Ejercicios de limites de funciones

(1)

1

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUDAD

Significado del límite

Ejercicio nº 1.-

Representa gráficamente y explica el significado de la expresión:

Explica el significado de la siguiente expresión y represéntalo gráficamente:

Escribe una definición para la siguiente expresión y represéntala gráficamente:

Da una definición para esta expresión y represéntala gráficamente:

Dado el siguiente resultado:

explica su significado y represéntalo gráficamente.

Cálculo de límites

Calcula:

5 2

1 5

2 2

= +

−

+∞

→ _x _x

x lím

x

6 3

9

2

3 − =

−

→ _x

x lím

x

( )

=−∞

−

→ f x

lím

x 2

+∞ = −

+

→ 1

3

2 2

1 _x

x lím

x

2 1

2 2

= +

−

−∞

→ _x

x lím

x

[

]

2

4

2 3

b) 1 a)

x log

x x lím x

e lím

x x

x

− +

−

−∞ → +∞

(2)

2

Obtén el valor de los siguientes límites:

Calcula los siguientes límites:

Ejercicio nº 9.- Halla el límite:

Halla los siguientes límites:

Ejercicio nº 13.- Halla los límites:

   

 

+ − +

− +

+ −

+∞ → −∞

→ ₂ ₁

1 b)

1 2

3

a) ₂

3 2

4 4

x x x

x lím x

x lím

x x

1

2 3

2 2 b) 2

3 1 2 a)

2 ₊

+∞ → −∞

→ _

 

 

+ − 

  

 

+

− x

x x

x _x

x lím x

x lím

  



− + − −

→ ₃

1 9 2

2

3 _x

x x

x lím

x

x _x

x x lím

3 2

0 ₅ ₁

1 3

   

 

+ + −

→

[

]

(

)

x x ln lím x

lím

x x

x

1 b)

2 a)

2

2 +

−

−∞ → +∞

→

1 3

3 2 b)

1 1

3 a)

2 2

3 2

+ − 

  

 

+ −

+ →−∞

+∞ →

x x lím x

x x

x lím

x x

x

x x

x _x _x

x lím x

x

lím _

  

 

+ − 

  

 

− +

−∞ → +∞

→ ₃ ₉

7 4 b)

2 1

a) ₂

2 2

(3)

3

Calcula el límite:

Ejercicio nº 15.- Calcula:

Ejercicio nº 17.- Calcula los límites:

Calcula el siguiente límite:

Halla el siguiente límite: 1 2 3

2 3

2

1 + − −

− +

−

→ _x _x _x

x x lím

x

3 2 2

3 ₄ ₄

1

2 −

→ _

 

 

+ +

− x

x

x _x

x x lím

[

]

1 3 b)

a)

2 x 3

xlím→+∞x −logx lím→−∞_x + x

2 1 2 b)

2 1 3 a)

4

3 5

2

+ − 

 

 ₋ ₋

−∞ → +∞

→ _x

x lím x

x lím

x x

2 1

2 2 3

2

3 2

3 b)

1 2 a)

+ +∞

→ −

−∞

→ _

 

 

+ 

     +

x

x x

x _x

x lím x

lím

1 1

2 4 2

0 + −

− +

→ _x

x lím

x

2 2

2 ₂ ₄

2

3 −

→ _

 

 

+ −

− x

x

x _x _x

(4)

4

Calcula estos límites:

Ejercicio nº 23.- Halla:

Ejercicio nº 25.- Calcula el límite:

1 b)

1 3

a) 2 9

+ 

 

 ₋ ₊

−∞ → +∞

→ _x

e lím x

x lím

x

x x

  

 ₋ ₊

+ −

+

−∞ → +∞

→ _x _x lím x x x

x lím

x

x b) 3 2

1 3 5

2 3

a) 2

2

1 3

2 2

5 3

2 4 b)

5 4

2 5 a)

− −∞

→ +∞

→ _

 

 

+ − 

  

 

+

− x

x x

x _x

x lím x

x lím

3

2 3

1 ₃ ₈ ₇ ₂

1 3 2

− + −

+ −

→ _x _x _x

x x lím

x

1 3

2

1 ₆

4

2 −

→ _

 

 

+ −

+ x

x

x _x _x

x lím

x x x

x lím x

log x lím

2 1 b)

2 3 a)

2₋ ₊

−∞ → +∞

→

x x

x x lím x

x x lím

x x

2 1 3 b)

