Determinación de la máxima deflexión en vigas de Euler Bernoulli y Timoshenko aplicando el Método de los Elementos Finitos

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(1)Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. NACI ONAL D E. I LLO UJ. -U. NT. UNIV. I. D DA. TR. ER S. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA DE POSGRADO UNIDAD DE POSGRADO EN CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS. PO SG. RA. DO. Determinación de la máxima deflexión en vigas de Euler-Bernoulli y Timoshenko aplicando el Método de los Elementos Finitos. TE CA. DE. TESIS PARA OPTAR EL GRADO DE MAESTRO EN INGENIERÍA MATEMÁTICA. AUTOR:. Br. Piedra Cáceda, Carlos Felipe. BI. BL IO. ASESOR: Dr. Lara Romero, Luis Alberto. TRUJILLO- PERÚ 2019. Nº REG:. i Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(2) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. La tesis es aprobada por:. DO. -U. NT. ---------------------------------------------Dr. Gilberto Amado Méndez Cruz Presidente del Jurado. DE. PO SG. RA. ----------------------------------------------Dr. Obidio Elisban Rubio Mercedes Secretario. BL IO. TE CA. ----------------------------------------Dr. Luis Alberto Lara Romero Asesor. BI. Fecha de defensa de tesis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . …….. Calificación: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Trujillo, 09 de septiembre del 2019.. ii Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(3) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Dedicatoria. fuerzas para lograr mis metas trazadas sin desfallecer. A mis padres Felipe y Olga, por su apoyo incondicional en todo momento, pese a las adversidades e inconvenientes que tiene la vida. A mis hermanos: Ricardo, Lady, Ida y Lucy por su motivación y apoyo.. -U. NT. A mi mujer e hija: Anabell y Angela por su paciencia y cariño, durante la ejecución de mi tesis.. Carlos F. Piedra C.. BI. BL IO. TE CA. DE. PO SG. .. RA. DO. A mis sobrinas: Diana, Jenny, Astrid, Medalit, Yamileth y a mis sobrinos: Brandon y Jeremy, quienes vieron de cerca mi lucha por alcanzar mi objetivo, pese a las adversidades que se presentaban. Para que tal vez, en el futuro, sirva de una humilde motivación, para cuando quieran hacer realidad un sueño.. iii Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(4) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Agradecimiento. Carlos F. Piedra C.. BI. BL IO. TE CA. DE. PO SG. RA. DO. -U. NT. En forma muy especial agradezco a Dios por ser él quien no me desampara dándome su infinito amor en cada paso de mi vida. Así mismo doy mi agradecimiento a mis padres y hermanos por su apoyo económico y por su apoyo moral desde el inicio de mis estudios de maestría, motivándome y dándome fortaleza ante cualquier dificultad durante mi formación académica. De igual modo mi agradecimiento al conjunto de profesores de la Maestría en Ingeniería Matemática de la Universidad Nacional de Trujillo, por haber tenido yo, el agrado de ser su alumno, por sus valorables enseñanzas que me formaron para ejecutar con responsabilidad esta actividad científica. Mi especial agradecimiento: al profesor Luis Lara Romero, por su paciencia y comprensión, por ser mi asesor, siendo de esta manera mi guía y el responsable de mi iniciación en la investigación matemática; al profesor Nelson Aragonés, por su exacta formación matemática transmitida con emoción y rigurosidad a mi persona. Por su valorable orientación que recibí de ellos durante mis estudios de postgrado, me siento muy agradecido.. iv Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(5) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Índice. I. Introducción. 1. II. Material y métodos. 5. NT. 2.1. Material de estudio …………………………….…………………………….….….. 2.2. El Método de Galerkin.…………………………………………………………...… 2.3. Método de los elementos finitos………………………………………………..….... 2.4. Modelos para la deflexión de vigas…………………………………………..….…... 37. -U. III. Resultados y discusión. 6 7 11 12. RA. DO. 3.1. Formulación variacional ………………………………..……………………….…... 37 3.2. Existencia y unicidad de la solución del problema variacional ………..………….… 41 3.3. Formulación vía Elementos Finitos …...…………………………………………….. 49 3.4. Resultados Numéricos .……………………………………………………...……... 108. PO SG. IV. Conclusiones V. Referencias. DE. Apéndice. 152 155 155 161. BI. BL IO. TE CA. Apéndice A Apéndice B. 151. v Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(6) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Resumen. TE CA. DE. PO SG. RA. DO. -U. NT. En este trabajo de investigación se ha determinado las máximas deflexiones en vigas de uno y de varios tramos, con diferentes tipos de apoyo, de carga y de material considerando las teorías de Euler-Bernoulli y Timoshenko, siendo importante en el diseño de vigas, obtener tales deflexiones máximas, para evitar el rompimiento de éstas. Debido a que las deflexiones en vigas se pueden obtener sólo cuando se tiene los valores de las fuerzas de reacción previamente y siendo necesario determinar las deflexiones máximas que alcanza la viga en cualquier punto, es que surge la necesidad de utilizar métodos numéricos como el Método de los Elementos Finitos. Cuando se consideró la teoría de Euler-Bernoulli en vigas de varios tramos con diferentes tipos de apoyo y de carga; se determinó que la máxima deflexión ocurre antes de la dirección donde se aplicó la carga puntual y esto debido a que, en el primer tramo se tiene, en el extremo izquierdo un apoyo en el cual, no hay reacción al momento actuante, por lo tanto la curva elástica va ha tener libertad de girar en el apoyo. Además no hay ninguna restricción al desplazamiento vertical y giro en el punto donde se aplica la carga puntual. Para vigas de uno y varios tramos, con apoyos diferentes, diferentes longitudes y con altura de la sección transversal de viga, elementos viga lineales y cuadráticos, matriz de rigidez obtenida por integración analítica y numérica; se observó que si la relación de esbeltez disminuye, las deflexiones convergen hacia la dirección donde se aplica la carga puntual y si la relación de esbeltez aumenta, las deflexiones se alejan de la dirección donde se aplicó la carga puntual. Por lo tanto, para vigas largas se sugirió utilizar elementos finitos aplicando la teoría de Euler-Bernoulli, en cambio para calcular las deflexiones en vigas cortas se sugirió considerar elementos finitos aplicando la teoría de Timoshenko.. BI. BL IO. Palabras claves: viga; deflexión; elementos finitos; teoría de Euler-Bernoulli; teoría de Timoshenko.. vi Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(7) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Abstract. TE CA. DE. PO SG. RA. DO. -U. NT. In this research work the maximum deflections in beams of one and several sections have been determined, with different types of support, of load and material considering the theories of Euler-Bernoulli and Timoshenko, being important in the design of beams, to obtain such maximum deflections, to avoid the breakage of these. Because deflections in beams can be obtained only when you have the values of the reaction forces previously and being necessary to determine the maximum deflections reached by the beam at any point, is that there is a need to use numerical methods such as the Finite Element Method. When the Euler-Bernoulli theory was considered in beams of several sections with different types of support and load; it was determined that the maximum deflection occurs before the direction where the punctual load was applied and this because, in the first section there is, on the