de la
Llicenciatura de Ci`
encies Ambientals
Gemma Bastardas i Ferrer
1 C`alcul en una variable 1
1.1 Equacions i inequacions . . . 1
1.2 Rectes i par`aboles . . . 4
1.3 Continu¨ıtat i derivaci´o . . . 8
1.3.1 Funcions d’una variable real . . . 8
1.3.2 L´ımits . . . 12
1.3.3 Continu¨ıtat de funcions . . . 15
1.3.4 Derivaci´o de funcions . . . 23
1.4 Extrems absoluts i relatius . . . 29
1.4.1 Extrems relatius . . . 30
1.4.2 Extrems absoluts . . . 33
1.5 Gr`afics de funcions . . . 35
1.6 F´ormula de Taylor . . . 38
1.6.1 Polinomi de Taylor . . . 38
1.6.2 F´ormula de Taylor . . . 39
1.7 Corbes planes. Equacions param`etriques. Coordenades polars . . . 43
1.7.1 Corbes planes i equacions param`etriques . . . 43
1.7.2 Coordenades polars . . . 48
2 Integraci´o en una variable 51 2.1 C`alcul d’`arees. Integraci´o . . . 51
2.2 T`ecniques d’integraci´o: per parts i canvi de variable . . . 57
2.2.1 Integraci´o per parts . . . 58
2.2.2 Integraci´o per canvi de variable . . . 59
2.3 Integrals racionals i trigonom`etriques . . . 61
2.3.1 Integrals racionals . . . 61
3 Introducci´o a les equacions diferencials ordin`aries 69
3.1 Soluci´o d’una equaci´o diferencial: general i particular. . . 70
3.2 Equacions de variables separades. Equacions lineals. . . 73
3.2.1 Equacions de variables separades . . . 73
3.2.2 Equacions lineals . . . 79
3.3 Models de creixement de poblacions. Comportament asimpt`otic. . . . 84
3.3.1 Model exponencial . . . 84
3.3.2 Model log´ıstic . . . 85
3.3.3 Model log´ıstic modificat . . . 87
4 Funcions de diverses variables 89 4.1 Corbes i superf´ıcies de nivell . . . 95
4.2 Derivades parcials. Regla de la cadena . . . 97
4.2.1 Derivades parcials . . . 97
4.2.2 Regla de la cadena . . . 102
4.3 Producte escalar i projeccions . . . 106
4.3.1 Producte escalar . . . 106
4.3.2 Projeccions . . . 108
4.4 Gradients i derivades direccionals . . . 109
4.4.1 Gradients . . . 109
4.4.2 Derivades direccionals . . . 110
4.5 Rectes i plans tangents . . . 112
4.5.1 Rectes tangents . . . 112
4.5.2 Plans tangents . . . 114
C`
alcul en una variable
L’objectiu d’aquest cap´ıtol ´es recordar alguns dels conceptes b`asics del c`alcul en una variable que ja coneixeu, aix´ı com d’introduir uns quants conceptes nous.
1.1
Equacions i inequacions
En matem`atiques, sovint distingim entre una igualtat i una equaci´o. Una igualtat ´es una equival`encia entre dues expressions algebraiques, la qual ´es certa independent-ment dels valors de les variables. Unaequaci´o ´es una igualtat entre dues expressions algebraiques que nom´es ´es certa per a certs valors de les variables; aquests valors s’anomenensolucions. Per exemple,
(x+ 1)2 =x2+ 2x+ 1 ´es una igualtat i, en canvi,
x2−5x+ 6 = 0
´es una equaci´o, les solucions de la qual s´on x= 2 i x= 3.
D’equacions n’hi ha de diversos tipus, entre elles les equacions algebraiques que ja coneixeu. En el darrer apartat d’aquest cap´ıtol introduirem les anomenades equacions param`etriques i en el cap´ıtol 3 definirem les equacions diferencials, les quals s´on una de les eines b`asiques usades a l’hora de modelar matem`aticament fen`omens reals.
Unadesigualtat´es una expressi´o que compara la mida o la posici´o de dos objectes. Recordeu que escrivim a < b per a dir que a´es m´es petit que b i si escrivim a > b
estem dient que a´es m´es gran que b. Escrivim a≤b per a dir que a´es m´es petit o igual queb ia≥b significa quea´es m´es gran o igual que b.
Unainequaci´o ´es una expressi´o que afirma que dos objectes o expressions no s´on iguals o no representen el mateix valor. Per exemple,
Com en el cas de les equacions, els valors de les variables pels quals ´es certa la ine-quaci´o s’anomenensolucions. Com podem determinar les solucions d’una inequaci´o? Abans de resoldre aquesta q¨uesti´o recordem la noci´o seg¨uent: un interval ´es un conjunt de nombres reals entre dos nombres donats. Un interval ´esobert si no cont´e els extrems i escrivim (a, b). Per contra, un interval ´estancat si cont´e els extrems i s’escriu [a, b]. Si no ´es ni obert ni tancat, sovint es parla de semi-obert o semi-tancat. Recordeu que si un dels extrems ´es ∞, escrivim un par`entesi. Noteu tamb´e que (a,+∞), (−∞, b) i (−∞,+∞) s´on intervals oberts, mentre que [a,+∞) i (−∞, b] es consideren intervals tancats.
Anem ara a resoldre inequacions...
1. Inequacions linealsEs resolen d’una manera semblant a les equacions lineals, per`o cal tenir en compte el seg¨uent: el signe de la inequaci´o canvia sempre que multipliquem o dividim la inequaci´o per un n´umero negatiu. Per exemple,
3x+ 6≤4x−5⇔3x−4x≤ −5−6⇔ −x≤ −11⇔x≥11.
2. Inequacions quadr`atiques Les resolem seguint els passos seg¨uents: • calculem els valors de la variable que fan que l’expressi´o sigui zero; • determinem els intervals en qu`e la inequaci´o es compleix.
Per exemple, volem resoldre x2−3x+ 2>0: • x2−3x+ 2 = 0⇔x= 1 i x= 2;
• determinem els intervals:
– (−∞,1): six= 0, aleshores 02−3·0 + 2 = 2>0; ´es a dir, la inequaci´o es compleix;
– (1,2): six= 1.5, aleshores 1.52−3·1.5 + 2 =−0.25<0; ´es a dir, la inequaci´o noes compleix;
– (2,+∞): six= 3, aleshores 32−3·3 + 2 = 2>0; ´es a dir, la inequaci´o es compleix.
Per tant, les solucions de la inequaci´o s´on x∈(−∞,1)∪(2,+∞).
3. Inequacions polinomials Es resolen com les inequacions quadr`atiques; ´es a dir, primer determinem els valors de la variable que anul·len l’expressi´o i despr´es determinem els intervals en els quals la inequaci´o es compleix. Per exemple, resolemx5+ 3x4−23x3−51x2+ 94x+ 120≥0:
• les solucions de x5 + 3x4 −23x3 −51x2 + 94x+ 120 = 0 s´on x = −5,
• determinem els intervals. Primer escrivim
f(x) =x5+3x4−23x3−51x2+94x+120 = (x+5)(x+3)(x+1)(x−2)(x−1) i aleshores:
– (−∞,−5): six=−6, aleshores f(−6)<0 i per tant la inequaci´o no es compleix;
– (−5,−3): si x =−4, aleshores f(−4) > 0 i per tant la inequaci´o es compleix;
– (−3,−1): si x =−2, aleshores f(−2)< 0 i per tant la inequaci´o no es compleix;
– (−1,2): si x = 0, aleshores f(0)> 0 i per tant la inequaci´o es com-pleix;
– (2,4): si x = 3, aleshores f(3) < 0 i per tant la inequaci´o no es compleix;
– (4,+∞): si x = 5, aleshores f(5) > 0 i per tant la inequaci´o es compleix.
Per tant, les solucions de la inequaci´o s´on
x∈[−4,−2]∪[−1,2]∪[4,+∞).
Observeu que ara hem considerat intervals tancats perqu`e busc`avem els valors de xtals que l’expressi´o era m´es gran oigual que zero.
4. Inequacions racionalsLa forma de resoluci´o d’aquest tipus d’inequacions ´es an`aloga al cas de les inequacions polinomials. Per exemple, resolem
x
x−3 ≤2.
• Primer de tot ho passem tot al mateix cant´o de la igualtat i fem denomi-nador com´u:
x
x−3 −2≤0⇔
x−2(x−3)
x−3 ≤0⇔
−x+ 6
x−3 ≤0. Aleshores igualant el numerador i el denominador a zero obtenim
−x+ 6 = 0⇒x= 6 i x−3 = 0⇒x= 3.
• Determinem ara els intervals: – (−∞,3): si x= 2, aleshores
−x+ 6
x−3 =
−2 + 6 2−3 =
4
−1 =−4<0;
– (3,6): si x= 4, aleshores −x+ 6
x−3 =
−4 + 6 4−3 =
2
1 = 2>0;
per tant, en aquest interval noes compleix la desigualtat que vol´ıem; – (6,+∞): si x= 7, aleshores
−x+ 6
x−3 =
−7 + 6 7−3 =
−1 4 <0;
per tant, en aquest interval es compleix la desigualtat que vol´ıem. Per tant, les solucions de la inequaci´o s´on
x∈(−∞,3)∪[6,+∞),
on incloem x= 6 perqu`e busquem els valors dex que fan que l’expressi´o sigui m´es petita oigual a zero.
1.2
Rectes i par`
aboles
Donats dos punts P iQ del pla, definim el vector −P Q−→ com Q−P. Per exemple, si
P = (1,−2) iQ= (0,4), aleshores −−→
P Q=Q−P = (−1,6).
