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Tema 5. Ecuaciones diferenciales exactas y factores integrantes. 5.1 Introducción. Hasta ahora hemos estudiado diversos tipos de EDOs de primer orden y en función del tipo de ecuación hemos procedido mediante un determinado método de resolución. Lo que planteamos en este tema es un método de resolución que podŕıamos intentar llevar a cabo con cualquier ecuación diferencial de primer orden, pero que, lamentablemente, solo da resultado en ciertos casos. De hecho funciona con ciertas ecuaciones que inicialmente no son reconocibles hasta que se realizan ciertas comprobaciones; estas son las ecuaciones diferenciales exactas.. Para motivar el tipo de ecuaciones que vamos a estudiar consideramos, como referencia, el caso conocido de las ecuaciones de variables separadas (estudiadas en el tema 3):. q(x(t))x!(t) = p(t) (de forma abreviada: q(x)x! = p(t)),. donde las funciones p y q son funciones continuas en ciertos intervalos It e Ix. Para nuestro objetivo una forma más conveniente de escribir la ecuación es. (5.1) !p(t) + q(t)x! = 0.. Vimos que las posibles soluciones de la ecuación (5.1), con gráficas contenidas en It " Ix, vienen dadas impĺıcitamente por ecuaciones del tipo. ! q(x) dx =. ! p(t) dt + C donde C es constante.. Si consideramos la función. (5.2) F : D = It " Ix # R, (t, x) $# F(t, x) = ! q(x) dx !. ! p(t) dt,. podemos afirmar que las soluciones de (5.1) vienen dadas impĺıcitamente por ecuaciones del tipo. (5.3) F(t, x) = C donde F es la definida en (5.2).. 103. 104 Ecuaciones diferenciales exactas y factores integrantes. Observemos que si los intervalos It e Ix son abiertos, el conjunto D es abierto en R 2 y F %. C 1 (D, R). Concretamente verifica:. (5.4) !F. !t (t, x) = !p(t),. !F. !x (t, x) = q(x).. De esta forma la ecuación de variables separadas (5.1) podemos escribirla en forma abreviada como. (5.5) !F. !t (t, x) +. !F. !x (t, x)x! = 0. y resulta que sus soluciones vienen definidas impĺıcitamente por ecuaciones del tipo F(t, x) = C.. Teniendo en cuenta la expresión (5.1) vamos a considerar EDOs de primer orden del tipo. M(t, x(t)) + N(t, x(t))x!(t) = 0. que en forma abreviada escribimos aśı:. (5.6) M(t, x) + N(t, x)x! = 0.. De hecho, (5.6) es una EDO de primer orden en forma impĺıcita, pero cualquier EDO de primer. orden expĺıcita x! = f(t, x) se puede escribir de esta forma, donde M(t, x) = !f(t, x), N(t, x) = 1.. En ocasiones nos encontramos con EDOs de primer orden expĺıcitas escritas directamente aśı:. x! = g(t, x). h(t, x). y está claro que podemos escribirla de la forma dada en (5.6), siendo M(t, x) = !g(t, x) y N(t, x) = h(t, x). Obsérvese que en estos casos la función N verifica N(t, x) &= 0 para cada (t, x). Aśı, por ejemplo, la ecuación. x! = !x2. 2tx + sen x. podemos escribirla como x2 + (2tx + sen x)x! = 0. si bien hay que tener en cuenta que cualquier solución de la primera es solución de la segunda pero no al revés, dado que en la segunda estamos permitiendo que una solución x verifique que 2tx(t)+sen x(t) = 0 en un punto t de un intervalo de definición, lo que está prohibido en la primera ecuación.. Lo que śı está claro es que cualquier EDO de primer orden expĺıcita x! = f(t, x) es un caso particular de (5.6) y que si N(t, x) &= 0 para cada (t, x), la ecuación (5.6) es equivalente a una ecuación expĺıcita x! = f(t, x).. A partir de ahora usaremos notaciones abreviadas para las ecuaciones diferenciales.. En principio, nuestro principal objetivo es generalizar los resultados conocidos para ecuaciones de variables separadas (5.1). Teniendo en cuenta lo visto para la resolución de este caso y teniendo como referencia la expresión (5.5), damos la siguiente definición:. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 5.1. Introducción 105. Definición 5.1 (Ecuaciones exactas). Sean D un subconjunto abierto de R2 y M, N : D # R dos funciones continuas en D. Se dice que la ecuación diferencial. M(t, x) + N(t, x)x! = 0. está escrita en forma exacta en D cuando existe una función F % C 1 (D, R) que verifica. (5.7) !F. !t = M,. !F. !x = N en D.. Según lo visto al inicio de esta introducción, cualquier ecuación de variables separadas está escrita en forma exacta.. Observaciones:. 1. Cuando se verifica la condición (5.7) se suele decir que la ecuación (5.6) es exacta. A mi entender es más correcto decir, aunque no es la terminologia habitual, que la ecuación está escrita en forma exacta, dado que una ecuación diferencial, como (5.6), se puede escribir de distintas formas equivalentes y puede suceder que escrita de una forma no sea exacta y escrita de otra forma equivalente śı lo sea. Por ejemplo, esto sucede cuando tenemos una función µ tal que µ(t, x) &= 0 para cada (t, x) % D; en este caso (5.6) seŕıa equivalente a escribirla como. µ(t, x)M(t, x) + µ(t, x)N(t, x)x! = 0.. Precisamente éste es el fundamento de los llamados factores integrantes, que vamos a tratar en la sección 5.4 .. 2. En la definición suponemos que D es abierto para que tengan sentido las derivadas parciales en cualquier punto de D, pero a veces nos encontraremos con una región no abierta y al escribir F % C. 1 (D, R) entenderemos que existe un abierto A en R2 tal que D ' A y tal que. F % C 1 (A, R).. 3. El concepto de exactitud se podŕıa independizar de las teoŕıa de las ecuaciones diferenciales. Supongamos que tenemos un par de funciones M, N : D # R (funciones escalares) y conside- ramos la función vectorial. (M, N): D # R 2 , (t, x) $# (M(t, x), N(t, x)),. lo que en F́ısica se llama campo vectorial. Decir que existe F % C 1 (D, R) que verifica la. condición (5.7) significa que existe F % C 1 (D, R) cuyo gradiente (F verifica (F = (M, N) .. En F́ısica, a una función con la propiedad anterior se le llama función potencial del campo vectorial (M, N) y, en este caso, se puede decir que (M, N) es exacto en D.. 4. En muchos textos dirigidos a f́ısicos, ingenieros y también a matemáticos, una ecuación dife- rencial como (5.6) se puede encontrar escrita aśı:. M(t, x)dt + N(t, x)dx = 01. 1Conviene aclarar que esta “forma diferencial” de expresar una ecuación diferencial ha sido la usual (y posiblemente la única) desde los oŕıgenes de la teoŕıa hasta fechas más bien recientes: el propio nombre ecuación diferencial indica que se trata de una ecuación entre “diferenciales”.. 106 Ecuaciones diferenciales exactas y factores integrantes. y dicen que la forma diferencial M(t, x)dt+N(t, x)dx (¿que entendemos por esto?) es exacta cuando sucede (5.7), es decir, cuando la forma diferencial se puede escribir aśı:. !F. !t dt +. !F. !x dx,. pues, en tal caso, lo anterior coincide con la llamada diferencial de F, notada por dF. Aśı, la ecuación diferencial quedaŕıa escrita como dF(t, x) = 0 y, por tanto, se debe verificar que F(t, x) = C con C constante y ésto nos daŕıa la forma de obtener, de forma imṕıcita, las soluciones x.. ¿Que sentido y rigor matemático tiene todo lo anterior?. Se le podŕıa dar sentido usando el concepto de forma diferencial, pero me parece poco razonable usar esta sofisticada herra- mienta matemática cuando la cuestión planteada se puede tratar de una forma mucho más simple y natural, sin más que aplicar la regla de la cadena.. 