-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2

xxxx yyyy

-6 -4 -2 2 4 6 8 10

-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2

(45)

Ejemplo 2.

Graficar la ecuación y 4x2 24x 36

+

=

Cuando

y

=

0

, se tiene que resolver la ecuación cuadrática.

36

x

24

x

4

0

=

2

+

36 c

24 b

4 a

= =

=

( )

( )

(

)(

)

(

)

3 x

8 0 24 x

8 576 576 24 x

4 2

36 4 4 24 24 x

a 2

ac 4 b b x

2 2

=

±

=

− −

±

=

− − −

±

=

±

=

Las coordenadas del único punto que corta al eje de las abscisas son

(

3,0

)

; como no existe otro punto que corte con el eje de las X, entonces, el punto

(

3,0

)

tiene que ser el vértice.

Si

x

=

0

, entonces se obtiene el resultado:

( )

( )

36 y

36 0 24 0 4

y 2

=

+

=

El punto donde se intersecta con el eje de las ordenadas es:

(

0,−36

)

-12 -8 -4 4 8 12

-36 -32 -28 -24 -20 -16 -12 -8 -4 4

xxxx yyyy

Zenón de Elea Zenón de EleaZenón de Elea Zenón de Elea (490 – 430 A C) Inventó la demostración llamada ad/absurdum (del Absurdo), que tomaba por hipótesis las afirmaciones del

adversario y que por medio de hábiles deducciones conduce al adversario a

(46)

Ejemplo 3.

Graficar la ecuación

y

=

x

2

+

8

x

+

18

Haciendo

y

=

0

, se tiene:

18

x

8

x

0

=

2

+

+

18 c 8 b 1 a = = =

( )

( )

( )( )

( )

2 8 8 x 2 72 64 8 x 1 2 18 1 4 8 8 x a 2 ac 4 b b x 2 2 − ± − = − ± − = − ± − = − ± − =

Esto significa que sus raíces son complejas, con parte real e imaginaria, por lo que no existe un número real en el eje de las abscisas que pertenezca también a la función, en otras palabras, la función no corta al eje de las X.

Cuando

x

=

0

, el valor encontrado es:

( )

( )

18 y 18 0 8 0 y 2 = + + =

El punto de corte con el eje de las ordenadas es:

(

0,18

)

( )

( )

( )

(

4,2

)

V 1 4 8 18 , 1 2 8 V a 4 b c , a 2 b V 2 2 −         − −         − −

-12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 xxxx yyyy

-12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 xxxx yyyy

(47)

Ejemplo 4. Graficar x2

2 1 y=

Si

y

=

0

, entonces:

x 0

x 0

x 2 1 0

2 2

= = =

Se ha encontrado el punto que corta a los dos ejes y coincide con ser el vértice, por lo que se debe apoyar en la graficación paramétrica o en la obtención de más puntos para poder graficarla.

Como notarás, el método para graficar funciones cuadráticas ubicando los cortes con los ejes, puede ser poco práctico, sin embargo, en problemas aplicados es donde tiene mayor utilidad.

-3 -2 -1 1 2 3

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

xxxx yyyy

Actividad: 4

En equipo, contesten las siguientes preguntas.

1. ¿Cómo se podría determinar el número de raíces o ceros de una función cuadrática sin graficarla?

2. Antonio encuentra que si su compañía produce x artículos diarios, el costo está dado por la ecuación 2

x

002

.

0

x

8

.

0

420

(48)

Actividad: 4 (continuación)

3. Una persona lanza verticalmente hacia arriba una pelota desde lo alto de un edificio, y la altura en cada instante de tiempo la describe la función

45 t 80 t 16

H= 2+ + .

a) ¿Cuál es el tiempo en que la pelota tarda en alcanzar la altura máxima?

b) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la pelota?

c) ¿Cuál es la altura del edificio?

d) ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en tocar el suelo?

e) Traza la gráfica de la altura de la pelota al trascurrir el tiempo.

4. La utilidad mensual en miles de dólares de una compañía se expresa mediante la función 37

x 24 x 2

U= 2+ , donde x representa el número de artículos, en cientos, que se producen y

venden en un mes.

a) ¿Cuál es la cantidad de artículos que la compañía debe producir y vender por mes para que la utilidad sea máxima?

(49)

Evaluación Evaluación Evaluación Evaluación

Actividad 4: Producto: Problemas de aplicación. Puntaje:

Saberes SaberesSaberes Saberes Conceptual

Conceptual Conceptual

Conceptual ProcedimentalProcedimental ProcedimentalProcedimental ActitudinalActitudinalActitudinalActitudinal Identifica la relación entre

funciones y ecuaciones cuadráticas.

Representa y resuelve situaciones mediante ecuaciones y funciones cuadráticas.

Aprecia la importancia de la conexión entre funciones y ecuaciones cuadráticas, para examinar y solucionar situaciones.

Escucha con atención las aportaciones de tus compañeros.

Coevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente

Actividad: 4 (continuación)

c) ¿Con cuántos artículos producidos y vendidos no se tiene utilidad alguna?

d) Si se producen y venden 750 artículos mensuales, ¿cuánta utilidad se genera?

Figure

cuadro sinóptico visualizarás su estructura.

cuadro sinóptico

visualizarás su estructura. p.3

Referencias