Definim la dist`ancia entre P iQcom el m`odul o norma del vector−P Q−→,
d(P, Q) = q
||−P Q−→||.
En l’exemple anterior,
d(P, Q) =p(−1)2+ 62=√37.
Unarecta ´es la l´ınia que uneix dos punts i el lloc geom`etric de tots els punts que es troben en la mateixa direcci´o. L’equaci´o general d’una recta ´es
y =mx+n,
on m s’anomena pendent de la recta i n ´es la intersecci´o de la recta amb l’eix d’abscisses Ox. M´es concretament, el pendent ´es la tangent de l’angle que forma la recta amb l’eix d’abscissesOx (la inclinaci´o de la recta). Per exemple,
y= 3x−2 i y=−x+ 5
15
10
5
0
-5
x 6 4
2 0
Dues rectes s´on paral·leles si no es tallen o b´e s´on coincidents. Equivalentment, dues rectes s´on paral·leles si tenen el mateix pendent. Per exemple,
y= 4x−1 i y= 4x+ 4.
En el dibuix seg¨uent, hi ha representades la recta y = 4x−1 en blau i la recta
y= 4x+ 4 en vermell:
10
x 5
0
2
-5
1 0
-1 -2
Dues rectes s´on perpendiculars si es tallen formant un angle de 90◦. De forma equivalent, dues rectes s´on perpendiculars si el producte dels seus pendents ´es −1. Per exemple,
y= 3x+ 2 i y =−1 3x+ 1.
En el dibuix seg¨uent, hi ha representades la recta y = 3x+ 2 en blau i la recta
-5
x
6 4
20
2 0
10
-2 5
0 15
Un vector director ´es un vector que d´ona la direcci´o i el sentit a una recta. A part de l’equaci´o general, existeixen altres tipus d’equacions per tal d’expressar una recta:
1. Equaci´o impl´ıcita ax+by =c. Observeu que a partir d’ella podem obtenir l’equaci´o general:
y= −a
b x+ c b,
´es a dir, el pendent de la recta ´es −ba. 2. Equaci´o cont´ınua
x−p1
v1
= x−p2
v2
,
on (p1, p2) ´es un punt pel qual passa la recta i (v1, v2) ´es un vector director de
la recta.
3. Equaci´o vectorial(x, y) = (p1, p2) +λ(v1, v2), on (p1, p2) ´es un punt pel qual
passa la recta i (v1, v2) ´es un vector director de la recta.
4. Equacions param`etriques Les equacions param`etriques s’obtenen a partir de l’equaci´o vectorial i s´on les seg¨uents:
(
x = p1+λ v1
y = p2+λ v2.
Algunes q¨uestions
(a) Siguin P = (p1, p2) i Q = (q1, q2) dos punts diferents del pla. Volem
determinar una equaci´o del tipusy=mx+nque passi per P i per Q. Per tant, cal trobar els valors dem in tals que
(
p2 = m·p1+n
q2 = m·q1+n
(1.2.1)
Si restem les dues equacions, obtenim que
p2−q2=m·p1−m·q1⇔p2−q2 =m·(p1−q1)⇔m=
p2−q2
p1−q1
si p16=q1.
(Si p1 = q1, aleshores observeu que cal que p2 sigui igual a q2; ´es a dir,
P =Q.) Aleshores, substituint a la primera equaci´o obtenim el seg¨uent:
p2 =
p2−q2
p1−q1
·p1+n⇔n=p2−
p2p1−q2p1
p1−q1
= p2p1−p2q1−p2p1+q2p1
p1−q1
⇔
⇔n= q2p1−p2q1
p1−q1
.
O sigui
r:y= p2−q2
p1−q1
x+q2p1−p2q1
p1−q1
´es l’equaci´o d’una recta que passa per P i Q. De fet, ´es l’´unica: si hi hagu´es una recta s:y=m0x+n0 que pass´es perP iQ, aleshores hauria de satisfer (1.2.1), de manera quem0 =m in0 =n.
(b) SiguinP = (p1, p2) un punt del pla i−→v = (v1, v2) un vector. Aleshores
(x, y) = (p1, p2) +λ(v1, v2)⇔
(
x = p1+λ v1
y = p2+λ v2.
Si suposem que v1 6= 0 (si no, aleshores v2 6= 0, perqu`e per ser un vector
director cal que alguna de les dues components sigui diferent de 0), aleshores
λ= x−p1
v1
⇒y=p2+
x−p1
v1
v2 ⇒y=
v2
v1
x+p2v1−p1v2
v1
.
2. Quina relaci´o hi ha entre el vector director i els coeficients a i b de l’equaci´o impl´ıcitaax+by=c d’una recta?
El vector (b,−a) ´es un vector director de la recta. 3. Com podem trobar un vector director d’una recta?
Una par`abola ´es el conjunt de tots els punts del pla cartesi`a que equidisten (es troben a la mateixa dist`ancia) d’una l´ınia donada, anomenadadirectriu, i d’un punt donat, anomenatfocus. L’equaci´o general d’una par`aboa ´es
y=ax2+bx+c,
on c ´es la intersecci´o de la par`abola amb l’eix d’ordenades Oy. Si el coeficient a
´es positiu, aleshores les “punxes” de la par`abola van cap amunt; si a ´es negatiu, aleshores les “punxes” van cap avall. Per exemple,
y= 2x2−3x−1 i y=−x2+ 4x+ 3.
En el dibuix seg¨uent, hi ha representades la par`abola y = 2x2−3x−1 en blau i la par`abolay=−x2+ 4x+ 3 en vermell:
-4
20
x
4 6
60
0
2
-20 -2
40
0
Observeu que, aix´ı com una recta queda determinada per dos punts o b´e per un punt i un vector director, una par`abola queda determinada per tres punts o b´e per un punt (el focus) i una recta (la directriu).
1.3
Continu¨ıtat i derivaci´
o
1.3.1 Funcions d’una variable realL’objecte d’estudi d’aquest cap´ıtol s´on les funcions d’una variable real. Una funci´o d’una variable real´es una “regla” definida en un conjuntDper la qual a cada n´umero de Dli assignem un ´unic n´umero real. Per exemple,
f: R → R g: R → R
El conjunt D on la funci´o est`a definida s’anomena domini de la funci´o. El conjunt de valors que pren la funci´o o, dit d’una altra manera, el conjunt de n´umeros reals associats als n´umeros deD a trav´es de la funci´o, s’anomenaimatge de la funci´o i es denota im (f). Concretament, donada una funci´o f,
im (f) ={y∈R|y=f(x) per a algun x∈D}.
Com determinem el domini d’una funci´o?
(a) Funcions polin`omiques. El domini d’una funci´o polin`omica s´on tots els n´ ume-ros reals; ´es a dir, D=R. Per exemple,f(x) =x2−3x+ 1.
(b) Funcions racionals. El domini d’una funci´o racional s´on tots els n´umeros reals llevat dels punts on el denominador s’anul·la (perqu`e dividir per zero no t´e sentit). Per exemple, considerem la funci´o
f(x) = x+ 1
x2+x−12.
Observem que x2+x−12 = 0 six=−4 i x= 3. Per tant,
D(f) =R\ {−4,3}.
(c) Funcions amb arrels. El domini dep`en de l’´ındex de l’arrel.
• Si l’´ındex de l’arrel ´es parell (√, √4,. . .), cal que el radicant sigui positiu o zero; per exemple, si tenim
f(x) =px2−1,
aleshoresx2−1 = 0 six=−1 i six= 1. Ara
– (−∞,−1): si x=−2, aleshores (−2)2−1 = 3>0;
– (−1,1): si x= 0, aleshores 02−1 =−1<0; – (1,+∞): si x= 2, aleshores 22−1 = 3>0. Per tant,D(f) = (−∞,−1]∪[1,+∞).
• Si l’´ındex de l’arrel ´es senar (√3,√5,. . .), aleshores el radicant pot ser negatiu, positiu o zero. Per tant, el domini s´on tots els n´umeros reals; ´es a dir,D=R.
Per exemple, f(x) =√3x2−1.
Evidentment, podem tenir funcions en qu`e es combinin els diversos tipus de funcions que acabem de veure. Per exemple, suposem que tenim
f(x) = r
x+ 1
D’una banda, x−1 = 0 si x = 1. Per tant, la funci´o no existeix en x = 1. D’altra banda, cal que el radicant sigui positiu o zero; tenint en compte que x+ 1 = 0 si
x=−1, hem d’estudiar els intervals seg¨uents: • (−∞,−1): si x=−2, aleshores
−2 + 1 −2−1 =
−1 −3 =
1 3 >0; • (−1,1): si x= 0, aleshores
0 + 1 0−1 =
1
−1 =−1<0; • (1,+∞): six= 2, aleshores
2 + 1 2−1 =
3
1 = 3>0.
Per tant, D(f) = (−∞,−1]∪(1,+∞), on incloem el −1 perqu`e la funci´o pot ser zero, per`o no incloem l’1 perqu`e el denominadorno es pot anul·lar.
Un cop definits el domini i la imatge d’una funci´o, podem dir qu`e ´es la repre-sentaci´o d’una funci´o. Donada una funci´o f amb domini Di imatge im (f), definim larepresentaci´o de f com el subconjunt de R2 seg¨uent:
Rep (f) ={ (x, f(x))∈D×im (f) } ⊆R2
Operacions amb funcions
1. Suma i resta de funcions. Donades dues funcions f:D1 → Ri g:D2 →R,
la seva suma i la seva resta,
f+g:D1∩D2→R i f −g:D1∩D2 →,R
es defineixen com (f+g)(x) =f(x) +g(x) i (f−g)(x) =f(x)−g(x) per a tot
x∈D1∩D2. Per exemple, donades les funcions
f(x) =x+ 3 i g(x) = x
2+ 1
x−3, la funci´o suma i la funci´o resta s´on les seg¨uents:
(f +g)(x) =f(x) +g(x) =x+ 3 +x
2+ 1
x−3 =
(x+ 3)(x−3) +x2+ 1
= x
2−9 +x2+ 1
x−3 =
2x2−8
x−3 ; (f−g)(x) =f(x)−g(x) =x+ 3−x
2+ 1
x−3 =
(x+ 3)(x−3)−(x2+ 1)
x−3 =
= x
2−9−x2−1
x−3 = −10
x−3.
