FUNCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLES CONTINUAS

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(1)

TEMA 11 – DISTRIBUCIONES DE VARIABLE CONTINUA. LA

NORMAL

FUNCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLES CONTINUAS

EJERCICIO 1 : La siguiente gráfica corresponde a la función de probabilidad de una variable continua, x :

Calcula la probabilidad de que x: a Sea menor que 1. .

2 3 y 2 1 entre Esté b)

Solución: El área total bajo la curva es: 1u2 2

1 2

Área   

: será área Su 1. es altura su y , 2 1 y 1 miden bases cuyas trapecio un

tenemos

1 y 0 Entre a)

2 u 4 3 2 2 3

2 1 2 1 1

Área  

      

Por tanto:

 

1 4 3

1

x p

4 3

: será área Su 1. altura de y , 4 1 y 4 3 bases de trapecio un

tenemos

2 3 y 2 1 Entre b)

2 u 2 1 2

1 4 1 4 3

Área 

    

 

Por tanto:

2 1 1 2 1

2 3 2

1

     

 

  x

p

EJERCICIO 2 : La demanda diaria de un cierto producto es una variable continua x (medida en toneladas) cuya función de probabilidad es la siguiente:

Calcula la probabilidad de que la demanda diaria de este producto sea: a) Superior a 2 toneladas. b) Esté entre 1,5 y 2,5 toneladas.

Solución: El área total bajo la curva es: 2

u 1 4 1 2 1 4 1 2

1 2 1

2 1 1 2

1 2 1

        

: es área Su . 2 1 altura y 1 base de triángulo un

tenemos

2, Para

a) x u2

4 1 2

2 1 1

Área 

 

Por tanto:

[

]

4 1 = 1 4 1

(2)

: 2 1 lado de cuadrado un

tenemos

2 y 5 1, Entre

b) 2

2 u 4 1 2 1

Área  

     

: 2 1 altura y 4 1 y 2 1 bases de o un trapeci tenemos

2,5 y 2

Entre 2

u 16

3 2

2 1 4 1 2 1

Área 

      

 

Entre 1, 5 y 2,5 el área es: 2 u 16

7 16

3 4 1

Por tanto:

16 7 1

16 7 5 , 2 5

,

1  x  

p

EJERCICIO 3 : La estatura, en centímetros, de un grupo de 100 personas viene representada en la siguiente gráfica:

Calcula la probabilidad de que una persona elegida al azar entre esas cien: a) Mida más de 180 cm. b) Mida entre 170 y 185 cm.

Solución: El área total bajo la curva la hallamos sumando el área de cada rectángulo: 15 · 0,4  5 · 2  5 · 4  5 · 8  10 · 1,6  20 · 0,4  6  10  20  40  16  8  100 a) El área de los dos últimos rectángulos es: 16  8  24

Por tanto:

[

]

=0 24 100

24 = 180

> ,

x

p

b) Entre 170 y 185, el área es: 5 · 4  5 · 8  5 · 1,6  20  40  8  68

Por tanto:

[

]

=0 68

100 68 = 185 < <

170 x ,

P

EJERCICIO 4 : El número de empleados de 120 empresas de una región viene representado en la siguiente gráfica:

Calcula la probabilidad de que, al elegir una empresa al azar entre esas 120, tenga: a) Más de 130 trabajadores. b) Entre 100 y 140 trabajadores.

Solución: El área total bajo la curva la hallamos sumando el área de cada rectángulo: 30 · 12  30 · 30  30 · 33  30 · 15  30 · 30  360  900  990  450  900  3600 a) El área de los dos últimos rectángulos es: 450  900  1350

Por tanto:

[

]

=0 375 3600

1350 = 130

> ,

x

p

b) Entre 100 y 140 el área es: 30 · 33  10 · 15  990  150  1140

Por tanto:

[

]

=0 317

3600 1140 = 140 < <

100 x ,

(3)

EJERCICIO 5 : La siguiente gráfica nos da una distribución de probabilidad de una variable continua,

x:

Calcula la probabilidad de que x: a) Sea mayor que 3. b) Esté entre 2 y 4.

