El templo de Apis

El templo de Apis

La acción nos traslada al antiguo Egipto, que es la cuna, junto   con Mesopotamia, del nacimiento de la cultura occidental. Los legados matemáticos de las dos civilizaciones que han   llegado a nuestros días han sido más bien escasos,   en especial en el caso de los egipcios que escribían sobre   papiro, ya que este se degrada con el paso del tiempo más   que lastablillas de arcilla que utilizaban en Mesopotamia   para escribir.

El papiro egipcio más importante del que tenemos noticia   dedicado a las Matemáticas es, sin duda, el papiro de Rhind,   llamado así porque fue comprado por el escocés Henry Rhind   en el año 1858 y actualmente se encuentra en el Museo   Británico. También se le conoce como el papiro de Ahmés  por ser este el escriba que lo copió.

El papiro fue escrito hacia el año 1650 a.C. y su propio autor   reconoce que lo copió, de un escrito unos 200 años anterior,   es decir, el escrito original habría sido redactado hace   4 000 años. Contiene 87 problemas matemáticos concretos,   sin generalizaciones de ningún tipo, sobre cuestiones   aritméticas, fracciones, áreas, volúmenes, progresiones,   repartos proporcionales, reglas de tres, ecuaciones lineales   y trigonometría básica.

El juego de símbolos que proponemos se basa en el sistema   de numeración egipcio, es un sistema aditivo (no posicional)   en el que cada símbolo recibe un valor, por ejemplo:

1 unidad

10 unidades F

F UNIDAD

5

UNIDAD

5

RECURSOS PARA EL AULA

CURIOSIDADES MATEMáTICAS

François Viète (1540-1603) era un abogado y jurista francés, miembro   del Parlamento y hombre de confianza del rey Enrique IV de Francia,   cuya verdadera vocación era las Matemáticas.

Su notable aportación a esta ciencia es debida a que llevó el Álgebra   a su fase simbólica tal y como hoy se utiliza. Viète introdujo la primera  anotación algebraica sistemática en su libro Introducción al arte analítico,  publicado en 1571.

En él demostró el valor y la utilidad de los símbolos, abandonó el uso   de palabras en el Álgebra y utilizó, en sus cálculos, las letras minúsculas  latinas: las vocales representaban magnitudes desconocidas,  

y las consonantes, magnitudes conocidas. Fue también el primero   en reducir expresiones matemáticas a «fórmulas» en el verdadero sentido   del término. La palabra «coeficiente» deriva de su vocabulario y aparece  en uno de sus problemas geométricos.

Viète mejoró la teoría de ecuaciones y presentó métodos para resolver  ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado. Sin embargo, no las resolvía  tal como se hace en la actualidad, sino que las asociaba a problemas  geométricos, aplicando lo que él llamaba el principio de homogeneidad. Así, la ecuación x2_{+ x = 6, según ese principio, no se podía resolver}

tal cual porque los sumandos x2_{y x no eran homogéneos, es decir,}

tenían distinta dimensión, ya que él asociaba el término x2_con áreas

y x con líneas. Viète intentaba siempre resolver ecuaciones  en las que las dimensiones de cada sumando o término   (es decir, su grado) fueran iguales.

El primer simbolista

EL BURRO EN LA ESCUELA Una y una, dos. 

Dos y una, seis.  El pobre burrito  contaba al revés. ¡No se lo sabe! –¡Sí me lo sé!

–¡Usted nunca estudia!  Dígame, ¿por qué? –Cuando voy a casa   no puedo estudiar,   mi amo es muy pobre,   hay que trabajar. Trabajo en la noria   todo el santo día.   ¡No me llame burro,  profesora mía!

MATEMáTICAS CON ORDENADOR

WIRIS www.wiris.net

SUGERENCIAS PARA RESOLvER LAS ACTIvIDADES

1 Para resolver esta actividad basta con seguir  las instrucciones del ejemplo resuelto.

  Utilizando la herramienta   dentro del primer  miembro de la ecuación podemos empezar   la resolución en el paso 3.

2 Antes de utilizar la función resolver ( = )  podemos realizar las operaciones del primer  miembro de la ecuación.

  Otra posibilidad es introducir la ecuación tal y  como está utilizando adecuadamente  .

UNIDAD

5

Halla un polinomio que multiplicado por el polinomio 2

x

2

₊

_x

_-

_{3 dé como resultado}

el polinomio 2

x

4

₊

_x

3

_-

₅

_x

2

_-

_x

₊

_3.

1. Utilizamos las herramientas y de la pestaña Operaciones para introducir los paréntesis y las potencias del primer polinomio.

3. Seleccionamos la función resolver ecuación de la pestaña Operaciones para escribir la ecuación que se va a resolver.

2. Pulsamos el botón que aparece detrás de la expresión, y obtenemos el polinomio simplificado.

4. Introducimos los miembros de la ecuación y añadimos ,a para que se tome como incógnita la variable a.

5. Pulsamos el botón que aparece detrás de la expresión, y

UNIDAD

5

RECURSOS PARA EL AULA

PASO A PASO

Llamamos a al polinomio que estamos buscando.  Escribimos la expresión (2x2_{+ x - 3) ? a. Para ello,}

primero hay que utilizar la herramienta   para introducir  los paréntesis y después   para introducir cada potencia.

