CÁLCULO GRÁFICO DE LÍMITES

(1)

CÁLCULO GRÁFICO DE LÍMITES

EJERCICIO 1 : Sobre la gráfica de f(x), halla :

4 6 8

2

6 8 2 4 42 86

2 4 6 Y

X

 

x f lim x

a)

 

x f lim x

b)

 

x f lim x_₂ c)

 

x f lim x_₂ d)

 

x f lim x 0 e)



Solución:a)

 

1

  f x

lim

x b)xlimf

 

x 1 c)_xlim_₂f

 

x  

 





x f lim x 2

d) e)

 

1

0 

 f x

lim x

EJERCICIO 2 : A partir de la gráfica de f(x), calcula:

4 6 8 Y

X 2

6 8 2 42 8 6

2 4 6

4

 

x f lim x

a)

 

x f lim x

b)

 

x f lim x1 c)

 

x f lim x1 d)

 

x f lim x 5 e)

 

Solución:

 



  f x

lim x

a)

 



  f x

lim x

b) c)

 

2

1  

 

x f lim

x

 

3 d)

1  

 

x f lim

x

 

0 e)

5 

  f x

lim x

EJERCICIO 3 : Representa gráficamente los siguientes resultados:

 



  f x

lim x

a)

 



  g x

lim x b)

Solución:

a) b)

EJERCICIO 4 : Representa los siguientes límites:

 



 

 

 _



x f lim x

f lim

x

x 2 2

Solución:

2

EJERCICIO 5 : Representa en cada caso los siguientes resultados: a)

 

2

  f x

lim

x b)xlimg

 

x 

Solución: a)

2

o bien

2

(2)

EJERCICIO 6 : Representa gráficamente: a)

 

1

  f x

lim

x b)xlim1g

 

x 0 Solución:

a) 1

o bien

1

b) Por ejemplo:

1

EJERCICIO 7 :

 

, sabemosque:

3 1 función

la Para

  

x x x

f 

  

  

  

 3

1 y

3 1

3

3 x

x lim x

x lim

x x

Representa gráficamente estos dos límites. Solución:

3

CÁLCULO DE LÍMITES INMEDIATOS

EJERCICIO 8 : Calcula los siguientes límites: 3

2 4

a) ₂

3 _ _

 _x _x

lim

x b) 9

2

3 

 x

lim

x c)limx0cosx

1 3 d)

2

2 _ _



 _x _x

x lim

x xlim x

3 6 e)

1



 

Solución:

9 2 18

4 3 6 9

4 3 2 4

a) ₂

3 _ _  _ _  

 _x _x

lim

x b) 9 9 9 0 0

2

3     

 x

lim

x c)limx0cosx cos01

d)

7 1 1 2 4

1 1 x x

3 x lim

2 2 x

   





e) lim 6 3x 6 3 9 3

1 x

    

 

EJERCICIO 9 :

 

en 1 yen 3.

2 3 función

la de límite el Calcula

4

 

 

 x x x x

x f

Solución:

6 1 2 1 3

1 2 3

4

1  

      

  

 



x x lim

x 2

51 2 3 27 2

3 4

3     

  

  

 



x x lim

x

EJERCICIO 10 : Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas:

x x x

x lim

x _ _



3 3 ₂ 2

2 2 a)

x x x

x lim

x _ _





 3 ₂ 2

2 2 b)

x x x

x lim

x _ _



1 3 ₂ 2

2 2 c)

Solución:

3 1 12

4 2

2 2

a) ₃ ₂

3 _ _  



 _x _x _x

x lim

x

0 2

2 2

b) ₃ ₂ 

 





 _x _x _x

x lim

x











1



2 1

1 2 2

2 2 c)

1 2 1

2 3

1 

 

 

 



 

 x x

lim x

x x lim x x x

x lim

x x

x

Hallemos los límites laterales:







 









 _

 1

2 ;

1 2

1

1 x x

lim x

x lim

x x

2

1 3

(3)

EJERCICIO 11 : Resuelve los siguientes límites y representa gráficamente los resultados obtenidos: 18

12 2

3

a) ₂

2

1  



 x x

x x lim

x 2 12 18

3

b) ₂

2

 





 x x

x x lim

x 2 12 18

3

c) ₂

2

3  





 x x

x x lim x

Solución:

8 1 32

4 18 12 2

3

a) ₂

2

1 _ _  



 _x _x

x x lim

x

2 1 18 12 2

3

b) ₂

2

  





 _x _x

x x lim

x







3



2



3



2

3 18

12 2

3 c)

3 2 3

2 2

3 _  _

 

 



  

 

 _x

x lim x

x x lim x

x

x x lim

x x

x

Hallamos los límites laterales:







 









 __



 2 3

; 3

2 3

3 x

x lim x

x lim

x x

1

1

2

3

1

EJERCICIO 12 : Halla los límites siguientes y representa gráficamente la información que obtengas:

4 4

4 2

a) ₂

3 4

1 _ _



 _x _x

x x lim

x ₄ ₄

4 2

b) ₂

3 4

 





 _x _x

x x lim

x ₄ ₄

4 2

c) ₂

3 4

2 _ _





 _x _x

x x lim x

Solución:

3 2 9 6 4 4

4 2

a) ₂

3 4

1 _ _  



 _x _x

x x lim

x

   





 ₄ ₄

4 2

b) ₂

3 4

x x

x x lim

x









2

2 2

4 4

4 2 c)

3

2 2

3

2 2

3 4

2 _  _

 

 



  

 

 _x

x lim x

x x lim x

x

x x lim

x x

x

Hallamos los límites laterales:    



 

 __



 2

2 ;

2

2 3

2 x

x lim x

x lim

x x

1 1 2

1

EJERCICIO 13 : Halla los siguientes límites y representa los resultados que obtengas:

3 6 3

a) ₂

2

2 _ _

 

 _x _x

x x lim

x b) ₃ 2 ₆ ₃

2

 

 



 _x _x

x x lim

x c) ₃ 2 ₆ ₃

2

 

 



 _x _x

x x lim x 1

Solución:

9 2 27

6 3 6 3

a) ₂

2 2

     

 

 _x _x

x x lim

x

3 1 3 6 3

b) ₂

2

   

 



 _x _x

x x lim

x







₁



3



1



3

1 3

6 3 c)

1 2 1

2 2

1 _

 

     

 

  

 

 _x

x lim x

x x lim x

x x x lim

x x

x













 

  



 __



 3 1

; 1

3 1

1 x

x lim x

x lim

x x

EJERCICIO 14 : Calcula los límites siguientes y representa gráficamente los resultados que obtengas:

4 4

2

a) ₂

2

0 _ _

 

 _x _x

x x lim

x ₄ ₄

2

b) ₂

2

 

 



 _x _x

x x lim

x ₄ ₄

2

c) ₂

2

 

 

 _x _x

x x lim x 2

(4)

2 1 4

2 4 4

2

a) ₂

2 0

     

 

 _x _x

x x lim

x

1 4 4

2

b) ₂

2

  

 



 _x _x

x x lim

x

















2



1 2

1 2 4

4 2 c)

2 2

2 _

 

   

 

 

 

 _x

x lim x

x x lim x

x x x lim

x x

x

Hallamos los límites laterales:     

 



 _

 2

1 ;

2 1

2

2 x

x lim x

x lim

x x

1 2

1 1

CÁLCULO DE LÍMITES

EJERCICIO 15 : Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas:



3



a) 2

1    x

lim

x ₂

_

₂

_

2

1 b)



 _x

lim

x c) 2 ₁

2

1 _





 _x

x x lim

x

4 4

4 d)

2 2

2 _ _



 _x _x

x lim

x 



 

 

 



 

x x lim

x

2 3 e)

2

1 3 2 f)

4 4

 



 _x

x x lim

x

1 3 2 g)

4 4

 



 _x

x x lim

x ₁ 2

1 2 h)

x x lim

x _





 ₁ 2

1 2 i)

x x lim

x _



 



₃



3

j) lim x

x  1

k)

3





 x

x lim

x

Solución:



3



1 3 2

)

a 2

1    



 x

lim

x









2 2

x _x ₂

1 lim b)

2











2 1 2 1 1 x

x lim

1 x 1 x

1 x x lim 1 x

x x lim )

1 x

1 x 2 2

1 x

 

  

  

 

 

 

  



c











x 2

2 x lim 2

x 2 x 2 x lim 4 x 4 x

4 x lim

2 x 2 2

x 2

2

x 

  

  

