La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. lim

(1)

Unidad 1

Código de sección académica

Matemática 6to.

No.

ACTIVIDAD

PUNTEO

Hoja 1:

Derivada

Hoja 2:

Recta Tangente y Normal

Hoja 3:

Regla de la derivada

Hoja 4:

Derivada Implícita

Hoja 5:

Derivadas Velocidad

Instantánea y Aceleración

Hoja 6:

Derivada de fórmulas

geométricas

Hoja 7:

Valor de la Derivada

Hoja 8:

Áreas, Perímetros y

Volúmenes

Hoja 9:

Derivadas Pitágoras

Hoja 10:

Derivadas Triángulos

Semejantes

Hoja 11:

Derivada

La derivada es el resultado de un límite

y representa la pendiente de la recta

tangente a la gráfica de la función en un

punto.

lim

ℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

Matemática

Derivada

Profesor

Carn et fecha

A pell ido(s) Nombre (s)

Jorn ada:

Matutina:

Vespertina:

Carre ra:

Perito:

Bachiller:

Sección:

A B C

D E F

Código Técn ic o Grado:

(2)

(3)

Matemática 6to.

_Derivada

INSTRUCCIONES: Realice lo que a continuación se le solicita.

Revisar las dos afirmaciones I) y II) y luego indique cuales son [V=Verdaderas] o [F=Falsas].

1) Función: 𝑓(𝑥) = 1 𝑥3 i) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= − 3

𝑥4 ii)

𝑑𝑦 𝑑𝑥= −

3 𝑥2 A) VV B) VF C) FV B) FF

𝑑𝑥= − 8

𝑥4 ii)

8 𝑥5 A) VV B) VF C) FV B) FF

𝑑𝑥= −35𝑥

−8 _ii) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= − 35 𝑥8 A) VV B) VF C) FV B) FF

4) Función: 𝑓(𝑥) = √𝑥5 2

i) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2 5𝑥

−3₅ _ii) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 5 2𝑥

3 2

A) VV B) VF C) FV B) FF

5) Función: _{𝑓(𝑥) = √𝑥}3

= 𝑥13

Derive y racionalice.

i) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= √𝑥 3 3𝑥 ii) 𝑑𝑦 𝑑𝑥= √𝑥2 3 3𝑥

Resuelva las derivadas de fracciones y raíces.

6) Derive la función: 𝑓(𝑥) = 1 𝑥2 A) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2 𝑥 B) 𝑑𝑦 𝑑𝑥= − 2 𝑥

C) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2

𝑥3 D)

2 𝑥3

7) Derive la función: 𝑓(𝑥) = 3 𝑥5 A) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 15

𝑥4 B)

15 𝑥6 C) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= − 15 𝑥4 D)

12 𝑥4

8) Derive la función: 𝑓(𝑥) = √𝑥3 2

A) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= √2𝑥

3

B) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= √2𝑥

C) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2 3𝑥

−1₃ _D) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 3 2𝑥

1 2

9) Derive la función: _{𝑓(𝑥) = √𝑥}5 3 Y luego racionalice la expresión.

A) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 3 √𝑥5 3

5𝑥2 B)

𝑑𝑦 𝑑𝑥=

3 √𝑥5 5𝑥2 C) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 3 √𝑥5 2

5𝑥 D) 𝑑𝑦 𝑑𝑥=

3 √𝑥5 3

5𝑥

10) Derive la función: _{𝑓(𝑥) = √𝑥} Y luego racionalice la expresión.

A) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= √𝑥 2 B) 𝑑𝑦 𝑑𝑥= √𝑥 3

C) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= √𝑥 2𝑥 D) 𝑑𝑦 𝑑𝑥= 1 2 √𝑥

Resuelva y luego revise el enunciado (i), indicando si es [V=Verdadero] o [F=Falso].

11) Función:

𝑓(𝑥) = 1 𝑥2+ √𝑥2

3

i) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= − 2 𝑥3+

2 √𝑥3 2

3𝑥

A) V B) F

12) Función:

𝑓(𝑥) = 𝑥5₋ 2

𝑥3+ √𝑥

3

+ 5

i) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 5𝑥

4₊ 6

𝑥4+

√𝑥

3

3𝑥

A) V B) F

13) Función:

𝑓(𝑥) = 5𝑥2₋ 6

𝑥4+ √𝑥5

4

− 3𝑥

i) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 10𝑥 − 24 𝑥5+

5 √𝑥4 4

A) V B) F

14) Función:

𝑓(𝑥) = 3𝑥5₋𝑥 4

2 + √𝑥

3_{− 3}

i) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 15𝑥

4_{− 2𝑥}3₊√𝑥

3

3𝑥

A) V B) F

APELLIDOS NOMBRES No. CARNET FECHA:

(4)

Matemática 6to.

_{Recta Tangente y Normal}

INSTRUCCIONES: Resuelva en hojas aparte dejando constancia de todo lo que realice. .

