Matemática II (178 - 179) Vicerrectorado Académico Primera : 19-06-2010 Área de Matemática MODELO DE RESPUES TAS Obj 1 Pta 1

(1)

Universidad Nacional Abierta Matemática II (178 - 179)

Vicerrectorado Académico Primera : 19-06-2010

Área de Matemática

MODELO DE RESPUES TAS

Obj 1 Pta 1

Calcula el límite _

             

 x 6x 1

2 x x 1 3x x 1 x x lim 2 3 2 3

Solución: Tanto

1 3x x 1 x f(x) ₂ 3   

 como

1 6x x 2 x x g(x) ₂ 3    

 tienden a infinito

cuando x tiende a infinito, de modo que el límite es una forma indeterminada   .

Hacemos primeramente la sumatoria de fracciones en la función involucrada en el límite

              

 x 6x 1

2 x x 1 3x x 1 x x lim 2 3 2 3 =                  

 (x 3x 1)(x 6x 1)

1) 3x 2)(x x (x -1) 6x 1)(x (x x lim 2 2 2 3 2 3 = = _                            

 x 6x x 3x 18x 3x x 6x 1

2 x x 6x 3x 3x 2x x x 1 6x x x 6x x x lim 2 2 3 2 3 4 3 2 4 2 3 5 2 3 4 5 = _             

 x 9x 20x 9x 1

(2)

Dividiendo numerador y denominador por x4                      4 3 2 4 3 2 x 1 x 9 x 20 x 9 1 x 1 -x 1 x 4 x 1 3 x lim = 3

Obj. 2. Pta 2.

Determine 

      

 _x ₁

1 x 1 x lim Solución:

Tanto f(x) = x 1 como g(x) = x1 tienden a cero cuando x tiende a

uno, de modo que el límite es una forma indeterminada

0 0

. Debemos levantar la indeterminación. Sabemos que

a2 __b2_{= (a+b)(a}__{b), luego}

       

 x 1

1 x 1 x lim =           

 x 1

1) x 1)( x ( 1 x lim

= ( x 1) 1 1 2 1 x lim     

Obj 3 Pta 3

Sea             2 x si 3x 2 x 1 si b ax 1 x si 1 x

f(x) . Determine los valores de a y b para que

f sea continua en los reales

(3)

En (- , 1) f es continua por ser f(x) = x + 1, es una recta y por ende continua. Y en (2, ) f es continua (¿Por qué?). Veamos que, para que f sea continua en x =1 se debe cumplir

f(x) 1 x

lim f(x)

1 x

lim

- 

 

  1 + 1 = a(1) + b  a + b = 2 (1)

Y para que f sea continua en x = 2, se tiene

f(x) 2 x

lim f(x)

2 x

lim

- 

  a(2) + b = 3(2)  2a + b = 6 (2)

de (1) y (2) tenemos el siguiente sistema

  

 

6 b 2a

2 b a

luego

2 b

6 b 2a

4 2b -2a

- 

 

 

 

 b = -2. De (1), a  2 = 2  a = 4. Luego a = 4

y b =  2

Obj. 4. Pta 4.

Usar la definición de derivada para hallar f’(x) siendo f(x)= x4

Solución:

Por definición la derivada de f en x viene dada por

Δx

f(x)

Δx)

f(x 0

Δx

lim (x)

f'  

 

Luego

Δx

4 x 4

-Δx)

(x 0

Δx

lim (x)

f'   



 =

) 4 x 4

-Δx)

(x

Δx(

) 4 x 4

-Δx)

(x )( 4 x 4

-Δx)

(x ( 0

Δx

lim (x)

f'

  

  



(4)

) 4 x 4

-Δx)

(x

Δx(

4) -(x -4

-Δx

x 0

Δx

lim (x)

f'

  

 

 =

) 4 x 4

-Δx)

(x

Δx(

Δx

0

Δx

lim (x)

f'

  



 =

) 4 x 4

-Δx)

(x (

1 0

Δx

lim (x)

f'

  



 =

4 x 2

1





4 x 2

1 (x)

f'

 

Obj. 5. Pta 5

Dada la función f: R  R definida por

32 20x 3x f(x)

3 5



 , determine:

a) Puntos de inflexión

b) Intervalos de concavidad y convexidad

Solución

32 60x 15x (x) f'

2 4



 y

32 120x 60x

(x) ' f'

3



  f''(x)0  60x3120x0

 60x(x2 2) 0



  x=0, x= 2, x=- 2 son puntos de inflexión

Intervalo



_-__,_- ₂





_ ₂_,₀





_0, ₂





₂_,_



Punto de

prueba

3

x x1 x1 x3

Signo de f’’(x)

 

3 0

'

f'   f''

 

1 0 f''

 

1 0 f''

 

3 0

Conclusión Cóncava hacia abajo

Cóncava hacia arriba

(convexa)

Cóncava hacia abajo

Cóncava hacia arriba

(convexa)

(5)

Para el logro de este objetivo debes responder correctamente dos

opciones.

Sean A y B matrices tales que:

AB = _

  

 

1 8 6

5 2 1

.

