Ejercicios de Integrales PAEG

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I.E.S. CRISTÓBAL PÉREZ PASTOR Curso 2016-2017 Ejercicios de de Matemáticas II. Cálculo Integral. Propuestos en la PAEG.

JUNIO 2015

JUNIO 2005

SEPTIEMBRE 2015

(2)

SEPTIEMBRE 2014

JUNIO 2013

SEPTIEMBRE 2013

JUNIO 2012 2.A.

a) Esboza la región encerrada entre la parábola ( ) y la recta ( ) . b) Calcula el área de la región anterior.

2.B.Calcula las siguientes integrales:

(3)

SEPTIEMBRE 2012

2.A Calcula las siguientes integrales:

∫ ∫

2.B Calcula el área encerrada entre las gráficas de las funciones:

( ) ( )

JUNIO 2011

2.A. Calcula las siguientes integrales:

∫( ( ) )

2.B. a) Representar gráficamente la región del primer cuadrante limitada por las gráficas de las funciones ( ) ( ) y la recta

b) Calcula el área de dicha región.

SEPTIEMBRE 2011

2.A. Calcula la integral:

2.B. Sean las funciones ( ) ( ) , con , . Calcula el valor del parámetro a para que el área encerrada entre las gráficas de las funciones ( ) ( )

sea 32/3.

JUNIO 2010

A. a) Representa gráficamente las parábolas:

( ) ( )

b) Calcula el área del recinto limitado por ambas gráficas. Sol: 64/3 u2 B. Calcula la integral indefinida

(4)

SEPTIEMBRE 2010

A. a) Determina el dominio de la función ( ) √

b) Calcula la integral definida ∫ ( )

B. a) Enuncia la fórmula de integración por partes.

b) Calcula la integral indefinida: ∫ Sol:

JUNIO 2009

A. Encuentra un primitiva de la función ( )

Sol:

| | (

)

B. Calcula la integral definida ∫ √ √

√ (puede ayudarte un cambio de variable) Sol: 2e2-2e+3 u2

SEPTIEMBRE 2009

A. Calcula las integrales: a) ∫ ( ) , b) ∫( ( )) , c) ∫ ( )

Sol: a) | | b) tg(x)+C c) | |

B. a) estudia la continuidad y la derivabilidad de la función

( ) {

Sol : continua y derivable en todo punto.

b) Determina el área encerrada por la gráfica de la función f(x) y el eje de abcisas. Sol : 8/3 u2

JUNIO 2008

A. Calcula la siguiente integral: ∫

Sol: | | | |

B. Calcula la integral definida: ∫ Sol: ( )

SEPTIEMBRE 2008

(5)

B. Definición de primitiva de una función. Sabiendo que ( ) es una primitiva de la función f(x):

a) Comprueba que f(x) es una función creciente en R.

b) Calcula el área determinada por la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas x = -1 y x = 1. Sol: 2e-2 u2

JUNIO 2007

A. Calcula la siguiente integral: ∫

√ . Sol : √ | √ | (Indicación: puede ayudarte realizar un cambio de variable adecuado)

B. Dadas las funciones ( ) y ( ) , se pide: a) Esboza sus gráficas y sombrea el recinto encerrado por ellas, b) calcula el área de dicho recinto. Sol: 15/8 –2 ln2 u2

SEPTIEMBRE 2007

A. Calcula la siguiente integral: ∫( ) Sol:

( )

B. Esboza las gráficas de las parábolas ( ) y ( ) , sombreando el recinto cerrado que determinan. Calcula el área de dicho recinto.

Sol: 4 u2

JUNIO 2006

A. Calcula la integral indefinida ∫ Sol : | |

B. Dadas las funciones ( ) y ( ) : a) Esboza el recinto encerrado entre sus gráficas ; b) calcula el área de dicho recinto. Sol : 9/2 u2.

SEPTIEMBRE 2006

A. Calcula la siguiente integral : ∫ Sol: | | ( )

B. Dibuja aproximadamente las gráficas de las funciones ( ) y ( )

, y sombrea el área que queda encerrada entre ellas. Calcula el valor de dicha área. Sol: 32/3 u2.

JUNIO 2005

(6)

SEPTIEMBRE 2005

A. Calcula la primitiva de

dx x

x x

2 .

Sol: ( ) | |

RESERVAS 2005

A. Dada la función ( ) ( ) , determina la función g x( )tal que g x' ( ) f x( ), con la condición de que su gráfica pase por el punto (0,2).

Sol: ( )

B. Considera la función f :RR definida por ( ) ( ) .

a) Determina los intervalos en los que la función  es creciente. Sol: (1,+∞) b) Dibuja la región limitada por la gráfica de , el eje de abscisas y las rectas de

ecuaciones x = 1 y x = 3.

c) Halla el área de la región descrita en el apartado anterior. Sol:

C. De la función f :RR definida por f(x)ax3bx2 cxd se sabe que tiene un máximo relativo en x = 1, un punto de inflexión en (0,0) y que

1 

0 4

5 ) (x dx

f . Calcula a, b, c y d. Sol: a=-1 , b=0 , c=3 y d=0

D. a) Halla el valor positivo de a para que ∫ ( ) . Sol:

b) Calcula el área de la superficie comprendida entre el eje OX , la recta y =x+ 1 y las rectas x= 0 y x= 2. Sol: 4 u2

