Geometría analítica

Objetivos de la unidad:

Aplicarás correctamente la geometría analítica: parábola, elipse e hipérbola al encontrar soluciones a diversas problemáticas del entorno.

Geometría analítica

MATEMÁTICA

Descripción del proyecto:

Una de las aplicaciones de las curvas llamadas cónicas como la parábola se usa en el área de las comunicaciones. Se plantea un problema aplicado a una antena parabólica.

Elipse

Elementos

Lado recto

Centro

Focos

Vértices

Ecuaciones

General Ordinaria

Canónica

Elementos

Focos

Vértices

Lados rectos Eje conjugado

Eje transversal

Asíntotas

Ecuaciones

General Ordinaria

Canónica Hipérbola

sus

son son

puede ser son

Parábola

Elementos

Foco

Vértice

Derectriz

Lado recto

General Ordinaria

son

sus

so

sonn

Ecuaciones

son son

puede ser sus estas son

Cuarta Unidad

Lección 1

Motivación

Indicadores de logro

Si la distancia del punto P(x, y) a la recta fija D es igual que la distancia de P(x, y) al punto F(foco), entonces se genera la curva llamada parábola. En otras palabras, la

Construirás, con orden y limpieza, parábolas e identificarás con interés y seguridad sus elementos.

Construirás la ecuación ordinaria con vértice en el origen o canónica de la parábola a partir del vértice y un parámetro, del foco y un punto; y de la directriz y un foco; con esmero e interés.

Determinarás, con esmero e interés, la ecuación de la parábola utilizando el foco, el vértice y la directriz.

Resolverás y explicarás, problemas del entorno aplicando la ecuación de la parábola.

L

os extremos del cable de un puente se hallan a 1000 m de distancia entre sí, y a 100 m del piso. El centro del cable está a nivel del piso.

Encuentra la altura del cable sobre el piso a una distancia de 300 m de la base de la torre de amarre. Se supone que el cable resiste una carga de igual peso en distancias horizontales iguales.

la parábola

Construcción de la parábola

su distancia a una recta fija llamada directriz (D)es igual a su distancia a un punto fijo llamado foco (F)que no está en la recta.

Elementos de la parábola

Los elementos principales de la parábola son: Directriz (D)

Foco (F)

Vértice (V)

Eje (FV )

La distancia del vértice al foco y del vértice a la directriz son iguales es decir VF=VD = p

El lado recto (Lr) es la cuerda focal perpendicular al eje

P

Eje de simetría vértice

Directriz

L

Ecuación de la parábola con vértice en

el origen

Para obtener la ecuación más sencilla de la parábola llamada canónica, colocamos el eje y a lo largo del eje de la parábola, con el origen en el vértice, como se muestra en la figura. En este caso, el foco F tiene coordenadas (0, p) y la ecuación de la directriz es y = –p. (En la figura se muestra el caso p > 0) por la fórmula de la distancia, un punto P(x, y) está en la gráfica de la parábola si

d(P, F) = d(P, D); es decir, si:

(x − 0)2+ (y −p)2 = (x − x)2+ (y − −( p))2

Eleva al cuadrado ambos lados y simplifica:

x y p y p

x y py p y

2 2 2

2 2 ₂ 2 2

+ = +

+ + =

( – ) ( )

– + +

=

2 4

2

2

py p

x py

La parábola x2 _{= 4py se abre hacia arriba, como en la}

figura anterior. Además, la parábola x2 _{= –4py se abre}

hacia abajo. Ambas son parábolas verticales.

Si intercambias las variables x e y obtienes y2 _{= 4px. Ésta}

sería la ecuación canónica de la parábola horizontal que se abre hacia la derecha.

Además la parábola x2 _{= –4py se abre hacia la izquierda.}

Es importante que repares en estas preguntas y sus respuestas: si la variable que aparece elevada al cuadrado es la x, ¿la parábola es vertical u horizontal? ¿Y cómo es la parábola si la variable al cuadrado es la y? Las siguientes figuras te presentan un resumen de lo anterior.

x

y

x2=4py

P(x,y) F(0,p)

V (0,0)

y =-p

F(p, 0)

y2=4px

F(-p, 0)

y2= -4px

F(0,-p) x2= -4py F(0, p)

x2=4py Horizontal a

la derecha

Vertical hacia arriba

Horizontal a la izquierda

UNIDAD 4

Ejemplo 1

Resuelve la situación planteada al inicio de la lección el cual consiste en: encontrar la altura de un cable sobre el piso a una distancia de 300 m de la base de la torre de amarre. Se supone que el cable resiste una carga de igual peso en distancias horizontales iguales.

Solución:

Traza los ejes cartesianos tal que el origen coincida con el punto de contacto del cable con el piso.

Nota que el cable forma una parábola vertical hacia arriba con vértice en el origen. Luego, es de la forma

x2 _{= 4py. Como el punto (500, 100) pertenece a la}

parábola, satisface su ecuación. Luego:

( ) ( )

,

( )

500 4 100

4 2 500

2

2 500

100

=

= =

p p

Entonces, la ecuación es:

x2 _{= 2,500y}

Observa que deben ser 300 m desde la base de la torre de amarre y como del origen a la torre hay 500 m; entonces del origen a la altura que buscas hay

x = 500 – 300 = 200. Sustituyes x = 200 m, en la ecuación anterior y obtienes:

(200)2 _{= 2,500y y} = ( ) , 200 2 500

2

y = 16

Por lo tanto la altura del cable es de 16 m.

Ejemplo 2

Determina el foco y la directriz de la parábola x2 _{= –6y.}

Traza su gráfica.

Solución:

La ecuación es de la forma x2 _{= –4py. Luego, 4p = 6 o sea,} p = 6 =

4

3 2

En consecuencia, la parábola abre hacia abajo y tiene

foco F 0 3

2 , − 

  como se ilustra en la figura.

La directriz es la recta horizontal y = 3

2 que está a una

distancia 3

2 por arriba de V.

(-500,100)

(-500,0)

(500,100)

(500,0) 300 m

x

y

y

x

0 0 1

-2

-4 2 4 6

2

8 10 -6

-8 -10

-1

-2

-3

-4

-5

y=3

2

V

Ejemplo 3

Determina la ecuación de la parábola que tiene su vértice en el origen, se abre a la derecha y pasa por el punto P (7, –3).

Solución:

Como se abre a la derecha, es una parábola horizontal. Por lo tanto, es de la forma y2_=4px.

Si P (7, –3) es un punto de la parábola, puedes sustituir dicho punto en su ecuación.

y px

p p 2

2

4

3 4 7

9 28

=

− =

=

( ) ( )

luego p = 9 28

Esto significa que las coordenadas del foco son:

9 28, 0   

Luego, su ecuación es:y2 ₄ 9 x

28

=   , o sea, y2 9 x

7 =

Ejemplo 4

Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en el origen y cuya directriz es la recta x = –1.