 



 

 d)

   

   

 

 

2 2 2 2

2 2

x x lim

x x

   

 

 

 



 

x 2 3 x lim

2

x

e)

2 1 x

x 3 x 2 lim

4 4

x

  

 

f) 2

1 x

x 3 x 2 lim

4 4

x

  

 

g) 0

x 1

1 x 2 lim

2

x _ 



 

(5)

0 x 1

1 x 2 lim

2

x _ 



 

i)









 

3 x

x 3 lim j)

  



 x 1

x lim

3

x

k)

EJERCICIO 16:Hallaellímitecuando x delassiguientesfunciones yrepresentagráficamente la información que obtengas:

 

1

2 2 a)

3

 

 x x

x

f

 

5 2 3 b)

3 2

x x x

f   

Solución:

      

  

 



 ₂ ₂ 1

a)

3

x x lim

x 

 



 5

2 3 b)

3 2

x x lim

x

EJERCICIO 17 : Calculaellímitecuando x  ycuando x delasiguientefunción y representa la información que obtengas:

 

3 4 2

1 x2 x x

f   

Solución:

    

  

  

 3

4 2 1 3

4 2

1 2 x2 x

lim x

x lim

x x

EJERCICIO 18 : Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados obtenidos:





2

4 a) lim x

x 





2

4 b) lim x

x 

Solución:









 

2 4

a) lim x

x 







 

2 4 b) lim x

x

EJERCICIO 19 : Calcula los siguientes límites y representa el resultado que obtengas: 

   

  

 



 x

x x lim

x ₃ ₄

a)

2

    

  

 



 x

x x lim

x ₃ ₄

b)

4

Solución:

      

  

 

 

x x x lim

x 3 4

a)

2

      

  

 

 

x x x lim

x 3 4

b)

(6)

CÁLCULO DE LÍMITES EJERCICIO 20 : Calcula:



e x 1



a) x 2

x  

lím

2 4

x _x

x 3 x b)

log

lím 



 

 

 

   

1 x x 3

c) 2 9

x

lím

1 x

e d)

x

x 

lím

x 2 x 3 e)

2

x log

lím 



 x ₂x

1 x

f) 

 

lím



x 2



x 2 x

g) 

 

lím

 

x 1 x h)

2

x



 

ln lím



x x



i) 3

x

log

lím 



 x 1

3 j)

2 x

x _

lím

Solución:



 







 1

a) _lím _ex _x2

x

Porque una exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a una potencia. 

  



  

 2

4

2

4 ₃ ₃

b)

x log

x x lím x

log x x lím

x x

Porque una potencia es un infinito de orden superior a un logaritmo.

    

 

  

   

   

 

 

  



2 9

x 9

2

x 3x x 1 x

c) lím lím

0 0 1 x e 1

x e )

d

x

x x

x

      





  



lím lím

  



 x

2 x 3 e)

2

x log

lím

Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logaritmos. 

   



   

 x x x

x ₂

1 x 2

1 x

f) lím lím









 

2 x

x 2 x

g) lím

Porque una exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a una potencia.

 

₀

x 1 x x

1 x h)

2

x 2

x  

 



  



ln lím ln

lím

Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logaritmos.











 x x

i) 3

x

log lím

Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logaritmos. 0

0 1 x

3 1

x 3 j)

2 x

x 2

x

     





  



lím lím

EJERCICIO 21 : Halla los límites:

   

 

  

 5x 2x 3x

a) 2

x

lím

x 2 x

1 x 3 x b)

6 2

x _

 



lím ₂_x ₁

1 x 2 3 c)

4 4

x _

 

  lím

   

   

  





 _x ₁

x 2 x

1 x d)

2 3 2

x

lím

1 x 3 x 5

2 x 3 e)

2

x _ _



 

lím _

  

 

   

x 2 x 3 x

f) 2

x

lím _

  

 

  



x 2 1 x 3

g) 2

x

lím

2 x

1 x 2 h)

4

3 5

x _



  lím

   

   

   

 _x ₁

x 1 x

x 3 i)

2 3 2

x

lím

1 x 3

3 x 2 j)

2

x _



 

lím

(7)

