Ejercicios detallados del obj 8 Mat III 733

Capitulo III Matemática III (733)

Objetivo 8. Aplicar el calculo diferencial e integral de una función vectorial en la solución de problemas específicos.

Ejercicio 1

Si la trayectoria de una partícula está dada por la función vectorial

(

)

( ) t, 2 , t

F t = e t e− determina la velocidad, la aceleración y las componentes tangencial y normal de la aceleración.

Solución

Justificación: Antes de comenzar este objetivo, es importante que tengas algunos conceptos de funciones vectoriales de variable real muy claros, para que puedas comprender y aprehender con los ejercicios resueltos y que enfrentaras al final de esta guía. Estos conceptos son:

1) A medida que la función vectorial F t( ), toma valores

1, , , , , , ,...2 3 4 5 6 7

t t t t t t t la función vectorial genera vectores, cuyos extremos (punta de la flecha) delinea una curva:

2) La primera derivada de la función vectorial de posición F t( ) es la velocidad, es decir: '

( ) ( )

función vectorial posición o la primera derivada de la velocidad, es decir: ' ''

( ) ( ) ( )

A t =V t =F t . La rapidez es el módulo del vector velocidad: V t( ) = F t'( ) . La longitud de la curva de una función vectorial es la integral de la rapidez:

'

( ) ( )

b b

a a

L=

∫

V t dt=

∫

F t dt

Por ejemplo, una función de una variable real f x( ), se puede parametrizar y escribir como la siguiente función vectorial:

( ) ( )

F t = +ti f t j El vector velocidad es: V t( )= +1i f t j'( )

Su rapidez es: V t( ) = 12+

(

f t'( )

)

2 = 1+

(

f t'( )

)

2dt Por lo tanto:

(

_'

)

2

1 ( )

b

a

L=

∫

+ f t dt

3) Si la función vectorial F t( ) es derivable y de longitud constante, se tiene que el producto escalar es nulo:

' ( ). ( ) 0 F t F t =

Recuerda que el producto escalar del mismo vector es igual a su modulo elevado al cuadrado, es decir:

2

( ). ( ) ( ) tan

F t F t = F t =cons te

Y si derivamos en ambos miembros, se tiene la derivada de un producto a la izquierda y la derivada de una constante a la derecha, que es cero:

' ' ' ' 0

( ). ( ) ( ). ( ) 0 2 ( ). ( ) 0 ( ). ( ) 0 2 F t F t +F t F t = → F t F t = ∴F t F t = =

Y como sabemos, dado que el producto escalar es nulo, entonces F t( ) y F t'( ) son perpendiculares.

4) Sabemos que la velocidad, F t'( ) es tangente a la trayectoria, se tomara el vector unitario de este vector tangente y lo llamaremos:

' '

( ) ( )

( ) F t T t

5) Sabemos de “3” que ' ( ). ( ) 0

T t T t = , por lo tanto el vector ' ( )

T t es un vector perpendicular al vector tangente unitario T t( ).

6) Dado el punto “5” se tiene que el vector normal unitario es: '

' ( ) ( )

( ) T t N t

T t =

7) Los vectores T t( ) y N t( ) forman un plano llamado osculador en un punto dado de la curva.

8) El vector aceleración se puede escribir:

' '

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A t =V t T t +V t T t De “6” se tiene: T t'( )= T t N t'( ) ( )

Por lo tanto la aceleración se puede escribir:

' '

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A t =V t T t +V t T t N t

De esta ecuación se desprende que la componente tangencial de la aceleración es:

' ( ) ( ) ( )

t

A t =V t T t

Y la componente de la aceleración normal es: '

( ) ( ) ( )

n

A t = V t T t

9) La función vectorial se puede reparametrizar con la longitud de arco s, siendo así las cosas, podemos escribir:

' '

1 1

1 . ( )

( ) dT dT dT dt dt dT dT

T t ds

ds ds ds dt ds dt dt s t dt

= i = i = i = i =

Sabiendo que s t'( )=V t( ) y que T t'( )= T t N t'( ) ( ), se tiene: '

' ' ( )

1 1

. ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

T t dT

T t T t N t N t

ds = V t = V t = V t

Este vector obtenido

' ( )

( ) ( ) T t dT

N t

ds = V t , es el vector curvatura y se denota con la letra griega kappa:

' ( )

( ) ( )

( ) T t

t N t

V t

Y el número

' '

'

( ) ( )

( )

( ) ( )

T t T t t

V t F t

κ

= = es la curvatura.