2. Multiplicaci´o o producte de funcions. Donades dues funcions f:D1 → R
ig:D2 →R, el seu producte
f·g:D→R,
es defineix com (f·g)(x) =f(x)·g(x) per a tot x∈D. Per exemple, donades les funcions
f(x) =x+ 3 i g(x) = x
2+ 1
x−3, la funci´o producte ´es la seg¨uent:
(f·g)(x) =f(x)·g(x) = (x+ 3)·x
2+ 1
x−3 =
(x+ 3)(x2+ 1)
x−3 = = x
3+x+ 3x2+ 3
x−3 =
x3+ 3x2+x+ 3
x−3 .
Observeu que el domini no t´e perqu`e ser D1 ∩D2, sin´o que ´es un nou
con-junt D que caldr`a determinar despr´es d’obtenir la funci´o producte. En el cas de l’exemple, el domini ´esD=R\ {3}, que coincideix ambD2.
3. Divisi´o de funcions. Donades dues funcionsf:D1 →Rig:D2 →R, la seva
divisi´o
f
g:D→R,
es defineix com
f g
(x) = fg((xx)) per a totx∈Di tal queg(x)6= 0. Per exemple, donades les funcions
f(x) =x+ 3 i g(x) = x
2+ 1
x−3, la funci´o divisi´o ´es la seg¨uent:
f g
(x) = f(x)
g(x) =
x+ 3
x2+1
x−3
= (x+ 3)(x−3)
x2+ 1 =
x2−9
x2+ 1.
Com en el cas del producte, el domini no t´e perqu`e ser D1∩D2, sin´o que ´es
4. Composici´o de funcions. Donades dues funcionsf:D1→Rig:D2 →R, les
seves composicions
g◦f:D→R i f◦g:D→R,
si existeixen, es defineixen com (g◦f)(x) =g(f(x)) per a tot x ∈ D1 tal que
f(x) ∈ D2 i (f ◦g)(x) = f(g(x)) per a tot x ∈ D2 tal que g(x) ∈ D1. Per
exemple, donades les funcions
f(x) =x+ 3 i g(x) = x
2+ 1
x−3, les seves composicions s´on les seg¨uents:
(g◦f)(x) =g(f(x)) =g(x+ 3) = (x+ 3)
2+ 1
(x+ 3)−3 =
x2+ 6x+ 10
x ,
per a totx∈D1 tal quef(x)∈D2. El domini de la nova funci´o ´esD=R\ {0}.
(f◦g)(x) =f(g(x)) =f
x2+ 1
x−3
= x
2+ 1
x−3 + 3 =
= x
2+ 1 + 3(x−3)
x−3 =
x2+ 1 + 3x−9
x−3 =
x2+ 3x−8
x−3 ,
per a totx∈D2 tal quef(x)∈D1. El domini de la nova funci´o ´esD=R\ {3},
que coincideix ambD2.
Per acabar amb la petita introducci´o a les funcions d’una variable real, nom´es dir que tamb´e podem definir les funcionsa trossos. Per exemple,
f(x) = (
x−1 si x <2
x2+ 4 si x≥2.
Un dels exemples m´es importants d’aquest tipus de funcions i que estudiarem m´es endavant ´es la funci´ovalor absolut:
f(x) =|x|= (
−x si x <0
x si x≥0, f(x) =|x−2|=
(
−x si x <2
x si x≥2.
1.3.2 L´ımits
Una noci´o important abans de parlar de continu¨ıtat i derivaci´o de funcions ´es la de l´ımit. La idea de l´ımit ´es la seg¨uent: fixem un n´umero l i suposem que tenim una funci´of definida prop d’un punta. Aleshores escrivim
lim
per a dir que quan x s’apropa al punta, aleshoresf(x) s’apropa al valorl. Aquesta expressi´o es llegeix com “el l´ımit def(x) quanx tendeix aa´esl”.
Cal dir que ens podem apropar al punt aper l’esquerra o b´e per la dreta. Aix`o ens porta a parlar delsl´ımits laterals, els quals es denoten de la manera seg¨uent:
• l´ımit per l’esquerra: limx→a−f(x);
• l´ımit per la dreta: limx→a+f(x). Aleshores,si existeix,
lim
x→af(x) =l si i nom´es si xlim→a−f(x) =l= limx→a+f(x);
´es a dir, el l´ımit quan x tendeix a aexisteix si els l´ımits laterals existeixen i prenen el mateix valor.
ExempleConsiderem la funci´o definida a trossos
f(x) = (
x2+x−1 si x∈(−1,1) 1 si x6∈(−1,1).
Aleshores
lim
x→−1−f(x) = limx→−11 = 1 i
lim
x→−1+f(x) = limx→−1(x
2+x−1) =−1.
O sigui que, en aquest cas, limx→−1f(x) no existeix perqu`e els l´ımits laterals prenen
valors diferents. En canvi, lim
x→1−f(x) = limx→1(x
2+x−1) = 1 i
lim
x→1+f(x) = limx→11 = 1.
´
Es a dir, limx→1f(x) existeix i ´es igual a 1.
Propietats del l´ımit
(1) Unicitat: el l´ımit d’una funci´o en un punt, si existeix, ´es ´unic. ´Es a dir, si lim
x→af(x) =l i limx→af(x) =m, aleshoresl=m.
(2) Suposem que limx→af(x) =li limx→ag(x) =m amb l, m <∞. Aleshores
(2.1) limx→a(f(x) +g(x)) =l+m;
(2.3) limx→a(f(x)g(x)) =l·m.
(3) Suposem que limx→af(x) =li limx→ag(x) =m amb l, m <∞. Aleshores
(3.1) sil, m6= 0, llavors limx→afg((xx)) = ml;
(3.2) sil= 0 i m6= 0, llavors limx→afg((xx)) = 0;
(3.3) sil6= 0 i m= 0, llavors limx→afg((xx)) no existeix;
(3.4) si l = m = 0, llavors limx→agf((xx)) = ml = 00 ´es una indeterminaci´o. Per
exemple, suposem que
f(x) =x−2 i g(x) =x2−4.
Aleshores limx→2f(x) = 0 i limx→2g(x) = 0; per tant,
lim
x→2
f(x)
g(x) = 0
0 ´es una indeterminaci´o. Ara b´e,
lim
x→2
f(x)
g(x) = limx→2
x−2
x2−4 = limx→2
x−2
(x−2)(x+ 2) = limx→2
1
x+ 2 = 1 4. En canvi, suposem que
f(x) =x−2 i g(x) = (x−2)2.
Aleshores limx→2f(x) = 0 i limx→2g(x) = 0; per tant,
lim
x→2
f(x)
g(x) = 0
0 ´es una indeterminaci´o. Ara b´e,
lim
x→2
f(x)
g(x) = limx→2
x−2
(x−2)2 = limx→2
1
x−2 ⇒el l´ımitno existeix.
Nota: Recordeu que s´on indeterminacions les expressions seg¨uents: 0
0, ∞
∞, 0· ∞, 1
∞, ∞ − ∞.
Veurem com es resolen a les classes de problemes. Nom´es notar que la indeterminaci´o 0· ∞ es pot convertir en 00 o b´e ∞∞; la indeterminaci´o 1∞ es resol amb el n´umeroe; i la indeterminaci´o ∞ − ∞es resol multiplicant pel conjugat.
En canvi, no s´on indeterminacions les expressions seg¨uents: 0
∞ = 0, ∞
0 =∞, ∞ · ∞=∞,
l
∞ = 0, ∞
l =∞,
1.3.3 Continu¨ıtat de funcions
Un cop recordat el concepte de l´ımit ja estem a punt per a parlar de la continu¨ıtat de funcions. La idea d’una funci´o cont´ınua ´es una funci´o que la “podem dibuixar sense aixecar el llapis del paper”. Per exemple, la par`abola f(x) =x2 ´es una funci´o cont´ınua, per`o en canvi la funci´o f(x) = x1 no ´es cont´ınua perqu`e en el zero no existeix, per`o abans i despr´es del zero s´ı; ´es a dir, la funci´o t´e un dibuix format per “dos trossos”. Matem`aticament, una funci´o cont´ınua la definim com segueix:
Definici´oSiguif una funci´o definida en un interval obert (a−ε, a+ε). Diem quef
´escont´ınua al punt asi (1) existeix limx→af(x) i
(2) limx→af(x) =f(a);
´es a dir, si existeix el l´ımit de la funci´o en el punt ai ´es igual a la funci´o en aquest punt.
Exemple Considerem la funci´o definida a trossos que hem estudiat en l’apartat anterior:
f(x) = (
x2+x−1 si x∈(−1,1)
1 si x6∈(−1,1).
D’aquesta funci´o hem vist el seg¨uent: • six=−1, aleshores
lim
x→−1−f(x)6=x→−lim1+f(x)⇒xlim→−1f(x) no existeix.
Per tant, segons la definici´o de continu¨ıtat tenim que f no ´es cont´ınua en el puntx=−1;
• six= 1, aleshores lim
x→1−f(x)6= limx→1+f(x) = 1⇒xlim→1f(x) existeix i ´es igual a 1.