Pulsamos sobre el icono   para obtener el resultado de la  multiplicación de los dos polinomios. En la pantalla aparece  como resultado 2ax2_{+ ax - 3a.}

En la pestaña Operaciones pulsamos sobre la función 

resolver ecuación, en la pantalla aparece resolver ( = ).  Esta función calcula la solución de la ecuación que hay  escrita entre paréntesis.

Introducimos la ecuación que queremos resolver. Como  primer miembro escribimos el resultado de la multiplicación  de los polinomios del paso 2, es decir, 2ax2_{+ ax - 3a,}

y como segundo miembro escribimos el polinomio   2x4_+ x3_- 5x2_{- x + 3.}

Dentro del paréntesis, separado por una coma, tenemos que  escribir a para indicar que esa es la incógnita que queremos  calcular. Así, escribimos:

resolver(2ax2_{+ ax - 3a = 2x}4_+ x3_- 5x2_{- x + 3, a)}

Pulsamos sobre el icono   para obtener el resultado de  la ecuación, en la pantalla aparece x2_- 1.

1

2

3

4

5

MATEMáTICAS CON ORDENADOR

UNIDAD

5

Halla un polinomio que multiplicado por el polinomio 2

x

2

₊

_x

_-

_{3 dé como resultado}

el polinomio 2

x

4

₊

_x

3

_-

₅

_x

2

_-

_x

₊

_3.

1. Escribimos el polinomio en el área de escritura utilizando los paréntesis y para introducir las potencias, y pulsamos el botón Introducir.

3. Introducimos la ecuación que queremos resolver utilizando para introducir las potencias, y pulsamos el botón Introducir.

2. Desplegamos el menú Simplificar, elegimos la opción Expandir y pulsamos el botón Expandir.

4. Pulsamos , como variable elegimos a, como método Algebraico y como dominio

Real.

5. Pulsamos el botón Resolver y obtenemos el polinomio solución.

DERIVE

PRACTICA

1. Halla a y b para que se cumplan las igualdades. a) (3x- 1) ?a= 6x3_{- 2x}2_{+ 3x- 1}

b) (x2_{- 2x- 1) ?b= 2x}3_{- 7x}2_{+ 4x+ 3}

INVESTIGA

2. Determina el valor de a para que se cumpla la siguiente igualdad:

(x2_{+ 3x- 1) ?a- (x}2_{+ 2x- 3) = 2x}2_{+ 7x}

UNIDAD

5

RECURSOS PARA EL AULA

PASO A PASO

2

3

4

5

DERIVE

Para escribir la expresión (2x2_{+ x - 3)*a en el área de}

escritura tecleamos la secuencia: (2x^2 + x - 3)*a y pulsamos Introducir,  .

En el menú Simplificar seleccionamos la opción Expandir.  Y en la pantalla Expandir expresión pulsamos el botón 

Expandir.

Escribimos la ecuación que queremos resolver. En el área  de escritura tecleamos la secuencia:

2ax^2 + ax - 3a = 2x^4 + x^3 - 5x^2 - x + 3 y pulsamos Introducir,  .

Mientras está resaltada la línea 3 pulsamos el icono  correspondiente a Resolver o despejar .

En la ventana Resolver expresión elegimos la variable a, el  método Algebraico y el dominio Real, y pulsamos el botón 

Resolver.

Pulsamos Resolver y en la pantalla aparece el polinomio  x2_{- 1 como solución del ejercicio.}

EN LA VIDA COTIDIANA...

UNIDAD

5

Álgebra y calculadora

En este proyecto pretendemos que aprendas a:

• Usar de forma eficiente la calculadora científica para validar y realizar cálculos algebraicos.  • Resolver ecuaciones de primer grado por métodos numéricos mediante la calculadora.

Para realizar cálculos numéricos largos, normalmen-te  se  van  escribiendo  los  resultados  parciales  en  el  cuaderno, hasta llegar al resultado final. Por ejemplo,  para averiguar el valor numérico de la expresión alge-braica 3x3_- 2x2_{+ 5x - 1, para x = -2, hacemos:}

3 ? (-2)3_{- 2 ? (-2)}2_{+ 5 ? (-2) - 1=} = 3 ? (-8) - 2 ? 4 - 10 - 1= = -24 - 8 - 10 - 1 = -43 Las calculadoras científicas permiten realizar los cálcu-los de una forma más eficaz sin necesidad de efectuar  cálculos parciales, ni de ir anotándolos. Las teclas usadas en este caso serían:                          Observa que solamente se han utilizado las funciones  (o teclas) siguientes:  tecla de multiplicar

  teclas de paréntesis

 tecla de elevar a una potencia

 

tecla de cambio de signo

DETERMINA CON LA CALCULADORA EL VALOR NUMÉRICO DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES, PARA LOS VALORES INDICADOS.