3 2 5 a)

6 2 2

− − + 

 

 ₋ ₋

−∞ → +∞

(5)

5

Halla el valor del siguiente límite:

Continuidad

Ejercicio nº3 1.-

Estudia la continuidad de la siguiente función. Si en algún punto no es continua, indica el tipo de discontinuidad que hay:

Halla los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:

Estudia la continuidad de la siguiente función:

1 2 2

2

5 2

2 1 b)

1 2

3 2 a)

− +∞

→ −

−∞

→ _

 

 

+ + 

  

 

+ −

− x

x x

x _x

x lím x

x lím

4 3

10 2

2 3

2

2 − +

− +

→ _x _x

x x lím

x

1 1 2

1 ₁

3

2 −

→ _

 

 

+ +

− x

x _x

x x lím

( )

1 3 5

2 2 3

− − − − =

x x x x x f

( )

    

≥ +

< ≤ +

+

< −

=

2 si

1 3

2 1 si 2

1 si

3

2

x x

x a

bx x

x a

x x

f

( )

  

  

 

≥ +

< ≤ − −

− < +

=

2 si

1 3

2 1 si 2

1 si

3 2

2

x x

x

(6)

6

Calcula el valor de a para que la siguiente función sea continua:

Estudia la continuidad de la siguiente función. En los puntos en los que no sea continua, indica el tipo de discontinuidad que presenta:

Halla el valor de k para que la siguiente función sea continua en x = 2:

Estudia la continuidad de la función:

Calcula los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:

discontinuidad que hay en los puntos en los que no es continua.

( )

  

> +

≤ +

− =

1 si 3

1 si 1 2

2

x x

ln a

x x

ax x f

( )

10 3

8 2 3

2 2

− +

− − =

x x

x x x f

( )

     

= ≠ +

+ −

+ + − =

2 si

2 si 8 8 14 4

4 8 11 3

2 3

x k

x x

x x x x f

( )

    

≥ +

< ≤ +

< =

1 si

4

1 0 si 1 3

0 si

2

x x

ln

x x

x e

x f

x

( )

    

≥ +

< ≤ +

+

≤ −

=

2 si

3

2 1 si 4

1 si

2

2 2

x b

x

x b

ax x

x x

ax x

f

( )

, estudiasucontinuidad.Indicaeltipode 10

3

5 15

3 función la

Dada ₂

2 3

− +

+ + + =

x x

(7)

7

Halla el valor de a para que la siguiente función sea continua:

Teorema de Bolzano

Demuestra que la ecuación:

tiene, al menos, una solución real. Determina un intervalo de amplitud menor que 2 en el que se encuentre la raíz.

Demuestra que la ecuación e−3x₊_4x₋₂₌_{0 tiene, al menos, una solución real en el intervalo [0, 1].}

Ejercicio nº 43-

Halla un intervalo de amplitud menor que 2 en el que la siguiente ecuación tenga, al menos, una raíz real: 3x3₊_2x₋₇₌₀

Dada la función f (x) = x3+_2x+_{1, encuentra un intervalo de amplitud menor que 2 en el que f (x) corta al}

eje OX.

Prueba que la función f (x) = 3x + cos πx + 1 corta al eje OX en el intervalo [−1, 0].

( )

  

> +

−

≤ +

=

1 si 5 3

1 si 2

2

x a

x

x a

x f

x

0 1 2 3 2

7₊ ₋ ₊ ₌

(8)

8

SOLUCIONES LÍMITES Y CONTINUDAD

Significado del límite

Representa gráficamente y explica el significado de la expresión:

Solución:

valores suficientemente grandes.

Con más precisión:

Dado ε > 0, podemos encontrar un número h tal que, si x > h, entonces

Representación:

Explica el significado de la siguiente expresión y represéntalo gráficamente:

Solución:

Dado ε > 0, podemos encontrar δ > 0 tal que, si x≠ 3 y 3 −δ < x < 3 +δ, entonces 5

2 1 5

2 2

= +

−

+∞

→ _x _x

x lím

x

x x

a dando queramos como

5 a próximo tan

esté 2

1 5 que conseguir

Podemos ₂

2

+ −

. 5 2

1 5

2 2

ε < − +

− x x

x

6 3

9

2

3 − =

−

→ _x

x lím

x

. 6 3

9 2

ε < − −

(9)

9

Representación:

Escribe una definición para la siguiente expresión y represéntala gráficamente:

Solución:

Dado un número k, podemos encontrar δ tal que, si 2 −δ < x < 2, entonces f(x) < −k.