left end a support in which, there is no reaction to the acting moment, therefore the elastic curve will have freedom of turn on support. In addition there is no restriction to vertical displacement and rotation at the point where the point load is applied. For beams of one and several sections with several supports and of different lengths with height of the beam cross section, linear and quadratic beam elements, stiffness matrix obtained by analytical and numerical integration, it has been observed that if the relationship of slenderness decreases, deflections converge towards the direction where the point load is applied and if the slenderness ratio increases, deflections move away from the direction where the point load was applied. Therefore, for long beams it was suggested to use elements finite applying the Euler-Bernoulli theory, instead to calculate the deflections in short beams it was suggested to consider elements finite applying Timoshenko theory.. BI. BL IO. Keywords: beam; deflection; Finite element; Euler-Bernoulli theory; Timoshenko theory.. vii Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(8) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. I. Introducción. DO. -U. NT. El Método de elementos finitos se inició con las investigaciones de Hrennikoff (1941); Courant (1943); Argyris (1955); Turner, Clough, Martin y Topp (1956)[37]; Clough fue el primero en acuñar y emplear el término elemento finito en 1960, Zienkiewicz (1967) [38]; Oden (1972) [4]; Gilbert Strang y George Fix (1973). Y gracias a sus investigaciones el Método del Elemento Finito (MEF) es uno de los métodos numéricos para aproximación de soluciones de problemas que involucran ecuaciones en derivadas ordinarias y parciales, más potentes y utilizadas en la actualidad y, también, posiblemente uno de los más activos como campo de investigación tanto teórica como aplicada. Su potencial se basa principalmente en su sólida base matemática, su capacidad para ser aplicado a una gran variedad de problemas de diferente origen y su aptitud cuando los dominios de análisis son complejos, debido a que las mallas de elementos finitos se adaptan fácilmente, considerando no linealidades y distintos tipos de condiciones de contorno. Por tanto a la hora de abordar un problema, el MEF representa una herramienta de análisis adecuada, eficaz y en muchas ocasiones la única.. BL IO. TE CA. DE. PO SG. RA. La viga es una estructura lineal que trabaja en posición horizontal o inclinada, asentada en uno o más apoyos y que tiene la función de soportar las cargas normales a su dirección. La viga es uno de los elementos fundamentales de una estructura de ingeniería, pudiéndose modelar matemáticamente en diversos sistemas, como por ejemplo en un edificio, un puente, en marcos, en estructuras reticuladas, brazos de robot y chasis de un vehículo. Cuando una viga soporta cargas transversales, se somete a un esfuerzo de flexión, la viga se deforma curvándose. A éste desplazamiento vertical de la curva elástica se le llama deflexión. Entre los más conocidos modelos de viga están los de Euler-Bernoulli y Timoshenko. En el modelo de Euler-Bernoulli, la cortante y la inercia rotatoria son desplazados, y se supone que las secciones transversales planas permanecerán siempre planas y perpendiculares al eje longitudinal de la viga, después de su deformación. En el modelo de Timoshenko, se supone también que las secciones transversales planas permanecerán planas, pero no necesariamente perpendiculares al eje longitudinal de la viga, pues, debido al cortante, hay un giro de la sección en relación a esa perpendicular.. BI. Las deflexiones excesivas en vigas pueden ocasionar rompimiento de éstas y daños en otros elementos estructurales o no estructurales. A partir del análisis estático, se determinan tensiones y deformaciones (deflexiones) en las estructuras bajo carga, incluyendo su propio peso. Si la carga viva o muerta es excesiva, las deflexiones podrían sobrepasar los límites permitidos. Los usuarios no toleran las deflexiones excesivas porque producen una sensación de inseguridad o por estética. El propósito fundamental del diseñador de estructuras es lograr una estructura económica y segura, que cumpla con ciertos requisitos funcionales y estéticos. Los problemas de vigas son modelados por ecuaciones diferenciales, y mayormente el problema una vez planteado, es muy complicado para ser resuelto por los métodos analíticos clásicos [15, 18, 28, 35], debido a que éstos métodos no permiten una solución muy exacta, así como no facilitan el análisis en geometrías complicadas. Por esta razón usaremos el Método de los Elementos Finitos, que es uno de los más potentes y utilizados en la actualidad [25, 29, 38], en el campo de la Ingeniería Estructural. Debido a que al analizar vigas, el MEF permite particionar el dominio en elementos de longitudes arbitrarias, coincidiendo o no estos elementos con los tramos de las vigas, ya que también. 1 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(9) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. BI. BL IO. TE CA. DE. PO SG. RA. DO. -U. NT. un nodo puede ser considerado donde hay una carga puntual; permitiendo esto el análisis de cada elemento, es decir la deflexión en cada nodo y entre los nodos. Las deflexiones por pequeñas que sean tienen gran importancia, en el diseño de vigas. Actualmente el MEF es ampliamente utilizado en la industria y la Ingeniería de Estructuras donde aparecen trabajos de investigación que analizan deflexiones de vigas, tales como Turner, Clough, Martin y Topp (1956), analizaron la rigidez y deflexión de estructuras complejas mostrando que al aumentar el número de nodos aumenta la precisión de los resultados, dentro de su investigación analiza una viga en cantilever. Amiouny, Bartholdi y Vande Vate (1993), analiza en forma heurística la minimización de la deflexión de vigas con soportes en los extremos. Cheng, Han y Huang (1997), aplican el MEF PetrovGalerkin a la viga de Timoshenko, usan integración reducida para evitar el fenómeno de bloqueo y así aumentar la precisión de la solución. Falsone y Settineri (2011), acoplan dos ecuaciones diferenciales clásicas que gobiernan el equilibrio de la viga con única variable: una deflexión ficticia. Esto conduce a una ecuación de elementos finitos que puede ser interpolada por polinomios de tipo Hermite y donde la matriz de rigidez de elementos finitos coincide con la matriz de rigidez del modelo de vigas de Euler-Bernoulli, si el orden de interpolación es igual. Eisenberger (1994), presenta un método para obtener funciones de forma exactas, directamente de las ecuaciones diferenciales de la teoría del viga de Timoshenko. Éstas funciones de forma son cúbicas y parabólicas para la deflexión y la rotación respectivamente. Friedman y Kosmatka (1993), su enfoque se basa en el Principio de Hamilton para la formulación del MEF con elemento de dos nodos, polinomios de Lagrange cúbicos y cuadráticos, además matriz rigidez libre de bloqueo de cortante; para analizar una viga corta de Timoshenko obteniendo resultados exactos para la deflexión. Mukherjee y Prathap (2002), analiza el fenómeno de bloqueo de una viga de Timoshenko con elemento de tres nodos y llegando a la conlusión de que éste tipo de elemento no es muy vulnerable al fenómeno de bloqueo. Reddy (1999), exhibe la formulación via elementos finitos de los modelos de viga de Timoshenko convencional y modificado; utilizando integración reducida. Lee, Koo y Choi (1994), obtine una formulación variacional de la viga de Timoshenko al separar el modo de deflexión por flexión