MAT EXAMEN TIPO A

Texto completo

(1)

MAT EXAMEN TIPO A

PROBLEMA 1 (2 PUNTOS) Resuelva la E.D.O. de primer orden reducible a exacta:

2

2

( )

( )

x

dy

y

Sec x

dx

x

Solución:

2 2

2

1

2

2 2

2

2

2

0

2

2

1

1

1

1

2

1

1

2

0

2

0

2

 

 

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

(

)

( )

(

( ))

( )

( )

x dx

Px dx Ln x

x

x x

dy

Sec x

Sec x

x

y

y

dx

x dy

dx

x

x

Sec x

M

N

M

y

N

x

x

y

x

P

e

e

e

x

x

x

x

Sec x

x y

dx x x dy

xy Sec x

dx

x

dy

x

M

M

xy Sec x

y

2

2 2 2 2 2

2

2

2

2

0

 

( ) ( ) ( )

( )

(

( ))

( )

( )

y y y

y

N

x

N

x

x

x

F

F

xy Sec x

dx y x

Tan x

c

x

c

x

c

x

y

(2)

PROBLEMA 2 (2 PUNTOS) Resuelva la E.D.O. de primer orden del tipo Bernoulli:

1

1

ln( )

dy

y

y

dx

x

x

x

Solución:

1

1 1 1 2

1 1

2

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

  

 

 

 

( )

ln(ln( )) ln( )

ln( )

ln( )

ln( )

ln( )

ln( )

ln( )

ln( )( )

ln ( )

ln( )

ln( )

n

dx

x x x

dy

y

z

y

n

z

y

y

y

z

y y

y

dx x

x

x

y

z

y

y

y

z

y y

y

z

y

z

z

y x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

e

e

x

z

x

dx c

x

x

x

x

2

2

 

ln ( )

ln( )

ln ( )

ln ( )

ln( )

ln( )

c

c

x

x

c

c

y

x

y

x

(3)

PROBLEMA 3 (4 puntos)

Los tanques A y B contienen 50 lts de agua pura cada uno, inicialmente se disolvieron 10 kg de sal y 6 kg de

sal respectivamente. Se bombea líquido hacia y desde los tanques, en las proporciones indicadas en el

esquema de abajo. Deducir las ecuaciones diferenciales para x(t) y y(t), que proporcionen los kgs de sal que

están presentes en un instante cualquiera en ambos tanques. Calcule la cantidad de sal contenida en cada

tanque después de 10 minutos de operación.

Solución: Sean x

(t)

y y

(t)

las cantidades de sal (lb) que hay en el tanque A y en el tanque B en un instante

cualquiera. La rapidez neta con que x

(t)

y y

(t)

varían están dadas por las siguientes expresiones.

Rs

Re

dt

dx









sale

sustancia

la

que

con

rapidez

entra

sustancia

la

que

con

rapidez

dx

y

x

= (2 lt / min)(0.0 kg / lt) + (4 lt / min)(

kg / lt) - (6 lts / min)(

kg / lt)

dt

50

50

dy

x

y

= (4 lt / min)(

kg / lt) + (2 lt / min)(0.0 kg / lt) - (6 lt / min)(

kg / lt)

dt

50

50

De esta forma se obtiene el sistema de ecuaciones diferenciales homogéneo

dx

6

4

= -

x +

y

dt

50

50

dy

4

6

=

x -

y

dt

50

50

Este sistema está sujeto a las condiciones iniciales x

(0)

=10 kg de sal y y

(0)

=6 kg de sal.

Tanque B

50 lts

Tanque A

50 lts

2 lts/min

Agua

2 lts/min

Mezcla

4 lts/min

Mezcla

4 lts/min

Mezcla

2 lts/min

Mezcla

x(0) = 10 kg sal

y(0) = 6 kg sal

(4)

Método de sustitución.