1) La derivada de la función

𝑓(𝑥) = 𝑥3_{− 2𝑥} i) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 3𝑥

2_{− 2𝑥}

ii) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 3𝑥

2_{− 2}

2) Para la función

𝑓(𝑥) = 𝑥3_{− 2𝑥}

Las pendientes en el punto

(1, −1) son: i) 𝑚𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 = 1

ii) 𝑚𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 = −1

3) Para la función

𝑓(𝑥) = 𝑥3_{− 2𝑥}

Las ecuaciones de las rectas en el punto (1, −1), son:

i) Tangente: 𝑦 = 𝑥 − 2

ii) Normal: 𝑦 = −𝑥

𝑓(𝑥) = 4𝑥−2₋2

𝑥

i) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= −8𝑥

−3_{+ 2𝑥}−2

ii) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= −8𝑥

−3_{− 2𝑥}−2

𝑓(𝑥) = 4𝑥−2_{− 2𝑥}−1

Las pendientes en el punto (2,0) son: i) 𝑚𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒= −

7 2

ii) 𝑚𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 =

2 7

6) Para la función

𝑓(𝑥) = 𝑥3_{− 2𝑥}

Las ecuaciones de las rectas en el punto (2,0), son:

i) Tangente: 𝑦 = −7

2𝑥 + 7 ii) Normal: 𝑦 =2

7𝑥 − 4 7

𝑓(𝑥) = 𝑥2_{− 2𝑥 + 1} i) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥 − 2𝑥

−1_{+ 1}

ii) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥 − 2

8) Para la función

𝑓(𝑥) = 𝑥3_{− 2𝑥}

i) Tangente: 2𝑥 − 𝑦 − 3 = 0

ii) Normal: 2𝑦 + 𝑥 + 1 = 0

𝑓(𝑥) = 1

𝑥2− 2√𝑥 + 1 i) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑥

−2_{− 2𝑥}1₂

ii) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= − 2 𝑥3−

√𝑥 𝑥

10) Para la función

𝑓(𝑥) = 𝑥3_{− 2𝑥}

i) Tangente: 2𝑥 − 𝑦 − 3 = 0

3𝑥 + 𝑦 − 3 = 0

ii) Normal: 2𝑦 + 𝑥 + 1 = 0

𝑥 − 3𝑦 − 1 = 0

11) Dada la curva

y

=

6 −

3 x

2, hallar las ecuaciones de la recta tangente a la curva en el punto (2, –6). A)

y

=

12 x

−

18

B)

y

=

−

12 x

+

18

C)

y

=

−

18 x

+

12

D)

y

=

18 x

−

12

E) Otra: ____________________

12) Dada la curva

y

=

5 x

, hallar las ecuaciones de la recta normal a la curva en el punto (5, 5).

A)

2 x

+

y

−

15 =

0

B)

3 x

+

y

−

4 =

0

C)

4 x

+

y

−

15 =

0

D) No tiene solución

E) Otra: ____________________

APELLIDOS Y NOMBRES COMPLETOS No. CARNET FECHA:

(5)

Matemática 6to.

_{Reglas de derivada}

INSTRUCCIONES: Resuelva en hojas aparte dejando constancia de todo lo que realice.

( )

x

f

=

1₂ 4

+

3

+

_es: A) 2𝑥3_{− 3𝑥}2_{− 1}

B) 4𝑥3_{+ 3𝑥}2_{+ 1} C) 2𝑥4+ 3𝑥2+ 1

D) 2𝑥3_{+ 3𝑥}2_{+ 1}

E) Otra: _____________________

𝑓(𝑥) = −5𝑥4_{− 8𝑥}3_{+ 2𝑥}2_{− 4𝑥 − 4} es:

A) −20𝑥3_{− 24𝑥}2_{− 4𝑥 − 4} B) −20𝑥3_{− 24𝑥}2_{+ 4𝑥 + 4} C) −20𝑥3_{+ 24𝑥}2_{+ 4𝑥 − 4} D) −20𝑥3_{− 24𝑥}2_{+ 4𝑥 − 4}

E) Otra: _____________________

( )

x

=

(

4 x

3

+

2 x

2

) (



2 x

2

+

1 )

f

es:

A) 40𝑥4+ 16𝑥3+ 12𝑥2+ 4𝑥

B) 40𝑥3_{+ 16𝑥}2_{+ 12𝑥 + 4} C) 24𝑥4_{+ 16𝑥}3_{+ 12𝑥}2_{+ 4𝑥} D) 8𝑥4_{+ 12𝑥}2_{+ 4𝑥}

E) Otra: ____________________

𝑓(𝑥) = (𝑥2_{+ 2𝑥)(𝑥}3_{+ 2𝑥}2₎_es:

A) 5𝑥4_{+ 16𝑥}3_{+ 12𝑥}2_{+ 4𝑥} B) 5𝑥3_{+ 16𝑥}2_{+ 12𝑥 + 4} C) 5𝑥4_{+ 16𝑥}3_{+ 12𝑥}2 D) 5𝑥4_{+ 12𝑥}2_{+ 4𝑥}

E) Otra: ____________________

𝑓(𝑥) = (𝑥3_{− 5𝑥}2_)(3𝑥2_{− 4𝑥)}_es:

A) 15𝑥4_{− 76𝑥}3_{+ 60𝑥 + 4𝑥} B) 15𝑥4_{− 79𝑥}3_{+ 60𝑥 + 4} C) 15𝑥4_{− 76𝑥}3_{+ 60𝑥}2 D) 15𝑥4_{− 76𝑥}3_{+ 60𝑥}

E) Otra: ____________________

( )

4

3

4

2

+

−

=

x

f

es

A) 4𝑥2_{− 32𝑥 + 3}

(𝑥 + 4)2 B) 4𝑥2_{+ 32𝑥 − 3}

(𝑥 + 4)2 C) 4𝑥2_{+ 32𝑥 + 3}

(𝑥 + 4)2 D) 4𝑥2_{− 32𝑥 − 3}

(𝑥 + 4)2

( )

4

2

4

2

−

=

x

f

es

A) 4𝑥2− 16𝑥 + 8 (2𝑥 − 4)2 B) −4𝑥2_{− 32𝑥 + 8}

(2𝑥 − 4)2 C) 4𝑥2_{+ 16𝑥 + 8}

(2𝑥 − 4)2 D) 4𝑥2_{− 16𝑥 + 5}

(2𝑥 − 4)2

( )

3

4

8

2 −

−

=

x

f

es:

A) 26 (4𝑥 − 3)2 B) −26

(4𝑥 − 3)2 C) −13

(4𝑥 − 3)2 D) 8

(4𝑥 − 3)2

( )

9

6

7

5 −

−

=

x

f

es:

A) −31

(6𝑥 − 9)2 B) −23

(6𝑥 − 9)2 C) 3

(6𝑥 − 9)2 D) −3

(6𝑥 − 9)2

( )

x

=

2 x

2

+

1 f

, sin racionalizar es A)

− 2𝑥 √1 + 2𝑥2 B) 2𝑥

√1 + 2𝑥2 C) 2𝑥

√1 + 2𝑥2

3

D) 2𝑥 1 + 2𝑥2

( )

(

₃

)

3

2 x

x

f

=

+

, factorizada es: A) (𝑥2_{+ 2)}2_{∙ (3𝑥}2_{+ 2)}

B) 6𝑥2_{∙ (𝑥}2_{+ 2)}2_{∙ (3𝑥}2_{+ 2)} C) 3𝑥2_{∙ (𝑥}2_{+ 2) ∙ (3𝑥}3_{+ 2)} D) 3𝑥2∙ (𝑥2+ 2)2∙ (3𝑥2+ 2)

E) Otra: ____________________

( )

(

₃

)

2

2 x

x

f

=

+

es

A) 3𝑥5_{+ 8𝑥}3_{+ 4𝑥} B) 3𝑥6_{+ 8𝑥}3_{+ 4𝑥} C) 6𝑥5_{+ 16𝑥}3_{+ 8𝑥} D) 3𝑥6_{+ 16𝑥}3_{+ 8𝑥}

E) Otra: ____________________

(6)

Matemática 6to.

_{Derivada Implícita}

OPCIÓN UNO OPCIÓN DOS

Derivación implícita a toda la ecuación.

Ejemplo:

x

2

+

y

2

=

16

Solución:

16

2 2

+

=

y

x

Aplicamos d/dx en toda la ecuación

(

2 2

)

( )

16 dx

d

y

x

dx

d

₊

₌

Efectuando la derivada indicada

2 +

2 =

0 dx

dy

y

x

Despejamos dy/d:x

y

x

dx

dy

−

=

Aplicar derivadas parciales

y x

dx

dy



−

=

Ejemplo:

x

3

y

−2

+

3 x

−

3 y

+

3 =

0

Solución:

Derivando parcialmente la función con respecto a x, tenemos:



_x

=

3 x

2

y

−2

+

3

{“y” se toma constante} Derivando parcialmente la función con respecto a y, tenemos:



_y

=

−

2 x

3

y

−3

−

3

{“x” se toma constante} Sustituyendo en la fórmula:

3

2

3

3 3 2 2

−

+

−

=

−₋

y

x

y

x

dx

dy

3

2

3

3 3 2 2

+

=

₋−

y

x

y

x

dx

dy

1) Calcule la derivada implícita

dx

dy

,

para:

1 +

1 =

1 y

x

A)

x

y

dx

dy

−

=

B)

y

x

dx

dy

₌

₋

C) ₂

2

x

y

dx

dy

₌

₋

D) ₂

2

y

x

dx

dy

−

=

dx

dy

,

para:

x

+

y

=

4

A)

x

y

dx

dy

₌

₋

B)

y

x

dx

dy

₌

₋

C)

x

y

dx

dy

₌

₋

D)

y

x

dx

dy

₌

₋

dx

dy

,

para:

