La Derivada de una Funci´

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(1)

de Variable Compleja

Dr. Juli´an Gpe. Tapia Aguilar

juliangpe@yahoo.com.mx, juliangpe@prodigy.net.mx U V M – Villahermosa

28 de enero de 2012

´

Indice

1. La Derivada 1

2. Condiciones de Cauchy-Riemann 3

3. Ecuaci´on Diferencial de Laplace 5

4. Problemas y Ejercicios 7

(2)

1.

La Derivada

Considere una funci´on de variable compleja definida en un dominioD⊂C

f :D−→C.

Entonces la derivada en un puntoz0 ∈D⊂ Cse define, de manera an´aloga a como se hace para funciones reales de variable real, de la siguiente manera:

Definici´on 1.1 (La Derivada) Sea z = z0 un punto en el dominio de la funci´on f : D C,

entonces la derivada de f enz=z0 se define como el siguiente l´ımite:

f′(z0) = l´ım z→z0

f(z)−f(z0)

z−z0

, (1)

siempre que el l´ımite anterior exista.

Aquellas funciones cuya derivada existe en un puntoz0 Creciben el nombre de funciones anal´ıticas en ese punto y si esta derivada existe z C, entonces decimos que la funci´on es anal´ıtica en el dominio D. Formalmente,

Definici´on 1.2 (Funci´on Anal´ıtica) Decimos que una funci´on de variable compleja es anal´ıtica en el dominio D si esta funci´on tiene derivada para todo punto enD.

Otros t´erminos utilizados para esta clase de funciones son los de funci´on holom´orfica o regular. Pr´acticamente, las propiedades de la derivada para funciones complejas son las mismas que aquellas para la derivada de una funci´on real de variable real. Para futuras referencias las escribimos en el siguiente teorema, sin demostraci´on.

Hecho 1.1 (¿Como conseguir la Derivada?) Dada una funci´on de variable compleja f(z) ex-presada en su forma,

f(z) =u(x, y) +iv(x, y),

si esta es derivable; esto es, si es anal´ıtica, entonces por la unicidad del l´ımite tenemos que,

f′(z) =

∂xf(z) y f

(z) =i

∂yf(z).

Teorema 1.1 Sean f y g funciones complejas de una variable compleja y c una constantes com-pleja. Entonces,

1. Si una funci´on es derivable entonces es continua.

2. La derivada es un operador lineal; esto es,

a)

Dz(f(z) +g(z)) =Dz(f(z)) +Dz(g(z)).

b)

(3)

3. Para cualquier constante c,

Dz(c) = 0.

4. Para la funci´on identidad f(z) =z,

Dz(z) = 1.

5. Para la funci´onf(z) =zn,

Dz(zn) =nzn−1.

6. Se satisface la regla del producto,

Dz[f(z)·g(z)] =Dz[f(z)]·g(z) +f(z)·Dz[g(z)].

7. Se satisface la regla del cociente,

Dz

[ f(z)

g(z)

]

= Dz[f(z)]·g(z)−f(z)·Dz[g(z)] (g(z))2 .

8. Se satisface la Regla de la Cadena para

w=f(η), η=g(z),

Dice,

Dz[w] =[w]·Dz[η],

que parece ser m´as intuitiva si utilizamos la notaci´on siguiente:

dw dz =

dw ·

dz,

En general, para las funciones trigonom´etricas tenemos el siguiente teorema,

Teorema 1.2

Dz[sen(z)] = cos(z),

Dz[cos(z)] = sen(z),

Dz[tan(z)] = sec2(z),

Dz[cot(z)] = csc2(z), (2)

Dz[sec(z)] = sec(z) tan(z), Dz[csc(z)] = csc(z) cot(z).

O por medio de la Regla de la Cadena, para una funci´on u=g(z),

Dz[sen(u)] = cos(u)Dz(u),

Dz[cos(u)] = sen(u)Dz(u),

Dz[tan(u)] = sec2(u)Dz(u),

Dz[cot(u)] = csc2(u)Dz(u), (3)

Dz[sec(u)] = sec(u) tan(u)Dz(u),

(4)

2.

Condiciones de Cauchy-Riemann

Ya se estableci´o que una funci´on es anal´ıtica en un punto si existe su derivada en ese punto. Otro criterio para que una funci´on sea anal´ıtica en un puntoz0 es que tenga una expansi´on en una serie de potencias al rededor de ese punto.