Solución:

Con los datos que se dan puedes hacer una gráfica para obtener información. En este caso trazas el vértice

V(0, 0) y la directriz x = –1.

Observa que la directriz es una recta vertical. Por lo tanto, la parábola es horizontal, pues su eje es perpendicular a su directriz. También por la ecuación de la directriz x = –1, sabes que p = 1, ya que la parábola se abre hacia la derecha y p es la distancia que existe del vértice de la parábola a la directriz. Entonces, la ecuación de la parábola se obtiene sustituyendo el valor de p = 1 en la fórmula:

y2 _{= 4px} y2 _{= 4(1)x}

y2 _{= 4x que es la ecuación de la parábola}

Para conocer todos los elementos de la parábola, encuentras las coordenadas del foco, la ecuación del eje de la parábola y la longitud del lado recto. Las coordenadas del foco son F(1, 0), la ecuación del eje es

y = 0 y el lado recto es Lr = 4(1) = 4

F(1,0)

p v

p d

x=-1

y

x

y

x

0 0 0.5

1

-0.5

-1

2 1

1.5 2

-1.5

-2

0.5 1.5 2.5 -0.5

-1 -1.5 -2 -2.5

F(9/28,0)

UNIDAD 4

Ejemplo 5

Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco en (5, 0).

Solución:

Debido a que el foco está en (5, 0) y el vértice en el origen, p = 5. Una parábola con foco en el eje x y vértice en el origen, es de la forma y2 _{= 4px.}

La ecuación es y2 _{= 20x.}

¿Por qué la parábola no se abre hacia la izquierda?

Ejemplo 6

Halla la ecuación de la parábola con vértice V (0, 0) y foco F (3, 0).

Solución:

Como la ordenada del foco es y = 0, entonces la parábola es horizontal, ya que el foco está en el eje x. La ecuación que debes utilizar es: y2 _{= 4px}

Como p es la distancia del vértice al foco,

p = 3 – 0 = 3

Luego, la ecuación de la parábola es:

y2 _{= 4(3)x}

Para graficarla, determina la longitud del lado recto Lr:

Lr = p = =

| | | ( )|

4 4 3 12

Con estos datos trazamos la parábola sin recurrir a la tabla de valores.

¿Cuál es la ecuación de la directriz?

Ejemplo 7

De las distintas formas de arco usados en

construcciones, uno tiene la forma de arco parabólico, como lo muestra la figura de la derecha.

Determina la ecuación del arco parabólico cuya altura es 6 m y su claro o luz 12 m.

12 m 6 m

y

x

0 0 2

2 1 4

-4 -1

-2

-6

-8 6 8

3 4 5 6 7

F(5,0)

y

x

0 0 2

2 1 4

-4 -1

-2

-6 6

3 4 5

-2 -3

Lr=12

Ejemplo 9

Determina todos los elementos de la parábola y2 _{= –3x.}

Solución:

La ecuación indica que la parábola es horizontal con vértice en el origen, y abre a la izquierda por el signo negativo.

Tienes: 4 3

3 4 p p = =

Luego, el foco es F _−3 _

4,0 y la directriz es x = 3 4.

El eje de la parábola es el eje x, o sea, y = 0. La longitud del lado recto es 4 4 3 3

4

p _{= } _{ =}

Solución:

Haces coincidir el vértice del arco parabólico con el origen. La ecuación del arco parabólico es de la forma

x2 _{= –4py.}

En la figura puedes observar que A

(

− −6, 6

)

pertenece a la parábola por lo que satisface su ecuación:

−

( )

= −

( )

−

=

= =

2

6 4 6

36 4 3 2 2 36 24 p p p

Luego, la ecuación del arco es:

x y x y 2 2 4 3 2 6 = _ _ = − −

Ejemplo 8

Encuentra todos los elementos de la parábola cuya ecuación es x2 _{+ 8y = 0}

Solución:

x2 _{+ 8y = 0} x2 _{= – 8y}

Esta ecuación representa una parábola vertical con centro en el origen y abierta hacia abajo, ya que el coeficiente de y es negativo.

x2 _{= –8y}

4p = 8

p = 2

Luego, el foco es F (0, – 2) y la directriz es y = 2. El eje de la parábola es el eje y o sea x = 0. La longitud del lado recto es Lr = 4p = 4 2

( )

= 8

UNIDAD 4

1. En cada parábola, determina si es horizontal o vertical y hacia donde se abre.

a) _y2 _{= 6x c) x}2 _{= –10y}

b) _x2 _{= –8y d) y}2 _{= –4x}

2. Encuentra el foco y la directriz de la parábola x2 _{= –10y, construye su gráfica.}

3. _{Determina la ecuación de la parábola si su vértice está en el origen, se abre hacia arriba y pasa por (– 5, 9). Haz lo mismo considerando}

que la parábola se abre hacia la izquierda.

4. Grafica y encuentra la ecuación de la parábola con vértice en (0, 0) si:

a) _{F(0, –2)} b) _{D: x = 3} c)_F _−3 _ 4,0

Resumen

Parábola es el conjunto de puntos tales que la distancia de cualquiera de ellos a un punto fijo llamado foco, es igual a la distancia a una recta fija llamada directriz.

Ecuación Canónica Abre hacia Forma de la Gráfica

x2 _{= 4py Arriba}

x2 _{= –4py Abajo}

y2 _{= 4px La derecha}

y2 _{= –4px La izquierda}

Actividad

Autocomprobación

La ecuación de la directriz en la parábola x2 _{= –20y} es:

a) _{x = –5} b) _{y = –5} c) _{y = 5} d) _{x = 5}

4

El foco de la parábola y2 ₌ 8 3x es:

a) 2

3,0 

  c) −2₃,0

b) 0 2

3 , 

  d) 0 2 3 , −   

2

La distancia focal de la parábola y2 _{= 12x es:}

a) ₄ b) _–4 c) ₃ d) _–3

3

1

De las siguientes parábolas, la que se abre hacia

arriba es:

a) _y2 _{= –4x}

b) _x2 _{= –4y}

c) _y2 _{= 4x}

d) _x2 _{= 4y}

La superficie de los focos o silbines de un carro tienen forma parabólica. Lo anterior se debe a que al colocar una fuente de luz en el punto F, la

totalidad de la luz que se refleja en la superficie del silbín parece ser esa fuente luminosa. Esta

misma propiedad (o su inversa) se ocupa en el diseño de antenas parabólicas, linternas,

telescopios, radares, etc.

En las lupas esta propiedad se aplica para concentrar los rayos luminosos lo cual tiene aplicación en la industria, como el calentamiento

de hornos.

Sol

ucio

nes

1. d . 2. a

. 3. c

. 4. c

.

Cuarta Unidad

Motivación

Si las coordenadas del vértice se convierten en (h, k) en lugar de (0, 0), la ecuación de la parábola vertical

x2 _{= 4py, se convierte en (x – h)}2 _{= 4p (y – k). De igual}

forma, la ecuación de la parábola horizontal se convierte en (y – k)2 _{= 4p(x – h).}

Estas formas se conocen como ecuación ordinaria de la parábola.