5 x

2

−

xy

−

4 y

2

=

0

A)

y

x

y

x

dx

dy

−

+

=

10

8

B)

y

x

y

x

dx

dy

8

10 +

−

=

C)

y

x

y

x

dx

dy

8

10 −

+

=

D)

y

x

y

x

dx

dy

+

−

=

10

8

4) Calcule la derivada implícita para:

2

6

4

3

2

+

−

=

y

x

xy

y

x

A)

6

4

3

1

4

2

2 2 3

−

+

−

=

x

y

x

y

xy

dx

dy

B)

1

4

2

6

4

3

3 2 2

+

−

+

−

=

x

xy

y

x

dx

dy

C)

6

4

3

1

4

2

2 2 3

−

+

=

y

x

y

xy

dx

dy

D)

1

4

2

6

4

3

3 2 2

+

−

+

=

y

xy

y

x

dx

dy

dx

dy

,

para:

x

3

+

y

3

=

8 xy

A) ₂

2

3

8

3 y

x

y

x

dx

dy

+

−

=

B)

x

y

x

y

dx

dy

8

3

8

2 2

−

=

C)

x

y

x

y

dx

dy

8

3

8

2 2

+

−

=

(7)

_{Derivadas velocidad instantánea}

Matemática 6to.

y aceleración

INSTRUCCIONES: Resuelva en hojas aparte dejando constancia de todas las operaciones

1) La posición de un corredor, está medida en metros sobre una recta horizontal, está determinada por la función

s

( )

t

=

3 t

2

−

2 t

+

1

. Hallar la velocidad instantánea a 1.5 segundos.

A) 2 m/s B) 3 m/s C) 1 m/s D) 4 m/s

E) Otra: ______________________

2) La posición de una moto, que fue media en metros sobre una recta horizontal, está determinada por la función

s

( )

t

=

(

t

2

−

2 t

+

1 )

(

t

−

2 )

. Hallar la velocidad instantánea de la moto para t = 3 segundos.

A) 8 m/s B) 7 m/s C) 2 m/s D) 1 m/s

E) Otra: ______________________

3) La posición de un ascensor, medida en metros sobre una recta vertical, está determinada por la función

( )

t

s

=

−

4

. Hallar la aceleración del ascensor para t = 4 segundos.

A) 3/4 m/s² B) 1/8 m/s² C) 1/6 m/s² D) 2/3 m/s² E) Otra:

_____________

4) La altura h, sobre el nivel del suelo, de una pelota que se deja caer desde la parte superior de la Torre Eiffel, despreciando la fricción del aire, está dada por

( )

t

=

−

4 .

9 t

2

+

320 h

, donde h se

mide en metros y t en segundos. Determinar la velocidad de la pelota, para el instante en que la pelota choca contra el suelo.

A) –79 m/s B) 79 m/s C) –60 m/s D) 60 m/s E) Otra:

___________

5) La posición de un vehículo, medida en metro sobre una recta horizontal, está determinada por la función

( )

3 2

6

2 t

t

s

=

−

. Hallar la aceleración del móvil para t = 1 seg. A) 12 m/s² B) 1 m/s² C) 0 m/s² D) –1 m/s E) Otra: ______________________

6) La posición de una liebre, medida en centímetros sobre una recta horizontal, está determinada por la función

_s

( )

_t

=

₂₅

+

1₂

_t

2_{. Hallar la}

velocidad de la liebre para t = 4 segundos.

A) 33 cm/s B) 29 cm/s C) 16 cm/s D) 4 cm/s E) Otra: ______________________

7) La posición de un avión, medida en metro sobre una recta horizontal, está determinada por la función

( )

2

5

25 t

t

s

=

+

. Hallar la aceleración del avión para t = 4 seg.

A) 180 m/s² B) 162 m/s² C) 40 m/s² D) 10 m/s²

E) Otra: ______________________

8) La posición de un perro, medida en metro sobre una recta horizontal, está determinada por la función

( )

3

2 1

5 t

t

s

=

+

. ¿Cuál es la ecuación de la velocidad instantánea?

A)

s

( )

t

₂3

t

'

=

B)

s

'

( )

t

=

₂3

t

2

C)

s

'

( )

t

=

₂3

D) 2 m/s

E) Otra: ______________________

reposo

g = -9.8 m/ s²

(8)

Matemática 6to.

_{Derivadas de Formulas}

geométricas

INSTRUCCIONES: Resuelva en el reverso o en hojas aparte, debe dejar constancia de todo lo que realice.

1) La derivada de la diagonal de un cuadrado, sabiendo que sus lados a cambian con el tiempo

Ecuación matemática:

D

=

2 

a

Variables: D, a

Constantes:

2

2) La derivada del área de un trapecio, sabiendo que sus lados cambian con el tiempo, pero su altura permanece constante.