         _ _       _ _      _ _   

 _x _x _x

x x x x x x lím x x x lím x

x ₅ ₂ ₃

3 2 5 3 2 5 3 2 5 a) 2 2 2 2                 x x x x x lím x x x x x x lím x x 3 2 5 2 4 3 2 5 9 2 5 2 2 2 2 2 0 2 1 3 2 1 3 b) 6 2 6 2             x x x x lím x x x x lím x x 2 2 2 1 x 2 1 x 2 3 1 x 2 1 x 2 3 c) 4 4 x 4 4 x                lím lím                                

 _x _x ₂_x ₂

x 2 x 1 x ) 1 x ( ) 2 x ( ) 2 x ( x ) 1 x ( ) 1 x ( 1 x x 2 x 1 x d) 2 3 3 4 4 x 2 3 2 2 x 2 3 2 x lím lím lím 2 2 2 1 2 2 3 3         

 _x _x _x

x lím x 5 5 3 5 3 1 x 3 x 5 2 x 3 e) 2

x _ _  

   lím                                          

 _x ₃_x ₂_x

x 2 x 3 x x 2 x 3 x x 2 x 3 x x 2 x 3 x f) 2 2 2 x 2 x 2 x lím lím lím                 x x x x x lím x x x x x x lím x x 2 3 3 3 2 3 4 3 2 2 2 2 2                                      

 ₃_x ₁ ₂_x

x 4 1 x 3 x 2 1 x 3 x 2 1 x 3 x 2 1 x 3 x 2 1 x 3 g) 2 2 2 x 2 2 2 x 2 x lím lím lím          x x x lím x 2 1 3 1 2 2 0 2 x 1 x 2 2 x 1 x 2 h) 4 3 5 x 4 3 5 x            lím lím                                    

 _x _x _x ₁

x x x 3 x 3 ) 1 x ( ) 1 x ( ) 1 x ( x ) 1 x ( x 3 1 x x 1 x x 3 i) 2 3 3 4 2 4 x 2 3 2 2 x 2 3 2 x lím lím lím           ₁ 3 2 2 3 2 3 4 x x x x x x lím x 3 3 2 3 2 1 x 3 3 x 2 1 x 3 3 x 2 j) 2 x 2 x               lím lím

EJERCICIO 22 : Calcula:

a) 3 2 3 2 3 1

x ₃_x ₈_x ₇_x ₂

1 x 3 x 2       lím b) 1 1 x 2 4 x 2 0

x  

   lím c) 1 x x x 2 x x 3 2 3 2 1

x   

 

  lím

d) _

        

 x 3

1 x 9 x x 2 2 3 x lím e) 4 x 3 x 10 x x 2 2 3 2 2

x  

 

 lím

Solución:

a)



 





 



3 3 1 x 3 2 2 1 x 3 2 3 2 3 1 x 3 2 x 3 1 x 2 1 x 2 x 3 1 x 1 x 2 2 x 7 x 8 x 3 1 x 3 x 2                  lím lím lím

b) 

                           

 (x 1 1) ( 2x 4 2)

(8)

1 4 4 2 4 x 2 ) 1 1 x ( 2 ) 2 4 x 2 ( x ) 1 1 x ( x 2 0 x 0 x               lím lím

c)









 









(0)

5 1 x 1 x 2 x 3 1 x 1 x 2 x 3 1 x 1 x x x 2 x x 3 1 x 2 1 x 2 3 2 1 x                       lím lím lím

















           

 x 1 x 1

2 x 3 ; 1 x 1 x 2 x 3 1 x 1 x lím

lím  No existe

d)



 





 









 





                      

 x 3 x 3

3 x 4 x x 2 3 x 3 x 3 x 1 x x 2 3 x 1 x 9 x x 2 2 3 x 3 x 2 3

xlím lím lím



 



(0)

18 3 x 3 x 3 x 2 x2 3 x          lím

















             

 x 3 x 3

3 x 2 x ; 3 x 3 x 3 x 2 x 2 3 x 2 3

xlím lím  No existe

e)



















(0)

9 2 x 1 x 5 x 2 2 x 1 x 2 x 5 x 2 4 x 3 x 10 x x 2 2 x 2 2 x 2 3 2 2

x   

              lím lím lím

















         _

 x 1 x 2

5 x 2 ; 2 x 1 x 5 x 2 2 x 2

xlím lím

 No existe

EJERCICIO 23 : Calcula los límites:

a) x 1

x 3

2 1

x x x 6

4 x 2             

lím b) x 2

x

2 2

x x 2x 4

2 x 3             

lím c) x 3

x 2 2

3

x 4x 4

1 x x 2              lím

d) x

3 2

0

x 5x 1

1 x 3 x            

lím e) x 1

1 2

1

x x 1

3 x 2 x              lím Solución:

a) _    

                                          