A m´es,f(1) = 1. Per tant, com que limx→1f(x) =f(1), la funci´of ´es cont´ınua
en el punt x= 1.
Observaci´o. Tenint en compte que hem parlat de l´ımits laterals, tamb´e existeix el concepte de continu¨ıtat lateral:
• Si limx→a−f(x) = f(a), per`o limx→a+f(x) 6= f(a), aleshores diem que f ´es
• Si limx→a+f(x) = f(a), per`o limx→a−f(x) 6= f(a), aleshores diem que f ´es
cont´ınua per la dreta.
Propietats de les funcions cont´ınues
(1) Suposem quef ig s´on dues funcions cont´ınues en un punta. Aleshores (1.1) f+g if−g s´on funcions cont´ınues en el punta;
(1.2) α·f ´es una funci´o cont´ınua en el punt a; (1.3) f·g´es una funci´o cont´ınua en el punt a;
(1.4) sig(a)6= 0, aleshores fg ´es una funci´o cont´ınua en el punt a.
(2) Suposem que f ´es una funci´o cont´ınua en un punt a i g ´es una funci´o cont´ınua en un puntf(a), aleshoresg◦f ´es una funci´o cont´ınua en el punta.
Exemples de funcions cont´ınues
1. Funcions polin`omiques. Les funcions del tipusf(x) =a0+a1x+· · ·+anxn
s´on funcions cont´ınues per a tot n´umero real x. Per exemple,
f(x) =x2−2x+ 3 i g(x) = 5x4−4x3+x−1,
els gr`afics de les quals s´on els seg¨uents (f en blau ig en vermell):
x
4 3 2 1 10
0 8
-1 4 6
2 -2
0,5 0
-0,5 -1
12
10
8
6
4
2
0
1,5 1
2. Funcions trigonom`etriques. Les funcions trigonom`etriques f(x) = sinx i
Els gr`afics de les funcions sinus i cosinus els veiem en els dibuixos seg¨uents (sinx en blau i cosxen vermell):
6 x
1
4 0,5
0
2
-0,5
-1 0 -2
6 1
4 0,5
0
2
-0,5
-1 0
x -2
3. Funcions exponencials. Les funcions del tipus f(x) = ±ag(x), on a > 0, s’anomenen funcions exponencials i s´on una fam´ılia d’exemples de funcions cont´ınues per a tot x del domini de la funci´o. Les funcions exponencials tenen les propietats seg¨uents:
(1) el domini de f(x) ´es igual al domini de l’exponent g(x). Per exemple, si tenimf(x) = 34x, aleshores el domini s´on tots els reals; en canvi, si tenim
f(x) =e
√
x, aleshores el domini s´on tots els reals positius;
(2) si f(x) = ag(x) amb a > 0, aleshores f nom´es pren valors estrictament positius. Si f(x) = −ag(x) amb a > 0 aleshores f nom´es pren valors estrictament negatius;
(3) a0= 1 i a1=a;
(4) af(x)+g(x) =af(x)·ag(x) iax−y = aa(fg((xx)); (5) af(x)·bf(x)= (ab)f(x), on a, b >0; (6) (af(x))g(x)=af(x)g(x);
(7) abf(x)
= af(x)
bf(x). Per exemple,
f(x) =e3x−4 i g(x) = 3
√
x−1.
Finalment, una propietat molt important de les funcions exponencials ´es que si a6= 1, aleshores tenim una funci´o injectiva (´es a dir, si f(x) = f(y), llavors
La representaci´o gr`afica de les funcionsf(x) =ex ig(x) = 2x s´on les seg¨uents (f en blau i gen vermell):
x
3 2 1 0 15
-1 20
-2
5 10
-3
0
x
3 2 1 0 6
-1 8
-2
2 4
-3
0
4. Funcions logar´ıtmiques. La inversa de la funci´o exponencial s’anomena loga-ritme i el denotem per loga. La relaci´o entre exponencial i logaritme ´es la seg¨uent:
logab=x⇔ax =b.
Quan a=e, aleshores parlem de logaritme neperi`a i escrivim lnb en comptes de logeb.
Les funcions logar´ıtmiques, f(x) = logag(x), son funcions cont´ınues per a tot x del domini de la funci´o. Les funcions logar´ıtmiques tenen les propietats seg¨uents:
(1) el domini def(x) ´es el conjunt de punts on g(x) >0 (perqu`e el logaritme ´es la funci´o inversa de l’exponencial, la qual nom´es pren valors positius); (2) loga1 = 0 i logaa= 1;
(3) logaf(x) + logag(x) = loga(f(x)g(x)); (4) logaf(x)−logag(x) = logafg((xx)); (5) loga(f(x)c) =clogaf(x);
(6) logaf(x) = loglogf(ax); (7) logaf(x) = logbf(x)
logba , per a qualsevol b >0.
Per exemple,
La representaci´o gr`afica de les funcions f(x) = lnx i g(x) = log2x s´on les seg¨uents
(f en blau i gen vermell):
4 3 2 1 1
0
-1
-2
-3
-4
x
5
-2
4
-4
-6
3 2 1 2
5 0
Observaci´o. Hem vist com es representen les funcions “b`asiques”, f(x) = logax i
g(x) =ax. Sabent aix`o, podem dibuixar f`acilment funcions com
f(x) = loga(3x), g(x) =ax+ 4 ?
La resposta a aquesta pregunta ´es positiva; cal tenir en compte el seg¨uent:
• si sumem o restem una constant a la variable independent (x), aleshores la representaci´o gr`afica es despla¸ca cap amunt o cap avall, respectivament; per exemple, compareu el gr`afic de f(x) =ex (en blau) amb els gr`afics de g(x) =
ex+1 (en vermell) i de h(x) =ex−2 (en verd).
x 0
1,5 1 0,5 20
-1 -0,5 5
2 15
0 10
com-pareu el gr`afic de f(x) = lnx (en blau) amb els gr`afics de g(x) = lnx−1 (en vermell) i deh(x) = lnx+ 1 (en verd).
4 1
2
3 0
-2
2
-4
5
Una propietat molt important de les funcions cont´ınues ´es la seg¨uent:
Teorema de Bolzano Sigui f: [a, b]→ R una funci´o cont´ınua. Si f(a)·f(b) <0, aleshores existeix c∈(a, b) tal que f(c) = 0.
´
Es a dir, el que ens diu aquest teorema ´es que si una funci´o cont´ınua definida en un interval tancat [a, b] pren un valor positiu en a i un valor negatiu en b, o b´e un valor negatiu ena i un valor positiu en b, aleshores hi ha d’haver un puntc entre a
ib, amb c6=a, b, on la funci´o s’anul·la.
Aplicaci´o del teorema de Bolzano: aproximaci´o d’arrels o zeros d’equacions
Per exemple, volem veure si l’equaci´ox5+x3+ 5 = 0 t´e, com a m´ınim, una soluci´o real. Definim f(x) =x5+x3+ 5 i aleshores
f(−2) = (−2)5+ (−2)3+ 5 =−35<0 i f(−1) = (−1)5+ (−1)3+ 5 = 3>0.
Com que
• f ´es cont´ınua a l’interval tancat [−2,−1] i • f(−2)·f(−1)<0,
podem aplicar el teorema de Bolzano, el qual ens assegura que
existeixc∈(−2,−1) tal quef(c) = 0⇒x5+x3+ 5 t´e una arrel real a (−2,−1).
(1) Discontinu¨ıtat evitable. Parlem de discontinu¨ıtat evitable quan • ano pertany al domini de f,
• existeix limx→af(x) i
• limx→af(x)6=f(a).
Per exemple, considerem la funci´o
f(x) = x−2
x2−4.
Observem que
lim
x→2−f(x) = limx→2+f(x) = limx→2
x−2
x2−4 = limx→2
1
x+ 2= 1 4
per`o la funci´o no est`a definida en el punt 2; ´es a dir, el valorf(2) no existeix. Ara b´e, podem construir una nova funci´o
g(x) = (
x−2
x2−4 si x6= 2
1
4 si x= 2
i aleshores limx→2g(x) =g(2); per tant,g´es cont´ınua al puntx= 2. ´Es per aix`o
que la discontinu¨ıtat s’anomena evitable.
(2) Discontinu¨ıtat de salt. Parlem de discontinu¨ıtat de salt quan els l´ımits laterals existeixen per`o s´on diferents; ´es a dir,
lim
x→a−f(x) =l,xlim→a+f(x) =m il6=mamb l, m <∞. Per exemple, considerem la funci´o definida a trossos
f(x) = (
x2+ 1 si x <0 2x−3 si x≥0.
Aleshores lim
x→0−f(x) = limx→0(x
2+ 1) = 1 i lim
x→0+f(x) = limx→0(2x−3) =−3.
O sigui que els l´ımits laterals s´on diferents.
(3) Discontinu¨ıtat essencial o asimpt`otica. Parlem de discontinu¨ıtat essencial o asimpt`otica quan el l´ımit de la funci´o en el puntano existeix i ´es igual a ±∞ o b´e a∞; ´es a dir,
lim
x→af(x) = +∞, xlim→af(x) =−∞o b´e limx→af(x) =∞.
En particular, els dos l´ımits laterals s´on infinits. Per exemple, si considerem la funci´o
f(x) = x
2+ 2
x2−4,
aleshores
lim
x→2f(x) = limx→2
x2+ 2
x2−4 =∞.
De fet, si prenem l´ımit per l’esquerra ens d´ona−∞i si prenem l´ımit per la dreta ens d´ona +∞; per aix`o diem que el l´ımit ´es∞.
(4) Discontinu¨ıtat de segona esp`ecie. Parlem de discontinu¨ıtat de segona esp`ecie quan la funci´o no ´es cont´ınua al puntx=a, per`o no ens trobem en cap dels casos anteriors. Per exemple, considerem la funci´o definida a trossos
f(x) = (
4x+ 1 si x≤2
3
x−2 si x >2.
