112 - MATEMATICAS II (Plan 1992).pdf

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Guía de estudio para presentar

exámenes de Recuperación y

Acreditación Especial

Junio de 2004

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(3)

ÍNDICE

PRESENTACIÓN ... PRÓLOGO...

UNIDAD 1. Funciones algebraicas... 1.1 Funciones lineales... Ejercicios. ………... Tabla de Comprobación ...…... 1.2 Funciones cuadráticas...

Ejercicios. …………..………... Tabla de Comprobación …...…... Ejercicios de autoevaluación…..………….………... Clave de respuesta……..………..………...

UNIDAD 2. Funciones trigonométricas... 2.1 Teorema de Pitágoras...

Ejercicios. ………... Tabla de Comprobación ...…... 2.2 Funciones trigonométricas... Ejercicios. ………….………...

Tabla de Comprobación …...…... Ejercicios de autoevaluación..……….………... Clave de respuesta………..………..………...

UNIDAD 3. Funcionesexponenciales y logarítmicas……….… 3.1 Función exponencial ………..………...

Ejercicios. ………... Tabla de Comprobación ...…...

3.2. Función logaritmo……….

Ejercicios. ………... Tabla de Comprobación ...…... Ejercicios de autoevaluación..……….………... Clave de respuesta………..………..………...

BIBLIOGRAFÍA..... SUGERENCIAS PARA PRESENTAR EXÁMENES DE

RECUPERACIÓN O ACREDITACIÓN ESPECIAL………..

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(5)

PRESENTACIÓN

Permítenos felicitarte cordialmente por estar leyendo esta guía, ya que es una muestra de tu interés y decisión de explorar y utilizar los materiales que te ofrece el Colegio de Bachilleres para prepararte adecuadamente antes de presentar un examen de Recuperación o Acreditación Especial.

La guía que estás leyendo constituye un trabajo realizado por profesores del Colegio de Bachilleres, del plantel 17 “Huayamilpas-Pedregal”, que con base en su experiencia docente y en el conocimiento del programa de estudios de la Reforma Curricular 2003, se fijaron el propósito de colaborar contigo en varias formas:

 Especificando los temas y aprendizajes sobre los que serás evaluado en un examen extraordinario.

 Elaborando síntesis de cada tema para apoyarte en tu estudio.

 Elaborando preguntas, similares a las que encontrarás en los exámenes extraordinarios, para que también te ejercites en la solución de estos tipos de reactivos y te autoevalúes.

 Planteando sugerencias y recomendaciones para apoyar tu preparación adecuada para el examen.

¿Qué ventajas obtendrás al resolver la Guía?

1. Tendrás un material de estudio sencillo y concreto que te permitirá prepararte adecuadamente en un lapso corto de tiempo.

2. Estudiarás todos los temas del programa de asignatura, en los que serás evaluado.

3. Podrás autoevaluarte para saber si estas preparado para presentar con éxito tu examen de Recuperación o Acreditación Especial, o saber que temas deberás estudiar con mayor ahínco. ¿Cómo estudiar para tener éxito?

Recuerda que una buena preparación es fundamental para lograr aprobar tus materias, por lo cual te recomendamos:

 Leer con cuidado cada uno de los resúmenes de tema y contestes las preguntas que vienen a continuación.

 Revisar tus respuestas y si te equivocaste realizar las actividades que se sugieren en las tablas de comprobación.

 Al término de cada unidad, contestar las preguntas de autoevaluación en el tiempo que se indica en cada bloque. Ten en cuenta que para contestar el examen de Recuperación o Acreditación Especial tendrás dos horas y por ello también debes ejercitarte en resolver los ejercicios bien y rápido.

 Si al concluir la autoevaluación te equivocaste, vuelve a repasar la guía o pregúntale a tus profesores o al jefe de materia de tu plantel.

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(7)

PRÓLOGO

En el Programa Nacional de Educación 2001-2004, elevar la calidad de la educación que se ofrece, así como incorporar conocimientos básicos para la sociedad del conocimiento, se han destacado como objetivos que orientan a la educación del siglo XXI. Es por ello que el Colegio de Bachilleres, junto con otras instituciones de educación media superior inició la operación, en un plantel guía, de nuevos programas de estudio.

En el semestre 03-A se operaron por primera vez, en el plantel 17 “Huayamilpas Pedregal”, los programas de primer semestre de la Reforma Curricular y sus profesores elaboraron materiales didácticos para apoyar los diferentes momentos del proceso de enseñanza–aprendizaje.

Entre los materiales elaborados se encuentran las guías de estudio, las cuales tienen el propósito de apoyar a los estudiantes que presentarán exámenes de Recuperación o Acreditación Especial de las asignaturas de la Reforma Curricular 2004, con objeto de favorecer el éxito en los mismos.

En este contexto, la Guía de estudio para presentar exámenes de Recuperación o Acreditación Especial de Matemáticas II se ha elaborado pensando en los estudiantes que por diversas causas reprobaron la asignatura en el curso normal y pueden acreditarla a través de exámenes en periodos extraordinarios. Esta guía se caracteriza por abordar, de manera sintética, los principales temas señalados en el programa de estudios. Las actividades y ejercicios que se plantean son un apoyo para que el estudiante aplique y re lacione sus conocimientos previos con otros más complejos, de modo que esté en condiciones de desarrollar procedimientos y modelos matemáticos aritméticos y algebraicos. Esto permitirá que, con el estudio de la guía, continúe mejorando y ejercitando sus habilidades de análisis y razonamiento matemático. Al final del desarrollo de las unidades la guía contiene una autoevaluación sobre los elementos esenciales de toda la unidad, para que el alumno verifique su grado de comprensión y dominio. Asimismo se incluyen algunas sugerencias para reforzar el apoyo sobre los aspectos estratégicos del tema.

La guía se organiza por unidad, igual que el programa de estudios; en cada una de ellas encontrarás un resumen de los temas y aprendizajes que se te van a evaluar, una serie de preguntas y ejercicios por tema, la tabla de respuestas a estos ejercicios, así como, al término de cada unidad, nuevos ejercicios para que te autoevalúes.

Así, en la primera unidad, denominada FUNCIONES ALGEBRAICAS, realizarás actividades y ejercicios sencillos sobre funciones para facilitarte su aplicación. En seguida, se abordan los aspectos más importantes de de estas relacionadas con su representación gráfica y su utilidad para resolver diferentes tipos de problemas.

En la segunda unidad de la guía, FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS, se presentan actividades en las que revisarás y aplicarás las propiedades del teorema de Pitágoras y sus diferentes aplicaciones por medio de las funciones trigonométricas, para plantear la solución y representación gráfica de problemas prácticos de la vida cotidiana.

En la tercera unidad, FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS, revisarás las principales aplicaciones de estas funciones tomando en cuenta las leyes de los exponentes y apoyándose en la elaboración de las gráficas correspondientes para facilitar la comprensión del procedimiento utilizado en problemas del ámbito académico.

