Aplicaciones de las propiedades de los determinantes en el cálculo de estos y en la comprobación de identidades

(1)

TEMA 3 – DETERMINANTES

EJERCICIO 1 : Calcula el valor de los siguientes determinantes:

1 0 5 1

2 2 3 3

1 1 0 2

0 3 2 4 b)

x 1 1 0

1 x 1 1

0 1 x 1 a)

−−−− −−−−

−−−− −−−− −−−−

Solución:

(

−

) (

− −

) (

− −

) (

= −

)

−

(

−

) (

= −

)(

[

−

)

−

]

=

= − − −

2 x 1 x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 0

1 x 1 1

0 1 x 1 a)

2 3

3

(

1−x

)

[

1−2x+x2−2

]

=

(

1−x

)

(

x2−2x−1

)

=−x3+3x2−x−1

=

( )

₌

− − − =

− −

− − =

− −

⋅ −

+

2 13 5

1 5 3

3 2 4

1 0 5 1

0 2 13 5

0 1 5 3

0 3 2 4

1 0 5 1

2 2 3 3

1 1 0 2

0 3 2 4 b)

1

4 4 2 3

4 2

1 FILAS

a a a

a a

a

( )

₍

₁₁₅ ₁₄₃

₎

₂₈

23 11

13 5

0 23 11

1 5 3

0 13 5

2

2 2 3

2 2 3 1

FILAS

a a

a a a

− = + − − = −

− − = −

− − =

⋅ −

( )

Desarrollamospor la4a columna.

1

( )

2

EJERCICIO 2 : Halla el valor de los siguientes determinantes. En el apartado a), calcula, además, los posibles valores de t

para que el determinante sea cero:

1 3 3 1

3 0 4 1

5 2 1 1

4 3 1 2 b)

4 2

0 1

1 1 1 a)

− − −

t t

t

Solución:

a) Calculamos el valor del determinante: t 4

( ) ( )

1 t 2t1 t t t 4 4t 2t 2t t 3t 7t 4 t

4 2

0 t 1

t 1 1 1

2 2

2

2₊ ₋ ₋ ₋ ₋ ₌ ₊ ₋ ₋ ₊ ₋ ₌ ₋ ₊

= −

Veamos para que valores de t se anula el determinante:

      

= =

= = ± = − ± = → = + −

1 6 6 t

3 4 6 8 t

6 1 7 6

48 49 7 t 0

4 t 7 t 3 2

. 1 t cuando y 3 4 t cuando cero vale te determinan

El = =

( )

₌₋ ₋− −₋

( )

₌ ₋ ₋ ₋

( )

₌

− −

= −

−

+ − ⋅ −

3 2

1

4 4 3

4 2

4 2 1 FILAS

4 3 7

4 1 2

6 0 0

4 3 7

4 1 2

2 3 7

1 3 3 1

4 3 7 0

4 1 2 0

2 3 7 0

1 3 3 1

3 0 4 1

5 2 1 1

4 3 1 2 b)

a a a

a a

(

6 7

)

6

6 3 7

1 2

6 − − =− − + =−

−

( )

Desarrollamosporla1acolumna.

1

( )

Sumamosala1a filala3a.

2

( )

Desarrollamosporla1a fila.

3

EJERCICIO 3 : a) Resuelve la ecuación: 0 3 x 1

2 x 1

3 1 x

==== b) Calcula el valor del determinante:

3 0 2 1

2 1 1 3

1 1 3 2

0 1 2 1

−−−− −−−−

(2)

a) Desarrollamos el determinante y lo igualamos a cero:

1 x 1

x 0

1 x x 1

1 x

1 0 0

2 x 1

3 1 x

3 x 1

2 x 1

3 1 x

2 2

a a

2 3

2 1 FILAS

± = → = → = − = =

= −

⇒ Hay dossoluciones: x₁=−1, x₂=1

( )

₌ ₋ ₋

( )

₌

( )

₌

− −

= − −

− +

3 2

1

4 3

3 2

3 1 FILAS

3 2 1

0 4 0

2 3 4

3 2 1

2 3 4

3 0 2 1

2 1 1 3

3 0 2 1

2 0 3 4

3 0 2 1

2 1 1 3

1 1 3 2

0 1 2 1 b)

a a

(

12 2

)

4 10 40

4 3 1

2 4

4 = − = ⋅ =

(1) Desarrollamos por la 3a columna. (2) Sumamos la 3a fila a la 2a. (3) Desarrollamos por la 2a fila.

EJERCICIO 4 : Hallar los valores de t que anulan el primer determinante, y calcula cuánto vale el segundo determinante:

0 1 2 4

2 0 3 1

1 3 2 0

1 2 1 2 b)

t t 1

0 t 2

2 2 t a)

−−−− −−−−

Solución:

a) Desarrollamos el determinante e igualamos a cero el resultado:

( )

t 2 0

t t 2 t t 4 t 2 t 4 t t t 1

0 t 2

2 2 t

2 3

3₊ ₋ ₋ ₌ ₋ ₌ ₋ ₌ _→

=

  

± = → = → = − = →

2 t 2 t 0 2 t

0 t

2 2

2 t ; 2 t

; 0 t : soluciones

Hay tres ₁= ₂=− ₃=

( )

₌

− − =

− − −

=

− −

⋅ −

−

1 2 4

4 1 3

5 1 2

0 1 2 4

0 4 1 3

0 5 1 2

1 2 1 2

0 1 2 4

2 0 3 1

1 3 2 0

1 2 1 2 b)

1

4 1 2 3

1 2

1 FILAS

a a a

a a

a

( )

₁₁ ₈ ₁₉

11 8

1 1

11 0 8

1 0 1

5 1 2

= 2

1 2 3

1 2

1 FILAS

a a

a

= + = − = − −

⋅ +

−

( )

Desarrollamospor la4 columna.

a

1

( )

2

EJERCICIO 5 : Resuelve la ecuación propuesta en a) y calcula el valor del determinante propuesto en b):

2 1 1 3

4 1 1 1

1 2 0 1

3 0 1 2 b) 0

1 1 0

a 1 1

1 a a a)

−−−− −−−− −−−−

−−−− ====

−−−−

Solución:

a) Desarrollamos el determinante e igualamos a cero el

resultado:

( )

1 a 0

1 a a 1

1 a

1 1 0

a 0 1

1 0 a

1 1 0

a 1 1

1 a a

2

1

3 1 2

1 COLUMNAS

a a a

a

± = → = − = =

− =

−

− ⇒ Hay dossoluciones: a1=−1; a2=1

( )

1 Desarrollamospor la2a columna.

( )

₌

− − − =

− − −

=

− − −

−

− −

5 1 5

1 1 1

1 2 1

5 1 0 5

1 1 0 1

1 2 0 1

3 0 1 2

2 1 1 3

4 1 1 1

1 2 0 1

3 0 1 2 b)

1

1 4

1 3

2 1 FILAS

a a

( )

₅ ₅ ₁₀

5 5

1 1

5 1 5

1 1 1

0 1 0

2 3

2 2 1

a a a a

(3)

( )

1

( )

Desarrollamospor la1a fila.