a) 3x2_{- 5x + 8 para x =-1}

b) 6(x + 8)3_{- 5x}2_{+ 4x - 3 para x = 4}

c) (x - 5)3

-3 4(x_-3)2

+ 4x para x = 4

d) 4x3_{+ 3x}2_{- 2x + 5 para x =}

2 1 ---)] [(---# xy ! = 1 -! 2 # 5 + ---)] 2 xy ! 2 [(---# 2 ----)] 3 xy ! 2 [(---# 3

valor numérico de una expresión algebraica

1

La calculadora científica no efectúa cálculos simbólicos,  pero permite comprobarlos. Así, para ver si está bien he-cho el cálculo algebraico: 

(3x - 5) ? (4x2 + 5x - 2) = 12x3_- 5x2_{- 30x + 10}

damos a x un valor cualquiera y hallamos con la calcu-ladora cuánto vale cada miembro.

Tomamos el valor x = 10, y en el miembro izquierdo  obtenemos:

(3 ? 10 - 5) ? (4 ? 10 2_{+ 5 ? 10 - 2) = 25 ? 448 = 11 200}

Y en el derecho: 

12 ? 10 3_{- 5 ? 10}2_{- 30 ? 10 + 10 = 11 210}

La multiplicación algebraica no está bien realizada. 

Ten en cuenta que obtener el mismo resultado no signi-fica que la operación esté bien realizada. El método nos  sirve únicamente para saber si está mal hecha. HAZ ESTAS OPERACIONES

CON LA CALCULADORA.

a) Comprueba si el siguiente producto está mal

reali-zado, dando a x el valor 1:

(2x2_{+ 3x- 5) ? (3x}2_- 5) =

= 6x4_+ 9x3_- 25x2_{- 15x+ 25}

b)  Realiza el siguiente producto y comprueba el

resul-tado con la calculadora, dando a x el valor 2:

(2x2_{+ 3x- 1) ? (3x+ 7)}

UNIDAD

5

RECURSOS PARA EL AULA

La calculadora permite también resolver ecuaciones.  Vamos a verlo con un ejemplo. Dos amigos, Pedro y Ana, juegan con sus calculado- ras. Pedro tiene en la pantalla de su calculadora el nú-mero 8 y Ana el número 118. Pedro suma a su número 3 unidades y Ana le resta al  suyo 5 unidades de forma simultánea. Obtienen como  resultados 11 y 113, respectivamente.

Se plantean el siguiente problema: si realizan este proce-so repetidas veces, ¿llegarán a tener el mismo resultado en la pantalla? ¿Cuántas veces serán necesarias? Y si no es así, ¿cuándo estarán más cerca de lograrlo?

Una suma repetida con la calculadora, con sumando  constante 3, se puede hacer así:

     y obtenemos en la pantalla:

11.

A partir de entonces, bastará con pulsar =  repetida-mente y obtendremos: 14, 17, 20…

Lo mismo podrá hacer Ana. En este caso, es una resta  repetida con sustraendo constante 5. Pulsando:

      

se obtiene 113. Luego, pulsando repetidamente la te-cla = , se obtendrá: 108, 103, 98…

La traducción algebraica del problema de Pedro y Ana  es la ecuación:

8 + 3x = 118 - 5x

Ambos pueden anotar los resultados sucesivos en una  tabla, en la que x es el número de veces que cada uno  tendrá que apretar la tecla .

Como ves, con la calculadora podemos resolver ecua-ciones  usando  métodos  de  resolución  numéricos  en  vez de algebraicos.

REALIZA LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES.

a) ¿Crees que llegarán a ser iguales los números de

Pedro y Ana?

b)   ¿Para qué valor de x opinas que los números serán más parecidos?

c)  Resuelve el problema con la calculadora y

com-prueba tus anteriores hipótesis.

d)   Resuelve algebraicamente la ecuación y contesta de nuevo a las preguntas de los apartados a) y b). e)   Si partimos de los números 10 y 200, y

aumen-tamos el primero de 6 en 6 y disminuimos el se-gundo de 3 en 3, ¿se obtendrá el mismo número? ¿Después de cuántas veces? Plantea la ecuación y resuélvela algebraicamente.

f)   Ahora partimos de los números -5 y 255. El pri-mero aumenta de 8 en 8 y el segundo disminuye de 5 en 5. ¿Se obtendrá el mismo número? ¿Des-pués de cuántas veces? ¿Qué secuencias de teclas usarías? Plantea la ecuación y resuélvela algebrai-camente.

g) De la misma manera que con la suma y la resta,

se actúa con el producto. Así, si tecleamos la se-cuencia:

    

resulta 12 y, cada vez que volvamos a pulsar = , 

obtendremos el producto por 3: 36, 108…

¿Cuántas veces hemos de pulsar para obtener el número 2 916? ¿Sabrías plantear la ecuación?

