HABILIDAD OPERATIVA teoría y problemas resueltos

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(1)

En esta oportunidad estudiaremos un capítulo que contribuirá en gran medida a familiarizarnos con las operaciones matemáticas, a través del ejercicio con diversos tipos de multiplicación abreviada, potencia de un número, raíces cuadradas, adición, multiplicación y división de fracciones, etc., para lo cual debemos recordar ciertos conocimientos básicos como: la teoría de exponentes, ecuaciones, factorización, etc.

Este capítulo debe ser estudiado con mucho interés y desde la base de ejercicios diversos, ya que la práctica será decisiva en su aprendizaje.

Debido a la escasa práctica de ciertas operaciones matemáticas y por el poco uso de métodos abreviados, suele parecer la matemática como un conjunto de fórmulas y propiedades tediosas que sólo un matemático puede entenderlo; esta idea debemos "desterrarla", ya que la parte operativa sólo es como los abdominales para un atleta (lo más importante para un atleta es su salud, su alimentación y su voluntad de querer llegar a la meta).

Lo más importante, entonces, es el interés y la voluntad de estudiar en forma objetiva la matemática con un método razonado y ameno; para complementarlo con un manejo práctico de la parte operativa.

Cierta vez un matemático llamado H. Hardy al visitar a su amigo Ramanuján, que estaba enfermo en un hospital, le dijo: "Vine en el taxi 1729, el número me pareció muy banal y espero que no sea de mal agüero". Al contrario, contestó Ramanuján, el número es muy interesante, es el menor número que se puede expresar como suma de 2 cubos en dos formas distintas:

1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³

Debemos saber que Ramanuján al responder instantáneamente no lo hizo por arte de magia, sino como trabajaba constantemente con los números ya sabía de los cubos perfectos de memoria; sólo tuvo que percatarse que dos de ellos sumasen 1729.

HABILIDAD OPERATIVA

(2)

Árabe tratando de resolver la operación 9995² - 9994² = ....?

En este capítulo veremos métodos, que nos permitirán ahorrar tiempo en los cálculos, tiempo que en cualquier tipo de examen resulta determinante como para no desperdiciarlo en cálculos numéricos elementales. Otro aspecto importante, de esta parte del curso, es que nos enseña las diferentes formas de cómo afrontar un ejercicio que aparentemente tiene una solución operativa, pero que con un poco de habilidad en las operaciones se puede resolver de una forma más rápida. Por ejemplo, para resolver la situación dada en el gráfico (arriba) la solución tradicional sería elevar cada número al cuadrado y luego proceder a hallar su diferencia, sin embargo, empleando criterios prácticos, podemos recordar la diferencia de cuadrados y aplicarlo, así:

9995² - 9994² = (9995 + 9994) x (9995 - 9994)

A continuación, veamos el estudio de algunos casos sobre el desarrollo abreviado de ciertas operaciones básicas:

MULTIPLICACIÓN POR 5

Deduzcamos el procedimiento a partir de un ejemplo:

426 x 5 = ?

Ejemplos:

1. 23 x 5 = = 115

2. 976 x 5 = = 4880 = 426 x

= 2130 =

10 2 4260

2

230 2 9760

2 Diferencia de

cuadrados

= (19989) x (1) = 19989

(3)

3. 4783 x 5 = = 2391

= ?

=

= 27 4. 7114 x 5 =

Para practicar:

MULTIPLICACIÓN POR 25

DIVISIÓN POR 5

Ejemplos:

Deduzcamos el procedimiento a partir de un ejemplo:

Deduzcamos el procedimiento a partir de un ejemplo:

Ejemplo:

Para practicar:

Si deseas, puedes hacer un método práctico para dividir por 25, utilizando la misma idea que en los casos anteriores.

1.

2.

3.

1. 8125 ÷ 5 = ... 2. 94540 ÷ 5 = ... 3. 71853 ÷ 5 = ...

=

=

=

=

=

=

= 6428

= 863,6 = 77

1. 648 x 5 = ... 2. 9737 x 5 = ... 3. 419971 x 5 = ...

= 35570 47830

2

135 5 135 X 2

10

385 5

32140 5

4318 5

770 10

64280 10

8636 10 385 x 2

10

32140 x 2 10

4318 x 2 10

270 10 71140

2

24 x 25 = ?

1. 72 x 25 =

2. 229 x 25 =

3. 798 x 25 =

4. 3697 x 25 =

Para practicar:

1. 124 x 25 = ... 2. 645 x 25 = ... 3. 4797 x 25 = ...

= 1800

= 5725

= 19950

= 92425

24 x =

= 600 100

4

2400 4

7200 4 22900

4 79800

4 369700

(4)

MULTIPLICACIÓN POR 11

Ejercicios:

1. 79 x 11 = 8

2. 4599 x 11 = 5 5

3. 790047 x 11 = 8 70

4. 9876543 x 11 = 6 9

¿Tienes curiosidad por conocer ¿cuál es la regla práctica para multiplicar 111 x 1111,.., etc? ¡Averígualo! como sugerencia utiliza un ejemplo en forma similar al que se utilizó en la

multiplicación por 11

MULTIPLICACIÓN POR 9, 99, 999, 9999, ...

Deduzcamos el procedimiento a partir de un ejemplo:

Nos damos cuenta de que efectuar una sustracción es más fácil que multiplicar.

Entonces:

347 x 99 = 374(100 - 1) = 34700 - 347 = 34353

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

8572 x 11 = ? Operando tenemos:

52 x 11 52 52 572

3124 x 11 3124 3124 34364 52 x 11 = ?

3124 x 11 = ?

Þ 5 2 x 11 = 5 7 2 +

1er paso

2do paso 3er paso

Þ 3 1 2 4 x 11 = 3 4 3 6 4 + + +

= 6 = 3 = 4

5º 4º

3º 2º

Þ 8 5 7 2 x 11 = 9 4 2 9 2 + + +

= 9 = 12 = 13

5º 4º

(5)

Es decir:

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Calcule 21 x 14

Calcule 23 x 21

Calcule 41 x 12

Si en una o en más de las operaciones parciales resulta un número mayor que 9, dejamos la cifra de las unidades y llevamos las cifras restantes para la siguiente operación. Por ejemplo: 64 x 43 = ?

Practica:

1. 34 x 46 = ... 2. 53 x 67 = ... 3. 87 x 77 = ... 4. 98 x 93 = ... 2 1 1 4 294 8 + 1

2 3 21 483 2 + 6

4 1 1 2 492 1 + 8

2 7 5 2 6 4 4 3 8

2

8

18

1º 3 x 1 = 3

2º 2 x 1 + 2 x 3 = 8 3º 2 x 2 = 4

1º 1 x 2 = 2

2º 4 x 2 + 1 x 1 = 9 3º 1 x 4 = 4

x

x

x

x

x

x

x

x x

1

6

1

16

18 + 16 + 1 = 3 5 24 + 3 = 27 = 1 2

24 =

Regla Práctica

(FINAL) 3º 2º 1º

(INICIO) 21 x 14 = ...? Þ

N representa a cualquier número natural

Ejemplos:

Ejercicios prácticos:

MULTIPLICACIÓN DE 2 NÚMEROS DE 2 CIFRAS CADA UNO

Deduzcamos el procedimiento del ejemplo siguiente:

Deduzcamos el procedimiento del ejemplo siguiente:

Apliquemos nuestras deducciones en los siguientes ejemplos:

Producto de las cifras de las decenas (2 x 1)

Suma de los (2x2) + (1x3) productos en aspa

Producto de las cifras de las unidades (3 x 2)

2 3 x 1 2 4 6 2 3 2 7 6

1. 87 x 99 = ... 2. 23 x 9999 = ... 3. 501 x 999 = ... 4. 1007 x 99999 = ...