(8)
(9)

U

U

n

n

i

i

d

d

a

a

d

d

I

I

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(11)

I

1.1.1 FUNCIONES LINEALES.

La descripción de un fenómeno de la vida real y el análisis de algunas relaciones que las describen nos permiten modelar matemáticamente dicho fenómeno, uno de los conceptos matemáticos que más se utiliza es el concepto de función. En este tema plantearemos algunas situaciones que nos permitan realizar el estudio de la función lineal.

Considérese la siguiente relación establecida cuando una persona compra boletos para abordar el metro. Sabiendo que uno cuesta $ 2, elaboraremos una tabla que muestre la relación entre el costo y el número de boletos.

b: número de boletos 0 1 2 3 4 5 6 7

c: costo en $ 0 2 4 6 8 10 12 14

En esta relación el costo depende del número de boletos comprados, esto es, nosotros podemos decidir cuantos boletos comprar; le estamos asignando valores por lo que se le denomina como la variable independiente, el costo toma valores determinados de acuerdo al número de boletos que se van comprando por lo que se denomina variable dependiente.

Podemos representar a los valores de la tabla como parejas ordenadas, en donde el primer valor corresponde con la variable independiente (b) y la dependiente es el costo (C).

(0,0), (1,2), (2,4), (3,6), (4,8), (5,10), (6,12), (7,14)

La variable independiente se ubica sobre el eje de las abscisas (horizontal) y la dependiente sobre el eje de las ordenadas (vertical). Por lo que, si elaboramos la gráfica se tiene:

X

0 1 2 3 4 5 6 7

C (costo en pesos)

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0 1 2 3 4 5 6 7 8

(número de boletos)

APRENDIZAJES

 Construir la gráfica de la función lineal.

 Interpretar la gráfica de la función lineal.

 Conocer las características de la función lineal.

 Resolver problemas cuyo modelo de solución sea una función lineal.

(12)

Como podrás observar la gráfica está formada por una serie de puntos, que no debemos unir porque no tiene sentido querer comprar medio boleto o 3.78 boletos. Sin embargo estos puntos son parte de una recta.

Número de boletos Importe pagado en $

1 2(1) = 2

2 2(2) = 4

3 2(3) = 6

4 2(4) = 8

b 2(b) = 2b

Al generalizar el procedimiento se llega a la expresión C(b) = 2b, que corresponde con el modelo algebraico de la relación y que se lee como el costo de b boletos es igual a dos pesos, por el número b de boletos comprados.

En las relaciones que tienen por gráfica una recta se puede observar que al aumentar o disminuir la variable independiente una unidad, la dependiente aumenta o disminuye en una unidad constante; para el caso que analizamos aumentan dos pesos por cada boleto comprado.

Estudiemos otro caso de relación con un comportamiento parecido al anterior.

A un empleado de una zapatería le pagan $ 50 por día y $ 15 por cada par de zapatos que venda. ¿Cuánto gana en un día, si vende uno, dos, tres o más pares de zapatos?

Como en el caso anterior elaboraremos una tabla de la relación, cuidando de distinguir la variable independiente de la dependiente. Como el salario depende del sueldo, más la comisión por el número de zapatos vendidos, entonces de las dos cantidades que intervienen en la relación, la variable independiente es el número de pares de zapatos vendidos y la variable dependiente es el salario del empleado. De esta manera, la tabla correspondiente tiene la apariencia que enseguida se muestra:

Zapatos (número de pares

vendidos) Salario (pesos)

0

50 + 0(15) = 50 +0 = 50

1

50 + 1(15) = 50 + 15 = 65

2

50 + 2(15) = 50 + 30 = 80

:

:

:

:

z

50 + z(15) = 15z + 50

Luego entonces la expresión algebraica de la relación es

S(z) = 15z + 50

, donde S es el salario del empleado y z es el número de pares de zapatos vendidos.

(13)

I

z 0 1 2 S (salario en pesos)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 1 2 3

(número de pares vendidos)

ZZZZZZZZZZ

Observa que las expresiones algebraicas de las relaciones anteriores son:

C(b) = 2b

S(z) = 15z + 50

Que podemos generalizar como f(x) = mx + bque corresponde a la expresión algebraica de una función lineal.

En las relaciones revisadas anteriormente las variables independientes tienen valores enteros, por lo que se les denominan como variables discretas. Así por ejemplo cuando contamos el número de goles que se anotan en un juego de fútbol decimos que pueden ser cero, uno, dos, tres o más goles, pero no podemos decir que se anota un gol y medio o un cuarto de gol. Analicemos ahora algunas relaciones en las que a la variable independiente se le asigna cualquier valor, si medimos el tiempo que tarda un móvil en recorrer 100 km podemos notar que lo puede hacer en 65 minutos pero también puede tardar 66 o puede realizar un tiempo de 65.5 minutos, o podría ser en 65.3 minutos, es decir, la variable toma cualquier valor incluyendo los enteros.

A las funciones que tienen una variable no discreta, como por ejemplo la anterior, las llamamos funciones de variable continua.

Estudiemos el siguiente ejemplo. El precio de una motocicleta nueva es de $ 60 000 y se devalúa

$ 1000 por mes, es decir, su precio decrece linealmente con el tiempo. Observa que la variable independiente es el tiempo medido en el número de meses transcurridos y la variable dependiente es el costo actual de la motocicleta.

(14)

Número de

meses Costo de la motocicleta

1 60 000 – 1 000 = 60 000 – 1(1 000) = 59 000 2 60 000 – 2 000 = 60 000 – 2(1 000) = 58 000 3 60 000 – 3 000 = 60 000 – 3(1 000) = 57 000 4 60 000 – 4 000 = 60 000 – 4(1 000) = 56 000 5 60 000 – 5 000 = 60 000 – 5(1 000) = 55 000 6 60 000 – 6 000 = 60 000 – 6(1 000) = 54 000

t 60 000 – t(1 000) = 60 000 – 1 000t

Las variables que intervienen en la función son el tiempo dado en meses y el costo de la motocicleta en pesos, ambas variables son de tipo continuo.

La variable independiente se ubica sobre el eje de las abscisas (horizontal) y la variable dependiente sobre el eje de las ordenadas (vertical). Por lo que, si elaboramos la gráfica se tiene:

Número de meses

1

2

3

4

5

6

C (pesos)

53,000 54,000 55,000 56,000 57,000 58,000 59,000 60,000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 t (meses)

Los puntos se pueden unir mediante una recta ya que la variable tiempo es continua.

Como recordarás, una función es una relación de dependencia entre dos variables, de tal manera que al dar un valor a una de ellas queda determinado el valor de la otra, esto es que a cada valor de la primera (variable independiente) le corresponde un sólo valor de la segunda (variable dependiente).

En una función a todos los valores de la variable independiente se les llama dominio y los valores de la variable dependiente se les llama contradominio.

(15)

I

Estudiemos el siguiente ejercicio.