y deflexión por cortante. Los desplazamientos se interpolan como una función de interpolación continua de Hermite para la deflexión por flexión y una interpolación lineal para la deflexión por cortante. El elemento desarrollado no sufre bloqueo de corte, y el resultado de la aplicación de este elemento es bueno de acuerdo con la solución analítica. La ventaja adicional del elemento desarrollado es que el momento se puede calcular exactamente en cualquier ubicación del elemento. Arnold (1981), estudia el efecto del grosor de la viga Timoshenko con carga, sujeta con abrazaderas mostrando que la aproximación lograda por un método estándar de elementos finitos, se degenera para vigas delgadas. En cambio, para una gran familia de métodos de elementos finitos mixtos produce una aproximación casi exacta independientemente del parámetro de espesor. Sugiere cuadraturas de Gauss para las integrales que aparecen en la matriz rigidez del método stándar. Edem (2006), analiza con el MEF una viga de Timoshenko con elemento de dos nodos, pero utiliza un nuevo modelo para representar la rotación de la viga, funciones de forma interdependientes; esto conduce al uso de funciones de interpolación de Hermite y lineal para la deflexión y la rotación respectivamente. La nueva formulación que propone elude el fenómeno de bloqueo. Narayanaswami y Adelman (1974), confirma que la minimización de energía directa produce el correcto comportamiento del EF cuando se incluyen efectos de corte transversal y que no se requiere grados de libertad adicional para tratar éstos efectos de cortante. Reddy (1999), utiliza dos enfoques: El modelo de elementos finitos de deformación supuesta de la teoría de viga de Timoshenko convencional, y el modelo de elementos finitos de desplazamiento asumido de una teoría. 2 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(10) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. BI. BL IO. TE CA. DE. PO SG. RA. DO. -U. NT. de viga de Timoshenko modificada. Para obtener la matriz de rigidez 4 x 4 (para el caso de flexión pura) del modelo de elementos finitos superconvergentes para problemas estáticos. Reddy (1997), analiza vigas de Euler-Bernoulli y Timoshenko. Demuestra que el elemento de interpolación interdependiente proporciona valores nodales exactos para los desplazamientos. El elemento lineal de integración reducida y el elemento de interpolación consistente no están completamente bloqueados, y la discretización de un elemento por miembro que utiliza dichos elementos en el análisis de una estructura de marco producirá desplazamientos erróneos, así como las fuerzas de los miembros. El elemento de interpolación interdependiente basado en la teoría de la viga de Timoshenko es ideal para el análisis estructural de marcos, ya que un elemento por miembro estructural todavía produce desplazamientos y fuerzas nodales exactos. Taylor, Filippou, Saritas y Auricchio (2003), estudian vigas de Euler-Bernoulli y Timoshenko con el MEF Mixto, usando formulación variacional de Hu-Washizu, este enfoque conduce a una formulación libre de efectos de bloqueo. Tessler y Dong (1981), presentan una jeraquía de elementos de viga incluyendo los efectos de deflexión cortante, las interpolaciones interdependientes, cuadratura gaussiana. No presenta deficiencias en el dominio de la relación grosor/longitudes pequeñas. Paiva y Guimarães (2018), hace un análisis comparativo de las deflexiones entre las vigas Euler-Bernoulli y Timoshenko, tomando en cuenta el coeficiente de esbeltez, aplicando el Método de Diferencias Finitas (MDF) y mostrando resultados en Scilab. Observando que para una viga de longitud considerable con diferentes cargas y apoyos, la deflexión entre las de los modelos de Euler-Bernoulli y de Timoshenko prácticamente coinciden, con un leve aumento de valor de la teoría de Timoshenko, debido a la actuación de los efectos de cortante. Pero para una viga corta con baja relación longitud-altura se observa una discrepancia entre las curvas de deflexión entre las teorías, así como una diferencia entre el valor estipulado intuitivamente y el presentado para una carga concentrada. Aguiar (2011), muestra que obtener la deflexión de la viga Euler-Bernoulli empotrada-empotrada con carga triangular, por el método exacto de integraciones sucesivas, es muy complejo y engorroso. Es por ello que utiliza el MDF para calcular las deflexiones (con la solución del sistema matricial) y los giros (por medio de los operadores) en cada punto discreto y un polinomio de aproximación con funciones de forma, para calcular deflexiones en un punto interior de la viga. Luego para calcular acciones de empotramiento perfecto en los extremos de la viga, utiliza las funciones de forma e integrales, dichas integrales son resueltas por medio de un programa computacional. Además usa éste programa para aplicar el método de los desplazamientos en una viga continua con diferentes tipos de cargas y obtiene una gráfica; pero sin algún análisis previo del método aplicado para éste tipo de vigas. Carvallo (2018), hace un análisis comparativo análogo a lo realizado por Paiva y Guimarães, usando también el MDF, con la diferencia que el análisis es en una viga simplemente apoyada sujeta a una carga uniformemente distribuida y en forma paramétrica en relación a ; llegando a las mismas conclusiones con respecto a las deflexiones en vigas esbeltaz y vigas cortas. Feio y Brandão (2011), muestra la aplicación del MDF, para calcular deflexiones adimensionales en vigas Euler-Bernoulli, con cargas uniformemente distribuidas del tipo: simplemente apoyada, empotrada-libre y doblemente empotrada. En las investigaciones mencionadas queda evidente que no analizan deflexiones de vigas de varios tramos, menos con diferentes tipos de, apoyo y carga. Algunas investigaciones aplican el Método de Diferencias Finitas para el análisis de deflexión de vigas de un sólo tramo. El MEF para vigas de Timoshenko se ha utilizado con frecuencia como punto de partida para comprender mejor el problema mucho más complejo de construir una aproximación de elementos finitos para placas Reissner-Mindlin[8], marcos y estructuras reticuladas.. 3 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(11) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. BI. BL IO. TE CA. DE. PO SG. RA. DO. -U. NT. Es de gran importancia en el diseño de vigas, determinar las máximas deflexiones para evitar rajaduras o rompimiento de éstas y además no hay trabajos realizados en nuestro medio que muestren los detalles a la hora de abordar vigas con más de un tramo o por ejemplo vigas en la cual se pretenda hallar deflexiones en un punto que no es apoyo. Los ordenadores han aportado el medio eficaz de resolver la multitud de ecuaciones que se plantean en el MEF. Y se han desarrollado sofisticados paquetes gráficos que facilitan la discretización y la síntesis de resultados [13, 16, 20]. Hoy en día ya se concibe la conexión inteligente entre las técnicas de análisis estructural, las técnicas de diseño (CAD), y las técnicas de fabricación. Gracias a la tecnología en diseño, el análisis asistido por computadora se ha vuelto una herramienta básica en una gran cantidad de empresas ya que permite conocer el comportamiento de la viga sin requerir ensayos en laboratorio, reduciendo así los costos y tiempos de prueba; permitiendo mejorar características como estabilidad, resistencia y seguridad entre otros [1, 2, 25, 27, 28]. En el presente trabajo, se define una viga y se describe sus características. Así como también deflexión de viga. Seguidamente se detalla el Método de Galerkin y se explica