2

EJERCICIO 6 : Desarrolla el siguiente determinante:

0 1 x x

1 x 0 x

x 0 1 x

x x x x

Solución:

(

)

[

x 1 x

] [

x.x (1 3x 3x x )

]

x

x x 1 0

x 1 0 x

0 x x 1

x

x x 1 0 x

x 1 0 x x

0 x x 1 x

0 0 0 x

0 1 x x

1 x 0 x

x 0 1 x

x x x x

3 2 3

3 3

) 2 ( )

1 (

− + − − = − − = − −

− −

− − = − −

− −

= =

x.(2x3 – 3x2 + 3x – 1)

(1) Restamos la 1a columna a las demás. (2) Desarrollamos por la 1a fila.

EJERCICIO 7 : Halla el valor de los siguientes determinantes:

a) b) c)

4 2 3 1

2 1 1 5

2 3 1 2

3 0 2 1

−−−−

−−−− −−−−

1 2 1 1

1 1 2 0

3 1 0 2

1 3 2 1

−−−− −−−−

0 1 1 2

1 1 3 0

2 2 2 1

1 1 1 2

−−−− −−−−

−−−− −−−− −−−−

Solución:

a)

17 0 5 9

8 4 13

3 2 1

0 0 5 9

2 1 1 5

8 0 4 13

3 0 2 1

4 2 3 1

2 1 1 5

2 3 1 2

3 0 2 1

Filas

) 1 (

3 · 2 4

3 3 · 3 2

1

a a

a a a

a

= −

− −

− =

− −

−

= −

− −

−

− (1) Desarrollamos por la 3a columna.

b)

38 2 5 1

1 1 2

5 7 4

2 5 1 0

1 1 2 0

5 7 4 0

1 3 2 1

1 2 1 1

1 1 2 0

3 1 0 2

1 3 2 1

Filas

) 1 (

1 4

3 1 · 2 2

1

a a

a a a

a

= − −

−

− −

=

− −

−

− −

−

=

− −

−

− (1) Desarrollamos por la 1a columna.

c)

₍

₎

24 24 4

5 5

1 1 3

3 3 5

4 5 5 0

1 1 3 0

2 2 2 1

3 3 5 0

0 1 1 2

1 1 3 0

2 2 2 1

1 1 1 2

Filas

) 1 (

2 · 2 4

3 2

2 · 2 1

a a

= − − = − −

− − − =

− −

− − −

=

− −

− − −

− −

(1) Desarrollamos por la 1a columna.

EJERCICIO 8 : Calcula, en función de x, el valor de este determinante:

1 x x x

x 1 x x

x x 1 x

x x x 1

Da el resultado factorizado.

Solución:

(

+

)

=

+ + + +

=

1 x x 1

x 1 x 1

x x 1 1

x x x 1

x 3 1

1 x x x 3 1

x 1 x x 3 1

x x 1 x 3 1

x x x x 3 1

1 x x x

x 1 x x

x x 1 x

x x x 1

(4)

(

)

(

)

(

) (

)

3

x 1 x 3 1 x 1 0 0

0 x 1 0

0 0 x 1 x 3 1

x 1 0 0 0

0 x 1 0 0

0 0 x 1 0

x x x 1

x 3 1 Filas

) 2 (

1 4

1 3

1 2

1

a a

a

− + = − − − + =

− − − +

=

− − −

(1) Sacamos (1  3x) factor común de la 1a columna. (2) Desarrollamos por la 1a columna.

EJERCICIO 9 :Demuestra que: a) a

((((

b a

)))) ((((

c b

)))) ((((

d c

))))

d

c b a

c c b a

b b b a

a a a a

−−−− ⋅⋅⋅⋅ −−−− ⋅⋅⋅⋅ −−−−

==== b)

((((

a b c

))))

3

b a c c 2 c

2

b 2 a c b b 2

a 2 a

2 c b a

++++ ++++ ==== −−−− −−−− −−−− −−−− −−−− −−−−

Solución:

a)

( )

=

− − −

− − − = − − −

− − −

=1 2 3

a d a c a b

a c a c a b

a b a b a b

a

a d a c a b 0

a c a c a b 0

a b a b a b 0

a a a a

d c b a

c c b a

b b b a

a a a a

( )

₍

₎

( )

₍

₎

( )

_a

_{( )(}

_b_-_a _c _b

₎₍

_d _c

₎

c d 0 0

b c b c 0

a b a b 1 a b a a d a c 1

a c a c 1

a b a b 1 a b

a 4 5

3

− − =

− − −

= − −

− −

− − −

=

( )

Restamosla1a filaalasotras tres.

1

( )

2 Desarrollamospor la1a columna.

( )

3 Sacamos

(

b−a

)

factor común.

( )

Restamosala3a filala2a y ala2ala1a.

4

( )

5 Eseldeterminantedeunamatriz triangular.

b)

( )

=

b a c c 2 c

2

b 2 a c b b 2

c b a c b a c b a

b a c c 2 c

2

b 2 a c b b 2

a 2 a

2 c b a

1

− − − −

+ + + + + + = − − − − − −

( )

₍

₎

₍

₎

( )

₌

− − − − − − +

+ =

− − − − +

+ =

−

− 3

1 3

1 2

COLUMNAS

c b a 0

c 2

0 c b a b 2

0 0

1

c b a

b a c c 2 c 2

b 2 a c b b 2

1 1

1

c b a

a a

a

( )

3

₍

_a _b _c

₎₍

_a _b _c

₎₍

_a _b _c

_{) (}

_a _b _c

₎

3

+ + = − − − − − − + + =

( )

Sumamosala1a filalasotrasdos.