10) Fíjate que la curvatura mide la variación de la dirección del vector tangente unitario, observa:

d ds

θ

κ

=

11) La aceleración también se puede escribir así: Como: A t( )=V t T t'( ) ( )+V t T t N t( ) '( ) ( )

De:

' '

'

( ) ( )

( )

( ) ( )

T t T t t

V t F t

κ

= = , se tiene: '

( ) ( ) ( ) T t =

κ

t V t

Entonces:

(

)

2 '

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A t =V t T t +

κ

t V t N t De aquí se desprende que:

(

)

3 ( ) ( ) ( )

( ) A t V t t

V t

κ

= ×

Esto es así porque:

Y como la velocidad es paralela al vector tangente unitario T t( ), se tiene:

' '

( ) ( ) ( ) F t = F t T t Derivando a ambos miembros obtenemos:

(

)

_'

(

)

'

'' ' '

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

F t = F t T t + F t T t

Multiplicando vectorialmente a la izquierda por F t'( ), se tiene:

(

)

_'

(

)

'

' '' ' ' '

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

F t ×F t =F t ×_F t T t + F t T t _

 

Pero F t'( )= F t T t'( ) ( ), entonces:

(

)

_'

(

)

'

' '' ' ' '

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

F t ×F t = F t T t ×_F t T t + F t T t _

 

(

)

2

(

)

'

' '' ' ' ' '

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

F t ×F t = F t T t ×T t + F t F t T t ×T t

Recuerda que si los vectores son paralelos: ( ) ( ) 0 T t ×T t = Entonces:

(

)

2

' '' ' '

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

F t ×F t = F t T t ×T t

Sustituyendo F t'( )=V t( ) y F t''( )= A t( ), se tiene:

2 '

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V t ×A t = V t T t ×T t Tomando modulo en ambos miembros:

2 _'

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V t ×A t = V t T t ×T t

2 _'

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V t ×A t =V t T t ×T t

Sabemos por definición de producto vectorial que: a b× = a b sen

α

, donde alfa es el ángulo entre a y b y como T t( ) y '

( )

T t son perpendiculares porque de “3” se sabe T t( )×T t'( )=0, se tiene:

2 _'

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 90º V t ×A t =V t T t T t sen

Como T t( ) =1, por ser vector unitario y sen90º 1= , se tiene: 2 _'

Dividiendo en ambos miembros por V t( )3 se tiene: 2 _'

3 3

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

V t T t V t A t

V t V t

×

=

2 3

( ) ( ) ( )

( )

V t V t A t

V t ×

=

' 3

( )

( ) T t V t

' 3

( ) ( ) ( )

( ) ( )

T t V t A t

V t V t

×

=

'

3 ( ) ( ) ( )

( ) ( )

T t V t A t V t V t

× =

Como

' ( ) ( )

( ) T t t

V t

κ

= , se tiene finalmente:

(

)

3 ( ) ( ) ( )

( ) V t A t t

V t

κ

= ×

12) El radio de curvatura de una curva es el reciproco de la curvatura: 1

( )t

ρ

κ

=

13) El vector B t( ) es llamado vector binormal y se obtiene del producto vectorial:

( ) ( ) ( ) B t =T t ×N t También se puede escribir:

' '' ' ''

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

F t F t V t A t B t

V t A t F t F t

× ×

= =

× ×

14) Los 3 vectores T t( ), N t( ) y B t( ) forman el llamado triedro de Frenet.

15) Los vectores N t( ) y B t( ) forman un plano llamado normal en un punto dado de la curva.

16) Los vectores T t( ) y B t( ) forman un plano llamado rectificante en un punto dado de la curva.

17) Una curva en el espacio se tuerce de 2 maneras. Por un lado se curva dentro del plano osculador, y por otra se curva hacia afuera de dicho plano. La primera forma viene descrita por la curvatura, que ya comente en los puntos 9, 10 y 11, es decir, la razón de cambio de dirección del vector tangente unitario T t( ). La segunda forma de curvarse viene dada por la razón de cambio

de dirección del vector binormal B= ×T N , es decir, por el vector dB

ds , donde s es el parámetro, longitud de arco. Cuando la curva es plana, este vector no varia, es decir, dB 0

ds = .

Puesto que B, es de longitud constante, B =1, el vector dB ds es perpendicular a B. Por otra parte, B Ti =0_{, derivando esta última desigualdad} se tiene:

0 dB dT 0

B T T B

ds ds

= → + =

i i i

Pero: B dT B kN

( )

0 k B N

(

)

0

ds = = → =

i i i _{, por lo que:} dB _{T 0}

ds =

i _{, por lo}

tanto dB

Como dB

ds es perpendicular a B y a T, podemos concluir que dB

ds es paralelo a N , es decir, es un vector proporcional a N , entonces podemos escribir:

dB

N ds = −

τ

La constante

τ

recibe el nombre de segunda curvatura o torsión.

Obtengamos una fórmula para calcular la torsión, sin necesidad de reparametrizar con respecto al arco s:

El vector aceleración A ó F t''( ) se encuentra en el plano osculador, por lo tanto es perpendicular al vector B, por lo que podemos escribir:

'' . ( ) 0 B F t =

Derivando esta expresión con respecto al tiempo, se obtiene:

(

''

)

'' ( )

( ) 0

d F t _dB

B F t

dt + dt =

i i

De aquí:

(

''

)

'' ( )

( )

d F t _dB

B F t

dt = − dt

i i

(

''

)

'' ( )

( )

d F t _{dB ds}

B F t

dt ds dt

 

= − 

 

i i

(

''

)

₍

₎

'' ( )

( ) . . d F t

B F t N v dt i = i

τ

De:

' ( ) ( )

( ) T t t

V t

κ

= se tiene: T t'( ) = V t( )

κ

( )t y como: A t_n( )= V t T t( ) '( ),

se tiene: A_n =kv2, donde: ( ) ( ) t v V t

κ κ

 ₌

 