Ejemplo 1

Analiza y grafica la parábola (y + 4)2 _{= 2(x – 3).}

Indicadores de logro

Construirás, con orden y limpieza, parábolas e identificarás con interés y seguridad sus elementos.

Construirás la ecuación general de la parábola a partir del vértice y un parámetro, del foco y un punto; y de la directriz y un foco; con esmero e interés.

Determinarás, con esmero e interés, la ecuación de la parábola utilizando el foco, el vértice y la directriz.

Determinarás con precisión la ecuación general de la parábola. 1.2 m

2.5 m

2 m

S

e está remodelando una biblioteca y se considera la entrada con una puerta en forma parabólica la cual tendrá 2.5 metros de altura en el centro y 2 metros de ancho en la base. Además se introducirán libreras de 1.2 metros de ancho.

¿Puedes encontrar la altura máxima de las libreras?

ecuación ordinaria y General de la parábola con

vértice diferente de (0, 0)

Lección 2

Ecuación ordinaria de la parábola

y

x

0

0 2

-2

-4

4

-6

6

-2 8

Ejemplo 2

Determina la ecuación de la parábola si el foco es F (6, 8) y la directriz y – 2 = 0.

Solución:

La ecuación de la directriz es y – 2 = 0, si despejas y = 2. El punto medio entre y = 2, y el valor 8 de la ordenada del foco, es:

8 2

2 5

+ ₌

, este valor representa la ordenada del vértice. La abscisa es 6.

Luego, p = 8 – 5 = 3. Resumiendo los datos anteriores, tienes: V (6, 5) y p = 3. Luego, como la ecuación es de la forma (x – h)2 _{= 4p (y – k), esta queda:}

(x – 6)2 _{= 4(3) (y – 5)}

(x – 6)2 _{= 12(y – 5)}

Solución:

En este caso tienes una parábola horizontal hacia la derecha, ya que la variable que aparece elevada al cuadrado es y, además el signo del coeficiente es positivo. Observa que las coordenadas del vértice van cambiadas de signo, ya que:

x – h = x – 3, de aquí h = 3

y – k = y + 4, de aquí k = -4.

Luego las coordenadas del vértice son (3, –4). Además, 4p = 2, por lo que p = 1

2

Ejemplo 3

Determina la ecuación de la parábola con vértice

V (2, 3) y foco (5, 3), construye su gráfico y define sus elementos.

Solución:

Al analizar los datos observas que se trata de una parábola horizontal, ya que el vértice y el foco tienen la misma ordenada: y = 3. Esta es la ecuación de su eje principal.

Como es una parábola horizontal y abierta a la derecha (el foco está a la derecha del vértice), su ecuación es de la forma:

(y – k)2 _{= 4p(x – h)}

Para encontrarla, además del vértice que ya tienes, necesitas el valor de p.

Por diferencia de valores entre las abscisas, p = 5 – 2 = 3. Sustituye las coordenadas h = 2, k = 3 del vértice y el valor de p = 3, obtienes:

(y – k)2 _{= 4p(x – h)}

(y – 3)2 _{= 4(3)(x – 2)}

(y – 3)2 _{= 12(x – 2)}

Ecuación ordinaria de la parábola

El lado recto es Lr =4p = 4 (3) = 12

La directriz es perpendicular al eje principal. Recuerda que la directriz es una recta vertical cuya distancia al vértice es igual que la del foco al vértice. En este caso

p = 3

Su ecuación la encuentras a partir del vértice con h = 2, tres unidades a la izquierda por lo que restas 2 – 3 = –1 y así la ecuación de la directriz es x = –1.

y

x

0 0 2 -2

5 10

4 6 8 10 12 14 -4

-6

F(6,8)

V(6,5)

UNIDAD 4

Al graficar la parábola considerando todos sus elementos, tienes:

Ejemplo 4

Encuentra la ecuación de la parábola que tiene su vértice en V(5, 4) y su directriz es la recta x = 7.

Solución:

Como la directriz es vertical, la parábola es horizontal y se abre hacia la izquierda, ya que la directriz está a la derecha del vértice. La distancia entre la abscisa del vértice y la abscisa de la directriz es 7 – 5 = 2, p = 2. Luego, las coordenadas del foco son (3, 4). La ecuación del eje de la parábola es y = 4.

Con las coordenadas del vértice h = 5, k = 4 y el valor de p = 2, formas la ecuación. (y – k)2 _{= –4p(x – h) Porque se abre a la izquierda}

(y – 4)2 _{= –4(2)(x – 5)}

(y – 4)2 _{= –8(x – 5)}

La longitud del lado recto es Lr = 4 (2) = 8 con los elementos anteriores graficas la parábola de forma más exacta.

y

x

0 0 2 -2

5 10

4 6 8 10 -4

-6 -8 -10

-5

F(5,3) Lr=12

V(2,3)

D: x=-1

y

x

0 0 -2

5

4 6 8 10 -4

-6 -8

-10 2 12

10

F(3,4)

V(5,4)

Lr=8

Ecuación general de la parábola

Considera la ecuación ordinaria de la parábola: (y + 4)2 _{= 2(x – 3) Es una parábola horizontal.} y2 _{+ 8y + 16 = 2x – 6 Efectuando el desarrollo del}

binomio.

y2 _{+ 8y – 2x + 16 – 6 = 0 Transponiendo términos.} y2 _{+ 8y – 2x + 10 = 0 Reduciendo términos.}

Esta expresión se conoce con el nombre de ecuación general de la parábola. Puedes ver que ésta toma la forma

y2 _{+ Dx + Ey + F = 0. En el ejemplo anterior, ¿cuáles son}

los valores de D, E y F?

De manera similar, si la parábola es vertical, su ecuación general adquiere la forma:

x2 _{+ Dx + Ey + F = 0}

Ejemplo 6

Determina el vértice, foco y directriz de la parábola

y2 _{+ 14y + 4x + 45 = 0}

Solución:

y2 _{+ 14y = – 4x – 45}

y2 ₁₄y 14 2 ₄x ₄₅ 2

2

14 2 + _{+ } _{ = −} − _{+ } _

Completas el trinomio cuadrado perfecto

y2 _{+ 14y + 49 = – 4x – 45 + 49}

(y + 7)2 _{= – 4x + 4 Factorizas}

(y + 7)2 _{= – 4(x – 1) Obtienes factor común – 4}

¿Hacia dónde se abre la parábola?

Luego, las coordenadas del vértice son V (1, –7). Además, 4p = 4, por lo cual p = 1.

Ejemplo 5

Grafica la parábola con vértice V (3, 1) y foco (3, –1) y determina su fórmula y elementos.

Solución:

Como el vértice y el foco tienen la misma abscisa, x = 3. La parábola es vertical y la ecuación de su eje es dicha abscisa, o sea, x = 3. La parábola se abre hacia abajo, ya que el foco está abajo del vértice.