1

( )

2 Sacamos

(

a+b+c

)

factor común.

( )

EJERCICIO 10 : Calcula el valor de este determinante:

x a a a

a x a a

a a x a

a a a x

Solución:

( )

₌

₍

₊

₎

₌

+ + + + =

x a a 1

a x a 1

a a x 1

a a a 1

a 3 x

x a a a 3 x

a x a a 3 x

a a x a 3 x

a a a a 3 x

x a a a

a x a a

a a x a

a a a x

2 1

(

)

(

_x ₃_a

) (

_x _a

)

3

a x 0 0 0

0 a x 0 0

0 0 a x 0

a a a 1

a 3 x

a a

a

1 4

1 3

1 2

1 FILAS

− ⋅ + = − − − +

− − −

( )

Sumamosala1acolumnalasotras tres.

1

( )

2 Sacamos

(

x+3a

)

factor común.

( )

EJERCICIO 11 : Calcula el valor de este determinante, dando el resultado factorizado:

a 1 0 1

1 a 1 0

0 1 a 1

(5)

Solución:

( )

₍

₎

( )

₍

₎

( )

₌

− −

+ = +

= +

+ + +

=1 2 3 4

1 a 1 1 1

0 a 0 1

1 1 1 a 1

0 0 0 1

2 a

a 1 0 1

1 a 1 1

0 1 a 1

1 0 1 1

2 a

a 1 0 2 a

1 a 1 2 a

0 1 a 2 a

1 0 1 2 a

a 1 0 1

1 a 1 0

0 1 a 1

1 0 1 a

( )

₍

₎

( )

₍

₎

₌

₍

₊

_{) (}

[

₋

₎

₋

]

₌

₍

₊

₎

(

₋

)

₌

− −

− − +

= − −

− −

+

= a 2 a a 1 1 a 2 a a 2a

1 a 1

1 1 a a 2 a 1 a 1 1

0 a 0

1 1 1 a 2

a 5 2 2

4

(

) (

)

(

)(

)

2 a 2 a a 2 a a 2

a+ 2 − = 2 + −

( )

Sumamosala1acolumnalasdemás.

1

( )

2 Sacamos

(

a+2

)

factor común.

( )

Restamosla1a columnaala2a y ala4a.

3

( )

4

( )

Desarrollamospor la2afila.

5

EJERCICIO 12 : Halla en función de a, el valor de este determinante:

a 1 1 0

0 a 1 1

1 1 a 1

1 1 a a

−−−− −−−−

−−−− −−−− −−−−

Solución:

( )

₍

₎

₌

− −

− − − + − =

− − +

− − − +

=

− −

− − −

a 1 1

0 a 1

1 1 a

1 a

a 1 1 0

0 a 1 1

0 0 0 1 a

1 1 a a

a 1 1 0

0 a 1 1

1 1 a 1

1 1 a a

1

4 3

1 2

1 FILAS

a a

a

( )

₍

₎

₍

_a ₁

₎

(

_a ₁ _a _a

)

₍

_a ₁

₎

( )

_a ₁

a 1 1

0 a 1

1 1 a

1

a 3 3

2

− + = − + − + = − − + =

( )

1 Desarrollamospor la2a fila.

( )

2 Sacamos −1 factor común.

EJERCICIO 13 : Indica si son ciertas o no las siguientes igualdades. Razona tu respuesta:

r q p

c b a

z y x 3 r 3 c 3 z 3

q 3 b 3 y 3

p 3 a 3 x 3 b)

r q p

r 2 c q 2 b p 2 a

z 2 y 2 x 2

r q p

c b a

z y x a)

==== ++++

++++ ++++ ====

Solución:

r q p

c b a

z y x

r q p

c b a

z y x

2 1 2

r q

p 2

c 2 b 2 a

z 2 y 2 x 2

r q p

r 2 c q 2 b p 2 a

z 2 y 2 x 2 a)

a a a

a

3 3 2

1 FILAS

= ⋅

= −

= + +

+ Por tanto, es verdadera la igualdad.

b) Falsa, ya que:

r q p

c b a

z y x 3 r q p

c b a

z y x 3 r c z

q b y

p a x 3 r 3 c 3 z 3

q 3 b 3 y 3

p 3 a 3 x 3

3

3 ₌ _≠

=

EJERCICIO 14 :

a) Justifica cuáles de las siguientes igualdades son correctas y cuales no:

d c

b a d

c b a ; d c

b a d

c b a ; d c

b a d c

b

a ₂ ₂

α αα α ==== α αα α α αα α

α αα α α αα α α

αα α ==== α αα α α αα α α

αα α ==== α αα α α αα α

: tes determinan siguientes

los de valor el calcula , 3 d c

b a Si

b) ====

d d 2 c 2

b b 2 a 2 ; d b

c a

++++ ++++

Solución:

(

)

VERDADERA

d c

b a bc ad bc ad d c

b a a)

→ α

(6)

(

ad bc

)

FALSA d

c b a bc ad d

c b

a ₂ ₂ ₂

→ −

α = α

≠ − α = α α

(

)

VERDADERA

d c

b a bc

ad bc

ad d

c b

a ₂ ₂ ₂ ₂

→ α

= − α = α − α = α α

α α

3 d c

b a

d b

c a b)

= =

( )

0 2 3 6

d c

b a 2 d d 2

b b 2

d c 2

b a 2

d d 2 c 2

b b 2 a

2 1

= ⋅ = + =

+ =

+ +

( )

1 Elsegundodeterminantees0por tener lasdoscolumnasproporcionales.

EJERCICIO 15 : Indica, razonando tus respuestas, si son ciertas o no las siguientes igualdades:

0 a a 1

a a 1

a a 1 b)

2 c 2 b 2 a

z 2 y 2 x 2

1 1 1

c b a

z y x

2 2 2 a)

4 3

3 2

2

==== ++++

++++ ++++ ====

Solución:

. 1 la sumado hemos le 3 la A . 2 1 por 2 la y 2 por do multiplica hemos

la fila 1 La

a) a a a a

Por tanto: . Laigualdadescierta.