En el año de 1995 se construyó una casa cuyo costo fue de $ 230 000 y su súperavit (incremento en su costo) es de $ 20 000 por año. Al elaborar una tabla del costo después de transcurridos 1, 2, 3, 4, 5 y 6 años obtenemos:

Número

de años Costo de la casa

1 230 000 + 20 000 = 230 000 + 1(20 000) = 250 000 2 230 000 + 40 000 = 230 000 + 2(20 000) = 270 000 3 230 000 + 60 000 = 230 000 + 3(20 000) = 290 000 4 230 000 + 80 000 = 230 000 + 4(20 000) = 310 000 5 230 000 + 100 000 = 230 000 + 5(20 000) = 330 000 6 230 000 + 120 000 = 230 000 + 6(20 000) = 350 000

t 230 000 + t(20 000) = 230 000 + 20 000t

Los valores que intervienen son el número de años y el costo de la casa. Observa que el costo se incrementa al transcurrir los años.

Su representación gráfica es:

Los puntos se pueden unir mediante una recta ya que, la variable tiempo es continua. Su gráfica es una recta y le corresponde la expresión algebraica:

C(t) = 230 000 + 20 000t

4 2

0

270 000

250 000

230 000

c (pesos)

t (años)

(16)

EJERCICIOS

INSTRUCCIONES: Lee con atención el siguiente ejercicio, complementa llenando el cuadro y anotando sobre las líneas la repuesta a las interrogantes.

Carlos Contreras estudiante del Colegio de Bachilleres México aborda un radio taxi en la Colonia San Rafael cuya tarifa es de $ 20 en el horario de 6:00 A.M. a las 20:00 P.M. y por cada minuto le cobran $ 1.30

1.- Completa la siguiente tabla para mostrar el costo del viaje en el radio taxi después de recorrer 5, 10, 15 y 20 minutos.

Minutos

transcurridos Costo al transportarse en el radio taxi

1

20 + 1(1.30) = 20 + 1.30 = 21.30

5

10

15

20

25

20 + 25(1.30) = 20 + 32.50 = 52.50

2.- Señala las variables que intervienen

3.- ¿Cuál de las magnitudes corresponde con la variable independiente y cuál con la variable dependiente?

4.- Construye la gráfica

5.- ¿La relación corresponde a una función?

6.- ¿A qué tipo de función corresponde?

(17)

I

INSTRUCCIONES: Lee con atención los siguientes reactivos y escribe en el paréntesis de la izquierda la letra que corresponda a la respuesta correcta. Realiza tus operaciones en hojas aparte.

8.- ( ) ¿Qué valor tiene la función

f

(

x

)

15

3

x

cuando x = - 4?

a)

3

b)

12

c)

27

d)

60

9.- ( ) La gráfica de la función

f

(

x

)

3

x

2

es:

(18)

10.- ( ) Observa la gráfica

Los valores de su dominio son:

a)

de – 2 a 2

b)

de 0 a 2

c)

de 2 a 6

d)

de – 6 a 6

11.- ( ) Un barco de carga tiene un tanque de almacenamiento para combustible de 2 500 litros. Al navegar cada día consume 150 litros de combustible. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa la cantidad del tanque después de que ha recorrido t días?

a)

C

(

t

)

2500

150

t

b)

C

(

t

)

2500

t

c)

C

(

t

)

2500

150

t

d)

t

150

2500

)

t

(

C

12.- ( ) Un rectángulo tiene 3m más de largo que de ancho, ¿cual es la expresión algebraica que representa su perímetro?

a)

f

(

x

)

x

(

x

3

)

b)

f

(

x

)

2

x

3

c)

f

(

x

)

2

x

6

d)

f

(

x

)

4

x

6

2

y

6

(19)

I

TABLA DE COMPROBACIÓN

Número de pregunta

Respuesta Correcta

1

Minutos

transcurridos Costo al transportarse 1 20 + 1(1.30) = 21.30 5 20 + 5(1.30) = 26.50 10 20 + 10(1.30) = 33.00 15 20 + 15(1.30) = 39.50 20 20 + 20(1.30) = 46.00 25 20 + 25(1.30) = 52.50

2

Las variables que intervienen en este problema es el tiempo medido en minutos y la tarifa del taxi por banderazo más el costo por minuto.

3

La variable independiente es el tiempo que

permanece Carlos en el taxi y la dependiente es el costo del traslado.

4

5 Si, ya que a cada número de minutos transcurridos le corresponde un costo.

6 A una función lineal.

7

C

(

t

)

20

1

.

30

(

t

)

8 c

9 a

10 b

11 c

12 d

20 15

10

x y

5 50

40

30

20

(20)
(21)

I

1.1.2 FUNCIÓNES CUADRÁTICAS

Hemos estudiado algunos fenómenos que tienen un comportamiento lineal, cuya gráfica es una línea recta, existen otros fenómenos, tales como el tiro parabólico, construcción de puentes, excavación de túneles entre otros. Para analizarlos se emplea como modelo de resolución la función cuadrática.

Para estudiar a la función de segundo grado resolvamos el siguiente problema. Una mosca al volar describe una trayectoria definida por la expresión P(t) = 4t – t2

, en donde P(t) es la posición de la mosca que depende del tiempo t. Una araña se encuentra en un punto que ubicamos mediante las coordenadas (6,0). ¿En qué lapso de tiempo la mosca asciende en su trayectoria? ¿En qué momento su altura es máxima? ¿Cuál es la altura máxima que alcanza? ¿En qué intervalo de tiempo desciende? ¿En qué punto inicia el vuelo y en dónde termina? ¿Se encuentra con la araña?

Elaboremos una tabla y su gráfica correspondiente.

Observa que el inicio del vuelo de la mosca o tiempo cero se encuentra en el punto (0,0); entre cero y dos segundos su trayectoria es ascendente, es decir los valores de su posición crecen hasta alcanzar su máxima altura, que en la gráfica corresponde al punto de coordenadas (2,4). Entre dos y cuatro segundos su trayectoria va descendiendo, sus valores decrecen y regresa al piso en el punto (4,0), por lo tanto no se encuentra con la araña.

APRENDIZAJES

 Construir la gráfica de la función cuadrática.

 Interpretar la gráfica de la función cuadrática.

 Conocer las características de la función cuadrática.

 Resolver problemas cuyo modelo de solución sea una función cuadrática.

t P(t)

0 0

1 3

2 4

3 3

4 0

P(t) (Posición en metros)

0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6 7 8

(22)

Con esta información se contesta las preguntas anteriores.

¿En qué lapso de tiempo la mosca asciende en su trayectoria? Entre cero y dos segundos. ¿En qué momento su altura es máxima? A los dos segundos.

¿Cuál es la altura máxima que alcanza? Cuatro metros.

¿En qué intervalo de tiempo desciende? Entre dos y cuatro segundos.