Representación:

Da una definición para esta expresión y represéntala gráficamente:

Solución:

Dado un número k, podemos encontrar δ > 0 tal que, si 1 < x < 1 +δ, entonces

( )

=−∞

−

→ f x

lím

x 2

+∞ = −

+

→ 1

3

2 2

1 x

x lím

x

. 1 3

2 2

k x

(10)

10

Representación:

Dado el siguiente resultado:

explica su significado y represéntalo gráficamente.

Solución:

Representación:

Cálculo de límites

Calcula:

Solución:

Porque una exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a una potencia. 2

1 2 2

2 2

= +

−

−∞

→ _x

x lím

x

. 2 1

2 2 entonces

, si que, tal número un

existe 0,

Dado ₂

2

ε < − +

− −

< >

ε

x x h

x h

[

]

2

4

2 ₁ _b) 3

a)

x log

x x lím x

e lím

x x

x

− +

−

−∞ → +∞

→

[

− +

]

=+∞

+∞

→ 1

a) lím ex x2

(11)

11

Porque una potencia es un infinito de orden superior a un logaritmo.

Solución:

Solución: +∞ = + = − +∞ → −∞ → 2 4 2 4 3 3 b) x log x x lím x log x x lím x x       + − + − + + − +∞ → −∞

→ ₂ ₁

1 b) 1 2 1 2 3 a) ₂ 3 2 4 4 x x x x lím x x lím x x 2 2 2 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 a) 4 4 4 4 − = − = + + − = + + − +∞ → −∞ → _x x lím x x lím x x = + + + − − − = − + + − + − =       + − + − +∞ → +∞ → +∞

→ ₂ ₂

2 1 ) 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 2 1

b) ₃ ₂

3 4 4 2 3 2 2 2 3 2 x x x x x x lím x x x x x x lím x x x x lím x x x 2 2 2 1 2 2 3 3 − = + + + − − = +∞

→ _x _x _x

x lím x 1 2 3 2 2 b) 2 3 1 2 a) 2 ₊ +∞ → −∞ → _     + −       + − x x x x _x x lím x x lím 0 3 2 2 3 1 2 2 3 1 2 a) 2 2 =       =       + − − − =       + − +∞ +∞ → −∞ → x x x x _x x lím x x lím ( ) ( ) 2 5 2 3 5 5 1 · 2 3 2 3 2 2 1 · 1 2 3 2 2 1 2 3 2 2 b) − + − − +       + − − − +       ₋ + − + +∞ → _ = = = =     + − →+∞ →+∞ _→_+∞ e e e e x x lím x x lím x x x x lím x x x lím x x x x x     − + − − → ₃ 1 9 2 2 3 _x x x x lím x

(

) (

)

(

) (

)

(

+

(

) (

−

)

= + + − = − + + + − =     − + − − → →

→ ₃ ₃

3 4 2 3 3 3 1 2 3 1 9 2 2 3 3 2

3 _x _x

(12)

12

Hallamos los límites laterales:

Solución:

Porque una exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a una potencia.

Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logaritmos.

(

) (

)

(0)

18 3 3

3 2 2

3

− = − +

− − − =

→ _x _x

x x lím

x

(

) (

)

(

+

) (

−

)

=−∞

− − − +∞

= − +

− − −

+

− _→

→ 3 3

3 2 ;

3 3

3

2 2

3 2

3 x x

x x lím x

x x x lím

x x

x

x _x

x x lím

3 2

0 ₅ ₁

1 3

   

 

+ + −

→

( ) ( ) ₌

= =

   

 

+ +

− +

− 

   

  

+ − − + − 

   

  

− +

+ − →

→ →

→

→ ₅ ₁

8 3 3

· 1 5

8 3

· 1 5

1 5 1 3 3

· 1 1 5

1 3 3

2

0

0 2

0 1

5 1

3 x x

x x lím x x

x x x lím x x

x x lím x x

x x

e e

x x x lím

( ) 24 1 5

8 3

0 + −

−

=

=_e → x _e

x lím

x

[

]

(

)

x x ln lím x

lím

x x

x

1 b)

2 a)

2

2 +

−

−∞ → +∞

→

[

−

]

=+∞

+∞ →

2 2 a) lím x x

x

(

1

)

(

1

)