2 c 2 b 2 a

z 2 y 2 x 2

1 1 1 2 2 1

c b a

z y x

2 2 2

+ + + ⋅ =

b) Observamos que la 2a y la 3a columna son proporcionales, puesto que la 3a la obtenemos multiplicando la 2a por a. Por tanto, el determinante es cero. La igualdad es cierta.

EJERCICIO 16 :

do justifican calcula,

, 4 B y 2 A que tales 2, 2 matrices dos

son B y A Si

a) ×××× ==== ====−−−− la respuesta:

1 2

2 −

−A; A; AB ; B A; A ;

A t t

((((

Btrepresentalatraspuestadelamatriz B

))))

. d d c 2

b b a 2 calcula , 2 d c

b a Si b)

−−−− ++++

−−−− ++++ −−−−

====

Solución

a) Vamos a tener en cuenta estas tres igualdades:

Consideramos A y B dos matrices 2×2. A⋅B = A⋅B k⋅A =k2⋅A t = A

A 3) ;

2) ;

) 1

Por tanto:

4 22 2 2 ₌ _⋅ ₌ _⋅ ₌ ₌ ₌

• A A A A A A

( )

−1⋅ =

( )

−12⋅ =1⋅ = =2

= −

• A A A A A

8 2 4 4 2

2 ₌ 2_⋅ ₌ _⋅ ₌ _⋅ ₌

• A A A

( )

4 8

2⋅ − =−

= ⋅ = ⋅ = ⋅

• A Bt A Bt A B

( )

−4 ⋅2=−8

= ⋅ = ⋅ = ⋅

• Bt A Bt A B A

, A existe que y ; I A A que cuenta en tener a vamos , A hallar

Para −1 ⋅ −1= −1

• puestoque A =2≠0. Así:

2 1 A 1 A

1 A A I

= A

A⋅ −1 → ⋅ −1 = → −1 = =

b) Sumamos a la 1ª columna la 2ª y sacamos 2 y (–1) factor común:

( )

( ) ( )

2 2 4 d

c b a 2 d c 2

b a 2 = d d c 2

b b a 2

= − ⋅ − = ⋅

− = − − −

+ − +

EJERCICIO 17 : 4, hallaelvalor delossiguientesdeterminantes: r

q p

z y x

c b a que

(7)

z r 3 z c

y q 3 y b

x p 3 x a b)

z y x

r 2 q 2 p 2

c z b y a x a)

++++ ++++ ++++ −−−−

−−−− −−−−

Solución:

( )

2 factorcomún:

sacamos y

3 la fila 1 la a Restando

a) a a −

( )

₌

− = − − − = − − −

*

z y x

r q p

c b a 2 z y x

r 2 q 2 p 2

c b a

z y x

r 2 q 2 p 2

c z b y a x

( ) ( )

2 4 8

r q p

z y x

c b a 1

2 ⋅ − = ⋅ =

−

( )

Alpermutar la2a y 3afilasdeorden,eldeterminantecambiadesigno.

*

: común factor 3 sacamos y , 2 la columna 3

la a Restamos

b) a a

( )

₃ ₄ ₁₂

r q p

z y x

c b a

3

r z c

q y b

p x a

3

r 3 z c

q 3 y b

p 3 x a

z r 3 z c

y q 3 y b

x p 3 x a

*

₌ _⋅ ₌

= =

= + + +

( )

_*

Tenemosen cuentaqueeldeterminantedeunamatrizcoincidecon elde su traspuesta.

EJERCICIO 18 : Calcula el rango de las matrices:

a)

  

 

  

 

−−−−

−−−− −−−−

−−−− ====

4 2 1 1 2 3

1 1 3 1 0 1

3 2 4 3 1 2

A b)

    

 

    

 

−−−− −−−−

−−−−

====

1 1 4 3

3 0 1 0

2 3 2 1

0 2 1 1

M c)

    

 

    

 

−−−− −−−−

−−−−

−−−− −−−−

−−−−

====

1 1 1 4 1

3 0 3 1 0

1 1 1 2 1

3 2 3 1 2

M

d)

    

 

    

 

−−−− −−−− −−−−

−−−−

====

3 7 7 0

7 11 12 1

1 3 2 1

5 1 3 2

A e)

    

 

    

 

−−−− −−−− −−−−

−−−−

====

2 3 5 5

1 4 3 0

2 1 1 1

2 1 3 2

M

Solución:

a) 1 0

0 1

1 2 : nulo no 2 orden de menor un

Tomamos − = ≠

Por tanto, ran (A) ≥ 2. Las dos primeras líneas son linealmente independientes. Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras:

ntes. independie nte

linealmeme son

filas tres Las 0

14

1 2 3

1 3

0 1

1 2

→ ≠ = − −

Luego, ran (A) = 3.

b)

    

 

    

 

− −

− =

1 1

3 0

4 3

1 0

2 3

0 2

2 1

1 1

M

Tomamos un menor no nulo de orden 2: 4 0 ran

( )

2 2

3 0 2

≥ →

≠

= M Las dos primeras filas son linealmente independientes.

: primeras dos

las de e linealment depende

fila 3 la si Veamos a

( )

M 3

ran ntes

independie e

linealment tresprimerasfilasson Las

0 15 3 1

2 1 3

3 0 0

2 3

0 2 1 1

≥ →

→ ≠ = − = −

Comprobamos si el determinante de M es distinto de cero o no:

( )

₁₅ ₀

13 1 3

4 3 1

3 2 1

1

13 1 4 3

0 0 1 0

4 3 2 1

3 2 1 1

1 1 4 3

3 0 1 0

2 3 2 1

0 2 1 1

M 1 =2 − − − =− ≠

−

− −

− =

− −

(8)

( )

Restamosala4a columna,la2a multiplicada por 3.

1

( )

2

Por tanto, ran (M) = 4

c)

. 3 la que igual es 5 la que y 1 la con coincide columna

4 la que

Observamos a a a a

Por tanto, podemos prescindir de las dos últimas columnas para calcular el rango de M. Así, ran (M) ≤ 3. 0

3 2 1

Tomamos = ≠

− −

Luego, ran (M) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes.