1. 123 x 99 = 12300 - 123 = 12177

2. 746 x 9999 = 7460000 - 746 = 7459254 3. 3785 x 999 = 3785000 - 3785 = 3781215 4. 844371 x 99999 = 84437100000 - 844371 = 84436255629

(6)

EMPLEO DEL COMPLEMENTO ARITMÉTICO (C.A.)

FORMA PRÁCTICA PARA CALCULAR EL C.A. DE LOS NÚMEROS NATURALES

Ejemplos:

Resolución:

I.

II.

III.

IV.

Utilicemos ahora el C.A. para calcular algunas multiplicaciones. Los factores son muy cercanos a una potencia de diez.

Ejemplo 1

Resolución: 1º Paso:

992 x 991 = ... 072

8 x 9

C a l c u l a m o s l o s C . A . y l o s multiplicamos. Al resultado le hemos colocado un cero en el lugar mostrado para que su número de cifras sea igual al de cada uno de los factores.

Calcula el resultado al multiplicar: 992 x 991 9 9 10

9 9 9 10

9 9 10

9 9 9 10 C.A. (7 4 8) = 252

C.A. (5 1 3 6) = 4864

C.A. (7 0 4 0) = 2960

C.A. (9 9 8 6) = 14

Calcula en forma práctica del C.A. de: I. 748

II. 5136 III. 7040 IV. 9986

A partir del menor orden se observa la primera cifra significativa, la cual se resta de 10 y las demás cifras se restan de 9. Veamos algunos ejemplos:

¿QUÉ ES UN COMPLEMENTO ARITMÉTICO?

Para realizar algunas multiplicaciones. si nos preguntasen cuánto le falta a 4 para ser 10, responderíamos inmediatamente que 6; y si consideramos el número 941, ¿cuánto le falta para ser 100? pues 9 ¿verdad?; y ¿cuánto le falta a 885 para ser 1000?, es claro que le falta 115 y podríamos seguir así con más preguntas de este tipo, es decir calculamos la cantidad que le falta a un número para que sea igual a una unidad del orden inmediato superior. Lo que hemos realizado empíricamente es el cálculo de complementos aritméticos.

Se denomina complemento aritmético (C.A.) de un número natural a la cantidad que le falta a dicho número natural para ser igual a una unidad del orden inmediato superior.

Ejemplo:

Resolución:

I.

II.

3 2 1 0 1 0 0 0 7 4 8 2 5 2

4 3 2 1 0 1 0 0 0 0 5 1 3 6 4 8 6 4

orden

orden número dado

número dado C.A.

C.A. \ C.A. (748) = 252

(7)

2º Paso:

Ejemplo 2

Resolución: 1º Paso:

E = 999987 x 999993 = ... 000091

E = 999987 x 999993 = 999980000091

Al resultado le colocamos 4 ceros para que su número de cifras sea igual al de cada uno de los factores.

Entonces el producto será: 999980000091 Nos pide la suma de las cifras:

9 + 9 + 9 + 9 + 8 + 9 + 1 = 54

2º Paso:

Ejemplo 3

Resolución:

Calcula la suma de las cifras del producto de:

Esa vez haremos el cálculo de manera directa integrando los dos pasos descritos:

99986 x 99989

99986 x 99989 = 9997500154

14 x 11

13 x 7

Calcula la suma de las cifras del resultado de: 999987 x 999993

\ El producto será: 983072

Restamos de uno de los factores el C.A. del otro factor. Podríamos tomar por ejemplo el factor 992 y restarle 9 (que

El producto es: 9997500154 Nos pide la suma de cifras:

Ejemplo 4

Resolución:

Calcula el producto de las cifras de la suma de cifras de A.

A = 9999984 x 9999988

\ A = 99999720000192 Suma de cifras de A = 66 Nos pide: 6 x 6 = 36

CUADRADO DE UN NÚMERO DE 2 CIFRAS

Si tomamos como base el criterio práctico de multiplicación de dos números, cada uno de dos c i f r a s a n t e r i o r, p o d e m o s d e d u c i r u n procedimiento sencillo para este caso.

Analicemos un ejemplo: (13)² = 13 x 13 = ??

Hagámoslo más práctico en los siguientes ejemplos:

Doble del producto: 2(2x1)

(2 1)² = 4 4 1 (4 1)² = 1 6 8 1

Al cuadrado Al cuadrado Al cuadrado Al cuadrado

Doble del producto: 2(4x1)

3 3

3

x x

3 1 1 1 6

1º) Cuadrado de la cifra de las unidades: 3² = 9 2º) Doble del producto de sus cifras: 2(1x3) = 6 3º) Cuadrado de la cifra de las decenas: 1² = 1

9

9999984 x 9999988 = 9999972 0000192 3(9) + 7 + 5 + 1 + 5 + 4 = 49 es el C.A. de 991).

992 x 991 = 983072

-8 9

-7

(8)

En caso de que algún producto parcial obtenido en el procedimiento resulte mayor que 9, dejaremos la cifra de las unidades y llevaremos las cifras restantes a la siguiente operación. Por ejemplo, si en un producto parcial obtienes 2, entonces dejas 5 y llevas 2; ó si te sale 137, dejas 7 y llevas 13.

Ejemplos: Ejemplos:

1.

2.

3.

4.

Para practicar:

ALGUNAS OPERACIONES BÁSICAS CON FRACCIONES

a) Adición y sustracción

3

8

5 4

3

6 +

+ x

x

x =

=

=

=

=

=

= 5

7

11

4 x 5

21

66

20 20

21

66 2

4

7

3 x 5 + 2 x 4

56 - 12

55 + 42

15 + 8 23

44

97 1. (85)² = ... 2. (235)² = ... 3. (555)² = ... 4. (1005)²= ...

(55)² =

(105)² =

(785)² =

(9995)² = x6

x11

x79

x1000 3 0 2 5

1 1 0 2 5

6 1 6 2 2 5

99900025

Ejemplos:

Para que practiques:

CUADRADO DE UN NÚMERO QUE TERMINA EN LA CIFRA 5

Deduzcamos una regla práctica a partir de los siguientes ejemplos:

Nos damos cuenta de que un número que termina en cifra 5 al elevarse al cuadrado, su resultado siempre terminará en 25, y que las cifras restantes del resultado se obtendrán de multiplicar el número (sin tomar en cuenta la cifra 5) por su consecutivo inmediato superior.

Es decir: (15)² =

x2 x3 x4

(25)² = (35)² =

2 2 5 6 2 5 2 5

1. (34)² = ... 2. (52)² = ... 3. (86)² = ... 4. (93)² = ... 5. (35)² = ...

2(4 x 3) = 2 4 1º) 2º)

3º)

(98)² =

9² + 15 = 96 8² = 6 4 9 6 0 4 (43)² = 1 8 4 9

3² = 9 4² + 2 = 18

2(9 x 8) + 6 = 15 0

(9)

1 PROBLEMAS RECREATIVOS

1. Forma los números: 1, 2, 3, 4, 5 con 3 cifras "cinco". Te mostramos 2 ejemplos:

1 =

2 =

3 = ... 4 = ... 5 = ...

=

= = 55 - 5

5 5 5

5

5 + 5 5

5 5

2. Coloca convenientemente los paréntesis y los símbolos + ; - ; x ; +, sobre las líneas punteadas para obtener los resultados dados

Ejemplo:

Ahora, hazlo tú:

a. b. c. d. e. f. g. h.