Además, p = 2, ya que la distancia del foco al vértice es: 1– (– 1) = 1 + 1 = 2

Luego la ecuación es: (x – h)2 _{= –4p (y – k)}

Sustituyendo: (x – 3)2 _{= –4(2) (y – 1)}

(x – 3)2 _{= – 8(y – 1)}

La ecuación de la directriz es y = 3, y la longitud del lado recto es Lr = 8.

Con los elementos anteriores trazamos la gráfica de la parábola.

Determina las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz.

y

x

Lr=8

F(3,-1)

x=3

eje

V(3,1)

D: y=3

y

x

0 0 -2

2

4

-4 -6 -8 -10

2 -2

-4 -6 -8

-12 -10

UNIDAD 4

Ejemplo 7

Determina todos los elementos de la parábola

x2 _{– 8x + 5y – 4 = 0.}

Solución:

Habrás analizado que esta ecuación corresponde a una parábola vertical, ya que la variable x está elevada al cuadrado.

Para encontrar los elementos de la parábola, transformas esta ecuación a su forma ordinaria.

x2 _{– 8x = – 5y + 4 Escribes los términos en x} en un lado y los de y en otro lado.

x2 _{– 8x + 16 = – 5y + 4 + 16 Completas el trinomio}

cuadrado perfecto.

x2 _{– 8x + 16 = – 5y + 20 Sumas las constantes en}

el miembro de la derecha. (x – 4)2 _{= – 5(y – 4) Expresas como un}

binomio cuadrado y sacas factor común –5 El vértice es V (4, 4). Como 4 5 5

4

p = ,p = .

Para conocer las coordenadas del foco, por ser una parábola vertical, éste tiene la misma abscisa que el vértice; o sea, x = 4.

Para determinar la ordenada, a la ordenada del vértice restas el valor de p = 5

4 , es decir,

4 16 5

4

5 4

11 4 −   = − =

El foco es F 4 11 4 , 

 .

Para determinar la ecuación de la directriz, se suma a la ordenada del vértice el valor de p, o sea:

4 4 5

4 21

4

5 4

+   = + =

Ejemplo 8

Considera la situación presentada al inicio de la lección y encuentra la altura máxima de las libreras.

Solución:

Dibujas un corte longitudinal del reflector, mostrando el vértice de la sección longitudinal en el origen y el foco a

9

4unidades del vértice sobre el eje x. entonces, el foco es

F 9

4, 0



 , como se muestra en la figura.

Solución:

Observa el gráfico. Colocas el vértice de la parábola sobre el eje y; la base sobre el eje x.

Así es una parábola vertical hacia abajo con vértice en (0, 2.5). Por lo tanto la ecuación es:

x p y

x p y

−

(

)

= −

(

−

)

= −

(

−

)

( )

0 4 2 5

4 25 1

2

2

. .

Como (1, 0) pertenece a la parábola, lo sustituyes en la ecuación (1) y encuentras el valor de 4p. Así:

1 4 0 25

1 4 2 5

1 4 2 5

2

( )

= −

(

−

)

= −

(

−

)

=

( )

p p p . .

. ;4 1

2 5 0 4

p = =

. .

Por lo tanto sustituyes 4p en la ecuación (1) y obtienes: ancho de la libreta x2 _{= – 0.4(y – 2.5)}

Despeja “y” de la ecuación anterior y compara con:

y = 2 5_. − 2 5_. x2

( )

2

Observa el gráfico; si divides el ancho de la librera entre 2. Entonces 1 2

2 0 6

. .

= , obtienes el valor de “x”, para el cual la ordenada del punto (x, y) de la parábola te da la altura. Sustituye x = 0.6 en la ecuación (2) y comprueba que y = 1.6. Así, la altura máxima que puede tener la librera es de 1.6 metros.

Ejemplo 9

Se debe diseñar un reflector parabólico con una fuente de luz en su foco, que está a 9

4 cm del vértice. Si el reflector debe tener 10 cm de profundidad, ¿Cuál debe ser el ancho de su boca y a qué distancia está el borde de la fuente de luz?

Tienes:

La ecuación de la parábola es y2 _{= 4px.}

Como p = 9

4 entonces y2 4 x y2 x

9

4 9

=   ; =

La ecuación del reflector es y2 _{= 9x.}

y x 0₀ 2 6 -2 4 -2 4 2 -4 -6

6 8 10 12 14 16 -4 -6 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -0.5

UNIDAD 4

Resumen

Cuando el vértice de la parábola es V (h, k), su ecuación ordinaria es: (x – h)2 _{= 4p (y – k) para la parábola vertical.}

(y – k)2 _{= 4p(x – h) para la parábola horizontal.}

Determina las coordenadas del foco y vértice y la ecuación de la directriz de las siguientes parábolas.

a) _x2 _{– 12x + 4y + 12 = 0}

b) _y2 _{– 4x – 12y + 12 = 0}

c) _y2 _{– 8x – 32 = 0}

d) _x2 _{+ 2x – 2y – 5 = 0}

e) _x2 _{– 6y – 12 = 0}

Parábola abierta hacia: Fórmula Vertice Foco Directriz

arriba (x – h)2 _{= 4p(y – k) v (h, k) F(h, k + p) y = k – p}

abajo (x – h)2 _{= – 4p(y – k) v (h, k) F(h, k – p) y = k + p}

derecha (y – k)2 _{= 4p(x – h) v (h, k) F(h + p, k) x = h – p}

izquierda (y – k)2 _{= – 4p(x – h) v (h, k) F(h – p, k) x = h + p}

Como el reflector debe tener 10 cm de profundidad un punto de la parábola es P ( 10, k), que representa el borde exterior del reflector. Sustituyes x = 10 y y = k en la ecuación, K2 _{= 9 (10) = 90, o sea, k} = _{90 cm. El ancho}

total es 2 90 cm

Por definición de parábola, el radio focal de cualquier punto de la curva es igual a la distancia de dicho punto a la directriz.

Luego: FP = + =x p 10 + 9 = cm

4 49

4

El borde está a 49

4 cm de la fuente de luz.

Actividad

1

Al desarrollar la ecuación ordinaria de la parábola se obtiene la ecuación general, que es de la forma x2 _{+ Dx + Ey + F = 0 para la parábola vertical; y}2 _{+ Dx + Ey + F = 0}

para la parábola horizontal.

Autocomprobación

La aplicación de la parábola en muchas áreas de la ciencia y tecnología es muy amplia. Por ejemplo, los cables de un puente como el mundialmente famoso Golden Gate ubicado en la bahía de San Francisco, describen una parábola.