₀

b)

2 2

= −

+ =

+

+∞ → −∞

→ _x

x ln lím x

x ln lím

x x

1 3

3 2 b)

1 1

3 a)

2 2

3 2

+ − 

  

 

+ −

+ →−∞

+∞ →

x x lím x

x x

x lím

(13)

13

Solución:

Ejercicio nº 15.- Calcula: = + + + − − + =       + + + − + =       + − + →+∞ →+∞ +∞ → ₁ 3 3 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 3 1 1 3

a) ₃ ₂

3 4 2 4 2 3 2 2 2 3 2 x x x x x x x lím x x x x x x lím x x x x lím x x x +∞ = + + + + − = +∞ → ₁ 3 2 2 3 2 3 4 x x x x x x lím x 3 3 2 3 2 1 3 3 2 1 3 3 2 b) 2 2 − = − = + − − = + − +∞ → −∞ → x x lím x x lím x x x x x

x _x _x

x lím x x lím _      + −       − + −∞ → +∞

→ ₃ ₉

7 4 b) 2 1 a) ₂ 2 2 2 2 1 2 1

a) 2 0

6 2 · 2 2 1 2 · 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = = = = =       − + _ ₋      − + − +         − − + +∞ → +∞ → +∞ → +∞ → e e e e x x lím x x lím x x x x lím x x x lím x x x x x 0 4 3 3 4 9 3 7 4 9 3 7 4 b) ₂ 2 2 2 =       =       =       − − =       + − − −∞ +∞ +∞ → −∞ → x x x

x _x _x

x lím x x x lím 1 2 3 2 3 2

1 + − −

− +

−

→ _x _x _x

x x lím

x

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(0)

5 1 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1 2 1 2 3 2 1 − = − + − = − + − + = − − + − + − → − → −

→ _x _x

x lím x x x x lím x x x x x lím x x x

(

) (

)

(

+

) (

−

)

=+∞ − −∞ = − + − + − _→₋ −

→ 1 1

2 3 ; 1 1 2 3 1

1 x x

x lím x x x lím x x 3 2 2

3 ₄ ₄

(14)

14

Solución:

Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logaritmos.

Ejercicio nº 17.- Calcula los límites:

Solución:

Ejercicio nº 18.- Calcula: = = = =       + + − _ − −₊ − ₋      + − − + − −         − + + − − → → → → 3 2 · 4 4 3 5 2 3 2 · 4 4 4 4 1 2 3 2 · 1 4 4 1 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3 4 4 1

2 _x lím x _x x _xx

x x x x x lím x x x x x lím x x x x x x e e e x x x lím ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ( ) ( )) 8 21 16 42 4 4 2 1 2 3 4 4 2 3 1 2 3 3 e e e e x x x lím x x x x x lím x

x = = =

= + + − + − + → →

[

]

1 3 b) a) ₂ x 3

xlím→+∞x −logx lím→−∞_x +

x

[

−

]

=+∞

+∞

→ x log x

lím x 3 a) 0 0 1 3 1 3

b) ₂ ₂ =

∞ + = + = + − +∞ → −∞

→ _x lím _x

lím x x x x 2 1 2 b) 2 1 3 a) 4 3 5 2 + −     ₋ ₋ −∞ → +∞ → _x x lím x x lím x x = + − − − = + −       ₋ ₋       ₋ ₋ =     ₋ ₋ +∞ → +∞ → +∞

→ _x _x

(15)

15

Solución:

Halla el siguiente límite:

Solución:

Ejercicio nº 21.- Calcula estos límites:

0 2 1 2 1 2 a) 3 2 3 2 = =       − =       + −∞ − − +∞ → − −∞ → x x x

xlím _x lím _x

1 3

2 3

b) 4 6 0

2 2 2 1 · 3 2 3 2 3 2 1 · 1 3 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 = = = = =       + + − −       +         + − −       +         − + + +∞ → +∞ → +∞ → +∞ → e e e e x x lím x x lím x x x x lím x x x lím x x x x x 1 1 2 4 2

0 + −

− + → _x x lím x = + + − + + + − + = + + + + − + + + + + − + = − + − + → →

→ ₍ ₁ ₁₎₍ ₂ ₄ ₂₎

) 1 1 ( ) 4 4 2 ( ) 2 4 2 ( ) 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 1 ( ) 2 4 2 ( ) 2 4 2 ( 1 1 2 4 2 0 0