3...3...3...3 =

3...3...3...3 =

3...3...3...3 =

3...3...3...3 =

3...3...3...3 =

3...3...3...3 =

3...3...3...3 =

3...3...3...3 = 1 2 3 4 5 6 7 8

(3 x 3 x 3) ÷ 3 = 9

3 x 3 + 3 ÷ 3 = 10

4

13

b) Homogenización de denominadores

c) División 1 2 2 3 2 7 9 5 x

(extremos y medios) x x x = = = = 1 x 3 2 x 2

2 x 5 7 x 9

2 1 5 2 3 7 2 21 = 10 = = = = = 2 1 1 5 2 3 7 1

2 x 5 1 x 1

2 x 1 3 x 7

3 4 10 63 -+ 5 7 2 7 2 5 3 4 7 3 1 5 6 15 15 20 35 15 4 20 41 15 11 20 7 3 (5) (5) 1(4) (4) 5 2(3) 3(2) 3(5) 4(5) + + -+ -+ -= = = = = = - - -= = + = = = = + 1 5 1 5 1 8 5 23 4 28 2(2) 7(4) 72 8 5 3 2 6 8 3(2) 2(4) 6

8 8 8 8

6 6 6 5 5 8 8 + = = = = = = 2 3 x 1 + 2 5

32 - 5

(10)

PROBLEMA 1 Vemos que en el problema aparecen x + z y "y + w". Por tanto para facilitar las operaciones hagamos un cambio de variables:

x + z = a y y + w = b

Solución:

Aplicando conceptos básicos de leyes de exponentes nos daremos cuenta que la respuesta es otra. Veamos:

PROBLEMA 2

Si: (x + y + z + w)² = 4(x + z)(y + w) Calcula:

Resolución:

El problema parece ser operativo, pero si observamos bien la forma que tiene, nos daremos cuenta de que tiene una particularidad:

M =

M =

M =

M =

Del dato:

Otro método

Si asignamos valores adecuados a las variables para que se cumplan las condiciones del problema, entonces estos mismos valores darán la respuesta de lo que se pide. Así, para el problema podemos considerar: x=1; y=1; z=1; w=1

Veamos si estos valores satisfacen la condición inicial:

¡Sí cumple!

(x+y+z+w)² = 4(x+z)(y+w) Þ 4² = 4(2)(2)

1 1 1 1 1 1 1 1

(x + y + z + w)² = 4(x + z)(y + w) (a + b)² = 4ab

a² + 2ab + b² = 4ab a² - 2ab + b² = 0

(a - b)² = 0 a - b = 0

a = b b

a a b

=

3x - y + 3z - w

3x + 3z - y - w

3(x + z)-(y + w)

3(x + z)-(y + w) 3a - b

x - 3y + z - 3w

x + z - 3y - 3w

(x + z) - 3(y + w)

(x + z) - 3(y + w) a - 3b

3

3

3

3 3

E = b

b

\ El exponente de b es b² = b = b = (b )

b3 b1+2 b x b² b b²

que

En este caso, el exponente de

b

b si es 3 bb 3

Muchos pensarán que la respuesta es 3. Pero recuerda que no es lo mismo:

b

Indica cuál es el exponente de b en la siguiente

3 b

expresión E = b

3 b

b

M =

\ M = = 3 = 1

3 =

3x - y + 3z - w

4

3 - 1 + 3 - 1 x - 3y + z - 3w

-4 -1

1 - 3 + 1

3

3

(11)

PROBLEMA 3

Solución:

Antes de iniciar con los cálculos debemos analizar m i n u c i o s a m e n t e e l p r o b l e m a y v e r q u é particularidad presenta. Nos damos cuenta de que en cada fracción la cantidad de cifras del numerador y el denominador es la misma y presenta la misma característica (repetición de cifras). Si analizamos los numeradores, obtendremos.

25 = 25 x 1

101

2525 = 2500 + 25 = 25(100 + 1) = 25 x 101 252525 = 250000 + 2500 + 25

= 25(10101) 25252525 = 25(1010101)

252525 … 25 = 25(10101 … 01) En general

Del mismo modos podemos analizar los denominadores

Luego:

111 sumandos

111 sumandos

A =

A = + + + ... +

+ + +...+

25 x 1 37 x 1

25 37

25 37

25 37

25 37

25 x 101 37 x 101

25 x 10101 37 x 10101

25 x 10101...01 37 x 10101...01

Efectúa y da como respuesta la suma de cifras del resultado:

A = 111

PROBLEMA 4

Solución:

También, recuerda que todo número que termina en 5 al elevarlo al cuadrado su resultado

terminará en 25. Se representa así:

+

Donde: n ³ 2( n Î Z )

Entonces:

n

(...5) = ...25 Calcula: a + b, si:

1999 factores

4

(1 x 3 x 5 x 7 x ...) = ...ab \ Scifras = 7 + 5 = 12

( (

25 = 3(25) = 75 37

A =

111 sumandos

+ + + … +

25 37

2525 3737

252525 373737

252525...25 373737...37

(1 x 3 x x 7 x 9 ....) = ...ab impares

4

( x impar) = ...ab

4

(...5) = ...ab ...25 = ...ab

(12)

PROBLEMA 5

Solución:

Reemplazando:

En la expresión A ya conocemos a x-y y y-z, pero falta conocer x-z.

x - y = y - z = x - z = 2

A =

PROBLEMA 6

Solución:

Una forma de resolver el problema sería operando algebraicamente; pero como las cantidades numéricas son pequeñas, con un simple análisis llegaremos más rápido a la solución.

Halla : x + y, si: x - y = 2 x - y = 16

6

2 x 6 + 6 + 6 66 x 6

\ A = 6 = =

66 66

66

+

Si: x - y = y - z = , calcula el valor de: A =

6 6 4

(x - z) + (y - z) + (x - y) 66

6

6

6

6

6

6

6

6

+ +

2

6 6 6

6

6

6

6

6

6

I.

II.

x - y = 2, resultado entero Þ x y y son también enteros y en conclusión x e y son cuadrados perfectos; es decir, tienen raíz cuadrada exacta.

Según el dato, busquemos dos cuadrados perfectos cuya diferencia sea 16.

(x - y = 16) . 1, 4, 9 , 16, 25 , 36, 49, …

Verificando en (i) : 25 - 9 = 2 ...¡cumple! \ x + y = 25 + 9 = 34

PROBLEMA 7

Solución:

Al igual que el problema anterior, como el valor numérico es pequeño, analizar resulta más rápido que operar. Veamos:

2(x² + 2) + 2 2(x² + 2) = 48 = 36 + 2 36

2(x² + 2) = 36 x² + 2 = 18 x² = 16

+

x = 4 (x Î Z )

\ x = 4 = 2 cuadrado

perfecto

+

(13)

PROBLEMA 8

Si: x + = 2 Halla: A + B, si:

Solución:

x +

1 + 1

1

x = 2 x = 1

Hagamos lo posible por evitar las operaciones, simplemente analicemos nuestros datos así:

20 19 18

A = x + x + x + … + x³ + x² + x

20 19

A = x + x +…+ x² + x = 1 + 1 +…+ 1 + 1= 20

20 sumandos

20 sumandos

-20 -19 -18 -3 -2 -1

B = x + x + x + … + x + x + x

-20 -19 -2 -1

B = x + x +…+ x x+ = 1 + 1 +...+ 1 + 1 = 20

\ A + B = 20 + 20 = 40

PROBLEMA 9

Si:

Halla:

Solución:

En este problema no podemos hacer lo mismo como en el anterior, (dar un valor adecuado a x), puesto que el valor de 7 no es un número entero. Entonces, elevando al cuadrado, tenemos:

x +

x³ + 1 x 1 x³

= 7 1

x

x + 1

1 1

2

2 2

2

x

x x

= 7

x + 2 x + = 7

x + 2 + = 7

... (*)

Recordemos:

Elevando (*) al cubo obtendremos lo que nos pide:

x +

x +

x³ + = 125 - 15 = 110 \

x³ +

PROBLEMA 10

4 -4

Se tiene: x + x = 14

-1

Calcula. E = x - x

Solución:

Este problema es el caso contrario anterior; porque, no vamos a trabajar directamente con el dato, sino vamos a trabajar con lo que nos pide E. Entonces, elevando al cuadrado E tenemos:

3 5

= 125 + 3(x)

= 5³

3

3

1 x 1 x

1 x³ 1

x

1 x

1 x

E² + 2 = x² + E² = x - = x² - 2x +

2 2

= x² - 2x +

1

1 1

1 1

x² x

(14)

Luego elevando nuevamente al cuadrado ambos miembros:

PROBLEMA 12

Simplifica: E = x

x

x

x

256 x 264 + 16 123 x 137 + 49

(260-4)(260+4)+4² (130-7)(130+7)+7²

(260)² - (4)²+4² (130)² - (7)² +7²

260 130

2 ³ 4

2 ³ 4

2 ³ 4

³ 4

³ 4

4

2

2 ³ 2²

3

3

3

3 Solución:

Si procedemos a desarrollar las operaciones, va a resultar algo complicado el problema. Al observar tenemos:

luego:

Entonces:

PROBLEMA 13

Calcula el valor de M, en:

M = 2 x 4 x 10 x 82 x 6562 + 1

La idea de este problema es utilizar la diferencia de cuadrados. Recordemos:

256

E =

E =

E =

\ E = x = 2

-4 +4 -7 +7

260 264 ; 123 130 137

PROBLEMA 11

Si: ...3518 ¸ 9999 = abcd

...3518 ¸ 9999 = abcd

...3518 = abcd abcd x 9999 = ...3518 9999

Calcula: E =

Solución:

Nos damos cuenta de que se trata de una multiplicación cuyo número está formado por cifras "9". Entonces:

Ordenando en columna:

Reemplazando:

E =

= 6 x 8 x 2 = 96 =

= 5[6 x 4 x 8 x 2]

6 + 4 + 8 + 2

5[6 x 4 x 8 x 2] 20 abcd0000

abcd 3518

6 = a d = 2

4 = b c = 8

abcd x 9999 = ... 3518 abcd0000 - abcd = ... 3518

5[a x b x c x d] a + b + c + d

4

(E² + 2)² = (x² + )² = (x²)²( )+( )²= x + 2 +

( + 2)² = 16

2 E² = 2 E = 2 tiene dossoluciones

E = - 2 1

1 x²

1 x²

1

4

(15)

Solución:

Si efectuamos los cálculos elementales en M obtendremos:

PROBLEMA 15

Determina el valor de:

Solución:

PROBLEMA 16

Calcula: a + b, si:

Primero:

Solución

a = 1 + 2 2 2....

a = 1 + 2 2 2....

a - 1 = 2 2 2....

a - 1 = 2(a - 1)

(a - 1)² = 2(a - 1) ; a ¹ 1

(a - 1) (a - 1) = 2(a - 1)

a - 1 = 2 a =3

a - 1 b = 3 + 6 6 6....

En la expresión observamos: Todo problema operativo generalmente presenta

un artificio o arreglo matemático para que sea más sencilla su operación. Tomando la idea del problema anterior, obtendremos:

M = 2 x 4 x 10 x 82 x 6562 + 1 = 80 x 82 x 6562 + 1

M = [(81-1)(81+1) x 6562] + 1 = [(81²-1)(81²+1)] + 1

4

M = [81 - 1] + 1

PROBLEMA 14

Calcula x + y, si :

Solución:

De la primera condición:

Reemplazando el "y" en la segunda condición obtendremos:

Recuerda: "En ecuaciones, si las bases son iguales, entonces los exponentes también son iguales"

x+y 8/3

y = x

x+y 2/3

x = y

x x Þ x + y =

x+y

(x + y)² =

\ x + y = 16 9(x+y)

16 9

4 3

16 9(x+y) =

x+y

x = x • x x y = x = x

8 3

2 3

2 3 8 3(x+y)

8 3(x+y)

8 3(x+y) x+y

x+y 8/3 x+y 2/3

y = x ; x = y ; x + y > 0

4

M = 81 = 81

\

(81)² - (1) 81² + 1 [(81)²]² - 1²

4

4

4 4

4

4

A =

A =

A

A =

A =

A = x \ A = x

n

A . A = x Þ

(elevando a la n)

n

n

n

n

n

n

n

n

n+1 n-1

x

x

x

x

x

x

x

x A

A

.. .

(16)

b = 3 + 6 6 6....

b

b - 3 b - 3 = 6(b-3)

(b - 3)² = 6(b - 3) ; b ¹ 3

(b - 3) (b - 3) = 6(b - 3)

b - 3 = 6 b = 9

\ a + b = 3 + 9 = 12

PROBLEMA 17

Simplifica:

Solución:

Desarrollar el trinomio al cubo sería demasiado operativo. Observando detenidamente el problema, obtenemos:

PROBLEMA 18

Si x = ³ 2 , halla: M =

M =

M =

M =

M =

\ M =

=

4 12

= (x )³ = x

4

= 2 = 16

3

3

3

3

3

12 3

3

4

1 + (x + 1)(x² + 1)(x - 1)(x + 1)

4

1 + (x + 1)(x² + 1)(x - 1)(x + 1)

4

1 + (x² - 1)(x² + 1)(x + 1)

4 4

1 + (x - 1) (x + 1)

8

x

2

8

1 + (x - 1) (x² - 1²)

(x²)² - 1²

4

(x )² - 1²

E = (³ 16 + ³ 54 + ³ 128)³

E = (³ 16 + ³ 54 + ³ 128)³

E = (³ 2 • ³ 8 + ³ 2 • ² 27 + ³ 2 • ³ 64 )³

E = (2 ³ 2 + 3 ³ 2 + 4 ³ 2 = (9 ³ 2)³ \ E = 9³ x 2 = 1458

2 3 4

- 3 = 6 6 6.... Luego:

Solución

PROBLEMA 19

Solución:

Resultaría muy operativo elevar al cubo y al cuadrado los números; pero si factorizamos adecuadamente, obtendremos:

Halla el valor de: E =

E =

E =

E = E = E =

(7000)³ - (6999)³ - (6999)² - 7(6999)(10)³

(7000)³ - (6999)³ - (6999)² - 7(6999)(10)³

(7000)³ - [(6999)³ + (6999)²] - 7(6999)(10)³

(17)

E = E =

E = E =

PROBLEMA 20

PROBLEMA 21

PROBLEMA 22

Solución:

Si a una expresión cualquiera le sacamos raíz n-ésima y la elevamos a la potencia n-ésima, la expresión no varía. Así:

Ahora saquemos raíz cúbica y elevamos al cubo, para que no varíe:

comparando: \ x = 27

Solución:

Partamos del dato y demos la forma de la expresión que buscamos:

Si a + = 18, calcula: b

b a

a - b ab

PROBLEMA 13

No varía porque la raíz y el exponente pueden cancelarse

Solución:

Recuerda: "Cuando se multiplica, si las bases son iguales, entonces los exponentes se suman"

Calcula: A² + 1

9 x

Si 3 = x, halla x

n n

A = A

3

x

27 =

x

=

3 9 3 x

27 x

4 n

A = (2 x 2² x 2³ x 2 x … 2x )