A

=

₂1

(

B

+

b

)



h

Variables: A, B, b Constantes: ½ h

3) La derivada del área lateral de un tronco de pirámide, sabiendo que sus lados cambian con el tiempo, pero su altura permanece constante.

A

_L

=

₂1

(

P

_B

+

P

_b

)



h

Simplificación:

A

_L

=

1₂

(

4 L

+

4 l

)



h

A

_L

=

₂4

(

L

+

l

)



h

_…

Variables:

A

_L, L, l Constantes: 2h

4) La derivada del volumen de una circunferencia, sabiendo que su radio cambian con el tiempo

4

3

3 V

=



r

Variables: V, r Constantes: ₃4



5) La derivada del volumen un tronco de cono, sabiendo que sus radios cambian con el tiempo, y la altura permanece invariable.

(

A

)

h

V

=

1₃ _B₁

+

_B₂

+

_B₁ _B₂



simplificación

(

)(

)

(

R

r

R

r

)

h

V

=

1₃





2

+





2

+





2





2



(

R

r

R

r

)

h

V

=

1₃





2

+





2

+



2



2



2



(

R

r

R

r

)

h

V

=

₃1





2

+





2

+





(

R

r

R

r

)

h

V

=

₃ 2

+

2

+



Variables: V, R, r Constantes: ₃

h

Posibles derivadas:

a)

𝑑𝐴

𝑑𝑡

= 2ℎ (

𝑑𝐿 𝑑𝑡

∙

𝑑𝑙 𝑑𝑡

)

b)

𝑑𝑉

𝑑𝑡

= 4𝜋𝑟

2

_∙

𝑑𝑟 𝑑𝑡

c)

𝑑𝐴 𝑑𝑡

=

ℎ 2

(

𝑑𝐵 𝑑𝑡

∙

𝑑𝑏 𝑑𝑡

)

d)

𝑑𝐷 𝑑𝑡

=

𝑑𝑎 𝑑𝑡

e)

𝑑𝐷

𝑑𝑡

= √2 ∙

𝑑𝑎 𝑑𝑡

f)

𝑑𝐴 𝑑𝑡

=

ℎ 2

(

𝑑𝐵 𝑑𝑡

+

𝑑𝑏 𝑑𝑡

)

g)

𝑑𝐴

𝑑𝑡

= 2ℎ (

𝑑𝐿 𝑑𝑡

+

𝑑𝑙 𝑑𝑡

)

h)

𝑑𝑉

𝑑𝑡

= 4𝜋𝑟

2

_∙

𝑑𝑟 𝑑𝑡

i)

𝑑𝑉 𝑑𝑡

=

𝜋ℎ 3

(2𝑅

𝑑𝑅 𝑑𝑡

+ 2𝑟

𝑑𝑟 𝑑𝑡

+

𝑑𝑅 𝑑𝑡

∙

𝑑𝑟 𝑑𝑡

)

j)

𝑑𝑉 𝑑𝑡

=

𝜋ℎ 3

(2𝑅

𝑑𝑅 𝑑𝑡

+ 2𝑟

𝑑𝑟 𝑑𝑡

+ 𝑟

𝑑𝑅 𝑑𝑡

+ 𝑅

𝑑𝑟 𝑑𝑡

)

Respuestas (literal o derivada)

1)

2)

3)

4)

5)

(9)

Nombre Perímetro Área

Triángulo

P = Perímetro

P = Suma de los lados P = b + c + d

a

b

A

=

₂1



(

s

a

)(

s

b

)(

s

c

)

s

A

=

−

s = semiperímero = P/2

Cuadrado

P = 4a

₂

2

d

o

a

Rectángulo

P = 2(b + a) A = b · a

Rombo

P = 4 · a

Romboide

P = 2(b + c) A = b · h

Trapecio

₍

₎

h

b

B

A

=

₂1

+



Trapezoide

A = Suma de las áreas de los dos triángulos

Polígono

regular

A

=

2

P



a

1

Circunferencia

_L

=

₂



_R

Circulo 2

A = πR

Nombre Área lateral Área Total Volumen

Prisma _{P = Perímetro}

h=Altura

.

L

A

=

P h

2

T L b

A

=

A

+

A

b

A

= Área base

V

=

A h

b

.

Pirámide

.

2

L

a

A

=

P

A

T

=

A

L

+

A

b

1 .

3

b

V

=

A h

Tronco de Pirámide

(

P

)

h

A

_L

=

1₂ _B

+

_b



1 2

T B B L

A

=

A

+

A

+

A

V

=

1₃

(

A

_B₁

+

A

_B₂

+

A

_B₁

A

_B₂

)



h

Cilindro

2 .

L

A

=



r h

2

2 .

2(

)

T

A

=



r h

+



r

2

(

).

V

=



r

h

Cono

.