Solución:Hallamos el área total bajo la curva:

 Entre 1 y 3, tenemos un trapecio de bases 40 y 20 y altura 2:

60u2 2

2 20 40

Área  

 Entre 3 y 5, tenemos un triángulo de base 2 y altura 40: 2 u 40 2

40 2

Área   

 El área total será: 60  40  100 u2

0,4

100 40 3

a) px  

b) Entre 2 y 3, tenemos un trapecio de bases 40 y 30, y altura 1:

2 u 35 2

1 30 40

Área   

Entre 3 y 4, tenemos un trapecio de bases 40 y 20 y altura 1:

30u2 2

1 20 40

Área   

Por tanto:

[

]

=0 65

100 65 = 100

30 + 35 = 4 < <

2 x ,

p

DISTRIBUCIÓN NORMAL N(0,1)

EJERCICIO 6 : Halla las siguientes probabilidades en una distribución N(0, 1):

1,73

a) pz b) p

0,62z1,34

c) p

1,2z1,2

Solución:

z 1,73

 

pz 1,73

1 p

z 1,73

1 0,9582 0,0418 p

a)          

0,62 z 1,34

 

pz 1,34

 

pz 0,62

0,9099 0,7324 0,1775 p

b)         

1,2z1,2

 

pz1,2

 

pz1,2

 

pz1,2

 

pz1,2

 

pz1,2

1p

z1,2

p c)

0,8849 – 1 + 0,8849 = 0,7698

EJERCICIO 7 : En una distribución N(0, 1), calcula:

1,18

a) pz b) p

z2,1

c) p

0,71z1,23

Solución:

z 1,18

1 p

z 1,18

1 0,8810 0,1190 p

a)       

z 2,1

 

pz 2,1

1 p

z 2,1

1 0,9821 0,0179 p

b)          

0,71z1,23

 

pz1,23

 p

z 0,71

 

pz1,23

 p

z0,71

p c)

z 1,23

1 p

z 0,71

0,8907

1 0,7612

0,6519

p        

(4)

DISTRIBUCIÓN NORMAL N(,)

EJERCICIO 8 : El nivel de colesterol en una persona adulta sana sigue una distribución normal

N(192, 12). Calcula la probabilidad de que una persona adulta sana tenga un nivel de colesterol:

a) Superior a 200 unidades. b) Entre 180 y 220 unidades.

Solución:

  

 

  

 0,67

12 192 200 12

192 200

a) px p x pz 1p

z0,67

10,74860,2514

  

 

    

 

12 192 220 12

192 12

192 180 220

180

b) p x p x

  

 

 

 

 

p 1 z 2,33 pz 2,33 pz 1 p

z2,33

 

pz1

 

pz2,33

1p

z1

1 0,8413

0,8314 9901

,

0   

EJERCICIO 9 : Las ventas diarias, en euros, en un determinado comercio siguen una distribución

N(950, 200). Calcula la probabilidad de que las ventas diarias en ese comercio:

a) Superen los 1200 euros. b) Estén entre 700 y 1000 euros.

Solución:

  

 

  

 1,25

200 950 1200 200

950 1200

a) px p x pz 1p

z1,25

10,89440,1056

  

 

    

 

200 950 1000 200

950 200

950 700 1000

700

b) p x p x

  

 

 

 

 

p 1 z 0,25 pz 0,25 pz 1 p

z0,25

 

pz1

 

pz0,25

1p

 

z1

1 0,8413

0,44 5987

,

0   

HALLAR EL VALOR DE “k” CONOCIDA LA PROBABILIDAD, EN DISTRIBUCIONES NORMALES

EJERCICIO 10 : En una distribución N(0, 1), halla el valor de k en cada caso:

0,9969

a) pzk b) p

kzk

0,985

Solución:

74 , 2 k 9969

, 0 k] [z P

a)    

k z k

p[z k] p[z k] p[z k] p[z k] p[z k]

1 p[z k]

2p

z k

1 0,985⇒

p

b)                    

p[z<k] = 0,9925 2

985 , 0 1

 

43 , 2 k 

EJERCICIO 11 : En una distribución N(25, 6), halla el valor de k en cada caso:

0,8315

a) pxk b) p

xk

0,0062

Solución:

0,8315

6 25 6

25 6

25

a)

  

 

     

 

  

k p x k p z k x

p

76 , 30 25

6 96 , 0 96

, 0 6

25

  

   

k k k

  

 

     

 

   

6 25 6

25 6

25

b) px k p x k p z k

 

   

 

 

    

 

 

 0,9938

6 25 0062

, 0 6

25

1 p z k p z k

40 25

6 5 , 2 5

, 2 6

25

  

   

(5)

APROXIMACIÓN DE LA BINOMIAL A LA NORMAL

EJERCICIO 12 : Un examen de 100 preguntas admite como respuesta en cada una de ellas dos posibilidades, verdadero o falso. Si un alumno contesta al azar, calcula la probabilidad de que acierte más de 60 respuestas.

Solución:

, 2 1 100, n con binomial una

es entonces

, acertadas" respuestas

de número "

llamamos

Si xxp en la

que tenemos que calcular: p

x 60

(Lamediade x es np50 .Sudesviacióntípicaes npq 5).

