1
Instituto Tecnológico de Tijuana
Subdirección Académica
Departamento de Sistemas y Computación
Semestre Agosto – Diciembre 2013
Ingeniería en Tecnologías de la Información y Comunicaciones
Algebra Lineal
6TI3
María Eugenia Bermúdez Jiménez
Investigación
Unidad 1 Números Complejos
2
Unidad 1 Números Complejos
Índice
Portada ... 1
Índice ... 2
Introducción ... 3
Definición y origen de los números complejos ... 4
Operaciones fundamentales con los números complejos ... 5
Potencias de i, módulos de un numero complejo ... 6
Forma polar y exponencial de un numero complejo ... 7-8 Teorema de Moivre, potencias y raíces de un numero complejo ... 9
Ecuaciones polinomiales ... 10
Aplicaciones Ecu. Polinomiales ... 11
Conclusiones ... 12
3
Introducción
Existen ecuaciones que carecen de solución en el conjunto de los números reales. Por
ejemplo, la ecuación x²+9=0 no tiene solución real ya que no existe ningún número real
que elevado al cuadrado dé -9. [1]
El matemático hindú Bhaskara (1114-1178) ya hacía referencia en su libro Lilavati a la inexistencia de la raíz cuadrada de un número negativo.[1]
Gerolamo Cardano (1501-1576), matemático y médico italiano, fue el primero en escribir las raíces de números negativos solución de una ecuación de segundo
grado, aunque especificando que no tenían sentido.[1]
Euler (1707-1783) introdujo una nomenclatura específica para resolver raíces de números negativos.[1]
4
1.1 Definición y origen de los números complejos.
Un número complejo es un número con la estructura a + bİ donde a es la parte real del número, b es la parte imaginaria del número e İ significa imaginario. El valor del cuadrado de İ es igual a −1. El número imaginario İ es uno de los dos número que cumple con la regla İ^2 = −1, el otro número es - İ.
Euler designo que İ =√−1 por lo tanto İ2 =(√−1)2 = - 1
Un número complejo Z es cualquier número que se expresa en la forma:
Z = a + bİ
Puesto que el cuadrado de cualquier número real es no negativo, una ecuación simple
como X^2 = - 4 no tiene soluciones en el conjunto de los números reales. Para manejar
esta situación, puede expandirse el conjunto de los números reales en un conjunto más
grande llamado números complejos. El número İ y con frecuencia se llama unidad imaginaria, pero el número İ ^2 es el número real – 1. [2]
5
1.2 Operaciones fundamentales con números complejos.
Algebra con números complejos
Suma:
Z1 = a+ b İ y Z2 = c+ d İ
Z1 + Z2 = (a+ c) + (b İ + d İ)
Ejemplo:
(3 + 2 İ) + (6 -5 İ) = ∑ R + ∑ İ = 9 - 3 İ
Resta:
Z1 = a+ b İ y Z2 = c+ d İ
Z1 - Z2 = (a- c) + (b İ - d İ)
Ejemplo:
(5 + 3 İ) – (2 + 2 İ) = (5 – 2) + (4 İ - 2 İ) = 3 + 2 İ
Multiplicación:
Z1 = a+ b İ y Z2 = c+ d İ
Z1 * Z2 = (a)(c) + (a)(d İ) + (c)(d İ) + (b İ)(d İ) (İ)(İ) = (İ)2 = -1
Ejemplo:
(3 - 2 İ) (5+7 İ) = (3)(5) + (3)(7 İ) – (2 İ)(5) – (2 İ)(7 İ)
= 15 + 21 İ - 10 İ - 14 İ2
= 15 + 21 İ - 10 İ – 14(-1)
6
División:
Z1 = a+ b İ y Z2 = c+ d İ
Z1 / Z2 =
Ejemplo:
1.3 Potencias de İ, módulo de un número complejo.
Módulo de un numero complejo
Se define modulo del número complejo Z = a + b İ y se representa por |z|, como el
número real
Z = a + b İ r = |z| =
Ejemplo:
Z = - 3 - 4 İ
|z| = √(−3)2+ (−4)2
|z| = √25
7
Potencias de ( İ )n
İ0 = 1
İ1 = İ
İ2 = -1
İ3 = ( İ) ( İ 2) = - İ
İ4 = ( İ2) (İ2) = 1
İ5 = ( İ) ( İ4) = i
İ6 = ( İ2) ( İ4) = -1
İ7 = ( İ) ( İ6) =-i
İ8 = ( İ4) ( İ4) =1
1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo.
