El tipo de homotop´ıa

(1)

Introducci´

on

Notaci´on:

De ahora en adelante: I= [0,1]

La notaci´onf : (X, x0)−→(Y, y0) significa quef(x0) =y0

El simboloqindica uni´on disjunta

Definici´on.

SeanX, Y dos espacios topológicos, seanf, g:X −→Y dos aplicaciones continuas, decimos quef es homótopa a gsi existe una aplicación continuaF :X×I−→Y conF(x,0) =f(x) yF(x,1) =g(x), en ese caso, notamosf 'gy, a la aplicaciónF la llamaremoshomotop´ıaentref yg

Definici´on.

Sean X, Y dos espacios topol´ogicos, sean f, g : X −→ Y dos aplicaciones continuasm, y sea X0 un

subespacio deX, para el cualf(x) =g(x) six∈X0 decimos quef es hom´otopa a grelativa a X0

si existe una homotop´ıaF entref yg tal queF(x, t) =f(x) =g(x) para cadax∈X0y cadat∈I, en

ese caso, notamosf 'X0 g

Definici´on.

Diremos que dos espaciosX eY tienenel mismo tipo de homotop´ıa (lo representaremosX 'Y ) si existen f :X −→Y g:Y −→X aplicaciones continuas tales que

g◦f '1X f◦g'1Y f, g reciben el nombre deequivalencias de homotop´ıa

¡Observación! Se dará cuenta el lector que se ha usado el mismo s´ımbolo (') para decir que dos aplicaciones son homotopas y para decir que dos espacios tienen el mismo tipo de homotop´ıa, pero esto no deberá ser un problema puesto que son relaciones (de equivalencia) en conjuntos distintos

(2)

Operaciones

con espacios topol´

ogicos

Definición. Sea X un espacio topológico, defini-mos la suspensión de X, como el conjunto co-ciente de X×I obtenido al colapsar X× {0} en un punto yX× {1}en otro, y lo denotaremoSX

Definici´on. eaX un espacio topol´ogico, definimosel cono de X, CX como el conjunto cociente de X×I obtenido al colapsarX× {0}en un punto.

Definici´on. SeanX, Y dos espacios, seax∈X ey ∈Y definimosla suma conexa o wedge sum como el conjunto cociente deXqY al identificarxcon y

El tipo de homotop´ıa

Proposici´on. SeanX, Y, Z tres espacios topol´ogicos, y seanf1, f2 :X −→Y g1, g2 :Y −→Z cuatro

aplicaciones continuas tales quef1'f2 yg1'g2, entoncesg1◦f1'g2◦f2

Prueba. Sea F :X×I −→Y la homotop´ıa entre f1 yf2 y sea G:Y ×I −→Z la homotop´ıa entre

g1 yg2 definimosH :X×I−→Z comoH(x, t) =G(F(x, t), t). Claramente,H es continua y adem´as

transformag1◦f1 eng2◦f2

I•_J

Proposición. La relación binaria 'es una relación de equivalencia

¡Observación! Aqu´ı la notación facilita mucho la proposición, puesto que esto es valido tanto como para'referente a aplicaciones, como referente a espacios topológicos.

Prueba. Como siempre, antes de empezar una prueba, pensamos, que es lo que tenemos que probar:

1. 'es reflexiva 2. 'es simetrica

3. 'es transitiva

Comencemos vi´endolo,para aplicaciones.

(3)

Veamos ahora 2. ¿g'f?

Comof 'gexiste una homotop´ıaF :X×I−→Y que transformaf eng, si consideramos ˜F(x,1−t) es f´acil ver que es continua, y que adem´as es una homotop´ıa entreg yf.

Veamos por ultimo 3. ¿f 'h?

Sabemos queF es una homotop´ıa entref yg y, por hip´otesis, existe una homotop´ıaG:X×I−→Y que relacionag conh, consideremos:

˜

G:X×I−→Y

˜ G(x, t) =

  

F(x,2t) Si t≤ 1 2

G(x,2t−1) Si t≥ 1 2

Es claro que ˜Gcumple las condiciones necesarias.