5.2 Resolución de ecuaciones exactas y problemas de Cauchy aso- ciados. Vamos a comprobar la ventaja que tiene una ecuación diferencial escrita en forma exacta cuando se quiere determinar sus posibles soluciones o bien las posibles soluciones de problemas de valores ini- ciales asociados. Lo que se ve en esta sección generaliza los resultados vistos en 3.2 para ecuaciones de variables separadas.. Teorema 5.1. Sean M, N : D # R dos funciones continuas en D ' R2 y supongamos que la ecuación diferencial. M(t, x) + N(t, x)x! = 0. está escrita en forma exacta en D, es decir, existe F % C 1 (D, R) tal que (F = (M, N). Sea I un. intervalo en R. Una función derivable x: I # R, con su gráfica contenida en D, es solución de la ecuación diferencial si, y sólo si, existe C % R tal que x viene definida impĺıcitamente en I por la ecuación. (5.8) F(t, x) = C.. Observación: Recordamos que decir que x viene definida impĺıcitamente en I por la ecuación F(t, x) = 0 significa que F(t, x(t)) = 0 para cada t % I.. Prueba. Supongamos, en primer lugar que x es solución de la ecuación en I. Entonces,. (5.9) M(t, x(t)) + N(t, x(t)) x!(t) = 0 para cada t % I.. o, equivalentemente. (5.10) !F. !t (t, x(t)) +. !F. !x (t, x(t)) x!(t) = 0 para cada t % I.. Definimos ": I # R por "(t) = F(t, x(t)). Al ser las dos funciones t $# t, t $# x(t) derivables (diferenciables) en I y F diferenciable en D, usando el teorema de la regla de la cadena, resulta que " es derivable en I y, para todo t % I se verifica. "!(t) = !F. !t (t, x(t)) +. !F. !x (t, x(t))x!(t) = 0.. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 5.2. Resolución de ecuaciones exactas 107. Al ser I un intervalo, la función " ha se ser constante en I. De esta forma queda confirmado que existe C % R tal que F(t, x(t)) = C para cada t % I.. Para el rećıproco, basta “dar la vuelta” en el razonamiento que acabamos de usar. Aśı, si x es derivable en I y existe C % R tal que F(t, x(t)) = C para cada t % I, derivando en ambos miembros de la igualdad anterior y usando la regla de la cadena se obtiene (5.10) y, por tanto, (5.9).. Una vez que tenemos una forma (hasta ahora poco práctica) de cómo determinar las soluciones de una ecuación diferencial exacta vamos a ver cómo se resuelve un problema de valor inicial (problema de Cauchy) y vamos a dar un resultado de existencia y unicidad para este tipo de problemas. Este resultado va a generalizar el teorema 3.1 sobre ecuaciones de variables separadas.. Teorema 5.2. Sean M, N : D # R dos funciones continuas en D, (t0, x0) % " D y consideramos. el problema de valor inicial. (P):. " M(t, x) + N(t, x)x! = 0. x(t0) = x0 .. Supongamos que la ecuación diferencial está escrita en forma exacta y F % C 1 (D, R) es tal que. (F = (M, N). Se verifica lo siguiente:. I) Una función derivable x: I # R, con su gráfica contenida en D y tal que verifica x(t0) = x0, es solución del problema (P) si, y sólo si, viene definida impĺıcitamente en I por la ecuación. (5.11) F(t, x) = F(t0, x0).. II) (Existencia y unicidad) Si N(t0, x0) &= 0 existe un intervalo abierto I tal que t0 % I y tal que el problema de valor inicial (P) posee una única solución (de clase uno) definida en I (con la gráfica contenida en D).. Prueba. Vamos a ver que la primera parte se sigue trivialmente del teorema anterior y la segunda es consecuencia de la primera y del teorema de la función impĺıcita.. I) Bajo las condiciones dadas sobre x, esta función es solución del problema (P) si, y sólo si, verfica la ecuación diferencial y esto sucede, según el terorema 5.1, si y sólo si existe C % R tal que F(t, x(t)) = C para cada t % I. En particular, para t = t0 se obtiene C = F(t0, x0).. II) Consideramos la función G: D # R definida por G(t, x) = F(t, x) ! F(t0, x0). Esta función cumple lo siguiente:. • G % C 1 (D, R).. • G(t0, x0) = 0.. • !G!x (t0, x0) = N(t0, x0) &= 0.. Estamos en condiciones de usar el teorema de la función impĺıcita y asegurar que existe un intervalo abierto I ) t0 y una única función de clase uno x: I # R tal que x(t0) = x0 y tal que G(t, x(t)) = 0 para cada t % I, es decir, F(t, x(t)) = F(t0, x0) para cada t % I (lo que lleva impĺıcito que la gráfica de x está contenida en D). La parte I) nos confirma que x es la única solución de clase uno del problema (P) definida en el intervalo I (con la gráfica contenida en D).. 108 Ecuaciones diferenciales exactas y factores integrantes. 5.3 Condición necesaria y suficiente para la exactitud. Los resultados anteriores son satisfactorios pero poco prácticos. Nos planteamos las dos siguientes cuestiones:. 1. ¿Cómo podemos saber si una ecuación como (5.6) está escrita en forma exacta?. 2. En caso afirmativo, ¿Cómo podemos determinar una F % C 1 (D, R) cuyo gradiente (F veri-. fique (F = (M, N)?. En esta sección vamos a responder a estas dos cuestiones. Las respuestas son satisfactorias siempre que supongamos ciertas restricciones sobre las funciones M y N y el conjunto D.. La primera observación es que si existe F % C 1 (D, R) tal que (F = (M, N), cualquier función. G de la forma G = F + C, con C constante, tiene la misma propiedad. Rećıprocamente, si D es conexo en R2 dos funciones F y G con esa propiedad sólo se diferencian en una constante ya que se verifica. !(G ! F) !t. (t, x) = 0, !(G ! F). !x (t, x) = 0 para cada (t, x) % D. y, al ser G ! F diferenciable en cada punto de D, la diferencial d(G ! F)(t, x) es la aplicación nula para cada (t, x) % D. Al ser D conexo, esto implica que G ! F es constante en D.. Los dos problemas planteados pueden independizarse de las ecuaciones diferenciales ya que una ecuación como (5.6) viene descrita por un par de funciones: (M, N). Por esta razón, para abordar los problemas planteados adoptamos una definición, independiente de las ecuaciones diferenciales, que puede ser útil para otros propósitos.. Definición 5.2. Diremos que el par de funciones M, N : D # R es exacto en D cuando existe F % C. 1 (D, R) tal que (F = (M, N).. El procedimiento que seguiremos es el siguiente:. • Suponiendo que M, N % C 1 (D, R) y que el par (M, N) es exacto en D vamos a llegar a una. condición muy manejable (condición necesaria).. • Después veremos que bajo cierta restricción sobre el conjunto D tal condición necesaria también es suficiente para que (M, N) sea exacto en D. Al mismo tiempo daremos un método para determinar una función F % C. 1 (D, R) tal que (F = (M, N).. La condición necesaria es fácil de obtener y sólo consiste en usar la definición de exactitud y el teorema de Schwarz sobre derivadas cruzadas de segundo orden. Vamos a suponer sobre M y N condiciones más que suficientes para que se pueda hacer uso de tal teorema.. Proposición 5.1. Si el par (M, N)es exacto en D y M, N % C 1 (D, R), entonces se verifica la. condición. (5.12) !M. !x (t, x) =. !N. !t (t, x) para cada (t, x) % D.. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 5.3. Condición necesaria y suficiente para la exactitud 109. Prueba. Sea F : D # R tal que (F = (M, N). Como M y N son de clase C1 en D, y además. !F. !t = M,. !F. !x = N,. resulta que F es de clase C2 en D. Luego, por el teorema de Schwarz, sus derivadas cruzadas de segundo orden coinciden en D, es decir,. !2F. !t!x =. !2F. !x!t .. Por tanto, !M. !x =. !. !x. # !F. !t. $ =. !2F. !x!t =. !2F. !t!x =. !. !t. # !F. !x. $ =. !N. !t .. Observaciones:. 