En esta oportunidad estudiaremos un capítulo que contribuirá en gran medida a familiarizarnos con las operaciones matemáticas, a través del ejercicio con diversos tipos de multiplicación abreviada, potencia de un número, raíces cuadradas, adición, multiplicación y división de fracciones, etc., para lo cual debemos recordar ciertos conocimientos básicos como: la teoría de exponentes, ecuaciones, factorización, etc.
Este capítulo debe ser estudiado con mucho interés y desde la base de ejercicios diversos, ya que la práctica será decisiva en su aprendizaje.
Debido a la escasa práctica de ciertas operaciones matemáticas y por el poco uso de métodos abreviados, suele parecer la matemática como un conjunto de fórmulas y propiedades tediosas que sólo un matemático puede entenderlo; esta idea debemos "desterrarla", ya que la parte operativa sólo es como los abdominales para un atleta (lo más importante para un atleta es su salud, su alimentación y su voluntad de querer llegar a la meta).
Lo más importante, entonces, es el interés y la voluntad de estudiar en forma objetiva la matemática con un método razonado y ameno; para complementarlo con un manejo práctico de la parte operativa.
Cierta vez un matemático llamado H. Hardy al visitar a su amigo Ramanuján, que estaba enfermo en un hospital, le dijo: "Vine en el taxi 1729, el número me pareció muy banal y espero que no sea de mal agüero". Al contrario, contestó Ramanuján, el número es muy interesante, es el menor número que se puede expresar como suma de 2 cubos en dos formas distintas:
1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³
Debemos saber que Ramanuján al responder instantáneamente no lo hizo por arte de magia, sino como trabajaba constantemente con los números ya sabía de los cubos perfectos de memoria; sólo tuvo que percatarse que dos de ellos sumasen 1729.
HABILIDAD OPERATIVA
Árabe tratando de resolver la operación 9995² - 9994² = ....?
En este capítulo veremos métodos, que nos permitirán ahorrar tiempo en los cálculos, tiempo que en cualquier tipo de examen resulta determinante como para no desperdiciarlo en cálculos numéricos elementales. Otro aspecto importante, de esta parte del curso, es que nos enseña las diferentes formas de cómo afrontar un ejercicio que aparentemente tiene una solución operativa, pero que con un poco de habilidad en las operaciones se puede resolver de una forma más rápida. Por ejemplo, para resolver la situación dada en el gráfico (arriba) la solución tradicional sería elevar cada número al cuadrado y luego proceder a hallar su diferencia, sin embargo, empleando criterios prácticos, podemos recordar la diferencia de cuadrados y aplicarlo, así:
9995² - 9994² = (9995 + 9994) x (9995 - 9994)
A continuación, veamos el estudio de algunos casos sobre el desarrollo abreviado de ciertas operaciones básicas:
MULTIPLICACIÓN POR 5
Deduzcamos el procedimiento a partir de un ejemplo:
426 x 5 = ?
Ejemplos:
1. 23 x 5 = = 115
2. 976 x 5 = = 4880 = 426 x
= 2130 =
10 2 4260
2
230 2 9760
2 Diferencia de
cuadrados
= (19989) x (1) = 19989
3. 4783 x 5 = = 2391
= ?
=
= 27 4. 7114 x 5 =
Para practicar:
MULTIPLICACIÓN POR 25
DIVISIÓN POR 5
Ejemplos:
Deduzcamos el procedimiento a partir de un ejemplo:
Deduzcamos el procedimiento a partir de un ejemplo:
Ejemplo:
Para practicar:
Si deseas, puedes hacer un método práctico para dividir por 25, utilizando la misma idea que en los casos anteriores.
1.
2.
3.
1. 8125 ÷ 5 = ... 2. 94540 ÷ 5 = ... 3. 71853 ÷ 5 = ...
=
=
=
=
=
=
= 6428
= 863,6 = 77
1. 648 x 5 = ... 2. 9737 x 5 = ... 3. 419971 x 5 = ...
= 35570 47830
2
135 5 135 X 2
10
385 5
32140 5
4318 5
770 10
64280 10
8636 10 385 x 2
10
32140 x 2 10
4318 x 2 10
270 10 71140
2
24 x 25 = ?
1. 72 x 25 =
2. 229 x 25 =
3. 798 x 25 =
4. 3697 x 25 =
Para practicar:
1. 124 x 25 = ... 2. 645 x 25 = ... 3. 4797 x 25 = ...
= 1800
= 5725
= 19950
= 92425
24 x =
= 600 100
4
2400 4
7200 4 22900
4 79800
4 369700
MULTIPLICACIÓN POR 11
Ejercicios:
1. 79 x 11 = 8
2. 4599 x 11 = 5 5
3. 790047 x 11 = 8 70
4. 9876543 x 11 = 6 9
¿Tienes curiosidad por conocer ¿cuál es la regla práctica para multiplicar 111 x 1111,.., etc? ¡Averígualo! como sugerencia utiliza un ejemplo en forma similar al que se utilizó en la
multiplicación por 11
MULTIPLICACIÓN POR 9, 99, 999, 9999, ...
Deduzcamos el procedimiento a partir de un ejemplo:
Nos damos cuenta de que efectuar una sustracción es más fácil que multiplicar.
Entonces:
347 x 99 = 374(100 - 1) = 34700 - 347 = 34353
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
8572 x 11 = ? Operando tenemos:
52 x 11 52 52 572
3124 x 11 3124 3124 34364 52 x 11 = ?