 ₍_x _x ₆₎₍_x ₁₎

) x 3 ( ) 2 x 3 x ( 1 x x 3 · 6 x x 6 x x 4 x 2 1 x x 3 · 1 6 x x 4 x 2 1 x x 3 2 1 x 2 2 1 x 2 2 1 x 2 1 x e e e 6 x x 4 x

2 lím lím lím

lím 2 1 6 3 6 x x ) 2 x ( x 3 ) 1 x ( ) 6 x x ( ) 1 x ( ) 2 x ( x 3

e

x 1 2 x 1 2



            lím lím

b) _    

                                          

 ₍_x ₂_x ₄₎₍_x ₂₎

x ) 6 x 5 x ( 2 x x · 4 x 2 x 4 x 2 x 2 x 3 2 x x · 1 4 x 2 x 2 x 3 2 x x 2 2 x 2 2 2 x 2 2 2 x 2 2 x e e e 4 x 2 x 2 x

lím 2 1 4 2 ) 4 x 2 x ( ) 3 x ( x ) 2 x ( ) 4 x 2 x ( ) 2 x ( ) 3 x ( x

e

x 2 2



x 2 2



            lím lím

c)    

           _  _  _                          3 x x 2 · 4 x 4 3 x 5 x 2 3 x x 2 · 4 x 4 4 x 4 1 x x 2 3 x x 2 · 1 4 x 4 1 x x 2 3 x x 2 2 3 x 2 3 x 2 3 x 2 3 x e e e 4 x 4 1 x x

lím





 









 





8

21 16 42 4 x 4 x 2 1 x 2 3 x 4 x 4 x 2 3 x 1 x 2 e e e

ex 3  x 3  

         lím lím d)









_                                            

 _x₅_x ₁

8 x x 3 x 3 · 1 x 5 x 8 x x 3 · 1 x 5 1 x 5 1 x 3 x x 3 · 1 1 x 5 1 x 3 x x 3 2 0 x 0 x 2 0 x 2 0 x 2 0 x e e e e 1 x 5 1 x 3

x lím lím lím lím

lím





24 1 x 5 8 x 3 e

ex 0 _ 



  lím

e)    

           _ _                               1 x 1 · 1 x 2 x 3 x 1 x 1 · 1 x 1 x 3 x 2 x 1 x 1 · 1 1 x 3 x 2 x 1 x 1 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x e e e 1 x 3 x 2

x lím lím lím

lím



 





 



2

1 1 x 2 x 1 x · 1 x 1 x · 2 x e e

ex 1 x 1

        

  lím

(9)

EJERCICIO 24 : Calcula estos límites:

2 x

x 2x 1

x 3 2 a)            lím 1 x 2 x 2 5 x 2 x 2 1 b)           lím 3 x 2

x 4 5x

2 x 5 c)           lím 1 x x 2 5 x 3 2 x 4 d)           lím 3 x 2 x x 1 2 e)          lím 2 1 x 2 2

x ₂ ₃_x

x 3 f)             lím x 2 2 2

x _x ₂

1 x g)             lím x 2 2

x ₃_x ₉_x

7 x 4 h)             lím 2 x

x 3x 2

1 x 2 i)           lím 1 x

x 3 2x

2 x 2 j)           lím Solución:                                  ₂ 3 1 2 3 2 1 2 3 2

a) 2 2

x x x x _x x lím x x lím









0 5 2 2 1

b) 2 5

4 8 1 2 · 5 2 5 2 2 1 1 2 · 1 5 2 2 1 1

2 2 2 2 2

                                             