0 _x _x

x x lím x x x x x x lím x x lím x x x 1 4 4 2 4 2 ) 1 1 ( 2 ) 2 4 2 ( ) 1 1 ( 2 0

0 + + = =

+ + = + + + + = → → _x x lím x x x x lím x x 2 2

2 ₂ ₄

2 3 − → _     + − − x x

x _x _x

x lím = = = =       + − − − + − − + − −         + − − + − − −       ₋ + − − − → → →

→ ( 2 4)( 2)

) 6 5 ( 2 · 4 2 4 2 2 3 2 · 1 4 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2

3 x x x

x x x lím x x x x x x x lím x x x x x lím x x x x x x e e e x x x lím 2 1 4 2 ) 4 2 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 4 2 ( ) 2 ( ) 3 ( 2 2 2 2 e e e

e x x

x x lím x x x x x x lím x x = = = = − + − − − + − − − − → → 1 b) 1 3

a) 2 9

(16)

16

Solución:

Ejercicio nº 23.- Halla:

Solución:

Ejercicio nº 24.- Calcula: −∞ =         − =     ₋ ₊ +∞ → +∞ → 2 9 9 2 ₁ 3

a) lím x x lím x

x x 0 0 1 1 ) b = ∞ − = + − = + − +∞ → −∞ → x e lím x e lím x x x x     ₋ ₊ + − + −∞ → +∞

→ _x _x lím x x x

x lím

x

x ₅ ₃ ₁ b) 3 2

2 3 a) 2 2 5 5 3 5 3 1 3 5 2 3 a)

2₋ ₊ = =

+ +∞ → x x x lím x = + +       ₊ ₊       ₊ ₋ =     ₊ ₋ =     ₋ ₊ +∞ → +∞ → −∞ → x x x x x x x x x lím x x x lím x x x lím x x x 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 b) 2 2 2 2 2 −∞ = + + + − = + + − + = +∞ → +∞ → x x x x x lím x x x x x x lím x x 2 3 3 3 2 3 4 3 2 2 2 2 2 1 3 2 2 5 3 2 4 b) 5 4 2 5 a) − −∞ → +∞ → _     + −       + − x x x x _x x lím x x lím 5 4 15 12 15 12 12 3 2 · 5 4 5 4 2 5 3 2 · 1 5 4 2 5 3 2 5 4 2 5 a) − − + −       + − − −       ₋ + − +∞ → _ = = = = =     +

− _e →+∞ _e →+∞ _e _→_+∞ _e _e

x x lím x x lím x x x x lím x x x lím x x x x x +∞ =       =       + − − − =       + − − +∞ +∞ → − −∞ → ₃ 4 5 3 2 4 5 3 2 4 b) 1 1 2 2 _x x x x _x x lím x x lím 3 2 3 2 3

1 ₃ ₈ ₇ ₂

1 3 2 − + − + −

→ _x _x _x

x x lím

(17)

17

Solución:

Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logartimos.

Solución:

(

) (

)

(

) (

)

3 3

1 3 2 2 1 3 2 3 2 3

1 ₃ ₂ 3

1 2 1 2 3 1 1 2 2 7 8 3 1 3 2 ₌ − + = − − − + = − + − + − → → → _x x lím x x x x lím x x x x x lím x x x 1 3 2 1 ₆ 4 2 − → _     + − + x x

x _x _x

x lím = = = =       + − + − + − − + − −         + − − + − + −       − + − + − → → →

→ ( 6)( 1)

) 3 ( ) 2 3 ( 1 3 · 6 6 4 2 1 3 · 1 6 4 2 1 3 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 6 4

2 x x x

x x x lím x x x x x x x lím x x x x x lím x x x x x x e e e x x x lím 2 1 6 3 6 ) 2 ( 3 ) 1 ( ) 6 ( ) 1 ( ) 2 ( 3 2 1 2 1 e e e

e x x

x x lím x x x x x x lím x

x ₌ ₌ ₌

= − + − − − + − − − − → → x x x x lím x log x lím 2 1 b) 2 3 a)

2₋ ₊

−∞ → +∞ → +∞ = − +∞ → _log_x

x lím x 2 3 a) 2 −∞ = + − = + − +∞ → −∞

→ x _x x

x x lím x lím 2 1 2 1 b) x x x x lím x x x lím x x 2 1 3 b) 3 2 5 a) 6 2 2 − − +     ₋ ₋ −∞ → +∞ → = + −       ₋ ₊       ₋ ₋ =     ₋ ₋ +∞ → +∞