Expresión de un número complejo en forma polar.
Sean r y Ɵ coordenadas polares del punto (x, y) que corresponde a un número complejo no nulo Z = a + b İ (rectangular)
a = r cos Ɵ b = r sen Ɵ
Por lo tanto Z Trigonométrica o Polar:
Z = r (cos Ɵ + İ sen Ɵ) Ɵ = tan-1𝑏 ÷ 𝑎
8 Conversión de rectangular a polar
Z = - 2 -2 √3 İ
r = √(−2)2+ (−2√3) 2
r = √4 + (4 ∗ 3) = 4
Ɵ = tan-1 -2 √3 ÷ -2
= tan-1√3 = 600
Z= 4(cos2400+ İ sen2400)
Expresión de un número complejo en forma exponencial
La ecuación
e İ θ = cos θ + İ sen θ
que define el símbolo e İ θ, o exp (İ θ), para todo valor real de θ, se conoce como
fórmula de Euler. Si escribimos un número complejo no nulo en forma polar
z = r (cos θ + İ sen θ),
la fórmula de Euler permite expresar z más compactamente en forma exponencial:
9
1.5 Teorema de Moivre, potencias y raíces de un número complejo.
La fórmula de De Moivre nombrada así por Abraham de Moivre dice que;
Para toda , para toda
Con la fórmula de Moivre, tenemos que si
entonces
[3]
Raíces de números complejos
√−𝑎 = √−𝑎 İ
Ejemplo:
√−5 √−5 = (√5 𝑖)(√5 𝑖) = (𝑖√5)2
10
1.6 Ecuaciones polinomicas.
Numero de solución de ecuación polinomial
Ejemplo: 4x2 90
4 2 9909 x
4x2 9
9
4 1 4 4
1 2
x
4 9
2
x Cabe recordar que al aplicar raíz cuadrada en ambos miembros se
deben considerar los dos signos posibles para la incógnita.
De esta manera resulta:
4 9 x 2 3 x 1er Grado X – 2 = 0 X = 2
2do Grado X^2 – 6X+9 = 0 (X-3)(X-3) X=3 X=3
3er Grado X^3+ 4X = 0 X(X+2)(X-2)=0 X=0, X=-2i, X=2i
4to Grado X^4-1=0
11 Aplicaciones:
Un terreno rectangular tiene su largo igual al doble de su ancho. Si el largo se aumenta
en 40m y el ancho en 6m, el área se hace doble. Hallar las dimensiones del terreno original.
Llamando x al ancho del terreno, su largo quedará representada por 2x.
El área del terreno es: A = x.2x = 2x2
Aumentando el largo y el ancho como indica el enunciado, se obtienen otras
dimensiones:
Ancho = x + 6m y Largo = 2x + 40m
Con estos nuevos valores, el área será (x + 6m).(2x +40m).
Pero según el enunciado ésta nueva área será el doble de la anterior.
Es decir (x + 6m).(2x +40m) = 2.2x2
Prescindiendo de las unidades, se puede expresar la siguiente ecuación:
24 40 2
6 x x
x
Llevando la ecuación a su expresión general, se obtiene: 2x2 52x2400
Donde a = –2, b = 52 y c = 240.
Aplicando la fórmula de resolución, se obtiene: x1 4 y x2 30
En el contexto del problema, sólo se acepta como solución el valor x = 30 ( no existen longitudes negativas). La respuesta del problema será: El ancho del terreno es de 30m
12
Conclusiones
Con algebra y números complejos, con la ayuda de números imaginarios, módulos,
Formula de Moivre cualquier expresión algebraica tiene solución como se ha demostrado
en lo anterior expuesto. Una vez introducidos los números complejos en sus formas
binomica y polar, hemos visto que tanto la suma como la resta se efectúan con
extraordinaria facilidad en forma binómica, mientras que el producto y la división se
13 Bibliografías
[1]
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Numeros_complej
os_operaciones/Numeros_complejos_operaciones.htm
Autor: Mariano Banzo Marraco.
[2]
Algebra for College Students 8TH edition, Jerome E. Kaufmann, Karen L. Schwitters,
ISBN-13: 978-0-495-10510-7
ISBN-10: 0-495-10510-4
[3]
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «De Moivre formula» (en inglés), Encyclopaedia of
Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
[4]
Algebra Lineal, Fernando Hitt,