 _e _e _e

e x x lím x x lím x x x x lím x x x lím x x x x x 5 4 15 12 x 15 12 x 12 3 x 2 · x 5 4 x 5 4 2 x 5 3 x 2 · 1 x 5 4 2 x 5 3 x 2 x e e e e e x 5 4 2 x 5

c) x x x

                                   

   lím

lím lím lím                                    3 4 5 x 3 2 x 4 5 x 3 2 x 4 d) 1 x x 1 x x 2 2 lím lím 0 2 x 1 2 x 1 2 e) 3 x 2 x 3 x 2 x                          lím lím 1 e e e e x 3 2 x 3

f) 4 6x 0

2 x 2 2 1 x · x 3 2 x 3 2 x 3 2 1 x · 1 x 3 2 x 3 2 1 x 2 2 x 2 x 2 2 2 x 2 2 x                                                        

 lím lím

lím lím 1 e e e e 2 x 1 x

g) x 2 0

x 6 x 2 · 2 x 2 x 1 x x 2 · 1 2 x 1 x x 2 2 2 x 2 x 2 2 2 x 2 2 x                _ _                        

 lím lím

lím lím 0 4 3 3 4 x 9 x 3 7 x 4 x 9 x 3 7 x 4 h) x 2 2 x x 2 2

x  

                                        lím lím 0 3 2 2 x 3 1 x 2 2 x 3 1 x 2 i) 2 2 x x x x                                 lím lím









2 5 x 2 3 5 x 5 1 x · x 2 3 x 2 3 2 x 2 1 x · 1 x 2 3 2 x 2 1 x x e e e e x 2 3 2 x 2

j) x x x

                                     

   lím

lím lím

lím

EJERCICIO 25 : Halla los límites:            1 x x 3 x

lím 2 2

x a) 9 x 3 x 5 x 3 x lím 2 3 3

x _ _ _

  b) 1 x 2 x x x lím 2 3 1

x _ _



 c)

1 x

x 4 3x

2 x 3 lím           d) 2 x x 3 x lím 2 5 3 x _   

e) _

         

 x 2

1 x 4 x x 3 lím 2 2 x f) 2 x x 6 x x lím 2 2 2

x  

   g) _          x x lím x 2 x h)            

 _x ₁

x 3 1 x x 3 lím 2 3 2 x

i) x 1

1

x 2x 2

(10)

          _ _ _       _ _ _      _ _ _   

 ₃ ₁

1 3 1 3 1 3 a) 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x lím x x x lím x x





_                           1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x lím x x x x x x lím x x x x x x lím x x x 2 3 3      

 _x _x

x lím x ) 0 ( 1 ) 1 ( ) 3 ( 1 ) 1 ( ) 3 ( 3 9 3 5 3 b) 3 2 3 2 3

3 _ _  _ _ 

       

 _x _x lím _x _x

x lím x x x x lím x x x

          

 (x 3)(x 1)

1 lím ; ) 1 x ( ) 3 x ( 1 lím 3 x 3 x

 Como son distintos  No existe el límite



 







) 0 ( 2 1 x 1 x x lím ) 1 x ( 1 x 1 x x lím 1 x 2 x x x lím 1 x 2 1 x 2 3 1 x               c)









          _  1 1 ; 1 1 1 1 x x x lím x x x lím x

x _{ Como son distintos  No existe el límite}

 













           _  _    _                 

 ₃_x ₄

6 x 6 lím 1 x · x 3 4 x 3 4 2 x 3 lím 1 x · 1 x 3 4 2 x 3 lím 1 x x x x x e e e 1 x 3 4 2 x 3 lím d) 2 2 1 e e    0 x x lím 2 x x 3 x lím 2 x x 3 x lím 5 3 x 2 5 3 x 2 5 3 x                e)



 



                        

 _x ₄

2 x 3 x x 3 lím 4 x 2 x 1 x x 3 lím 2 x 1 x 4 x x 3 lím 2 2 2 x 2 2 x 2 2 x

f) (0)

6 4 2 2 2 2        _x x lím x

            _  ₄ 2 ; 4 2 2 2 2 2 2 2 _x x lím x x lím x

x _{ No existe el límite}

3 5 1 x 3 x lím ) 1 x ( ) 2 x ( ) 3 x ( ) 2 x ( lím 2 x x 6 x x lím 2 x 2 x 2 2 2 x                 g)                                          

 _x _x _x

x x x x . x x lím x x x lím x x x lím 2 2 2 x 2 x 2 x h) 2 1 2 2 2 2 2                         _x x lím x x x lím x x x x lím x x x x x x lím x x x x