Veamos esto ahorapara espacios topológicos: SeanX, Y, Zespacios topológicos,conX 'Y eY 'Z Comencemos viendo 1. ¿X ' X? Esto es más que trivial, solo hay que tomar como equivalentes de homotopia a la aplicación 1X

Veamos ahora 2. ¿Y 'X? Nuevamente, esto es una trivialidad, puesto que la definici´on es totalmente simetrica

Por ultimo concluyamos con 3. ¿X 'Y? Quizas esto si sea algo mas engorroso y pueda parecer m´as artificial, Sean f1 :X −→Y g1 :Y −→X yf2 :Y −→Z g2 :Z −→Y entonces f2◦f1 :X −→Z y

g1◦g2:Z −→X son equivalentes de homotop´ıa por la proposici´on anterior

I•_J

Espacios contactiles

Definici´on. SeaX un espacio topol´ogico, decimos que X escontractilsi tiene el tipo de homotop´ıa de un punto. (X ' ∗)

Observaci´on:

SiX es un espacio topol´ogico contractil, entonces 1X'Cx₀ para cualquier x0∈X

Cualquier espacio contractil es arcoconexo

Proposici´on. Sean X, Y dos espacios topol´ogicos, sean f, g : X −→ Y dos aplicaciones continuas, entonces, si Y es contractil, entoncesg'f

(4)

Prueba. Si X es estrellado, entonces existe un x0 ∈X tal quetx0+ (1−t)x∈X para todot ∈I y

todox∈X

luego consideramosH :X×I−→X tal queH(t, x) =tx0+ (1−t)x∈X.H es una homotop´ıa entre

1X yCx0

I•J

Retractos de deformaci´

on

Definición. Sea f :X −→Y una aplicación con-tinua, definimos el cilindro de la aplicación f, Mf, como el espacio cociente de la unión dis-junta (X ×I)qY obtenida por la identificación (x,1)∈X×I con f(x)∈Y

Definición. Unaretracciónde un espacio X a subespacioAes una aplicación continuar:X −→X tal quer(X) =Ayr(x) =xpara cadax∈A, si existe dicha aplicación decimos queAes unretracto deX

Definición. Unretracción de deformaciónde un espacioX en un subespacio Aes una aplicación continuaH :X×I−→X, tal que H(x,0) = 1X, H(X,1) =AyH(x, t) =xpara cadax∈A, en ese caso decimos queAes unretracto de deformación deX

Proposición.SeaX a espacio topológico, seaf :X−→Xuna aplicación continua. Entoncesf es una retracción si y solo sif◦f =f

Teorema. SeanX, Y dos espacios topol´ogicos, entonces es equivalente:

1. X eY tienen el mismo tipo de homotop´ıa

2. Existe un espacioZ tal que X, Y ⊂Z y adem´asX, Y son retractos de deformaci´on deZ

Prueba. La prueba, aunque sencilla, es muy engorrosa y no entrar´ıa en lo que queda de pagina si el lector quiere comprobarlo, ¡animo! (recuerde el cilindro de una aplicaci´on)

(5)

1. empezamos con un espacio discretoX0constituido por puntos

X0=

a

i∈I0 e0i

2. inductivamente,Xn se construye a partir deXn−1tomandoejn n−celdasconj∈In y a˜nadimos esasn−celdasmediante las aplicacionesφj:Sn−1−→Xn−1

Xn=Xn−1

a

j∈In

enj

3. Si llegado a un n∈Ntenemos queX=xn termina el proceso, si por el contrariox=∪n∈NXn

Veamos esto en un ejemplo:

Consideramos un espacio discreto formado por 3 puntos

tomamos, por ejemplo, cuatro copias deS0, llamemoslasS1, S2, S3, S4 y definamos

S1 S3

−1−→A −1−→B 1−→B 1−→C

S2 S4

(6)

y de esta forma a˜nadimos losD1

por ejemplo, si f : S1 _−→ _{D, es homeomorfismo,( Donde} _D _{es la curva que pasa por} _{A, B, C} _que

en el dibujo está coloreada de naranja) podemos añadirle una 2-celda y podr´ıamos seguir el proceso añadiendo celdas.

(7)

El primer invariante del tipo de homotop´ıa: Las componentes

arco-conexas.

Es claro que si dos espacios tienen el mismo tipo de homotop´ıa, entonces, han de tener los mismos ”trozos”, esto es que tienen el mismo numero de componentes arco-conexas.