1. La hipótesis M, N % C 1 (D, R) es demasiado exigente; de hecho, teniendo en cuenta otra. versión menos restrictiva del teorema de Schwarz, se puede comprobar que es suficiente con exigir que exista !M!x : D # R y sea continua en D.. 2. A veces es conveniente escribir la condición necesaria (5.12) aśı: !M!x ! !N !t = 0. En cierta. terminoloǵıa a la función !M!x ! !N !t se le llama rotacional del campo vectorial (M, N) y cuando. el rotacional es nulo se dice que el campo vectorial es irrotacional.. Definición 5.3. Si D ' R2 y M, N : D # R son de clase C1, definimos rot(M, N) = !M!x ! !N !t .. Se puede recordar tal definición mediante el siguiente abuso de notación:. rot(M, N) = !. %%%%%. ! !t. ! !x. M N. %%%%% .. Aśı pues, la condición necesaria obtenida en el resultado anterior para que el par (M, N) sea exacto. en D se puede escribir como rot(M, N) = 0 en D.. Seŕıa deseable que la condición (5.12), tan manejable, fuese también suficiente para la exactitud del par (M, N) en D, pero esto, en general, no es cierto; depende de cierta propiedad o forma del conjunto D. Si D = R2 ! {(0, 0)} las funciones M, N : D # R definidas por. M(t, x) = ! x. t2 + x2 y N(t, x) =. t. t2 + x2. verifican la condición (5.12) y, sin embargo, el par (M, N) no es exacto en D.. Se puede probar, haciendo uso de integrales curviĺıneas, que si D es un abierto simplemente conexo en R2 (lo que, en el plano, quiere decir conexo y “sin agujeros”) entonces la condición (5.12) śı es suficiente para que (M, N) sea exacto en D. El conjunto D = R2 !{(0, 0)} del ejemplo anterior es conexo pero no es simplemente conexo en R2.. Nosotros vamos a probar esto en un caso muy usual, cuando D es de la forma D = I "J, siendo I y J intervalos en R. Al mismo tiempo daremos una forma de encontrar una función potencial F para el par (M, N) en D.. 110 Ecuaciones diferenciales exactas y factores integrantes. Teorema 5.3. Sean I y J dos intervalos en R, D = I "J y M, N % C1(D, R). Las dos siguientes condiciones son equivalentes:. (I) El par (M, N) es exacto en D.. (II) !M!x = !N !t en D.. Además, en el caso en que (M, N) sea exacto en D y fijemos t0 % I y x0 % J, la función F : D # R, definida por. (5.13) F(t, x) =. ! t. t0. M(s, x) ds +. ! x. x0. N(t0, s) ds. verifica que F % C 1 (D, R) y (F = (M, N).. Prueba. Está claro que sólo tenemos que probar la implicación (II) * (I). Aunque podŕıamos hacer la prueba más simple comprobando directamente que la función dada por (5.13) está bien definida y verifica que F % C. 1 (D, R) y (F = (M, N), lo que implicaŕıa que el par (M, N) es exacto en D,. preferimos hacer una prueba más extensa, pero más constructiva, que nos sirva de referencia en la práctica para saber cómo encontrar F sin necesidad de recordar la expresión (5.13). El método consiste en suponer que tal función F existe y llegar de una forma razonada a la expresión (5.13) (esta es la parte que usaremos en la práctica). Después comprobaremos que, efectivamente, tal F verifica lo pedido.. Fijemos inicialmente un punto t0 % I y otro punto x0 % J. Supongamos que se verifica (II) y que existe F % C. 1 (D, R) tal que (F = (M, N). Vamos a partir de la igualdad. (5.14) !F. !t (t, x) = M(t, x) para todo (t, x) % D,. pero podŕıamos proceder de forma análoga partiendo de la igualdad !F!x (t, x) = N(t, x).. Vamos a considerar las funciones F y M como funciones de una sola variable, la variable “t”. De forma rigurosa, al ser D = I " J, para cada x % J podemos considerar las funciones fx : I # R, t $# fx(t) = F(t, x), mx : I # R, t $# mx(t) = M(t, x). El que exista !F!t (t, x) para cada (t, x) % D, equivale a decir que para cada x % J la función fx es derivable en I y, por tanto, la igualdad (5.14) se puede escribir de forma equivalente aśı:. Para cada x % J se verifica f !x(t) = mx(t) para cada t % I,. es decir, para cada x % J, es fx una primitiva de mx en I. Como la función t $# & t t0 mx(s) ds también. es una primitiva de mx e I es un intervalo, debe existir una constante c(x) % R (obviamente la constante depende de las funciones y estas dependen de x) tal que fx(t) =. & t t0 mx(s) ds + c(x) para. cada t % I, es decir,. (5.15) F(t, x) =. ! t. t0. M(s, x) ds + c(x) para todo (t, x) % D.. En la práctica, podremos decir que de (5.14) se obtiene. F(t, x) =. ! M(t, x) dt + c(x).. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 5.3. Condición necesaria y suficiente para la exactitud 111. Véase que todo lo realizado hasta ahora tiene sentido por la forma especial de la región D. Obsérvese que si D es otro tipo de región, aunque ésta sea simplemente conexa, al considerar el conjunto Ix = {t % R: (t, x) % D}, donde las funciones fx y mx están definidas, puede suceder que Ix, que depende de x, no sea un intervalo o, siendo intervalo, se verifique que t0 /% Ix. En este último caso no tiene sentido considerar integrales con ĺımites de integración t0 y t y, en el primero no podemos afirmar que dos primitivas se diferencien en constantes. En nuestro caso, D = I " J, todos los Ix coinciden con I.. En principio, la función c: J # R, x $# c(x), no tendŕıa porque ser derivable, ni siquiera continua, pero vamos a probar que śı es derivable en J y vamos a determinar su expresión (salvo una constante). Para esto necesitamos usar el teorema de Leibnitz sobre integrales paramétricas; más concretamente, un caso particular de este resultado. Obsérvese que en la integral que aparece en (5.15), la variable x no es la variable de integración, pero el valor de tal integral depende de x, es decir, x es un parámetro dentro de esa integral. Al existir la derivada parcial !M!x y ser continua en. D, el teorema de Leibnitz asegura que la función G: D # R definida por G(t, x) = & t t0 M(s, x) ds. posee derivada parcial respecto de la variable x en cada punto de D y verifica. (5.16) !. !x. ! t. t0. M(s, x) ds =. ! t. t0. !M. !x (s, x) ds.. Como también existe !F!x , se sigue de (5.15) que la función c es derivable en J y verifica. c!(x) = !F. !x (t, x) !. ! t. t0. !M. !x (s, x) ds.. Teniendo ahora en cuenta que !F!x (t, x) = N(t, x), la condición (II) y la regla de Barrow, obtenemos. c!(x) = N(t, x) ! ! t. t0. !N. !s (s, x) ds = N(t, x) !. ! t. t0. n!x(s) ds = N(t, x) ! (nx(t) ! nx(t0)) = N(t0, x),. para cada x % J (obsérvese que en la expresión de c!(x) no aparece la variable t, como debe ser). Al ser J un intervalo, existe k % R tal que. c(x) =. ! x. x0. N(t0, s)ds + k para todo x % J.. Aśı, de suponer que (M, N) posee una función potencial F , ésta estaŕıa definida en D por la expresión. (5.17) F(t, x) =. ! t. t0. M(s, x)ds +. ! x. x0. N(t0, s)ds + k siendo k cualquier constante.. (recuérdese que sobre un conjunto conexo dos funciones potenciales para (M, N) se diferencian en una constante y D = I "J es conexo). Hasta aqúı tenemos el procedimiento que llevaremos a cabo en la práctica (más simple de lo que parece) para determinar una F tal que (F = (M, N).. Confirmemos ahora que, efectivamente, cualquier función definida por (5.17) verifica (F = (M, N). En principio, ha quedado claro anteriormente que F está bien definida; en esto resulta fundamental que sea D = I " J. Ahora, usando el teorema fundamental del cálculo, la regla de Barrow, el teorema de Leibnitz y la condición (II), obtenemos para cada (t, x) lo siguiente:. !F. !t (t, x) = M(t, x).. !F. !x (t, x) =. ! t. t0. !M. !x (s, x) ds + N(t0, x) =. ! t. t0. !N. !s (s, x) ds + N(t0, x). = (N(t, x) ! N(t0, x)) + N(t0, x) = N(t, x).. 112 Ecuaciones diferenciales exactas y factores integrantes. Observaciones:. 