La calculamos aproximando con una normal: ' es

50,5

es

0,1

2

1 , 100 es

B x N z N

x   

  

 

  

 

   

 2,1

5 50 5 , 60 5

, 60 '

60 px p z pz

x p

2,1

1 0,9821 0,0179

60

0,0179

1       

pz px

EJERCICIO 13 : El 60 de una población de 20000 habitantes tiene los ojos oscuros. Si elegimos al azar 50 personas de esa población, ¿cuál es la probabilidad de que haya menos de 30 personas con los ojos oscuros?

Solución:

Si llamamos x “número de personas con los ojos oscuros”, entonces x es una binomial con

30

.

calcular que

tenemos que

la en 0,6, p 50,

n  px

La calculamos aproximando con una normal:

. , npq ,

np

x es =500,6=30 sudesviacióntípicaes =3 46

de media La

50;0,6

' es

30; 3,46

es

0,1

es B x N z N

x  



 

  

 

  

 0,08 0,08 1 0,08

46 , 3

30 5 , 29 5

, 29 '

30 px p z pz pz pz

x p

30

0,4681 4681

, 0 5319 , 0

1    

px

REPASO

EJERCICIO 14 : La temperatura en grados Fahrenheit de una cierta localidad sigue una distribución

N68, 4. Calcula la probabilidad de que la temperatura en esa localidad: a) Supere los 75 F. b) Esté entre 65 F y 70 F.

Solución:

175

1

175

1 0 9599 0 0401

4 68 75 4

68 75

a) px p x pz,  pz,   ,,

  

 

   

  

  

 

  

 0 75 0 5

4 68 4

68 65 70

65

b) p x p x p , z ,

 

 

 

 

 

 

 

 

pz 0,5 pz 0,75 pz 0,5 pz 0,75 pz 0,5 1 pz 0,75

1 0,7734

0,4649 6915

,

0   

EJERCICIO 5 : El 4% de una población padece una cierta enfermedad. Si elegimos al azar un grupo de 200 personas de esa población, calcula la probabilidad de que padezcan la enfermedad más de 15 de ellas.

Solución: Si llamamos x “nº de personas que padecen la enfermedad”, entonces x es una binomial con

15

.

calcular que

tenemos que

la en , 04 , 0

200  

y p px

n

La calculamos aproximando con una normal.

. , , npq np

x es 200 0,04 8; sudesviacióntípicaes 7 68 277

de media

La    

200; 0,04

' es

8; 2,77

es

0,1

es

B x N z N

(6)

2,71

1

2,71

1 0,9966 0,0034 77

, 2

8 5 , 15 5

, 15 '

15        

  

 

   

px p z pz pz

x p

EJERCICIO 16 : La duración media de un determinado aparato eléctrico es de 10 años, con una desviación típica de 1 año. Si suponemos que la duración de este aparato sigue una distribución normal, calcula la probabilidad de que:

a Dure más de 15 años. b Dure entre 8 y 12 años.

Solución: x es N

10,1

z es N

0,1

5

1

5

0

1 10 15 15

a)      

  

 

 

p z p z p z

x p

  

  

 

    

 2 2

1 10 12 1

10 8 12

8

b) p x p z p z

z2

p

z2

p

z2

1p

z2

p

z 2

p

z 2

1 0,9772 0,9772 1 0,9544

p        

EJERCICIO 17 : La probabilidad de ganar en un sorteo diario es del 2%. Si jugamos durante 60 días, ¿cuál es la probabilidad de que ganemos más de 20 veces?

Solución:

60;0,02

. es

que tenemos

, ganamos" que

días de nº " llamamos

Si xx B

20

. calcular

que

Tenemos 

p x

Lo hacemos aproximando con una normal:np600,021,2 ; npq 1,08  Entonces: x es B

60;0,02

x' es N

1,2;1,08

z es N

0,1

 Así:

17,9

0

08 , 1

2 , 1 5 , 20 5

, 20 '

20   

  

 

   

p x p z p z

x p

EJERCICIO 18 : En un instituto hay 200 chicas y 180 chicos. Calcula la probabilidad de que en un grupo de 30 alumnas y alumnos haya mas de 20 chicos.

Solución:

30;0,47

, puestoque: es

que tenemos ,

30" de grupo el en chicos de nº " llamamos

Si xx B

0,47

380 180 180 200

180

chico  

  p

20

; lohacemosaproximadamenteconunanormal:

calcular que

Tenemos 

p x

73 , 2 ;

1 , 14 47 , 0

30   

 

n p npq

 Entonces:x es B

30;0,47

x' es N

14,1;2,73

z es N

0,1

 Así:

  

 

  

 2,34

73 , 2

1 , 14 5 , 20 5

, 20 '

20 p x p z p z

x

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