El resultado m´as importante, y el m´as f´acil, para identificar funciones anal´ıticas es el siguiente teorema.

En lo que sigue, supondremos que la funci´onf(z) se puede escribir como,

f(z) =u(x, y) +iv(x, y).

Teorema 2.1 (Necesidad) Una condici´on necesaria para que una funci´on f(z) sea anal´ıtica en un dominioD es que las cuatro derivadas parciales,ux(x, y), uy(x, y),vx(x, y) y vy(x, y) existan y satisfagan las condiciones de Cauchy-Riemann:

ux(x, y) =vy(x, y) y uy(x, y) =−vx(x, y), (4)

en cada punto del dominio D.

Ejemplo 2.1 Considere la funci´on definida por las ecuaciones,

f(z) =u(x, y) +iv(x, y) si= 0 y f(0) = 0,

donde,

u(x, y) = x 3y3

x2+y2 y v(x, y) =

x3+y3

x2+y2.

Se puede mostrar que en el punto z = 0, las ecuaciones de Cauchy-Riemann se satisfacen, sin embargo quef′(0) no existe.

Ejemplo 2.2 Considere las funciones,

f(z) =z3 y g(z) =|z|2.

Veremos si son o no anal´ıticas en todo C.

La funci´on f(z) =z3 En t´erminos de u yv, tenemos,

f(z) = (x+iy)3 =x3+ 3x2(iy) + 3x(iy)2+ (iy)3= (x33xy2) +i(3x2y−y3),

luego,

u(x, y) =x33xy2 y v(x, y) = 3x2y−y3.

Se sigue que las derivadas parciales son,

ux(x, y) = 3x23y2, uy(x, y) =6xy y vx(x, y) = 6xy, vy(x, y) = 3x23y2.

(5)

La funci´on g(z) =|z|2 De manera an´aloga, la funci´ong(z) en t´erminos dex yy es,

g(z) =x2+y2.

Esto es,

u(x, y) =x2+y2 y v(x, y) = 0.

Las derivadas parciales por supuesto que existen y son continuas; son,

ux(x, y) = 2x, uy(x, y) = 2y y vx(x, y) =vy(x, y) = 0,

y por supuesto que las condiciones de Cauchy-Riemann no se satisfacen en en todo C. De hecho, s´olo se satisfacen en el puntoz= 0.

Conclusi´on,g(z) =|z|2 no es anal´ıtica enC.

Teorema 2.2 (Suficiencia) Una funci´onf(z) es anal´ıtica en un dominioDsi las cuatro derivadas parciales, ux(x, y), uy(x, y), vx(x, y) y vy(x, y) existen, son continuas y satisfacen las condiciones de Cauchy-Riemann, Ecuaciones 4, en cada punto del dominioD.

En resumen tenemos el siguiente teorema

Teorema 2.3 (Cauchy-Riemann) Una condici´on necesaria y suficiente para que una funci´on

f(z) sea anal´ıtica en un dominio Des que las cuatro derivadas parciales,ux(x, y),uy(x, y),vx(x, y) yvy(x, y) existan, sean continuas y satisfagan las condiciones de Cauchy-Riemann:

ux(x, y) =vy(x, y) y uy(x, y) =−vx(x, y), (5)

en cada punto del dominio D.

(6)

3.

Ecuaci´

on Diferencial de Laplace

Definici´on 3.1 (Funci´on Arm´onica) Una funci´on real de dos variables ϕ(x, y) decimos que es arm´onica en un dominio D, si para toda x, y en D, existen todas las segundas derivadas, son continuas y se satisface,

2ϕ ∂x2 +

2ϕ

∂y2 = 0. (6)

La Ecuaci´on 6 es conocida como la Ecuaci´on de Laplace, en este caso de dos variables.

Teorema 3.1 Si una funci´on f(z) =u(x, y) +iv(x, y) es anal´ıtica en un dominio D, entonces las funcionesu yv son arm´onicas en el dominioD.

Definici´on 3.2 (Funci´on Conjugada) Seanu(x, y) yv(x, y) funciones arm´onicas en un dominio

Dtal que f(z) =u(x, y) +iv(x, y) en anal´ıtica en D, entonces decimos quev(x, y) es laconjugada

de u(x, y).