el Método de los Elementos Finitos. Además se obtienen los modelos de deflexión de vigas de Euler-Bernoulli y de Timoshenko. Luego se realiza la formulación variacional de los modelos de vigas de Euler-Bernoulli y Timoshenko. Se demuestra la existencia y unicidad, de la solución del problema variacional de las vigas de Euler-Bernoulli y Timoshenko. También se contruye la formulación via elementos finitos de los modelos de vigas EulerBernoulli y Timoshenko, usando funciones de forma de Hermite y de Lagrange en el método de Galerkin. Se aplica detalladamente el Método de los Elementos Finitos a una viga simplemente apoyada con carga puntula a de su extremo izquierdo; a una viga en voladizo con carga puntual en su extremo libre y a dos vigas con tres tramos y con difrentes tipos de: apoyos y cargas; en éste último caso es muy importante el proceso de ensamble y la imposición de condiciones de frontera. Considerando las Teorías de EulerBernoulli y de Timoshenko. Además se usan elementos de igual longitud y de diferente longitud; elementos lineales, cuadráticos y de Hermite; y se construyen matrices de rigidez con integración analítica y numérica. Llegando a obtener deflexiones máximas en todas las vigas mencionadas, siendo esto de gran importancia en el diseño de vigas. Finalmente, debido a que también se obtienen giros en los nodos, esto permitió calcular las fuerzas de reacción en las vigas de varios tramos considerando las Teorías de Euler-Bernoulli y de Timoshenko. También se brinda subrutinas fáciles de aplicar en programas computacionales, para determinar deflexiones máximas en vigas Euler-Bernoulli y Timoshenko. Ya que de ésta manera se puede hacer un mejor análisis en el diseño de vigas y así evitar desastres estructurales.. 4 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(12) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. II. Material y métodos. BI. BL IO. TE CA. DE. PO SG. RA. DO. -U. NT. En el presente trabajo, se define: viga, deflexión y se describe las características de la viga. Seguidamente se detalla el Método de Galerkin y se explica el Método de los Elementos Finitos. Además se obtienen los modelos de deflexión de vigas de Euler-Bernoulli y de Timoshenko. Luego se realiza la formulación variacional de los modelos de vigas de EulerBernoulli y Timoshenko. Se demuestra la existencia y unicidad, de la solución del problema variacional de las vigas de Euler-Bernoulli y Timoshenko. También se contruye la formulación via elementos finitos de los modelos de vigas Euler-Bernoulli y Timoshenko, usando funciones de prueba de Hermite y de Lagrange en el método de Galerkin. Se aplica detalladamente el Método de los Elementos Finitos a una viga simplemente apoyada con carga puntula a de su extremo izquierdo; a una viga en voladizo con carga puntual en su extremo libre y a dos vigas con tres tramos y con difrentes tipos de: apoyos y cargas; en éste último caso es muy importante el proceso de ensamble y la imposición de condiciones de frontera. Considerando las Teorías de EulerBernoulli y de Timoshenko. Además se usan elementos de igual longitud y de diferente longitud; elementos lineales, cuadráticos y de Hermite; y se construyen matrices de rigidez con integración analítica y numérica. Llegando a obtener deflexiones máximas en todas las vigas mencionadas. Así mismo se construye subrutinas en Octave, para determinar las máximas deflexiones en vigas Euler-Bernoulli y Timoshenko.. 5 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(13) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. 2.1 Material de estudio Cuando una viga, miembros estructurales que soportan cargas que se aplican perpendiculares a su eje longitudinal; se somete a un esfuerzo de flexión, la viga se deforma curvándose. A la cantidad numérica de ese desplazamiento vertical del eje longitudinal (o eje de simetría) se le llama deflexión (Figura1.1). En general, las vigas son barras largas y rectas que tienen un área de sección transversal constante.. NT. L. -U. Eje de simetría F. Curva elástica. PO SG. RA. DO. Deflexión. Figura 1.1: Curva elástica y deflexión. DE. La viga tiene más de una deflexión, que por lo general, dependerá: del material, tipo de carga y tipo de apoyo. En consecuencia, al comparar todas las deflexiones, se puede determinar la máxima deflexión de una viga.. TE CA. El material de estudio son las vigas Euler-Bernoulli, es decir aquellas donde las secciones planas de la viga siguen siendo perpendiculares al eje de la viga después de la deformación; y las vigas de Timoshenko, donde las secciones planas de la viga no siguen perpendiculares al eje de la viga después de la deformación.. BL IO. Además consideramos las vigas con las siguientes características:. BI. • Elástica: Porque tienen la capacidad de recobrar su forma y dimensiones primitivas cuando cesa el esfuerzo que había determinado su deformación. • Lineal: Cuando la relación entre las tensiones y deformaciones es lineal. • Homogénea: Aquellas que tiene las mismas propiedades elásticas en todos los puntos de la viga. • Isotrópica: Que tiene las mismas propiedades elásticas en todas las direcciones en cada punto de la viga.. 6 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(14) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. 2.2 El Método de Galerkin Considere (según [26]) la siguiente ecuación diferencial unidimensional: (1.1) donde denota una operador diferencial, es una función desconocida y función conocida. Suponga que las condiciones frontera de la ecuación (1.1) son:. es una. (1.2). RA. DO. -U. NT. donde y son cantidades conocidas. Esta característica de la ecuación diferencial (1.1) con condiciones de frontera (1.2) pueden ser resueltas solo analíticamente para obtener la solución exacta para ciertas expresiones sencillas para el operador y la función . Para encontrar una solución aproximada a la ecuación (1.1) con las condiciones (1.2); primero haga una reformulación de la ecuación (1.1). Multiplique la ecuación (1.1) por una función arbitraria , la función peso, para obtener:. PO SG. luego integrando esta expresión sobre la región de interés, se tiene: ∫. (1.3). TE CA. DE. Es obvio que (1.1) implica (1.3) y como denota una función cualquiera, (1.3) implica (1.1), es decir las dos formas son equivalentes. Para mostrar que (1.3) implica (1.1), elegimos la función peso arbitraria como , es decir (1.3) llega hacer: ∫. ∫. BI. BL IO. el cual puede ser verdadero si cumple (1.1). Se tiene que probar que (1.1) y (1.3) son equivalentes, para esto es necesario una integración por partes en (1.1) y se obtiene:. Como se busca una solución numérica aproximada, una aproximación debe ser elegida para la función desconocida . Generalmente se hace la siguiente suposición, la cual es asumida para cumplir las condiciones de frontera (1.2): (1.4) donde son parámetros desconocidos y son funciones de , la cuales se especificará más adelante. Estas funciones son llamadas funciones de base o de prueba. Una vez que los parámetros son conocidos, la solución aproximada es dada por (1.4), es decir la tarea es determinar los parámetros . Las funciones de prueba son elegidas arbitrariamente, es obvio que algún conocimiento físico del problema facilita la elección de las funciones de prueba apropiadas. Se puede tomar la aproximación (1.4) como una aproximación en el elemento. En ese caso: serían los valores de en 7 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(15) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. los puntos nodales y las funciones de prueba se convertirían en funciones de forma globales. Sin embargo (1.4) pueden ser tomado como alguna aproximación y esta es la razón por la que son funciones de prueba. La aproximación (1.4) es expresada como: (1.5) donde: (1.6) [ en (1.3) por. y se tiene que:. NT. Reemplazando. ]. -U. ∫. (1.7). RA. DO. Igualmente en la ecuación diferencial (1.1), puede ser sustituida por y esto no sorprende que en general no satisface la ecuación exactamente. Entonces: (1.8). PO SG. donde es una medida de error. Esta medida es el término residual. Con (1.8), (1.7) es escrito como: ∫. (1.9). BI. BL IO. TE CA. DE. Puesto que el residuo depende de (1.8) y la ecuación (1.5) con parámetros desconocidos dados por a, (1.9) es una expresión la cual depende de los parámetros . El objetivo es la elección de la función peso para que estos parámetros puedan ser determinados, el cual, implica que la solución aproximada (1.5) sea conocida. La ecuación (1.9) puede ser interpretada para que el residuo, , dado un cierto peso, y la integral de este peso residual, , sobre la región de interés requerida sea cero. Los diversos métodos residuales pesados difieren en cómo elegimos la función peso . Obviamente, la elección específica de la función peso influye en los valores de los parámetros , los cuales son determinados. Otra característica también relacionada con (1.9) es la ortogonalidad. La condición de ortogonalidad para dos vectores columna a y es expresada por: . Para funciones, también se puede hablar de ortogonalidad y la función es ortogonal a la función en el intervalo si cumple (1.9). La ecuación (1.9) sirve como un vehículo para determinar las incóngitas , es decir a. Para ver cómo se encontrarán éstas incógnitas, escribimos la función peso arbitraria generalmente como: (1.10) donde son funciones conocidas de , la cual se especifica en adelante y son ciertos parámetros. Note que el número de términos en (1.10) es el mismo como el número de términos en (1.4). Con las definiciones. 8 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(16) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. +. *. (1.11) [. ]. (1.10) es expresado como: (1.12). no depende de la coordenada , se. DO. Reemplazando (1.13) en (1.9) y observando que obtiene:. , se concluye que:. PO SG. ∫. RA. ∫ Como esta expresión es válida para las matrices. (1.13). -U. NT. Como la función peso es arbitraria y como es conocida, se concluye que los parámetros es decir , son arbitrarios. Además, como es un número y como la transpuesta de un número es igual al mismo número, es decir , se puede expresar (1.12) como:. Como la matriz columna tiene la dimensión comprende, en efecto, - ecuaciones. Entonces (1.14) se puede expresar como:. (1.14) (1.11), la expresión (1.14). ∫ (1.15) ∫. BI. BL IO. TE CA. DE. ∫. La expresión de (1.15) es basada en (1.9) y (1.12),use el hecho que la función peso es arbitraria, es decir es también arbitraria. Alternativamente, en (1.9) se puede directamente elegir funciones peso arbitrarias y primero elegimos , luego y así sucesivamente, el resultado de esta aproximación es otra vez dado por (1.15). Se prefiere la aproximación basada en (1.12) , como esta facilita una notación corta, especialmente en posteriores formulaciones de Elemento Finito, pero debe estar conciente de la equivalencia de las dos proximaciones, ambas conducen a (1.15). Retornando a (1.15), el punto esencial es que el residuo depende de las incognitas (1.8 y 1.5). Por lo tanto sirve como un sistema de ecuaciones para determinar estas incógnitas. Para ver esto más claramente, reemplace (1.5) en (1.8) para obtener:. 9 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(17) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. La matriz a no depende de la coordenada , es decir: (1.16) La diferenciación de la matriz requiere diferenciar cada uno de sus componentes, es decir de (1.6) se obtiene que: (1.17) es una matriz de dimensión ∫ donde. . El uso de (1.16) en (1.14) implica ∫. (1.18). es considerada independiente de . Con las definiciones:. ∫. ∫. ∫. BL IO. ∫. RA. DO. ∫. TE CA. ∫. y. la dimensión. (1.20) (por 1.17), las expresiones. PO SG. Como tiene la dimensión para y se escriben como:. [. (1.19). son independientes de , (1.18) es expresado como el sistema de ecuaciones. DE. donde y lineales:. ∫. -U. ∫. NT. Mostrando que que:. ∫. ∫. ∫. ∫. ∫. ∫ ]. [. ] (1.21). BI. Se muestra que es una matriz cuadrada con dimensión . La expresión (1.20) consiste de - ecuaciones lineales de las cuales las incognitas , es decir a, puede ser determinada, para luego sustituir en (1.5) y así obtener la requerida solución aproximada. En el método de Galerkin las componentes de la matriz dadas por (1.11) son elegidas de acuerdo con: (1.22) es decir las componentes , son iguales a las funciones de prueba . En conclusión, expresamos esto de la siguiente manera: (1.23) Con (1.22) , (1.15) produce: (1.24) ∫. 10 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(18) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Refiriéndose a la discusión de (1.9), se sigue que en el método de Galerkin las funciones de prueba son ortogonales al residuo. Para determinar especificamente la matriz coeficiente y el lado derecho del sistema de ecuaciones de (1.20), se reemplaza (1.22) en (1.21) para obtener: ∫. ∫. ∫. ∫. ∫. ∫. ∫. ∫. ∫. ∫. ∫. ]. [. ] (1.25). PO SG. 2.3 Método de los elementos finitos. RA. DO. -U. [. NT. ∫. El Método de los elementos finitos comprende los siguientes pasos:. TE CA. DE. 1. Discretización del dominio: El dominio es subdividido en pequeños dominios, estos subdominios son interpretados como elementos. Para un dominio unidimensional, el cual es una línea recta, los elementos son pequeños segmentos interconectados que forman la línea original.. BI. BL IO. 2. Discretización de la variable: Se selecciona una función de interpolación que provee una aproximación de la incógnita en un elemento. Esta función generalmente está constituida por una combinación de funciones base polinomiales, llamadas también funciones forma. Los polinomios de mayor orden, se aproximan más a la solución. Una vez que el orden del polinomio se seleccionó, podemos obtener una expresión para la incógnita en un elemento. 3. Discretización de la ecuación: Se discretiza la ecuación diferencial hasta formular un sistema de ecuaciones algebraicas. Para este paso, se usa el método de Galerkin. Este proceso transforma las ecuaciones diferenciales en un sistema de ecuaciones algebraicas, que se pueden escribir en forma matricial. Este proceso tiene tres subpasos: - Formulación de las ecuaciones elemento: Estas se obtiene utilizando las funciones forma locales y usando Galerkin sobre cada elemento. Con esto se obtendrá la matriz de rigidez, el vector frontera, el vector de carga uniforme y el vector de carga puntual de cada elemento. - Ensamblaje de las ecuaciones elemento: usando la matriz de conectividad, se suma apropiadamente todos los sistemas elemento obteniendo un sistema de ecuaciones global. Con esto se obtendrá la matriz de rigidez global y el vector de fuerza global. 