4 ₌ # # 3 8 1 1 -5 = 8 = + 3

Resol

v

er ecuaciones de primer grado por métodos numéricos

mediante la calculadora

3

x 0 1 2 3 4 …

Pedro 8 11 14 17 20 …

ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Hacer un esquema

UNIDAD

5

Distinguiremos dos posibles casos: •  Que vayan en sentido opuesto

Los dos móviles se encuentran en un punto C, situado entre A y B. Si x es la distancia 

entre A y C, 50 - x será la distancia entre B y C. El tiempo que tardan en encontrarse es el mismo, t.  Así, resultan las siguientes ecuaciones:

Móvil 1:     x = v1t = 120t Móvil 2: d - x = v2t = 180t

Sumando ambas ecuaciones: d = (v1 + v2)t = 200t 

"

 t= ₂₀₀d = ₂₀₀50 = ₄1 hora

Conocido el valor de t, se obtiene: x = v1t = 120? ₄1 =30 km

Se encuentran al cabo de 15 minutos, a 30 km del punto A. •  Que vayan en el mismo sentido

Los dos móviles se encontrarán en el punto C, habiendo recorrido el primero una distancia 50 + x,  y el segundo, x.

Móvil 1: d + x = v1t 

"

  50 + x = 120t Móvil 2:      x = v2t 

"

   x = 80t

Restando: d = (v1 - v2)t 

"

 t ₁₂₀50 _{80 4}5 v v

d _hora

1 2

=

- = - =

Conocido el valor de t, se obtiene: x = v2?_v d _v

1- 2 = 80? 4 5

= 100 km

Se encuentran al cabo de 1 hora y cuarto, a 100 km del punto B.

Planteamiento y resolución

Dos móviles están a una distancia d= 50 km en un instante dado. Si ambos circulan por el mismo camino y sus velocidades 

son v1 = 120 km/h y v2 = 80 km/h, ¿al cabo de cuánto tiempo

y en qué punto se encontrarán?

Estrategia

En problemas de tipo algebraico, un esquema nos puede ayudar a traducir 

e interpretar el enunciado de un problema. A continuación, vamos a comprobarlo

en problemas de móviles, en los que: espacio =velocidad?tiempo

PRObLEMA RESUELTO

v1 = 120 km/h v2 = 80 km/h

A_{6 x} C_{5 6 50 - x 5} B

C B

v1 = 120 km/h v2 = 80 km/h

6 d = 50 km 5 6 x 5

UNIDAD

5

ADAPT ACIÓN CURRICULAR

ADAPTACIÓN CURRICULAR

INTRODUCCIÓN

El lenguaje algebraico sirve para expresar situaciones  relacionadas con la vida cotidiana, utilizando letras   y números de forma combinada. La realización de estas operaciones ha de hacerse    al principio paso a paso, pero después se agilizarán   y simplificarán las distintas fases en la resolución   de ecuaciones. El estudio de las expresiones algebraicas fomentará   en los alumnos la agilidad en las operaciones  aritméticas con números naturales y enteros,   así como el empleo de técnicas de resolución   por tanteo, ensayo-error y específicas,   como la transposición y reducción de términos.

RESUMEN DE LA UNIDAD

•   El lenguaje algebraico utiliza letras en combinación  con números y signos. La parte de las Matemáticas  que estudia la relación entre números, letras   y signos se llama Álgebra.

•   Una expresión algebraica es el conjunto de números  y letras que se combinan con los signos  

de las operaciones matemáticas. 

•   Podemos hallar el valor numérico de una expresión 

algebraica, sustituyendo las letras por números 

y realizando las operaciones.

•   Los monomios son las expresiones algebraicas  más sencillas. Están formados por números  (coeficientes) y letras (parte literal).

•   Un polinomio es una expresión algebraica formada  por dos o más monomios. Podemos sumar, restar,  multiplicar y dividir monomios. 

1.   Expresar de forma  algebraica ciertas   situaciones. 

2.   Distinguir y operar  con monomios.   

3.   Identificar y operar  con polinomios.   

4.   Aplicar las igualdades  notables. •   Lenguaje numérico y algebraico.  •   Expresión algebraica.  •   Valor numérico. •   Monomios semejantes. •   Operaciones con monomios:  suma, resta, multiplicación   y división. •   Operaciones con polinomios:  suma, resta y multiplicación. •   Sacar factor común. •   Cuadrado de una suma. •   Cuadrado de una diferencia. •   Suma por diferencia. •   Traducción al lenguaje algebraico  de ciertas situaciones. •   Obtención del valor numérico  de una expresión. •   Resolución de operaciones de suma  y resta de monomios semejantes. •   Multiplicación y división de dos  monomios. •   Resolución de operaciones de suma,  resta y multiplicación de polinomios. •   Extracción de factor común  de un polinomio. •   Aplicación de las igualdades notables  para simplificar la expresión de algunos  polinomios.