=

 , y como:

'' ( )

F t N es la componente normal

de la aceleración, es decir: F t N''( ) = A_n =

κ

v2, se tiene:

(

''

)

₍

₎

'' '' 2 3

( )

( ) . . . ( ) . . . .

d F t

B F t N v F t N v v v v

dt =

τ

=

τ

=

τ κ

=

τ κ

i i

(

)

' ''

3 3

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

F t F t V t A t

t

v V t

κ

= × = ×

Por lo tanto:

(

''

)

' ''

3

3

( ) ( ) ( )

. .

d F t F t F t

B v

dt

τ κ

τ

_v

×

= =

i _v3 =

τ

_{F t}'_{( )}×_{F t}''_{( )}

Despejando la torsión, se tiene: '''

' ''

( )

( )

( )

F t B

F t

F t

τ

=

×

i

Teniendo en cuenta que:

' '' ' ''

( ) ( ) ( )

( ) ( ) F t F t B t

F t F t × =

× , se tiene finalmente la fórmula de la torsión:

''' ''' ' '' ''' ' ''

2

' '' ' '' ' '' _{' ''}

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

_{( )}

_{( )}

F t B

F t

F t

F t

F t F t

F t

F t

F t

F t

F t

F t

F t

_{F t}

_{F t}

τ

=

=

×

=

×

×

×

×

_×

i

i

i

Observa que en la parte superior, obtuvimos el producto mixto de tres vectores, por lo tanto podemos escribir:

(

' '' '''

)

2 ' '' ( ). ( ). ( ) ( )

( ) ( ) F t F t F t t

F t F t

τ

=

× ,

' '' ( ) ( ) 0 F t ×F t ≠

Observa que el vector velocidad es tangente a la curva, esto ya lo sabíamos, y por ello el vector velocidad es la primera derivada de la función, en nuestro caso:

(

)

'

( ) ( ) t, 2, t V t =F t = e −e−

También sabemos que la aceleración es la primera derivada de la velocidad o segunda derivada de la función de posición, así:

(

)

'

( ) ( ) t, 0, t A t =V t = e e−

De “8” se tiene: A t( )=V t T t'( ) ( )+V t T t N t( ) '( ) ( ) Componente tangencial de la aceleración:

' ( ) ( ) ( )

t

A t =V t T t Componente de la aceleración normal:

' ( ) ( ) ( )

n

A t = V t T t

' '

( ) ( )

( ) F t T t

F t =

Como: F t'( )=

(

et, 2,−e−t

)

, se tiene:

( )

2

( )

2

( )

2

( )

' 2 2

( ) t 2 t t 2 t

F t = e + + −e− = e + +e−

Por lo tanto:

( )

( )

( )

'

' _{2 2 2 2 2 2}

( ) 2

( ) , ,

( ) _{2 2 2}

t t

t t t t t t

F t e e

T t

F t _{e e e e e e}

−

− − −

 

 

= =_ − _

 _{+ + + + + +} 

 

Entonces la componente tangencial de la aceleración es: '

( ) ( ) ( )

t

A t =V t T t

(

)

_{( )}

_{2 2}

_{( )}

₂ 2 ₂

_{( )}

_{2 2}

( ) , 0, , ,

2 2 2

t t

t t

t

t t t t t t

e e

A t e e

e e e e e e

− −

− − −

 

 

= _ − _

 _{+ + + + + +} 

 

( )

2 2

( )

2 2

( )

( ) ( )

2 2

.

. 0. 2

( )

2 2 2

t t

t t

t

t t t t t t

e e e e

A t

e e e e e e

− −

− − −

= + −

+ + + + + +

( )

2 2

2 2

( )

2

t t

t

t t

e e A t

e e

−

−

− =

+ +

Otra manera de encontrar esta componente tangencial de la aceleración, se observa claramente en la figura, donde la componente tangencial de la aceleración es la proyección del vector aceleración en la dirección del vector velocidad.

¿Cómo proyecto un vector sobre otro?

A través de la siguiente fórmula que indica la proyección del vector A en la dirección del vector B:

(

A Ui B

)

UB

Ya sabes como proyectar un vector sobre otro, apliquemos esto a nuestro ejercicio, proyectando el vector aceleración a=

(

et, 0,e−t

)

sobre el

vector velocidad V =

(

et, 2,−e−t

)

para obtener la componente tangencial del vector aceleración.

Esta proyección quedaría:

( )

t V V

a = a Ui U

Calculamos primero el unitario del vector velocidad:

Módulo del vector velocidad: V =

( )

et 2 +

( )

2 2+ −

( )

e−t 2

2 2

2

t t

V = e + +e− Luego el unitario del vector velocidad es:

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2

1 2

, 2, , ,

2 2 2 2

t t

t t

V _{t t t t t t t t}

V e e

U e e

V e e e e e e e e

− −

− − − −

 ₋ 

= = − =_ _

+ +  + + + + + + 

Después de haber obtenido el vector unitario de la velocidad, calculamos el producto escalar, para obtener la componente tangencial de la aceleración:

(

)

2 2 2 2 2 2

2

, 0, , ,

2 2 2

t t

t t

V _{t t t t t t}

e e

a U e e

e e e e e e

− −

− − −

 ₋ 

= _ _

+ + + + + +

 

i i

2 2 2 2 2 2

. 0. 2 .