: primeras dos

fila 3 la si

Veamos a

( )

3 M ran 0

14 3 1 0

1 2 1

3 1 2

= →

≠ = − −

−

d) 7 0

2 1

Tomamos =− ≠

−

Luego, ran (A) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes. Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras:

(

a a a

)

3 la obtenemos ,

2 la menos columna 1

la restamos si

pues, 0

11 12 1

3 1

2 1

3 2

= −

− −

primeras. dos

las de lineal n combinació es

fila 3 la Así, . 0 7 12 1

1 2 1

5 3 2

a =

−

Comprobamos si la cuarta fila depende linealmente de las dos primeras:

primeras. dos

las de depende fila

cuarta la También

. 0 3 7 0

1 2 1

5 3 2 ; 0 7 7 0

3 2 1

1 3 2

= − =

− −

−

Por tanto, ran (A) = 2.

e) 5 0

1 1

Tomamos = ≠

−

Luego, ran (M) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes. Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras:

( )

M 3

ran ntes

independie e

linealment tresprimerasfilasson Las

0 17

4 3 0

1 1

3 2

≥ →

→ ≠ = − −

Comprobamos si el determinante de M es distinto de cero o no:

0

12 2 10

1 4 3

6 1 5

12 2 10 5

1 4 3 0

0 0 0 1

6 1 5 2

2 3 5 5

1 4 3 0

2 1 1 1

2 1 3 2

M

a a

a

1 2 4

1 3

1 2

1 COLUMNAS

= − =

− −

= −

− −

− =

⋅ +

+ +

(9)

EJERCICIO 19 : Estudia el rango de las siguientes matrices para los distintos valores de los parámetros:

a)

   

 

   

 

=

a a

M

5 2 2

1 2 1

0 3 1

b)

   

 

   

 

− −

=

2 3

1

0 4 0

2 4 0 1

t t

M c)

   

 

   

 

λ λ

+ λ =

0 2 0

2 0 0

1 1 1

1

A

d)

   

 

   

 

− −

=

2 3

3 8 1

2 3

1

1 3

2 1

t t

M e)

   

 

   

 

− − =

0 1

4

0 3 0

0 1 0 1

a a A

Solución:

a) 3 0

1 2

0 3 : cero de distinto 2 orden de menor un

Tomamos = ≠

Luego, ran (M) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes para cualquier valor de a.

Buscamos los valores de a que hacen que el determinante formado por las columnas 1a, 3a y 4a sea igual a cero:

(

− +

)

= → − + = →

= + − = − − +

=2a 6 5a 3a 2a 8a 6 2a 4a 3 0 a 4a 3 0

a 5

1 2

0 3

2 1 a

2 2

  

= = ±

= − ± =

1 a

3 a

2 2 4 2

12 16 4 a

: columna 2

la con ocurre que Veamos

últimas. dos las de e linealment depende

columna 1

la que Sabemos 1

a Si

a a →

= •

columna 2

La 0

1 5

1 2

0 3

2 1 1

a → =

Por tanto, ran (M) = 2.

: columna 2

la con ocurre que Veamos

columna 1

la que Sabemos 3

a Si

a a →

= •

( )

M 3

ran Por tanto,

. 0 8

3 5

1 2

0 3

6 3 1

= ≠

=

b)

rango. el obtener para

ella de prescindir podemos

Luego, . 1 la de doble el es columna 4

la que

Observamos a a

0 4 4 0

Tomamos = ≠ Así, ran (M) ≥ 2.

Buscamos los valores de t que hacen cero el determinante formado por las tres primeras columnas:

  

− = = ± − = + ± − = → = − + =

− t 6

2 t

2 8 4

2 48 16 4 t 0 12 t 4 t

t 3 1

4 t 0

4 0 1

2

( )

M 3

ran 6

t y 2 t

Si ≠ ≠− → =

•

. 3 y 1 la de e linealment depende

columna 2

La 6

t o 2 t

Si = =− → a a a

•

Por tanto, ran (M) = 2. c)

   

 

   

 

λ λ

+ λ =

0 2 0

2 0 0

1 1 1

1

A

0 2 2 0

(10)

Buscamos los valores de λ que hacen cero el determinante formado por las columnas 2a, 3a y 4a:

(

)

[

−λλ+

]

=−

[

−λ −λ

]

= −

= λ

+ λ − = λ

+ λ

2

2 2 1 2

2 2

1 1 2 0 2

2 0 0

1 1 1

[

]

_

− = λ

= λ ± − = + ± − = λ → = − λ + λ ⋅ =

2 1

2 3 1 2

8 1 1 0

2 2 2

( )

3

ran 2

y 1

Si λ≠ λ≠− → =

• A

: columna 1

la con ocurre qué Veamos . 4 y 2 la de e linealment depende

columna 3

La 1

Si λ= → a a a a

•

( )

A 3

ran 0

1

0 1 0

2 0 1

1 1 1

= →

≠ − =

: columna 1

la con ocurre qué Veamos . 4 y 2 la de e linealment depende

columna 3

La 2

Si λ=− → a a a a

•

( )

A 3

ran 0

8

0 2 0

2 0 2

1 1 1

= →

≠ = − −

Por tanto, ran (A) = 3 para cualquier valor de λ. d)

(

essu triple

)

;por tanto,podemosprescindirdeellaparacalcular elrango. 1

la a al proporcion es

columna 3

la que

Observamos a a

0 1 2 1

Tomamos = ≠ Luego, ran (M) ≥ 2.

Buscamos los valores de t que hacen que el determinante formado por las columnas 1a, 2a y 4a sea cero:

(

8 3t

)

4 0 paracualquier valor de t. 2

t 4 t 3 8 t 2

2 t 3 8 1

2 t 1

1 2 1

= + − − − + − + − = − −

. de valor cualquier para

primeras dos

las de linelmente depende

fila 3 la tanto, Por a

t Así, ran (M) = 2.

e) Podemosprescindirdela3a columna,puesnoinfluyeen elrango.

0 1 1 4

Tomemos = ≠ Luego, ran (A) ≥ 2.