OBJETIVO 1

EXPRES

a

R DE FORM

a

a

lGEbR

a

IC

a

CIERT

a

S SITU

a

CIONES

NOMBRE: CURSO: FECHA:

1 Expresa con lenguaje numérico o lenguaje usual.

2   Une cada enunciado con su equivalente en lenguaje algebraico.

a)  La mitad de un número.  (m + n)2

b)  El triple de un número menos cinco unidades.  n - 1 

c)  El número anterior a un número entero.  2 ? (a + b + c) 

d)  El número posterior a un número entero.  x + 1 

e)  El cuadrado de la suma de dos números.  m₂     

f)  El doble de la suma de tres números.  3 ? b - 5

LENGUAjE NUMÉRICO Y LENGUAjE ALGEbRAICO

•   El lenguaje en el que intervienen números y signos de operaciones se denomina lenguaje numérico. •   El lenguaje que combina letras con números y signos de operaciones aritméticas se llama 

lenguaje algebraico.

Lenguaje usual Lenguaje numérico

Catorce dividido entre siete   14 : 7 

Dos elevado al cuadrado   22

La tercera parte de 18 18₃

Lenguaje usual Lenguaje algebraico

La suma de dos números a + b

Un número menos 3 unidades y -3

El cuadrado de un número b2

La mitad de un número ₂x

EjEMPLO

LENGUAjE USUAL LENGUAjE NUMÉRICO

La suma de once más nueve es veinte

Cien dividido entre veinte

La cuarta parte de veinte es cinco

Dos elevado al cubo es ocho

32 : 8

UNIDAD

5

ADAPT

ACIÓN CURRICULAR

3 Escribe estos enunciados como expresión algebraica.

a)  El doble de un número b.

b)  El doble de la suma de dos números m y n. c)  El cuadrado de un número x más 4 unidades. d)  El producto de tres números a, b y c.

e)  El doble de un número y más 3 unidades.

4 Relaciona cada enunciado con su expresión algebraica.

a)  El doble de un número más dos unidades.  x - 5

b)  Un número disminuido en cinco unidades.  ₃x

c)  La tercera parte de un número.  2? x + 2

d)  El cubo de un número.  x + 10

e)  El doble de un número.  2x

f)  Un número aumentado en diez unidades.  x3

g)  La diferencia de dos números.  x + 1

h)  El número siguiente a un número entero.  x - y

5 Si x es la edad de juan, expresa en lenguaje algebraico. ExPRESIÓN ALGEbRAICA

 Una expresión algebraica  es un conjunto de números y letras unidos con los signos de las operaciones ma-temáticas.

Expresión escrita Expresión algebraica

La suma de dos números menos dos x + y - 2

El triple de un número más cinco 3? x +5

El cuadrado de un número más una unidad x2₊₁

EjEMPLO

LENGUAjE USUAL LENGUAjE ALGEbRAICO

Los años que tenía el año pasado

Los años que tendrá dentro de un año

La edad que tenía hace 5 años La edad que tendrá dentro de 5 años

EXPRES

a

R DE FORM

a

a

lGEbR

a

IC

a

CIERT

a

S SITU

a

CIONES

6 Inventa un enunciado para estas expresiones algebraicas.

a) n + 1 

"

  b) a + b 

"

 

c) b₂ 

"

 

d)  2 ? (m - n) 

"

  e) x3_- 1

_"



f)  2 ? x + 1 

"

 

7 Halla el valor numérico de la expresión algebraica 2x + 1 para estos valores:

8   Calcula el valor numérico de estas expresiones para los valores que se indican. vALOR NUMÉRICO DE UNA ExPRESIÓN ALGEbRAICA

 El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras por números  y realizar las operaciones que se indican.

Halla el valor numérico de la expresión algebraica 3x + 2 para x = 1.

Sustituimos x por 1 en la expresión algebraica y realizamos las operaciones: x = 1 

"

  3 ? 1 + 2 = 3 + 2 = 5 El valor numérico de 3x + 2, para x = 1, es 5.

EjEMPLO

vALOR SUSTITUCIÓN

x = 0

x = 2

x = -1

x = -2

2? 0+ 1

OPERACIÓN

2? 0+ 1= 0+ 1

vALOR NUMÉRICO

1

vALORES x + y

x = 1  y = 0 1+ 0= 1

2x - 3y

2? 1- 3? 0=

(x +y)2

(1+ 0)2_= 12₌

x = -1  y = 2

x = 1  y = -2

x = -2  y = 3

UNIDAD

5

ADAPT

ACIÓN CURRICULAR

DISTINGUIR

y

OPER

a

R CON MONOMIOS

1 Completa las tablas.

2 Calcula el grado de los siguientes monomios.

a) -5x2

_"

_{Grado =   d) zx}2

_"

_Grado =

b)  7x2_y

_"

_{Grado =   e) -yx}

_"

_Grado =

c)  ₃2a b5

_"

_{Grado =   f)  -x}

_"

_Grado =

MONOMIOS

 Un monomio es una expresión algebraica formada por productos de números y letras. A los números  se les denomina coeficientes, y a las letras con sus exponentes, parte literal.