En aquest cas, tenim el seg¨uent: lim
x→2−f(x) = limx→2(4x+ 1) = 9 i xlim→2+f(x) = limx→2
3
x−2 = +∞.
Per tant, no ´es una discontinu¨ıtat evitable perqu`e limx→2f(x) no existeix; no ´es
una discontinu¨ıtat de salt perqu`e un dels l´ımits laterals no ´es finit; i no ´es una discontinu¨ıtat asimpt`otica perqu`e un dels l´ımits laterals ´es finit.
Finalment, hem definit la continu¨ıtat d’una funci´o en un punt, per`o tamb´e podem definir la continu¨ıtat en un interval:
Definicions
• Sigui f una funci´o definida en un interval (a, b). Diem que f ´es cont´ınua en aquest interval sif ´es cont´ınua a cada puntc∈(a, b).
1.3.4 Derivaci´o de funcions
Geom`etricament la idea de la derivada d’una funci´o ´es la seg¨uent: considerem un puntx=a, aleshores ens podem acostar a aquest punt per l’esquerra o per la dreta. • Si ens hi acostem per l’esquerra, aleshores ens apropem al punt a amb punts de la formax=a−h ambh que tendeix a zero perqu`e cada vegada estem m´es a prop dea. Aleshores tenim parells de punts de la forma (a−h, f(a−h)). • Si ens hi acostem per la dreta, aleshores ens apropem al punta amb punts de
la formax=a+h ambh que tendeix a zero perqu`e cada vegada estem m´es a prop dea. Aleshores tenim parells de punts de la forma (a+h, f(a+h)). En qualsevol dels dos casos, la recta que passa
per (a, f(a)) i (a−h, f(a−h)) o b´e per (a, f(a)) i (a+h, f(a+h))
´es una recta que talla el gr`afic def(x) en dos punts; ´es a dir, ´es una recta secant. La idea ´es que si h tendeix a zero, aleshores aquesta recta secant es converteix en una recta tangent perqu`e nom´es talla el gr`afic de f(x) en un punt, (a, f(a)). Doncs “la derivada de f al punt a ´es el pendent de la recta tangent al gr`afic de f(x) al punt a.”
Gr`aficament: prenemf(x) =x2+ 1 i considerema= 3. Dibuixem en vermell la recta que passa per (a−h, f(a−h)) = (2,5) i per (a, f(a)) = (3,10). A mida que anem fent tendir h cap a zero, el valor de a−h disminueix, de manera que al final la recta vermella es converteix en la recta verda, la qual nom´es tallaf(x) en el punt (a, f(a)) = (3,10):
4 3,5 3 2,5 2 y
1,5 12
1 8
4
Definici´oSiguif una funci´o definida en un interval obert (a−ε, a+ε). Diem quef
´esderivable o diferenciable al punt asi existeix
lim
h→0
f(a+h)−f(a)
h .
Aquest l´ımit, en cas que existeixi, ´es laderivada de f al punt ai s’escriu f0(a). Exemples
(1) Suposem que tenim la funci´o f(x) = x2 i volem calcular la derivada de f en un punt xqualsevol; aleshores
f0(x) = limh→0 f(x+h)
−f(x)
h = limh→0
(x+h)2−x2
h = limh→0
x2+2xh+h2−x2
h =
= limh→0 2xh+h
2
h = limh→0
h(2x+h)
h = limh→0(2x+h) = 2x.
En particular, six= 1, aleshores f0(1) = 2.
(2) Suposem que ara volem calcular la derivada de f(x) = 1x al punt x = −1; aleshores
f0(x) = limh→0 f(−1+hh)−f(−1) = limh→0
1
−1+h−
1
−1
h = limh→0
1
−1+h+1
h =
= limh→0
1+h−1
h−1
h = limh→0 h
h(h−1) = limh→0 1
h−1 =−1.
Aplicaci´o de la derivada: c`alcul de la recta tangent al gr`afic d’una funci´o en un punt
Donada una funci´o f(x) i un punt x = a del gr`afic de la funci´o, l’equaci´o de la recta tangent af al punt a´es la seg¨uent:
y−f(a) =f0(a)·(x−a) ⇒ y=f0(a)x+ [f(a)−a·f0(a)].
Per exemple, sif(x) =x2, aleshores la recta tangent a f al punt x= 1 ´es
y−1 = 2·(x−1)⇒y= 2x+ 1−2⇒y = 2x−1.
Observacions
Per exemple, considerem novament f(x) =x2 i la recta tangent al seu gr`afic al punt x= 1, que t´e equaci´or:y= 2x−1.
• El punt d’intersecci´o de r amb l’eix d’abscises Ox´es
0 = 2x−1⇒x= 1
2 ⇒A=
1 2,0
.
• Siguin B = (a,0) = (1,0) i C = (a, f(a)) = (1,2). Considerem el triangle rectangle amb v`ertexs A, B i C. Aleshores si denotem per α l’angle que forma la recta tangent amb l’eix d’abscises,
tanα= catet oposat catet adjacent =
BC AB =
p
(1−1)2+ (2−1)2
p
(1−1/2)2+ (0−0)2 =
1 1/2 = 2, que ´es igual a f0(1) – compareu amb l’exemple (1) del c`alcul de derivades. (2) La recta perpendicular a la recta tangent al gr`afic d’una funci´o f en un punt
x=as’anomenarecta normal al gr`afic def al punta i la seva equaci´o ´es
y−f(a) =− 1
f0(a) ·(x−a) ⇒ x+f
0(a)y=a+f0(a)·f(a).
Un resultat molt important de les funcions derivables o diferenciables ´es el seg¨uent: TeoremaSiguif una funci´o definida en un interval obert (a−ε, a+ε). Sif ´es una funci´o diferenciable en un punt a, aleshores f ´es cont´ınua en a.
que ser cont´ınua. Ara b´e, el rec´ıproc d’aquest teorema no ´es cert; ´es a dir, si una funci´o ´es cont´ınua en un punt, aleshores pot serno diferenciable en aquest punt. Per exemple, considerem la funci´o valor absolut
f(x) =|x|= (
−x si x <0
x si x≥0 i veiem qu`e passa en el puntx= 0.
• f ´es cont´ınua al puntx= 0 perqu`e lim
x→0−f(x) = limx→0+f(x) =f(0). Comprovem-ho:
lim
x→0−f(x) = limx→0(−x) = 0, xlim→0+f(x) = limx→0x= 0 i f(0) = 0.
• f no ´es derivable o diferenciable al puntx= 0 perqu`e
lim
h→0−
f(x+h)−f(x)
h 6= limh→0+
f(x+h)−f(x)
h .
Comprovem-ho:
lim
h→0−
f(x+h)−f(x)
h = limh→0
−(x+h)−(−x)
h = limh→0
−h
h =−1 i
lim
h→0+
f(x+h)−f(x)
h = limh→0
(x+h)−x h = limh→0
h h = 1.
Regles de derivaci´o
(1) Sif(x) =c, aleshoresf0(x) = 0.
Prova.
f0(x) = lim
h→0
f(x+h)−f(x)
h = limh→0
c−c
h = 0.
(2) Sif(x) =x, aleshoresf0(x) = 1.
Prova.
f0(x) = lim
h→0
f(x+h)−f(x)
h = limh→0
x+h−x h = limh→0
h
(3) Derivada d’una suma o resta de funcions derivables. Sit(x) =f(x)+g(x), aleshores t0(x) = f0(x) +g0(x); an`alogament, si t(x) = f(x)−g(x), aleshores
t0(x) =f0(x)−g0(x).
Prova. Farem la demostraci´o per la suma; per la resta ´es an`aloga.
t0(x) = lim
h→0
(f(x+h) +g(x+h))−(f(x) +g(x))
h =
= lim
h→0
f(x+h)−f(x)
h + limh→0
g(x+h)−g(x)
h =f
0(x) +g0(x).
(4) Derivada d’una multiplicaci´o o producte de funcions derivables. Si
t(x) =f(x)·g(x), aleshorest0(x) =f0(x)·g(x) +f(x)·g0(x).
Prova.
t0(x) = lim
h→0
(f(x+h)g(x+h))−(f(x)g(x))
h =
= lim
h→0
f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x+h) +f(x)g(x+h)−f(x)g(x)
h =
= lim
h→0
(f(x+h)−f(x))g(x+h) +f(x) (g(x+h)−g(x))
h =
= lim
h→0
f(x+h)−f(x)
h ·hlim→0g(x+h) + limh→0f(x)·hlim→0
g(x+h)−g(x)
h =
= f0(x)·g(x) +f(x)·g0(x).
(5) Sit(x) = g(1x), aleshorest0(x) =−gg(0(xx))2, on g(x)6= 0.
Prova.
t0(x) = lim
h→0 1
g(x+h)− 1
g(x)
h = limh→0
g(x)−g(x+h)
g(x+h)·g(x)
h =
= lim
h→0
−((g(x+h)−g(x))
h ·hlim→0
1
g(x+h)·g(x) =
= −g0(x)· 1
g(x)2 =−
g0(x)
g(x)2.
Prova. Observem que
t(x) = f(x)
g(x) =f(x)· 1
g(x). Per tant, usant (4) i (5) obtenim el resultat.
(7) Regla de la cadena. Sit(x) = (g◦f)(x), aleshorest0(x) =g0(f(x))·f0(x), onf
´es derivable en xig ´es derivable en f(x).
(La prova d’aquesta regla ´es un xic t`ecnica i la podeu trobar en algun dels llibres de la bibliografia del curs.)