3124 x 11 = ?
Þ 5 2 x 11 = 5 7 2 +
1er paso
2do paso 3er paso
Þ 3 1 2 4 x 11 = 3 4 3 6 4 + + +
1º
= 6 = 3 = 4
5º 4º
3º 2º
Þ 8 5 7 2 x 11 = 9 4 2 9 2 + + +
1º
= 9 = 12 = 13
5º 4º
Es decir:
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Calcule 21 x 14
Calcule 23 x 21
Calcule 41 x 12
Si en una o en más de las operaciones parciales resulta un número mayor que 9, dejamos la cifra de las unidades y llevamos las cifras restantes para la siguiente operación. Por ejemplo: 64 x 43 = ?
Practica:
1. 34 x 46 = ... 2. 53 x 67 = ... 3. 87 x 77 = ... 4. 98 x 93 = ... 2 1 1 4 294 8 + 1
2 3 21 483 2 + 6
4 1 1 2 492 1 + 8
2 7 5 2 6 4 4 3 8
2
8
18
1º 3 x 1 = 3
2º 2 x 1 + 2 x 3 = 8 3º 2 x 2 = 4
1º 1 x 2 = 2
2º 4 x 2 + 1 x 1 = 9 3º 1 x 4 = 4
x
x
x
x
x
x
x
x x
1
6
1
16
18 + 16 + 1 = 3 5 24 + 3 = 27 = 1 2
24 =
Regla Práctica
(FINAL) 3º 2º 1º
(INICIO) 21 x 14 = ...? Þ
N representa a cualquier número natural
Ejemplos:
Ejercicios prácticos:
MULTIPLICACIÓN DE 2 NÚMEROS DE 2 CIFRAS CADA UNO
Deduzcamos el procedimiento del ejemplo siguiente:
Deduzcamos el procedimiento del ejemplo siguiente:
Apliquemos nuestras deducciones en los siguientes ejemplos:
Producto de las cifras de las decenas (2 x 1)
Suma de los (2x2) + (1x3) productos en aspa
Producto de las cifras de las unidades (3 x 2)
2 3 x 1 2 4 6 2 3 2 7 6
1. 87 x 99 = ... 2. 23 x 9999 = ... 3. 501 x 999 = ... 4. 1007 x 99999 = ...
1. 123 x 99 = 12300 - 123 = 12177
2. 746 x 9999 = 7460000 - 746 = 7459254 3. 3785 x 999 = 3785000 - 3785 = 3781215 4. 844371 x 99999 = 84437100000 - 844371 = 84436255629
EMPLEO DEL COMPLEMENTO ARITMÉTICO (C.A.)
FORMA PRÁCTICA PARA CALCULAR EL C.A. DE LOS NÚMEROS NATURALES
Ejemplos:
Resolución:
I.
II.
III.
IV.
Utilicemos ahora el C.A. para calcular algunas multiplicaciones. Los factores son muy cercanos a una potencia de diez.
Ejemplo 1
Resolución: 1º Paso:
992 x 991 = ... 072
8 x 9
C a l c u l a m o s l o s C . A . y l o s multiplicamos. Al resultado le hemos colocado un cero en el lugar mostrado para que su número de cifras sea igual al de cada uno de los factores.
Calcula el resultado al multiplicar: 992 x 991 9 9 10
9 9 9 10
9 9 10
9 9 9 10 C.A. (7 4 8) = 252
C.A. (5 1 3 6) = 4864
C.A. (7 0 4 0) = 2960
C.A. (9 9 8 6) = 14
Calcula en forma práctica del C.A. de: I. 748
II. 5136 III. 7040 IV. 9986
A partir del menor orden se observa la primera cifra significativa, la cual se resta de 10 y las demás cifras se restan de 9. Veamos algunos ejemplos:
¿QUÉ ES UN COMPLEMENTO ARITMÉTICO?
Para realizar algunas multiplicaciones. si nos preguntasen cuánto le falta a 4 para ser 10, responderíamos inmediatamente que 6; y si consideramos el número 941, ¿cuánto le falta para ser 100? pues 9 ¿verdad?; y ¿cuánto le falta a 885 para ser 1000?, es claro que le falta 115 y podríamos seguir así con más preguntas de este tipo, es decir calculamos la cantidad que le falta a un número para que sea igual a una unidad del orden inmediato superior. Lo que hemos realizado empíricamente es el cálculo de complementos aritméticos.
Se denomina complemento aritmético (C.A.) de un número natural a la cantidad que le falta a dicho número natural para ser igual a una unidad del orden inmediato superior.
Ejemplo:
Resolución:
I.
II.
3 2 1 0 1 0 0 0 7 4 8 2 5 2
4 3 2 1 0 1 0 0 0 0 5 1 3 6 4 8 6 4
orden
orden número dado
número dado C.A.
C.A. \ C.A. (748) = 252
2º Paso:
Ejemplo 2
Resolución: 1º Paso:
E = 999987 x 999993 = ... 000091
E = 999987 x 999993 = 999980000091
Al resultado le colocamos 4 ceros para que su número de cifras sea igual al de cada uno de los factores.