Definici´on.SeaXun espacio topol´ogico, llamaremosπ0(X) alconjunto de las componentes

arco-conexasdeX

Definici´on.Sea f :X −→Y una aplicaci´on continua. Definimos

π0(f) :π0(X)−→π0(Y)

C−→π0(f)(C)

Dondeπ0(f)(C) es la ´unica componente arco-conexa deY que contiene af(C)

Teorema. SeanX, Y dos espacios topol´ogicos, entonces, si X eY tienen el mismo tipo de homotop´ıa, entonces, ]π0(X) =]π0(Y)

Prueba. Veamos que:

(1). Si _X f //Y g //_Zentonces: π0(g◦f) =π0(g)◦π0(f)

(2).π0(1X) = 1π0(X)

(3). sif 'g entoncesπ0(f) =π0(g)

(1)π0(g◦f)(C) es la unica componente deZque contiene ag(f(C)) por otra parteπ0(g)(π0(f)(C)) =π0(g)(D)

con Dla unica componente arco-coneza que contiene af(C) adem´as f(C)⊂D por tanto π0(g◦f)(C) =π0(g)◦π0(f)(C)

(2) trivial

(3) En efecto, SeaH :X×I−→Y una homotop´ıa entref yg

Sea C ∈ π0(X). Consideremos f(C) = H(C,0) ⊂H(C, I) an´alogamente g(C) = H(C,1) ⊂H(C, I),

luegoπ0(f) =π0(g)

Visto esto el teorema es trivial.

(8)

(9)

Cap´ıtulo 1

El grupo fundamental

Definición.Sea X un espacio topológico, decimos que una aplicaciónα:I−→X es un caminosiα es continua

Recordamos que la relación 'X0 es una relación de equivalencia, en particular'{0,1} esto será muy importante de ahora en adelante puesto que nos permitirá introducir el grupoideπ1(X).

Definición.SeaG, M dos conjuntos, se dirá queGes ungrupoidesobreM o con baseM (Se repre-sentará G_⇒M) si existen dos aplicaciones S, T : G−→M llamadas proyección origen y proyección final, una aplicación ¨ınclusión”sobre el grupoide 1 : M −→ G x −→ 1x y existe una multiplicación definida sobre el subconjunto

G∗G={(α, β)∈G×G|T(α) =S(β)} ⊂G×G

que satisface

1. T(αβ) =T(β) yS(αβ) =S(α) para cada (α, β)∈G∗G 2. Asociatividad

3. ˜S(1x) =T(1x) =xpara todox∈M 4. g1T(g)= 1S(g)g=gpara cadag∈G

(10)

Teorema. Sea X un espacio topol´ogico arco-conexo. consideremos el cojunto:

π1(X) ={α:I−→X |α∈ C(I, X)}/'{0,1}

Entoncesπ1(X) es un grupoide con base X.

Prueba. Daremos una demostración constructiva, diciendo como son las aplicaciones S, T y como será esa multiplicación parcial.

Definiremos S, T : π1(X) −→ X mediante S(α) = α(0) y T(α) = α(1) dadas dos curvas (α, β) ∈

π1(X)∗π1(X) definimos

αβ(s)

  

α(2s) si 0≤s≤ 1 2

β(2s−1) si 1

2 ≤s≤1

La aplicaci´on 1 :X −→π1(X) ser´a 1x:I−→X 1x(s) =xpara cadas∈I

Claramente, as´ı definido,π1(X) es un grupoide.

I•_J

Definici´on.SeaXun espacio topol´ogico y seax0∈X, definimos el conjuntoπ1(X, x0) ={α∈π1(X)|

S(α) =T(α) =x0} ⊂π1(X) es decir, el conjunto de los caminos deX que empiezan y acaban enx0, a

los elementos deπ1(X, x0) los llamaremoslazos.

Teorema. Sea X un espacio topol´ogico y sea x0∈X, entonces el conjunto π1(X, x0) con el producto

heredado del grupoide es un grupo y recibe el nombre degrupo fundamental

Prueba. Totalmente rudimentaria y se deja al lector.

I•_J

Definici´on. Sea X un espacio topol´ogico y sean x0, x1 ∈ X para los cuales existe ω : I −→ X que

verificaω(0) =x0 yω(1) =x1, definimos:

h[ω]:π1(X, x0)−→π1(X, x1)

(11)

Teorema. La aplicaci´onh[ω] de la definici´on anterior es un isomorfismo

Prueba.

Para relajar la notaci´on llamaremosha h[ω]

Hay que ver

1. hes un homomorfismo

2. hes inversible

(1). veamos que dadosα, β caminos deπ1(X, x0) veamos queh(αβ) =h(α)h(β).