2 2 2

t t t t

V _{t t t t t t}

e e e e

a U

e e e e e e

− −

− − −

−

= + +

+ + + + + +

i

2 2

2 2 2 2 2 2

0

2 2 2

t t

V

t t t t t t

e e

a U

e e e e e e

−

− − −

= + −

+ + + + + +

i

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

t t t t

V _{t t t t t t}

e e e e

a U

e e e e e e

− −

− − −

−

= − =

+ + + + + +

i

( )

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2

, ,

2 2 2 2

t t t t

t V V _{t t t t t t t t}

e e e e

a a U U

e e e e e e e e

− − − − − −   − − = = _ _ + +  + + + + + +  i

(

)

(

)

(

(

)

)

(

(

)

)

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2

, ,

2 2 2

t t t t t t t t

t

t t t t t t

e e e e e e e e

a

e e e e e e

− − − − − − −   − − − −   =   _{+ + + + + +}   

(

2 2

) (

3

)

3

2 2 2 2 2 2

2

, ,

2 2 2

t t t t

t t

t t t t t t t

e e e e

e e a

e e e e e e

− − − − − −  _{− − − −}    =_{ } + + + + + +  

Ahora calculemos la componente normal de la aceleración: '

( ) ( ) ( )

n

A t = V t T t

Sabemos que _{V t( )} = _e2t + +_{2 e}−2t _{, calculemos} ' ( )

T t y su modulo:

( )

2 2

( )

2 2

( )

2 2

2

( ) , ,

2 2 2

t t

t t t t t t

e e

T t

e e e e e e

− − − −     =_ − _  _{+ + + + + +}   

Derivando componente por componente:

( )

( )

( )

(

( )

)

( )

(

)

'

' _{2 2} ' _{2 2}

2

2 2 _{2 2}

2 2

2 ₂

t t t t t t

t

t t _{t t}

e e e e e e

e

e e _{e e}

− − − ₋   _{+ + − + +}   ₌    _{+ +}  _{+ +}  

( )

( )

(

)

( )

(

)

' ' 2 2 2

2 2 _{2 2}

2 2

2

2 ₂

t t

t t _{t t}

e e

e e _{e e}

− − ₋   _{− + +}   ₌    _{+ +}  _{+ +}  

( )

( )

( )

(

( )

)

( )

(

)

'

' _{2 2} ' _{2 2}

2

2 2 _{2 2}

2 2

2 ₂

t t t t t t

t

t t _{t t}

e e e e e e

e

e e _{e e}

− − − − − − ₋   _{+ + − + +} ₋  _{= −}    _{+ +}  _{+ +}  

Continuando con cada componente:

( )

( )

( )

_{( )}

( )

' 2 2 2 2 ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 t t

t t t t

t t

t

t t

t t

e e

e e e e

( )

( )

( )

( )

' 2 2 ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 t t t t t t t t t e e e e e e e e e − − − −  _{ + + }      − _{ }   _{ + + }     ₌   _{+ +}  _{+ +}   

( )

( )

( )

_{( )}

( )

' 2 2 2 2 ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 t t

t t t t

t t

t

t t

t t

e e

e e e e

e e e e e e e − − − − − − − − _{ + + }      − + + − _{ }   _{ + + }   ₋  _{= −}   _{+ +}  _{+ +}    Ahora:

( )

( )

( )

( )

2 2 2 2 ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 t t

t t t t

t t

t

t t

t t

e e

e e e e

e e e e e e e − − − − −   −   + + − _{ }   _{ + + }     ₌   _{+ +}  _{+ +}   

( )

( )

( )

2 2 ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 t t t t t t t t t e e e e e e e e e − − − −   −   − _{ }   _{ + + }     ₌   _{+ +}  _{+ +}   

( )

( )

_{( )}

( )

2 2 2 2 ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 t t

t t t t

t t

t

t t

t t

e e

e e e e

e e e e e e e − − − − − − − −   −   − + + − _{ }   _{ + + }   ₋  _{= −}   _{+ +}  _{+ +}    Luego:

( )

( )

2 2 '

2 2

2 2

2

t t t t

t

t t

e e e e

e e e − − + + −     ₌    _{+ +}   

(

2 2

)

2

t t

e −e−

( )

( )

2 2 2 2 2 2 t t t t e e e e − −        _{+ +}    + +

( )

' 2 2 2 2 2 2 t t t e

e e−

−     ₌    _{+ +}   

(

2 2

)

2

t t

e −e−

( )

( )

2 2 '

2 2

2 2

2

t t t t

t

t t

e e e e

e e e − − − − − − + + −   ₋  _{= −}    _{+ +}   

(

2 2

)

2

t t

e −e−

( )

( )

2 2 2 2 2 2 t t t t e e e e − −        _{+ +}    + + Ahora:

( )

( )

_{( )}

(

)

( )

3 2 2 ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 t t

t t t

t t

t

t t

t t

e e

e e e

e e e e e e e − − − − −  ₋    + + −_{ }   _{ + + }     ₌   _{+ +}  _{+ +}   

( )

_{( )}

(

_{( )}

)

