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Sistemas equivalentes Transformaciones que mantienen la equivalencia

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(1)

Tema 4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas

Son de la forma:

    

= +

+

= +

+

= +

+

3 3 33 2 32 1 31

2 3 23 2 22 1 21

1 3 13 2 12 1 11

b x a x a x a

b x a x a x a

b x a x a x a

Las letras xi,aij y bi representan, respectivamente, a las incógnitas, a los coeficientes y a los términos independientes.

• La solución del sistema es el conjunto de valores de x1, x2 y x3 que verifican sus

ecuaciones.

• Dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

• Discutir un sistema es determinar sus posibilidades de solución. Puede ser:

− compatible determinado, cuando el sistema tiene una única solución. − compatible indeterminado, si tiene infinitas soluciones.

− incompatible, cuando no tiene solución.

Métodos de resolución

Método de sustitución. Es el más elemental de los métodos de resolución. Consiste en

despejar una incógnita en alguna de las ecuaciones y llevar su valor a las otras. Se obtiene así un sistema asociado al primero pero con una ecuación menos. La discusión del sistema inicial coincide con la del sistema final.

Ejemplo:

    

= − −

= −

= + +

3 2 3

1 2

0 2

z y x

z x

z y x

z = 2x − 1 ⇒

  

= − − −

= − + +

3 ) 1 2 ( 2 3

0 1 2 2

x y x

x y x

  

= − −

= +

1 1 2 3

y x

y x

x = 3, y = −4 → z = 5.

Método de Gauss

Consiste en transformar el sistema inicial,

    

= +

+

= +

+

= +

+

3 3 33 2 32 1 31

2 3 23 2 22 1 21

1 3 13 2 12 1 11

b x a x a x a

b x a x a x a

b x a x a x a

,

en otro equivalente a él, de la forma:

    

= = +

= +

+

3 3 33

2 3 23 2 22

1 3 13 2 12 1 11

´´ ´´

´ ´

´

b x a

b x a x a

b x a x a x a

.

Ello se consigue sumando o restando ecuaciones hasta eliminar la incógnita x1 de la ecuación

segunda (E2) y las incógnitas x1 y x2 de la tercera ecuación (E3).

(2)

• Si a´´33 = 0 y b´´3 = 0 ⇒ el sistema es compatible indeterminado. • Si a´´33 = 0 y b´´3 ≠ 0 ⇒ el sistema es incompatible.

Nota: Como las ecuaciones pueden reordenarse, lo de menos es que el sistema quede

triangular; lo importante es dejar una ecuación con una sola incógnita y otra ecuación con dos incógnitas. La discusión se hace estudiando la ecuación que tenga una sola incógnita.

Ejemplos:      = + + − = + − = − + 10 5 3 4 2 2 3 z y x z y x z y x →      = + − − = + − = − + − − 4 14 2 8 7 3 2 3 1 3 3 1 2 2 z y z y z y x E E E

E

     = − = + − = − +

− 28 28 8 7 3 2 3 2 2 3 3 z z y z y x E E

z = 1 →

     = − = + − = − + 1 8 7 3 2 3 z y y x

y = 5, x = 0

La solución del sistema es x = 0, y = 5, z = 1.

     = + − = + + = + − 3 5 3 4 0 2 y x z y x z y x →      = + − = + + − = − − 3 5 3 4 3 5 2 1 y x z y x y x E E →      = = + + − = −

+ 0 0 3 4 3 5 1 3 z y x y x E E El sistema es compatible indeterminado, equivalente a :

   − = + − = − z y x y x 3 4 3 5 →    − = − = −

y z

y x E

E 9 6 3 5 1

2 → 

 − = − = − y z y x 9 6 3 5

Haciendo y = t, se tiene:

     − = = + − = t z t y t x 9 6 5 3      = − = + − = − + 2 3 0 2 2 1 y x z y x z y x →      − = + − − = + − = − + − − 1 4 2 3 4 1 1 3 3 1 2 2 z y z y z y x E E E