L

A

=



R g

g= generatríz

2

.

T

A

=



r g

+



r

T L b

A

=

A

+

A

2

1 (

).

3 V

=



r

h

Tronco de Cono

(

)

.

L

A

=



R

+

r g

A

_T

=

A

_L

+

A

_bases

V

=

1₃

(

A

_B₁

+

A

_B₂

+

A

_B₁

A

_B₂

)



h

Esfera

2

4

T

A

=



r

4

3

(10)

Matemática 6to.

_{Valor de una Derivadas}

INSTRUCCIONES: Resuelva en el reverso o en hojas aparte, debe dejar constancia de todo lo que realice.

1) Calcule la velocidad del área cuando sus lados cambian a razón de 2m/s y su longitud mide 4m:

Ecuación matemática: 𝐴 =1

2𝑃 ∙ 𝑎 ➔ 𝐴 = 3√3

2 ∙ 𝑙 2

Variables: A, L

Constantes: 3√3 2

Datos:

Velocidad del lado: 𝑑𝑙 𝑑𝑡= 2

𝑚

𝑠

Longitud: 𝑙 = 4 𝑚

Ecuación de velocidad de área

𝑑𝐴 𝑑𝑡 =

Velocidad de área:

𝑑𝐴 𝑑𝑡 =

2) Calcule la velocidad del volumen (caudal), cuando sus lados cambian a razón de cambian a razón de 3cm/min y su altura crece a 2 cm/min; mientras que sus dimensiones son: longitud de 25cm y altura de 15cm.

Ecuación matemática: 𝑉 =1

3𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒∙ ℎ ➔ 𝑉 = 𝑙2_∙ℎ

3 Variables: V, L, h

Constantes: 1 3

Datos:

Velocidad del lado: 𝑑𝑙 𝑑𝑡= 3

𝑐𝑚 𝑚𝑖𝑛

Velocidad de la altura: 𝑑ℎ 𝑑𝑡= 2

𝑐𝑚 𝑚𝑖𝑛

Longitud: 𝑙 = 25 𝑐𝑚

Altura: ℎ = 15 𝑐𝑚

Ecuación de velocidad de volumen

𝑑𝑉 𝑑𝑡 =

Velocidad de volumen:

𝑑𝑉 𝑑𝑡 =

3) Calcule la velocidad del volumen (caudal), cuando, su altura cambian a razón de 5 in/min; mientras que su radio es de 25in y la altura es de 10in.

Ecuación matemática: 𝑉 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒∙ ℎ

𝑉 = 𝜋𝑟2_{∙ ℎ} Variables: V, h

Constantes: 𝜋𝑟2

Datos:

Velocidad del altura:

Radio:

Altura:

𝑑𝑉 𝑑𝑡 =

4) Calcule la velocidad del volumen, cuando su radio cambian a razón de 15cm/s; mientras que su radio es de 20cm. Ecuación matemática: 𝑉 =4

3𝜋𝑟 3

Variables: V, r Constantes: 4

3𝜋 Datos:

Velocidad del radio:

Radio:

𝑑𝑉 𝑑𝑡 =

(11)

_{Derivadas de Áreas, Perímetros y}

Matemática 6to.

Volúmenes

1) Suponiendo que una burbuja de jabón mantenga su forma esférica cuando se expande, ¿qué tan rápido aumenta su radio cuando mide 2 pulgadas, si se sopla aire al interior a razón de 4 pulgadas cúbicas por segundo?

A)₄1_ _{≈ 0.08 in/s B)}

4 ≈ 1.27 in/s

C) ₄ ≈ 0.79 in/s D) 4 ≈ 12.6 in/s E) Otra: _____________________

2) Se derrama petróleo de un tanque roto formando una mancha circular. Si el radio del círculo aumenta a razón constante de 1.5 pies por segundo, ¿con qué rapidez aumenta el área cubierta al término de 2 horas (7200 segundos)?

A) 32,400 ft/s B) 10,800 ft/s C) 10,178.8 ft/s D) 101,787.6 ft/s E) Otra: ____________________

3) Un disco metálico se dilata con el calor. Si su radio aumenta a razón de 0.02 pulgadas por segundo, ¿con qué rapidez aumenta el área de una de sus caras cuando su radio es de 8.1 pulgadas?

A) 8.1 in²/s B) 0.02 in²/s C) 0.323 in²/s D) 1.018 in²/s E) Otra: _____________________

4) Un globo esférico se infla a razón de 10000 cm³ por minuto. ¿Con que rapidez aumenta el radio, en el instante en que alcanza un valor de 25 cm?

A)₄1_ ≈ 0.08 cm/min B) _4 _{≈ 1.27 cm/min}

C) ₄ ≈ 0.79 cm/min D) 4≈ 12.6 cm/min

E) Otra: _____________________

5) Las aristas de un cubo variable aumentan a razón de 3 pulgadas por segundo. ¿Con qué rapidez aumenta el volumen del cubo cuando una arista tiene 10 pulgadas de longitud?