Entonces el producto será: 999980000091 Nos pide la suma de las cifras:
9 + 9 + 9 + 9 + 8 + 9 + 1 = 54
2º Paso:
Ejemplo 3
Resolución:
Calcula la suma de las cifras del producto de:
Esa vez haremos el cálculo de manera directa integrando los dos pasos descritos:
99986 x 99989
99986 x 99989 = 9997500154
14 x 11
13 x 7
Calcula la suma de las cifras del resultado de: 999987 x 999993
\ El producto será: 983072
Restamos de uno de los factores el C.A. del otro factor. Podríamos tomar por ejemplo el factor 992 y restarle 9 (que
El producto es: 9997500154 Nos pide la suma de cifras:
Ejemplo 4
Resolución:
Calcula el producto de las cifras de la suma de cifras de A.
A = 9999984 x 9999988
\ A = 99999720000192 Suma de cifras de A = 66 Nos pide: 6 x 6 = 36
CUADRADO DE UN NÚMERO DE 2 CIFRAS
Si tomamos como base el criterio práctico de multiplicación de dos números, cada uno de dos c i f r a s a n t e r i o r, p o d e m o s d e d u c i r u n procedimiento sencillo para este caso.
Analicemos un ejemplo: (13)² = 13 x 13 = ??
Hagámoslo más práctico en los siguientes ejemplos:
Doble del producto: 2(2x1)
(2 1)² = 4 4 1 (4 1)² = 1 6 8 1
Al cuadrado Al cuadrado Al cuadrado Al cuadrado
Doble del producto: 2(4x1)
3 3
3
x x
3 1 1 1 6
1º) Cuadrado de la cifra de las unidades: 3² = 9 2º) Doble del producto de sus cifras: 2(1x3) = 6 3º) Cuadrado de la cifra de las decenas: 1² = 1
9
9999984 x 9999988 = 9999972 0000192 3(9) + 7 + 5 + 1 + 5 + 4 = 49 es el C.A. de 991).
992 x 991 = 983072
-8 9
-7
En caso de que algún producto parcial obtenido en el procedimiento resulte mayor que 9, dejaremos la cifra de las unidades y llevaremos las cifras restantes a la siguiente operación. Por ejemplo, si en un producto parcial obtienes 2, entonces dejas 5 y llevas 2; ó si te sale 137, dejas 7 y llevas 13.
Ejemplos: Ejemplos:
1.
2.
3.
4.
Para practicar:
ALGUNAS OPERACIONES BÁSICAS CON FRACCIONES
a) Adición y sustracción
3
8
5 4
3
6 +
+ x
x
x =
=
=
=
=
=
= 5
7
11
4 x 5
21
66
20 20
21
66 2
4
7
3 x 5 + 2 x 4
56 - 12
55 + 42
15 + 8 23
44
97 1. (85)² = ... 2. (235)² = ... 3. (555)² = ... 4. (1005)²= ...
(55)² =
(105)² =
(785)² =
(9995)² = x6
x11
x79
x1000 3 0 2 5
1 1 0 2 5
6 1 6 2 2 5
99900025
Ejemplos:
Para que practiques:
CUADRADO DE UN NÚMERO QUE TERMINA EN LA CIFRA 5
Deduzcamos una regla práctica a partir de los siguientes ejemplos:
Nos damos cuenta de que un número que termina en cifra 5 al elevarse al cuadrado, su resultado siempre terminará en 25, y que las cifras restantes del resultado se obtendrán de multiplicar el número (sin tomar en cuenta la cifra 5) por su consecutivo inmediato superior.
Es decir: (15)² =
x2 x3 x4
(25)² = (35)² =
2 2 5 6 2 5 2 5
1. (34)² = ... 2. (52)² = ... 3. (86)² = ... 4. (93)² = ... 5. (35)² = ...
2(4 x 3) = 2 4 1º) 2º)
3º)
(98)² =
9² + 15 = 96 8² = 6 4 9 6 0 4 (43)² = 1 8 4 9
3² = 9 4² + 2 = 18
2(9 x 8) + 6 = 15 0
1 PROBLEMAS RECREATIVOS
1. Forma los números: 1, 2, 3, 4, 5 con 3 cifras "cinco". Te mostramos 2 ejemplos:
1 =
2 =
3 = ... 4 = ... 5 = ...
=
= = 55 - 5
5 5 5
5
5 + 5 5
5 5
2. Coloca convenientemente los paréntesis y los símbolos + ; - ; x ; +, sobre las líneas punteadas para obtener los resultados dados
Ejemplo:
Ahora, hazlo tú:
a. b. c. d. e. f. g. h.
3...3...3...3 =
3...3...3...3 =
3...3...3...3 =
3...3...3...3 =
3...3...3...3 =
3...3...3...3 =
3...3...3...3 =
3...3...3...3 = 1 2 3 4 5 6 7 8
(3 x 3 x 3) ÷ 3 = 9
3 x 3 + 3 ÷ 3 = 10
4
13
b) Homogenización de denominadores
c) División 1 2 2 3 2 7 9 5 x
(extremos y medios) x x x = = = = 1 x 3 2 x 2
2 x 5 7 x 9
2 1 5 2 3 7 2 21 = 10 = = = = = 2 1 1 5 2 3 7 1
2 x 5 1 x 1
2 x 1 3 x 7
3 4 10 63 -+ 5 7 2 7 2 5 3 4 7 3 1 5 6 15 15 20 35 15 4 20 41 15 11 20 7 3 (5) (5) 1(4) (4) 5 2(3) 3(2) 3(5) 4(5) + + -+ -+ -= = = = = = - - -= = + = = = = + 1 5 1 5 1 8 5 23 4 28 2(2) 7(4) 72 8 5 3 2 6 8 3(2) 2(4) 6
8 8 8 8
6 6 6 5 5 8 8 + = = = = = = 2 3 x 1 + 2 5
32 - 5
PROBLEMA 1 Vemos que en el problema aparecen x + z y "y + w". Por tanto para facilitar las operaciones hagamos un cambio de variables:
x + z = a y y + w = b
Solución:
Aplicando conceptos básicos de leyes de exponentes nos daremos cuenta que la respuesta es otra. Veamos:
PROBLEMA 2
Si: (x + y + z + w)² = 4(x + z)(y + w) Calcula:
Resolución:
El problema parece ser operativo, pero si observamos bien la forma que tiene, nos daremos cuenta de que tiene una particularidad:
M =
M =
M =
M =
Del dato:
Otro método
Si asignamos valores adecuados a las variables para que se cumplan las condiciones del problema, entonces estos mismos valores darán la respuesta de lo que se pide. Así, para el problema podemos considerar: x=1; y=1; z=1; w=1
Veamos si estos valores satisfacen la condición inicial:
¡Sí cumple!