2 2

2 2

2

2

2 2

dx

6

50

50 dx

6

dx

6

4

y =

+

x

y =

+

x

+

x -

y = 0

dt

50

4

4 dt

4

dt

50

50

4

dy

6

d 50 dx

6

6

50 dx

6

4

-

x +

+

y = 0

+

x +

+

x -

x = 0

50

dt

50

dt

4 dt

4

50

4 dt

4

50

50 d x

6 dx

6 dx

9

4

50 d x

dx

5

+

+

+

x -

x = 0

+ 3

+

x = 0

4

dt

4 dt

4 dt

50

50

4

dt

dt

50

d x

12 dx

20

12

+

+

x = 0

m +

50 dt

dt

50

2

2 10

- t - t

50 50

(t) 1 2

2 10 2 10

- t - t - t - t

50 50 50 50

1 2 1 2

2 10 2

- t - t - t

50 50 50

1 2 1 2

20

2

10

m +

= 0

m +

m +

= 0

50

50

50

50

50 dx

6

x

= C e

+ C e

y =

+

x

4 dt

4

50 d

6

y =

C e

+ C e

+

C e

+ C e

4 dt

4

50

2

10

6

y =

-

C e

-

C e

+

C e

+ C

4

50

50

4

 

 

 

10 - t

50

2 10 2 10 2 10

- t - t - t - t - t - t

50 50 50 50 50 50

1 2 1 2 (t) 1 2

e

1

5

3

3

y = -

C e

-

C e

+

C e

+

C e

y

= C e

- C e

2

2

2

2

(0) (0)

2 10 2 10

- 0 - 0 - 0 - 0

50 50 50 50

(0) 1 2 (0) 1 2

1 2 1 2 1 2

2 10 2 10

- t - t - t - t

50 50 50 50

(t) (t)

aplicando las condiciones iniciales a tiempo t = 0, x

= 10 y y

= 6

x

= C e

+ C e

= 10

y

= C e

- C e

= 6

C + C = 10

C

C = 0

C = 8

C = 2

x

= 8 e

+ 2 e

y

= 8 e

- 2 e

Para un tiempo

20 100 20 100

- - - -

50 50 50 50

(10) (10)

de t

10 minutos la cantidad de sal en cada tanque es

x

= 8 e

+ 2 e

5.63 kg.

y

= 8 e

- 2 e

5.09 kg.

(5)

PROBLEMA 4 (2 PUNTOS) Encuentre la solución de la ecuación diferencial en derivadas parciales, utilizando el

método de separación de variables. Considere una constante de separación λ=4

2

2

2

32

U

U

U

y

 

x

U

x

x

Solución:

2 2 2

2

32

2

32

U

U

U

U

U

U

U = X Y

X ''

X '

X '

y

y

X ''

X Y = X' Y

Y' X' (X '' - 32 X) =

'

U

Y

Y

Y

x

x

x

x

x

x

Y

Y

 

 

4

4

4

X ( Y - Y' )

X '' - 32 X

(Y - Y' )

X '' - 32 X

(Y - Y' )

X'

X'

X ''- 32 X = 4 X' X ''- 4 X' - 32 X = 0 m

'

Y

Y

4

3

3

2 8 x - 4 x

1 2 1 2

- 3 y

3 3

8 x 1

- 4 m - 32=0 m = - 4 m = 8 X(x)=C e

+ C e

Y - Y'

Y'

Ln Y = - 3 y +C Y(y)=C e

U = X Y

C e

dY

Y

Y

dy

Y

 

 

- 4 x

- 3 y

2 3

(6)

PROBLEMA 5 (2 PUNTOS) Resuelva la E.D.O. homogénea de segundo orden usando una serie de potencias para los

primeros 4 términos.