A) 300 in³/s

B) 600 in³/s C) 900 in³/s D) 120 in³/s E) Otra: ______

6) El ancho de un rectángulo es la mitad de su longitud. ¿Con qué rapidez aumenta su área si, su ancho mide 10cm y aumenta 0.5 cm por segundo? (Nota: ancho es x)

A) 20 cm²/s B) 40 cm²/s C) 10 cm²/s D) 30 cm²/s E) __________________________

(12)

Matemática 6to.

_{Derivadas Pitágoras}

1) Una escalera de 41 ft de longitud ha sido apoyada contra un muro vertical. La escalera ha comenzado a resbalar de modo que, su extremo superior, se desliza hacia abajo, mientras su base se mueve sobre el suelo a una velocidad de 10 ft/s. ¿Con qué rapidez se mueve el extremo superior de la escalera cuando está a 9 ft sobre el suelo?

A) – 20.32 ft/s B) – 15.12 ft/s C) – 44.44 ft/s D) – 25.25 ft/s E) Otra: ______________________

2) Un aeroplano vuela en dirección horizontal a una altura de 3 millas, con una velocidad de 480 mi/h y pasa directamente arriba de un observador en el suelo. ¿Con qué rapidez aumenta la distancia del observador al aeroplano 30 segundos más tarde?

A) 158 mi/h B) 205 mi/h C) 400 mi/h D) 384 mi/h E) Otra: ______________________

3) Un aeroplano vuela en dirección horizontal a una altitud de 1 milla y pasa directamente arriba de un observador. Si la velocidad constante del aeroplano es de 240 millas por hora, ¿con qué rapidez se aleja del observador 30 segundos más tarde?

A) 214.7 mi/h B) 268.3 mi/h C) 120 mi/h D) 2.236 mi/h E) Otra: ______________________

4) Un niño empina su papalote. Si éste se encuentra 90 pies arriba del nivel de la mano del niño y el viento lo arrastra horizontalmente a 5 pies por segundo, ¿con qué rapidez suelta el niño la cuerda cuando ya ha soltado 150 pies? (Suponga que la cuerda forma una línea recta)

A) 5 ft/s B) 6.25 ft/s C) 4 ft/s D) 3.25 ft/s E) Otra: ______________________

5) Un aeroplano vuela hacia el oeste a 400 millas por hora y pasa sobre cierto pueblo a las 11:30A.M.; un segundo aeroplano vuela a la misma altura hacia el sur a 500 millas por hora y pasa por el mismo pueblo al mediodía. ¿Qué tan rápido se separan a la 1:00 PM?

A) 627.4 mi/h B) 765 mi/h C) 781.0 mi/h D) 12.8 mi/h E) Otra: ______________________

Ejercicio de análisis

6) Un puente largo de autopista a desnivel pasa debajo de las vías del tren que están 100 pies arriba y perpendiculares a él. Si un automóvil viaja a 45 millas por hora (66 pies por segundo) directamente abajo de un tren que avanza a 60 millas por hora (88 pies por segundo) ¿con qué rapidez se separan 10 segundos después?

R// 109.55 ft/s

dx/dt = 88 ft/s

dy/dt = 66 ft/s

3millas

5ft/s

90ft

1millas

N

S E O APELLIDOS NOMBRES No. CARNET FECHA:

(13)

Matemática 6to.

_{Triángulos Semejantes}

1) Un persona de 1.5 m de estatura, corre con una velocidad de 5 m/s alejándose de un poste de alumbrado que tiene una altura de 9m. ¿Con qué rapidez se mueve el extremo de su sombra sobre el suelo cuando la persona se encuentra a 10 metros de la base del poste de alumbrado?

A)1m/s B)6m/s C)2m/s D)10m/s

E) Otra: ______________________

Angélica mide 6 pies de estatura y se aleja de la luz de un poste del alumbrado público que está a 30 pies de altura a razón de 2 pies por segundo.

2) ¿Con qué rapidez crece su sombra cuando Angélica está a 24 pies del poste? ¿A 30 pies?

A) 0.5 ft/s B) 0.75 ft/s C) 1.5 ft/s D) 2 ft/s

3) ¿Con qué rapidez se mueve el extremo de la sombra respecto del poste?

A) 2.5 ft/s B) 3.5 ft/s C) 5.5 ft/s D) 2 ft/s

4) Una luz está en el suelo a 50 metros de un edificio. Un hombre de 1.75 m de estatura camina desde la luz hacia el edificio a razón constante de 2 metros por segundo. ¿A qué velocidad está disminuyendo su sombra sobre el edificio en el instante en que el hombre está a 25 metros del edificio?