Esto se debe a que el peso del puente se reparte uniformemente sobre los cables. Esta propiedad le permitió a principios del siglo XX, a un equipo de ingenieros diseñar el majestuoso puente Golden Gate, en la Bahía de

San Francisco 1. b . 2. c

. 3. a

. 4. b

.

nes

ucio

Sol

El valor de p es:

a) ₈ c) _–16

b) ₄ d) _–8

1

El foco es el punto:

a) _{(– 3, – 5)} c) _{(– 3, 5)} b) _{(3, – 5)} d) _{(3, 5)}

3

El vértice es el punto:

a) _{(– 1, 5)} c) _{(1, – 5)} b) _{(– 5, 1)} d) _{(5, – 5)}

2

4

La directriz está dada por:

a) _{x = – 5} c) _{y = 5} b) _{x = 5} d) _{y = – 5}

Sea la parábola (y + 5)2 _{= – 16(x – 1).}

LOS CABLES DE UN PUENTE

y

x

0 0 2

-2

-2 2

-4

-6

1 3 4

-1 -3

-4 -5

-8

-12

Cuarta Unidad

Motivación

Indicadores de logro

Puedes construir una elipse utilizando una cuerda y dos tachuelas. Se ponen las dos tachuelas un poco alejadas la una de la otra. Después se ata la cuerda a las dos tachuelas. Con lápiz o pluma se jala y se tensa la cuerda. Mientras se conserva la cuerda tensada, se dibuja la elipse moviendo el lápiz alrededor de las tachuelas. Esto lo puedes observar en la figura de la derecha.

Construirás, con interés y seguridad, la ecuación canónica de la elipse utilizando el centro, un vértice, un foco y las longitudes de los ejes mayor y menor.

Construirás elipses con orden y limpieza, e identificarás con interés y seguridad sus elementos.

Construirás con seguridad la ecuación canónica de la elipse con centro en el origen.

P

ara sostener un puente se construye un arco de forma elíptica. El puente pasa por un río de 80 pies de ancho. El centro del arco está a 24 pies por arriba de la superficie del agua. El arquitecto que diseñó el puente necesitó conocer la ecuación de la elipse. ¿Cuál es esa ecuación?

la elipSe

Lección 3

Construcción de la elipse

Comparando con la cuerda, ¿podrías decir cuál es la suma de las distancias, de cualquier punto de la curva, a

Muy bien, de seguro respondiste que esa suma es siempre la longitud de la cuerda. O sea que:

d1 d2

d1

F1 F2

F2 F1

La elipse es el conjunto de puntos en el plano, de tal forma que la suma de sus distancias a dos puntos fijos es una constante.

Elementos de la elipse

Los puntos V (a, 0) y V’(– a, 0), se llaman vértices de la elipse.

El punto C (0, 0) es el centro

Lr: longitud del lado recto

El segmento de recta V’V = 2a es el eje mayor, y 2b es el eje menor.

Los puntos F’ (– c, 0) y F(c, 0) son los focos:

F’F = 2c; F’C = CF = c

Ecuación canónica de la elipse

Ésta es la ecuación más simple, es decir, cuando el centro de la elipse coincide con el origen.

La distancia entre los focos es F’F = 2c. La suma PF’ y PF

es constante, por definición de elipse.

Tienes: PF’ + PF= 2a. En la figura puedes ver que 2a > 2c, por lo cual a > c. Luego, PF + P’F = 2a.

Pero PF =

(

x c −

)

2+

(

y−

)

2 0 y

PF,_{= (}x ₊ c₎2₊₍y _{− 0)}2

Tienes entonces:

(x − c)2 + y2 + (x + c)2+ y2 = ₂a

Al trabajar algebraicamente la ecuación anterior, se obtiene:

x a

y b 2

2 2

2 1

+ = , cuando el eje mayor pasa sobre el eje x. Si la elipse es vertical, la ecuación que la describe es:

x b

y a 2

2 2

2 1

+ _{, cuando el eje mayor pasa sobre el eje} = _y.

Ejemplo 1

Retoma la situación dada al principio de la lección y encuentra la ecuación.

Solución:

Haces coincidir el origen del sistema de coordenadas con el punto medio del plano de la superficie del río. En la figura observa que a = 40 y b = 24.

Luego la ecuación de la elipse es: x b

2

2

2

2

40 24 1

( ) + ( ) =

M

M

Lr

F V x

y

C(0,0) Lr

F V1

a c

b

P(x,y)

x y

F(c,0) F(-c,0)

x y

(0,24)

(40,0) (-40,0)

UNIDAD 4

Ejemplo 2

Grafica la ecuación 20x2 _{+ 9y}2 _{= 180.}

Solución:

Si divides ambos lados de la ecuación entre 180, tienes:

20 9

180

180 180 20

180 9

180 1

9

2 2

2 2

2

x y

x y

x

+ ₌

+ =

++ y2 =

20 1

Como en este caso 20 > 9, tienes que el eje mayor 2a es 2 20 , y el eje menor 2b es 2 9 = 2 3

( )

=6 En este caso la elipse es vertical, como puedes ver en la figura de la derecha.

Su ecuación es de la forma x

b y a 2

2 2

2 1

+ = , ya que el eje mayor es el denominador de y2_.

Ejemplo 3

Encuentra la ecuación de la elipse mostrada en la siguiente figura.

Solución:

Como el eje mayor está en y, la elipse es de la forma

x b

y a 2

2 2

2 1

+ =

En la figura se observa que a = 12y b = 10. Luego, la ecuación de la elipse es:

x y

x y

2

2 2

2

2 2

10 12 1

1

( ) + =

+ =

x y

(0, 20)

(0,- 20)

(-3,0) (3,0)

y

x

0

0 2 4

-2 6 8

-4 -6 -8

a=12

2 4 6 8 10

-2

-4

-6

-8

-10

-12 12

Ejemplo 4

Encuentra la ecuación que relacione a, b y c.

Solución:

Cuando el punto P(x, y) coinciden con el eje y se obtiene la figura de la derecha. Luego, por Pitágoras,

a2 _{= c}2 _{+ b}2 _{De donde} c2 _{= a}2 _{– b}2

b2 _{= a}2 _{– c}2

Observa que estas tres ecuaciones son equivalentes, y establecen la relación entre

a, b y c.

Ejemplo 5

Construye la gráfica de 2x2 _{+ 9y}2 _{= 18 y encuentra los focos.}

Solución:

Dividiendo entre 18, tienes.

2 18

9

18 18

9 2

2 2

2 2

18

1

x y

x y

+ =

+ =

En este caso a = 9 = 3 y b = 2. El eje mayor es 2(3) = 6 y el eje menor 2 2.

Con los valores de a y b dibujas la elipse. Puedes ver que como 2 <3, el eje mayor está en el eje x.

⇒

Para encontrar los focos, tienes que a = 3 y b = 2 c2 ₌ a2 ₋b2 ₃2 ₋

( )

₂ 2 _{= − =9 2 7}

Luego, _c = 7 , y los focos son

(

7,0

)

_y

(

− 7,0

)

_.

x y

(-3,0) (3,0)

(0, 2)

(0,- 2)

x y

(0,b)

F(-c,0) F(c,0)

UNIDAD 4

Ejemplo 6

Determina la ecuación de la elipse con vértices (4, 0) y focos (2, 0).