E

     = − = + − = − +

− 0 1 2 3 4 1 21 3 z y z y x E E ,

Como 0 = 1 es falso, el sistema propuesto es incompatible. • Solución mediante la matriz inversa

Si llamamos           = 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a A ,           = 3 2 1 x x x

X y

          = 3 2 1 b b b

B , el sistema

     = + + = + + = + + 3 3 33 2 32 1 31 2 3 23 2 22 1 21 1 3 13 2 12 1 11 b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ⇔           =                     3 2 1 3 2 1 33 32 31 23 22 21 13 12 11 b b b x x x a a a a a a a a a

AX =B

(3)

Ejemplo:      = − − = − = + + 3 2 3 1 2 0 2 z y x z x z y x ⇔           =                     − − − 3 1 0 2 1 3 1 0 2 1 2 1 z y x

Como 1

2 1 3 1 0 2 1 2 1 − = − − − =

A ≠ 0, la matriz de coeficientes es inversible, siendo

          − − − − = − 4 7 2 3 5 1 2 3 1 1 A .

Con esto, la solución del sistema es:

          − =                     − − − − =           5 4 3 3 1 0 4 7 2 3 5 1 2 3 1 z y x →      = − = = 5 4 3 z y x

Regla de Cramer

Cuando el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero (matriz inversible), es más cómodo aplicar la regla de Cramer, cuya forma genérica, para sistemas 3 × 3, es:

33 32 31 23 22 21 13 12 11 33 32 3 23 22 2 13 12 1 a a a a a a a a a a a b a a b a a b x= 33 32 31 23 22 21 13 12 11 33 3 31 23 2 21 13 1 11 a a a a a a a a a a b a a b a a b a y= 33 32 31 23 22 21 13 12 11 3 32 31 2 22 21 1 12 11 a a a a a a a a a b a a b a a b a a z=

Nota: Una demostración de esta regla puede verse en Sydsaeter, p 364. Ejemplo:

Para el sistema anterior:

     = − − = − = + + 3 2 3 1 2 0 2 z y x z x z y x 3 1 1 2 2 1 3 1 0 2 1 2 1 2 1 3 1 0 1 1 2 0 = − − − = − − − − − − =

x ; 4

1 3 1 2 1 3 1 0 2 1 2 1 2 3 3 1 1 2 1 0 1 − = − + = − − − − − =

y ; 5

(4)

Sistemas lineales en general. Teorema de Rouché

Para un sistema más grande, de m ecuaciones con n incógnitas:

      

= +

+ +

= +

+ +

= +

+ +

m n mn m

m

n n

n n

b x a x

a x a

b x a x

a x a

b x a x

a x a

...

... ...

... ...

2 2 1 1

2 2

2 22 1 21

1 1

2 12 1 11

    

 

    

 

=

    

 

    

 

+ +

    

 

    

 

+

    

 

    

 

m n

mn n x

m

m b

b b

x

a a a

x

a a a

x

a a a

... ·

... ... · ... ·

...

2 1

2 1

2

2 22 12

1

1 21 11

(*)

puede generalizarse cualquiera de los métodos estudiados para sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. No obstante, para su discusión es más eficaz aplicar el teorema de Rouché, que dice: la condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales tenga solución es que el rango de la matriz de coeficientes (A) sea igual al rango de la matriz ampliada (M). Esto es: rango de A = rango de M el sistema es compatible.

Las matrices de coeficientes y ampliada son, respectivamente,

    

 

    

 

=

mn m

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a

A

... : : : :

... ...

2 1

2 22

21

1 12

11

,

    

 

    

 

=

m mn m

m

n n

b b b

a a

a

a a

a

a a

a

M

: ...

: : : :

... ...

2 1

2 1

2 22

21

1 12

11

.

Ambas matrices suelen escribirse juntas; así: M

b b b

a a

a

a a

a

a a

a

A

m mn m

m

n n

=

    

 

    

 

=

: ...