1. La expresión de F obtenida en (5.13) generaliza la vista en (5.2) para ecuaciones de variables separadas: !p(t) + q(x)x! = 0, pues en este caso la expresión de F queda aśı:. F(t, x) =. ! x. x0. q(s) ds ! ! t. t0. p(s) ds.. 2. Haciendo uso del teorema anterior se puede ahora probar que el par de funciones (M, N) definidas en D = R2 ! {(0, 0)} por. M(t, x) = ! x. t2 + x2 y N(t, x) =. t. t2 + x2. no es exacto en D, aunque verifica !M!x = !N !t . Esto se puede probar por reducción al absurdo. trabajando en los dominios R " (0, +) y R " (!+, 0), donde se puede hacer uso del teorema.. En la práctica no es necesario recordar la expresión (5.13) ni elegir puntos t0 % I y x0 % J. Una vez comprobado que !M!x =. !N !t en D = I " J, podemos partir de la igualdad. !F. !t (t, x) = M(t, x). para obtener. F(t, x) =. ! M(t, x) dt + c(x).. Tenemos asegurado por el teorema anterior que la función c es derivable en J y para llegar a la expresión de su derivada sólo tenemos que derivar respecto de la variable x en ambos miembros de la igualdad anterior y usar que !F!x = N, para llegar a una expresión del tipo c. !(x) = "(x), donde la función " será conocida (y continua). Bastará entonces con determinar una primitiva de esta función en J para llegar a una expresión de F . Entre dos expresiones distintas de F la diferencia estaŕıa en un sumando constante. Téngase en cuenta que la condición rot(M, N) = 0 es la que asegura que a la hora de determinar c(x) la variable t desaparece. De llevarse a la práctica este método en un caso donde rot(M, N) &= 0 posiblemente nos encontraŕıamos con una expresión (absurda) del tipo c!(x) = "(t, x).. También se puede iniciar el procedimiento a partir de la expresión. !F. !x (t, x) = N(t, x). para obtener. F(t, x) =. ! N(t, x) dx + c(t).. De forma análoga, la función c es derivable en I y se determina derivando respecto a la variable t en los dos miembros de la igualdad anterior, usando ahora que !F!t = M. Llegaŕıamos aśı a una expresión de F que sólo puede diferir de la obtenida de la otra forma, en un sumando constante. Este sumando constante no va a afectar en nada a la resolución de la ecuación diferencial. M(t, x) + N(t, x)x! = 0,. que estaŕıa escrita en forma exacta en D, ya que sus soluciones vendŕıan dadas impĺıcitamente por ecuaciones del tipo F(t, x) = C, siendo C constante.. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 5.3. Condición necesaria y suficiente para la exactitud 113. Ilustramos todo lo comentado anteriormente en el siguiente ejemplo:. Ejemplo 5.1. Sean las funciones M, N : R2 # R definidas por M(t, x) = x ! t y N(t, x) = t + x2 + 1.. M y N son dos funciones de clase C 1 (R2, R) y para todo (t, x) % R2 se verifica. !M. !x (t, x) = 1 =. !N. !t (t, x).. Como estamos en las condiciones del teorema anterior, podemos afirmar que el par (M, N) es exacto en R2, es decir, existe una función F : R2 # R tal que (F = (M, N). Determinamos ahora una F en estas condiciones, de las dos formas indicadas anteriormente.. !F. !t (t, x) = M(t, x) = x ! t =* F(t, x) =. ! (x ! t) dt + c(x) = xt !. t2. 2 + c(x). =* t + x2 + 1 = N(t, x) = !F. !x (t, x) = t + c!(x) =* c!(x) = x2 + 1. =* c(x) = x3. 3 + x + k (podemos prescindir de k).. Aśı se obtiene. F(t, x) = xt ! t2. 2 +. x3. 3 + x.. Realizando el procedimiento análogo, empezando con la función N, se tiene. !F. !x (t, x) = N(t, x) = t + x2 + 1 =* F(t, x) =. ! (t + x2 + 1) dx + c(t) = tx +. x3. 3 + x + c(t). =* x ! t = M(t, x) = !F. !t (t, x) = x + c!(t) =* c!(t) = !t. =* c(t) = ! t2. 2 ,. obteniéndose en este caso la misma expresión: F(t, x) = tx + x 3. 3 + x ! t2. 2 .. Ahora planteamos la ecuación diferencial:. x ! t + (t + x2 + 1)x! = 0. y podemos afirmar que tal ecuación está escrita en forma exacta en R2. Por tanto, una función derivable x: I # R es solución de tal ecuación diferencial si, y sólo si, viene definida impĺıcitamente en I por una ecuación del tipo. x3. 3 + (t + 1)x !. t2. 2 = C con C % R.. Aqúı nos encontramos con el problema de despejar la x, aunque existen fórmulas muy comple- jas para ecuaciones de tercer grado, de las que podŕıamos hacer uso. Si le damos al programa Mathematica la ecuación diferencial aśı:. DSolve ' x[t] ! t +. ( t + x[t]2 + 1. ) x![t] == 0, x[t], t. *. este hace uso de tales fórmulas y obsérvese la respuesta que da.. 114 Ecuaciones diferenciales exactas y factores integrantes. x[t] # 36 + 36t. 322/3 # !324t2 +. + 4(36 + 36t)3 + (!324t2 ! 648C[1])2 ! 648C[1]. $1/3. !. # !324t2 +. + 4(36 + 36t)3 + (!324t2 ! 648C[1])2 ! 648C[1]. $1/3. 621/3. x[t] # ! ( 1 + i. , 3 ) (36 + 36t). 622/3 # !324t2 +. + 4(36 + 36t)3 + (!324t2 ! 648C[1])2 ! 648C[1]. $1/3. +. ( 1 ! i. , 3 ) #. !324t2 + + 4(36 + 36t)3 + (!324t2 ! 648C[1])2 ! 648C[1]. $1/3. 1221/3. x[t] # ! ( 1 ! i. , 3 ) (36 + 36t). 622/3 # !324t2 +. + 4(36 + 36t)3 + (!324t2 ! 648C[1])2 ! 648C[1]. $1/3. +. ( 1 + i. , 3 ) #. !324t2 + + 4(36 + 36t)3 + (!324t2 ! 648C[1])2 ! 648C[1]. $1/3. 1221/3. Quedémonos (si no nos asusta) con la primera familia de soluciones pues véase que en las otras dos aparecen números complejos (soluciones complejas) debido a que las correspondientes ecuaciones de tercer grado en x poseen una única solución real y dos complejas.. Si nos dan la ecuación diferencial expĺıcita:. x! = t ! x. t + x2 + 1 ,. dado que cualquier solución de ésta es solución de la ecuación impĺıcita x ! t + (t + x2 + 1)x! = 0 (puede haber soluciones de la impĺıcita que no lo sean de la expĺıcita), podemos afirmar que sus soluciones vienen dadas impĺıcitamente por ecuaciones del tipo. x3. 3 + (t + 1)x !. t2. 2 = C con C % R.. Cualquier función derivable x: I # R dada impĺıcitamente aśı y que tenga su gráfica contenida en la región D = {(t, x) % R2 : t + x2 + 1 &= 0}, es solución de la ecuación diferencial expĺıcita.. Obsérvese que la ecuación diferencial expĺıcita resuelta no es de ninguno de los tipos de ecua- ciones estudiados en los temas anteriores.. Aprovechamos ahora toda la teoŕıa vista para obtener fácilmente un resultado (manejable en la práctica) de existencia y unicidad para un problema de valor inicial. Ahora no es necesario suponer que la región D sea del tipo D = I " J, con I y J intervalos, pues si (t0, x0) es un punto interior al conjunto D, existe un conjunto del tipo D! = I " J tal que (t0, x0) % D! ' D y, si la condición !M !x =. !N !t se verifica en D, se verifica también en D. ! y, aśı, el par (M, N) es exacto en D!. Por tanto, como consecuencia de los teoremas 5.2 y 5.3 tenemos el siguiente resultado:. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 5.3. Condición necesaria y suficiente para la exactitud 115. Corolario 5.3.1. Sean D ' R2, (t0, x0) % " D y M, N % C. 1 (D, R). Supongamos que se verifican. las dos siguientes condiciones:. 1. !M!x = !N !t en D.. 2. N(t0, x0) &= 0.. En tal caso existe un intervalo abierto I ) t0 tal que el problema de valor inicial. (P):. " M(t, x) + N(t, x)x! = 0. x(t0) = x0. posee una “única” solución (de clase uno) definida en I.. Observación: Tenemos asegurado la existencia de una única solución x: I # R con la gráfica contenida en cierta región, subconjunto de D, pero no queda claro que sea la única con la gráfica contenida en D. Si D es de la forma D = I " J el problema anterior no se plantea y esto es lo que sucede en muchos casos, como en el ejemplo siguiente:. Ejemplo 5.2. Solución del problema de valor inicial (P):. " 3t2 + 4tx + (2t2 + 2x)x! = 0. x(1) = 1. La ecuación diferencial, escrita en forma expĺıcita, no es de ninguno de los tipos de ecuaciones estudiados en los temas anteriores.. Las funciones definidas por M(t, x) = 3t2 + 4tx y N(t, x) = 2t2 + 2x son de clase uno en R2 y verifican las condiciones del resultado anterior ya que. !M. !x (t, x) = 4t =. !N. !t (t, x) para cada (t, x) % R. 2 y N(t0, x0) = N(1, 1) = 4 &= 0.. Por tanto existe un intervalo abierto I ) 1 donde el problema de valor inicial (P) posee una única solución. Esta solución se obtiene impĺıcitamente de la ecuación F(t, x) = F(1, 1), donde F es una función F % C. 1 (R2, R) tal que (F = (M, N). Determinemos una función con esta propiedad,. procediendo como en el ejemplo anterior.. !F. !t (t, x) = 3t2 + 4tx =* F(t, x) =. ! (3t2 + 4tx) dt + c(x) = t3 + 2t2x + c(x). =* 2t2 + 2x = !F. !x (t, x) = 2t2 + c!