2

2

d y

dy

x

y

0

dx

dx

 

Solución:

2

n n-1 n-2

n n n

2 n 0 n 1 n 1

2

n-2 n-1 n

n n n

2 n 2 n 1 n 0

n-2

n n

n 2

d y

dy

x

y

0 y

C X y'

n C X

y ''

n (n-1) C X

dx

dx

d y

dy

x

y

n (n-1) C X

x

n C X

C X

0

dx

dx

n (n-1) C X

n C

             

 

 

n n

n n 1 n 0

n-2 0 n-2 n 0 n

n 2 n n 0 n

n 2 n 3 n 0 n 1

0 n-2 n 0 n

2 n 3 n n 1 n 0 n 1 n

X

C X

0

n (n-1) C X

2C x

n (n-1) C X

C X

C x

C X

2C x

n (n-1) C X

n C X

C x

C X

0

k

n

2 n=k+2

                 

 

0 0 k k k

0 2 k 1 k+2 k 1 k k 1 k

0 n

0 2 k 1 k+2 k k 0 2

k=n k=n

C x

2C x

(k+2) (k+1) C

X

k C X

C X

0

C

2C

x

(k+2) (k+1) C

k C - C X

0

C

2C

0 (k+2

       

k k

k+2 k k

0 2 1 3 0 0 2 k+2 4

) (k+1) C

k C -C

0

(k+1) C

C

C

=

(k+2) (k+1)

(k+2)

C

k

0 C =

2

C

k

1 C =

3

C

C

C

1

k

2 C =

=

.

=

4

4

2

8

k

3 1 1

5

0 0 4

6

5 1 1 7

2 3 4 5 6 0 1 0 1 0 0 1

C

1

C

C

3 C =

=

.

=

5

5 3

15

C

C

C

1

k

4 C =

=

.

=

6

6 8

48

C

1

C

C

k

5 C =

=

.

=

7

7 15

105

C

C

C

C

C

y

C

C x+

x

x

x

x

x

2

3

8

15

48

1 7

2 4 6 3 5 7

0 1

C

x

105

x

x

x

x

x

x

y

C (1+

)

C ( x+

)

2

8

48

3

15

105

(7)

MAT EXAMEN TIPO B

PROBLEMA 1 (2 PUNTOS) Resuelva la E.D.O. de primer orden reducible a exacta:

2

2

( )

( )

x

dy

y

Csec x

dx

x

Solución:

2 2

2

1

2

2 2

2

2

2

0

2

2

1

1

1

1

2

1

1

2

0

2

0

2

 

 

x dx

Px dx x Ln x

x x

dy

Csec x

Csec x

x

y

y

dx

x dy

dx

x

x

Csec x

M

N

M

y

N

x

x

y

x

P

e

e

e

x

x

x

x

Csec x

x y

dx x x dy

xy Csec x

dx

x

dy

x

M

xy Csec x

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

(

)

( )

(

( ))

( )

(

2

2 2 2 2 2

2

2

2

2

0

 

y y y

y

M

N

x

N

x

x

y

x

F

F

xy Csec x

dx y x

Ctan x

c

x

c

x

c

x

y

c

y x

Ctan x

c

( ) ( ) ( )

( )

)

(

( ))

( )

(8)

PROBLEMA 2 (2 PUNTOS) Resuelva la E.D.O. de primer orden del tipo Bernoulli:

2

2

3

3

ln( )

dy

y

dx

x

x

y x

Solución:

1 1 2 3 2

2 2

2 2

2 2 3

2

1

2

2

3

3

3

3

2

2

3

2

1

2

3

3

3

3

3

3

3

3

1

2

  

 

 

 

( )

ln(ln( )) ln( )

ln( )

ln( )

ln( )

ln( )

ln( )

ln( )

ln( )( )

ln( )

n

dx

x x x

dy

y

n

z

y

y

y

z

y y

y

z

dx

x

x

y x

y

z

y

y

y

y

z

y

y

z

y

z

z

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

y

e

e

x

z

x

dx c

x

x

2

3

3

1

ln ( )

ln ( )

ln( )

ln( )

ln ( )

ln ( )

ln( )

ln( )

c

x

c

x

x

x

c

c

y

x

y

x

(9)

PROBLEMA 3 (4 puntos)

Los tanques A y B contienen 50 lts de agua pura cada uno, inicialmente se disolvieron 10 kg de sal y 6 kg de

sal respectivamente. Se bombea líquido hacia y desde los tanques, en las proporciones indicadas en el

esquema de abajo. Deducir las ecuaciones diferenciales para x(t) y y(t), que proporcionen los kgs de sal que

están presentes en un instante cualquiera en ambos tanques. Calcule la cantidad de sal contenida en cada

tanque después de 10 minutos de operación.