Pero esto es trivial porque:

h(α)h(β) = [ω][α][ω−1][ω][β][ω−1] = [ω][α][β][ω−1] = [ω][αβ][ω−1] =h(αβ)

(2). Esto tambien es trivial puesto que h−1_{(α) = [ω}−1_][α][ω]

I•_J

Consecuencia. Si X es un espacio arcoconexo, yx0, x1∈X entoncesπ1(X, x0)∼=π1(X, x1)

Observaci´on:

Si el espacio topol´ogico X es arcoconexo y x ∈ X, usualmente llamaremos al π1(X, x) simplemente

comoπ1(X) siempre que no haya problemas en cuanto a la claridad del punto base escogido, y no haya

confusi´on con el grupoide anteriormente citado.

Definici´on.Un espacioX se dice que essimplemente conexosi es arco-conexo yπ1(X, x0) es trivial

para algunx0 (y por tanto para todox0∈X)

Proposici´on. SiX es un espacio topol´ogico contractil, entonces es simplemente conexo

Definici´on.Sea f : (X, x0)−→(Y, y0) una aplicaci´on continua, definimos

π1(f) :π1(X, x0)−→π1(Y, y0)

π1(f)([α]) = [f ◦α]

Proposici´on.La aplicaci´onπ1(f) es un homomorfismo al que llamaremosHomomorfismo inducido

por f

Proposici´on.

Seanf : (X, x0)−→(Y, y0) yg: (Y, y0)−→(Z, z0) aplicaciones continuas, entoncesπ1(g◦f) =π1(g)◦π1(f)

(12)

I•_J

Proposición. SeaX un espacio topológico, y consideremos la aplicación 1X :X −→X entonces π1(1X) = 1π1(X)

Consecuencia. Si f : (X, x0)−→(Y, y0) es un homeomorfismo, entoncesπ1(f) es un isomorfismo

Proposici´on. Sea X un espacio topol´ogico, y sea A un retracto de X, y sea i: (A, a0),→(X, a0) la

inclusi´on deA enX entoncesπ1(i) es inyectiva

Teorema. Sea f : (X, x0)−→(Y, y0) una equivalencia de homotop´ıa, entonces

π1(f) :π1(X, x0)−→π1(Y, y0)

es un isomorfismo de grupos.

Prueba. Seag: (Y, y0)−→(X, x1) otra equivalencia de homotop´ıa, entonces

π1(g◦f)(π1(X, x0)) =π1(X, x1)

Veamos que existe unah[ω]:π1(X, x1)−→π1(X, x0).

Para ello es suficiente con encontrar una curva que unax0 conx1.

Pero esto es trivial por que siH es una homotop´ıa entreg◦f y 1X (Que existe por serX 'Y) se tiene que

ω:I−→X ω(t) =H(x0, t)

Verifica:

1. ω es un camino

2. ω(0) =g(f(x0)) =x1

3. ω(1) =x0

I•_J

(13)

Cap´ıtulo 2

Espacios recubridores

Definición. Sea p: E −→B una aplicación continua y sobreyectiva. SeaU un abierto de B se dice que está regularmente cubierto por p si la imagen inversa de p−1(U) puede escribirse como una unión disjunta de conjuntos abiertosVα deE tales que, para cadaα,prestringida aVαsobre U es un homeomorfismo. La colección{Vα} se denominará partición dep−1(U) en rebanadas

Observaci´on:

La familia{Vα}α∈J puede tener cualquier cardinalidad, es decir,J es una familia cualquiera de indices.

Definición. Sea p: E −→ B una aplicación continua y sobreyectiva. Si todo punto b de B tiene un entornoU que está regularmente cubierto porp, entonces se dice quepes unaaplicación recubridora yE es unespacio recubridordeB

Ejemplo.

Cosideremos la aplicación p : R −→ S1 definida por p(x) = (cos(2πx),sen(2πx)) es una aplicación recubridora, podemos pensar que la aplicación p

enrollala recta real entorno a laS1_.

Claramentepes continua, abierta y sobreyectiva. adem´as dado un abierto U de S1 _p−1₍_U_{) si no es}

demasiado grande ( no sea toda laS1_{) ser´}_{a uni´}_on

disjunta de abiertos, y en ellos la aplicaci´on ser´a inyectiva.

Justo lo necesario para que sea p una aplicaci´on recubridora

(14)

Teorema. Seap:E−→Buna aplicaci´on recubridora. SiB0es un subespacio deB y siE0=p−1(B0)

entonces la aplicaci´onp0:E0−→B0obtenida al restringirp, es una aplicaci´on recubridora

Prueba.