1 + 2 + 3 + … + n

A = (2 )

(1 + 2 + 3 + … + n) x

A = 2 A = 2

\ A² + 1 = 2² + 1 = 5

1 1 + 2 + 3 + … + n

1 1 + 2 + 3 + … + n

1 1 + 2 + 3 + … + n

Solución:

Hay que relacionar lo que se nos pide con lo que se nos da como dato. Planteando:

Simplifica: E = 2

E = 2

Del dato:

= 2 a

a

E = 2

E = 2 x - (d - c)ab E = -2 (d - c)ab

bd + ad ad - ac

bd + ad ad - ac

b + a d - c

b + a d - c

dc ab

dc ab c b

c b

-1 -1 -1 -1

a + b + c = d

-1 -1 -1 -1

a + b + c = d +

+ +

=

=

= (b + a)dc = -(d - c)ab =

-1

a 1 a

1 b 1 b b + a ab b + a

ab

Reemplazando en

-(d - c) ab 1 c

1 c 1 d 1 d

c - d dc -(d - c)

dc \ E = 7000

(7000)³ - (6999)(7000)(7000) (7000)³ - (6999)(7000)²

(18)

a b

b a

+ = 18 Þ a² + b² = 18

Þ a² + b² = 18ab

Þ a² - 2ab + b² = 16ab

Solución:

PROBLEMA 26

Calcula la suma de cifras del resultado de A + D

(1²-19²)(2²-18²)(3²-17²)...(19²-1²)

A = (Log1 + Log2 + Log3 +...+ Log100)

D = 999 x 1000 x 1001

Solución:

Para resolver A, debemos tener en cuenta su exponente. Éste es igual al producto de diferencia de cuadrados de números que suman 20.

Vemos que hay un factor que es igual a cero: (10² - 10²) Por lo tanto, el exponente de A es igual a cero.

Luego:

0

A = (Log1 + Log2 + Log3 + … + Log100) = 1 D = 999 x (1000 + 1) x 1000

= (999000 + 999) x 1000 = 999999000 \ A + D = 1 + 999999000 = 999999001 Suma de cifras: 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 1 = 55 Ordenando dichos sumandos en columna:

99 cifras

...

. .... .... .... .... .... .... .... .... .... 99

suman-dos

(98 términos) (49 parejas)

\ a + b + c = 2 + 9 + 9 = 20

+ 9 9 9 9 ...

1 1 1 ... 9 9 ... 1 ...

9 9 9 9 9 9 1 1 1 1 1 1 9 9 9 9 9 9 1 1 1 1 1 1

9 9 9 9 9 1 1 1 1 9 9 9 1 1 9

. . . a b c

(a - b)² = 16ab Þ a - b = 16ab

PROBLEMA 24

Solución:

Si x = 0,1² + 0,2 x 0,9 + 0,81

x = 0,1² + 0,2 x 0,9 + 0,81

x = (0,1)² + 2 x (0,1) (0,9) + (0,9)²

x = (0,1 + 0,9)² = 1² = 1

Reemplazando en el 2do. dato:

-x

xy = 5 -1

Þ (1) . y = 5 Þ y =

\ x + y = 1 + =

1 5 1

5 6 5

Trinomio cuadrado perfecto 2(0,1) (0,9)²

halla x + y

-x

xy = 5 Þ a - b = 4 ab

\ a - b = 4 ab 2ab + 16ab ab

PROBLEMA 25

Calcula a + b + c

...abc = 999…99 + 111...1 + 99...9 + 111...1 + … + 999 + 11 + 9

99 cifras 98 cifras 97 cifras 96 cifras

49(10)+9=499 49(10)+49

= 539 b c = 9 b = 9

a = 3

542 = 48(10) + 9 + 53 a

Þ Þ Þ

c

se lleva

se lleva se lleva

(1² - 19²)

+ + + +

(2² - 18²)

A = (log1 + log2 + log3 +...+ log100)

...(10² - 10²)...(19² - 1²) (20) (20)

(19)

PROBLEMA 27

Por lo tanto, la suma de cifras sería:

7 + 7 + … + 7 + 6 + 9 + 9 + 2 + 2 + … + 2 + 3

= 42 + 24 + 12 + 3 = 81

PROBLEMA 29

Solución:

Como la parte del exponente es sumamente complicada, analicemos solamente la base. Se sabe que 2x + y + z = 0 Þ y = -2x - z

Reemplazando:

PROBLEMA 30

Se sabe que a es par, b es impar y c es igual a cero. El resultado de A, ¿será par o impar?

Solución:

A = 1999 x ab² x ba x (a + b + ac)³ x b

A = 1999 x ab² x ba x (a + b + ac)³ x b

A = par

impar

impar impar

impar impar par

par A = (-1)

par

\ A = (-1) = 1

+ El exponente es Z y par

par

= = =- = -1

Si 2x + y + z = 0, calcula el valor de A

A =

2

2

xy x 1999 x 2

xy x 1999 x 2

x + y x + z

x + y x + z

x + (-2x - z) x + z

-x - z x + z

(x + z) x + z x + y + z

2x + 3y

x + y + z 2x + 3y

x-10

Si 0,00…091 = 91 x 10 , halla x + 30

-22

0,00…091 = = 91 x 10

-22 x-10

91 x 10 = 91 x 10

Þ x - 10 = -22 Þ x = -12

PROBLEMA 28

Solución:

Sabemos que:

abc x 9999 = abc0000 - abc

Þ 7777777 x 999999999

Þ 7777777000000000 - 7777777

7777777000000000 - 7777777 = 7777776992222223

Halla la suma de cifras del resultado de A = 7777777 x 999999999

\ x + 30 = - 12 + 30 = 18

iguales

91

22

10

Solución: 23 cifras

6 veces 6 veces

(20)

PROBLEMA 31 PROBLEMA 33

PROBLEMA 34

Calcula el valor de

E =

E =

E =

E =

E = 9 x = 9 x 3 = 3

=

Solución:

Veamos lo siguiente: 1023

-1 +1

1024 1025 (1025 x 1023 + 1) x 9 x 111

[(1024 + 1) (1024 - 1) + 1] x 9 x 111

[(1024)² - 1² + 1] x 9 x 111

(1024)² x 9 x 111

111

10

(2 )² x 9 x 111

4

32 x 37

3

3

3

3

3

3 3

4

32 x 37

4

32 x 37

4

32 x 37

37

5 4

(2 ) x 37

Solución:

Así:

x Una primera línea ideal sería hallar "x" a partir del dato; pero si nos damos cuenta de que en él se nos da la diferencia y se nos pide la suma,

entonces vamos a multiplicar a ambos, recordando además que:

(a - b) (a + b) = a² - b²

PROBLEMA 32

Solución:

Calcula la suma de cifras de:

A = (11111 … 1113)² - (11111 … 1111)²

A = (11111 … 1113)² - (11111 … 1111)²

11111 … 1113 + 11111 … 1111 [22222 … 2224]

(22222 … 2224) x 2 = 44444 … 4448

Scifras = 4 + 4 + 4+ 4 + 4 + … + 4 + 4 + 4 + 8

= 4(99) + 8 = 404

[ 2] A =

Þ A =

11111 … 1113 -11111 … 1111 100 cifras

100 cifras

100 cifras

99 cifras

100 cifras

suma diferencia

Diferencia de cuadrados 100 cifras

100 cifras Si A = 1 + 3 + 5 + 15

Si

halla M = x + 8

x + 8 x + 8 x + 8 x + 8

-2 2

x + 8 +

x - 12 = 5,

x - 12 = 5 x - 12 = M

x - 12 = 5M x - 12 = 5M Þ 20 = 5M \ M = 4

x - 12 Calcular A x B

x

Solución:

A = (1 + 15 ) + ( 3 + 5 ) B = (1 + 15 ) - ( 3 + 5 ) A x B = (1 + 15 )² - ( 3 + 5 )²

A x B = (1 + 2 15 + 15) - (3 + 2 15 + 5) \ A x B = 8

(21)

PROBLEMA 35 Solución: Si n n n n n

n

\

n = 2

4 4 4 4 16 n n n

= 16 = 16

= 16

Þ Þ n n 16 n n n n n 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 n 4 1 4

= 4, calcula

Recuerda que no es lo mismo

exponente sólo afecta a n) que exponente afecta todo)

Luego,

Sacamos raíz cuarta a todo para obtener lo que se nos pide:

PROBLEMA 36

Calcula el valor de A =

A =

Solución:

Vemos que en una parte del problema aparecen potencias de 2, así que a todo le damos la misma forma:

8 16

3 x 5 x 17 x (2 + 1) (2 + 1)

8 16

1 x 3 x 5 x 17 x (2 + 1) (2 + 1) + 1

(2 - 1) (2¹ + 1)

(2² + 1)

4

(2 + 1)

16

16

= 4

(aquí el (aquí el

A =

A =

PROBLEMA 37

PROBLEMA 38

Calcula la suma de cifras del resultado de:

Si:

y

halla A - B A = B = + + + + + + +...+ +...+ 3

1 x 2

5 2 x 3

7 3 x 4

9 4 x 5

11 5 x 6

13 6 x 7

39 19 x 20

41 20 x 21

43 21 x 22

45 22 x 23

Solución:

E = (777778)² - (222223)²

E = (777778)² - (222223)²

777778 + 222223

777778 -222223 E =

E = (1000001) x (555555) E = (100000 + 1) x 555555 Þ E = 555555000000 + 555555 E = 555555555555

\ Sumacifras = 5 + 5 + 5 +...+ 5 = 12(5) = 60

diferencia de cuadrados

suma 12 cifras diferencia = Þ \

4 8 16

(2-1)(2+1)(2²+1)(2 +1)(2 +1)(12 +1) + 1

32

(2 - 1) + 1 232 = 2² = 4 (2²-1)(2²+1)

4 4

(2 -1)(2 +1)

8 8

(2 -1)(2 +1)

16 16

(2 -1)(2 +1)

32

(2 -1)

16

(22)

Solución:

Sabemos que

es decir, si vemos una fracción, donde su denominador es el producto de dos números y el numerador es la suma de ellos, entonces esa fracción se puede descomponer en la suma de dos fracciones cuyos denominadores son dichos números.

Vemos que en 350 hay un cubo (2³). También está (3²) y (5) que no son cubos, pero que multiplicán-dolos por un cierto valor se pueden volver cubos.

Por lo tanto hay que multiplicarlo por lo que le falta es decir, por 3 x 5²; además para que siga siendo un cubo se le puede multiplicar adicionalmente por un cubo (1³ ; 2³ ; 3³ ; etc.); pero como se nos pide que sea mínimo, no lo haremos.

\ Se le debe multiplicar por 3 x 5² = 75

PROBLEMA 40

¿Por cuánto se le debe multiplicar a N para que tenga raíz cuarta exacta? (Da como respuesta el menor posible)

7 3 2 8

N = 2 x 5 x 3 x 7 x 11

Solución

Ejemplo: 5

5³ = 5 x

3³ = 3² x para ser cubo

para ser cubo le falta (5²)

le falta (3) Ejemplo:

Descomponemos cada sumando y restamos miembro a miembro:

A - B =

Restamos miembro a miembro:

PROBLEMA 39

¿Cuál es el menor número que se debe multiplicar por 360 para obtener un cubo perfecto?

primero vamos a descomponer a 360: 360 180 90 45 15 5 1 2 2 2 3 3 5

360 = 2³ x 3² x 5

Solución:

\ A - B = - = =

+ + + + + + + + + + + + - + + ... + + ... ... + ... + + -1 1 1 19 1 21 1 21 1 2 1 2 1 20 1 20 1 22 1 22 1 23 1 3 1 3 1 1 1 23 22 23 23 - 1

23 1 4 1 4 1 5 1 5 1 6 1 6 1 7 7

3 x 4 11 5 x 6

1 3 1 5 1 4 1 6 = = + + .... ....

3 + 4 = 7

5 + 6 = 11 +

1 a

1 b

b + a a x b

= 13230

\ Se le debe multiplicar por 2 x 5 x 3³ x 7²

4

5 = 5³ x 4

7 = 7² x

4

3 = 3 x

4

2 = 2³ x

4

2 x 2³ x 5³ x 3 x 7² 114 x 114 x2

N =

ya tiene raíz cuadrada

(23)

1. 6.

7.

8.

9.

n n n n n n n n

E = (3 x 3 x 3 x…x 3 ) x (2 x 2 x 2 x…x 2 )

n factores n factores

2.

3.

4.

5.

5

Se sabe que a - b = b - c = c - d = 5 Resuelve:

Si:

Simplifica:

Calcule x en:

3 4

• 33 • 3 • 33 = x

33 3 3 33 11

Halla: E = (b - 1)(b - 1)

(b - 1)

320 320 320 320 81

b + b + b + … + b = 81

81 veces

Indica el valor de E = -x² + 2x - 5 = 1,5

x+1 x+1

2 - 3

x

3

Halla:

Si a + b + c = 0

Halla 2x - 5 si:

¿A qué es igual 3x + 2? si: Halla:

x

0,00 … 001234 = 1234 x 10

9

x = 9

3 x

23 ceros

M = 3(a + b)(a + c)(b + c) + 3abc5 5 5 9 9 9 a + b + c + a + b + c si:

E =

1632x= 842x

2x - 1

3 4 Calcula el valor de:

A =

A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 5

A) -8 B) 5 C) -13 D) -9 E) 13

A) 8 B) 16 C) 32 D) 4 E) 3

2n

A) 5 B) 6n n2 2

C) 5n D) 6 E) 6n

A) 3 B) 33 C) 99 D) 11 E) 39

A) 28 B) 29 C) 30 D) 31 E) 40 A) 32 B) 64 C) 128 D) 256 E) 1024 A) 1 B) 2 C) ½ D) 0 E) 4

A) 1 B) 6 C) -2 D) 0 E) ½

A) 48 B) 30 C) -59 D) 43 E) -40

A) 9 B) 29 C) 30 D) 81 E) 25

10 10 10 5

(a - c) + (a - b) - (c - a) + (b - c)

10 10 5

(c - a) - (a - c) + (b - c)

10.

11.

Resuelve:

Si KENAR x 99999 = ...12345, Halla: (K + A + R + E + N)

A = (1984(2016) + 256 (959)(1041) + 1681

(24)

12. 19.

20.

21.

22.

23.

24. 13.

14.

15.

16.

17.

18.

Si: x(y - z) + y(z - x) + z(x - y) = 0 Simplifica

Si (+)(+) = (-)(-), calcular el valor de:

Si -1 = i, calcula el valor de

Si

Halla K en:

Halla la suma de cifras de R:

30 30

R = (10 + 1)(10 - 1) Calcula L =

a a

x - y

a a

x y a

3 a

+ = 731,

x y

y x

108 108 1996

A = [(1-i) - (1 + i) ] S =

A = + +

5

ENERO ERA

DINERO DIRA

MASA AMENOS a + b x a - b x a² - b + b

Si: x² = 3x - 1; halla x³ +

Halla el valor de x para que verifique:

Si x² + y² = 20

Un matemático tiene 3 números; luego los suma de 2 en 2 y obtiene otros tres números que son 13, 17 y 24. Halla la semisuma de los dos mayores.