3 1 x x 3 lím 1 x x 3 x 3 x 3 lím 1 x x 3 1 x x 3 lím 1 x x 3 1 x x 3 lím 2 2 x 2 3 2 3 x 2 3 2 x 2 3 2 x                              i)

 

4

1 2 x 2 1 lím ) 1 x ( ) 2 x 2 ( 1 x lím 1 x 1 · 2 x 2 2 x 2 3 x lím 1 x 1 · 1 2 x 2 3 x lím 1 x 1 1 x e e e e e 1 2 x 2 3 x

lím x 1 x 1 x 1 x 1

(11)

CONTINUIDAD

EJERCICIO 26 : La siguiente gráfica corresponde a la funciónf

(

x

)

:

4 6 8

Y

X

2

6 8 2

4 2

8 6

2

4

6 4

Di si es continua o no en x  1 y en x  2. Si en alguno de los puntos no es continua, indica cuál es la causa de la discontinuidad.

Solución:

En x  1 no es continua porque presenta un salto en ese punto. Observamos que limf

 

x limf

 

x x

x 

 1 1

. En x  2 sí es continua.

EJERCICIO 27 : A partir de la gráfica de f(x ) señala si es continua o no en x  0 y en x  3. En el caso de no ser continua, indica la causa de la discontinuidad.

4 6 8

2

2

6 8 2 4 4 2

8 6

4

6

Y

X

Solución:

En x = 0, sí es continua.

En x = 3 es discontinua porque no está definida, ni tiene límite finito. Tiene una rama infinita en ese punto (una asíntota vertical).

EJERCICIO 28 : Dadalagráficade f

 

x :

4 6 8

2

6 8

2 4

42 8 6

2 4 6

Y

X

a) ¿Es continua en x  1? b) ¿Y en x  2?

Si no es continua en alguno de los puntos, indica cuál es la razón de la discontinuidad.

Solución:

a) Sí es continua en x  1.

b) No, en x  2 es discontinua porque no está definida en ese punto. Como sí tiene límite en ese punto, es una discontinuidad evitable.

EJERCICIO 29 : Averigua si la siguiente función es continua en x  2:

 

  

 

 

2 si

2

2 si

2

x x

x f

Solución:

 





 





 

x f

 

. f

lim x

f

x lim x f lim

x x

x

x x

2 porque

2 en continua Es

4 2

2 2

2

2 2

 

    



  

 

 



 

 

(12)

12

EJERCICIO 30 : Comprueba si la siguiente función es continua en x  0. f

(

x

)

    

 

 



0 si

2 2

0 si

1 2 2

x x

Solución:

 





 

0 . porque

0 en continua Es

1 0

1 2

2 1 1 2

0 0

0

2 0 0

f x f lim x

f

x lim x f lim

x x

x

x x

 

 

  

 

 

         

   

 



 

 

 

EJERCICIO 31 : Hallaelvalordekparaque f

 

x seacontinuaen x1:

 

  

  



1 si

1 2

x k

x x

x f

Solución:

En x  1:

 





 

      

      

  

    



  





 



 



3 1 1 . 2 ) 1 ( f

. k

x f lim

3 1 x 2 lim x f lim x

f lim

1 x

1 x 1

x 1

x k = 3

Solución: f continua en x = 1 si k = 3

EJERCICIO 32 : Estudia la continuidad de las siguientes funciones y represéntalas gráficamente: a)

 

  

  



0 si 2

0 si

2 2

x x

x

f b)

 

  

 

 

1 si

1

1 si

2 2

x x

x

f c)

 

  

  

  



1 si

1

1 si

1 2

x x

x f

d)

 

  

 

 

0 si

1

0 si

1 2

x x

f e)

 

    

 

 

2 si

1 2

2 si

2 2

x x

x

f f)

 

  

  



2 si

1

2 si

3 2

x x x

x f

g)

 

    

 

 

1 si 2

1 3

1 si 2

x x

x

f h)

 

  

  



0 si

1

0 si

2 2

x x x

x

f i)

 

  

 

  



2 si

3 2

2

x x

x f

j)

 

  

 

 



0 si

1

0 si

1 2

x x

x f

Solución: a) Continuidad:

 f continua en R – {0}

 En x  0:

 





 

  

   

 

 

  

 

  

    

 

  



 

 

 