(x+y+z+w)² = 4(x+z)(y+w) Þ 4² = 4(2)(2)
1 1 1 1 1 1 1 1
(x + y + z + w)² = 4(x + z)(y + w) (a + b)² = 4ab
a² + 2ab + b² = 4ab a² - 2ab + b² = 0
(a - b)² = 0 a - b = 0
a = b b
a a b
=
3x - y + 3z - w
3x + 3z - y - w
3(x + z)-(y + w)
3(x + z)-(y + w) 3a - b
x - 3y + z - 3w
x + z - 3y - 3w
(x + z) - 3(y + w)
(x + z) - 3(y + w) a - 3b
3
3
3
3 3
E = b
b
\ El exponente de b es b² = b = b = (b )
b3 b1+2 b x b² b b²
que
En este caso, el exponente de
b
b si es 3 bb 3
Muchos pensarán que la respuesta es 3. Pero recuerda que no es lo mismo:
b
Indica cuál es el exponente de b en la siguiente
3 b
expresión E = b
3 b
b
M =
\ M = = 3 = 1
3 =
3x - y + 3z - w
4
3 - 1 + 3 - 1 x - 3y + z - 3w
-4 -1
1 - 3 + 1
3
3
PROBLEMA 3
Solución:
Antes de iniciar con los cálculos debemos analizar m i n u c i o s a m e n t e e l p r o b l e m a y v e r q u é particularidad presenta. Nos damos cuenta de que en cada fracción la cantidad de cifras del numerador y el denominador es la misma y presenta la misma característica (repetición de cifras). Si analizamos los numeradores, obtendremos.
25 = 25 x 1
101
2525 = 2500 + 25 = 25(100 + 1) = 25 x 101 252525 = 250000 + 2500 + 25
= 25(10101) 25252525 = 25(1010101)
252525 … 25 = 25(10101 … 01) En general
Del mismo modos podemos analizar los denominadores
Luego:
111 sumandos
111 sumandos
A =
A = + + + ... +
+ + +...+
25 x 1 37 x 1
25 37
25 37
25 37
25 37
25 x 101 37 x 101
25 x 10101 37 x 10101
25 x 10101...01 37 x 10101...01 •
•
•
•
•
Efectúa y da como respuesta la suma de cifras del resultado:
A = 111
PROBLEMA 4
Solución:
También, recuerda que todo número que termina en 5 al elevarlo al cuadrado su resultado
terminará en 25. Se representa así:
+
Donde: n ³ 2( n Î Z )
Entonces:
n
(...5) = ...25 Calcula: a + b, si:
1999 factores
4
(1 x 3 x 5 x 7 x ...) = ...ab \ Scifras = 7 + 5 = 12
( (
25 = 3(25) = 75 37A =
111 sumandos
+ + + … +
25 37
2525 3737
252525 373737
252525...25 373737...37
(1 x 3 x x 7 x 9 ....) = ...ab impares
4
( x impar) = ...ab
4
(...5) = ...ab ...25 = ...ab
PROBLEMA 5
Solución:
Reemplazando:
En la expresión A ya conocemos a x-y y y-z, pero falta conocer x-z.
x - y = y - z = x - z = 2
A =
PROBLEMA 6
Solución:
Una forma de resolver el problema sería operando algebraicamente; pero como las cantidades numéricas son pequeñas, con un simple análisis llegaremos más rápido a la solución.
Halla : x + y, si: x - y = 2 x - y = 16
6
2 x 6 + 6 + 6 66 x 6
\ A = 6 = =
66 66
66
+
Si: x - y = y - z = , calcula el valor de: A =
6 6 4
(x - z) + (y - z) + (x - y) 66
6
6
6
6
6
6
6
6
+ +
2
6 6 6
6
6
6
6
6
6
I.
II.
x - y = 2, resultado entero Þ x y y son también enteros y en conclusión x e y son cuadrados perfectos; es decir, tienen raíz cuadrada exacta.
Según el dato, busquemos dos cuadrados perfectos cuya diferencia sea 16.