¿En qué punto inicia el vuelo y en dónde termina? Inicia en cero y termina en cuatro. ¿Se encuentra con la araña? No ya que la araña esta ubicado en las coordenadas (6,0) De acuerdo a lo anterior podemos afirmar que las funciones cuadrática o de segundo grado se caracterizan porque:

a) Su expresión algebraica tiene la forma f(x) = ax2 + bx + c. Al igual que en la función lineal, al asignarle valores a la variable independiente se obtienen los valores de la variable dependiente; es importante resaltar que en la expresión algebraica se tienen tres términos, de los cuales pueden faltar dos, excepto el término cuadrático. Por ejemplo, la expresión puede tener la forma f(x) = ax2 + bx en donde falta el término independiente, f(x) = ax2 en donde falta el término lineal y el término independiente. b) La gráfica de la función de segundo grado o cuadrática es una parábola. Si el coeficiente del término

de segundo grado es un número positivo, las astas de la parábola abren hacia arriba y se dice que es cóncava hacia arriba o de concavidad positiva; en caso de que el signo sea negativo se dice que es cóncava hacia abajo o de concavidad negativa y las astas abren hacia abajo.

c) Si la parábola tiene concavidad positiva la función es decreciente hasta alcanzar un valor mínimo para luego ser creciente. Si tiene concavidad negativa la función es creciente hasta alcanzar un valor máximo para luego ser decreciente.

d) El punto donde se encuentra el mínimo o máximo se denomina vértice de la parábola. Para determinar la abscisa del vértice utilizamos la expresión

a

2

b

x

, para calcular ordenada sustituimos este valor en la función.

e) Los valores de la abscisa para los cuales la ordenada es cero se llaman raíces de la ecuación o ceros de la función. Si la parábola corta al eje de las abscisas en dos puntos se dice que tiene dos raíces; si la corta en un solo punto tiene una y si no la corta no tiene raíces. Se dice que las raíces de una función son los valores de la variable para los cuales la función es cero. Para determinar el número de ceros de una función a partir de su expresión algebraica, utilizaremos el concepto de discriminante que fue analizado en la ecuación de segundo grado trabajada en la guía de Matemáticas I. Para obtener los valores que satisfacen a la ecuación de segundo grado se

empleó la fórmula general

a

2

ac

4

b

b

x

2

a la expresión b2 – 4ac que aparece dentro del

signo del radical se le denomina discriminante (D).

El discriminante nos permite analizar los tres casos que se pueden presentar en una ecuación cuadrática, de tal manera que si:

a)

b

2

– 4ac

, es un numero positivo las raíces son dos reales y diferentes.

b)

b

2

– 4ac

, es un numero negativo las dos raíces son imaginarias.

(23)

I

Utilicemos los conceptos anteriores para resolver el siguiente ejercicio.

Una función de segundo grado está definida mediante la expresión f(x) = x2 – 2x – 8 con valores para la variable independiente de –3 a 5. Determinaremos las coordenadas del vértice, número de raíces, valor de las raíces, gráfica, si la función es creciente o decreciente y si tiene máximo o mínimo y signo de la concavidad.

Calculemos el valor de la abscisa del vértice, sabiendo que a = 1, b = –2 sustituyéndolo en

a

2

b

x

)

1

(

2

)

2

(

2

2

=

1

Para calcular el valor de la ordenada sustituimos este valor en la función

 

1

1

2

(

1

)

8

f

2

= 1 – 2 – 8 = – 9

Por lo tanto las coordenadas del vértice son: V(1 , –9).

Para determinar el número de raíces sustituimos el valor de a, b y c en

D = b

2

– 4ac = (–2)

2

– 4(1)( – 8) = 4 + 32 = 36

Como el discriminante es un numero positivo las raíces son dos reales y diferentes, entonces la función tiene dos ceros.

Para calcular las raíces utilicemos la fórmula general

a

2

ac

4

b

b

x

2

en donde a = 1, b = –2 y c = –8

)

1

(

2

)

8

)(

1

(

4

)

2

(

2

2

2

36

2

2

6

2

4

2

8

2

6

2

x

1

2

2

4

2

6

2

x

2

(24)

● ●

● ●

● Con las coordenadas del vértice y de las dos raíces construyamos la gráfica.

x -2 0 1 4 y -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x

Si observamos la grafica podemos afirmar que la función es decreciente para los valores comprendidos entre menos dos y uno, es creciente para los valores entre uno y cuatro, y para x = 1, la función alcanza su valor mínimo.

La concavidad de la función es positiva ya que el signo del coeficiente del término cuadrático es positivo y además porque en la gráfica las astas abren hacia arriba.

Analicemos otro ejemplo:

Un topo se desplaza y en un determinado momento comienza a cavar un túnel con una trayectoria: P(t) = t2 – 6t + 8; donde t es el tiempo en horas. ¿En qué momento iniciará la excavación? ¿Cuál es la profundidad que alcanza? ¿En que punto regresa a la superficie?

Para dar respuesta a estas interrogantes, realicemos una tabla y su respectiva gráfica.

Tiempo (horas)

Profundidad

(metros) Profundidad (metros)

2 0 1

2.2 -0.75 0.75

3 -1 0.5

3.5 -0.75 0.25

4 0 0

-0.25 -0.5 -0.75 -1

(25)

I

Es importante que sepas que las funciones cuadráticas tienen un punto mínimo o máximo, que se puede obtener calculando el vértice. Para determinar la abscisa del vértice utilizamos la expresión

a

2

b

x

, para

calcular la ordenada; sustituimos este valor en la función, hagamos el cálculo en forma analítica. P(t) = t2 – 6t + 8 a = 1 b = –6 c = 8

Para las coordenadas del vértice

)

1

(

2

)

6

(

t

3

2

6

t

, sustituyendo en la función

P(3) = (3)2 – 6(3) + 8

= 9 – 18 + 8 = –1

(26)

EJERCICIOS

INSTRUCCIONES: Lee con atención las siguientes definiciones y anota en la línea la(s) palabra(s) que complete correctamente el enunciado.

1. La función f(x) = 6x – x2

presenta concavidad_____________________________. 2. Las raíces de una función son la intersección con el eje de las__________________.

3. En una función cuadrática las coordenadas del ____________representan al máximo o mínimo. INSTRUCCIONES: Lee con atención los siguientes reactivos y escribe en el paréntesis de la izquierda la letra que corresponda a la respuesta correcta. Realiza tus operaciones en hojas aparte.