Consideremos ˜p : E0 −→ B0 la restricci´on de dominio e imagen de la aplicaci´on p, claramente, es

continua y sobreyectiva por queplo es.

Tomemos ahorab0∈B y seaU un entorno deb0 en B y sabemos que p−1(U) =

a

α∈J

Vα, pero U ∩B0

es un entorno de b0 enB0 que adem´as est´a dentro de U, y llamemos ˜Vα=Vα∩p−1(B0), Veamos que

˜

p|V˜α es un homeomorfismo sobre su imagen, pero esto es trivial, por que ˜p|V˜α= (p|Vα)◦idonde i es la inclusi´on (i: ˜Vα−→Vα) lo que la hace inyectiva, ya era sobreyectiva y continua por hip´otesis, y es natural que la inversa es continua puesto que la inversa deP |V αlo es.

I•J

Ejemplo. Consideremos la siguiente aplicaciónf :R+−→S1dada porf(x) =p(x). Esta aplicaciónf no es una aplicación recubridora. Dado un entorno del (1,0) la imagen inversa no contiene al (−α, α) para ningúnαlo que contradice que sea una aplicación recubridora

Teorema. Si p:E−→B yp0 :E0−→B0 son aplicaciones recubridoras entonces

p×p0:E×E0 −→B×B0

es una aplicaci´on recubridora

Teorema. Sea p:E−→B una aplicación continua y sobreyectiva, sea U un abierto conexo deB que está regularmente cubierto porp, entonces la partición dep−1₍_U_{) es abiertos disjuntos es ´}_unica.

De ahora en adelante, consideraremos Ecomo arco-conexo

Definici´on. Sea p: E −→B una aplicaci´on recubridora, seab ∈B definimosla fibra de b como el conjuntop−1_(b)

Al asumir la arco-conexi´on deE aparecen algunas propiedades interesantes

(15)

2.1. Levantamientos

Definición. Sea p: E −→B una aplicación. Si f es una aplicación continua de algún espacio X en B, un levantamientode f es una aplicación ˜f : X −→ E tal que p◦f˜= f (¿Pedimos que ˜f sea continua?)

Teorema. Sea X un espacio conexo, y seap:E −→B una aplicaci´on recubridora. Seaf :X −→B una aplicaci´on continua, sean h, g : X −→ E Dos levantamientos de f tales queg(x0) = h(x0) para

algunx0∈X entoncesh=g

Prueba. SeaA={x∈X |h(x) =g(x)}veamos queAes abierto y cerrado deX y por tanto comoX es conexo yAes no vac´ıoA=X

Veamos queA es abierto. Sea x∈A y sea b= f(x), existeUb entorno deb tal quep−1(Ub) =

a

i∈I Vi

abiertos deE. Existir´aj∈I tal queg(x) =h(x)∈Vj, ya quep(g(x)) =p(h(x)) =f(x) =b, por tanto h(x) =g(x)∈p−1_(f_(x))

Tomemosg−1_(Vj)_∩_h−1_(Vj_{) abierto de}_X_{y veamos que}_g−1_(Vj)_∩_h−1_(Vj₎_⊂_A_sea_y_∈_g−1_(Vj₎_∩_h−1_(Vj).

g(y)∈Vj yh(y)∈Vj y sabemos quep:Vj −→ Ub es un homeomorfismo, por tantop(g(y)) =p(h(y)) luegog(y) =h(y).

LuegoA es abierto.

Veamos queAes cerrado, o equivalentemente queX−Aes abierto Sea x∈(X−A), tomemos f(x) =by p−1(Ub) =a

i∈I

Vi, seanj, k∈I tales queg(x)∈Vj yh(x)∈Vk disjuntos.

Entoncesg−1(Vj)∩h−1(Vk) es un abierto deX no vac´ıo.

Veamos queg−1_(Vj)_∩_h−1_(Vk₎_⊂_(X₋_{A), esto es claro, sea}_y_∈_g−1_(Vj₎_∩_h−1_(Vk_{), entonces}_g(y)_∈_Vj

yh(y)∈Vk y comoVj∩Vk=∅entonces g(y)6=h(y) LuegoA es cerrado.