→ _x _x _x

x x x x x x lím x x x lím x

x ₅ ₂ ₃

(18)

18

Solución:

Halla el valor del siguiente límite:

Solución:

Solución: −∞ = + − − − = + − − − = +∞ → +∞ → x x x x x lím x x x x x x lím x x 3 2 5 2 4 3 2 5 9 2 5 2 2 2 2 2 0 2 1 3 2 1 3 b) 6 2 6 2 = + − − = − − + +∞ → −∞ → x x x x lím x x x x lím x x 1 2 2 2 5 2 2 1 b) 1 2 3 2 a) − +∞ → − −∞ → _     + +       + − − x x x x _x x lím x x lím +∞ =       =       + + =       + − − +∞ +∞ → − −∞ → 2 3 1 2 3 2 1 2 3 2

a) 2 2

x x x x _x x lím x x lím

(

)

(

)

0 5 2 2 1

b) 2 5

4 8 1 2 · 5 2 5 2 2 1 1 2 · 1 5 2 2 1 1

2 2 ₂ ₂ 2

= = = = =       + + + −∞ + − −       + − − + −       ₋ + + − +∞ → +∞ → +∞ → +∞

→ _e _e _e

e x x lím x x lím x x x x lím x x x lím x x x x x 4 3 10 2 2 3 2

2 − +

− +

→ _x _x

x x lím

x

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(0)

9 2 1 5 2 2 1 2 5 2 4 3 10 2 2 2 2 2 3 2

2 + − =

+ = − + − + = + − − + → →

→ _x _x

x lím x x x x lím x x x x lím x x x

(

) (

)

(

+

) (

−

)

=+∞ + −∞ = − + + + − _→

→ 1 2

5 2 ; 2 1 5 2 2

2 x x

x lím x x x lím x x 1 1 2 1 ₁ 3 2 − → _     + + − x x _x x x lím = = = =       + + − −₊+ ₋ −         + − − + − −         − + + − − → → →

→ · 1₁

1 2 3 1 1 · 1 1 3 2 1 1 · 1 1 3 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 3

2 x x lím x _xx _x

(19)

19

Continuidad

Ejercicio nº3 1.-

Estudia la continuidad de la siguiente función. Si en algún punto no es continua, indica el tipo de discontinuidad que hay:

Solución:

• Dominio =− {−1, 1}.

f(x) es continua en − {−1, 1}.

• Veamos el tipo de discontinuidad que presenta en x=−1 y en x= 1:

Discontinuidad evitable en x=−1.

Discontinuidad de salto infinito en x = 1.

Halla los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:

Solución:

• Dominio =

• Si x≠ 1 y x≠ 2 → f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.

• En x= 1:

( ) ( )

( ) ( ) 2

1 1 2 1

· 1

1 · 2

1 1

− + − −

+ − −

= =

= → →

e e

e x

x lím x

x x x lím

x x

( )

1 3 5

2 2 3

− − − − =

x x x x x f

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

0

2 0 1

3 1 1

1 3 1 1

3 5

1 2

2 3

1 − = − =

− + =

− +

− + =

− − − −

− → −

→ −

→ _x

x x lím x

x x x lím x

x x x lím

x x

x

( )

(

) (

)

. Hallamosloslímiteslaterales: )

0 (

4 1

3 1 1 1

− = −

− + =

→

→ _x

x x lím x f lím

x x

( )

=+∞ ₊

( )

=−∞

− _→

→ f x lím f x

lím

x

x 1 ; 1

( )

    

≥ +

< ≤ +

+

< −

=

2 si

1 3

2 1 si 2

1 si

3

2

x x

x a

bx x

x a

x x

(20)

20

Para que f (x) sea continua en x= 1, ha de ser:

3 −a= 2 +b+a → 2a+b= 1

• En x= 2:

8 + 2b+a= 7 → a+ 2b=−1

• Uniendo las dos condiciones anteriores, tenemos que:

Estudia la continuidad de la siguiente función:

Solución:

• Dominio =

• Si x≠−1 y x≠ 2 → f (x) es continua, pues está formada por funciones que son continuas en los intervalos correspondientes.