: : : :

... ...

2 1

2 1

2 22

21

1 12

11

Apunte para una demostración:

Sean C1, C2 …,Cn y B los vectores columna de la matriz ampliada.

• Si el sistema (*) tiene una solución

(

x1,x2,...,xn

)

x1C1+x2C2+...+xnCn=B. Pero

esto significa que el vector B d.l. de los vectores columna C1, C2 …,Cn. Por tanto: rango {C1, C2 …,Cn} = rango { C1, C2 …,Cn, B}.

• Recíprocamente, si rango {C1, C2 …,Cn} = rango { C1, C2 …,Cn, B} = r, entonces en la

matriz A hay r vectores columna l.i; supongamos que sean C1, C2 …,Cr; como rango {C1, C2 …,Cr} = rango { C1, C2 …,Cr, B} ⇒B d.l.. de {C1, C2 …,Cr} ⇒

B Cr x C

x C

x1 1+ 2 2+...+ n = . Luego

(

x1,x2,...,xr,0,...,0

)

es una solución del sistema (*)

Discusión:

• Si rango de A = rango de M = n = al número de incógnitas, el sistema es compatible

determinado: tiene una única solución.

• Si rango de A = rango de M = r < n, el sistema es compatible indeterminado: tiene infinitas

soluciones, con n rgrados de libertad. Para resolverlo se prescinde de las ecuaciones sobrantes; además, hay que trasponer nr incógnitas junto a los términos independientes.

• Si rango de A < rango de M, el sistema es incompatible.

Observaciones:

− Nótese que r(A) ≤ r(M) siempre, pues la matriz M tiene una columna más que A. − Si hay menos ecuaciones que incógnitas (m < n), el sistema será compatible

indeterminado o incompatible.

(5)

Ejemplos:

Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:

    

− = + +

= + +

= − +

2 4

3 2 2

0 2

z y x

z y x

z y x

Las matrices asociadas son: A =M

  

 

  

 

− −

=

2 3 0 1 1 4

2 2 1

1 1 2

.

Como 14

1 1 4

2 2 1

1 1 2

= −

=

A ⇒ r(A) = 3.

La matriz M tiene sólo 3 filas, luego su rango no puede mayor que 3. Por tanto, r(M) = 3. En consecuencia: r(A) = r(M) = 3 ⇒ el sistema es compatible determinado.

(Su solución se halla por cualquiera de los métodos estudiados. Es: x = −1, y = 2, z = 0).

Sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas:

      

= − +

= − +

= − −

− = + −

2 4

5 9 4

1 2

1 3 2

z y x

z y x

z y x

z y x

.

(Observación: si un sistema tiene 4 ecuaciones y 3 incógnitas ⇒ sobra alguna ecuación.)

Las matrices asociadas son: A =M

    

 

    

 −

− − − − −

=

2 5 1 1

4 1 1

9 1 4

1 1 2

3 2 1

.

(El rango de A no puede ser mayor 3, pero el de M puede llegar a valer 4.)

En este caso, para calcular los rangos conviene transformar la matriz (buscando ceros):

    

 

    

 −

− −

− −

− − −

3 9 3 1

7 3 0

21 9

0

7 3 0

3 2 1

1 4

1 4 3

1 2 2

F F

F F

F F

A ≡M

  

 

 −

− − ≡

3 1 7 3 0

3 2 1

Luego, r(A) = 2 = r(M) ⇒ el sistema es compatible indeterminado, equivalente a:

  

= −

− = + −

3 7 3

1 3 2

z y

z y x

  

+ =

− − = −

z y

z y

x

7 3 3

3 1 2

cuya solución dependerá del valor que se dé a la indeterminada z. (La solución es: x z

3 5 1+

= , y z

3 7 1+

(6)

Sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas:

      

= − −

= + +

= − − +

= + + +

4 2

0

2

2 1

t z y

t z x

t z y x

t z y x

.