ExempleSuposem que volem derivar la funci´o
F(x) = r
x2+ 2x−2
x+ 1 .
Observem que F =g◦f amb f(x) = x2+2x+1x−2 ig(x) =√x. Per tant,
F0(x) = (g◦f)0(x) =g0(f(x))·f0(x); d’una banda,
f0(x) = (2x+ 2)(x+ 1)−(x
2+ 2x+ 2)·1
(x+ 1)2 =
= 2x
3+ 2x+ 2x+ 2−x2−2x−2
(x+ 1)2 =
2x3−x2+ 2x
(x+ 1)2 ;
i, d’altra banda,
g0(x) =1 2 ·x
1/2−1= 1
2 ·x
−1/2 = 1
2√x.
Per tant,
F0(x) = 1 2
q
x2+2x−2
x+1
·2x
3−x2+ 2x
(x+ 1)2 =
(2x3−x2+ 2x)√x+ 1 2(x+ 1)2√x2+ 2x−2.
Observacions
(1) Donada una funci´o diferenciable f, podem calcular la sevaprimera derivada f0. Si diem g =f0, aleshores podem calcular la primera derivada de g i obtenim la
segona derivada de f perqu`e g0= (f0)0 =f00. En general,
f(n)= (f(n−1))0, per a totn≥2.
Per exemple, considerem la funci´o f(x) = ln(4x2). Aleshores
f0(x) = 8x 4x2 =
2
x = 2·
1
x, f
00(x) =−2· 1
x2, f
000(x) =−2·−2x
x4 = 4·
1
(2) F´ısica: sigui x(t) la funci´o que determina la posici´o d’un m`obil a l’instant t. Aleshores
• v(t) =x0(t) ´es la velocitat del m`obil a l’instantt i
• a(t) =v0(t) =x00(t) ´es l’acceleraci´o del m`obil a l’instant t. En particular,
• siv(t), a(t)>0 o b´ev(t), a(t)<0, aleshores el m`obil va m´es r`apid (augmenta la velocitat);
• siv(t)>0 ia(t)<0 o b´e v(t)<0 ia(t)>0, aleshores el m`obil va m´es lent (disminueix la velocitat).
(3) M´es general: si x(t) denota la quantitat d’individus d’una poblaci´o a l’instant t
o b´e la quantitat d’una determinada mat`eria a l’instantt, aleshores v(t) =x0(t) denota la velocitat amb qu`e augmenta o disminueix x(t).
(4) Aplicaci´o de la derivada: c`alcul de l´ımits. Suposem que f i g s´on dues funcions tals que
lim
x→af(x) = 0 i xlim→ag(x) = 0
o b´e
lim
x→af(x) =∞ i xlim→ag(x) =∞.
Sif ig s´on funcions derivables, aleshores
lim
x→a
f(x)
g(x) = limx→a
f0(x)
g0(x).
Aix`o s’anomena regla de l’Hˆopital. Per exemple, lim
x→∞
lnx
√
x =
∞ ∞;
per tant, aplicant la regla de l’Hˆopital, com que lnxi√xs´on funcions derivables,
lim
x→∞
lnx
√
x = limx→∞
1
x x−1/2
2
= lim
x→∞
2 √
x = 0.
1.4
Extrems absoluts i relatius
Definici´oSigui f: [a, b]→Runa funci´o.
• Diem que f ´es creixent en un punt x0 ∈ (a, b) si existeix un interval obert
(x0−, x0+) tal que
(a) f(x)> f(x0) six∈(x0−, x0) i
(b) f(x)< f(x0) six∈(x0, x0+).
• Diem que f ´es decreixent en un punt x0 ∈ (a, b) si existeix un interval obert
(x0−, x0+) tal que
(a) f(x)< f(x0) six∈(x0−, x0) i
(b) f(x)> f(x0) six∈(x0, x0+).
Per`o gr`acies al concepte de derivada que hem introdu¨ıt a la secci´o anterior, hi ha una manera m´es f`acil i r`apida de determinar si una funci´o ´es creixent o decreixent en un punt:
Proposici´o (Criteri de monotonia) Siguin f: (a, b) → R una funci´o derivable i
x0 ∈(a, b).
• Si f0(x0)>0, aleshoresf ´es creixent al punt x0.
• Si f0(x0)<0, aleshoresf ´es decreixent al punt x0.
Aquesta condici´o sobre la derivada de la funci´o ´es suficient per tal de determinar si la funci´o ´es creixent o decreixent, per`o no ´es necess`aria; ´es a dir, hi ha funcions tals quef ´es creixent o b´e decreixent en un puntx0, per`o quef0(x0) no ´es ni positiva
ni negativa. Per exemple, la funci´o f(x) =x3 ´es una funci´o creixent al punt x = 0, per`o f0(0) = 0.
Proposici´o Siguinf: (a, b)→ Runa funci´o ix0 ∈(a, b). Si f ´es creixent
(respecti-vament, decreixent) enx0, aleshoresf0(x0)≥0 (respectivament, f0(x0)≤0).
1.4.1 Extrems relatius
Els conceptes de creixement i decreixement de funcions que acabem de definir ens permeten parlar de m`axims i m´ınims de funcions. En aquesta secci´o definirem aquests conceptes (extrems relatius), donarem condicions que impliquin la seva exist`encia i explicarem com calcular-los, en cas que existeixin.
Definici´o Siguin f: [a, b] → R una funci´o i x0 ∈ (a, b). Diem que f t´e un m`axim relatiu o local (respectivament, un m´ınim relatiu o local) al punt x0 si existeix un
interval obertI = (x0−ε, x0+ε) tal quef(x0)≥f(x) per a totx∈I (respectivament,
• Una condici´o necess`aria per a l’exist`encia d’extrems relatius (m`axims o m´ınims relatius) ´es la seg¨uent:
Proposici´o Si f t´e un extrem relatiu en un punt x0, aleshoresf0(x0) = 0.
Per`o sif0(x0) = 0, podria ser quef no tingu´es un extrem relatiu enx0. Aquest
´es el cas de la funci´o f(x) =x3 al punt x0 = 0: f0(0) = 0, per`o el zero no ´es ni
un m`axim ni un m´ınim de la funci´o perqu`e no compleix la definici´o d’extrem relatiu.
• Unacondici´o suficientper a l’exist`encia d’extrems relatius (m`axims o m´ınims relatius) ´es la seg¨uent:
Teorema (Criteri de la derivada primera)Siguinf: [a, b]→Runa funci´o cont´ınua ix0 ∈(a, b). Suposem quef´es derivable a l’interval (a, b) llevat potser
del puntx0.
– Si f0(x) > 0 per a tot x ∈ (x0 −ε, x0) (creixent a l’esquerra de x0) i
f0(x)<0 per a totx∈(x0, x0+ε) (decreixent a la dreta dex0), aleshoresf
t´e un m`axim relatiu a x0.
– Si f0(x) < 0 per a tot x ∈ (x0 −ε, x0) (decreixent a l’esquerra de x0) i
f0(x)>0 per a totx∈(x0, x0+ε) (creixent a la dreta dex0), aleshoresf
t´e un m´ınim relatiu a x0.”
– Si f0(x) > 0 per a tot x ∈ (x0 −ε, x0 +ε) o b´e f0(x) < 0 per a tot
x∈(x0−ε, x0+ε), aleshores x0 no ´es un extrem relatiu.
Els punts del domini de definici´o d’una funci´o que s´on candidats a ser extrems relatius reben el nom de punts cr´ıtics i s´on els seg¨uents:
Definici´oDiem quex0´es unpunt cr´ıtic d’una funci´of si o b´ef0(x0) = 0 o b´ef0(x0)
no existeix.
Per exemple, considerem la funci´o
f(x) = x
2+ 3
x+ 1.
El seu domini de definici´o s´on tots els reals excepte el −1 i ´es una funci´o derivable a tots els punts del seu domini; per tant, els punts cr´ıtics def s´on aquells punts en qu`ef0(x) = 0. Com que
f0(x) = 2x(x+ 1)−(x
2+ 3)
(x+ 1)2 =
els punts cr´ıtics de f s´on els punts tals que
x2+ 2x−3
(x+ 1)2 = 0⇔x
2+ 2x−3 = 0⇔x=−3, x= 1.
O sigui que els puntsx=−3 ix= 1 s´on candidats a ser extrems relatius. Utilitzem la condici´o suficient:
• six=−2.9, aleshoresf0(−2.9)<0; • six=−3.1, aleshoresf0(−3.1)>0; • six= 0.9, aleshores f0(0.9)<0; • six= 1.1, aleshores f0(1.1)>0.
Per tant, els puntsx=−3 i x= 1 s´on m´ınims relatius def.
Hi ha una altra manera de determinar si els punts cr´ıtics de la forma f0(x) = 0 s´on o no extrems relatius d’una funci´of:
Teorema (Criteri de la derivada segona)Sigui f: [a, b]→Runa funci´o cont´ınua
ix0 ∈(a, b). Suposem quef es dues vegades derivable al punt´ x0 i que f0(x0) = 0.
• Sif00(x0)<0, aleshores f t´e un m`axim relatiu enx0.
• Sif00(x0)>0, aleshores f t´e un m´ınim relatiu enx0.
• Sif00(x0) = 0, aleshores f no t´e cap extrem relatiu en x0.
Per exemple, tornem a la funci´o
f(x) = x
2+ 3
x+ 1.
Hem vist que x = −3 i x = 1 s´on punts cr´ıtics de la funci´o del tipus f0(x) = 0. Calculem la derivada segona def:
f00(x) = (2x+ 2)(x+ 1)
2−(x2+ 2x−3)2(x+ 1)
(x+ 1)4 =
= (x+ 1)[(2x
3+ 4x+ 2)−(2x2+ 4x−6)]
(x+ 1)4 =
2x3−2x2+ 8 (x+ 1)3 .