(x) =* c!(x) = 2x =* c(x) = x2.. Aśı, una función potencial para (M, N) es. F(t, x) = t3 + 2t2x + x2.. Por tanto, la única solución de (P) definida en el intervalo I se obtiene impĺıcitamente de la ecuación. x2 + 2t2x + t3 ! 4 = 0.. Podemos despejar x de la ecuación anterior de dos formas (ecuación de segundo grado) pero, teniendo en cuenta la condición inicial x(1) = 1, resulta que la solución buscada es la definida por. x(t) = !t2 + ,. t4 ! t3 + 4.. 116 Ecuaciones diferenciales exactas y factores integrantes. Observemos que la solución obtenida sólo está definida en aquellos intervalos I tales que t4!t3+4 - 0 para cada t % I, lo que, en principio, no es fácil de ver. Se puede comprobar que lo anterior sucede en cada t % R pues la ecuación t4 ! t3 + 4 = 0 posee cuatro soluciones complejas, de expresiones muy complicadas, y obsérvese que para t = 0 la expresión t4 ! t3 + 4 toma un valor positivo, por lo que, por el teorema de Bolzano, no puede haber un punto t donde tome un valor negativo. Aśı pues, la solución está definida y es válida en R.. Al darle al programa Mathematica, el problema de valor inicial (P) aśı:. DSolve '-. 3t2 + 4tx[t] + ( 2t2 + 2x[t]. ) x![t] == 0, x[1] == 1. . , x[t], t. *. la respuesta que da es la misma que hemos obtenido nosotros: x[t] # !t2 + , 4 ! t3 + t4. !1, 1" 1 2. 1. 2. Figura 5.1: Gráfica de la solución x(t) = !t2 + , t4 ! t3 + 4.. 5.4 Factores integrantes. 5.4.1 Introducción. Desgraciadamente, hay pocas ecuaciones diferenciales de primer orden escritas en forma exacta. Consideremos cualquier EDO de primer orden en forma expĺıcita x! = f(t, x) y supongamos que f es de clase uno en D = I " J. La ecuación la podemos escribir aśı: !f(t, x)x + x! = 0 y, en este caso, la condición !M!x =. !N !t equivale a. !f !x = 0. Al ser D convexo en R. 2 , esta condición es. equivalente a que la función f no dependa de la variable x. Aśı pues, la ecuación dada estaŕıa escrita en forma exacta si, y sólo si, es una ecuación del tipo trivial x! = g(t). Por otra parte, muchas. ecuaciones presentan la forma x! = g(t,x) h(t,x). y entonces podŕıamos escribirla (no necesariamente de. forma equivalente) como !g(t, x) + h(t, x)x! = 0. y ahora podŕıa darse el caso de que estuviese escrita en forma exacta, pero, como advert́ıa anterior- mente, esto sólo sucede en pocos casos. Por ejemplo, la ecuación diferencial. x! = ! x. t2x ! t la podemos escribir aśı:. x + (t2x ! t)x! = 0.. Cualquier solución de la primera ecuación seŕıa solución de la segunda. En este caso las funciones M y N definidas en R2 por M(t, x) = x y N(t, x) = t2x ! t no verifican la condición !M!x =. !N !t y,. por tanto, la ecuación no está escrita en forma exacta.. Observación: Inténtese encontrar una F % C 1 (R2, R) tal que (F = (M, N) por el método. conocido y véase que se llega a una situación absurda; lo que sucede es que al no ser la ecuación exacta tal F no existe.. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 5.4. Factores integrantes 117. Sin embargo, podŕıamos considerar la función definida por µ(t, x) = 1 t2 , que sólo estaŕıa definida. en los dominios D1 = (!+, 0) " R y D2 = (0, +) " R. Esto no es problema para nuestra ecuación original, que necesariamente tiene sus soluciones con las gráficas en tales dominios. Obsérvese que la función µ no se anula y, por tanto, multiplicando ambos miembros de la ecuación por µ obtendŕıamos una ecuación equivalente, siempre que busquemos soluciones con las gráficas en esos dominios. La ecuación resultante es. x. t2 + (x !. 1. t )x! = 0. y resulta que esta ecuación śı está escrita en forma exacta en los Dk, pues los Dk son productos cartesianos de intervalos en R y se verifica. !. !x. ( x t2 ) =. 1. t2 =. !. !t. ( x !. 1. t. ) para cada (t, x) % Dk,. por lo que resolviendo esta última por el método indicado en las secciones anteriores tendŕıamos resuelta nuestra ecuación original (la ecuación expĺıcita). Cuando sucede una situación como ésta decimos que la función µ es un factor integrante para la ecuación original en los dominios Dk.. Definición 5.4. Sean M, N % C(D, R). Una función µ % C(D, R), que no se anula en D, se dice que es un factor integrante en D para la ecuación diferencial. M(t, x) + N(t, x)x! = 0. cuando la ecuación diferencial equivalente. µ(t, x)M(t, x) + µ(t, x)N(t, x)x! = 0. está escrita en forma exacta en D.. Observación: También podŕıamos decir que µ es un factor integrante para el par (M, N) en D cuando el par (µM, µN) es exacto en D.. Por lo que hemos visto en la sección anterior, si M, N % C 1 (D, R) y µ % C1(D, R) no se anula en. D, una condición necesaria para que µ sea un factor integrante en D es que se verifique la condición. (5.18) !(µM). !x =. !(µN). !t en D.. Cuando además D = I " J, con I y J intervalos, la condición anterior es equivalente a que µ sea factor integrante para la ecuación inicial en D. Una observación que puede ser muy útil en algunos casos, que se sigue trivialmente de (5.18), es que si µ es un factor integrante y k es una constante no nula, entonces kµ también es factor integrante.. Desarrollando las derivadas de los productos que aparecen en la ecuación (5.18) llegamos fácil- mente a que tal condición se puede escribir de forma equivalente como. (5.19) N !µ. !t ! M. !µ. !x = µ. /!M !x. ! !N. !t. 0 , es decir, N. !µ. !t ! M. !µ. !x = µ rot(M, N).. La ecuación que se obtiene en (5.19) es una ecuación en derivadas parciales (EDP) de primer orden en la función incógnita µ, que en general, es mucho más complicada que una EDO de primer orden, por lo que da la impresión de que lo obtenido no sirve de nada. Pero no necesitamos resolver la ecuación (5.19); nos basta con encontrar una solución que no se anule en D. Obviamente la función nula, que no nos vale, es solución de tal ecuación. El encontrar una solución de (5.19) es. 118 Ecuaciones diferenciales exactas y factores integrantes. cuestión de ingenio, experiencia y suerte, por lo que el método tiene una eficacia muy limitada. Por fortuna, en determinados casos es posible saber si tal EDP posee una solución de un tipo especial y, en estos casos, encontrarla, debido a que en esas situaciones la ecuación (5.19) se puede escribir de una forma más simple, donde aparecen derivadas ordinarias.. Es usual encontrarse en textos clásicos (u orientados a f́ısicos e ingenieros) el estudio de varios casos especiales de factores integrantes, pero el caso más interesante, y el único que vamos a tratar aqúı, es el de los factores integrantes que sólo dependen de una variable:. µ(t, x) = µ#(t), µ(t, x) = µ#(x) donde µ# es una función de una sola variable.. Este es el caso del factor µ(t, x) = 1 t2. usado en el ejemplo x + (t2x ! t)x! = 0. Otros tipos estudiados son, por ejemplos,. µ(t, x) = µ#(t ± x), µ(t, x) = µ#(tx), µ(t, x) = µ#(t2 ± x2).. En mi opinión, no merece la pena dedicar mucho tiempo a estos últimos y otros que no se mencionan (en todo caso se pueden dejar como ejercicios) pues, como dećıa anteriormente, la eficacia del método del factor integrante es muy limitada. Podŕıamos probar con una determinada ecuación distintos tipos de factores integrantes y no conseguir nada.. Por otra parte, está claro que no existe un método general para determinar un factor integrante, pues de existir tal método podŕıamos resolver (al menos, dando las soluciones de forma impĺıcita) cualquier EDO de primer orden y ya sabemos que hay muchas ecuaciones de este tipo que son irresolubles, como ciertas y “simples” ecuaciones de Riccati que se vieron en el tema anterior (inténtese, sin caer en la desesperación, encontrar un factor integrante para la ecuación x! = t+x2).. Para el estudio de factores integrantes especiales, como los citados anteriormente, supondremos que M, N % C. 1 (D, R) y que la región D es de la forma D = I " J, siendo I y J intervalos, de. manera que la ecuación en derivadas parciales (5.19) caracteriza la condición de que µ sea factor integrante. La forma de proceder es siempre la misma:. 