Solución: Sean x

(t)

y y

(t)

las cantidades de sal (lb) que hay en el tanque A y en el tanque B en un instante

cualquiera. La rapidez neta con que x

(t)

y y

(t)

varían están dadas por las siguientes expresiones.

Rs

Re

dt

dx









sale

sustancia

la

que

con

rapidez

entra

sustancia

la

que

con

rapidez

dx

y

x

= (3 lt / min)(0.0 kg / lt) + (5 lt / min)(

kg / lt) - (8 lts / min)(

kg / lt)

dt

50

50

dy

x

y

= (5 lt / min)(

kg / lt) + (3 lt / min)(0.0 kg / lt) - (8 lt / min)(

kg / lt)

dt

50

50

De esta forma se obtiene el sistema de ecuaciones diferenciales homogéneo

dx

8

5

= -

x +

y

dt

50

50

dy

5

8

=

x -

y

dt

50

50

Este sistema está sujeto a las condiciones iniciales x

(0)

=10 kg de sal y y

(0)

=6 kg de sal.

Tanque B

50 lts

Tanque A

50 lts

3 lts/min

Agua

3 lts/min

Mezcla

5 lts/min

Mezcla

5 lts/min

Mezcla

3 lts/min

Mezcla

x(0) = 10 kg sal

y(0) = 6 kg sal

(10)

Método de sustitución.

2 2

2 2

2

2 2

dx

8

50

50 dx

8

dx

8

5

y =

+

x

y =

+

x

+

x -

y = 0

dt

50

5

5 dt

5

dt

50

50

5

dy

8

d

50 dx

8

8

50 dx

8

5

-

x +

+

y = 0

+

x +

+

x -

x = 0

50

dt

50

dt

5 dt

5

50

5 dt

5

50

50 d x

8 dx

8 dx

64

5

50 d x

16 dx

39

+

+

+

x -

x = 0

+

+

x = 0

5

dt

5 dt

5 dt

250

50

5

dt

5 dt

250

d x

16 dx

39

+

+

x =

50 dt

dt

50

2

2

3 13

- t - t

50 50

(t) 1 2

3 13 3 13

- t - t - t - t

50 50 50 50

1 2 1 2

3 13 3

- t - t -

50 50

1 2 1

12

20

3

13

0

m +

m +

= 0

m +

m +

= 0

50

50

50

50

50 dx

6

x

= C e

+ C e

y =

+

x

4 dt

4

50 d

8

y =

C e

+ C e

+

C e

+ C e

5 dt

5

50

3

13

8

y =

-

C e

-

C e

+

C e

5

50

50

5

 

 

 

13 t - t

50 50

2

3 13 3 13 3 13

- t - t - t - t - t - t

50 50 50 50 50 50

1 2 1 2 (t) 1 2

+ C e

3

13

8

8

y = -

C e

-

C e

+

C e

+

C e

y

= C e

- C e

5

5

5

5

(0) (0)

3 13 3 13

- t - t - t - t

50 50 50 50

(0) 1 2 (0) 1 2

1 2 1 2 1 2

3 13 3 13

- t - t - t - t

50 50 50 50

(t) (t)

aplicando las condiciones iniciales a tiempo t = 0, x

= 10 y y

= 6

x

= C e

+ C e

= 10

y

= C e

- C e

= 6

C + C = 10

C

C = 6

C = 2

C = 8

x

= 8 e

+ 2 e

y

= 8 e

- 2 e

Para un tiempo

30 130 30 130

- - - -

50 50 50 50

(10) (10)

de t

10 minutos la cantidad de sal en cada tanque es

x

= 8 e

+ 2 e

4.54 kg.

y

= 8 e

- 2 e

4.24 kg.