Aleshores
Nota: Es evident que el criteri de la derivada segona ´´ es ´util quan calcular la derivada segona de la funci´o considerada no ´es complicat. Si no, resulta m´es efectiu el criteri de la derivada primera.
ExempleSuposem que volem trobar els extrems relatius de la funci´o
f(x) = 2x5/3+ 5x2/3.
• Busquem els punts cr´ıtics def:
f0(x) = 2·5 3 ·x
2/3+ 5·2
3 ·x
−1/3= 10
3 ·
(√3x2·√3x+ 1) 3
√
x =
10 3 ·
x+ 1 3 √
x .
Per tant, d’una banda, f0(x) = 0 six =−1 i, d’altra banda, f0(x) no existeix six= 0.
• Determinem el tipus de punts cr´ıtics:
f00(x) = 10 3 ·
2 3 ·x
−1/3−1
3 ·x
−4/3
.
Per tant,
f00(−1)<0 ⇒f t´e un m`axim relatiu al puntx=−1.
Ara b´e, per saber qu`e passa amb el punt x= 0, com que f no ´es derivable en aquest punt, cal utilitzar el criteri de la derivada primera:
f0(−0.1)<0 i f0(0.1)>0 ⇒ f t´e un m´ınim relatiu al puntx= 0.
1.4.2 Extrems absoluts
Suposem quex=a´es un extrem relatiu d’una funci´of.
• Six =a ´es un m´ınim relatiu de f, aleshores diem que f t´e un m´ınim absolut
al punt x=asif(a)≤f(x) per a totx del domini de definici´o def.
• Six =a´es un m`axim relatiu de f, aleshores diem que f t´e un m`axim absolut
al punt x=asif(a)≥f(x) per a totx del domini de definici´o def. ExempleSuposem que tenim la funci´o f(x) =x2+ 2x−3. Aleshores
f0(x) = 2x+ 2⇒x=−1 ´es l’´unic punt cr´ıtic def.
Com quef00(x) = 2>0, el puntx=−1 ´es un m´ınim relatiu de f amb f(−1) =−4. A m´es,
lim
per tant, f(−1) ≤ f(x) per a tot punt del domini de definici´o de f. O sigui que
x=−1 ´es un m´ınim absolut de f.
Suposem ara que f est`a definida en un interval tancat i acotat [a, b]. Aleshores diem quef t´e un m`axim absolut (respectivament, un m´ınim absolut) en un extrem c
de l’interval (c=ao b´e c=b) sif(c)≥f(x) per a totx∈[a, b].
Teorema de WeierstrassSiguif una funci´o cont´ınua en un interval tancat i acotat [a, b]. Aleshores f t´e un m`axim i un m´ınim absoluts a [a, b].
Per tant, aquest teorema ens assegura l’exist`encia d’extrems absoluts sempre que considerem una funci´o cont´ınua en un interval tancat i acotat. Ara b´e, com de-terminem aquests extrems? Els candidats s´on els extrems relatius de la funci´o que pertanyin a l’interval i els extrems de l’interval considerat.
ExempleConsiderem la funci´o
f(x) =x2−2|x|+ 2 = (
x2+ 2x+ 2 si x <0
x2−2x+ 2 si x≥0.
Volem determinar els extrems absoluts d’aquesta funci´o a l’interval tancat i acotat
I = [−1/2,3/2].
• f´es cont´ınua a tots els punts de l’intervalI; per tant, el teorema de Weierstrass ens assegura quef t´e un m`axim i un m´ınim absoluts en aquest interval. • Els punts cr´ıtics de f s´on:
– x= 0 perqu`ef no ´es diferenciable en aquest punt;
– f0(x) = 0 si 2x+ 2 = 0 o b´e 2x−2 = 0; per tant,x=−1 ix= 1 s´on punts cr´ıtics def; ara b´e, nom´es tenim en comptex= 1 perqu`e −1 no pertany a l’interval I.
• Extrems relatius def:
– Com que f0(−0.1) = 2(−0.1) + 2 > 0 i f(0.1) = 2(0.1)−2 < 0, el punt
x= 0 ´es un m`axim relatiu def if(0) = 2.
– Com quef(0.9) = 2(0.9)−2<0 i f0(1.1) = 2(1.1)−2>0, el puntx= 1 ´es un m´ınim relatiu def if(1) = 1.
• El valor def en els extrems ´es f(−1/2) = 5/4 if(3/2) = 5/4.
Per tant, com que 5/4>1,f t´e un m´ınim absolut al puntx= 1; i, com que 5/4<2,
1.5
Gr`
afics de funcions
Els passos a seguir a l’hora de representar gr`aficament una funci´o s´on els seg¨uents: (1) Domini (ja n’hem parlat al principi del cap´ıtol).
(2) Talls amb els eixos de coordenades.
• Talls amb l’eix d’abscisesOx: busquem els punts tals quef(x) = 0. • Talls amb l’eix d’ordenades Oy: busquem els punts tals que x= 0.
(3) As´ımptotes: s´on rectes a les quals s’aproxima una funci´o quan una de les variables (x o b´ey) s’apropa a l’infinit. N’hi ha de tres tipus: les verticals, les horitzontals i les obl´ıq¨ues.
• As´ımptotes verticals: s´on rectes del tipusx=a, amb atal que lim
x→af(x) =∞.
• As´ımptotes horitzontals: s´on rectes del tipusy=b, amb btal que lim
x→∞f(x) =b.
• As´ımptotes obl´ıq¨ues: s´on rectes del tipus y=mx+n, amb
m= lim
x→∞
f(x)
x i n= limx→∞[f(x)−mx].
(4) Extrems relatius. Intervals de creixement i decreixement.
Per tal de determinar els intervals de creixement i decreixement, primer cal trobar els punts cr´ıtics de la funci´o, tal i com hem explicat en la secci´o anterior, i despr´es avaluar la derivada primera abans i despr´es de cada punt cr´ıtic. Recordeu quef
´
es creixent sif0 >0 i f ´es decreixent si f0<0. (5) Punts d’inflexi´o. Concavitat i convexitat.
• Diem que f ´esc`oncava en un puntx=asi f00(a)<0. • Diem que f ´esconvexa en un puntx=a sif00(a)>0.
• Sif00(a) no existeix o b´ef00(a) = 0 if000(a)6= 0, aleshores diem que el punt
ExempleVolem dibuixar el gr`afic de la funci´o
f(x) = 5−3x
2
1−x2 .
(1) Domini.
Com que es tracta d’una fracci´o, el domini s´on tots els reals excepte els punts on el denominador s’anul·la; en aquest cas, x2−1 = 0⇔x=±1. Per tant,
D(f) =R\ {−1,1}.
(2) Punts de tall amb els eixos de coordenades. • Talls amb l’eix d’abscisesOx.
f(x) = 0⇔ 5−3x
2
1−x2 = 0⇔5−3x
2= 0⇔x=±
r 5 3. • Talls amb l’eix d’ordenades Oy.
x= 0⇒f(0) = 5−3·0
2
1−02 = 5.
Per tant, els punts de tall amb els eixos de coordenades s´on r
5 3,0
!
, − r
5 3,0
!
i (0,5).
(3) As´ımptotes.
• As´ımptotes verticals: x = a Les rectes x = −1 i x = 1 s´on as´ımptotes verticals def; concretament,
lim
x→−1−f(x) =x→−lim1−
5−3x2
1−x2 =−∞, x→−lim1+f(x) =x→−lim1+
5−3x2
1−x2 = +∞,
lim
x→1−f(x) = limx→1−
5−3x2
1−x2 = +∞ i limx→1+f(x) = limx→1+
5−3x2
1−x2 =−∞.
• As´ımptotes horitzontals: y=b
lim
x→∞f(x) = limx→∞
5−3x2
1−x2 =
∞ ∞
= lim
x→∞
5
x2 −3x 2
x2
1
x2 −x 2
x2
= lim
x→∞
5
x2 −3
1
x2 −1 = 3,
• As´ımptotes obl´ıq¨ues: y=mx+n
m= lim
x→∞
f(x)
x = limx→∞
5−3x2
1−x2
x = limx→∞
5−3x2 x−x3 =
∞ ∞
=
= lim
x→∞
5
x3 −3x 2
x3
x x3 −x
3
x3
= lim
x→∞
5
x3 −3x
1
x2 −1 = 0.
Com que m= 0, no hi ha as´ımptotes obl´ıq¨ues. (4) Extrems relatius. Intervals de creixement i decreixement.
Primer, cal determinar els punts cr´ıtics def; per aix`o hem de calcular la derivada primera de f i igualar-la a zero:
f0(x) = −6x(1−x
2)−(5−3x2)(−2x)
(1−x2)2 =
4x
(1−x2)2 = 0⇔x= 0.
Aleshores
f0(−0.1)<0 i f0(0.1)>0⇒x= 0 ´es un m´ınim relatiu de f amb f(0) = 5.
D’altra banda, per a determinar els intervals de creixement i decreixement, cal tenir en compte no nom´es x = 0 sin´o tamb´e els punts on la funci´o no existeix,
x=−1 i x= 1. Aix´ı,
f0(−1.1)<0, f0(−0.9)<0, f0(0.9)>0 i f0(1.1)>0.
Per tant,f ´es decreixent a (−∞,−1)∪(−1,0) i ´es creixent a (0,1)∪(1,+∞). (5) Punts d’inflexi´o. Concavitat i convexitat.
Per a determinar els candidats a punts d’inflexi´o hem de calcular la derivada segona de f i igualar-la a zero:
f00(x) = 4(1−x
2)2−4x(2(1−x2)(−2x))
(1−x2)4 =
(1−x2)[(4−4x2) + 16x2] (1−x2)4 =
= 12x
2+ 4
(1−x2)3 = 0⇔12x
2+ 4 = 0⇔x2 =±
r −1
3 !!!