RESERVAS 2006

A. Halla el área encerrada entre la curva , y la recta

Sol: 37/12

B. Sea la función ( ) . Calcula para que la recta tangente a la gráfica de ( ) en x=0 tenga pendiente 1, y que además se cumpla que el área comprendida entre la gráfica de la función ( ) , el eje de abcisas, y las rectas x=0 y x=1 sea 3u2. Sol a=1 , b=2

(7)

C. Calcula el valor de la integral : ∫ (siendo ⁄ ) Sol: π2/16 u2

D. Para la función ( ) ( ) se pide :

a. Determinar las asíntotas horizontales de la función. Sol: y=0 cuando x→+∞

b. Calcula el área comprendida entre la gráfica de la función ( ), el eje de abcisas, y las rectas x=e y x=e2. (Obsérvese que f(x) es positiva el intervalo [e,e2]) Sol :

RESERVAS 2007

A. Sea , una constante real no nula, y considera la parábola ( ) . Encuentra el valor de a para que se verifiquen simultáneamente las dos siguientes condiciones: 1ª, que el área comprendida entre la parábola y el eje de abscisas sea de 32 unidades cuadradas. 2ª, que la función f (x) sea cóncava hacia arriba (∪) . Sol : a=3. B. Encuentra una primitiva de la función ( ) que pase por el origen de coordenadas. Sol:

C. Considera la parábola ( ) . Se pide: a) Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes a f (x) en x = 2 y en x = −2, esbozando una gráfica con la parábola y las dos rectas tangentes. b) Calcula el área comprendida entre la parábola y dichas rectas tangentes. Sol: a) y=-4x+8 , y=4x+8 b) 16/3 u2

D. Calcula la siguiente integral: ∫ Sol: | | (

)

RESERVAS 2008

A. Enuncia la regla de Barrow. Calcula la integral definida ∫ ( ) Sol: e-1 u2 B. Calcula la integral ∫

. Indicación: cambio de variable adecuado. Sol: | |

C. Calcula el área delimitada por la función ( ) y el eje de abcisas. Sol 81/4 u2

D. Calcula las siguientes integrales: a) ∫ ( ) b) ∫ ( )

Sol: ) | | ) | |

RESERVAS 2009

A. Enuncia la fórmula de la integración por partes. Aplícala para calcular

(8)

B. Determina una función f: sabiendo que se cumple que ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

C. Calcula la integral indefinida ∫

D. Halla una primitiva F(x) de la función ( ) , que cumpla que F(x)≥0 para todo , y de forma que el área comprendida entre la gráfica de F(x) , el eje de abcisas y las rectas x=0 y x=1 sea ⁄ .

RESERVAS 2010

A. a) Dado un número real a>0 , calcula el área del recinto encerrado por la gráfica de la función ( ) , el eje de abcisas y las rectas

b) Explica razonadamente que cuando a tiende a ∞ , dicha área tiende a cero. B. Calcula la integral indefinida:

Sol: | | | |

C. Calcula , a>0 , para que el área de la región limitada por la gráfica de la función ( ) , el eje de abcisas y la recta x=a sea igual a 2000 u2. Sol: a=10. D. Calcula la integral indefinida:

∫ √

(Nota: puedes probar el cambio y=x+1)

RESERVAS 2011

2.A . Calcula las siguientes integrales indefinidas:

∫ ∫( )

2.B. a) Representar gráficamente la región limitada por las gráficas de las funciones

( ) ( ) y la recta

b) Calcula el área de dicha región.

2.A. Calcula las siguientes integrales indefinidas:

∫ √

(9)

2B. a) Representa gráficamente la región encerrada por las gráficas de las funciones

( ) ( )

b) Calcula el área de dicha región.

RESERVAS 2012

2.A. Calcula la integral

2.B. a) Esboza la región encerrada entre el eje de abscisas y las parábolas ( ) y

( )

b) Calcula el área de la región anterior.

2.A. Encuentra una primitiva ( ) de la función ( ) ( ) tal que ( )

2.B. a) Esboza la región encerrada entre la parábola ( ) y la recta

( ) .

(10)

INTERPRETACIÓN FÍSICA DE LA DERIVADA.

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ∫ ∫ ( )

1.- La ecuación del espacio recorrido por un móvil en función del tiempo es

( ) , donde t se mide en segundos. 1) Halla la velocidad media en el intervalo . 2) Halla la velocidad para segundos.

3) Demuestra que la aceleración es constante para cualquier intervalo.

2.- Se ha lanzado verticalmente hacia arriba una piedra. La altura en metros alcanzada al cabo de t segundos viene dada por la expresión ( )

a) Halla la velocidad media en el intervalo de tiempo comprendido entre t = 0 y t =

5 .

b) ¿En algún momento la velocidad de la piedra ha sido de 15 m/s? Si es así, ¿a qué altura sucedió?

3.- Se deja caer un objeto desde una altura de 100 metros. Su altura s en el instante t s e representa mediante la función ( ) , donde s se mide en metros y t en segundos.

1) Encontrar su velocidad media en el intervalo [1, 2] . 2) ¿Cuánto tarda en llegar al suelo?

3) ¿Cuál es la velocidad en el momento del impacto? 4) ¿Cuál es aceleración de la caída?

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