Nota 3.1 Si v(x, y) es la conjugada de u(x, y), no podemos decir que u(x, y) es la conjugada de

v(x, y); sin embargo podemos decir que −u(x, y) es la conjugada de v(x, y). Esta afirmaci´on es consecuencia de que sif =u+iv es anal´ıtica, tambi´en lo es −if =v−iuque nos asegura que −u

es la conjugada de v.

Ejemplo 3.1 Verifique que la funci´on,

u(x, y) =excosy,

es arm´onica. Entonces encuentre su funci´on conjugadav(x, y) y en consecuencia encuentre la funci´on anal´ıticaf =u+iv.

Soluci´on: Derivando parcialmente tenemos,

ux = excosy,

uxx = excosy,

uy = ex(seny),

uyy = ex(cosy),

Entonces,

uxx+uyy =excosy+ex(cosy) = 0.

Esto es, la funci´onu=excosy es arm´onica.

Para encontrar la funci´on conjugada v(x, y) tenemos a nuestra disposici´on las ecuaciones de Cauchy-Riemann, que en este caso nos dicen que,

vy =ux=excosy y vx =−uy =−ex(seny) =exseny.

S´olo recuerde que nuestra incognita es ahora la funci´onv(x, y), por lo que las expresiones anteriores se reducen a,

(7)

La primera al integrar con respecto de y nos da,

v(x, y) =

excosy dy+φ(x) =exseny+φ(x). (8)

dondeφes una expresi´on que no depende dey (la funci´on ux(x, y) =excosy est´a siendo integrada “parcialmente” con respecto dey).

Aqu´ı podemos proceder de dos formas,

Paralelamente a lo hecho con la ecuaci´onvy =ux. Esto es, si ahora tomamos la segunda ecuaci´on en 7,vx=exseny, se sigue que al integrar “parcialmente” ahora con respecto dex, nos da,

v(x, y) =

exseny dx+ϑ(y) =exseny+ϑ(y), (9)

donde ahora ϑ, por razones similares a φ en la expresi´on 8, no depende de la variables x

quedando, o que es una constante, o que a lo mas depende de la variabley.

Ahora, simple inspecci´on entre las dos expresiones para v(x, y) dadas en 8 y 9, implican que,φ(x) =ϑ(y), condici´on que s´olo se cumple si,φ(x) =ϑ(y) = constante. De este modo tenemos a nuestra conjugada,

v(x, y) =exseny+C, (10)

dondeC es una constante num´erica.

La segunda forma a proceder es la siguiente.

Substituyendo la expresi´on parav(x, y) encontrada en 8 en la segunda condici´on,vx =exseny, dada en 7 tenemos,

∂x

[

exseny+φ(x)

]

=exseny,

que se reduce a,

exseny+

∂x(φ(x)) =e

xseny.

Esto es la funci´onφ, la parte dev que hace falta conocer, satisface ∂x (φ(x)) = 0. De hecho comoφ a lo mas depende dex, la condici´on anterior se reduce aφ′(x) = 0, con lo que s´olo queda queφ(x) =C, una constante num´erica.

La misma conclusi´on bajo el primer procedimiento.

Ahora podemos formar a nuestra funci´on compleja, que ser´a anal´ıtica, f(z),

f(z) = u(x, y) +iv(x, y) =excosy+iexseny

= ex(cosy+iseny) =ex·eiy=ex+iy≡ez. (11)

(8)

4.

Problemas y Ejercicios

Ejercicio 4.1 Verifique si la funci´on,

u(x, y) =e−2xcos 5y,

es o no arm´onica. En caso afirmativo, encuentre su funci´on conjugada v(x, y) y en consecuencia encuentre la funci´on anal´ıticaf =u+iv.

Problema 1 Demuestre que la funci´on dada es arm´onica, entonces determine su conjugada.

a). u= x

x2+y2, x

2+y2̸= 0.

b). u= 12ln(x2+y2), x2+y2 ̸= 0.

c). u=x33xy2.

d). u= coshxcosy.

Problema 2 Verifique que la funci´on dada satisface la ecuaci´on de Laplace. Entonces determine la funci´on anal´ıtica f =u+iv.

a). u=ex(xcosy−yseny).

b). u=x33xy2+ 3x23y2+ 1.

c). u= (x−1)33xy2+ 3y2.

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