I•_J

Recuerda:

SeaA un recubrimiento abierto del espacio metrico (X, d). SiX es compacto, existe unε >0 tal que para cada subconjuntoX0 con diametro menor queεexiste unA∈ Atal queX0⊂A

A talεle llamaremosn´umero de lebesgueasociado al recubrimientA

Teorema. Sea p:E −→B una aplicaci´on recubridora conp(e0) = b0. Cualquier caminoα:I −→B

comenzando enb0 tiene un ´unico levantamiento a un camino ˜αenE que comienza ene0

(16)

Sea

α−1

Uα(t)

abiertos de I que lo recubren, y sea ε el numero de lebesgue asociado a tal recu-brimiento.

Sea 0 = t0 < t1 <· · · < tn = 1 una partici´on deI tal que ti−ti−1 < ε existeUi ∈ {Uα(t)} tal que

α([ti−1, ti])⊂ Uipara cadai= 1. . . n Vamos a construir nuestro camino ˜α

para ello hacemosi= 1 p−1(U1) =

a

i∈I

Vi , llamaremos V1 al ´unico elemento de la partici´on que contiene a e0, sabemos que

p1:V1−→ U1 es un homeomorfismo, luego, definimos ˜α1: [0, t1]−→E por ˜α1(t) =p−11◦α

analogamente lo hacemos para i = 2..n solo tenemos que ver que ˜αi(ti) = ˜αi+1(ti) y de esta forma definimos ˜α= ˜α1α˜2. . .α˜n

?‘p( ˜αi(ti)) =α(ti) = ( ˜αi+1(ti)?

I•J

Proposici´on. Sea p : E −→ B una aplicaci´on recubridora con p(e0) = b0 sea F : I×I −→ B una

aplicación continua con F(0,0) = b0 entonces, existe un único levantamiento de F a una aplicación

continua

˜

F :I×I−→E

tal que ˜F(0,0) =e0. Si, adem´as,F es una homotop´ıa de caminos, entonces ˜F tambi´en es una homotop´ıa

de caminos.

Teorema. Seap:E−→Buna aplicaci´on recubridora conp(e0) =b0. Seanαyβ dos caminos enB de

b0 ab1y sean ˜αy ˜β sus levantamientos a caminos deEque comienzan ene0. Siαyβ son homot´opicos

por caminos, entonces ˜αy ˜β terminan en el mismo punto y adem´as son homot´opicos por caminos

Teorema. Sea p:E−→B una aplicaci´on recubridora, entonces, para todosb1, b2∈B se tiene que la

fibra deb1 es homeomorfa a la deb2, es decirp−1(b1)∼=p−1(b2)

Prueba.La demostración es muy elemental y se deja al lector. (Indicación:dado un caminoα:−→B conα(0) =b1 yα(1) =b2 considerar la aplicaciónf[α]:p−1(b1)−→p−1(b2)e−→α(1), con ˜˜ α(0) =e)

(17)

Definici´on. Sea p : E −→ B una aplicaci´on recubridora y b0 ∈ B. Tomemos e0 ∈ p−1(b0). Dado

un elemento [α]∈ π1(B, b0), consideramos ˜α el levantamiento deα a uncamino de E que comience

en e0. Denotaremos por Φ([α]) al punto ˜α(1). Entonces Φ : π1(B, b0) −→ p−1(b0) es una aplicaci´on

bien definida a la que llamaremos correspondencia del levantamiento derivada de la aplicaci´on recubridorapbasada ene0

Teorema. Seap:E−→B una aplicaci´on recubridora conp(e0) =b0. SiE es arco-conexo, entonces la

correspondencia del levantamiento

Φ :π1(B, b0)−→p−1(b0)

es sobreyectiva, SiE es simplemente conexo, entonces, es biyectiva

Teorema. Sea p:E−→B una aplicaci´on recubridora conp(e0) =b0 entonces:

(1). El homomorfismoπ1(p) :π1(E, e0)−→π1(B, b0) es un monomorfismo

(2). Sea H =π1(p)(π1(E, e0)). La correspondencia del levantamiento Φ induce una aplicaci´on

inyec-tiva

Φ :π1(B, b0)H −→p−1(b0)

de la colecci´on de las clases por la derecha deH enP−1_(b

0) la cual es biyectiva sin Ees arco-conexo.