A) –0.28m/s B) –0.14m/s C) –3.5m/s D) –7 m/s

E) Otra: ______________________

5) Un hombre de 1.80 metros de alto corre a una velocidad de 8 m/s alejándose de una luz de un poste de 9 metros de altura. ¿Con qué rapidez se mueve el extremo de su sombra sobre el suelo cuando él está a 100 metros del poste de la luz (referencia: poste)?

A) 1 m/s B) 2 m/s C) 8 m/s D) 10m/s

E) Otra: ______________________

6) Una lámpara proyectora situada sobre el piso ilumina una pared que está a 12 m de distancia.

Si un hombre de 2 m de alto camina desde la lámpara hacia la pared a una velocidad de 1.6 m/s ¿con qué rapidez decrece su sombra proyectada sobre la pared cuando se encuentra a 4 m de ésta?

A) 1.67 m/s B) 0.6 m/s C) 1 m/s D) 0.7 m/s

E) Otra: ______________________

Un poste de 5m de altura tiene un foco en la parte superior; un hombre de 1.70m de estatura se aleja del poste caminando a una velocidad de 1.2 m/s. Cuando la distancia de la base del poste a la punta (parte más alejada) de la sombra del hombre es de 6 m.

7) ¿Con qué velocidad crece su sombra?

A) 3.3 m/s B) 0.51 m/s C) 0.62 m/s D) 1.81 m/s E) Otra: ______________________

8) ¿Con qué velocidad crece su sombra respecto del poste?

A) 3.3 m/s B) 0.51 m/s C) 0.62 m/s D) 1.81 m/s E) Otra: ______________________

RESPUESTAS

1) A)O B)O C)O D)O E)O

(14)

Matemática 6to.

_{Derivadas de Conos}

1) Un tanque tiene la forma de un cono invertido con una altura de 16m y un radio base de 4m. El agua fluye al tanque a razón de 2m³/min. ¿Qué tan rápido crece el nivel cuando el agua tiene 5 metros de profundidad?

A) 0.41 m/min B) 2.05 m/min C) 4.1 m/min D) 10 m/min E) Otra: ______________________

2) Un recipiente tiene la forma de un cono circular recto invertido y la longitud de su altura es el doble de la de su diámetro. Al recipiente le está entrando agua a una rapidez constante por lo que la profundidad del agua va en aumento. Cuando la profundidad es de 1m la superficie sube a razón de 1cm por minuto. ¿A qué rapidez le está entrando agua al recipiente? (1cm/min = 1/60 cm/s)

A) 1963 cm/s B) 32.7 cm/s C) 19.6 cm/s D) 6.25 cm/s E) Otra:

____________

3) Una tolva con forma de cono recto circular invertido de radio de base R y altura H está siendo llenada con líquido con un caudal constante de 0.5 m³/min. A medida que se produce el llenado el nivel del líquido en la tolva sube. ¿Cuál es la velocidad a la que sube el agua si R=2 m y H=3m y la

altura del

líquido en la tolva es de 1.5 m?

A) 12.7 cm/min B) 32.7 cm/min C) 47.7 cm/min D) 15.9 cm/min E) Otra: _____________________

La caja de un camión transportador de granos está siendo llenada con el grano proveniente de un silo a razón de 0.5 m³/min. El grano forma un cono circular recto cuya altura es constantemente igual a 5/4 del radio de la base. Calcula:

4) ¿A qué velocidad está subiendo el vértice del cono cuando la altura es de 1.50 m?

A) 0.44 m/min B) 0.35 m/min C) 1.20 m/min D) 1.5 m/min E) Otra: ______________________

5) ¿Cuál es la variación del radio de la base del cono en ese momento? A) 0.44 m/min B) 0.35 m/min C) 1.20 m/min D) 1.5 m/min E) Otra: ______________________

6) Un camión descarga arena formándose un montículo que tiene la forma de cono recto circular. La altura h va variando manteniéndose constantemente igual al radio r de la base. Cuando la altura es de 1m. ella está aumentando a razón de 25cm/min. ¿Con qué rapidez está cambiando en ese instante el volumen V de arena?

A) 0.75 m³/min B) 2.36 m³/min C) 0.59 m³/min D) 0.25 m³/min E) Otra: ______________________

7) Está cayendo arena de una tolva a razón de 120π ft³/s. La arena que cae forma una pila cónica sobre el suelo, además la altura del cono es siempre 1/3 del radio de su base ¿Con qué rapidez aumenta la altura cuando la pila mide 20 ft de altura? A) 0.044 ft/s B) 0.060 ft/s C) 0.033 ft/s D) 0.080 ft/s E) Otra: _____________________

8) Un estudiante usa un popote para beber de un vaso de papel cónico, cuyo eje es vertical, a razón de 3cm³/s. Si la altura del vaso es de 10 cm y el diámetro de la base es de 6 cm, ¿con qué rapidez baja el nivel del líquido cuando la profundidad es de 5 cm?

A) 0.42 cm/s B) 0.75 cm/s C) 1.33 cm/s D) 0.13 cm/s

E) Otra: ______________________