Subdirección Académica Departamento de Sistemas y Computación Semestre Agosto – Diciembre 2013 Ingeniería en Tecnologías de la Información y Comunicaciones Algebra Lineal 6TI3 María Eugenia Bermúdez Jiménez

Texto completo

(1)

1

Instituto Tecnológico de Tijuana

Subdirección Académica

Departamento de Sistemas y Computación

Semestre Agosto – Diciembre 2013

Ingeniería en Tecnologías de la Información y Comunicaciones

Algebra Lineal

6TI3

María Eugenia Bermúdez Jiménez

Investigación

Unidad 1 Números Complejos

(2)

2

Unidad 1 Números Complejos

Índice

Portada ... 1

Índice ... 2

Introducción ... 3

Definición y origen de los números complejos ... 4

Operaciones fundamentales con los números complejos ... 5

Potencias de i, módulos de un numero complejo ... 6

Forma polar y exponencial de un numero complejo ... 7-8 Teorema de Moivre, potencias y raíces de un numero complejo ... 9

Ecuaciones polinomiales ... 10

Aplicaciones Ecu. Polinomiales ... 11

Conclusiones ... 12

(3)

3

Introducción

Existen ecuaciones que carecen de solución en el conjunto de los números reales. Por

ejemplo, la ecuación x²+9=0 no tiene solución real ya que no existe ningún número real

que elevado al cuadrado dé -9. [1]

 El matemático hindú Bhaskara (1114-1178) ya hacía referencia en su libro Lilavati a la inexistencia de la raíz cuadrada de un número negativo.[1]

 Gerolamo Cardano (1501-1576), matemático y médico italiano, fue el primero en escribir las raíces de números negativos solución de una ecuación de segundo

grado, aunque especificando que no tenían sentido.[1]

 Euler (1707-1783) introdujo una nomenclatura específica para resolver raíces de números negativos.[1]

(4)

4

1.1 Definición y origen de los números complejos.

Un número complejo es un número con la estructura a + bİ donde a es la parte real del número, b es la parte imaginaria del número e İ significa imaginario. El valor del cuadrado de İ es igual a −1. El número imaginario İ es uno de los dos número que cumple con la regla İ^2 = −1, el otro número es - İ.

Euler designo que İ =√−1 por lo tanto İ2 =(√−1)2 = - 1

Un número complejo Z es cualquier número que se expresa en la forma:

Z = a + bİ

Puesto que el cuadrado de cualquier número real es no negativo, una ecuación simple

como X^2 = - 4 no tiene soluciones en el conjunto de los números reales. Para manejar

esta situación, puede expandirse el conjunto de los números reales en un conjunto más

grande llamado números complejos. El número İ y con frecuencia se llama unidad imaginaria, pero el número İ ^2 es el número real – 1. [2]

(5)

5

1.2 Operaciones fundamentales con números complejos.

Algebra con números complejos

Suma:

Z1 = a+ b İ y Z2 = c+ d İ

Z1 + Z2 = (a+ c) + (b İ + d İ)

Ejemplo:

(3 + 2 İ) + (6 -5 İ) = ∑ R + ∑ İ = 9 - 3 İ

Resta:

Z1 = a+ b İ y Z2 = c+ d İ

Z1 - Z2 = (a- c) + (b İ - d İ)

Ejemplo:

(5 + 3 İ) – (2 + 2 İ) = (5 – 2) + (4 İ - 2 İ) = 3 + 2 İ

Multiplicación:

Z1 = a+ b İ y Z2 = c+ d İ

Z1 * Z2 = (a)(c) + (a)(d İ) + (c)(d İ) + (b İ)(d İ) (İ)(İ) = (İ)2 = -1

Ejemplo:

(3 - 2 İ) (5+7 İ) = (3)(5) + (3)(7 İ) – (2 İ)(5) – (2 İ)(7 İ)

= 15 + 21 İ - 10 İ - 14 İ2

= 15 + 21 İ - 10 İ – 14(-1)

(6)

6

División:

Z1 = a+ b İ y Z2 = c+ d İ

Z1 / Z2 =

Ejemplo:

1.3 Potencias de İ, módulo de un número complejo.

 Módulo de un numero complejo

Se define modulo del número complejo Z = a + b İ y se representa por |z|, como el

número real

Z = a + b İ r = |z| =

Ejemplo:

Z = - 3 - 4 İ

|z| = √(−3)2+ (−4)2

|z| = √25

(7)

7

 Potencias de ( İ )n

İ0 = 1

İ1 = İ

İ2 = -1

İ3 = ( İ) ( İ 2) = - İ

İ4 = ( İ2) (İ2) = 1

İ5 = ( İ) ( İ4) = i

İ6 = ( İ2) ( İ4) = -1

İ7 = ( İ) ( İ6) =-i

İ8 = ( İ4) ( İ4) =1

1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo.

