6 .- De una cierta función f(x) se conocen los siguientes valores:

(1)INFORMÁTICA Y PROGRAMACIÓN PRIMER PARCIAL. 3 DE ABRIL DE 2013. 8:00 HORAS. Nombre: ……………………………………………………………………………………………………………………………. Grupo: ……………………………. 1. Se considera la función: f(x) = x. 4. - 1,x Î [- 1,3] y el conjunto formado por los puntos {-1,0,2,3}.. Calcular y representar gráficamente los polinomios de base de Lagrange correspondientes a los puntos x=0 y x=2. (x + 1)(x - 1)(x - 2)(x - 3) L1 (x) = = (0 + 1)(0 - 1)(0 - 2)(0 - 3) 1 2 1 = x3 - x2 + x + 1 6 3 6 (x + 1)(x - 1)(x - 2)(x - 3) = (0 + 1)(0 - 1)(0 - 2)(0 - 3) 1 1 1 = - x3 + x 2 + x 6 3 2. L 2 (x) =. 2. Construye la tabla de diferencias divididas para la función f(x) y el soporte de interpolación del ejercicio 1 y obtén la expresión del polinomio interpolador aplicando la fórmula de Newton. -1 0 2 3. f[-1] =0 f[-1,0] = -1 f[0] = -1 f[0,2] = 8 f[2] = 15 f[2,3] = 65 f[3] = 80. f[-1,0,2] = 3 f[0,2,3] = 19. f[-1,0,2,3] = 4. Aplicamos la formula de interpolación de Newton: p(x) = f[- 1] + f[- 1,0](x + 1) + f[- 1,0,2](x + 1)x + f[- 1,0,2,3](x + 1)x(x - 2) = 4x 3 - x 2 - 6x + 1. 3.. Sea la función f(x) = sen(x) + 3x,. x Î [0, p] y el conjunto S={0,/3,/2,2/3,}. Se sabe que. æ p öæ p ÷ öæ ö ççx - ÷ççx - 2p ÷ máx x ççx - ÷ (x - p ) = 1.46 ÷ ÷ çè xÎ [0,p ] øèç øèç ø 3÷ 2÷ 3÷ Obtén una cota del error de interpolación de Lagrange válida para todo punto del intervalo [0, p ], al interpolar la función f(x) empleando el soporte dado por el conjunto S. La cota del error de interpolación viene dada por: máx f V (x) | e(x) |£. xÎ [0,p ]. 5!. æ p÷ öæ p öæ ÷ççx - 2p ö÷ ÷(x - p ) çx - ÷ máx x ççx - ÷ ç xÎ [0,p ] èç øèç øèç ø 3÷ 2÷ 3÷.

(2) Dado que máx | f V (x) |= máx | cos(x) |= 1 (este valor se obtiene para x=0, x=) la cota de error xÎ [0,p ]. xÎ [0,p ]. buscada será: | e(x) |£. 4.. 1 1.46 Þ e(x) |£ 0.012 120. Considera el conjunto de puntos {0,1,2} y la función f(x)=x3+1. Obtén la expresión de un. polinomio p(x) que verifique las siguientes condiciones: p(0)=f(0), p ’(1)=f ’(1), p(2)=f(2) Es evidente que el polinomio p(x)=x3+1 , que coincide con la función a interpolar, verifica las condiciones expresadas en el enunciado.. 5. Se considera la función f(x)=x·e. x. y el soporte {-1, 1, 2}. Se pide:. a) Escribe el sistema de ecuaciones lineales que proporciona los valores de los coeficientes del polinomio interpolador de Lagrange. b) Resuelve el sistema anterior y escribe el polinomio interpolador de Lagrange. Apartado a) El polinomio buscado será de grado menor o igual a dos, ya que el soporte de interpolación está formado por 3 puntos: p(x) = a + bx + cx 2 El sistema de ecuaciones es: 1 e 1 Þ a+ b+ c = e Þ a + 2b + 4c = 2e2. p(- 1) = f(- 1) Þ a - b + c = p(1) = f(1). p(2) = f(2) Apartado b) cuya resolución proporciona los valores: 2e2 1 + e» - 2.33038... a= 3 3e e 1 b= + » 1.54308... 2 2e 2e2 e 1 c= - » 3.50558... 3 2 6e El polinomio interpolador será, por lo tanto: p(x) = - 2.33038 + 1.54308x + 3.50558x 2. 6.-. De una cierta función f(x) se conocen los siguientes valores:.