Buscamos los valores de a que hacen cero el determinante formado por las tres primeras columnas:

  

− =

− = ±

− = − ± − = → = + + = − −

3 a

1 a

2 2 4 2

12 16 4 a 0

3 a 4 a

a 1 4

3 a 0

1 0 1

2

( )

A 3

ran 3

a y 1 a

Si ≠− ≠− → =

•

→ →

− = − =

• Si a 1 o a 3 La2a filadependelinealmentedelasotrasdos

ran (A) = 2

EJERCICIO 20 : , compruebaque A 2A I, siendo I lamatriz 1

4 4

1 1 2

2 4 5 A matriz la

Dada 2==== −−−−

  

 

  

 

−−−− −−−−

==== identidad. Usando la

fórmula anterior, calcula A4. Solución:

(11)

iguales. Son

3 8 8

2 3 4

4 8 9

1 0 0

0 1 0

0 0 1

2 8 8

2 2 4

4 8 10

I A 2

3 8 8

2 3 4

4 8 9

1 4 4

1 1 2

2 4 5

1 4 4

1 1 2

2 4 5

A2

    

     

 

  

 

  

 

− −

− − =

  

 

  

 

−

  

 

  

 

− −

− − =

−

  

 

  

 

− −

− − =

  

 

  

 

− − −

  

 

  

 

− −

− − =

Utilizando que A2 = 2A - I, calculamos A4:A4 = (A2)2 = (2A – I)2 = 4A2 – 4A + I = 4(2A – I) – 4A + I = 4A – 3I

Por tanto: =

  

 

  

 

−

  

 

  

 

− −

− − =

  

 

  

 

−

  

 

  

 

− −

− − =

− =

3 0 0

0 3 0

0 0 3

4 16 16

4 4 8

8 16 20

1 0 0

0 1 0

0 0 1 3 1 4 4

1 1 2

2 4 5 4 I 3 A 4 A4

  

 

  

 

− −

7 16 16

4 7 8

8 16 17

EJERCICIO 21 :

a) Calcula el rango de la siguiente matriz:

  

 

  

 

−−−− −−−− −−−− −−−− ====

1 1 1 0

2 1 1 2

2 1 1 3 A

b) ¿Cuántas filas hay en la matriz A que sean linealmente independientes? Razona tu respuesta. Solución:

0 5 1 2

1 3 : nulo no 2 orden de menor un Tomamos

a) − = ≠

Luego ran (A) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes.

Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras: 5 0

1 1 0

2 2 1 2

1 3

; 0

1 1 0

1 1 1 2

1 3

≠ = − − − =

− −

Por tanto, ran (A) = 3.

b) Como ran (A) = 3, las tres filas de A son linealmente independientes.

EJERCICIO 22 : Halla el rango de la siguiente matriz y di cuál es el número de columnas linealmente independientes:

  

 

  

 

−−−− −−−− −−−− ====

0 6 3 0

1 3 2 1

2 0 1 2 m

Solución:

0 3 2 1

Tomamos =− ≠

− −

Luego ran (M) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes.

Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras: 0

0 3 0

1 2 2 1

1 2

; 0

6 3 0

3 0 2 1

1 2

= −

− =

− − −

La tercera fila depende linealmente de las dos primeras. Por tanto, ran (M) 2. Así, el número de columnas de M linealmente independientes es 2.

EJERCICIO 23 :

a) Averigua el rango de la matriz:

    

 

    

 

−−−− −−−−

====

1 1 0

8 3 1

2 1 2

4 5 3

M

(12)

0 7 1 2

a) =− ≠

− −

Luego ran (M) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes. Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras:

primeras. dos

fila 3 La 0

8 3 1

2 4 1 2

5 3

a

= −

−

Veamos si la cuarta fila depende linealmente de las dos primeras: 7 0

1 1 0

2 4 1 2

5 3

≠ = −

−

b) Como ran (M) = 3, las tres columnas de M son linealmente independientes.

EJERCICIO 24 :

a) Halla el rango de la siguiente matriz:

  

 

  

 

−−−− −−−− −−−−

−−−− −−−−

====

3 2 1 1

1 2 1 3

1 2 0 2 A

b) Averigua el número de columnas de A que son linealmente independientes. Solución:

0 2 1 3

a) − =− ≠

Luego ran (A) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes.

Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras: 0

3 1 1

1 1 1 3

0 2 ; 0

2 1 1

2 2 1 3

0 2

= − − − = − −

− −

b) Como ran (A) = 2, hay dos columnas de A linealmente independientes.

EJERCICIO 25 :

a) Obtén el rango de la siguiente matriz:

    

 

    

 

−−−− −−−−

−−−−

====

3 2 0

1 1 2

0 1 3

2 0 2

M

b) ¿Cuántas columnas hay en la matriz M que sean linealmente independientes? Razona tu respuesta. Solución:

0 2 1 3

a) =− ≠

−

Luego ran (M) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes. Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras:

primeras. dos

fila 3 La . 0

1 1 2

0 2 1 3

0 2

a

= −

− −

Veamos si la cuarta fila depende linealmente de las dos primeras: 18 0. Por tanto, ran

( )

M 3. 3

2 0

0 2 1 3

0 2

= ≠

− = − −

(13)

EJERCICIO 26 : Calcula el valor de los siguientes determinantes:

a)

2 1 1 0

1 2 3 2

1 1 0 1

2 0 4 2

−−−− −−−−

−−−− −−−− −−−−

−−−− −−−−

b)

3 4 0 1

0 1 2 1

1 3 2 0

1 1 1 2

−−−−

−−−− −−−−

c)

1 0 2 2

2 1 1 3

2 1 0 2

1 2 1 3

−

− −

d)

1 2 1 0

2 1 3 1

4 2 1 1

3 0 1 2

−−−− −−−− −−−−

e)

2 1 1 0

1 3 2 1

1 1 1 2

3 0 2 1

−−−− −−−−

Solución:

a)

( )

6

2 1 1

3 2 1

4 2 4

2 1 1 0

3 2 1 0

1 1 0 1

4 2 4 0

2 1 1 0

1 2 3 2

1 1 0 1

2 0 4 2

1

4 1 3

2 2 2 1 FILAS

a a a

− = − −

− −

− − = − −

− −

− − =

− −

− − −

− −

+ ⋅ −

( )

1

b)

( )

4

3 5 2

1 3 2

7 9 1

3 4 0 1

3 5 2 0

1 3 2 0

7 9 1 0

3 4 0 1

0 1 2 1

1 3 2 0

1 1 1 2

1

4 4 3

2 4 2 1 FILAS

a a a

− = − − − − = −

− − −

− =

−

− −

− ⋅ +

( )