' 3 1 2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 _{2 2}

t t

t t

t t t t

e e

e e _{e e e e}

− − _{− −}   _{− −}   ₌    _{+ +}  _{   } + + + +   _{   }

( )

( )

_{( )}

(

)

( )

3 2 2 ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 t t

t t t

t t

t

t t

t t

e e

e e e

e e e e e e e − − − − − − −  ₋    − + + −_{ }   _{ + + }   ₋  _{= −}   _{+ +}  _{+ +}    Luego:

( )

( )

(

)

( )

( )

2 2 3

' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

t t t t t

t t

t

t t

t t

e e e e e

e e e e e e e − − − − − _{ + +  − −}          _{ + + }     ₌   _{+ +}  _{+ +}   

( )

_{( )}

(

)

' 3 1

2 2 1

2 2 2

2 2 2 ₂ t t t t t t e e

e e _{e e}

− − ₋ +   _{− −}   ₌    _{+ +}  _{ } + +   _{ }

( )

( )

(

)

( )

( )

2 2 3

' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

t t t t t

t t

t

t t

t t

e e e e e

e e e e e e e − − − − − − − _{ + +  + −}          _{ + + }   ₋  ₌   _{+ +}  _{+ +}    Ahora:

( )

(

)

( )

( )

3 3 ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

t t t t t

t t

t

t t

t t

e e e e e

( )

_{( )}

(

)

'

3

3

2 2

2 2 2

2 2 2 ₂ t t t t t t e e

e e _{e e}

− − −   _{− −}   ₌    _{+ +}  _{ + + }   _{ }

( )

(

)

( )

( )

3 3 ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

t t t t t

t t

t

t t

t t

e e e e e

e e e e e e e − − − − − − −  _{+ + + −}        _{ + + }   ₋  ₌   _{+ +}  _{+ +}    Luego:

( )

' 3 2 2 2 t t t t e e

e e−

    ₌    _{+ +}    3 2et e−t e t

+ + −

(

)

( )

( )

1

2 ₂ 2 2 ₂ 2 2

t

t t t t

e

e e e e

− − − −  _{+ +}   _{+ +}     

( )

_{( )}

(

)

' 3 3

2 2 _{2 2}

2 2

2 ₂

t t

t t _{t t}

e e

e e _{e e}

− − ₋   _{− −}   ₌    _{+ +}  _{ + + }   _{ }

( )

' 3 2 2 2 2

t t t

t

t t

e e e

e e e − − − −   _{+ +} ₋  ₌    _{+ +}    3 t t

e e−

+

(

−

)

( )

( )

1

2t ₂ 2t 2t ₂ 2t 2

e e− e e−

 _{+ +}   _{+ +}      Ahora:

( )

_{( )}

' 1

2 2 1

2 2 2

2 2

2 ₂

t t t

t t

t t

e e e

e e _{e e}

− − ₋ +   +   ₌    _{+ +}  _{ + + }   _{ }

( )

_{( )}

(

)

' 3 3

2 2 _{2 2}

2 2

2 ₂

t t

t t _{t t}

e e

e e _{e e}

− − ₋   _{− −}   ₌    _{+ +}  _{ + + }   _{ }

( )

_{( )}

' 1

2 2 1

2 2 2

2 2

2 ₂

t t t

t t

t t

e e e

e e _{e e}

− − − ₋ +   + ₋  ₌    _{+ +}  _{ + + }   _{ } Finalmente:

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

3 '

3 3 3

2 2 2 2 2 2

2 2 2

( ) , ,

2 2 2

t t t t t t

t t t t t t

e e e e e e

T t

e e e e e e

− − − − − −   + − − +   =    _{+ +}   _{+ +}   _{+ +}          

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

2 2 2

3 '

3 3 3

2 2 2 2 2 2

2 2 2

( )

2 2 2

t t t t t t

t t t t t t

e e e e e e

T t

e e e e e e

− − − − − −       + − − +       =   +  +    _{+ +}     _{+ +}     _{+ +}              

(

)

( )

( )

(

)

( )

(

)

2 ₃ 2 2

'

3 3 3

2 2 2 2 2 2

4 2 4

( )

2 2 2

t t t t t t

t t t t t t

e e e e e e

T t

e e e e e e

− − − − − −  ₊   ₋   ₊        = _{  }+ _{ }+ _       _{ + + }  _{ + + }  _{ + + }       

(

) (

) (

)

( )

2 ₃ 2 2

'

3

2 2

4 2 4

( )

2

t t t t t t

t t

e e e e e e

T t e e − − − −  _{+ + − + +}    = _{ }    _{ + + }   

(

) (

)

( )

2

6 3 2

'

3

2 2

2 2 8

( )

2

t t t t t t

t t

e e e e e e

T t e e − − − −  _{− + + +}    = _{ }    _{ + + }   

(

) (

)

( )

6 2 2 2 2

'

3

2 2

2 4 2 8 2

( )

2

t t t t t t t

t t

e e e e e e e

T t e e − − − −   − + + + +   = _{ }    _{ + + }   

(

) (

)

( )

6 2 2 2 2

'

3

2 2

2 4 2 8 16 8

( )

2

t t t t t

t t

e e e e e

T t e e − − −  _{− + + + +}    = _{ }    _{ + + }   

( )