Expresión de un número complejo en forma polar.

Sean r y Ɵ coordenadas polares del punto (x, y) que corresponde a un número complejo no nulo Z = a + b İ (rectangular)

a = r cos Ɵ b = r sen Ɵ

Por lo tanto Z Trigonométrica o Polar:

Z = r (cos Ɵ + İ sen Ɵ) Ɵ = tan-1𝑏 ÷ 𝑎

(8)

8 Conversión de rectangular a polar

Z = - 2 -2 √3 İ

r = √(−2)2+ (−2√3) 2

r = √4 + (4 ∗ 3) = 4

Ɵ = tan-1 -2 √3 ÷ -2

= tan-1√3 = 600

Z= 4(cos2400+ İ sen2400)

Expresión de un número complejo en forma exponencial

La ecuación

e İ θ = cos θ + İ sen θ

que define el símbolo e İ θ, o exp (İ θ), para todo valor real de θ, se conoce como

fórmula de Euler. Si escribimos un número complejo no nulo en forma polar

z = r (cos θ + İ sen θ),

la fórmula de Euler permite expresar z más compactamente en forma exponencial:

(9)

9

1.5 Teorema de Moivre, potencias y raíces de un número complejo.

La fórmula de De Moivre nombrada así por Abraham de Moivre dice que;

Para toda , para toda

Con la fórmula de Moivre, tenemos que si

entonces

[3]

Raíces de números complejos

√−𝑎 = √−𝑎 İ

Ejemplo:

√−5 √−5 = (√5 𝑖)(√5 𝑖) = (𝑖√5)2

(10)

10

1.6 Ecuaciones polinomicas.

Numero de solución de ecuación polinomial

Ejemplo: 4x2 90

4 2 9909 x

4x2 9

9

4 1 4 4

1 2  

x

4 9

2 

x Cabe recordar que al aplicar raíz cuadrada en ambos miembros se

deben considerar los dos signos posibles para la incógnita.

De esta manera resulta:

4 9   x 2 3   x 1er Grado X – 2 = 0 X = 2

2do Grado X^2 – 6X+9 = 0 (X-3)(X-3) X=3 X=3

3er Grado X^3+ 4X = 0 X(X+2)(X-2)=0 X=0, X=-2i, X=2i

4to Grado X^4-1=0

(11)

11 Aplicaciones:

Un terreno rectangular tiene su largo igual al doble de su ancho. Si el largo se aumenta

en 40m y el ancho en 6m, el área se hace doble. Hallar las dimensiones del terreno original.

Llamando x al ancho del terreno, su largo quedará representada por 2x.

El área del terreno es: A = x.2x = 2x2

Aumentando el largo y el ancho como indica el enunciado, se obtienen otras

dimensiones:

Ancho = x + 6m y Largo = 2x + 40m

Con estos nuevos valores, el área será (x + 6m).(2x +40m).

Pero según el enunciado ésta nueva área será el doble de la anterior.

Es decir (x + 6m).(2x +40m) = 2.2x2

Prescindiendo de las unidades, se puede expresar la siguiente ecuación:

 

2

4 40 2

6 x x

x   

Llevando la ecuación a su expresión general, se obtiene: 2x2 52x2400

Donde a = –2, b = 52 y c = 240.

Aplicando la fórmula de resolución, se obtiene: x1 4 y x2 30

En el contexto del problema, sólo se acepta como solución el valor x = 30 ( no existen longitudes negativas). La respuesta del problema será: El ancho del terreno es de 30m

(12)

12

Conclusiones

Con algebra y números complejos, con la ayuda de números imaginarios, módulos,

Formula de Moivre cualquier expresión algebraica tiene solución como se ha demostrado

en lo anterior expuesto. Una vez introducidos los números complejos en sus formas

binomica y polar, hemos visto que tanto la suma como la resta se efectúan con

extraordinaria facilidad en forma binómica, mientras que el producto y la división se

(13)

13 Bibliografías

[1]

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Numeros_complej

os_operaciones/Numeros_complejos_operaciones.htm

Autor: Mariano Banzo Marraco.

[2]

Algebra for College Students 8TH edition, Jerome E. Kaufmann, Karen L. Schwitters,

ISBN-13: 978-0-495-10510-7

ISBN-10: 0-495-10510-4

[3]

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «De Moivre formula» (en inglés), Encyclopaedia of

Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104

[4]

Algebra Lineal, Fernando Hitt,

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...