(3). Si f es un lazo enB basado en b0 entonces [α]∈H si y solo si αes un levantamiento a un lazo

enE basado ene0

Teorema. Sea p:E −→B un espacio recubridor ,E arcoconexo, y sea b∈B y Sean e0, e1∈p−1(b)

entonces

1. π1(p)(π1(E, e0)) yπ1(p)(π1(E, e1)) son subgrupos conjugados

2. si H es un subgrupo conjugado de π1(p)(π1(E, e0)) entonces existe e2 ∈ p−1(b) tal que H =

π1(p)(π1(E, e2))

2.2. Teorema de clasificaci´

on

Definici´on. Sean p: E −→ B y p0 : E0 −→ B dos aplicaciones recubridoras con E, E0yB espacios arcoconexos, decimos quepyp0 son equivalentes siexiste un homeomorfismof :E −→E0 tal que p0◦f =p.

En ese caso, a la tal aplicaciónf la llamaremostransformación recubridora. Al conjunto cociente bajo la relación anterior lo llamaremosCov(B)

¡Observaci´on! Esta relaci´on es de equivalencia.

(18)

Definición. SeaX un espacio topológico se dice queX essemilocalmente 1-conexosi dadox∈X yAentorno dexexiste Θ abierto conx∈Θ⊂Ade forma qe cualquier lazo α:I −→Θ de basexes homotópicamente trivial (enX)

Teorema. (De clasificaci´on) Sea B un espacio arco-conexo, localmente conexo y semilocalmente 1-conexo no vac´ıo, y seab∈B, Entonces

(19)

Cap´ıtulo 3

El Teorema de Seifert-van Kampen

3.1. Apendice: El grupo libre y el producto libre de grupos

Definici´on.SeanGyH dos grupos. Se define elproducto libre deGyH como el conjunto

G∗H ={1, a1. . . an, si ai∈G, entonces ai+1∈H}

Con la operaci´on yuxtaponer.

Teorema. Sea fG : G −→ F, fH : H −→ F dos morfismos de grupos, entonces existe un ´unico morfismos de grupos f :G∗H −→F tal quef◦iG=fG yf◦iH =fH

Definici´on.SeaSun conjunto cualquiera, definimos elgrupo libre generado porScomo el conjunto

f(S) ={1, sn1₁ . . . snp

p |si∈S, ni∈Z} y lo dotamos de la operaci´on anterior.

Consecuencia. F(SqT)∼=F(S)∗F(T)

3.2. El Teorema de Seifert-van Kampen

Teorema. Sea X un espacio topol´ogico arcoconexo, Sean A, B abiertos arcoconexos de X no vac´ıos tales que A∪B =X,A∩B arcoconexo. Sean jA:A−→X, jB :B →oX las inclusiones de A, B en X, Seanx0∈A∩B yπ1(jA) :π1(A, x0)−→π1(X, x0),π1(jB) :π1(B, x0)−→π1(X, x0).

Entonces el morfismo inducido Φ :π1(A, x0)∗π1(B, x0)−→π1(X, x0) es sobreyectivo.

Adem´as siiA:A∩B −→AyiB:A∩B−→B son las inclusiones, entonces Ker(Φ) ={π1(iA)(a)π1(iB)(a)−1}a∈π1(A∩B,x0)

(20)

Consecuencia. Sea X un espacio arcoconexo,Xqfe1'X∨S1

Proposición. Sea X un espacio topológico y seaen _una_n₋_{celda, sea}_Y ₌_X _q_(en_{− {}₀_}_{) entonces} X es un retracto de deformación deY

Teorema. (Consecuencia inmediata del Teorema de Seifert-Van Kampen)Sea X un espacio topol´ogico arcoconexo entonces:

1. π1(Xqe1) =π1(X)∗π1(S)1

2. π1(Xqe2) =π1(X)/Im(π1(f))

(21)

Cap´ıtulo 4

Clasificaci´

on de grupos

fundamentales y aplicaciones

4.1. El grupo fundamental de

S

1

Teorema. Sea x∈S1_entonces _π

1(S1, x)∼=Z

Prueba. Seap:R−→S1,p(x) = (cos(2πx),sen(2πx). seae0= 0 yb0=p(0) emtpmces la fibra de b0

esZ, dado queRes simplemente conexo, la correspondencia del levantamiento es biyectiva

Φ :π1(S1, b0)−→Z

.

Solo hay que ver que Φ es un homeomorfismo.

I•_J

Aplicaciones

Teorema. Sea h:S1−→X una aplicaci´on continua. Las siguientes condiciones son equivalentes: 1. hes homotopicamente nula

2. hse extiende a una aplicaci´on continuak:B2_−→_X

3. π1(h) es el morfismo trivial de grupos.

Prueba.