Las matrices asociadas son: A =M

    

 

    

 

− −

− − =

4 0 2 1 1 1 2 0

1 1 0 2

1 1 1 1

1 1 1 1

(En este caso, tanto el rango de A como el de M pueden llegar a valer 4.) Transformando las matrices iniciales se obtiene:

M A

F F

F F

F F

=

    

 

    

 

− −

=

+ − + →

5 1 3 1 0 0 3 1

0 0 1 1

0 0 2 2

1 1 1 1 1 4

1 3

1 2

.

El rango de A es 3, pues C3 = C4 y el menor de orden 3, 4 0 0

1 1

0 2 2

1 1 1

≠ − =

.

El rango de M es 4, pues 4 0 5

0 3 1

1 0 1 1

2 0 2 2

1 1 1 1

≠ − = −

− .

(7)

Sistemas con uno o dos parámetros

Cuando alguno de los números −coeficientes o términos independientes− que figuran en un sistema no está determinado, se sustituye por una letra llamada parámetro. En estos casos hay que discutir para qué valor o valores del parámetro el sistema tiene solución o no. La

discusión se realiza estudiando y comparando los rangos de las matrices de coeficientes, A, y ampliada, M. (Teorema de Rouché.)

Ejemplos:

Vamos a discutir, en función de los valores del parámetro m,el sistema:

    

= + +

= + +

= + +

1 1 1

2 2 2

z m my mx

z m y m mx

z y x

→ Para su discusión hay que estudiar los rangos de las matrices A y M, donde A es la matriz de coeficientes y M la matriz ampliada. Por el teorema de Rouché, el sistema será compatible cuando dichas matrices tengan el mismo rango; en caso contrario, el sistema no tendrá solución.

Con esto:

M m

m m

m m m

A =

  

 

  

 

=

1 1 1 1 1 1

2 2

2

M m

m

m m

m F F

A =

  

 

  

 

− −

=

0 1 1 0 0

1 1

1

2

3 2

2 2

El determinante de A, desarrollado por la tercera fila, es: A =

(

m2−m

)(

m2 −m

)

.

Este determinante vale 0 si m = 0 o m = 1. (Soluciones de la ecuación:

(

m2−m

)(

m2−m

)

=0) Luego:

• Si m ≠ 0 y 1 ⇒ r(A) = 3 = r(M), con lo que el sistema será compatible determinado. • Si m = 0, sustituyendo en las matrices anteriores, se tiene:

M

A =

  

 

  

 

=

0 1 1 0 0 0

0 0 0

1 1 1

⇒ r(A) = 1 y r(M) = 2. El sistema es incompatible.

(Obsérvese que la matriz A tiene dos filas nulas, mientras que M sólo tiene una fila nula.)

• Si m = 1 → A =M

  

 

  

 

=

0 1 1 0 0 0

1 1 1

1 1 1

⇒ r(A) = 1 y r(M) = 1. El sistema es compatible

indeterminado, con 2 grados de indeterminación.

En este caso, m = 1, el sistema queda

{

x+ y+z=1, cuya solución es     

= =

− − =

q z

p y

q p

(8)

Clasifiquemos en función del parámetro λ∈R, el sistema de ecuaciones:

    

= λ + +

= + +

= − + λ

1 2

3

0 3 3 5

2

z y x

z y x

z y x

→ Como antes, se estudia el rango de las matrices A y M.

M

λ

A =

  

 

  

 

λ −

=

1 0 2 2

3

3 3 5

1 1

El determinante de A es:

) 8 3 )( 1 ( 8 11 3 1 9 5 6 3

2 3

3 3 5

1 1

2

2 λ λ+ = λ λ+ = λ λ

λ = λ − λ =

A

Este determinante vale 0 si λ = 1o λ= 8/3.

Con esto:

• Si λ≠ 1 y 8/3 ⇒ r(A) = 3 = r(M). El sistema será compatible determinado.

• Si λ = 1, se tiene A =M

  

 

  

 −

=

1 0 2 1 2 3

3 3 5

1 1 1

El rango de A es 2. (Basta con observar que hay un menor de orden 2 distinto de 0.)