Si

Reduce E = Calcula el valor de

y a x b x c = 27

= =

a b

(12345)² - (12343)²

4

10 + 2344 c

a b c

Calcula K = (x + y)² + (x - y)² 14 + x + 14 - x = 4

3 3

1 x³ Halla y

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) T.A.

A) a B) a² C) a/2 D) 2b E) 2a

A) 81 B) 64 C) 246 D) 0 E) 243

28 54 5994

A) 1 B) 2(2 ) C) 0 D) 2 E) -2

A) ±2 B) ±3 C) 7 D) ±11 E) 17

A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 7

A) 630 B) 540 C) 360 D) 270 E) 300

3+ 2 3+ 2 = 7

(5 + 24)

48 k-1

k+1

A) 27 B) 8 C) 18 D) 24 E) 21

A) 4 B) 49 C) 81 D) 100 E) 169

A) 20 B) 40 C) 30 D) 50 E) 20

A) 20,5 B) 15 C) 12 D) 24 E) 30

A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) 18

(25)

25.

30.

31.

32.

33.

34. 26.

27.

28.

29.

Si 3 = 1,

Si x = 7

Si (x - 2)² + (x - 1)² + x² = (x + 1)² + (x + 2)²

Calcula la suma de las cifras de N, luego de efectuar:

Halla la suma de cifras del resultado de:

Calcula:

R = (323 x 325 + 1) x 9 x 111

4

18 x 37

N = 22 x 202 x 20002 x 100000001

M = (5555556)² - (4444445)² Halla : x

x - 4 Calcula el valor de:

A = x + x + x + … + x n veces

xx7

x x x

x

x x…

x 7

7 7

7

y x +

Si x = y ; x e y Î Z , x y,

Calcula la suma de cifras del resultado de E

Calcula la suma de cifras del resultado de

Calcula el valor de x² + 1 si: 2(5x² + 15) + 5(6 + 2x²) = 420 A =

60 cifras

60 cifras

+ + + … +

13 15

1313 1515

131313 151515

1313...13 1515...15 E = 1 x 3 x 5 x 17 x 257 + 1

(x+y)

Calcula: (y - x) calcula el valor de:

3 + 3 + 3 + … (8k + 10 veces) 3 + 3 + 3 + … (18k + 1 veces) A =

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

7

A) n B) n C) 7n D) 49n E) 14n

A) 0 B) 1 C) 3/2 D) 2 E) A ó C

A) 128 B) 140 C) 150 D) 138 E) 100

A) 14 B) 12 C) 21 D) 20 E) 28

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 2 B) 4 C) 16 D) 32 E) 64

A) 6 B) 12 C) 10 D) 16 E) 13

A) 6 B) 7 C) 9 D) 8 E) 10

(26)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

D

A

D

C

B

C

B

D

C

E

C

E

C

E

B

C

C

D

B

E

C

E

C

B

B

E

E

D

D

C

E

A

B

C

B

C

B

E

C

E

35. 38.

39.

40. 36.

37.

Halla el resultado de: Si x - y = 3, además xy = -2, calcula

4 4

E = x + y

Si 3a + 2b + c = 0, halla

Si xy = z yz = x zx = y

Calcula E = x² + 2y² + 3z² xyz E = a + c

a + b b - c a + b

x y + 1

Si 2 = 8

y x-9

9 = 3 Halla x + y

Si m - 3n = 4p, calcula E = p + nm - p C = 2,52(0,16)² + (0,16)³ + (0,84)² x (0,48)+(0,84)³

A) 5,25 B) 1 C) 3,87 D) 1,03 E) 2

A) 10 B) 15 C) 23 D) 13 E) 17

A) 8 B) 4 C) -8 D) -4 E) 6

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

A) 21 B) 6 C) 27 D) 18 E) 35

(27)

6. Si: x + y = 5 ; x y = 2 1. Si: a + b = ab / a; b Î N hallar:

Calcular:

a) 1 b) 2 c) 1920

d) 0 e) 4

a) 0,1 b) 0,5 c) 1

d) 2 e) 0,2

2. Reducir:

7. Si:

Hallar:

a) -ab b) c)

2 2

d) ab e) a b

a) 100 b) 95 c) 30

d) 25 e) 110

3. Luego de simplificar:

8. Calcular:

[(1001)(999) - (1002)(998)]²

n a) 3 b) 9 c) 2

a) 1 b) 2 c) 2

d) 4 e) 0

n 2n - 1

d) 4 e) 2

9. Efectuar:

4. Resolver en “x” (200)

[

300² + (300)(100) + 100²

]

+ 100³

2 2 3

a) 300 b) 30 c) 300

3

d) 400 e) 2008 Siendo: a + b ¹ 0

10. Hallar: a) a + b b) a - b c) a b

d) a/b e) b - a

2 2

5. Si se cumple: x + 12 y = (y + 6) indicar el valor de:

a) 1 b) 3 c) 6

d) 12 e) 36

PRACTICANDO 02

1920 1920

a - b ——————

a + b x² + y²

—————— x³ + y³ + 10 P =

1 ——

x³ x³ +

1 ——

x x + = 5 a³ + b³ - (a + b) (a² + b²)

———————————— a + b

n + 1 3n

2 - 2 ———————-n + 2 n + 1

2 - 2

x ——

a

x ——

b

a² + 2ab + b² ab ———————

; se obtiene:

; ab ¹ 0

+ =

1 ——

ab

a ——

b ; a ¹ - b

4 4

E = (x + y - 2x² y²)[(x + y)(x - y)]³10

1 ——

100

(28)

11. Calcular la suma de cifras de: 17. Si : a + b + c = 20, calcular : M = (99995)² + (999995)² + (9999995)²

a) 36 b) 48 c) 45

d) 32 e) 50 a) 10 b) 20 c) 30

d) 40 e) 50

12. Calcular la suma de cifras de:

18. Evaluar:

Si: a; b ; c; verifican la relación:

a) 385 b) 392 c) 189

d) 467 e)546 a) 2 b) 3 c) 5

d) 4 e) 1

13. En qué cifra termina:

19.

278

(89462)

Calcular : E = ab + bc + cd

a) 1 b) 2 c) 3

d) 6 e) 4

a) 10 b) 90 c) 80

d) 30 e) 19

14. En qué cifra termina:

43375 20. Sea: a + b + c = a² + b² + c² = 1

(654393)

+

Ù {a, b, c} Ì R indique el valor de:

a) 5 b) 3 c) 7

d) 4 e) 8

15. En qué cifra termina:

a) 2 b) -2 c) 3

CORPORACIÓN

E = (AFUL236 + INGRESO120) d) 5 e) -5

a) 5 b) 2 c) 3

d) 6 e) 8 21. Si: (x + y)² = (1 + x)(1 + y) - 1, y ¹ -x

16. Si: a² + b² + c² = 26 Calcular el valor de la expresión: ab + ac + bc = 5

Hallar :

a) 2 b) -2 c)

a) 1 b) 2 c) 3

d) 9 e) 36 d) 1 e) -1

(666 … 66)² 23 cifras

a + b ———

6 - c

a + c ———

6 - b

b + c ———

6 - a

a —

c

a —

c

(ab)² + (bc)² + (ac)² abc

—————————

x² + xy + y² x + y ——————

1 2 — 2

b —

c c —

d

a² + b² + c² a² - bc ——————

b —

c +

= = y (a² + b² + c²)(b² + c² + d²) = 8100 = -1

+ +

(29)