EjEMPLO

GRADO DE UN MONOMIO

El grado de un monomio es el número que resulta de sumar todos los exponentes de su parte literal.

EjEMPLO

MONOMIO COEFICIENTE PARTE LITERAL COEFICIENTE PARTE LITERAL

x 1 x

-3xy -3

-5xy2

3 1

x y2

MONOMIO

-2xyz

-3b2_c

MONOMIO

-3x 4a2_y

-5x2_y3

GRADO

1

3

5

ExPLICACIÓN

El exponente de x es 1 (x1₎

La suma de los exponentes de a2_y1_{es 2 + 1 = 3}

La suma de los exponentes de x2_y3_{es 2 + 3 = 5}

MONOMIO 3x -5x3 _x

5 3

5 3

-5ab

x _ab x3 x

COEFICIENTE 3 -5 -5

PARTE LITERAL OBJETIVO 2

a b

3 2 ₂

7 5

xyz2

DISTINGUIR

y

OPER

a

R CON MONOMIOS

3 Completa la siguiente tabla:

4 Escribe dos monomios semejantes para cada monomio.

SUMA Y RESTA DE MONOMIOS

•   La suma y resta de monomios solo se puede realizar cuando los monomios son semejantes. •   Para sumar o restar monomios semejantes se suman o restan los coeficientes y se deja la misma 

parte literal.

2x + x = (2 + 1)x = 3x

2x + y 

"

  La suma se deja indicada, porque no son monomios semejantes.

EjEMPLO

MONOMIOS SEMEjANTES

Dos o más monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.

5x; 2x son monomios semejantes, porque tienen la misma parte literal (x). 3xy2_; -xy2_{son monomios semejantes, porque tienen la misma parte literal (xy}2_).

x2_y3_; xy2_{no son monomios semejantes.}

EjEMPLO

MONOMIO COEFICIENTE PARTE LITERAL GRADO

-3x -3 x 1

-2a3_b -2ab

xyz 7ab2_c3

6y2_z

MONOMIO

-5x

-ab

-2yx3 -3y2_z3

3 2

a b2

5xy

UNIDAD

5

ADAPT

ACIÓN CURRICULAR

9 Realiza estas multiplicaciones.

a)  4a ? 3a =  c) -2x ? (-5x) =  e) m ? m2 =

b)  3x2_? 3x2 _{=  d)  3x}2_? (-3x2 _{) =  f)  ?}

3 2

5 3

x x2₌

5 Realiza las siguientes operaciones.

a) a + a + a + a =  d) 5x - 3x - x =

b)  2x2_+ x2 _+ x2_{=  e) -5x}3_- 3x3₌

c)  5mn - mn - 4mn =  f) p - 2p + 5p =

6   Completa los huecos con monomios semejantes y calcula.

a)  2x +   +  =  c)  2x3_{+   =}

b)   + 5p +   =  d)   + 2xy +  =

7   Escribe un monomio semejante al que se indica y calcula.

a)  7x -   =  c)  5pq -   =

b)   - x2_{=  d)   - 4x}2_{y =}

8 Reduce las siguientes expresiones algebraicas.

a)  6x2_+ 4x- 2x2 _- x

  Sumamos y restamos los monomios semejantes  y calculamos el resultado: 

b)  5x2_{- 2x + 3x}2_{- x =}

c) ab - ab + 7ab + 4ab - 2ab =

d)  3ab3_{- 2ab + 5ab}3_{- ab + 4ab =}

e) -10xy - 5xy + 2xy + 4x - 8y + 2y + 2x =

  MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS

El producto de dos o más monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes  y cuya parte literal es el producto de las partes literales.

3x ? 2x = (3 ? 2) ? x ? x = 6x2_{4x ? (-2x}2_) =

[

_4 ? (-2)

]

_{? x ? x}2_{= -8x}3

EjEMPLO

6x2 _{-  2x}2_{+  4x - x}

4x2_{+       3x}

DISTINGUIR

y

OPER

a

R CON MONOMIOS

10  Calcula y reduce.

a)  4x ? (2x - 5) = 4x ? 2x - 4x ? 5 = 4 ? 2 ? x ? x - 4 ? 5 ? x = 8x2_- 20x

b)  3? (2x + 3x2_) =

c)  2a ? (4a3 - 3a2_) =

d)  (3 - ab + ab2_{)? 2a =}

e)  2? (x2 + 3x) - 2x =

f)  -3x ? (x3 - 2x + 4) - 12x =

g) -x3_{? (-5x + 4 - 3x}2_- 10x) =

h) 

-3 1

x ? (-x4_{+ 3x - 2x) + x}2 ₌

11 Resuelve estas divisiones de monomios.

a)  8x3_{: 2x =  d) a}4_: a2₌

b)  (-12x5_{) : (-12x} 4_{) =  e)  (-14y} 4_) : (-2y 2_) =

c)  20m4_: 15m3_{= f)  (-20z}5_) : 4z4₌

12 Efectúa las siguientes operaciones.

a)  (7x5_: 2x)+x=

b)  (6x7_: x3_{) - (5x : x) =}

c)  (8a2_{b : 4ab)+b}2₌

d)  3x(x+1) - (4x2_: x) =

e)  (12a3_b2_: 3a2_{b) - b =}

f)  3? (4xy2 : 2xy) - 2y =

g)  2x ? [(-2y2_x3_) : (-x2_{y)]+x(x - 1) =} DIvISIÓN DE MONOMIOS

 El cociente de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el cociente de los coeficientes  y cuya parte literal es el cociente de las partes literales.