Para ver el rango de M calculamos: 0

1 1 2

0 3 3

2 1 1

1 =

− =

M . Por tanto, el rango de M también

vale 2.

Luego, si λ = 1, el sistema es compatible indeterminado.

• Si λ = 8/3, se tiene A =M

  

 

  

 −

=

1 0 2 3 / 8 2 3

3 3 5

1 1 3 / 8

El rango de A es 2.

Para ver el rango de M calculamos: 10

1 3 / 8 2

0 3 3

2 1 1

1 =

− =

M .

Por tanto, el rango de M vale 3.

(9)

Veamos ahora un sistema con dos parámetros.

Discute, en función de los valores de a y b el siguiente sistema de ecuaciones:

    

= − +

= − +

= − −

b z ay x

az y ax

z y x

10 3

0 3

3 4 3

→ Sea A la matriz de coeficientes y M la matriz ampliada. El sistema tendrá solución cuando r(A) = r(M).

M b a

a a

A =

  

 

  

 

− − − −

= 0

3 10 3

1 3

4 3 1

⇒ 9( 1)( 2)

10 3

1 3

4 3 1

+ + − = −

− − −

= a a

a a a

A , luego:

• Si a≠−1 y −2 ⇒ r(A) = 3 = r(M), independientemente del valor de b. El sistema será compatible determinado.

La solución, que se puede hallar aplicando la regla de Cramer, quedará en función de a y b.

• Si a = −1, se tiene M

b

A =

  

 

  

 

− − −

− −

= 0

3 10 3 1

1 3 1

4 3 1

.

El rango de A es 2, pues el menor 3

1 1

4 1

− = −

≠ 0.

Rango de M: El menor b

b

3 27

10 1

0 1 1

3 4 1

− = −

− −

, que valdrá 0 cuando b = 9.

Por tanto:

• si a = −1 y b≠ 9 el sistema será incompatible: r(A) = 2 y r(M) = 3.

• si a = −1 y b = 9 el sistema será compatible indeterminado: r(A) = 2 = r(M).

• Si a = −2, se tiene M

b

A =

  

 

  

 

− − −

− −

= 0

3 10 6 1

2 3 2

4 3 1

.

El rango de A es 2, pues el menor 3

3 2

3 1

− = −

≠ 0.

Rango de M: El menor b

b

6 54

10 1

0 2 2

3 4 1

− = −

− −

, que valdrá 0 cuando b = 9.

Por tanto:

• si a = −2 y b≠ 9 el sistema será incompatible: r(A) = 2 y r(M) = 3.

• si a = −2 y b = 9 el sistema será compatible indeterminado: r(A) = 2 = r(M). Resumiendo:

(10)

Sistemas homogéneos

Son de la forma:

      

= +

+ +

= +

+ +

= +

+ +

0 ...

... ...

0 ...

0 ...

2 2 1 1

2 2

22 1 21

1 2

12 1 11

n mn m

m

n n

n n

x a x

a x a

x a x

a x a

x a x

a x a

→ (todos los términos independientes son nulos)

• Estos sistemas siempre son compatibles, pues x1 = 0, x2 = 0, ..., xn = 0 es una solución del sistema; esa solución se llama trivial. También es evidente que la matriz M es la

ampliación de A con una columna de ceros, lo cual no afecta al rango; luego r(A) = r(M). • Si r(A) = n = número de incógnita, el sistema es compatible determinado. Su única

solución es la trivial.

• Si r(A) < n, el sistema será compatible indeterminado. El sistema homogéneo tendrá infinitas soluciones. En el caso de que tenga el mismo número de ecuaciones que de incógnitas deberá cumplirse que A = 0.

Ejemplos:

El sistema     

= + −

= + +

= − +

0 3

0 0 2

y x

z y x

z y x

sólo tiene la solución trivial, x = 0, y = 0, z = 0, pues el

determinante de la matriz de coeficientes, 9 0

0 1 3

1 1 1

1 1 2

≠ − = −

− =

A .