11 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(19) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. - Imposición de las condiciones de contorno: el sistema obtenido, es singular mientras no se incorpore las condiciones de contorno, cuya implementación genera un sistema viable para resolverse.. RA. 2.4 Modelos para la deflexión de vigas. DO. -U. NT. 4. Solución del sistema discreto(Implementación computacional): El paso final en el proceso del elemento finito es resolver el sistema de ecuaciones algebraico, como la matriz de rigidez es rala (tipo sparse), es decir la mayoría de entradas son ceros; generalmente son matrices banda, el método que usaremos será de gran utilidad si mejora la complejidad computacional.. DE. PO SG. Para construir los modelos de vigas, se considera las ecuaciones de campo exactas: equilibrio, cinemática y relación constitutiva. Además las condiciones de frontera. Así como también se hacen suposiciones cinemáticas para reformular el problema de la deflexión de vigas en una dimensión. Se toma como referencia [26,28,35].. Modelo de Euler-Bernoulli. BI. BL IO. TE CA. Sea una viga con área de sección transversal , la cual es simétrica respecto el plano . El eje es dirigido en la dirección axial y la carga transversal es medida como positiva en la dirección . Esta carga es la fuerza por unidad de longitud, es decir que tiene la dimensión . Además, considere solo cargas normales al plano y localizadas simetricamente respecto al plano . Esto implica que la deflexión de la viga ocurre en el plano y es medida como positiva en la dirección . Todo esto se aprecia en la siguiente Figura (1.2). z. q(x) Sección Tranversal A(x). y. Figura 1.2: Configuración y carga de la viga. 12 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(20) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Deformaciones: La deformación se manifiesta como un cambio de distancia entre dos puntos vecinos del material y como un cambio de ángulo entre dos líneas que se intersecan. Antes de la deformación, un punto en la viga es descrito por las coordenadas . Después de la deformación, este punto se ha movido para que ahora tenga las coordenadas . Los cambios causados por la deformación se denominan componentes de desplazamiento y estos componentes se expresan en el vector de desplazamiento dado por ]. NT. [. . Para un punto . Usando la. RA. DO. -U. Los desplazamientos de un punto están dados por vecino , los desplazamientos se convierten en regla de la cadena, se expresa como. PO SG. (1.26). TE CA. DE. La derivada como se llama gradiente de desplazamiento. Antes de cualquier deformación, considere la siguiente línea paralela al eje (Figura (1.3)). Después de la deformación, esta línea toma la posición . Refiriéndose a esta Figura (1.3), la longitud de es (1.27). es decir. de. se convierte en (. ). BI. BL IO. Del mismo modo, la longitud. (1.28). 13 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(21) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. B’ (x+dx+ ux+dux , y+ uy +duy , z+ uz+duz). A’ (x+ux , y+uy , z+uz). y A (xm, y , z). B (x+dx , y , z) m. m. NT. x. -U. z. es paralela al eje , tenemos que. , es decir (1.26) da. PO SG. RA. Como la línea. en la línea. DO. Figura 1.3: Deformación de la línea. El uso de éstas expresiones en (1.28) se obtiene [(. ). (. ). (. ) ]. (1.29). TE CA. DE. Esta expresión es exacta. Sin embargo, en la mayoría de las aplicaciones de ingeniería, los gradientes de desplazamiento son pequeños en comparación con la unidad, y, como ejemplos, se tiene |. |. |. |. |. |. (1.30). BI. BL IO. El supuesto de pequeños gradientes de desplazamiento implica que (. ). (. ). (. ). (. ). lo que simplifica (1.29) en (1.31). donde es positivo (1.30). Ahora se está en condiciones de calcular el alargamiento relativo de la línea infinitesimal . De (1.27) y (1.31) se deduce que (1.32) Esta relación (1.32) se obtuvo para una línea paralela al eje y, de acuerdo con la terminología habitual, se denota este alargamiento relativo como la deformación normal. 14 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(22) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. en la dirección , es decir, . Tratando las líneas paralelas a los ejes misma manera, se obtienen las siguientes deformaciones normales:. y de la. (1.33). dux. B’. PO SG. RA. DO. C’. -U. NT. A continuación se calcula los cambios de ángulos. Antes de la deformación, se consideran dos líneas ortogonales y paralelas a los ejes de coordenadas (Figura (1.4)). Debido a la deformación, los puntos , y se mueven a , y , respectivamente, como se muestra en la Figura (1.4).. C. duy. A’ (x+ux , y+uy ). dy. TE CA. DE. y. B. A (x , y) mm. BL IO. dx. x. BI. Figura 1.4: Distorsión del ángulo recto CAB por deformación. Como solo interesan los cambios de ángulos, y como se suponen gradientes de desplazamiento pequeños, podemos ignorar los cambios en la longitud de y , es decir, e . Por lo tanto, la Figura (1.4) proporciona que (1.34) A lo largo de , se mantiene, es decir, (1.26) produce mismo modo, a lo largo de , se cumple, lo que implica que . El uso de estas expresiones en (1.34) da. . Del. 15 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(23) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. donde el para pequeños ángulos. De ello se deduce que el ángulo ortogonal ha disminuido debido a la deformación en la cantidad (1.35). (1.36). -U. NT. Esta cantidad se llama la deformación de cortante donde los subíndices indican que las líneas y son paralelas a los ejes y , respectivamente. Tratando los cambios de ángulos entre las otras direcciones de coordenadas de la misma manera, se obtienen las siguientes deformaciones cortantes:. DO. 1. Condiciones de equilibrio. PO SG. RA. Para una sección normal al eje , se tiene los componentes de esfuerzo y . Debido a la simetría y carga respecto del plano , se puede restringir y considerar el efecto de los componentes de esfuerzo y por el cual se toma:. (1.38). es el momento respecto del eje . De acuerdo con las direcciones positivas para (Figura 1.5), las direcciones positivas de y son mostradas en la Figura (1.6).. BI. BL IO. donde y. y una fuerza. TE CA. DE. Con estas componentes de esfuerzo definimos un momento flexionante cortante vertical como: ∫ ∫. (1.37). Figura 1.5: Componentes de esfuerzo. 16 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(24) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. z. y fuerza cortante. -U. Figure 1.6: Direcciones positivas para el momento flexionante. NT. x. resulta una fuerza normal. DO. Se observa que la componente de esfuerzo dada por:. (sólo considere cargas normales al plano. PO SG. Como no hay fuerzas actuando en la dirección ), el equilibrio horizontal implica que:. (1.39). RA. ∫. en la dirección. (1.40). TE CA. DE. Para una parte infinitamente pequeña de la viga, las fuerzas y momentos causados por y son mostradas en la Figura (1.7). El equilibrio vertical requiere que:. (1.41). BL IO. es decir:. BI. z. x Figura 1.7: Una parte infinitamente pequeña de la viga. 17 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(25) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Evaluando el momento en equilibrio, por ejemplo al extremo izquierdo de la parte infinitamente pequeña mostrada en la Figura (1.7), se tiene:. es decir:. como. y. son cantidades infinitesimales,se concluye que:. NT. (1.42). -U. 2. Relaciones cinemáticas. RA. DO. La característica esencial de la teoría de vigas es que se hacen ciertas suposiciones cinemáticas. La suposición cinemática fundamental para ingenería en teoría de vigas, el cual data respaldado por Jacob Bernoulli (1654-1705), es expresado por:. PO SG. Las secciones transversales normales al eje de la viga permanecen planas y normales al eje de la viga después de la deformación.. DE. Para investigar las consecuencias de las suposiciones de Bernoulli, consideremos una sección plana normal para el eje antes de la deformación (Figura (1.8)).. TE CA. z. Q´. BL IO. -z. P´. BI. w Q ●. -z. u0. x. ●P. Figura 1.8: Deformación de la Viga de Euler-Bernoulli. Los dos puntos y son localizados sobre este plano y el punto es localizado sobre el eje . Debido a la deformación, los puntos y se desplazan a las posiciones y , siguiendo con las suposiciones de Bernoulli, el plano definido por es normal al eje de. 18 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(26) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. deformación de la viga. Puesto que es localizado debajo del eje , la distancia (una cantidad positiva) entre y y entre y es dada por . En la Figura (1.8) se tiene: La curva elástica es muy llana y su pendiente en cualquier punto también es muy pequeña. El valor de esta pendiente, , puede hacerse sin error apreciable, igual a , es decir. .. y. en las direcciones. y. del punto. son dados por:. DO. y la deflexión. del punto . Además asumir que: (1.44). sólo depende de , es decir:. (1.45). PO SG. y que. es el desplazamiento en la dirección. RA. donde. (1.43). -U. NT. Luego los desplazamientos. Ahora con (1.43) y (1.44), en (1.33) y (1.36), las deformaciones llegan a ser:. TE CA. DE. (1.46). y cortante. son diferente de. BL IO. es decir sólo las componentes de deformación: normal cero.. (1.47). 