Excentricidad _e c

a

= , Como c < a, e < 1

Lado Recto _Lr b

a = 2 2

Solución:

Como los focos están en el eje x, el eje mayor también está en x. La ecuación de la elipse es de la forma x y

a b

2

2 2

2 1

+ = . Los vértices son (–4, 0) y (4, 0), entonces a = 4. Si los focos son (– 2, 0) y (2, 0), entonces: c = 2

Sia y c

b a c

b b

= =

= −

= −

=

4 2

4 2

1

2 2 2

2 2 2

2 _{66 4}

12 12

2

− = = b

b

La ecuación de la elipse es: x y

2 2

16 + 12 =1

Excentricidad y lado recto de la elipse

La excentricidad se define como el cociente c

a .

El lado recto de la elipse Lr, es la cuerda que pasa por un foco su valor se calcula por 2b2

a

Usando las ecuaciones de la elipse, según ésta sea horizontal o vertical y las ecuaciones anteriores, se resuelven problemas sobre

y

x

0 0 2

1 2 3 4 -1

4 6 8

-2

-6

-8

5 -2

-3 -4 -5

Ejemplo 7

Halla la ecuación de la elipse con vértices V (0, 5) y

V’(0, –5) y focos F(0, 4) y F’(0, –4).

Solución:

Por los datos del problema puedes ver que la elipse tiene su centro en el origen, ya que es el punto medio entre los vértices (o entre los focos). Además es una elipse vertical, ya que tanto los vértices como los focos tienen abscisa cero.

Luego, la ecuación es de la forma.

x b

y a 2

2 2

2 1

+ =

Por las coordenadas de los vértices, a = 5, y por las coordenadas de los focos, c = 4. Luego,

b2 _{= a}2 _{– c}2 b2 _{= 5}2 _{– 4}2 b2 _{= 9; b = 3}

Luego, sustituyendo en la ecuación de la elipse, tienes.

x2 y2

9 + 25 =1

El lado recto y la excentricidad son:

Lr a

e c

a b

= =

( )

=

= =

2 2 2 9 5

18 5 4

5

;

Ejemplo 8

Halla la ecuación de la elipse con vértices V(4, 0) y

V’(–4, 0) y excentricidad 3

4.

Solución:

Por los vértices la elipse es horizontal, con centro en el origen y a= 4.

Como e c

a

= = 3

4 , entonces c = 3, ya que a = 4 Luego, b2 _{= a}2 _{– c}2

b2 _{= 4}2 _{– 3}2 _{= 7 y a}2 _{= 16}

Con los datos que se tienen se forma la ecuación de la elipse: x2 y2

16 + 7 =1

Como c = 3, los focos son F (0, 3) y F’ (0, –3) y el lado

recto 2 2 7

4 7 2

2 b

a = =

( )

x y

5 4

-4

-5

UNIDAD 4

Ejemplo 9

Halla la ecuación de la elipse con vértices en V (0, 7) y

V’ (0, –7) y con el lado recto Lr = 6.

Solución:

Los vértices indican que la elipse es vertical con centro en el origen y a = 7.

Como Lr = 6, Lr b a

= 2 2 o sea, 6 2 7

2

= b

Despejando b: b2 6 7

2 21

= ( ) =

Con a2 _{y b}2 _{escribes la ecuación de la elipse:} x2 y2

21 + 49 =1

El valor de c es:

c a b

c c

2 2 2

2 _{49 21 28 28}

= −

= − = ; =

De esta forma, los focos son F ( ,0 28 ) y

F ’ ( ,0 − 28 ) y la excentricidad es e c a

= = 28

7 Grafica la elipse.

1. Dibuja las elipses siguientes.

a) x2 y2

4 + 1 =1

b) x2 y2

9 + 4 =1

c) x2 y2

4 + 9 =1

d) _9x2 _{+ 4y}2 _{= 36}

e) _25x2 _{+ 16y}2 _{= 400}

2. _{Determina la ecuación de la elipse si:}

a) _{V (0, 3) y V’ (0, - 3) ; F (0, 2) y F’ (0, -2)}

b) _{V (0, 4) y V’ (0, – 4) y} e = 1

2

c) _{V (3, 0) y V’ (–3, 0) y Lr} = 8 3

Actividad

1

Resumen

La elipse es el conjunto de puntos en el plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos es constante. Los puntos fijos se llaman focos.

Donde 2a es el eje mayor y 2b es el eje menor.

Ecuación Canónica Relación entre a, b y c Focos Forma de la Gráfica

x y

a b

2

2 2

2 1

+ = a = b2 + c2 _{( c, 0 ) y (– c, 0 )}

x y

b a

2

2 2

2 1

Autocomprobación

El hombre siempre se ha sentido atraído por los astros y sus movimientos. Esto, tanto por fines

científicos como para conocer el futuro. Tan es así que la astrología es la precursora de la astronomía. Este interés llevó a los astrónomos

y matemáticos a buscar un modelo algebraico que explicara los movimientos de los planetas y el Sol. Fue así como el alemán Johannes Kepler (1571-1630) descubrió que los planetas giran alrededor del Sol en órbitas elípticas, donde el

Sol no está en el centro sino en uno de sus focos.

1. c . 2. a

. 3. b

. 4. c

.

nes

ucio

Sol

El lado recto de la elipse del ejercicio anterior es:

a) 5

32 c) 32₅

b) 16

25 d) 4 5

4

Los focos de la elipse del numeral anterior son:

a) _{(– 7, 0) y ( 7, 0)} b) _{(0, 7) y (0, 7)} c) _{(–5, 0) y (5, 0)} d) _{(0, –5) y (0, 5)}

2

La excentricidad de la elipse:x2 y2 16 + 25 =1 es:

a) 4

5 c)

5 32

b) 3

5 d)

16 25

3

Los vértices de la elipse x2 y2

16 + 9 =1 son:

a) _{(3, 0) Y (–3, 0)} b) _{(0, 3) Y (0, –3)} c) _{(4, 0) y (–4, 0)} d) _{(0, 4) y (0, –4)}

1

ORBITAS ELÍPTICAS

Cuarta Unidad

Motivación

Si en la ecuación canónica de la elipse: x y

a b

2

2 2

2 1

+ =

sustituyes a x por (x – h) y a y por (y – k), tienes:

(x h) ( )

a

y k b

− 2 ₊ − ₌

2

2

2 1 cuando el eje mayor está sobre

el eje x. Esta ecuación representa una elipse horizontal con centro en (h, k).

Si la elipse es vertical, la ecuación es:

(x h) ( )

b

y k a

− 2 ₊ − ₌

2

2

2 1 cuando el eje mayor está sobre

el eje y.

Indicadores de logro

Resolverás problemas del entorno utilizando la elipse sus elementos, gráfico y ecuaciones.

Construirás elipses con orden y limpieza, e identificarás con interés y seguridad sus elementos.

Construirás con seguridad la ecuación canónica de la elipse con centro diferente de (0, 0)

L

a primera ley de Kepler establece que la órbita descrita por cada planeta es una elipse, donde el Sol es uno de los focos.