El sistema     

= + +

= + +

= − +

0 7 2

0 2

0 2

z y x

z y x

z y x

es compatible indeterminado, pues el determinante de la

matriz de coeficientes, 0

7 2 1

2 1 1

1 1 2

= −

=

A ⇒ r(A) = 2 < el número de incógnitas.

El sistema es equivalente a   

= + +

= − +

0 2

0 2

z y x

z y x

⇒   

− = +

= +

z y x

z y x

2 2

⇒     

= − =

=

t z

t y

t x

5 3

.

(11)

• Discusión de un sistema homogéneo con un parámetro.

Como se ha dicho anteriormente, los sistemas homogéneos siempre tienen solución. Por tanto, la discusión de estos sistemas consiste en determinar cuando tienen sólo la solución trivial y cuando tienen infinitas soluciones.

Ejemplo:

Vamos a discutir el siguiente sistema lineal de ecuaciones, según los valores del parámetro a.

    

= +

= +

= +

0 0 3

0 2

z ax

z y

z x

→ Resulta obvio que el sistema es homogéneo. La matriz de coeficientes,

  

 

  

 

=

1 0

1 3 0

2 0 1

a

A ; A =3(1−2a)= 0 si a = 1/2

Por tanto:

• Si a ≠ 1/2, r(A) = 3, sistema compatible determinado. La única solución es la trivial:

x = 0, y = 0, z = 0

• Si a = 1/2, r(A) = 2. El sistema es compatible indeterminado, equivalente a

  

= +

= +

0 3

0 2

z y

z x

, cuya solución es

    

− =

= =

t z

t y

t x

3 6

Ejemplo final:

Discutir y resolver el siguiente sistema de acuerdo con los valores del parámetro m.

    

− = + −

= + +

= + +

1 4

0 3

2

0 2 4 5

2z m

m y x

z y x

z y x

Solución:

Sea A la matriz de coeficientes y M la matriz ampliada. El sistema tendrá solución cuando r(A) = r(M).

M m

m

A =

  

 

  

 

− −

=

1 0 0 1 4

1 3 2

2 4 5

2

El determinante de A, 7 7 7( 1)( 1)

1 4

1 3 2

2 4 5

2

2

+ − = − =

= m m m

m

A

Discusión:

(12)

• Si m = 1, r(A) = 2 = r(M), pues,A =M   

 

  

 

− =

0 0 0 1 1 4

1 3 2

2 4 5

.

El sistema es homogéneo con infinitas soluciones.

• Si m = −1, se tiene:A =M

  

 

  

 

− −

=

2 0 0 1 1 4

1 3 2

2 4 5

. Los rangos son diferentes, pues el menor

0 4 2 1 1

0 1 3

0 2 4

1 =− ≠

− =

M . Por tanto: r(A) = 2 y r(M) = 3 → sistema incompatible.

Resolución:

• Si m ≠ ±1, por la regla de Cramer:

) 1 ( 7

2 )

1 )( 1 ( 7

) 1 ( 2 1

1

1 3 0

2 4 0

2

+ − = + −

− − = −

− =

m m

m m A

m m

x

) 1 ( 7

1 )

1 )( 1 ( 7

) 1 ( 1

4

1 0 2

2 0 5

2

+ − = + −

− − = −

=

m m

m m A

m m

y ;

1 1 ) 1 )( 1 ( 7

) 1 ( 7 1

1 4

0 3 2

0 4 5

+ = + −

− =

− − =

m m

m m A

m z

• Si m = 1 el sistema queda: 

 

= + +

= + +

0 3

2

0 2 4 5

z y x

z y x

  

− = +

− = +

y z x

y z x

3 2

4 2 5

  

− = +

= −

y z x

y x E E

3 2

2 2

2 1

Su solución es

    

− =

= =

t z

t y

t x

Referencias

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