4. ( ) La altura h en metros que alcanza una flecha en t segundo después de haber sido lanzada verticalmente hacia arriba desde lo alto de un edificio está dada por la ecuación h(t) = – 6t2

+ 144t + 816 ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por el objeto?

a) 1500 b) 1680 c) 1695 d) 1700

5. ( ) Analiza la siguiente gráfica.

x -3 -1 0 1 y -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x

Su representación algebraica es: a) x2 + 2x –3

b) x2 – 2x –3 c) x2 + 4x –3 d) x2 + 2x –3

6. ( ) Dada la función f(a) = 2a2 + 7a + 3, sus raíces son:

a)

2

1

a

1

a

2

3

b)

2

1

a

1

a

2

3

c)

2

1

a

1

a

2

3

d)

2

1

(27)

I

7. ( ) Una compañía que fabrica extractores de jugos encuentra que sus costos totales al producir x cantidad de artículos son: C(x) = x2 + 120x + 24000. Si cada extractor se vende en $500.00, encuentra el número de extractores que se tienen que producir y vender para que la utilidad sea máxima.

a) 25 b) 60 c) 100 d) 190

8. ( ) Una pintura tiene un marco de 20 cm por 12cm. Si están a la vista 84 cm2 de la pintura, ¿cuál es el ancho del marco?

a) 8 b) 12 c) 20 d) 32

9. ( ) Dada f(x) = 4x – x2 , su gráfica es:

f(x) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-1 0 1 2 3 4 5 x

f(x) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1x

f(x) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 x

f(x) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-1 0 1 2 3 4 5x

10. ( ) De la función f(m) = m2 – 9, las coordenadas de su vértice son: a) (0,0)

b) (0, –3) c) (0,–9) d) (0,9)

11. ( ) La función f(x) = 2x2 –8 – 6x tiene comportamiento creciente en: a) –1 a 4

b) –1 a 0

c)

2

3

a 4 d)

2

3

a 4

(28)

TABLA DE COMPROBACIÓN

Número de Pregunta

Respuesta Correcta

1

negativa

2

abscisas

3

vértice

4

b

5

a

6

d

7

d

8

c

9

a

10

c

(29)

I

f(t) f(t) f(t) f(t)

t

1 2 3

t

1 2 3

3 2 1 0 -1 t –3 –2 –1

AUTOEVALUACIÓN

A continuación se te presentan una serie de ejercicios, con la finalidad de que reafirmes tus conocimientos y habilidades para la solución de problemas, utiliza hojas aparte. Cuentas con noventa minutos para realizarlo.

INSTRUCCIONES: Coloca sobre la línea la(s) palabra(s) que complementan el enunciado. 1.- La expresión algebraica de una función lineal es una __________________________. 2.- El dominio son los valores que corresponden a la variable_____________________. 3.- La expresión algebraica de una función cuadrática es:_________________________.

4.- El punto donde se encuentra el mínimo o máximo se denomina _________________de la parábola. INSTRUCCIONES: Lee cada uno de los ejercicios, escribe en el paréntesis de la izquierda la letra que corresponde a la respuesta correcta.

5.- ( ) La función

f

(

x

)

4

x

cuyo dominio es de – 2 a 2 tiene como contradominio. a) de – 2 a 2

b) de 0 a 2 c) de 2 a 6 d) de 6 a 8

6.- ( ) La gráfica de la función

f

(

t

)

2

t

3

es:

a) b) c) d

7.- ( ) La llamada telefónica a un celular tiene un costo es de $2.50 por minuto. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el costo cuando han transcurrido t minutos?

a)

f

(

t

)

2

.

5

t

b)

f

(

t

)

2

.

5

t

c)

f

(

t

)

2

.

5

t

d)

f

(

t

)

2

.

5

t

3 2 1 0 -1 t

–3 –2 –1

(30)

8.- ( ) Una agencia de renta de autos cobra $ 300.00 por día más $ 3.00 por kilómetro recorrido. ¿Cuántos kilómetros recorrió una persona que pagó $ 825.00?

a) 100 km b) 150 km c) 175 km d) 200 km

9.- ( ) Las coordenadas de las raíces de la función

f

(

x

)

x

2

4

son:

a) x

1

= ( 0 , 0 )

x

2

= ( 0 , 0 )

b) x

1

= (- 1, 0 )

x

2

= ( 1 , 0 )

c) x

1

= ( 0 , - 2 )

x

2

= ( 0 , 2 )

d) x

1

= (- 2 , 0 )

x

2

= ( 2 , 0 )

10.- ( ) La gráfica de la función

f

(

m

)

72

m

2

22

m

es:

a) b) c) d)

11.- ( ) Se tiene 16 m para construir una jaula, ¿cuál es la expresión algebraica que representa su área? a)

f

(

x

)

8

x

x

2

b)

f

(

x

)

8

x

x

2 c)

f

(

x

)

16

x

x

2 d)

f

(

x

)

16

x

x

2

12.- ( ) El costo para producir un artículo esta dado por la expresión

f

(

a

)

a

2

70

16

a

¿cuántos artículos se deben producir para que el costo sea mínimo?

a) 4

b) 8

c) 10

d) 16

m m

4 4 18

f(m) f(m) f(m) f(m)

m -18 m

18

(31)

I

CLAVE DE RESPUESTAS

Número de Pregunta Respuesta Correcta

1 línea recta

2 independiente

3

f

(

x

)

ax

2

bx

c

4 vértice

5 c

6 d

7 b

8 c

9 d

10 b

11 a

(32)
(33)

U

U

n

n

i

i

d

d

a

a

d

d

I

I

I

I

F

(34)
(35)

I

2.1 TEOREMA DE PITÁGORAS

Como recordarás, el curso lo iniciamos con el estudio de las relaciones, establecimos relaciones entre personas como las que se forman entre un padre y sus hijos, entre hermanos, entre los alumnos de un grupo, entre personas y objetos o entre conceptos.

También puedes encontrar relaciones entre los lados y los ángulos de las figuras geométricas, como en el triángulo. Un triángulo esta formado por tres lados y tres ángulos; si atendemos a las medidas de sus ángulos los clasificamos en: acutángulos sus tres ángulos son agudos (miden menos de 90 grados), rectángulos uno de sus ángulos es recto (mide 90 grados) y obtusángulos uno de sus ángulos es obtuso (mide más de 90 grados pero menos de 180 grados), ver figuras:

Obtusángulo Acutángulo Rectángulo

Los triángulos también se clasifican de acuerdo con las longitudes de sus lados en: escalenos (no hay dos lados que tengan la misma medida), equiláteros (sus tres lados tienen la misma medida) e isósceles (sólo dos de sus lados tienen la misma medida).

Escaleno Isósceles Equilátero

Limitemos nuestro estudio a sólo los triángulos rectángulos. Existen tres propiedades importantes asociadas a ellos: La primera referida sólo a las medidas de los ángulos, la segunda sólo a las longitudes

APRENDIZAJES

 Conocer el teorema de Pitágoras

(36)

de los lados y la tercera que relaciona las longitudes de dos de los tres lados del triángulo con la medida de uno de los dos ángulos agudos.

Iniciemos con el estudio de la segunda propiedadque únicamente asocia a las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo, comúnmente conocida como Teorema de Pitágoras, el cual afirma que: el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual al cuadrado de la longitud de uno de los catetos sumado con el cuadrado de la longitud del otro cateto, es decir:

2 2

2

cateto

cateto

hipotenusa

A los lados que forman el ángulo de 90° se les conoce como catetos y al otro lado, como hipotenusa (lado de mayor longitud), ver figura.