(x - y = 16) . 1, 4, 9 , 16, 25 , 36, 49, …
Verificando en (i) : 25 - 9 = 2 ...¡cumple! \ x + y = 25 + 9 = 34
PROBLEMA 7
Solución:
Al igual que el problema anterior, como el valor numérico es pequeño, analizar resulta más rápido que operar. Veamos:
2(x² + 2) + 2 2(x² + 2) = 48 = 36 + 2 36
2(x² + 2) = 36 x² + 2 = 18 x² = 16
+
x = 4 (x Î Z )
\ x = 4 = 2 cuadrado
perfecto
+
PROBLEMA 8
Si: x + = 2 Halla: A + B, si:
Solución:
x +
1 + 1
1
x = 2 x = 1
Hagamos lo posible por evitar las operaciones, simplemente analicemos nuestros datos así:
20 19 18
A = x + x + x + … + x³ + x² + x
20 19
A = x + x +…+ x² + x = 1 + 1 +…+ 1 + 1= 20
20 sumandos
20 sumandos
-20 -19 -18 -3 -2 -1
B = x + x + x + … + x + x + x
-20 -19 -2 -1
B = x + x +…+ x x+ = 1 + 1 +...+ 1 + 1 = 20
\ A + B = 20 + 20 = 40
PROBLEMA 9
Si:
Halla:
Solución:
En este problema no podemos hacer lo mismo como en el anterior, (dar un valor adecuado a x), puesto que el valor de 7 no es un número entero. Entonces, elevando al cuadrado, tenemos:
x +
x³ + 1 x 1 x³
= 7 1
x
x + 1
1 1
2
2 2
2
x
x x
= 7
x + 2 x + = 7
x + 2 + = 7
... (*)
Recordemos:
Elevando (*) al cubo obtendremos lo que nos pide:
x +
x +
x³ + = 125 - 15 = 110 \
x³ +
PROBLEMA 10
4 -4
Se tiene: x + x = 14
-1
Calcula. E = x - x
Solución:
Este problema es el caso contrario anterior; porque, no vamos a trabajar directamente con el dato, sino vamos a trabajar con lo que nos pide E. Entonces, elevando al cuadrado E tenemos:
3 5
= 125 + 3(x)
= 5³
3
3
1 x 1 x
1 x³ 1
x
1 x
1 x
E² + 2 = x² + E² = x - = x² - 2x +
2 2
= x² - 2x +
1
1 1
1 1
x²
x² x
Luego elevando nuevamente al cuadrado ambos miembros:
PROBLEMA 12
Simplifica: E = x
x
x
x
256 x 264 + 16 123 x 137 + 49
(260-4)(260+4)+4² (130-7)(130+7)+7²
(260)² - (4)²+4² (130)² - (7)² +7²
260 130
2 ³ 4
2 ³ 4
2 ³ 4
³ 4
³ 4
4
2
2 ³ 2²
3
3
3
3 Solución:
Si procedemos a desarrollar las operaciones, va a resultar algo complicado el problema. Al observar tenemos:
luego:
Entonces:
PROBLEMA 13
Calcula el valor de M, en:
M = 2 x 4 x 10 x 82 x 6562 + 1
La idea de este problema es utilizar la diferencia de cuadrados. Recordemos:
256
E =
E =
E =
\ E = x = 2
-4 +4 -7 +7
260 264 ; 123 130 137
PROBLEMA 11
Si: ...3518 ¸ 9999 = abcd
...3518 ¸ 9999 = abcd
...3518 = abcd abcd x 9999 = ...3518 9999
Calcula: E =
Solución:
Nos damos cuenta de que se trata de una multiplicación cuyo número está formado por cifras "9". Entonces:
Ordenando en columna:
Reemplazando:
E =
= 6 x 8 x 2 = 96 =
= 5[6 x 4 x 8 x 2]
6 + 4 + 8 + 2
5[6 x 4 x 8 x 2] 20 abcd0000
abcd 3518
6 = a d = 2
4 = b c = 8
abcd x 9999 = ... 3518 abcd0000 - abcd = ... 3518
5[a x b x c x d] a + b + c + d
4
(E² + 2)² = (x² + )² = (x²)²( )+( )²= x + 2 +
( + 2)² = 16
2 E² = 2 E = 2 tiene dossoluciones
E = - 2 1
x²
1 x²
1 x²
1
4
Solución:
Si efectuamos los cálculos elementales en M obtendremos:
PROBLEMA 15
Determina el valor de:
Solución:
PROBLEMA 16
Calcula: a + b, si:
Primero:
Solución
a = 1 + 2 2 2....
a = 1 + 2 2 2....
a - 1 = 2 2 2....
a - 1 = 2(a - 1)
(a - 1)² = 2(a - 1) ; a ¹ 1
(a - 1) (a - 1) = 2(a - 1)
a - 1 = 2 a =3
a - 1 b = 3 + 6 6 6....
En la expresión observamos: Todo problema operativo generalmente presenta
un artificio o arreglo matemático para que sea más sencilla su operación. Tomando la idea del problema anterior, obtendremos:
M = 2 x 4 x 10 x 82 x 6562 + 1 = 80 x 82 x 6562 + 1
M = [(81-1)(81+1) x 6562] + 1 = [(81²-1)(81²+1)] + 1
4
M = [81 - 1] + 1
PROBLEMA 14
Calcula x + y, si :
Solución:
De la primera condición:
Reemplazando el "y" en la segunda condición obtendremos:
Recuerda: "En ecuaciones, si las bases son iguales, entonces los exponentes también son iguales"
x+y 8/3
y = x
x+y 2/3
x = y
x x Þ x + y =
x+y
(x + y)² =
\ x + y = 16 9(x+y)
16 9
4 3
16 9(x+y) =
x+y
x = x • x x y = x = x
8 3
2 3
2 3 8 3(x+y)
8 3(x+y)
8 3(x+y) x+y
x+y 8/3 x+y 2/3
y = x ; x = y ; x + y > 0
4
M = 81 = 81
\
(81)² - (1) 81² + 1 [(81)²]² - 1²
4
4
4 4
4
4
A =
A =
A
A =
A =
A = x \ A = x
n
A . A = x Þ
(elevando a la n)
n
n
n
n
n
n
n
n
n+1 n-1
x
x
x
x
x
x
x
x A
A
.. .