Desarrollamospor la1acolumna

1

c)

( )

6

3 4 4

1 3 0

2 1 2

3 4 0 4

1 3 0 0

2 1 0 2

1 2 1 3

1 0 2 2

2 1 1 3

2 1 0 2

1 2 1 3

1

1 2 4

1 3

2 1 FILAS

a a

= − − = − − − =

−

− −

⋅ +

+

( )

1

d)

( )

_{( )}

30 30 1

1 2 1

2 3 4

5 4 1

1

1 2 1 0

2 3 4 0

4 2 1 1

5 4 1 0

1 2 1 0

2 1 3 1

4 2 1 1

3 0 1 2

1

4 2 3

2 2 2 1

FILAS

a a a

= − ⋅ − = − −

− − ⋅ − = − − −

− − =

− − −

− ⋅ −

( )

Desarrollamospor la1a columna

1

e)

( )

= − −

− −

= −

−

− −

− ⋅

+ 1

4 1 3

1 2 2

1

2 1 1 0

2 3 4 0

7 1 5 0

3 0 2 1

2 1 1 0

1 3 2 1

1 1 1 2

3 0 2 1

a a a

a a

a

( )

1

( )

15 15

2 1 1

2 3 4

7 1 5 1

1

= − ⋅ − = − −

− ⋅ −

=

( )

1

EJERCICIO 27 : Halla, en función del parámetro, el valor de estos determinantes:

a)

2 2

2

a 0 1

1 a 2 2 a 2 1

a 1 a 1

−−−− −−−− −−−−

b)

x x x

1 1 1

1 1

1

1 1 1

1 1 1 1

− − −

Solución:

a)

( )

− −

( )

=

( )

− − =

− =

− −

−

2 2

2

2 2

2

a 0 1

1 a 2 2 1

a 1 1

1 a

a 0

1

1 a 2 1 a 2 1

a 1 a 1

a 0 1

1 a 2 2 a 2 1

a 1 a 1

(14)

( )

_{( )}

_{( )( ) ( )}

₂ ₂ ₂ 2 2

2 2

2 _a ₁_a ₁ _a ₁

a a 1

1 a 1 1 a

a a 1 0

1 a 1 0

a 1 1

1 a

2

1 3

1 2

1 FILAS

a a

a

− = − − = − −

− −

= − −

− −

= − −

( )

Sacamos

( )

a2 1 factor común dela2a columna.

1 −

( )

Desarrollamospor la1acolumna.

2

b)

( )

(

)

( )

(

)

( )

=

+ −

+ = − − − + = + −

− − = − − −

− −

− 1 2 1 2

1 x 0 0

1 x 1

1 1 1

1 x

x 1 1

1 x 1

1 1 1

1 x

1 x 0 0 0

1 x 1 1

1 1 x 1

1 1 1 1

x 1 1 1

1 x 1 1

1 1 x 1

1 1 1 1

( )

₍

₎

2

₍

_x ₁

_{) (}

2 _x ₁

_{) (}

_x ₁

₎

3

x 1

1 1 1 x

2

+ = + + = − + =

(1) Sumamos a al última fila la primera. (2) Desarrollamos por la última fila

EJERCICIO 28 : Resuelve la siguiente ecuación (operando en el determinante antes de desarrollarlo):

0

1 x x x

x 1 x x

x x 1 x

x x x 1

====

−−−− −−−− −−−− −−−−

Solución:Sumamosala1a columnalasotras tres:

( )

₍

₎

=

− − − − =

− −

− − −

=

− − − −

1 x x 1

x 1 x 1

x x 1 1

x x x 1

1 x 3

1 x x 1 x 3

x 1 x 1 x 3

x x 1 1 x 3

x x x 1 x 3

1 x x x

x 1 x x

x x 1 x

x x x 1

1

(

)

( )

(

3x 1

)(

1 x

)

0

x 1 0 0

0

0 x 1 0 0

0 0

x 1 0

x x

x 1

1 x

3 2 3

1 4

1 3

1 2

1 FILAS

a a

a

= − − − =

− − − − − − − =

− − −

( )

Sacamos

(

3x 1

)

factor común dela1a columna.

1 − (2) Es el determinante de una matriz triangular.

(

)(

)

(

)

    

− = → = − − → = − −

= → = → = − → = − − −

1 x 0

x 1 0

x 1

3 1 x 1

x 3 0

1 x 3 0

x 1 1 x 3

3 3

La ecuación tiene dos soluciones: ; x 1 3

1

x₁= ₂=−

EJERCICIO 29 : Desarrolla el siguiente determinante:

2 x 1 1 1

1 2 x 1 1

1 1 2 x 1

1 1 1 2 x

++++ ++++ ++++ ++++

Solución: Sumamos a la primera columna las otras tres:

( )

=

+ +

+ + + = + + + +

1

2 x 1 1 5 x

1 2 x 1 5 x

1 1 2 x 5 x

1 1 1 5 x

2 x 1 1 1

1 2 x 1 1

1 1 2 x 1

1 1 1 2 x

( )

₍

₎

₍

₎

( )

₍

_x ₅

₎₍

_x ₁

₎

3

1 x 0 0 0

0 1 x 0 0

0 0 1 x 0

1 1 1 1

5 x

2 x 1 1 1

1 2 x 1 1

1 1 2 x 1

1 1 1 1

5

x 2

1 4

1 3

1 2

1 1

FILAS

a a

a

+ + = + + + +

= + + + +

=

(15)

( )

Sacamos

(

x 5

)

factor común dela1a columna.

1 + (2) Es el determinante de una matriz triangular.

EJERCICIO 30 : Resuelve la siguiente ecuación: 0

c a x a c

b c b x c

b a

b a x

==== −−−− −−−− −−−− −−−− −−−− −−−−

Solución:

( )

₌

− − − − =

− − − − − −

c a x a x

b c b x x

b a

x

c a x a c

b c b x c

b a

b a x

1

(

x a b c

)

0

x

c b a x 0

0

0 c

b a x 0

b a

x

2

a a

a

1 3

1 2

1 FILAS

= − − − = − − − − − − =

− −

(1) A la primera columna le sumamos las otras dos.