• En x=−1:

• En x= 2:

( )

(

)

( )

(

)

( )



      

+ + =

+ + = + + =

− = − =

+ +

− −

→ →

a b f

a b a bx x lím x f lím

a a x lím x f lím

x x

2 1

2 2

3 3

2 1 1

1 1

( )

(

)

( )

(

)

( )



     

=

= + =

+ + = + + =

+ +

− −

→ →

7 2

7 1 3

2 8 2

2 2

2

2 2

f

x lím x f lím

a b a

bx x lím x f lím

x x

(

1 2

)

1 2 4 1 3 3 1; 1

2 2 1 1 2

1 2

− = =

→ − = − → − = − + → − = − +

− =    − = +

= +

b a

a a

a

a b

b a

( )

  

  

 

≥ +

< ≤ − −

− < +

=

2 si

1 3

2 1 si 2

1 si

3 2

2

x x

x

x f

( )

(

)

( )

escontinuaen 1. 1

1

1 2

1 3 2

2

1 1

− =

  

  

 

− = −

− = − =

− = + =

+ +

− −

− → −

→

− → −

→

x x

f

x lím x f lím

x x lím x f lím

x x

(21)

21

Calcula el valor de a para que la siguiente función sea continua:

Solución:

• Dominio =

• Si x≠ 1 → f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.

• En x= 1:

Para que f (x) sea continua en x = 1, ha de ser:

Estudia la continuidad de la siguiente función. En los puntos en los que no sea continua, indica el tipo de discontinuidad que presenta:

Solución:

• Dominio =− {−5, 2}

f (x) es continua en − {−5, 2}.

• Veamos el tipo de discontinuidad que presenta en x=−5 y en x= 2:

( )

(

)

( )

(

)

salto

( )

finito.

de idad discontinu una

Hay . 2 en a discontinu es

7 1 3

2 2

2

2 =

    = + =

= − =

+ +

− −

→ →

→

→ f x x

x lím x f lím

x x

( )

  

> +

≤ +

− =

1 si 3

1 si 1 2

2

x x

ln a

x x

ax x f

( )

(

)

( )

(

)

( )





   

 

− =

= + =

− = + − =

+ +

− −

→ →

1 1

3 3

1 1 2

1 1

2 1 1

a f

a x ln a lím x f lím

a x ax lím x f lím

x x

2 1 1

2 3

1= → =− → =−

− a a a

a

( )

10 3

8 2 3

2 2

− +

− − =

x x

x x x f

( )

(

₍

_{) (}

) (

₎

)

2 5

2 4 3 10 3

8 2 3

2 2

− +

− + = − +

− − =

x x

x x x

x x x x f

( )

0 (

11 5

4 3 5 5

− = +

+ =

− → −

→ _x

x lím x f lím

(22)

22

Discontinuidad de salto infinito en x=−5.

Discontinuidad evitable en x= 2.

Halla el valor de k para que la siguiente función sea continua en x = 2:

Solución:

Para que f (x) sea continua en x= 2, ha de tenerse que:

f (2) =k

Estudia la continuidad de la función:

Solución:

• Dominio =

• En x= 0:

( )

=+∞ ₊

( )

=−∞

− _→₋

−

→ f x lím f x

lím

x

x 5 ; 5

( )

7 10 5

4 3 2

2 + =

+ =

→

→ _x

x lím x f lím

x x

( )

     

= ≠ +

+ −

+ + − =

2 si

2 si 8 8 14 4

4 8 11 3

2 3

x k

x x

x x x x f

( ) ( )

2 2f x f

lím

x→ =

( )

(

) (

)

(

) (

)

10 7 2 4

1 3 2

4 2

1 3 2 8

8 14 4

4 8 11 3

2 2

2

2 2

3 2 3

2

2 + =

+ =

+ −

= + + −

+ + − =

→ →

→

→ _x

x lím x

x

x x

lím x

x x

x x x lím x f lím

x x

7 Por tanto, ha de ser

10

k

• =

( )

    

≥ +

< ≤ +

< =

1 si

4

1 0 si 1 3

0 si

2

x x

ln

x x

x e

x f

(23)

23

• En x= 1:

• Por tanto, f (x) es continua en .

Calcula los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:

Solución:

• En x= 1:

Para que f (x) sea continua x= 1, ha de ser:

a− 2 = 4 +a+b → b=−6

• En x= 2:

10 + 2a= 0 → 2a=−10 → a=−5

• Por tanto, f (x) será continua si a=−5 y b=−6.