b = 3 + 6 6 6....
b
b - 3 b - 3 = 6(b-3)
(b - 3)² = 6(b - 3) ; b ¹ 3
(b - 3) (b - 3) = 6(b - 3)
b - 3 = 6 b = 9
\ a + b = 3 + 9 = 12
PROBLEMA 17
Simplifica:
Solución:
Desarrollar el trinomio al cubo sería demasiado operativo. Observando detenidamente el problema, obtenemos:
PROBLEMA 18
Si x = ³ 2 , halla: M =
M =
M =
M =
M =
\ M =
=
4 12
= (x )³ = x
4
= 2 = 16
3
3
3
3
3
12 3
3
4
1 + (x + 1)(x² + 1)(x - 1)(x + 1)
4
1 + (x + 1)(x² + 1)(x - 1)(x + 1)
4
1 + (x² - 1)(x² + 1)(x + 1)
4 4
1 + (x - 1) (x + 1)
8
x
2
8
1 + (x - 1) (x² - 1²)
(x²)² - 1²
4
(x )² - 1²
E = (³ 16 + ³ 54 + ³ 128)³
E = (³ 16 + ³ 54 + ³ 128)³
E = (³ 2 • ³ 8 + ³ 2 • ² 27 + ³ 2 • ³ 64 )³
E = (2 ³ 2 + 3 ³ 2 + 4 ³ 2 = (9 ³ 2)³ \ E = 9³ x 2 = 1458
2 3 4
- 3 = 6 6 6.... Luego:
Solución
PROBLEMA 19
Solución:
Resultaría muy operativo elevar al cubo y al cuadrado los números; pero si factorizamos adecuadamente, obtendremos:
Halla el valor de: E =
E =
E =
E = E = E =
(7000)³ - (6999)³ - (6999)² - 7(6999)(10)³
(7000)³ - (6999)³ - (6999)² - 7(6999)(10)³
(7000)³ - [(6999)³ + (6999)²] - 7(6999)(10)³
E = E =
E = E =
PROBLEMA 20
PROBLEMA 21
PROBLEMA 22
Solución:
Si a una expresión cualquiera le sacamos raíz n-ésima y la elevamos a la potencia n-ésima, la expresión no varía. Así:
Ahora saquemos raíz cúbica y elevamos al cubo, para que no varíe:
comparando: \ x = 27
Solución:
Partamos del dato y demos la forma de la expresión que buscamos:
Si a + = 18, calcula: b
b a
a - b ab
PROBLEMA 13
No varía porque la raíz y el exponente pueden cancelarse
Solución:
Recuerda: "Cuando se multiplica, si las bases son iguales, entonces los exponentes se suman"
Calcula: A² + 1
9 x
Si 3 = x, halla x
n n
A = A
3
x
27 =
x
=
3 9 3 x
27 x
4 n
A = (2 x 2² x 2³ x 2 x … 2x )
1 + 2 + 3 + … + n
A = (2 )
(1 + 2 + 3 + … + n) x
A = 2 A = 2
\ A² + 1 = 2² + 1 = 5
1 1 + 2 + 3 + … + n
1 1 + 2 + 3 + … + n
1 1 + 2 + 3 + … + n
Solución:
Hay que relacionar lo que se nos pide con lo que se nos da como dato. Planteando:
Simplifica: E = 2
E = 2
Del dato:
= 2 a
a
E = 2
E = 2 x - (d - c)ab E = -2 (d - c)ab
bd + ad ad - ac
bd + ad ad - ac
b + a d - c
b + a d - c
dc ab
dc ab c b
c b
-1 -1 -1 -1
a + b + c = d
-1 -1 -1 -1
a + b + c = d +
+ +
=
=
= (b + a)dc = -(d - c)ab =
-1
a 1 a
1 b 1 b b + a ab b + a
ab
Reemplazando en
-(d - c) ab 1 c
1 c 1 d 1 d
c - d dc -(d - c)
dc \ E = 7000
(7000)³ - (6999)(7000)(7000) (7000)³ - (6999)(7000)²
a b
b a
+ = 18 Þ a² + b² = 18
Þ a² + b² = 18ab
Þ a² - 2ab + b² = 16ab
Solución:
PROBLEMA 26
Calcula la suma de cifras del resultado de A + D
(1²-19²)(2²-18²)(3²-17²)...(19²-1²)
A = (Log1 + Log2 + Log3 +...+ Log100)
D = 999 x 1000 x 1001
Solución:
Para resolver A, debemos tener en cuenta su exponente. Éste es igual al producto de diferencia de cuadrados de números que suman 20.
Vemos que hay un factor que es igual a cero: (10² - 10²) Por lo tanto, el exponente de A es igual a cero.
Luego:
0
A = (Log1 + Log2 + Log3 + … + Log100) = 1 D = 999 x (1000 + 1) x 1000
= (999000 + 999) x 1000 = 999999000 \ A + D = 1 + 999999000 = 999999001 Suma de cifras: 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 1 = 55 Ordenando dichos sumandos en columna:
99 cifras
...