(

)

  

+ + = → = − − − = → = − − −

c b a x 0

c b a x

0 x 0

c b a x

x 2

Por tanto, la ecuación tiene dos soluciones:x₁=0; x₂ =a+b+c

EJERCICIO 31 : Indica si son ciertas o no las siguientes igualdades. Razona tu respuesta:

0 c z 2 b y 2 a x 2

c b

a

z y

x b)

q y c

p x b

2 2 2

2 a

q p a

y x a

c b a a)

==== −−−− −−−−

−−−− ====

Solución:

( )

q y c

p x b

2 2 2

2 a

q y c

p x b

1 1 1

a

q p 1

y x 1

c b 1

a

q p a

y x a

c b a a)

2

1 ₌ ₌

=

Por tanto, la igualdad es cierta.

( )

Sacamos a factor común dela1acolumna.

1 (2) El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta.

(

es2 1 2

)

. primera

dos las de lineal n combinació es

fila 3 La

b) a ⋅ a − a

Por tanto, el determinante es cero. La igualdad es cierta.

EJERCICIO 32 : 2, hallaelvalor delossiguientesdeterminantes: r

q p

c b a

z y x que

Sabiendo ====

r q 2 r q p

c b 2 c b a

z y 2 z y x b)

r q p

c 2 b 2 a 2

z c y b x a a)

++++ ++++

++++ ++++ −−−−

−−−− −−−−

Solución:

( )

₌ − − − ₌

− − − = − − −

r q p

c b a

z y x

2

r q p

c b a

z c y b x a

2

r q p

c 2 b 2 a 2

z c y b x a a)

*

2 2 4

r q p

c b a

z y x

2 =− ⋅ =−

− =

( )

Hemosrestadoala1afilala2a.

*

= +

+ =

+ +

r q 2 r

c b 2 c

z y 2 z

r q 2 q

c b 2 b

z y 2 y

r q 2 p

c b 2 a

z y 2 x

r q 2 r q p

c b 2 c b a

z y 2 z y x b)

( )

₀ ₀ ₂ ₂ ₄

r q p

c b a

z y x

2

*

₊ ₊ ₌ _⋅ ₌

=

( )

(

)

(

1 y 3

)

. iguales

columnas dos

por tener cero

es te determinan tercer

El

ales. proporcion 2

la y 1 la columnas dos

por tener 0

es te determinan 2

El

a a a a o

(16)

EJERCICIO 33 :

a) Justifica, sin desarrollar el determinante, que

4 35 3

4 4 20

3 1 12 −−−−

es múltiplo de 7.

b) Prueba, sin desarrollarlos, que el valor de los siguientes determinantes es cero:

2 / z 3 z 2

2 / y 2 y 2

2 / x 1 x 2 ;

t z y x

3 0 5 2

2 t 3 z 1 y 2 x

2 3 1 2

−−−−

−−−− −−−− −−−− −−−−

Solución:

: dos otras las columna 1

la a Sumamos

a) a

4 35 6

4 4 4

3 1 2 7 4 35 6 7

4 4 4 7

3 1 2 7

4 35 42

4 4 28

3 1 14

4 35 3

4 4 20

3 1

12 −

= ⋅

⋅ − ⋅ = − = −

Por tanto, el determinante es múltiplo de 7.

b) Primer determinante → La 2a es combinación lineal de la 4a y la 1a (es igual a la 4a menos la 1a). Por tanto, el determinante es cero.

Segundo determinante → La 1a y la 3a columna son proporcionales (la 1a es 4 veces la 3a). Por tanto, el determinante es cero. EJERCICIO 34 : Indica, razonando tu respuesta, si son ciertas o no las siguientes igualdades:

q p

z 2 y 2 q p

y x q p

z 2 y y 2 x a)

++++ ====

++++ ++++

z 2 r 2 c 2

y 2 q 2 b 2

x 2 p 2 a 2 8 z y x

r q p

c b a b)

====

Solución:

(

+

) (

− +

)

= + − − =

= + +

pz 2 py qy 2 qx z 2 y p y 2 x q q p

z 2 y y 2 x a)

(

) (

)

q p

z 2 y 2

q p

y x pz 2 qy 2 py

qx− + − = +

=

Por tanto, la igualdad es verdadera.

b) El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta. Además, si multiplicamos una fila (o una columna) por un número,

el determinante queda multiplicado por ese número. Por tanto:

z y x

r q p

c b a

64

z r c

y q b

x p a

8 8

z 2 r 2 c 2

y 2 q 2 b 2

x 2 p 2 a 2

8 = ⋅ =

Por tanto, la igualdad es falsa.

EJERCICIO 35 : Sabiendo que A y B son dos matrices de orden 2 tales que |A| = - 2 y |B| = 4, calcula, justificando la respuesta: ABt; At; B−−−−1; A−−−−1B; 3A

Solución:

Tendremos en cuenta que:

B A AB )

1 = ⋅ 2) At = A

A 1 A 1

A A A A I

A A )

3 ⋅ −1= → ⋅ −1 = ⋅ −1 = → −1 =

(

si A ≠0; esdecir,siexiste A−1

)

.

   

 

=

   

 

=

22 21

12 11 22

21 12 11

a 3 a 3

a 3 a 3 A 3 entonces

, a a

a a A Si ) 4

Por tanto:

8 4 2 B A B A

ABt = t = =− ⋅ =− At = A =−2

4 1

B 1 B−1 = =

2 4 2 1 B A 1 B A B

A 1 1 ⋅ =−

− = =

= −

Aplicaciones de las propiedades de los determinantes en el cálculo de estos y en la comprobación de identidades

Texto completo

TEMA 3 – DETERMINANTES

(

) (

) (

) (

)

(

) (

)(

[

)

]

(

)

[

]

(

)

(

)

( )

( )

(

)

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

[

] [

]

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

((((

)))) ((((

)))) ((((

))))

((((

))))

( )

( )

( )

( )

(

₍

₎

₍

₎

₍

₎

₍

₎

_{( )(}

₎₍

₎

₍

₎

₍

₎

₍

₎₍

₎₍

_{) (}

₎

₍

₎

₍

₎

₍

₎

₍

₎

₍

₎

₍

_{) (}

₎

₍

₎