(11)

PROBLEMA 4 (2 PUNTOS) Encuentre la solución de la ecuación diferencial en derivadas parciales, utilizando el

método de separación de variables. Considere una constante de separación λ=2

2 2

2

8

U

U

U

y

 

x

U

x

x

Solución:

2 2 2

2

8

2

8

U

U

U

U

U

U

U = X Y

X ''

X '

X '

y

y

X ''

X Y = X' Y

Y' X' (X '' - 8 X) = X

'

'

U

Y

Y

Y

x

x

x

x

x

x

Y

Y

 

 

2

2

2

2

( Y - Y' )

X '' - 8 X

(Y - Y' )

X '' - 8 X

(Y - Y' )

X'

X'

X ''- 8 X = 2 X' X ''- 2 X' - 8 X = 0 m - 2 m

Y

Y

2

4 x - 2 x

1 2 1 2

- y

3 3

4 x - 2

1 2

- 8=0 m = 4 m = - 2 X(x)=C e

+ C e

Y - Y'

Y'

Ln Y = - y +C Y(y)=C e

U = X Y

C e

+ C e

dY

Y

Y

dy

Y

 

 

x

- y 3

C e

(12)

PROBLEMA 5 (2 PUNTOS)

Resuelva la E.D.O. homogénea de segundo orden usando una serie de potencias para los

primeros 4 términos.

2

2

d y

dy

x

2 y

0

dx

dx

Solución:

2

n n-1 n-2

n n n

2 n 0 n 1 n 1

2

n-2 n-1 n

n n n

2 n 2 n 1 n 0

n-2 n n 2

d y

dy

x

2 y

0 y

C X y'

n C X y ''

n (n-1) C X

dx

dx

d y

dy

x

2 y

n (n-1) C X

x

n C X

2 C X

0

dx

dx

n (n-1) C X

             

n n

n n

n 1 n 0

n-2 0 n-2 n 0 n

n 2 n n 0 n

n 2 n 3 n 0 n 1

0 n-2 n 0 n

2 n 3 n n 1 n 0 n 1 n

n C X

2 C X

0

n (n-1) C X

2C x

n (n-1) C X

C X

2 C x

2 C X

2C x

n (n-1) C X

n C X

2 C x

2 C X

0

k

n 2

                 

 

0 0 k k k

0 2 k 1 k+2 k 1 k k 1 k

0 n

0 2 k 1 k+2 k k

0 2

n=k+2 k=n k=n

2 C x

2 C x

(k+2) (k+1) C

X

k C X

2 C X

0

2 C

2 C x

(k+2) (k+1) C

k C - 2 C X

0

2 C

2C

0

       

k+2 k k k+ 0 1 2 k k 2 3

(k+2) (k+1) C

k C -2 C

0

(k+2 ) C

C

C

=

(k+2) (k+1)

(k+1)

k

0 C =C

C

k

1 C =

2

k

2

2 0

4 0

3 1 1

5

0 0

4 6

5 1 1

7

2 1 3 0

0 1 0

C

C

1

C =

= .C =

3

3

3

C

1

C

C

k

3 C =

= .

=

4

4 2

8

C

C

C

1

k

4 C =

= .

=

5

5 3

15

C

1

C

C

k

5 C =

= .

=

6

6 8

48

C

C

y

C

C x+C x

x

2

3

4 1 5 0 6 1 7

4 6 3 5 7

2

0 1

C

C

C

x

x

x

x

8

15

48

x

x

x

x

x

y

C (1+ x

) C ( x+

)

Figure

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Referencias

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