Hipotenusa cateto

cateto

Analicemos la figura y veamos si corresponde a un triángulo rectángulo.

Hipotenusa = 12 12 11 cateto1 = 11

cateto2 = 10

10

hipotenusa2 = cateto1 2

+ cateto2 2

12

2

= 11

2

+ 10

2

144 = 121 + 100

144 = 221

(37)

I

Veamos otro caso en donde aplicaremos de manera directa el teorema.

5

3

4

5

2

= 3

2

+ 4

2

25 = 9 + 16

25 = 25

Como la igualdad se satisface significa queeste triángulo es rectángulo.

El teorema de Pitágoras también es utilizado para resolver problemas cuando conocemos dos de sus lados, por ejemplo:

En la figura ¿Cuál es la altura de la torre?

80 m

Haciendo un análisis notamos que en el triángulo rectángulo que se forma, nos proporcionan el valor de la hipotenusa y el valor de uno de los catetos, entonces aplicando el teorema de Pitágoras tenemos que:

x

2

+ 80

2

= 150

2

x

2

+ 6400 = 22500

x

2

= 22500 – 6400

x

2

= 16100

x =

16100

x = 126.8858 que es la altura de la torre

(38)

Resolvamos otro problema en el que nos proporcionan los valores de los catetos y debemos calcular el valor de la hipotenusa.

Un avión al despegar recorre en diagonal una distancia “x” en km, si la altura que alcanza en determinado momento es 800 m cuando de manera horizontal ha avanzado 2000 m la distancia “x” que recorre es: Al construir un dibujo que describa el enunciado del problema tenemos la siguiente figura.

x

800 m

2000 m

2000

2

+ 800

2

= x

2

4000000 + 640000 = x

2

4640000 = x

2

4640000

= x

2154.07 = x

(39)

I

EJERCICIOS

INSTRUCCIONES: Lee con atención los siguientes reactivos y escribe en el paréntesis de la izquierda la letra que corresponda a la respuesta correcta. Realiza tus operaciones en hojas aparte.

1. ( ) Utilizando el Teorema de Pitágoras señala, ¿cuál de las siguientes ternas corresponden con las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo?

a) 10, 12, 14 b) 7, 8, 15 c) 6, 8, 10 d) 5, 7, 9

2. ( ) Analiza la figura.

1500 m

La distancia que recorre el Teleférico (valor de “x”) es: a) 1920.94

b) 920.94 c) 1400.9 d) 1300.9

1200m

(40)

3. ( ) Analiza la figura.

Aplicando el teorema de Pitágoras la altura del árbol es:

a) 199.7m b) 7m c) 57m d) 19.97m

4. El lado mayor de un triángulo rectángulo recibe el nombre de _______________.

5. El ángulo de 90º está formado por los lados llamados _____________________

.

6. En un triángulo rectángulo el lado mayor mide 13 m y uno de los lados menores mide 12 m por lo que el otro lado mide _______________.

x 32m

(41)

I

TABLA DE COMPROBACIÓN

Número de pregunta Respuesta correcta

1 c

2 a

3 d

4 hipotenusa

5 catetos

(42)

2.2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Ahora estudiemos la propiedad que relaciona sólo a las medidas de los ángulos de un triángulo rectángulo. Como recordarás, la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 180°, un triángulo es rectángulo porque uno de sus ángulos es recto, es decir mide 90°, luego entonces los otros dos necesariamente son agudos y además, la suma de estos es de 90°, que sumados a los 90° del ángulo recto dan 180° (ver figura).

B

C

90

0

La siguiente propiedad que estudiaremos, se caracteriza por asociar a la longitud de dos de los tres lados de un triángulo rectángulo con la medida de uno de los ángulos agudos y que conocemos como razones trigonométricas.

Considera el triángulo rectángulo siguiente.

Las longitudes de sus lados son 3, 4 y 5 respectivamente y los ángulos agudos son W y Q. Todas las posibles razones entre los valores 3, 4 y 5 son:

4/5, 3/5, 4/3, 3/4, 5/3, 5/4,

90°

W

A

Q

3

4

5

90°

W

A

Q

3

4

5

90°

B

A

C

90°

B

A

C

APRENDIZAJES

 Identificar las razones en el triángulo rectángulo.

 Interpretar la gráfica de las funciones seno y coseno.

 Conocer las características de las funciones seno y coseno.

(43)

I

Al relacionar a cada una de las razones anteriores con uno de los dos ángulos agudos; por ejemplo con el ángulo W tenemos:

) W , 5 4

( seno del ángulo W

) W , 5 3

( coseno del ángulo W

) W , 3 4

( tangente del ángulo W )

W , 4 3

( cotangente del ángulo W

) W , 3 5

( secante del ángulo W

) W , 4 5

( cosecante del ángulo W

Al efectuar el mismo procedimiento para el ángulo Q, se tiene:

)

,

5

3

(

Q

seno del ángulo Q

)

,

5

4

(

Q

coseno del ángulo Q

)

,

4

3

(

Q

tangente del ángulo Q

)

,

3

4

(

Q

cotangente del ángulo Q

)

,

4

5

(

Q

secante del ángulo Q

)

,

3

5

(

Q

cosecante del ángulo Q

Nota: observa que aún cuando las razones son las mismas no es la misma correspondencia de cada razón con el nombre de ella.

(44)

agudo

ángulo

al

adyacente

cateto

del

longitud

la

la

de

longitud

la

la

de

longitud

la

agudo

ángulo

al

opuesto

cateto

del

longitud

la

agudo

ángulo

un

de

gente

hipotenusa

agudo

ángulo

un

de

eno

hipotenusa

agudo

ángulo

al

opuesto

cateto

del

longitud

la

agudo

ángulo

un

de

seno

tan agudo ángulo al adyacente cateto del longitud la cos

agudo

ángulo

al

opuesto

cateto

del

longitud

la

agudo

ángulo

al

adyacente

cateto

del

longitud

la

agudo

ángulo

al

opuesto

cateto

del

longitud

la

hipotenusa

agudo

ángulo

un

de

ecante

hipotenusa

agudo

ángulo

un

de

ante

agudo

ángulo

un

de

angente

la de longitud la la de longitud la agudo ángulo al adyacente cateto del longitud la cos sec cot

Aplicando la definición de las razones trigonométricas resolvamos el caso en el que se conoce el ángulo y uno de sus lados es desconocido. Por ejemplo, tan 35º

x

12

(45)

I

Para calcular el valor de x , procederemos como sigue:

x : tenemos decimales cifras dos a o redondeand 35 tan 14 . 17 700207538 . 0 12 12 12 35 tan 12 35 tan         x x x x

Análisis de las funciones seno y coseno.