Mirna y Laura construyen un modelo planetario en el plano cartesiano. Ubican al Sol en (5, 3) y para la órbita del planeta Tierra establecen que el centro es (2, 3) con el vértice correspondiente en (7, 3). Ellas necesitan conocer la ecuación para representar la órbita de la Tierra. ¿Cuál es dicha ecuación?

ecuación ordinaria de la elipSe con centro

diferente a (0, 0)

Lección 4

Ejemplo 2

Halla la ecuación de la elipse con focos en (4, – 2) y (10, –2) y con un vértice en (12, –2)

Solución:

El centro, que es el punto medio de los focos, está en (7, –2) y la distancia entre los focos es 6 unidades. El vértice dado está a 5 unidades del centro.

Luego, c = 3, a =5

b2 _{= 5}2 _{– 3}2 b2 _{= 25 – 9} b2 _{= 16}

Como el eje mayor es paralelo al eje x, sustituyes

a2 _{= 25 y b}2 _{= 16 y el centro (7, –2) en la ecuación}

ordinaria y obtienes la ecuación:

(x − 7) ₊ (y + ) ₌ 25

2 16

2 2

1

Ejemplo 3

Transforma la siguiente ecuación a su forma ordinaria y dibuja la curva: 4y2 _{+ 9x}2 _{– 24y – 72x + 144 = 0}

Solución:

Agrupas los términos en x e y. Luego completas cuadrados.

4 9 24 72 144 0

4 24 9 72

2 2

2 2

y x y x

y y x x

+ − − + =

− +

(

)

+

(

− +

)

= −

− +

(

)

+

(

− +

)

= − +

( )

+

( )

144

4 _y2 6_y 9 9 _x2 8_x 16 144 4 9 9 16

44 3 9 4 144 36 144

4 3

36

9 4

36

2 2

2 ₂

y x

y x

−

(

)

+

(

−

)

= − + +

−

(

)

₊

(

−

)

₌₌

−

(

)

₊

(

−

)

₌

36 36 3

9

4

4 1

2 ₂

y x

Donde a2 _{= 9 y b}2 _{= 4.}

Puedes ver que tienes una elipse vertical con centro en (4, 3). En consecuencia: a = 3,

b = 2 y c = a2 −b2 = ₅

Los vértices están en (4, 0) y (4, 6), y los extremos del eje menor están en (2, 3) y (6, 3). Las coordenadas de los focos son

(

4 3, − 5

)

_y

(

4 3, + 5

)

. Dibujas la curva como en la figura dada. Verifica los datos anteriores.

Ejemplo 1

Grafica y analiza la elipse (x +2) + (y − ) =

9

1

16 1

2 2

Solución:

El centro de la elipse es C(–2, 1). El eje mayor está sobre una recta paralela a y, ya que 9 < 16. Como b2 _{= 9, b = 3; y}

como a2 _{= 16, a = 4. Con estos datos construyes la elipse}

de la derecha.

Ejemplo 4

Transforma la ecuación x2 _{+ 4y}2 _{+ 4x = 0 a la forma}

ordinaria.

x y

(-2,-3) (-2,5)

(-5,1) C (5,1)

x y

V(4,6)

V´(4,0)

F(4,3+ 5)

UNIDAD 4

Ejemplo 5

Dada la elipse de ecuación

4x2 _{+ 9y}2 _{– 48x + 72y + 144 = 0, halla su centro, el eje}

menor y el eje mayor, vértices y focos.

Solución:

Esta ecuación se puede escribir en la forma

(x h) ( )

a y k b − − + = 2 2 2

2 1, de la manera

siguiente: 4(x2 _{– 12x + 36) + 9(y}2 _{+ 8y + 16) = –144 +}

4(36) + 9(16). Factorizas y completas el trinomio. 4(x – 6)2 _{+ 9(y + 4)}2 _{= 144. Factorizas y}

simplificas.

(x − ) (y + )

+ =

6 2 4 2

36 16 1 Divides entre 144.

Por tanto, el centro de la elipse es el punto de coordenadas (6, –4); a = 6, b = 4; los vértices son los puntos (0, –4), (12, – 4), y los focos (6 + 20, –4), (6 – 20, –4). Verifica los datos anteriores.

Ejemplo 6

Encuentra ahora la ecuación que representa la órbita de la tierra en el modelo planetario que construyen Mirna y Laura al inicio de la lección.

Solución:

Como la distancia del centro al vértice es siempre “a”, entonces a = 5. Además, CF = c = 3

Luego,

b2 _{= a}2 _{– c}2 b2 _{= 5}2 _{– 3}2 b2 _{= 16 = 4}2

Como las coordenadas del centro son h = 2, k = 3, entonces la ecuación de la elipse es:

(x − 2) ₊ (y − ) ₌ 5 3 4 2 2 2 2 1

La longitud del lado recto es 2 2 2 4 2 5

32 5

b

a = =

( )

Por lo cual el punto L es L 5 3 16 5

, + 

 , o sea,

L 5 31

5 , 

  de manera similar, R 5 3, −16₅ , o sea,

R 5 1

5

, − 

 

Solución:

x2 _{+ 4x + 4 + 4y}2 _{= 4}

(x + 2)2 _{+ 4y}2 _{= 4, Divides por 4} (x + 2) _{+ y =}

4 2

2 _{1; o sea,}

(x + 2) ₊ (y − ) ₌

4

0

1 1

2 2

grafica en tu cuaderno la elipse.

x

y

(6,0)

(0,-4) (1.5,-4) (6,-4) (10.5,-4) (12,-4)

x

y

V(7,3) F(5,3) C(2,3) L1 F1 R1 V1

R 5,−1 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ L 5,31

Ejemplo 7

Halla la ecuación de la elipse de centro (–1, –1), uno de los vértices el punto (5, –1) y excentricidad e = 2

3

Como el centro es el punto (–1, –1) y el vértice es (5, –1) a = 6, e c a

c

= = =

6 2 3, de donde c = 4. Por otra parte, b2 _{= a}2 _{– c}2 _{= 36 – 16 = 20.}

La ecuación pedida es (x + 1) + ( y + ) =

36

1

20 1

2 2

Ejemplo 8

Un arco tiene forma de semi-elipse con una longitud de la base de 150 metros siendo su máxima altura de 45 metros.

Halla la longitud de dos soportes verticales situados cada uno de ellos a un tercio de la longitud del semieje a partir del centro.

Considera que en el eje x está la base del arco y el origen es su punto medio. La ecuación del arco será, x

a y b 2

2 2

2 1

+ = , siendo a = 75, b = 45.

Para hallar la altura de los soportes, haces x = 25 en la ecuación y despejamos el valor de y.

Es decir, 625

5625 2025 8 225 30 2

2

2

1,

+ y = y =

( )

, y = metros.