22. Si : 26. Calcular: a + b

2 4 6 8

(2376) + (825) + (23476) + (12925) = ...ab

El valor numérico de: a) 2 b) 6 c) 7

d) 8 e) 12

27. Hallar la suma de las cifras de: (1111)² + (11111)² + (111111)²

a) b) 1

a) 31 b) 32 c) 34

c) -5 d) 6 e) -6 d) 41 e) 48

23. Sabiendo que: (a + 2 ab + b)(a - 2 ab + b) = 0 28. En qué cifra termina:

Hallar el valor de: AMOR

E = (TE 132 + QUIERO 023 + MUCHO) donde O = cero

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

a) 12 b) 17 c) 19

2 2

d) 27 e) a + b

29. En qué cifra termina:

24. Calcular el resultado de: 1234

D = (AMOR 27 - MIO 24) [(10001)(9999) - (10002)(9998)]²

a) 3 b) 4 c) 8

d) 2 e) 1

a) 3 b) 9 c) 2

d) 4 e) 12

30. En qué cifra termina: 25. Calcular:

UNIDAD

E = (GIS 17 + JUN 18)

1/2

[600² + 300² + 2(300)600)] +

1/3

[400³ + 100³ + 3(500)(400)(100)]

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

a) 1050000 b) 1060000 c) 103000 d) 1070000 e) 4300000

x = 5 - 3

5 + 3 + 2

y = 2 - 5 z = 3 - 2

E = x² + y² + z² — + + xy + yz + zx

—————— x² yz —— y²

xz —— z²

xy ——

P = ————a + 2b + + + a + b

a² + 4b² ————

a² + b²

a³ + 8b³ ————

a³ + b³

4

a4 + 16b ————4 4

(30)

1. Hallar “x”: 6. Reducir sin realizar operaciones:

a) 0,1 b) 0,01 c) 10

a) 1 b) 1,3 c) 2,5

d) 100 e) 1

d) 1,2 e) 1,5

7. Calcular: 2. Simplificar:

a) 1/5 b) 1 c) 5

d) 1/25 e) 25

a) 1 b) 2 c) 3

8. Si:

d) 3 e) 2

Calcular: 3. Simplificar:

a) 1 b) 1/2 c)

n d) e)

a) 1 b) 2 c) 2

9. Dado: a² + b² + c² = 29

n 2n-1

d) 4 e) 2

a + b + c = 9

4. Calcular: Hallar: E = ab + ac + bc

(13794528)² - (13794527)² a) 24 b) 26 c) 28

d) 22 e) 20

a) 1 b) 15 c) 27589055

10. Si:

4

d) 23457 x 10 e) 374159928

Calcular:

-1

5. Si: M + M = 5

a) 3 b) 2 c) 1

3 3

Hallar: M + M

d) e)

a) 100 b) 95 c) 30

d) 25 e) 110

PRACTICANDO 03

n-5 = 36x-1

n-5 n-5 2 + 3 —————

5-n 5-n 2 + 3

m

m m

m²+4 m²+1 m²-1

3 + 3(3 ) - 12(3 ) ————————————

m²+3 m²+2 m²-1

3 + 2(3 ) - 6(3 )

(22000)(0,39)0,00035) ———————————— (0,15)(770000)(0,0000026)

n+1 3n

2 - 2 —————

-n+2 n+1

2 - 2

(a-b)³ + (b-c)³ + (a-c)³ ——————————

10 S =

5 ¸ 5 ¸ 5 ¸ 5 ¸ 5 ¸—1 5

1 —

5 1 —

5 1 —

5 1 —

5

¸ ¸ ¸ ¸

a(a - 1) + b(b - 1) = 2 ab ( ab - 1)

a + b

2 3

a - b = b - c = 3 3

3 ——9

10

3 3

5

4

(31)

-1 -1 -1 16. Hallar el valor de: 11. Si : a + b + c = 0

Hallar el valor de :

a) 1574515 b) 0 c) 1

d) 1447915 e) F.D. 17. Calcular el valor de :

a) -1 b) 1 c) 3

d) -3 e) 0

12. Efectuar:

Sabiendo que : x + y = 3 xy (200)[300² + (300)(100) + 100²] + 100³

3 5 5 4 4

a) 3 b) 3 + 3 c) 3 + 3

4 4

2 2 3 d) 3 e) 3

a) 300 b) 30 c) 300

3 3

d) 400 e) 100

18. Calcular:

(135)² + (85)² + (65)² + (145)² 13. Hallar:

a) 50700 b) 57000 c) 70500

Para a = 0,75 d) 75000 e) 70050

a) 1,75 b) 1,05 c) 1

d) 0,75 e) 0,5

19. Hallar la última cifra luego de efectuarse el producto.

14. Si: 2000 1999 1998 2

P= (2 +1)(2 +1) (2 +1) ... (2 +1)

a) 1 b) 3 c) 5

d) 7 e) 9

20. Calcular la suma de las cifras del resultado:

a) 1 b) 2 c) 3

d) ½ e) 1/3

15. Hallar:

a) 900 b) 1000 c) 1100

d) 1200 e) 1300

21. Calcular:

a) 2305 b) 2420 c) 2505

a) 16 b) 18 c) 9

d) 2515 e) 2525

d) 8 e) 1

a —

b

a —

c b

— a

b —

c c

— a

c —

b

+ + + + +

M =

x —

y y —

x + = 62

1 + a - 1 + a M =

x + y ———

xy Hallar : E =3

- 1 2(1000)(501)(1004)(1006) + 4²

2 x 3 x 4 + 1 - 1

——————————————— E =

1 ——

100

P = (y - a)(y - b)(y - c)...(y - z)

y —

x

3 3

x —

y

+ 1 + + 1

P = (333...33)²

100 cifras

2 4 8

3(2 + 1)(2 + 1)(2 + 1) + 1

(32)

22. Dada la expresión : 28. En qué cifra termina:

SALUD44

2n+1 3/8 2n

2 k = 2 (AQUI32 + TOMAMOS91 + PILSEN74)

Hallar el valor de k, para n = ¾ a) 1 b) 3 c) 7

d) 9 e) 5

a) 16 b) 8 c) 25

d) 32 e) 1/4

29. En qué cifra terminar:

23. Si: (+) (+) = (-)(-) PIENSA

(JACINTA5555 - SIGIFREDO79)

a) 4 b) 6 c) 8

d) 0 e) 2

a) 1/2 b) 1 c) 1,5

d) 2 e) 2,5

30. En qué cifra termina: 24. Hallar la suma de cifras del resultado de:

a) 7 b) 5 c) 3

a) 5 b) 7 c) 9 d) 1 e) 0

d) 10 e) 17

31. En qué cifra terminar: 25. En que cifra termina:

INGRESO2001

SABER47 AFUL815

75 ( + )

1275

a) 2 b) 4 c) 6

a) 3 b) 0 c) 5 d) 8 e) 0

d) 2 e) 7

32. Si: p - q - r = 2 26. Hallar la suma de las dos últimas cifras del

resultado de: pq + pr = qr

2 3 7

(176) + (12476) + (77776) Hallar p² + q² + r²

a) 9 b) 8 c) 11 a) 4 b) -4 c) 2

d) 10 e) 7 d) -2 e) q

27. En que cifra termina:

470

(AMORCITO 23 + CHIQUITO 76)

a) 0 b) 1 c) 9

d) 7 e) 2

Hallar K = —————SUMA + SUMENO

AMOR —————

MORENO

M = 123456789 - 2468 (1981)

Figure

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