6 2 2

'

3

2 2

2 4 10 16

( )

2

t t t

t t

e e e

T t e e − −   + + +   = _{ }    _{+ +}     

La componente normal es:

' ( ) ( ) ( )

n

A t = V t T t

( )

6 2 2

2 2

3

2 2

2 4 10 16

( ) 2

2

t t t

t t

n

t t

e e e

A t e e

e e − − −   + + +   = + + _{ }    _{ + + }   

(

)(

)

( )

2 2 6 2 2

3

2 2

2 2 4 10 16

( )

2

t t t t t

n

t t

e e e e e

(

) (

) (

)

( )

4 4 2 6 2 2 8 4 2

3

2 2

2 4 10 16 4 8 20 32 2 4 10 16

( )

2

t t t t t t t t t

n

t t

e e e e e e e e e

A t

e e

− − −

−

 _{+ + + + + + + + + + +} 

 

= _{ }

 

 _{ + + } 

 

( )

8 6 4 2 4 2

3

2 2

2 4 6 24 10 36 46

( )

2

t t t t t t

n

t t

e e e e e e

A t

e e

− −

−

 

+ + + + + +

 

= _{ }

 

 _{+ +} 

 

 

Respuesta:

Velocidad: V =

(

et, 2,−e−t

)

Aceleración: a=

(

et, 0,e−t

)

Componente tangencial de la aceleración:

( )

2 2

2 2

( )

2

t t

t

t t

e e A t

e e

−

−

− =

+ +

Componente normal de la aceleración:

( )

8 6 4 2 4 2

3

2 2

2 4 6 24 10 36 46

( )

2

t t t t t t

n

t t

e e e e e e

A t

e e

− −

−

 

+ + + + + +

 

= _{ }

 

 _{ + + } 

 

Ejercicio 2

Considere la función vectorial ( ) cos , , 2

t F t t sent

π

 

= 

 , calcula su

curvatura en el punto 1, , 01 2

 

−

 

 .

Solución

Justificación: De “9” La curvatura es:

' '

( ) ( )

( ) T t t

F t

κ

= . Primero vamos a

buscar el punto t=t₀ al cual pertenece el punto 1, , 01 2

 

−

 

 , así:

cos

2

x t

t y z sent

π

=

  

=

 

=



Como la curva pasa por 1, , 01 2

 

−

 

1 cos 1

2 2

0

t t

t sent

π

π

− =

  

= → =

 

=



Verifiquemos si t₀ =

π

satisface las otras ecuaciones: 1 cos

0 sen

π

π

− =

  

 ₌



Si las satisface, luego como t₀ =

π

satisface todas las ecuaciones se tiene que este es el punto t₀ =

π

, donde calcularemos la curvatura:

De ( ) cos , , 2

t F t t sent

π

 

= 

 , se tiene:

' 1

( ) , , cos

2

F t sent t

π

 

= − 

 

El vector T t( ) es:

' '

( ) ( )

( ) F t T t

F t =

Pero:

(

)

2 2

' 2 2 2

2 2

1 1 1

( ) cos cos 1

2 4 4

F t sent t sen t t

π

π

π

 

= − +_{ } + = + + = +

 

Luego:

' '

2 2 2

1

( ) ₂ cos

( ) , ,

( ) 1 1 1

1 1 1

4 4 4

F t sent t

T t

F t

π

π

π

π

 

 

 

= = −

 

+ + +

 

 

'

' _{2 2 2}

2 2 2

1

( ) ₂ cos

( ) , ,

( ) _{4 1 4 1 4 1}

4 4 4

F t sent t

T t

F t

π

π

π

π

π

π

π

 

 

 

= = −_{ }

+ + +

 

 

'

' 2 2 2

1

( ) ₂ cos

( ) , ,

( ) 4 1 4 1 4 1

2 2 2

F t sent t

T t

F t

π

π

π

π

π

π

π

 

 

 

= = −

 _{+ + +} 

 

'

' _{2 2 2}

1 2

( ) 2 ₂ 2 cos

( ) , ,

( ) _{4 1 4 1 4 1}

F t sent t

T t

F t

π

π

_π

π

π

π

π

 

 

= = − 

+ + +

 

 

 

'

' 2 2 2

( ) 2 1 2 cos

( ) , ,

( ) 4 1 4 1 4 1

F t sent t

T t

F t

π

π

π

π

π

 

= = − 

+ + +

 

Ahora calculamos T t'( ): '

2 2

2 cos 2

( ) , 0,

4 1 4 1

t sent

T t

π

π

π

π

 

= − − 

+ +

 

Calculemos el módulo de este vector:

2 2

'

2 2

2 cos 2

( )

4 1 4 1

t sent

T t

π

π

π

π

   

= −  + − 

+ +

   

2 2 2 2 2 2 2 2

'

2 2 2

4 cos 4 4 cos 4

( )

4 1 4 1 4 1

t sen t t sen t

T t

π

π

π

π

π

π

π

     ₊ 

=   +  =  

+ + +

     

(

)

2 2 2 ₂

'

2 _{2 2}

4 cos _{4 2}

( )

4 1 _{4 1 4 1}

t sen t

T t

π

π

π

π

_π

_π

 ₊ 

 