1. Suponer que existe un factor integrante del tipo especificado y, usando la ecuación (5.19), obtener una condición manejable que, por tanto, será necesaria para la existencia de ese tipo de factor integrante.. 2. Probar que la condición necesaria obtenida en el paso anterior también es suficiente obteniendo al mismo tiempo la expresión de un factor integrante adecuado.. 5.4.2 Factores integrantes que sólo dependen de una variable. I) Caso µ(t, x) = µ#(t). Siguiendo la idea expuesta anteriormente, procedemos de la siguiente forma. Supongamos que existe un factor integrante del tipo µ(t, x) = µ#(t) siendo µ# una función de clase uno en el intervalo I y que no se anula en I. Haciendo uso de la EDP (5.19) tenemos:. N(t, x) µ#!(t) = µ#(t) rot(M, N)(t, x) para cada (t, x) % D. o, equivalentemente,. rot(M, N)(t, x) = µ#!(t). µ#(t) N(t, x).. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 5.4. Factores integrantes 119. Por tanto, obtenemos que una condición necesaria para que la ecuación admita un factor integrante dependiente únicamente de t es que exista una función continua ": I # R tal que (5.20) rot(M, N)(t, x) = "(t) N(t, x) para cada (t, x) % D.. Cuando la función N no se anula en D la condición anterior se puede escribir de una manera muy manejable; concretamente, es equivalente a decir que la función. 1. N rot(M, N). sólo depende de la variable t. Obsérvese que ahora no hace falta decir que tal función sea continua en I ya que tanto N como rot(M, N) son funciones continuas en D = I " J.. Véase que en la condición necesaria obtenida es " = µ#!. µ# y, por tanto, µ#!(t) = "(t)µ#(t) para. cada t % I.. Rećıprocamente, supongamos que existe una función continua ": I # R que verifica (5.20). En este caso la EDP (5.19) queda aśı:/. N !µ. !t ! M. !µ. !x. 0 (t, x) = µ(t, x)"(t)N(t, x).. Si existiese una función µ# % C 1 (I, R), que no se anule en I, y tal que. (5.21) µ#!(t) = "(t)µ#(t) para cada t % I,. entonces, la función definida por µ(t, x) = µ#(t) seŕıa de C 1 (D, R), no se anulaŕıa en D y verificaŕıa. la ecuación (5.19) ya que / N. !µ. !t ! M. !µ. !x. 0 (t, x) = N(t, x)µ#!(t) = N(t, x)"(t)µ#(t) = µ(t, x)"(t)N(t, x).. Ahora bien, (5.21) es una ecuación diferencial lineal homogénea en la función incógnita µ# y sabemos que una solución µ# con los requisitos exigidos es µ#(t) = e. ! "(t) dt, donde la primitiva de " se toma. en el intervalo I. Por tanto, la condición (5.20) también es suficiente y, al mismo tiempo, obtenemos que. µ(t, x) = e ! "(t) dt. es un factor integrante del tipo buscado.. En resumen, hemos obtenido el siguiente resultado:. Teorema 5.4. Sean D = I"J, con I y J intervalos y M, N % C 1 (D, R). Una condición necesaria. y suficiente para que la ecuación diferencial. M(t, x) + N(t, x)x! = 0. admita un factor integrante en D del tipo µ(t, x) = µ#(t), siendo µ# % C 1 (I, R), es que exista una. función " % C(I, R) tal que se verifique la siguiente condición:. (5.22) rot(M, N)(t, x) = "(t)N(t, x) para cada (t, x) % D.. En tal caso, un factor integrante adecuado es. (5.23) µ(t, x) = e ! "(t) dt. donde la primitiva & "(t) dt se toma en el intervalo I.. 120 Ecuaciones diferenciales exactas y factores integrantes. En la práctica lo que hacemos para comprobar la condición (5.22) es realizar formalmente el cálculo de 1N rot(M, N), aunque N pudiera anularse en D, y comprobar que sale una expresión que sólo depende de la variable t (que debe ser continua); esta seŕıa nuestra "(t). De hecho, muchas. veces la ecuación diferencial procede de una ecuación diferencial expĺıcita como x! = $M(t,x) N(t,x). y en. este caso la condición N(t, x) &= 0 es natural. Véase que, además, el cálculo de la función rot(M, N) se habrá realizado previamente a la búsqueda del factor integrante, pues para saber que la ecuación diferencial inicial no está escrita en forma exacta en D hemos tenido que comprobar que la función rot(M, N) no es la función nula en D.. II) Caso µ(t, x) = µ#(x). Razonando de una manera análoga al caso anterior obtenemos un resultado análogo para el caso µ(t, x) = µ#(x) con una ligera diferencia. Ante la duda, lo mejor es llevar a cabo el razonamiento para obtener la condición necesaria que finalmente será también suficiente.. Supongamos que existe un factor integrante del tipo µ(t, x) = µ#(x) siendo µ# % C 1 (J, R) y tal. que no se anula en J. Se sigue de la EDP (5.19) que. !M(t, x) µ#!(x) = µ#(x) rot(M, N)(t, x) para cada (t, x) % D. o, equivalentemente,. rot(M, N)(t, x) = ! µ#!(x). µ#(x) M(t, x).. Por tanto, obtenemos que una condición necesaria para que la ecuación admita un factor integrante dependiente únicamente de x es que exista una función continua ": J # R tal que. (5.24) rot(M, N)(t, x) = "(x) M(t, x) para cada (t, x) % D.. Cuando la función M no se anula en D la condición anterior nos dice que la función 1M rot(M, N) sólo depende de la variable x.. Véase que en la condición necesaria obtenida es " = !µ !". µ! y, por tanto,. (5.25) µ#!(x) = !"(x)µ#(x) para cada x % J.. Eso nos da idea de que la pequeña diferencia con el caso µ(t, x) = µ#(t) va a radicar simplemente en un signo negativo, que va a campañar a la función " a la hora de determinar una primitiva, ya que una función µ# que verifique (5.25) y que no se anule en J es µ#(x) = e$. ! "(x) dx. Es decir,. razonando como en el caso anterior, para ver que la condición (5.24) también es suficiente, vamos a obtener como factor integrante µ(t, x) = e$. ! "(x) dx, donde la primitiva se toma en J. En resumen,. el resultado que se obtiene es el siguiente:. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 5.4. Factores integrantes 121. Teorema 5.5. Sean D = I"J, con I y J intervalos y M, N % C 1 (D, R). Una condición necesaria. y suficiente para que la ecuación diferencial. M(t, x) + N(t, x)x! = 0. admita un factor integrante en D del tipo µ(t, x) = µ#(x), siendo µ# % C 1 (J, R), es que exista una. función " % C(J, R) tal que. (5.26) rot(M, N)(t, x) = "(t)M(t, x) para cada (t, x) % D.. En tal caso, un factor integrante es. (5.27) µ(t, x) = e$ ! "(x) dx. donde la primitiva & "(x) dx se toma en el intervalo J.. En resumen, bajo nuestras hipótesis, el cálculo del rotacional rot(M, N) siempre hay que hacerlo. En el caso de que sea nulo en D nuestra ecuación diferencial ya está escrita en forma exacta y, en caso negativo, sólo habŕıa que dividirlo por N o por M para averiguar si existe un factor integrante que sólo depende de una variable. De forma más concreta, el procedimiento a llevar en la práctica es el siguiente:. 