A continuación hacemos varias afirmaciones relacionadas con las matrices A y B. Indica con una V o una F, en el espacio correspondiente, según que la afirmación sea verdadera o falsa, respectivamente.

a. B tiene 4 columnas ______

b. A tiene dos filas _______

c. B tiene 2 columnas ______

Obj. 7. Pta 7.

Utilice el método de GaussJordan para resolver el sistema:

              0 3z y 6x 0 5z y 4x 0 z 2y x

Solución(Ya 2ª integral 2006-2)

(6)

Observamos que tenemos una fila como combinación lineal, o sea nº ecuaciones< nº incógnitas, el sistema es compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones), así;

xyz0

z 5 9 y 0 9z

5y   

 , z

5 4 z z 5 9

x   , z

5 4

x .

Sea z = t  R

 t

5 4

x , t

5 9

y , zt,

una solución trivial, t = 0 x0 ,y0, z0.

Si t = 1 , z 1 5 9 y , 5 4

x  

Matemática II 178

ADMINISTRACIÓN Y CONTADURÍA

Obj 8. Pta 8

La ecuación de demanda de un cierto bien es p = 400  2q, mientras que la función costo es C(q) = q3 __{27q + 200, q}__{0. Determina:}

a. El costo mínimo. b. La función Ingreso. c. La función beneficio.

Solución

(7)

Entonces C (q) = 3q2_{-27 = 0, para q = 3 y q=-3. Por lo tanto C}

alcanza su valor mínimo en q = 3.(¿por qué?) Dicho valor es C(3)= 146 Costo Mínimo

b. La función ingreso viene dada por la expresión I(q) = p.q = (400  2q)q = 400q 2q2_.

c. La función beneficio es igual al ingreso menos el costo. Luego: B(q) = I(q)  C(q) = 400q 2q2 __{( q}3 _{- 27q + 200)}

= q3 __2q2_{+ 427q}_₂₀₀

Obj. 9. Pta 9

Suponga que las demandas externas de un sistema económico con tres industrias son 10, 25 y 20, respectivamente. Suponga la siguiente matriz

  

 

  

 

15 0 5 0 25 0

3 0 1 0 4 0

15 0 5 0 2 0

. . .

encuentre la producción de cada industria de manera que la oferta sea igual a la demanda.

Solución

En este caso n = 3 y 1  a11 = 0.8, 1  a22 = 0.8 y 1  a33 = 0.8 lo que

(8)

0.8 x1  0.5x2  0.15x3 = 10

 0.4 x1 + 0.9x2  0.3x3 = 25

 0.25 x1  0.5x2 + 0.85x3 = 20

Al resolver el sistema usando el método de eliminación de Gauss 

Jordan en una calculadora, trabajando con cinco decimales en todos los pasos se obtiene

  

 

  

 

81787 125

74070 118

30442 110

1 0 0

0 1 0

0 0 1

. . .

Se concluye que la producción necesaria para que la oferta sea (aproximadamente) igual a la demanda es x1 = 110, x2 = 119 y x3 =

126..

Matemática II 179

INGENIERÍA, MATEMÁTICA Y EDUCACIÓN MENCIÓN

MATEMÁTICA

Obj 8. P ta 8

(9)

n 2

2

n  para n  4, n  Z+_{(enteros positivos)} Solución: (ya 1ª integral 2006-2)

i) Para n = 4, 42 _₂4_{y 16}__{16 se cumple}

ii) n = k, 2 k

2

k  hipótesis de inducción iii) n = k+1,





2 k 1

2 1

k 





queremos ver que iii) se cumple. En efecto, como 2 k

2

k  por hipótesis

de inducción. Multiplicando por 2

1 k k 2

2 2·2

2·k   

Como 2 k 1

2

2k   vamos a mostrar que





2 2 k 1

2 2k 1

k    



k1



2 2k1

Pero basta con demostrar que





2 2

2k 1

k 

Veamos





k(k 3)

k 1 2 k k 1 2k k 1

k 2 2  

  

 

      

por ser 1 k 1



k(kk) por k  4

Obj.9. P.1. Una escalera de 10 m de largo esta apoyada contra una

pared vertical. Si el extremo inferior de la escalera resbala alejándose de la pared a razón de 1 m/seg ¿con que rapidez resbala hacia abajo su extremo superior cuando su extremo inferior esta a 6 m de la

pared?.

(10)

En la figura anterior sean x metros la distancia del extremo inferior de la escalera a la pared y ‘y’ metros la distancia del extremo superior al piso. Note que tanto x como y son funciones de t (tiempo).

Nos dan dx/dy = 1 m y se nos pide hallar dy/dt cuando x = 6m. En este problema la relación entre x y y se expresa con el teorema de Pitágoras: x2_{+ y}2_{= 100. Si se}

deriva cada miembro respecto de t aplicando la regla de la cadena, tenemos:

2x

dt dx

+ 2y

dt dy

= 0

Y si resuelve esta ecuación para la razón deseada, obtenemos

dt dy

=

y x

dt dx

Cuando x = 6, por el teorema Pitágoras da y = 8 y, por tanto, al sustituir estos valores y

dt dx

= 1, tenemos

dt

dy ₌



8

6_{(1) =}



4

3_m/seg

10 m

piso x

y pared

y ?

 dt dy

1 dt dx

 x

(11)