Per tant, no hi ha punts d’inflexi´o. Ara per a determinar els intervals de concav-itat i convexconcav-itat, hem de considerar els punts on la funci´o no existeix, x =−1 i
x= 1:
f00(−2)<0, f00(0)>0 i f00(2)<0.
(6) Gr`afic.
Ajuntant les dades obtingudes en els apartats anteriors, ja estem a punt per a dibuixar el gr`afic de la funci´o, on les l´ınies verticals representen les as´ımptotes:
3 2 1 0 -1 -2
10
-3
5
-5
1.6
F´
ormula de Taylor
Suposem que tenim una funci´o complicada, com araf(x) =ex(sinx−x2), no tenim la calculadora a m`a i ens demanen que calculemf(1) amb tres xifres decimals correctes. Com ho fem?
En aquesta secci´o veurem com resoldre aquest problema; la idea ´es que tota funci´o que sigui prou vegades derivable i amb derivades cont´ınues, es pot aproximar per un polinomi. Per tant, el c`alcul de f(1) es redueix a avaluar un polinomi en el punt 1, la qual cosa ja ´es assequible sense la calculadora.
1.6.1 Polinomi de Taylor
Sigui f:D → R una funci´o cont´ınua i sigui a ∈ D. Suposem que f ´es n vegades derivable al punt x = x0. Aleshores definim el polinomi de Taylor de grau n de f
en acom
Pn(x, x0) =f(x0) +f0(x0)·(x−x0) +
f00(x0)
2! ·(x−x0)
2+· · ·+f(n)(x0)
n! ·(x−x0)
n.
En particular, six0 = 0, aleshores
Pn(x) =f(0) +f0(0)·x+
f00(0) 2! ·x
2+· · ·+ f(n)(0)
n! ·x
n.
(1) Calculem el polinomi de Taylor de graunen x0= 0 de la funci´o f(x) = sinx:
f(x) = sinx, f(0) = 0; f0(x) = cosx, f0(0) = 1;
f00(x) =−sinx, f00(0) = 0 f000(x) =−cosx, f000(0) =−1;
f(4)(x) = sinx, f(4)(0) = 0; f(5)(x) = cosx, f(5)(0) = 1;
f(6)(x) =−sinx, f(6)(0) = 0; f(7)(x) =−cosx, f(7)(0) =−1
. . .
O sigui que, de forma general tenim:
f(2k)(0) = 0 i f2k+1(0) = (−1)k.
Per tant, si n= 2k+ 1, aleshores k= n−21 i
Pn(x) =x−
x3
3! +
x5
5! +· · ·+ (−1)
n−1 2 x
n
n!.
(2) Calculem el polinomi de Taylor de graunenx0 = 0 de la funci´of(x) = ln(1 +x):
f(x) = ln(1 +x), f(0) = 0; f0(x) = 1 1 +x, f
0
(0) = 1;
f00(x) =− 1 (1 +x)2, f
00(0) =−1 =−1!; f000(x) = 2
(1 +x)3, f
000(0) = 2 = 2!;
f(4)(x) =− 2·3 (1 +x)4, f
(4)(0) =−3!; f(5)(x) = 2·3·4
(1 +x)5, f
(5)(0) = 4!;
f(6)(x) =−2·3·4·5 (1 +x)6 , f
(6)(0) =−5!; f(7)(x) = 2·3·4·5·6
(1 +x)7 , f
(7)(0) = 6!;
. . .
O sigui que, de forma general tenim:
f(0) = 0, f0(0) = 1 i fn(0) = (−1)n−1(n−1)!, per a totn≥2.
Per tant,
Pn(x) =x−x2+
2! 3!·x
3+· · ·+(−1)n−1(n−1)!
n! ·x
n=x−x2+x3
3 +· · ·+(−1)
n−1xn
n .
1.6.2 F´ormula de Taylor
´
Es evident que quan substitu¨ım una funci´of pel seu polinomi de TaylorPnobtenim
´es una funci´o tal que f(n)(x) = 0 a partir d’un certn), per`o en general cometem un “error”. Com es mesura aquest error?
Definici´o Donada una funci´o f(x) i el seu polinomi de Taylor Pn(x, x0) de grau n
en x0, definim l’error o residu com la difer`encia
Rn+1(x, x0) =f(x)−Pn(x, x0).
De fet,
Rn+1(x, x0) =
f(n+1)(c)
(n+ 1)! ·(x−x0)
n+1, on c∈(x 0, x)
i, per tant,
|Rn+1(x)| ≤
m`axc∈(x0,x)|f
(n+1)(c)|
(n+ 1)! · |x−x0|
n+1.
Teorema de Taylor Sigui f una funci´o n+ 1 vegades derivable amb derivades cont´ınues a l’interval (x0, x). Aleshores
f(x) =Pn(x, x0) +Rn+1(x, x0) =
=f(x0) +f0(x0) (x−x0) +· · ·+
f(n)(x0)
n! (x−x0)
n+f(n+1)(c)
(n+ 1)! (x−x0)
n+1, onc∈(x0, x).
Exemples
(1) Calculem e0.2 amb un error m´es petit que 10−3.
• La funci´o que utilitzarem ser`a f(x) = ex i ens interessa saber quant val
f(0.2) =e0.2. Per tant, prenem x0 = 0 (sempre cal buscar un x0 proper al
valor que es vol calcular i del qual sapiguem calcular f(x0)).
• Error m´es petit que 10−3 significa que volem tres xifres decimals correctes. Per tant, necessitem trobar Pn(x) de f(x). Per`o, quant val n? Aix`o ens ho dir`a
l’error:
|Rn+1(x)|<10−3 ⇒
f(n+1)(c) (n+ 1)! ·x
n+1
<10−3,
on c∈(0, x). Per tant, hem de calcular f(n+1)(c):
f(x) =ex, f0(x) =ex, f00(x) =ex, . . .
´
Es a dir, f(n)(x) =ex per a tot valor den. O sigui que
f(n+1)(c) (n+ 1)! ·x
n+1
<10−3 ⇔ e
c
(n+ 1)! ·0.2
on c ∈ (0,0.2). Per tant, com que la funci´o g(c) = ec ´es creixent, tenim que
ec< e0.2 < e <3; o sigui que hem de determinar un valor dental que 3
(n+ 1)! ·0.2
n+1 <10−3 = 0.001.
Anem provant valors: • sin= 1, aleshores
3 2!·0.2
2 = 0.06>10−3;
• sin= 2, aleshores
3 3!·0.2
3 = 0.004>10−3;
• sin= 3, aleshores
3 4!·0.2
4= 0.0002<10−3.
Per tant,
e0.2∼P3(0.2) = f(0) +f0(0)·0.2 +
f00(0) 2! ·0.2
2+f000(0)
3! ·0.2
3 =
= 1 + 1·0.2 +1
2 ·0.04 + 1
6·0.008 = 1.221b3.
Si calculem directament e0.2 amb la calculadora ens d´ona igual a 1.2214. Per
tant, l’aproximaci´o obtinguda ´es la que vol´ıem (tres xifres decimals correctes). (2) Calculem √10 amb un error m´es petit que 10−4.
• La funci´o que utilitzarem ser`a f(x) = √x+ 9 i ens interessa saber quant val f(1) =√10. Per tant, prenem x0 = 0.
• Error m´es petit que 10−4significa que volem quatre xifres decimals correctes.
Per tant, necessitem trobar Pn(x) de f(x). Com abans, a partir de l’error,
de-terminaremn:
|Rn+1(x)|<10−4 ⇒
f(n+1)(c) (n+ 1)! ·x
n+1
on c∈(0, x). Per tant, hem de calcular f(n+1)(c):
f(x) = (x+ 9)1/2, f0(x) = 1
2 ·(x+ 9)
−1/2,
f00(x) =− 1
22 ·(x+ 9)
−3/2, f000
(x) = 3
23 ·(x+ 9)
−5/2,
f(4)(x) =−3·5
24 ·(x+ 9)
−7/2, f(5)(x) = 3·5·7
25 ·(x+ 9)
−9/2,
. . .
Per tant, en general, si n≥2, aleshores
f(n)(x) = (−1)n−11·3·5· · · · ·(2n−3)
2n ·
1
(x+ 9)(2n−1)/2.
O sigui que
f(n+1)(c)
(n+ 1)! ·x
n+1
<10−4⇔
⇔
(−1)n1·3·5· · · · ·(2n−1) 2n+1 ·
1
(c+ 9)(2n+1)/2 ·
1 (n+ 1)!·x
n+1
<10−4
⇔ 1·3·5· · · · ·(2n−1) 2n+1 ·
1
(c+ 9)(2n+1)/2 ·
1
(n+ 1)! · |x|
n+1 <10−4;
Com que en el nostre casx= 1, tenim que|x|=|1|= 1. D’altra banda, com que la funci´o
g(c) = 1 (c+ 9)(2n+1)/2
´es decreixent, el m`axim d’aquesta funci´o a l’interval (x0, x) = (0,1) s’assoleix
quanc= 0. O sigui que hem de determinar un valor dental que
M = 1·3·5· · · · ·(2n−1) 2n+1 ·
1 9(2n+1)/2 ·
1
(n+ 1)! <10
−4 = 0.0001
Anem provant valors: • sin= 1, aleshores
M = 1 22 ·
1 93/2 ·
1 2! =
1
23·33 = 0.004d629>10
−4;
• sin= 2, aleshores
M = 3 23 ·
1 95/2 ·
1 3! =
5
24·35 = 0.000257>10