1. Escribimos la ecuación en la forma impĺıcita M(t, x)+N(t, x)x! = 0 en cierta región D (donde están las gráficas de las soluciones de la ecuación impĺıcita).. 2. Supuesto D = I " J, donde I, J son intervalos de R, y que M, N % C1(D, R), obtenemos el rotacional de (M, N):. rot(M, N) = !M. !x !. !N. !t .. 3. (a) Si rot(M, N) es la función nula en D, la ecuación está escrita en forma exacta en D y procedemos como en secciones anteriores para la obtención de las soluciones con gráficas contenidas en D.. (b) Si no es aśı, caben tres posibilidades:. i) 1N rot(M, N)(t, x) = "(t).. En este caso tenemos el factor integrante µ(t, x) = e ! "(t)dt. Se multiplica ambos. miembros de la ecuación diferencial M(t, x)+N(t, x)x! = 0 por µ(t, x) para escribirla en forma exacta.. ii) 1M rot(M, N)(t, x) = "(x).. En este caso tenemos el factor integrante µ(t, x) = e$ ! "(x)dx y se multiplica ambos. miembros de la ecuación diferencial por µ(t, x) para escribirla en forma exacta.. iii) Si no se da ninguno de los dos casos anteriores, lo mejor es olvidar la ecuación.. Por otra parte, si se nos olvida la condición (5.22) o la fórmula (5.23), o bien (5.26) o (5.27), lo mejor es razonar como en la parte de la demostración en la que se supone que existe tal tipo de factor integrante y jugar con la EDP (5.19). Esta última podemos obtenerla fácilmente de la condición (5.18).. Vemos a continuación dos ejemplos de aplicación de lo visto en esta sección. El primero es precisamente el ejemplo que usamos en la introducción de los factores integrantes.. 122 Ecuaciones diferenciales exactas y factores integrantes. Ejemplo 5.3. Soluciones de la ecuación diferencial x! = ! x. t2x ! t y estudio y resolución del. problema de valor inicial: (P):. 1 2. 3 x! = !. x. t2x ! t x(1) = 4. .. La ecuación diferencial no es de ninguno de los tipos estudiados en los temas anteriores. Es- cribimos la ecuación, en forma impĺıcita, como. x + (t2x ! t)x! = 0. Evidentemente, ambas ecuaciones no son equivalentes, pero śı es cierto que cualquier solución de la expĺıcita es solución de la impĺıcita. Al revés no, pues obsérvese que la función nula es solución de la impĺıcita en R pero no tiene sentido que sea solución de la expĺıcita en todo R. Una vez obtenidas las soluciones de la ecuación impĺıcita, para obtener las soluciones de la expĺıcita nos quedaŕıamos con las que tienen sus gráficas contenidas en la región abierta: D = {(t, x) % R2 : t(tx ! 1) &= 0}.. Ya se comprobó que en este caso la ecuación no está escrita en forma exacta pues. rot(M, N)(t, x) = (!M !x. ! !N. !t. ) (t, x) = 2(1 ! tx). pero observamos que 1. N rot(M, N)(t, x) =. 2(1 ! tx) t2x ! t. = 2(1 ! tx) !t(1 ! tx). = ! 2. t = "(t).. Por tanto, tenemos la condición. rot(M, N)(t, x) = 2(1 ! tx) = ! 2. t (t2x ! t) = "(t)N(t, x). únicamente en los dominios D1 = (!+, 0) " R y D2 = (0, +) " R. Es decir, la ecuación admite factores integrantes que sólo dependen de t en esos dominios pero no en R2. Uno adecuado es. µ(t, x) = e ! $ 2. t dt = 1. t2 .. Para nuestra ecuación expĺıcita lo anterior no supone restricción ya que necesariamente tiene sus soluciones con las gráficas en tales dominios, aunque śı lo seŕıa a la hora de obtener las soluciones de la ecuación diferencial impĺıcita, ya que con este factor integrante sólo obtendŕıamos las que tienen las gráficas en D1 o en D2. En todo lo anterior resulta fundamental que los dominios Dk sean de la forma I " J, con I y J intervalos.. Multiplicando ambos miembros de la ecuación diferencial por el factor integrante obtenido, la ecuación resultante (equivalente a la anterior) es. x. t2 + (x !. 1. t )x! = 0.. Siempre es recomendable comprobar que la ecuación resultante śı está escrita en forma exacta en los dominios Dk.. Determinemos ahora una función potencial F para el nuevo par de funciones que aparecen en la ecuación; es decir, una F tal que (F = (M#, N#) donde M#(t, x) = x. t2 y N#(t, x) = x ! 1t .. !F. !x (t, x) = x !. 1. t * F(t, x) =. x2. 2 !. x. t + c(t) *. x. t2 =. !F. !t (t, x) =. x. t2 + c!(t) * c(t) = k,. donde k es constante. Por tanto, podemos considerar. F(t, x) = x2. 2 !. x. t .. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 5.4. Factores integrantes 123. En consecuencia, las soluciones de la ecuación diferencial impĺıcita, con gráficas contenidas en D1 o en D2, vienen definidas impĺıcitamente por ecuaciones del tipo. x2. 2 !. x. t = C donde C % R.. En este caso tenemos la suerte de poder despejar x (ecuación de segundo grado en x) y se obtienen las soluciones. x K (t) =. 1. t +. 4 1. t2 + K x̄. K (t) =. 1. t ! 4. 1. t2 + K donde K = 2C % R,. en los intervalos donde estén definidas. Obsérvese que para el valor K = 0 se obtienen dos soluciones válidas en los intervalos I = (!+, 0) y (0, +): la función nula (que se véıa a ojo) y la definida por x(t) = 2t . Por otra parte, véase que las soluciones obtenidas tienen sus gráficas contenidas en. D = {(t, x) % R2 : t(tx ! 1) &= 0} ya que para cada K se verifica que tx K (t) &= 1 y tx̄. K (t) &= 1. Por. tanto, todas las soluciones obtenidas son soluciones de la ecuación expĺıcita propuesta.. Para obtener expresiones más parecidas a las que proporciona el programa Mathematica escribimos las soluciones aśı:. x K (t) =. 1. t + +. 1 t2. , 1 + Kt2, x̄. K (t) =. 1. t ! +. 1 t2. , 1 + Kt2.. Al darle al Mathematica la ecuación diferencial expĺıcita:. DSolve. 5 x![t] == !. x[t]. t2x[t] ! t , x[t], t. 6. o bien la impĺıcita: DSolve. ' x[t] +. ( t2x[t] ! t. ) x![t] == 0, x[t], t. *. la respuesta es en ambos casos la misma:. 77 x[t] #. 1. t ! +. 1 t2. , 1 + t2C[1]. 8 ,. 7 x[t] #. 1. t +. + 1 t2. , 1 + t2C[1]. 88 .. Respecto al problema de valor inicial propuesto, procedemos de la siguiente forma. Como (1, 4) % D y D es abierto en R2, existe un conjunto de la forma D! = I "J, con I y J intervalos, tal que (1, 4) % D! ' D. Al ser N(t, x) = tx2 ! t &= 0 para cada (t, x) % D!, considerando únicamente soluciones con las gráficas contenidas en D!, el problema (P) es equivalente al problema. " x + (t2x ! t)x! = 0 x(1) = 4. , o equivalentemente, (Q) :. " x t2 + (x ! 1t )x. ! = 0. x(1) = 4 .. Por lo que hemos visto anteriormente, en el problema (Q) la ecuación está escrita en forma exacta en el conjunto D! ya que rot(M#, N#) = 0 y D! es de la forma I " J. Por otra parte, N#(1, 4) &= 0. Haciendo uso del teorema 5.2, podemos afirmar que existe un intervalo abierto I ) 1 tal que (P) posee una única solución definida en I (con la gráfica contenida en D!), que viene definida impĺıcitamente por la ecuación F(t, x) = F(1, 4) donde (F = (M#, N#). Como F(1, 4) = 4, la solución viene dada impĺıcitamente por. x2. 2 !. x. t = 4. 124 Ecuaciones diferenciales exactas y factores integrantes. y, por tanto, está definida por. x(t) = 1. t +. 4 1. t2 + 8 =. 1. t. / 1 +. , 1 + 8t2. 0. Véase que la solución obtenida está bien definida en el intervalo I = (0, +) y puede comprobarse que es solución de la ecuación en ese intervalo.. Con Mathematica tenemos:. DSolve. 57 x![t] == !. x[t]. t2x[t] ! t , x[1] == 4. 8 , x[t], t. 6 x[t] #. 1 + +. 1 t2 t , 1 + 8t2. t .. x1. x1. x!1 x!1. x"1. x"1. x!"1. x!"1. x0. x0. Figura 5.2: Gráficas de las seis solu- ciones correspondientes a K = !1, 0, 1.. !1, 4". 1. 2 2. 