Veamos 1⇒2

Sea H : S1_×_I _−→ _X _{una homotop´ıa entre}_h _{y una aplicaci´}_{on constante. Sea} _f _: _S1_×_I _−→ _B2 _la

aplicaci´on

(22)

Entoncesf es continua, cerrada y sobreyectiva, es decir, una aplicaci´on cociente, esta aplicaci´on colapsa S1_{× {}₁_} _{en un punto y es inyectiva en el resto, luego como} _H _{es constante sobre} _S1_{× {}₁_} _f _induce

una aplicaci´on continuak:B2_−→_X _{que extiende a}_h

Veamos ahora 2⇒3

seaj:S1−→B2la inclusi´on, se sabe queh=k◦j pero sabemos que π1(k◦j) =π1(k)◦π1(j)

peroπ1(j) es el homomorfismo trivial

Veamos por ultimo 3⇒1

Sea p : R −→ S1la aplicaci´on recubridora estandar. y sea p0 : I −→ S1 la restricci´on de p a I

entonces [p0] genera todo π1(S1, b0) pongamos x0 = h(b0) como π1(h) es trivial el lazo α = h◦p0

representa el elemento neutro deπ1(X, x0) por tanto existe una homotop´ıaFentreαycx0. La aplicaci´on p0×1I :I×I−→S1×I es una aplicaci´on cociente, y esta aplica (0, t) y (1, t) sobre (b0, t) para cada

t∈Iy en el resto es inyectiva.

La aplicaci´onF envia{0} ×I,{1} ×I eI× {1}sobre el punto x0 de esta forma induce una aplicaci´on

continuaH:S1_×_I_−→_X _{que es una homotop´ıa entre}_h_{y una aplicaci´}_{on constante.}

I•_J

Consecuencia. La aplicaci´on inclusi´on S1 _−→

R− {0} y la aplicaci´on 1S1 no son homot´opicamente nulas.

Teorema. Dado un campo de vectores sobreB2 _{que no se anule en ning´}_{un punto, existe un punto de}

S1 donde el campo de vectores apunta hacia el interior y otro donde apunta hacia el exterior

Prueba. Por reducci´on al absurdo, totalmente rudimentaria tras los resultados anteriores. y se deja al lector

I•_J

Teorema. Sea f :B2−→B2 continua, entonces existe al menos un puntox∈B2tal quef(x) =x Prueba.

Trivial, considerar la aplicaci´ong(x) =f(x)−xy aplicar el teorema anterior.

I•J

Teorema. Sea f :S2_−→

R2 continua. entonces existex0∈S2 tal quef(x0) =f(−x0)

Prueba. Suponer por reducci´on a lo absurdo y definirg:S2_−→_S1

g(x) = f(x)−f(−x)

(23)

4.2. El grupo fundamental de la

S

n

Teorema. Sea n≥2 entoncesπ1(Sn) es trivial

Prueba. Esto es una consecuencia inmediata del teorema de Seifert-Van Kampen

Sea N, S el polo norte y sur, respectivamente de laSn, consideremosA=Sn− {N} yB =Sn− {S}

claramente,A, B estan en las condiciones del teorema. luego tomemosx0∈A∩B

π1(Sn, x0)∼=π1(A, x0)∗π1(B, x0)/K

Claramente,π1(A, x0) =π1(B, x0) solo hay que ver que cada uno de ellos es el trivial.

Pero esto es elemental, puesto queSn_{− {}_p_{} ∼}₌_Rn _{sea cual sea}_p_∈_Sn _{y como el gurpo fundamental es} un invariante del tipo de homotop´ıa,π1(Sn− {p}) es trivial, en particularπ1(A, x0) =π1(B, x0) ={1}

4.3. El grupo fundamental de los espacios proyectivos

Definici´on.SeaSnla esferan-dimensional, definimos eln-espacio proyectivoRPncomo el conjunto Sn_/x_{∼ −}_x

¡Observaci´on! el 1-espacio proyectivo, o tambien conocido como recta proyectiva es homeomorfo a la S1

Teorema. Sea n≥2 entoncesπ1(RPn, x0)∼=Z2

Prueba. Sea p:Sn_−→

RPn la proyecci´on, es trivial comprobar quepes una aplicaci´on recubridora, como hemos visto queSn_{es simplemente conexa, si}_n_≥_{2 entonces la correspondencia del levantamiento} es biyectiva.

Sea y ∈RPn, entonces p−1(y) tiene dos elementos, luegoπ1(RPn, y) es un grupo con dos elementos, luegoπ1(RPn, y)∼=Z2