2 0 2 ) 0 ( f

. 0 x 2 lim x f lim

2 x 2 lim x f lim x

f lim

2

0 x 0

x

2 0 x 0

x 0

x f discontinua inevitable de salto finito(2) en x=0

Representación:

 

  

  



0 si 2

0 si

2 2

x x

x f

parábola. de

un trozo es

, 0 x Si 

 (Vx = 0)

recta. de trozo un es , 0 Si 

 x

X - -2 -1 0 0+ 1 +

Y - -2 1 2 0 2 + 4

2

4 2 4

2 4

Y

(13)

b) Continuidad

 En x  1:

 





  

   

 

 

  

 

 

    

  

 



 

 

 



2 1 . 2 ) 1 ( f

. 2 1 x lim x f lim

2 x 2 lim x f lim x

f lim

2

1 x 1

x

2 1 x 1

x 1

x f continua en x = 1

 Solución: f continua en todo R. Representación

parábola. de

un trozo es

, 1 x Si 

 (Vx = 0)

recta. de trozo un es , 1 Si 

 x

X - -2 -1 0 1 1+ 2 +

Y + 8 2 0 2 2 3 +

4 2 2

2 4

2 4 6 8 Y

X

c) Continuidad

 f continua en R – {-1}

 En x  -1:

 





 





 

  

 

 

  

 

    

    

  

  



 

 

  



  



 

0 1 1 ) 1 ( f

. 0 1 x lim x f lim

0 1 x lim x f lim x

f

lim ₂

1 x 1

x

1 x 1

x

1

x f continua en x = -1

 Solución: f continua en todo R. Representación:

recta. de un trozo es

, 1 x Si   

parábola. de

trozo un es , 1 Si 

 x (Vx = 0)

X - -2 -1 -1+ 0 1 2 +

Y - -1 0 0 -1 0 3 +

4

6 2

2

4

6 2 4

2 4

Y

X

d) Continuidad

 En x  0:

 





 

  

 

 

  

 

 

    

  

 



 

 

 



1 1 ) 0 ( f

. 1 x 1 lim x f lim

1 1 lim x f lim x

f lim

2 0 x 0

x

0 x 0

x

0

 Solución: f continua en todo R Representación:

. horizontal recta

de un trozo es

, 0 x Si  

parábola. de

trozo un es , 0 Si 

 x (Vx = 0)

X - -1 0 0 1+ 2 +

Y 1 1 1 1 0 -3 -

4 2

6

2

4

6 2 4

2 4

Y

(14)

e) Continuidad:

 En x  2:

 





   

    

 

   

    

 

 

      

  

  

 

 

   

 

 

 



2 2 2 ) 2 ( f

. 5 1 x 2 lim x f lim

2 2 x lim x f lim x

f lim

2

2 x 2

x

2

2 x 2

x 2

x

f discontinua inevitable de salto finito(3) en x=2

Representación:

parábola. de

un trozo es

, 2 x

Si 

 (Vx = 0)

recta. de un trozo es

, 2 x

Si 



4 2 6

2 2

2 4 6 Y

X 4

6 8

f) Continuidad:

 En x  2:

 





 

  

   

 

 

  

 

  

    

 

  



 

 

 



1 3 2 ) 2 ( f

. 1 1 lim x f lim

1 3 x lim x f lim x

f lim

2

2 x 2

x

2 2 x 2

x 2

Si x  2, es un trozo de parábola. (Vx = 0)

Si x > 2, es un trozo de recta horizontal. X - -2 -1 0 1 2 2+ 3 + Y + 1 -2 -3 -2 1 1 1 1

g) Continuidad

 En x  1:

 

  

   

 

  

   

 

 

      

     

 



 



 

 

 



1 1 ) 1 ( f

. 1 2

1 x 3 lim x f lim

1 x lim x f lim x

f lim

2

1 x 1

x

2 1 x 1

x

1

Si x  1, es un trozo de parábola. (Vx = 0)

Si x > 1, es un trozo de recta.

X - -2 -1 0 1 1+ 2 + Y + 4 1 0 1 1 5/2 +

h) Continuidad

 En x  0:

 





 

 

  

 

 

  

 

  

    

 

  



 

 

 



2 0 2 ) 0 ( f

. 1 1 lim x f lim

2 x 2 lim x f lim x

f lim

0 x 0

x

2 0 x 0

x 0