4. Figura 5.3: Gráfica de la solución de (P).. Como ya hemos advertido en otras ocasiones, no siempre se tiene la suerte de poder o saber despejar x de las ecuaciones F(t, x) = C resultantes; esto es lo que va a suceder en el siguiente ejemplo.. Ejemplo 5.4. Soluciones de la ecuación diferencial x + (2t ! xex)x! = 0.. La ecuación diferencial no es de ninguno de los tipos estudiados en los temas anteriores.. La ecuación no está escrita en forma exacta pues rot(M, N) = ( !M !x !. !N !t. ) (t, x) = !1. Véase. que la función 1N rot(M, N) depende de ambas variables, por lo que no existe factor integrante para la ecuación del tipo µ(t, x) = µ#(t). Sin embargo,. 1. M rot(M, N) = !. 1. x = "(x).. Con más rigor escribimos. rot(M, N)(t, x) = !1 = ! 1. x · x = "(x)M(t, x),. lo que únicamente es válido en los dominios D1 = R " (0, +) y D2 = R " (!+, 0). Al ser cada Dk de la forma I " J, con I y J intervalos, podemos asegurar que la ecuación śı admite factores integrantes que sólo dependen de x en esos dominios pero no en R2. Uno adecuado es. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. Ejercicios 125. µ(t, x) = e$ ! $ 1. x dx = | x |.. Una vez más el factor integrante impone una restricción pues su uso va a condicionar a obtener las soluciones con gráficas en D1 o en D2. Obsérvese que la función nula es solución de la ecuación, válida en R y no tiene la gráfica en esos dominios. Por otra parte, curiosamente, la expresión del factor integrante tiene sentido en cada punto de R2, pero como función definida en R2 no es de clase C. 1 y además se anula en los puntos donde x = 0, lo que no es admisible en un factor. integrante. Sin embargo, en los dominios D1 y D2 no se dan esos problemas; de hecho, en el caso D1 tenemos µ(t, x) = x y en D2 es µ(t, x) = !x. En principio da la impresión de que tendŕıamos que distinguir entre ambos dominios, pero no es necesario pues recordemos que si un factor integrante se multiplica por una constante no nula tenemos otro factor integrante. Por tanto, podemos afirmar que µ(t, x) = x es factor integrante en ambos casos.. Al multiplicar por µ(t, x) = x, la ecuación resultante es. x2 + (2tx ! x2ex)x! = 0. y comprobamos que está escrita en forma exacta en los Dk (como tiene que ser) ya que. !. !x (x2) = 2x =. !. !t (2tx ! x2ex).. Determinemos ahora una función potencial F para el nuevo par de funciones que aparecen en la ecuación.. !F. !t (t, x) = x2 =* F(t, x) = tx2 + c(x) =* 2tx ! x2ex =. !F. !x (t, x) = 2tx + c!(x). =* c!(x) = !x2ex =* c(x) = !. !x2ex dx = !ex(x2 ! 2x + 2).. (Para la determinación de c(x) se realizan dos integraciones por partes). Por tanto, F(t, x) = tx2 ! ex(x2 ! 2x + 2) y las soluciones de la ecuación diferencial vienen definidas impĺıcitamente por. tx2 ! ex(x2 ! 2x + 2) = C donde C % R,. a las que, al menos, hay que añadir, por si acaso, la solución nula, que no tiene la gráfica ni en D1 ni en D2 (aunque casualmente parece que se obtiene del caso C = !2).. Al darle al programa Mathematica la ecuación diferencial. DSolve 9 x[t] +. / 2t ! x[t]ex[t]. 0 x![t] == 0, x[t], t. :. la respuesta es. Solve. ; t ==. C[1]. x[t]2 +. ex[t] ( 2 ! 2x[t] + x[t]2. ). x[t]2 , x[t]. < .. Mathematica nos da las mismas ecuaciones, de las que se obtienen impĺıcitamente las soluciones, y tampoco sabe despejar x de las ecuaciones obtenidas. Además, no proporciona la solución nula.. Ejercicios propuestos :. 1. Resuelve la ecuación diferencial x2 + t3 + 2tx x! = 0 de dos formas distintas.. 2. En las siguientes ecuaciones, comprueba que existe un valor del parámetro a para el que la ecuación está escrita en forma exacta y resuélvela para dicho valor de a:. (a) tx(x + at) + t2(t + x)x! = 0 (b) xe2tx + t + ate2txx! = 0. 126 Ecuaciones diferenciales exactas y factores integrantes. 3. Prueba que existe un intervalo abierto I ) 0 donde el problema de Cauchy " x! = t. 2"x t+x2. x(0) = 1 posee una. única solución y determina tal solución.. 4. Dadas las funciones M(t, x) = !tx y N(t, x) = tx + x2, ¿existe algún abierto D en R 2. para el que. existe F % C 1. (D, R) tal que (F(t, x) = (M(t, x), N(t, x)) para cada (t, x) % D. ?. 5. Prueba que si D = R 2. ! {(0, 0)} las funciones M, N : D # R definidas por M(t, x) = !. x. t2 + x2 y N(t, x) =. t. t2 + x2 verifican que el rotacional rot(M, N) es nulo en D y, sin embargo, el par (M, N) no es exacto en D.. 6. Prueba que cualquier ecuación diferencial lineal x! = a(t)x + b(t) se puede escribir en forma exacta usando un factor integrante que sólo dependa de la variable t. Determina este factor integrante y halla las soluciones de la ecuación lineal con este método. Compara lo obtenido con lo visto en el primer método de resolución usado para resolver ecuaciones lineales (tema 2).. 7. Comprueba que la ecuación de Bernoulli x! = x! t 2. x se puede resolver mediante un factor integrante.. Determina las soluciones usando este factor integrante y compara con el resultado que se obtiene mediante el método usual (ejercicio 7(a) del tema anterior).. 8. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales:. (a) x2 + (2tx + sen x)x! = 0 (b) 3tx + x2 + (t2 + tx)x! = 0 (c) 2tx2 ! 3x3 + (7 ! 3tx2)x! = 0. (d) x! = x2 + t. 2tx (e). x. t + (x3 ! log t)x! = 0 (f) x! =. tx ! 1 tx ! t2. (g) sen(tx) + tx cos(tx) + t2 cos(tx)x! = 0. 9. Una función derivable sobre un intervalo y : I # R, x $# y(x), posee la propiedad de que en cada punto de su gráfica la correspondiente recta tangente corta al eje de abcisas en un punto tal que el punto medio entre ambos pertenece a la parábola de ecuación y2 = 2x. Determina una ecuación de la gráfica de la función y sabiendo que el punto (1, 2) pertenece a ésta.. 10. Problema análogo al anterior, cambiando la parábola y2 = 2x por la curva y3 = x y el punto (1, 2) por (2, 2).. 11. (Cociente de dos factores integrantes) Comprueba que la ecuación diferencial 2t ! t2 ! x2 + 2xx! = 0 no está escrita en forma exacta, pero posee los dos siguientes factores integrantes: µ. 1 (t, x) = e"t,. µ 2 (t, x) = 1. t2+x2 (este último en intervalos de R. 2. que no contienen al origen). Usando el primer factor integrante, comprueba que las soluciones de la ecuación diferencial vienen dadas impĺıcitamente por. ecuaciones del tipo µ 1 (t,x). µ 2 (t,x). = C con C % R.. 12. (a) Sean M, N % C 1. (R 2. , R). Determina una condición necesaria y suficiente para que la ecuación diferencial M(t, x) + N(t, x)x! = 0 admita (en alguna región del plano) un factor integrante del. tipo µ(t, x) = µ#(t + x) y determina, en ese caso, un factor integrante adecuado.. (b) Comprueba que la ecuación diferencial. (5t2 + 2tx + 3x3) + (3t2 + 3tx2 + 6x3)x! = 0. posee, en alguna región del plano, un factor integrante del tipo µ(t, x) = µ#(t+x) y determı́nalo.. 13. (a) Sean M, N % C 1. (R 2. , R). Determina una condición necesaria y suficiente para que la ecuación diferencial M(t, x) + N(t, x)x! = 0 admita (en alguna región del plano) un factor integrante del. tipo µ(t, x) = µ#(tx) y determina, en ese caso, un factor integrante adecuado.. (b) Comprueba que la ecuación diferencial. (tx3 + 2t2x2 ! x2) + (t2x2 + 2t3x ! 2t2)x! = 0. posee, en alguna región del plano, un factor integrante del tipo µ(t, x) = µ#(tx) y determı́nalo.. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. Ecuaciones diferenciales exactas y factores integrantes Introducción Resolución de ecuaciones exactas Condición necesaria y suficiente para la exactitud Factores integrantes Introducción Factores integrantes que sólo dependen de una variable. Ejercicios propuestos

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