En el apartado anterior estudiamos las razones trigonométricas, las cuales pueden ser expresadas con un solo número. Por ejemplo la razón de 3 a 5 ó

5 3

, podemos expresarla como el número 0.6, o sea

6

.

0

5

3

Por lo que podemos escribir:

(15°, sen) 0.258819045 sen 15° = 0.258819045 (30°, sen) 0.500000000 sen 30° = 0.5

(45°, sen) 0.7071067 sen 45° = 0.7071067 (60°, sen) 0.866025403 sen 60° = 0.866025403

Generalizando este procedimiento ( x, sen ) y o y = sen x

Observemos que la variable es el ángulo x, la función es seno y el número y es el valor asociado a esta función con respecto a este ángulo.

De esta manera a las razones trigonométricas que estaban vinculadas a un triángulo rectángulo, las hemos expresado como una función que en lo sucesivo las denominaremos como funciones

trigonométricas y a las que no necesariamente identificaremos con un triángulo rectángulo.

(46)

14

x y

.

6 0 º 1 2 0 º 1 8 0 º 2 4 0 º 3 0 0 º

3 6 0 º

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

- 6 0 º

.

1

-1

x 0º - 30º - 60º - 90º - 120º - 150º - 180º - 210º - 240º - 270º - 300º - 330º - 360º y = senx 0 -0.5 -0.9 -1 -0.9 -0.5 0 0.5 0.9 1 0.9 0.5 0

x 0º 30º 60º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º y = senx 0 0.5 0.9 1 0.9 0.5 0 -0.5 -0.9 -1 -0.9 -0.5 0

Al analizar la gráfica podemos observar que:

Las coordenadas de los puntos máximos son: (-270º , 1) y (90º , 1) Las coordenadas de los puntos mínimos son: (- 90º , -1) y (270º , -1) Los ceros de la función son: x1 = - 360º x2 = - 180º x3 = 0

o

x4 = 180º x5 = 360º

La función seno es creciente para los valores de ángulos comprendidos entre -360º a -270º, -90º a 90º y 270º a 360º .

La función seno es decreciente para valores de ángulos comprendidos entre –270º a –90º, y entre 90º a 270º

Con los resultados obtenidos podemos afirmar que hay intervalos o periodos donde la función tiene el mismo comportamiento, por lo que, se le denomina función periódica.

Revisemos ahora la función coseno, para lo cual construiremos una tabla tomando valores de 60º en 60º x -360 -300 -240 -180 -120 -60 0 60 120 180 240 300 360 y =

cosx

1 0.5 -0.5 -1 -0.5 0.5 1 0.5 -0.5 -1 -0.5 0.5 1

(47)

I

Al analizar la gráfica de la función coseno podemos observar que:

Las coordenadas de los puntos máximos son: (-360º , 1) ( 0o, 1) y (360º , 1) Las coordenadas de los puntos mínimos son: (-180º , -1) y (180º , -1) Los ceros de la función son: x1 = - 270º x2 = - 90º x3 = 90

0

x4 = 270º

La función coseno escreciente para los valores de ángulos comprendidos entre -180º y -0º, 180º y 360º La función coseno es decreciente para valores de ángulos comprendidos entre –360º a –180º, y entre 0º a 180º

También en la función coseno hay intervalos o periodos donde la función tiene el mismo comportamiento, por lo que, la denominamos función periódica.

Resolución del triángulo rectángulo.

Hemos revisado algunas relaciones que se dan en un triángulo rectángulo, ahora resolveremos algunos problemas empleando el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente. 1. Para la construcción de los distribuidores viales, fue necesario emplear grúas para colocar las piezas de concreto como se ilustra en la siguiente figura.

1

-1

x Y

60º 120º 180º 240º 300º 360º

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

-60º -120º

-180º -240º

-300º

-360º 0º

1

(48)

q

40

30 A

B

C

q

40

30 A

B

C

Uno de los ingenieros desea saber a qué ángulo debe colocar la grúa para poder levantar la pieza que formará el puente y también cuánto debe enredar el cable para que la pieza quede exactamente en el punto C.

Antes de tratar de resolver el problema, es necesario leer cuidadosamente el enunciado e identificar en la figura que te proporcionan los elementos que intervendrán en su solución.

Acción Representación gráfica o matemática

Primero observa que en la figura se forma un triángulo que mide 30 pies en uno de sus lados (AC) y 40 en la hipotenusa(AB).

40 pi es

30 pies

10 pies

q

40 pi es

30 pies

10 pies

q

(49)

I

Acción Representación gráfica o matemática

Para definir el ángulo al que se deberá colocar la grúa para poder levantar la pieza que formará el puente, tendrás que recordar las posibles razones que se pueden establecer con los lados de un triángulo rectángulo.

Como conoces el cateto adyacente y la

hipotenusa lo recomendable es utilizar la razón correspondiente a cos q

75 . 0 4 3 40 30 h ca

cosq    4 2 41 40 . 41 75 . 0 1 cos ¨      q

Ahora debemos contestar la siguiente pregunta: ¿Cuál es el número de metros que debe

enredarse el cable para colocar la pieza en el punto C? En este caso la medida que deseamos calcular es la de BC que corresponde al cateto opuesto.

Recordarás que las razones trigonométricas que incluyen al cateto opuesto son sen q y tanq cualquiera te permitirá determinar la medida buscada.

h co senq 

40 co 4 2 41

sen    44 . 26 ) 6613 (. 40 ) 4 2 41 sen ( 40

co    

ca co tanq 

30 co 4 2 41

tan   

44 . 26 ) 8816 (. 30 ) 4 2 41 (tan 30

co    

2. Calculemos el ángulo A y el lado desconocido de un triángulo rectángulo en el que se conoce que una razón trigonométrica es

9 5 senA

Al analizar esta expresión podemos afirmar que 5 corresponde con la longitud del cateto opuesto al ángulo A, y que 9 es la hipotenusa. Con esto podemos construir el siguiente triángulo:

(50)

Para calcular la medida del ángulo A utilizaremos el siguiente procedimiento:

9 5

senA con una calculadora obtienes el valor de ) 9 5 ( invsen

A=33° 44’ 56.36”

Para obtener la medida del lado desconocido podemos emplear el teorema de Pitágoras

52 + L2 = 92

25 + L2 = 81

L2 = 81 – 25

L2 = 56

L =

56

L = 7. 48

3. Un grupo de estudiantes acuden a un billar y se retan a efectuar el siguiente tiro: la bola blanca deberá golpear a la bola que se encuentra en la banda opuesta, como se muestra en la figura. Uno de ellos señala que lo hará auxiliándose de los conocimientos aprendidos en su curso de trigonometría y que primero determinará la distancia en la que debe golpear la banda lateral y con ello el ángulo en que deberá hacerlo. ¿Podrías verificar que tiene razón? ¿Por qué?