. .... .... .... .... .... .... .... .... .... 99
suman-dos
(98 términos) (49 parejas)
\ a + b + c = 2 + 9 + 9 = 20
+ 9 9 9 9 ...
1 1 1 ... 9 9 ... 1 ...
9 9 9 9 9 9 1 1 1 1 1 1 9 9 9 9 9 9 1 1 1 1 1 1
9 9 9 9 9 1 1 1 1 9 9 9 1 1 9
. . . a b c
(a - b)² = 16ab Þ a - b = 16ab
PROBLEMA 24
Solución:
Si x = 0,1² + 0,2 x 0,9 + 0,81
x = 0,1² + 0,2 x 0,9 + 0,81
x = (0,1)² + 2 x (0,1) (0,9) + (0,9)²
x = (0,1 + 0,9)² = 1² = 1
Reemplazando en el 2do. dato:
-x
xy = 5 -1
Þ (1) . y = 5 Þ y =
\ x + y = 1 + =
1 5 1
5 6 5
Trinomio cuadrado perfecto 2(0,1) (0,9)²
halla x + y
-x
xy = 5 Þ a - b = 4 ab
\ a - b = 4 ab 2ab + 16ab ab
PROBLEMA 25
Calcula a + b + c
...abc = 999…99 + 111...1 + 99...9 + 111...1 + … + 999 + 11 + 9
99 cifras 98 cifras 97 cifras 96 cifras
49(10)+9=499 49(10)+49
= 539 b c = 9 b = 9
a = 3
542 = 48(10) + 9 + 53 a
Þ Þ Þ
c
se lleva
se lleva se lleva
(1² - 19²)
+ + + +
(2² - 18²)
A = (log1 + log2 + log3 +...+ log100)
...(10² - 10²)...(19² - 1²) (20) (20)
PROBLEMA 27
Por lo tanto, la suma de cifras sería:
7 + 7 + … + 7 + 6 + 9 + 9 + 2 + 2 + … + 2 + 3
= 42 + 24 + 12 + 3 = 81
PROBLEMA 29
Solución:
Como la parte del exponente es sumamente complicada, analicemos solamente la base. Se sabe que 2x + y + z = 0 Þ y = -2x - z
Reemplazando:
PROBLEMA 30
Se sabe que a es par, b es impar y c es igual a cero. El resultado de A, ¿será par o impar?
Solución:
A = 1999 x ab² x ba x (a + b + ac)³ x b
A = 1999 x ab² x ba x (a + b + ac)³ x b
A = par
impar
impar impar
impar impar par
par A = (-1)
par
\ A = (-1) = 1
+ El exponente es Z y par
par
= = =- = -1
Si 2x + y + z = 0, calcula el valor de A
A =
2
2
xy x 1999 x 2
xy x 1999 x 2
x + y x + z
x + y x + z
x + (-2x - z) x + z
-x - z x + z
(x + z) x + z x + y + z
2x + 3y
x + y + z 2x + 3y
x-10
Si 0,00…091 = 91 x 10 , halla x + 30
-22
0,00…091 = = 91 x 10
-22 x-10
91 x 10 = 91 x 10
Þ x - 10 = -22 Þ x = -12
PROBLEMA 28
Solución:
Sabemos que:
abc x 9999 = abc0000 - abc
Þ 7777777 x 999999999
Þ 7777777000000000 - 7777777
7777777000000000 - 7777777 = 7777776992222223
Halla la suma de cifras del resultado de A = 7777777 x 999999999
\ x + 30 = - 12 + 30 = 18
iguales
91
22
10
Solución: 23 cifras
6 veces 6 veces
PROBLEMA 31 PROBLEMA 33
PROBLEMA 34
Calcula el valor de
E =
E =
E =
E =
E = 9 x = 9 x 3 = 3
=
Solución:
Veamos lo siguiente: 1023
-1 +1
1024 1025 (1025 x 1023 + 1) x 9 x 111
[(1024 + 1) (1024 - 1) + 1] x 9 x 111
[(1024)² - 1² + 1] x 9 x 111
(1024)² x 9 x 111
111
10
(2 )² x 9 x 111
4
32 x 37
3
3
3
3
3
3 3
4
32 x 37
4
32 x 37
4
32 x 37
37
5 4
(2 ) x 37
Solución:
Así:
x Una primera línea ideal sería hallar "x" a partir del dato; pero si nos damos cuenta de que en él se nos da la diferencia y se nos pide la suma,
entonces vamos a multiplicar a ambos, recordando además que:
(a - b) (a + b) = a² - b²
PROBLEMA 32
Solución:
Calcula la suma de cifras de:
A = (11111 … 1113)² - (11111 … 1111)²
A = (11111 … 1113)² - (11111 … 1111)²
11111 … 1113 + 11111 … 1111 [22222 … 2224]
(22222 … 2224) x 2 = 44444 … 4448
Scifras = 4 + 4 + 4+ 4 + 4 + … + 4 + 4 + 4 + 8
= 4(99) + 8 = 404
[ 2] A =
Þ A =
11111 … 1113 -11111 … 1111 100 cifras
100 cifras
100 cifras
99 cifras
100 cifras
suma diferencia
Diferencia de cuadrados 100 cifras
100 cifras Si A = 1 + 3 + 5 + 15
Si
halla M = x + 8
x + 8 x + 8 x + 8 x + 8
-2 2
x + 8 +
x - 12 = 5,
x - 12 = 5 x - 12 = M
x - 12 = 5M x - 12 = 5M Þ 20 = 5M \ M = 4
x - 12 Calcular A x B