= _{ } = =

+ _{+ +}

 

Luego la curvatura en t0 =

π

es:

2

2 2

2

2 2

2

2 2

4

4 1 4 1

( )

4 1

4 1 4 1

4 2

π

π

π

π

π

κ π

π

π

π

π

π

+ +

= = =

+

+ +

Respuesta:

2 2 4 ( )

4 1

π

κ π

π

=

+

Ejercicio 3

Calcula la curvatura de la curva C descrita por:

( ) cos , ,

2 b F t a t asent t

π

 

= 

 

Solución

Justificación: Sabemos que la curvatura viene dada por: '_{( )}

( )

( ) T t t

V t

κ

=

'

( ) ( ) , cos ,

2 b V t F t asent a t

π

 

= = − 

 

Calculemos el vector tangente unitario: ' '

( ) ( )

( ) F t T t

F t =

El modulo de la velocidad es:

(

) (

2

)

2 2

(

) (

)

2

' 2 2 2 2

2

( ) cos cos

2 4

b b

F t asent a t a sen t a t

π

π

 

= − + +  = + +

 

(

) (

)

2 2

' 2 2

2 2

2 2

co ( )

4 4

s b 1 b

sen t a

F t a t

π

π

 ₊ _{+ = +}

 

=

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

' 2

2 2 ₂

4 4 4

( )

4 4 ₄ 2

b a b a b a b

F t a

π

π

π

π

π

_π

π

+ + +

= + = = =

Luego el vector tangente unitario es:

'

' 2 2 2 2 2 2 2 2 2

( ) cos ₂

( ) , ,

( ) 4 4 4

2 2 2

b

F t asent a t

T t

F t a b a b a b

π

π

π

π

π

π

π

 

 

−

 

= =

 _{+ + +} 

 

 

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 cos ₂

( ) , ,

4 4 4

b asent a t

T t

a b a b a b

π

π

π

_π

π

π

π

 

 ₋ 

= 

+ + +

 

 

 

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 cos

( ) , ,

4 4 4

asent a t b

T t

a b a b a b

π

π

π

π

π

 ₋ 

= 

+ + +

 

El vector T t'( ) es: '

2 2 2 2 2 2

2 cos 2

( ) , , 0

4 4

a t asent

T t

a b a b

π

π

π

π

 

= − − 

+ +

 

Luego su modulo es:

2 2

2 2 2 2 2 2

'

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 cos 2 4 cos 4

( )

4 4

4 4

a t asent a t a sen t

T t

a b a b

a b a b

π

π

π

π

π

π

π

π

       

= −  + −  =   + 

+ +

+ +    

   

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2

'

2 2 2 2

2

2

2

2

co 4

4 cos 4

(

4 4

s

) a t a sen t a

T t t

a b a b

sen t

π

π

π

π

π

 

 ₊ 

 

=   = _ + _

+ +

2 2 2 2 '

2 2 2 _{2 2 2 2 2 2}

4 4 2

( )

4 ₄

1

4

a a a

T t

a b _{a b a b}

π

π

π

π

_π

_π

 

=   = =

+ _{+ +}

 

Luego la curvatura es:

' ₂

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2

( ) _{4 4}

( )

( ) ₄ 4

2 a

T t _{a b a}

t

V t _{a b} a b

π

π

π

κ

π

π

π

+

= = =

+ +

Resolveré el problema de otra manera, para que selecciones la forma que se te haga más cómodo: Recuerda que tenemos la fórmula:

(

)

3 ( ) ( ) ( )

( ) V t A t t

V t

κ

= ×

Observa:

(

)

' ''

( ) ( ) ( ) cos , , 0

A t =V t =F t = −a t −asent Efectuando el producto vectorial:

( ) ( ) cos

2

cos 0

i j k

b V t A t asent a t

a t asent

π

× = −

− −

(

)

cos

( ) ( ) 0. cos 0. . cos . cos

2 2

absent ab t

V t A t a t i asent j asent asent a t a t k

π

π

   

× =_ + _ − −_ + _ +_ + _

   

   

(

)

(

2 2 2

)

cos

( ) ( ) cos

2 2

absent ab t

V t A t i j a sen t t k

π

π

 

× = − +_ + _

2 cos

( ) ( )

2 2

absent ab t

V t A t i j a k

π

π

× = − +

Luego calculamos el módulo de este vector:

( )

2 2

2 2 cos

( ) ( )

2 2

absent ab t

V t A t a

π

π

   

× =   + −  +

   

2 2

2 2 4

( ) ( ) cos

2 2

ab ab

V t A t sen t t a

π

π

   

× =   +  +

   

(

)

2 2

2 2 4 4

( ) ( ) cos

2 2

ab ab

V t A t sen t t a a

π

π

   

× =   + + =   +

   

(

)

₍

_{) (}

)

2 2 2 2 2 2 4

4 4

2 2

3 3 3 3

2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 3

4

4 4

( ) ( ) 2

( )

( ) _{4 4 4}

2 ₈

8

a b a b a

ab _a

a V t A t

t

V t _{a b a b a b}

π

π

π

π

κ

π

π

π

π

_π

_π

   ₊ 

  ₊

+    

 