3. Relación constitutiva. BI. Asumir elasticidad lineal en términos de la ley de Hooke para materiales isotrópicos. De la Ley de Hooke generalizada: (1.48) donde: D es la matriz constitutiva. Si E es el módulo de Young, entonces la ecuación (1.48) en forma matricial es:. es la razón de Poisson,. 19 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(27) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. ]. NT. [. ]. [. ] (1.49). DO. -U. [. ]. DE. [. PO SG. RA. De acuerdo con (1.46) y (1.47) sólo las deformaciones, normal y cortante , son diferente de cero. Pero para la viga de Euler-Bernoulli no hay giro de la sección transversal en la dirección de , es decir, la deformación cortante igual a cero. Entonces (1.49), ahora es:. ]. (1.50). (1.51). TE CA. y. [. BI. BL IO. Una comparación de (1.51) con (1.37) revela una contradicción, puesto que (1.51) predice que el esfuerzo cortante es igual a cero aunque en realidad esto debe ser diferente de cero para tener una fuerza cortante diferente de cero. Por lo tanto se sostiene y acepta la contradicción y .1 Como el material es isotrópico, es decir: , en lugar de las ecuaciones (1.50), se asume un estado de esfuerzo uniaxial; es decir, se tiene la relación: (1.52). 4. Selección de la posición del eje x Reemplazando (1.46) en (1.52) obtiene: (1.53). 1. Esta bondad de inconsistencia es típico de simplificación en la teoría de ingeniería la cual intenta reformular problemas que están actualmente en tres dimensiones en una forma simple.. 20 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(28) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. y usando (1.38), el momento flexionante. es determinado por: ∫. ∫. (1.54). donde y sólo depende de la coordenada (observe 1.45). Hasta ahora no se tiene especificado la localización del eje - se tiene precisamente que el eje x esta en la dirección axial de la viga. Para obtener la posible formulación simple, ahora elija la posición vertical al eje de modo que: (1.55) ∫ es constante dentro de la sección transversal, este requerimiento implica que: ∫ es decir el eje puede ser posicionado en el centroide de la sección transversal. La ecuación (1.55) puede por lo tanto ser interpretado de manera que el eje sea localizado por el centroide de la sección transversal cargada con el parámetro del material . Usando (1.55), (1.54) llega a ser:. es constante sobre la sección transversal, (1.56) se reduce a:. PO SG. Si. (1.56). RA. ∫. DO. -U. NT. Si. ∫. (1.57). es otra vez la rigidez a la flexión. Con esta notación en (1.56) se puede escribir:. BL IO. donde. TE CA. DE. donde es el momento de inercia respecto al eje . El término es llamado la rigidez a la flexión y si varía a través de la sección transversal se puede por conveniencia introducir la notación: (1.58) ∫. (1.59). BI. es decir es posible expresar el momento en términos de la deflexión . La fuerza normal es dada por (1.39) el cual con (1.53) y (1.55) llega a ser: ∫ En la presente situación se asumió que entonces da:. (1.60). en la Ecuación (1.40). La ecuación (1.60) (1.61). es decir no hay elongación del eje . Sin embargo, igual en la situación donde la fuerza normal , se obseva de (1.59) y (1.60) que, puesto que el momento flexionante es regulado por el término. , la fuerza nomal es determinada por la cantidad. .. 21 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(29) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Por tanto se concluye que el fenómeno de flexión y elongación de la viga es un fenómeno independiente, es decir, ellos pueden ser tratados separadamente. Se recalca que estas ventajas independientes es un resultado de seleccionar la posición vertical al eje como dado por (1.55).. 5. Ecuaciones diferenciales para la teoría de vigas de Bernoulli En la presente situación donde la fuerza normal (1.53) se reduce a:. es cero, (1.61) es válido. Así (1.46) y. NT. (1.62). RA. de. es asumida muy pequeña, se obtiene aproximadamente, que:. DE. Como la pendiente. presentado en (1.59) y (1.62), se tiene la curvatura. PO SG. Ahora para evaluar el término la curva es definido por:. DO. -U. es decir la deformación axial (o normal) y el esfuerzo axial (o normal) son cero a lo largo del eje . El eje neutral es en general definido como aquel que no ocurre esfuerzo axial a lo largo del eje. Con la localización del eje definido por (1.55) y con la fuerza normal , el eje llega a ser eje neutral.. (1.63). TE CA. es decir se puede escribir (1.59) como:. (1.64). BI. BL IO. Se obtiene de (1.59) que esto es posible para expresar el momento flexionante en términos de la deflexión . Sin embargo, el esfuerzo cortante no puede ser determinado usando la relación constitutiva puesto que la deformación cortante es asumido como cero. Consecuentemente, la fuerza cortante no puede ser expresada por cantidades cinemáticas. El presente objetivo es obtener la ecuación diferencial para el comportamiento de la viga expresado en términos de la deflexión . Para este propósito recuerde las condiciones de equilibrio dadas por (1.41) y (1.42). Como sólo el momento puede ser relacionado a la deflexión , se reemplaza (1.42) en (1.41), es decir se elimina la fuerza cortante de (1.41) y (1.42) para obtener: (1.65) Estas condiciones de equilibrio son válidos de asumir la constitutiva y cinemática. El uso de (1.59) en (1.65) produce la ecuación diferencial (1.66). 22 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(30) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. donde es la deflexión de la viga, es la longitud de la viga, es el módulo de Young, es el momento de inercia y es la carga transversal distribuida. Las condiciones de frontera naturales:. PO SG. RA. DO. -U. NT. Las condiciones de frontera esenciales:. Modelo de Timoshenko. TE CA. DE. Sea un elemento infinitesimal de viga rectangular , como se muestra en la Figura (1.9), la cual se deforma bajo exposición del esfuerzo cortante. Aquí ocurre un cambio de los ángulos rectos originales así como también un cambio en la longitud de sus extremos. La deformación del punto puede ser descrita vía los campos de desplazamiento y . Estas dos funciones de dos variables pueden ser expandidas en Series de Taylor de primer orden alrededor de A para calcular las deformaciones de los puntos y aproximadamente:. BL IO. (1.67). BI. (1.68). o alternativamente: (1.69) (1.70) en las ecuaciones de (1.67) hasta (1.70), de cuerpo rígido.. y. representan el desplazamiento. 