( )

(

)

( )

escontinuaen 0. 1

0

1 1 3

1

2 0 0

0 0

=

  

  

 

=

= + =

= =

+ +

− −

→ →

x x

f

x lím x f lím

e lím x f lím

x x

x x x

( )

(

)

( )

(

)

( )

escontinua en 1. 4

1

1 4

4 1 3

1 1

2

1 1

=

      

=

= + =

+ +

− −

→ →

x x

f

x ln lím x f lím

x lím x f lím

x x

( )

    

≥ +

< ≤ +

+

≤ −

=

2 si

3

2 1 si 4

1 si

2

2 2

x b

x

x b

ax x

x x

ax x

f

( )

(

)

( )

(

)

( )



      

+ + =

+ + = + + =

− = − =

+ +

− −

→ →

b a f

b a b ax x lím x f lím

a x ax lím x f lím

x x

4 1

4 4

2 2

2 1 1

( )

(

)

( )

(

)

( )





   

 

=

= − =

+ = − + =

+ +

− −

→ →

0 2

0 6 3

2 10 6 4

2 2

2

2 2

f

x lím x f lím

a ax

x lím x f lím

x x

(24)

24

discontinuidad que hay en los puntos en los que no es continua.

Solución:

• Dominio =− {−5, 2}

f (x) es continua en − {−5, 2}.

• Veamos que tipo de discontinuidad que presenta en x=−5 y en x= 2:

Discontinuidad evitable en x=−5.

Discontinuidad de salto infinito en x= 2.

Halla el valor de a para que la siguiente función sea continua:

Solución:

• Si x≠ 1 → la función es continua, pues está formada por funciones continuas.

• En x= 1:

2 +a= 6 − 3a → 4a= 4 → a= 1

( )

, estudiasucontinuidad.Indicaeltipode 10

3

5 15

3 función la

Dada

2 2 3

− +

+ + + =

x x

x x x x f

( )

(

₍

)

_{) (}

(

₎

)

2 5

1 3 5 10

3

5 15

3 2

2 2 3

− +

+ +

= − +

+ + + =

x x

x x x

x

x x x x f

( )

7 76 7 76 2

1 3 2 5 5

− = − = −

+ =

− → −

→ _x

x lím x f lím

x x

( )

0 ( 13 2

1 3 2 2

2 − =

+ =

→

→ _x

x lím x f lím

x x

( )

=−∞ ₊

( )

=+∞

− _→

→ f x límf x

lím

x

x 2 2

;

( )

  

> +

−

≤ +

=

1 si 5 3

1 si 2

2 _a _x

x

x a

x f

x

( )

(

)

( )

(

)

( )



      

+ =

− = + − =

+ = + =

+ +

− −

→ →

a f

a a

x lím x f lím

a a lím x f lím

x x

x x x

2 1

3 6 5 3

2 2

2 1 1

(25)

25

Teorema de Bolzano

Demuestra que la ecuación:

tiene, al menos, una solución real. Determina un intervalo de amplitud menor que 2 en el que se encuentre la raíz.

Solución:

• Consideramos la función f (x) =x7₊₃_x2₋₂_x₊_{1, que es continua por ser polinómica.}

• Tanteando, encontramos que f (−2) =−111; f (−1) = 5.

• Es decir:

Por el teorema de Bolzano, sabemos que existe, al menos, un c∈ (−2, −1) tal que f (c) = 0.

La raíz de la ecuación es c.

Demuestra que la ecuación e−3x₊_4x₋₂₌_{0 tiene, al menos, una solución real en el intervalo [0, 1].}

Solución:

• Consideramos la función f (x) = e−3x₊₄_x₋_{2, continua en}_{, pues es suma de funciones continuas. En}

particular, será continua en [0, 1].

• Por otra parte, tenemos que:

• Por el teorema de Bolzano, podemos asegurar que existe, al menos, un c∈−(−1, 0) tal que f (c) = 0.

La raíz de la ecuación es c.

Ejercicio nº 43-

Halla un intervalo de amplitud menor que 2 en el que la siguiente ecuación tenga, al menos, una raíz real: 3x3₊_2x₋₇₌₀

0 1 2 3 2

7₊ ₋ ₊ ₌

x x x

( )

[

]

( )



 − ≠

−

− −

1 de signo 2 de signo

1 , 2 en continua es

f f

x f

( )

signode

( )

0 signode

( )

1 0

2 1

0 1 0

3 f f

e f f

≠ 

  > + =

< − =