6x : 2x= ? ?

2 6

2 6

3 1 3

x x

x x

= = =      10x3 _{: (-5x)= ?}

x x

x

5 10

2

3

2

- =

UNIDAD

5

ADAPT

ACIÓN CURRICULAR

IDENTIFIC

a

R

y

OPER

a

R CON POlINOMIOS

OBJETIVO 3

1 Completa esta tabla:

2   Escribe un polinomio de grado 3 que tenga un término, otro con dos términos y un tercero  con tres términos.

3 Indica el grado de los siguientes polinomios.

a) -x + 3x2

_"

_{Grado=  c)  2x}5_- x

_"

_Grado=

b) x2_{y - 3x}

_"

_{Grado=  d) -5x}4_- x3_- 8

_"

_Grado=

NOMBRE: CURSO: FECHA:

POLINOMIOS

Un polinomio es la suma o resta de varios monomios no semejantes. •   Cada uno de los sumandos se llama término del polinomio.

•   Los términos que no tienen parte literal se denominan términos independientes. •   El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado.

EjEMPLO

POLINOMIO

2x3 _{- 3x - 1} -2xy + 9

-5x

2x3_{; -3x; -1} -2xy;  9

-5x

-1 9 No tiene

3, que es el grado de 2x3

2, que es el grado de -2xy 1, que es el grado de -5x TÉRMINOS _{INDEPENDIENTE}TÉRMINO _{DEL POLINOMIO}GRADO

POLINOMIO TÉRMINOS _{INDEPENDIENTE}TÉRMINO _{DEL POLINOMIO}GRADO

-2x3 _{+ 3x - 5}

5ab - 5ax2_b

x3 _{- 2x}2 _{- x - 3}

6x - 7 5xy - 2y

3 2

a2_{b + 1}

IDENTIFIC

a

R

y

OPER

a

R CON POlINOMIOS

4 Halla el valor numérico del polinomio x2_{- 2x+ 1 para los valores que se indican.}

5 Dados los polinomios A(x) = 6x2_{- 8x+ 1 y B(x) = -9x}2_{- 2x+ 7, calcula.}

a) A(x) + B(x)  b) A(x) - B(x)   c) B(x) - A(x)

6 Dados los polinomios A(x) = x3_{- 3x + 2, B(x) = -2x}2_{+ 7x y C(x) = -x}3_{- 2, calcula.}

a) A(x) + B(x) + C(x)  b) A(x) + B(x) - C(x)  c) A(x) - B(x) - C(x)

SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS

 Para sumar polinomios se suman los monomios semejantes. Para restarla se suma al primero el polinomio  opuesto del segundo.

A(x)=2x2₊₅

B(x)= x3_-5x2_{-2x +3}

A(x) + B(x)=(2x2_+5)+(x3_-5x2_{-2x +3)=} = x3_-3x2_{-2x +8}

A(x) - B(x)=(2x2_+5)-(x3_-5x2_{-2x +3)=} =2x2_{+5- x}3_+5x2_{+2x -3=} =-x3_+7x2_{+2x +2}

EjEMPLO

vALOR

x = 0

x = 1

x = -2

0  2 _{- 2 ? 0 + 1 = 0 - 0 + 1 = 1}

vALOR NUMÉRICO DEL POLINOMIO

x3_-2x2_{- 2x+5} +

x3_-5x2_{-2x +3}

x3_-3x2_{-2x +8}

x3_-2x2_{- 2x+5} +

-x3_+5x2_{+2x -3} -x3_+7x2_{+2x +2}

UNIDAD

5

ADAPT

ACIÓN CURRICULAR

9 Dados los polinomios A(x) = -4x3_+ 6x2_{- 8x+ 1 y B(x) = 2x}2_{- 7, calcula.}

a) A(x) ? B(x)      b) B(x) ? 3x       c) A(x) ? x      d) B(x) ? (-3x)

7 Escribe los siguientes polinomios de forma reducida.

P(x) = 3x3_+2x2_- 5x3_+ 4x2_{- 7x + 2x}3

Q(x) = -4x2_- 5x3_+ 2x2_{- 6x + 2x}2_+ 5x3_- 1

R(x)=2x4_-6x3_{+4x +2x}2_-3x3_{+8x -2}

P(x)  = 3x3_+ 2x2_- 5x3_+ 4x2_{- 7x + 2x}3_{= 3x}3_- 5x3_+ 2x3_+ 2x2_+ 4x2_{- 7x = 6x}2_- 7x

8 Con los polinomios reducidos del ejercicio anterior, calcula.

a) P(x) + Q(x)      b) Q(x) + R(x)      c) Q(x) - R(x)      d) P(x) - Q(x)

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

 Para calcular el producto de dos polinomios se multiplica cada monomio del primer polinomio por cada  monomio del segundo. A continuación, se reducen los monomios semejantes.