Como abras observado en la figura que se te proporcionó x es la distancia del punto donde la pelota toca la banda a la esquina izquierda. En los cursos de física que has tomado te señalaron que las medidas de los ángulos de reflexión y de incidencia son iguales, por lo que, podrás observar que ambos ángulos miden

q. Para resolver este problema efectúa el siguiente procedimiento.

Acción Representación gráfica o matemática

Primero observa que en la figura se forman dos ángulos

Ahora dibuja los triángulos que observas, ambos son rectángulos.

x 1.70 - x

.70 .60

q q

x 1.70 - x

.70 .60

q q

x 1.70 M-x

q

q

4

q

q

4

(51)

I

Como ambos ángulos tienen la misma

medida entonces se cumple que: Esto significa que :

q

tan

x

.

60

y

tan

q

x

.

.

70

1

70

x

.

.

x

.

70

1

70

60

Para resolver esta ecuación multiplica sus

términos en cruz

.

60

(

1

.

70

x

)

x

(.

70

)

Al aplicar la propiedad asociativa y realizando las operaciones obtenemos:

x

.

x

.

.

02

60

70

1

7846

30

1

02

1

30

1

02

1

60

70

02

1

.

.

.

x

x

.

.

x

.

x

.

.

Recordarás que

tan

q

x

.

60

entonces sustituyendo el valor que obtuviste de x se tiene que:

q

tan

.

.

7846

60

tan

q

.7647

40

37

7647

1

.

.

tan

q

37°24

Como ambas expresiones me permiten calcular el valor de q entonces:

7646

9154

70

7846

70

1

70

70

1

70

.

.

.

tan

tan

.

.

.

tan

x

.

.

q

q

q

4

2

37

40

37

7646

1

.

.

tan

q

4. Al realizar una práctica de campo varios alumnos de la asignatura de Ecología observaron dos águilas que salían de su nido y uno de ellos reto a los demás para que calcularan la distancia entre el nido del águila y la cima del risco. ¿Podría hacerlo tú? Para ello toma en consideración que estás colocado a 30 metros de la base del risco y que los ángulos de elevación son 40° y 47° al nido y cima del risco respectivamente.

40°

47°

40°

(52)

En la figura proporcionada puedes generar dos triángulos que te permitirán determinar la distancia del nido a la cima por lo que te recomendamos lo siguiente:

Acción Representación gráfica o matemática

Lee cuidadosamente el problema e identifica los datos.

Conocemos la medida de la base de ambos triángulos y los ángulos que forman el primero con el nido y el segundo con la cima del risco.

Ahora dibuja los dos triángulos rectángulos.

Tomemos el primer triángulo y calculemos la distancia del piso al nido.

 tan40 30 CO . 25.17 (30) 0.8390) ( ) 30 ( 40 tan

CO   

Como segunda actividad consideremos el segundo triángulo y calculemos la distancia del piso a la cima del risco.

 tan47 30 CO . 32.16 (30) 1.0723 ( ) 30 ( 47 tan

CO   

Recordemos que el problema nos solicita la distancia del nido a la cima del risco por lo que, es necesario calcular la diferencia entre la distancia del piso a la cima del risco y la distancia del piso al nido.

m 6,99 17 . 25 16 . 32 risco del cima la a nido del cia tan dis  

5. Dos jóvenes fueron de excursión y visitaron el Pico de Potosí en el municipio de Galeana en Monterrey Nuevo León, ambos discutían sobre la altura que tiene. Para argumentar su respuesta se colocaron a una distancia de 2500 m entre ellos y con un ángulo de elevación con respecto a su cima de 35° y 59°; llegando a la conclusión de que es aproximadamente igual a 3021 m. ¿Tienen razón? Argumenta tu respuesta.

Para resolver este tipo de problemas debes tener en cuenta tus capacidades para ordenar, interpretar y clasificar información. En principio es necesario que te preguntes, ¿los datos que me proporcionan son suficientes para resolverlo?

47°

47°

30 m

47°

47°

30 m

59° 35°

A

D

x

C

y

59°

35°

A

D

x

C

y

40° 40°

(53)

I

Acción Representación gráfica o matemática

Lee cuidadosamente el problema e identifica los datos.

Conocemos la medida de la base del triángulo ABD , los ángulos A y D.

Observa que este triángulo no es rectángulo.

La teoría desarrollada hasta el momento solo te permite trabajar con triángulos rectángulos. ¿Tienes triángulos rectángulos? Observa la figura cuidadosamente y la respuesta es afirmativa ya que ABC y DBC lo son, ahora dibújalos.

Tomemos el primer triángulo y determinemos la expresión que nos permite calcular el valor de la altura.

x

y

ca

co

tan

59

tan

q

) 6642 . 1 ( x 59 tan x

y   y1.6642x

Como segunda actividad considera el segundo triángulo y obtén la ecuación que te permite calcular la altura.

2500

35

tan

tan

x

y

ca

co

q

35 tan ) 2500 x (

y   y(x2500)(.7002) 5 . 1750 x 7002 . 0 ) 7002 )(. 2500 ( x 7002 . 0

y   

 y0.7002x1750.5 Recordemos que el problema nos solicita la

altura del Pico de Potosí, por lo que independiente de la colocación de ambos jóvenes la altura siempre será la misma. Entonces puedes igualar las dos ecuaciones anteriores: 87 . 1815 x 964 . 0 5 . 1750 x 5 . 1750 x 964 . 0 5 . 1750 x 7002 . 0 x 6642 . 1 5 . 1750 x 7002 . 0 y x 6642 . 1         B

A 35° D

B C D 59° x y A B C 35°

x + 2500

(54)

Sin embargo, en el problema nos solicitan la altura, por lo tanto, es necesario que realices la

sustitución del valor de x en alguna de las dos ecuaciones obtenidas al inicio del problema.

97 . 021 , 3 y 5 . 1750 47 . 1271 y 5 . 1750 ) 87 . 1815 ( 7002 . 0 y 5 . 1750 x 7002 . 0 y       

También lo puedes hacer de la siguiente manera: 97 . 3021 ) 87 . 1815 ( 6642 . 1 x 6642 . 1

(55)

I

EJERCICIOS

INSTRUCCIONES: Lee con atención los siguientes reactivos y escribe en el paréntesis de la

izquierda la letra que corresponda a la respuesta correcta. Realiza tus operaciones en hojas aparte

1. ( ) Observa cuidadosamente la imagen.

La altura h de la torre Eiffel es: a) 301.99 m

b) 312.5 m c) 309.60 m d) 391 m

2. ( ) Analiza la figura

La altura h del helicóptero es: a) 16.7 km

b) 167 km c) 1.67 km d) 1.677 km

12 km

8

0

h

h

Figure

figura que te proporcionan los elementos que intervendrán en su solución.

figura que

te proporcionan los elementos que intervendrán en su solución. p.48
figura cuidadosamente y la respuesta es afirmativa  ya que ABC y DBC lo son, ahora dibújalos

figura cuidadosamente

y la respuesta es afirmativa ya que ABC y DBC lo son, ahora dibújalos p.53