(3) x 0 0.5 1 2 2.5 4 5 f(x) 1 4 8 9 10.5 9 2 Y se desea realizar una interpolación a trozos en el sentido de Lagrange. La función interpoladora a trozos se compone de polinomios de grado 1 en los intervalos [1,2] y [2,2.5] y polinomios de grado 2 en los intervalos [0,1] y [2.5,5]. Se pide determinar las funciones de base en los puntos x=0.5 y x=1 y dibujarlas aproximadamente en gráficas separadas.  x  0 x 1  4 x  x 2  x  0,1  1 x    0.5  0 0.5  1 0 x  1,5    x  0 x  0.5 2  1  0 1  0.5   x  2 x  x2 2 x     2 x  1 2 0  . 7.-. x  0,1 x  1, 2  x  2,5. Con los datos y las condiciones del ejercicio 6, ¿cuál será el valor interpolado de f(x) en el. punto x=0.3?  x  0.5 x  1  1  3x  2 x 2  0 x    0  0.5 0  1 0 . x  0,1 x  1,5. El polinomio interpolador en el intervalo [0,1] es:. p x   11  3x  2 x 2  4  4 x  x 2  8  x  2 x 2  1  5 x  2 x 2 Luego: f 0.3   p 0.3   2.68. 8.-. Dados los datos y las condiciones del ejercicio 6, se sabe además que las derivadas de la. función f(x) están acotadas por la expresión: f  j x  . 2j , x  0,5. Se desea conocer una cota j!. mínima de error de la función interpoladora a trozos en el intervalo [0,5] y en el punto x=0.3 f     x   n  1! n 1. Intervalo [0,1], n=2. n.  i 0. x  xi .

(4) 1 x  .   f   3!. n.  i0. 23 2 x  0 x  0.5x  1  3! min x  0 x  0.5x  1  min x  0x  0.5x  1 3! 9.  x   x3  3 x 2  0.5 x;  x   3x2  3x  0.5  0  1 x  . x. 1 3  0.21    0.21   0.79   0.04 2 6 0.79. 2 0.04  0.0089 9. Intervalo [1,2], n=1  2 x  .  f   2!. n.  i 0. 22 x  1x  2   2! min x  1x  2   1 min x  1x  2  2!.  x   x 2  3 x  2;  x   2 x  3  0  x . 3 2.  1.5   0.25.  2 x   0.25 Intervalo [2,2,5], n=1. 3  x  .  f   2!. n.  i 0. 22 x  2 x  2.5  2! min x  2 x  2,5  1 min x  2 x  2.5  2!.   x   x  4.5 x  5;  x   2 x  4.5  0  2. x  2.25  2.25   0.25 3 x   0.25. Intervalo [2.5,5], n=2.  4 x  .   f  3!. n.  i 0. 23 2 x  2.5x  4 x  5  3! min x  2.5x  4 x  5  min x  2.5x  4 x  5 3! 9.  x   x3  11.5 x 2  42.5 x  50;  x   3 x 2  23 x  42.5  0 . 4.56  4.56   0.51 x  3.11  3.11  1.03. 2 4 x   1.03  0.23 9 Luego la cota buscada es max 1 , 2 , 3 , 4   0.25 En x=0.3 se está en el intervalo [0,1], por tanto: 2  x   0.3  0 0.3  0.50.3  1  0.0093 9. 9.-. De una función f(x) se conocen los siguientes valores:. f(0) = 1; f(1) = 2; f(3) = 7; f’(0) = 0 Determinar los polinomios spline cuadráticos que interpolan dicha función en el intervalo [0,3]. s0 x   a0  b0 x  c0 x 2 ; s0 x   b0  2c0 x s1 x   a1  b1 x  c1 x 2 ; s1 x   b1  2c1 x.

(5) s0 0   f 0   1  a0.   s0 1  f 1  2  a0  b0  c0   s1 1  f 1  2  a1  b1  c1 a0  1; b0  0; c0  1      s0 1  s11  b0  2c0  b1  2c1   a1  0.25; b1  1.5; c1  0.25 s1 3   f 3  7  a1  3b1  9c1   s0 0   f  0   0  b0 (c.a.)  s0 x   1  x 2 s1 x   0.25  1.5 x  0.25 x 2. 10.- Demostrar que f[x ,x ,…,x ] = f[x ,x 0. 1. k. k. k-1,…,x0].. Indicación: tomar los soportes {x0,x1,…,xk} y. {xk,xk-1,…,x0} y construir los correspondientes polinomios interpoladores. Consultar, por ejemplo, “Métodos de aproximación” de Michavila & Conde (1987)..

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