23 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(31) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. y. C' D *. α. D ' B'. A. B. PO SG. RA. DO. C. -U. A' D. B*. NT. β. DE. x. TE CA. Figura 1.9: Deformación cortante. BI. BL IO. Si se considera que el punto , se obtiene:. en el plano xy para un elemento de viga infinitesimal. tiene las coordenadas. y. las coordenadas (1.71) (1.72). o alternativamente: (1.73) (1.74) La deformación cortante total del elemento de viga deformada resulta, según la Figura (1.9), de la suma de los ángulos y , los cuales son identificados en el rectángulo, que se deforma como un rombo. Bajo la consideración de los dos ángulos rectos en los triángulos y estos dos ángulos son expresados vía:. 24 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(32) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. (1.75) Para las deformaciones pequeñas aproximadamente se hace que: alternativamente:. y. y. o. , de modo que para la deformación cortante [15],. resulta la siguiente expresión:. PO SG. RA. DO. -U. NT. (1.76). Figura 1.10: Deformación cortante en el plano xy :. una positiva y otra. negativa. BI. BL IO. TE CA. DE. El signo de la deformación cortante necesariamente se explica en la Figura (1.10) para el caso especial de que solo una fuerza cortante actúa en paralelo al eje . Si una fuerza cortante actúa en dirección del eje positivo en la cara de la derecha - tiene una distribución de la fuerza cortante positiva se asume en ese punto -, de acuerdo a la Figura (1.10a) bajo consideración de la Ecuación (1.76) la deformación cortante resulta positiva. En consecuencia, una distribución de la fuerza cortante es negativa, de acuerdo a la Figura (1.10b) la deformación cortante llega a ser negativa. Se sabe que la distribución del esfuerzo cortante es alterable a través de la sección transversal. Como un ejemplo, en la Figura(1.11), se puede apreciar la distribución del esfuerzo cortante en una sección transversal rectangular.. Figura 1.11: Diferente distribución de esfuerzos para la viga flexionada usando el ejemplo de una sección rectangular para un material elástico lineal: esfuerzo normal(cortante rígida) esfuerzo cortante(cortante flexible). 25 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(33) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. A través de la Ley de Hooke para un estado de esfuerzo cortante unidimensional, se puede obtener que el esfuerzo cortante ha de exhibir un curso parabólico 2 como se aprecia en la Figura (1.11(b)), [28]. A partir de la distribución del esfuerzo cortante en el área de la sección transversal en la posición del eje x de la viga, se tiene: ∫. (1.77). Se hace la suposición para la viga de Timoshenko, que actúan un equivalente esfuerzo y deformación cortante constante: (1.78). -U. NT. Este esfuerzo cortante constante resulta de la fuerza cortante, la cual actúa en un área de sección transversal equivalente, llamada área cortante : (1.79) es referida (1.80). RA. DO. luego la relación entre el área cortante y el área de la sección transversal como el factor de corrección cortante :. DE. PO SG. Por supuesto el esfuerzo cortante constante equivalente puede alterar a lo largo de la línea central de la viga, en caso de que la fuerza cortante a lo largo de la línea central de la viga cambie. El atributo constante" sólo se refiere al área de la sección transversal en la posición x y por tanto esfuerzo cortante constante equivalente es en general una función de la coordenada de longitud para esta viga: (1.81). TE CA. Otra suposición cinemática fundamental para ingenería en teoría de vigas, fue dada por Timoshenko:. BL IO. Las secciones transversales normales al eje de la viga permanecen planas pero no necesariamente normales al eje de la viga después de la deformación.. BI. Se observa en la Figura (1.12) que las secciones transversales planas también permanecen planas después de la deformación, sin embargo una sección transversal, que se situó en ángulo recto en el eje de la viga antes de la deformación, no está en ángulo recto en el eje de la viga, cualquier tiempo después de la deformación. A la viga con éstas características se le llama viga de Timoshenko.. 2 De [28]: La distribución de tensiones tangenciales en una sección rectangular de base y altura , sometida a esfuerzo cortante vertical es parabólica en función de la ordenada , es nula en las fibras extremas ( ), y tiene su valor máximo en los puntos del eje .. 26 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(34) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. NT. y. de la sección transversal en el plano. RA. DO. Figura 1.12: Giro. -U. x. PO SG. 1. Cinemática. Siguiendo un procedimiento parecido a lo realizado con la cinemática de la viga de EulerBernoulli. Tome en cuenta la Figura (1.12). La siguientes relaciones son obtenidas:. TE CA. DE. de donde, via la relación general para la deformación, resulta a través de diferenciación:. (1.82) , la relación cinemática (1.83). (1.84). BI. BL IO. Observe que resulta de depreciar la deformación cortante. Además, la siguiente conexión entre los ángulos pueden ser obtenidos de la Figura (1.12). las cuales completan el conjunto de relaciones cinemáticas. Se ha de subrayar que la línea de flexión se consideró a y por tanto el campo de desplzamiento es sólo una función de una variable: .. 2. Equilibrio Las condiciones de equilibrio se obtienen de un elemento de viga infinitesimal con la longitud , que se somete a una carga distribuida constante , Figura (1.13) . Las reacciones internas están marcadas en la ubicación y .. 27 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(35) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. x. -U. NT. y. RA. DO. Figura 1.13: Elemento infinitesimal en el plano (rectángulo de color anaranjado). Reacciones internas y . Carga distribuida constante. PO SG. El equilibrio respecto a las fuerzas verticales: Suponiendo que las fuerzas en la dirección del eje positivo se aplican positivamente, se obtiene lo siguiente: (1.85). DE. Si la fuerza cortante en la cara derecha se expande en una serie de Taylor de primer orden, lo que significa. TE CA. (1.86). BL IO. Reemplazando (1.86) en la Ecuación (1.85), resulta:. entonces se tiene:. BI. (1.87). Para el caso especial en el que no se produce una carga distribuida (1.87) se reduce a:. El equilibrio de los momentos alrededor del punto de referencia en. , la Ecuación. da:. 28 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(36) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Si el momento de flexión en la cara derecha se expande en una serie de Taylor de primer orden según la Ecuación (1.86) y considerando que el término como tamaño infinitesimal pequeño de orden superior se puede ignorar, finalmente se obtine: (1.88). NT. La combinación de las Ecuaciones (1.87) y (1.88) conduce a la relación entre el momento de flexión y la carga distribuida:. -U. 3. Ecuación constitutiva. RA. DO. Para la relación constitutiva ley de Hooke para un estado de esfuerzo normal unidimensional y para un estado de esfuerzo cortante se usa: (1.89). PO SG. es calculado a través del módulo de elasticidad. (1.91). x x. BI. BL IO. TE CA. y. z. y la razón de. DE. donde el módulo cortante Poisson :. (1.90). Figura 1.14: (a) Representación esquemática la distribución de esfuerzo normal de la viga flexionada; (b) definición y posición de un elemento de superficie infinitesimal para la derivación del efecto resultante de los momentos de la distribución del esfuerzo normal. Tomando en cuenta lo que se observa en la Figura (1.14), la conexión entre el momento interno y el esfuerzo de flexión se pueden usar para la viga de Timoshenko: (1.92). 29 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.