×      

= = = =

 

 ₊  _{+ +}

 

 

  _{ }

  _{ }

 

(

)

(

)

(

(

)

)

2 2 2 4

3 2 2 2 2 3 2 2 2 4

2

3 3 3

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 4

8 4

8 4

4 ( )

4 4 4 4 4

8

a b a

a b a

a b a

t

a b a b a b

π

π

π

π

π

π

κ

π

π

π

π

π

π

+

+ +

= = =

+ + +

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2

3 2 2 2 2 3 2 2 2

4 4

8 4

( )

2 4

a b a

a b a

t

a b

π

π

π

π

κ

π

π

+ +

= =

+

(

2 2 2

)

3

4

π

a +b

(

)

2 2 2 2 2 4

4 a a b

π

π

=

+

2 2 2 2 4 ( )

4 a t

a b

π

κ

π

=

+

Respuesta: La curvatura en este caso es:

2 2 2 2 4 ( )

4 a t

a b

π

κ

π

=

+ Ejercicio 4

Determina el vector binormal para la curva C de ecuación vectorial:

(

)

( ) 3cos , 3 , F t = t sent t

Solución

Justificación: De “13” se tiene que el vector binormal es: ( ) ( ) ( )

B t =T t ×N t , por lo tanto debemos calcular los vectores unitarios tangente y normal.

' '

' '

( ) ( )

( ) y ( )

( ) ( )

F t T t

T t N t

F t T t

= =

De F t( )=

(

3cos , 3t sent t,

)

, se tiene:

(

)

'

( ) 3 , 3cos ,1 F t = − sent t Su modulo es:

(

) (

2

)

2

(

) (

2

)

2

' 2 2

( ) 3 3cos 1 9 cos 1 9 1 10

F t = − sent + t + = _ sent + t _+ = + =

' '

( ) 3 3 1

( ) , cos ,

( ) 10 10 10

F t

T t sent t

F t

 

= = − 

 

Posteriormente de ( ) 3 , 3 cos , 1

10 10 10

T t = −_ sent t _

 , se tiene:

' 3 3

( ) cos , , 0

10 10

T t = −_ t − sent _

 

Su modulo es:

2 2

' 3 3

( ) cos

10 10

T t = _− t_ + −_ sent_

   

(

) (

2

)

2

' 9 9 9 3

( ) cos

10 10 10 10

T t = _ t + sent _ = = =

Luego el vector normal unitario es:

(

)

' '

3 3

( ) _{10 10} 0

( ) cos , , cos , , 0

3 3 3

( )

10 10 10

T t

N t t sent t sent

T t

 

 

= = − − = − −

 

 

 

Finalmente el vector binormal es el producto vectorial:

3 3 1

( ) ( ) ( ) cos

10 10 10

cos 0

i j k

B t T t N t sent t

t sent

= × = −

− −

2 2

3 3 cos 3 3

( ) 0. cos 0. cos

10 10 10 10 10 10

sent t

B t =_ t+ _i−_ − sent+ _ j+_ sen t+ t k_

     

(

2 2

)

cos 3 cos 3

( ) cos

10 10 10 10 10 10

sent t sent t

B t = i− j+_ sen t+ t _k = i− j+ k

 

(

)

1

( ) , cos , 3

10

B t = sent − t

Respuesta: El vector binormal es: ( ) 1

(

, cos , 3

)

10

B t = sent − t

Ejercicio 5

Considera la función vectorial ( ) : 0, 3 2

F t _

π

_→

(

)

( ) 2 cos , , F t = t sent sent

Calcula el triedro de Frenet en el punto 4 F

π



 .

Solución

Justificación: De “14” se sabe que los 3 vectores T t( ), N t( ) y B t( ) forman el triedro de Frenet, entonces se procederá semejante al ejercicio inmediato anterior:

' '

' '

( ) ( )

( ) , ( ) y ( ) ( ) ( )

( ) ( )

F t T t

T t N t B t T t N t

F t T t

= = = ×

De F t( )=

(

2 cos ,t sent sent,

)

, se tiene:

(

)

'

( ) 2 , cos , cos F t = − sent t t Su modulo es:

(

)

2

(

)

' 2 2 2 2 2 2

( ) 2 cos cos 2 2 cos 2 cos 2

F t = − sent + t+ t = sen t+ t = sen t+ t =

Como se pide en el punto 4 F_

π

_

 , se tiene:

' 2 2 2 2 2 2 2 2

2 , cos , cos 2 , , , , 1, ,

4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2

F 

π

= − sen

π

 

π

 

π

_{ }= − _{ }  = −   _{ }= − _

        _{ }     

Su modulo es:

( )

2 2

2

' 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 2

4 2 2 4 4 4

F 

π

 = − +_ _ +_ _ = +      + = + + = + =

  _{   }      

NOTA: Como el módulo F t'( ) no depende de t, puedes obviar el calculo '

4 F  

π



  y tomar sin problemas que:

'

2 4

F 

π

 =

  .

Entonces: ' '

1 2 2 1 2 1 1 2 1 1

4

, , , , , ,

4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 F T

F

π

π

π

 

  _{     }

 ₌   _{= − = − = −}

     

  _{     }

 

  _{     }

 

 