A(x)= x3_-5x2_{-2x +1}

B(x)=2x2_+3x

A(x) ?B(x) 

"

EjEMPLO

x3_- 5x2_{- 2x + 1}

#_2x2_+ 3x

3x 4_- 15x 3_- 6x2_+ 3x

2x5_- 10x 4_- 24x 3_+ 2x2_+ 3

IDENTIFIC

a

R

y

OPER

a

R CON POlINOMIOS

10 Extrae factor común en las siguientes expresiones.

a)  3b + 4b  c)  15x4_- 5x2_{+ 10x e)  12x}2_-3x2_+ 9x3

b)  3a + 6b + 12  d)  6x2_{y + 4xy}2_{f)  10xy}2_{- 20xy +10x}2_y

11  Simplifica las fracciones, sacando factor común en el numerador y en el denominador.

a)  10 ?( 1) ? ( ) 2 (? 1) 2 (? 1)

x

x x

x x x

x

x x x

x

5 10 10

5 5

2 5 1

1

3 2 2 2

2 + = + = + = + = + b)  3 6 x y x y 3 2 4 2 - = c)  a b a b 3 3 3 =

d) 12₁₂ m m3 = e)  6 9 4 6 a a a

2_- 3

-=

f) 

x y

x y x y

2 2 2 2_- 3 2

= SACAR FACTOR COMÚN

 Una aplicación de la propiedad distributiva es sacar factor común. Esta operación consiste en extraer como  factor común el monomio que se repite en todos los términos. 

EjEMPLO

ExPRESIÓN

5x + 5y 7x2 _{- 3x}

5x2 _{- 5x}

3x2 _{- 12x + 15x}3

FACTOR COMÚN

5

x 5x

3x

SACAR FACTOR COMÚN

5? (x + y)

x ? (7x - 3)

UNIDAD

5

ADAPT

ACIÓN CURRICULAR

a

PlIC

a

R l

a

S IGU

a

lD

a

DES NOT

a

blES

OBJETIVO 4

NOMBRE: CURSO: FECHA:

1 Calcula.

a)  (x + 5)2_{=  c)  (2 + x)}2₌

b)  (a + 2b)2_{=  d)  (xy + 1)}2 ₌

2 Calcula.

a)  (x - 1)2_{=  c)  (2a - 3b)}2₌

b)  (a - 6b)2_{= d)  (5 - 3x)}2₌

IGUALDADES NOTAbLES

Las igualdades notables son ciertas igualdades cuya aplicación resulta muy útil para abreviar cálculos  con expresiones algebraicas. 

Las principales igualdades notables son:

•  Cuadrado de una suma: (a + b)2  _{= a} 2_{+ 2ab + b} 2

•  Cuadrado de una diferencia: (a - b)2 _{= a} 2_{- 2ab + b} 2

•  Suma por diferencia: (a + b)? (a - b) = a 2_{- b} 2

CUADRADO DE UNA DIFERENCIA

El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primer  sumando menos el doble producto del primero por el segundo,   más el cuadrado del segundo.

(a - b)2 _{= a}2 _{- 2ab + b}2

a - b

#  a - b

- ba + b2

a2 _- ab

a2 _{- 2ab + b}2 CUADRADO DE UNA SUMA

El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primer  sumando más el doble producto del primero por el segundo,  más el cuadrado del segundo.

(a + b)2 _{= a}2 _{+ 2ab + b}2

a + b

#  a + b

ba + b2

a2_{+ ab}

3 Calcula.

a)  (x + 5) ? (x - 5)=  c)  (7 + x) ? (7- x)=

b)  (2a + b) ? (2a - b)=  d)  (5a + 1) ? (5a - 1)=

4 Expresa en forma de igualdad notable.

a) x2_{+ 2x + 1=  d)  4x}2_{- 4x + 1=}

b) x2_{+ 10x + 25=  e)  9a}2_{- 30ab + 25b}2₌

c) x2_{- 16=  f)  4x}2_- 36=

5 Simplifica las fracciones, utilizando las igualdades notables.

a) 

4 4 4

x x

x

2 2

- +

-=

b) 

25 10 5

x

x x

2

2 2

-- +

= SUMA POR DIFERENCIA

El producto de una suma por diferencia es igual  a la diferencia de los cuadrados.

(a + b) ? (a - b) = a2 - b2

a + b

# a - b

- ba - b2

a2_+ ab+ b2