Ejemplo 9

La tierra describe una trayectoria elíptica alrededor del Sol que se encuentra en uno de los focos. Sabiendo que el semieje mayor de la elipse vale 1.485 × 108 _{kilómetros y que}

la excentricidad es, aproximadamente, 1

62, hallar la máxima y la mínima distancia de la Tierra al Sol.

Solución:

Excentricidad e c a

= _{. Luego} 1

62 = 148 500 000 c

, , , o sea c = 2, 400, 000

La máxima distancia es a + c = 1.509 × 108 _km

La mínima distancia es a – c = 1.461 × 108 _km

x

y

(-25,0)

UNIDAD 4

Ejemplo 10

Halla la ecuación de la elipse con centro en (2, 3), foco en (2, 5) y con el vértice correspondiente en (2, 7). Dibuja la curva.

Solución:

Será de mucha ayuda dibujar primero y luego encontrar la ecuación de la elipse. La distancia del centro al vértice es siempre igual a “a” y, entonces, en consecuencia,

b2 _{= a}2 _{– c}2 _{= 4}2 _{– 2}2 _{= 12. Ahora puedes obtener la ecuación.}

Sabes que tienes que emplear la ecuación (x h) ( )

b

y k a

− 2 ₊ − 2 ₌

1 porque el eje principal o mayor es paralelo al eje y. También sabes que las coordenadas del centro son h = 2 y k = 3; entonces puedes escribir: (x −2) + ( y − ) =

12

3

16 1

2 2

Ejemplo 11

Encuentra la ecuación de la elipse cuyos vértices son V (6, 4) y V´(–2, 4) y cuyos focos son F

(5, 4) y F´(–1, 4).

Marca los focos en el siguiente gráfico:

Solución:

Por los datos sabes que se trata de una elipse horizontal, pues tanto sus vértices como los focos tienen la misma ordenada. El centro de la elipse se determina obteniendo el punto medio entre los vértices o entre los focos. Entonces el centro es C(2, 4). Como sabes que “a” es la distancia del centro a cualquiera de los vértices, entonces a= 4. También sabes que c es la distancia del centro a cualquiera de los focos, así, c =3. Para calcular b usas la ecuación

a2 _{= b}2 _{+ c}2 _b2 _{= a}2 _{– c}2

y

x

0 0 1

1 2 3 4 -1

-1

5 -2

-3

-4 6 7 8 9

2 3 4 5 6 7

F F1

Sustituyes los valores de a y c:

b2 _{= (4)}2 _{– (3)}2 _{= 16 – 9 = 7; b = 7}

Con estos datos puedes escribir la ecuación de la elipse en su forma ordinaria:

(x −2) ₊ (y −4) ₌

1

2 2

Punto medio de P(x₁, y₁) y Q(x₂, y₂) es

Pm x x1 2 y1 y2

2 2

+ +



 , 

Se pueden calcular los elementos que todavía no se conocen:

Lr b

a e

c a

y

= 2 = 2 7

( )

= = =

4 7 2

3 4

2

También, en caso que se desee, puedes transformar la ecuación obtenida. Suprimiendo denominadores, desarrollando los binomios al cuadrado, reduciendo términos semejantes y ordenando la ecuación resultante. Así por ejemplo:

( ) ( )

( ) (

x y

x y

− ₊ − ₌

− + −

2 16

4

7 1

7 2 16

2 2

2 ₄₄

16 7 1

7 4 4 16 8 16

2

2 2

) ( )

( ) ( )

=

− + + − +

x x y y ==

− + + − + −

1 112

7 2 28 28 16 2 128 256 1

( )

x x y y 112 0

7 2 16 2 28 128 172 0

=

+ − − + =

x y x y

Esta ecuación se conoce como forma general de la ecuación de la elipse.

Ejemplo 12

Calcula la ecuación de la elipse cuyos vértices son V(1, 7) y V’(1, 1) y cuyos focos son

F(1, 6) y F’(1, 2).

Solución:

Como los vértices y los focos tienen la misma abscisa, la elipse es vertical. El centro, que es el punto medio entre los vértices o entre los focos es C(1, 4) y los valores de a y c son:

a = 3, c = 2. Calculas b sustituyendo los valores de a y c en b2 _{= a}2 _{– c}2_.

b2 _{= ( )3} 2_{−( )2} 2 _{= − =9 4 5;}b _{= 5 y la forma general se obtiene después de}

efectuar los pasos a continuación:

( ) ( )

( ) ( )

x y

x y

− ₊ − ₌

− + −

1 5

4

9 1

9 1 5 4

2 2

2 22

2 2

5 9 1

9 2 1 5 8 16 1 4

( )

( ) ( ) (

=

− + + − + =

x x y y 55

9 18 9 5 40 80 45 0

9

2 2

2

)

x x y y

x

− + + − + − =

+ _5y2 _{−18x − 40y + 44 = 0}

Ejemplo 13

Encuentra la ecuación de la elipse cuyos vértices son V(1, –2) y V’(9, –2) y cuya excentricidad es e = 1

UNIDAD 4

Solución:

Es una elipse horizontal; los vértices tienen la misma ordenada, su centro es C(5, –2) y

a = 4. Como e = 1

2, escribimos: 1

2 4

1 4

2 2

y

= c c =

( )

= Sustituyes los valores

de a y c en b2 _{= a}2 _{– c}2_{, y obtienes: b}2 _{= (4)}2 _{– (2)}2 _{= 16 – 4 =12 y b} = _{12. Ya puedes}

escribir la ecuación pedida, pero antes vamos a encontrar los elementos que nos faltan. La longitud del lado recto es Lr b

a

= 2 = 2 12 =

4 6

2 _{( )}

y las coordenadas de los focos son F(3, –2) y F’(7, –2). Las ordenadas de los focos son las mismas que las ordenadas de los vértices y las del centro. Las abscisas de los focos se encuentran sumando y restando c a la abscisa del centro.

La ecuación de la elipse es: (x −5) + ( y + ) =

16

2

12 1

2 2

1. _{Determina la ecuación de la elipse con centro en el origen si satisface las siguientes condiciones:}

a) _{V (8, 0) y F( 5, 0)} b) _{V(0, 5) y el eje menor mide 3.}

2. _{Encuentra la ecuación de la elipse que cumple con las siguientes condiciones:}

a) _{V(–2,8) y V’(–2, 0) ; F(–2, 6) y F’(–2, 2)}

b) _{V(2, 10) y V’(2, 2) y} e = 3

4

c) _{F(3, 8) y F’(3, 2) y} e = 3

4

d) _{V(3, 1) y V’(3, 7) y} Lr = 2

3

3. Grafica las elipses del numeral anterior.

Actividad

1

Resumen

Cuando la elipse tiene su centro en C(h, k), sus ecuaciones ordinarias son:

(x h) ( )

a

y k b

− 2 ₊ − ₌

2

2

2 1 Para la elipse horizontal

(x h) ( )

b

y k a

− 2 ₊ − ₌

2

2

2 1 Para la elipse vertical

Donde a > b. La excentricidad está dada por c c a

= , y la longitud, del lado recto