x
Solución:
A = (1 + 15 ) + ( 3 + 5 ) B = (1 + 15 ) - ( 3 + 5 ) A x B = (1 + 15 )² - ( 3 + 5 )²
A x B = (1 + 2 15 + 15) - (3 + 2 15 + 5) \ A x B = 8
PROBLEMA 35 Solución: Si n n n n n
n
\
n = 24 4 4 4 16 n n n
= 16 = 16
= 16
Þ Þ n n 16 n n n n n 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 n 4 1 4
= 4, calcula
Recuerda que no es lo mismo
exponente sólo afecta a n) que exponente afecta todo)
Luego,
Sacamos raíz cuarta a todo para obtener lo que se nos pide:
PROBLEMA 36
Calcula el valor de A =
A =
Solución:
Vemos que en una parte del problema aparecen potencias de 2, así que a todo le damos la misma forma:
8 16
3 x 5 x 17 x (2 + 1) (2 + 1)
8 16
1 x 3 x 5 x 17 x (2 + 1) (2 + 1) + 1
(2 - 1) (2¹ + 1)
(2² + 1)
4
(2 + 1)
16
16
= 4
(aquí el (aquí el
A =
A =
PROBLEMA 37
PROBLEMA 38
Calcula la suma de cifras del resultado de:
Si:
y
halla A - B A = B = + + + + + + +...+ +...+ 3
1 x 2
5 2 x 3
7 3 x 4
9 4 x 5
11 5 x 6
13 6 x 7
39 19 x 20
41 20 x 21
43 21 x 22
45 22 x 23
Solución:
E = (777778)² - (222223)²
E = (777778)² - (222223)²
777778 + 222223
777778 -222223 E =
E = (1000001) x (555555) E = (100000 + 1) x 555555 Þ E = 555555000000 + 555555 E = 555555555555
\ Sumacifras = 5 + 5 + 5 +...+ 5 = 12(5) = 60
diferencia de cuadrados
suma 12 cifras diferencia = Þ \
4 8 16
(2-1)(2+1)(2²+1)(2 +1)(2 +1)(12 +1) + 1
32
(2 - 1) + 1 232 = 2² = 4 (2²-1)(2²+1)
4 4
(2 -1)(2 +1)
8 8
(2 -1)(2 +1)
16 16
(2 -1)(2 +1)
32
(2 -1)
16
Solución:
Sabemos que
es decir, si vemos una fracción, donde su denominador es el producto de dos números y el numerador es la suma de ellos, entonces esa fracción se puede descomponer en la suma de dos fracciones cuyos denominadores son dichos números.
Vemos que en 350 hay un cubo (2³). También está (3²) y (5) que no son cubos, pero que multiplicán-dolos por un cierto valor se pueden volver cubos.
Por lo tanto hay que multiplicarlo por lo que le falta es decir, por 3 x 5²; además para que siga siendo un cubo se le puede multiplicar adicionalmente por un cubo (1³ ; 2³ ; 3³ ; etc.); pero como se nos pide que sea mínimo, no lo haremos.
\ Se le debe multiplicar por 3 x 5² = 75
PROBLEMA 40
¿Por cuánto se le debe multiplicar a N para que tenga raíz cuarta exacta? (Da como respuesta el menor posible)
7 3 2 8
N = 2 x 5 x 3 x 7 x 11
Solución
Ejemplo: 5
3²
5³ = 5 x
3³ = 3² x para ser cubo
para ser cubo le falta (5²)
le falta (3) Ejemplo:
Descomponemos cada sumando y restamos miembro a miembro:
A - B =
Restamos miembro a miembro:
PROBLEMA 39
¿Cuál es el menor número que se debe multiplicar por 360 para obtener un cubo perfecto?
primero vamos a descomponer a 360: 360 180 90 45 15 5 1 2 2 2 3 3 5
360 = 2³ x 3² x 5
Solución:
\ A - B = - = =
+ + + + + + + + + + + + - + + ... + + ... ... + ... + + -1 1 1 19 1 21 1 21 1 2 1 2 1 20 1 20 1 22 1 22 1 23 1 3 1 3 1 1 1 23 22 23 23 - 1
23 1 4 1 4 1 5 1 5 1 6 1 6 1 7 7
3 x 4 11 5 x 6
1 3 1 5 1 4 1 6 = = + + .... ....
3 + 4 = 7
5 + 6 = 11 +
1 a
1 b
b + a a x b
= 13230
\ Se le debe multiplicar por 2 x 5 x 3³ x 7²
4
5 = 5³ x 4
7 = 7² x
4
3 = 3 x
4
2 = 2³ x
4
2 x 2³ x 5³ x 3 x 7² 114 x 114 x2
N =
ya tiene raíz cuadrada
1. 6.
7.
8.
9.
n n n n n n n n
E = (3 x 3 x 3 x…x 3 ) x (2 x 2 x 2 x…x 2 )
n factores n factores
2.
3.
4.
5.
5
Se sabe que a - b = b - c = c - d = 5 Resuelve:
Si:
Simplifica:
Calcule x en:
3 4
• 33 • 3 • 33 = x
33 3 3 33 11
Halla: E = (b - 1)(b - 1)
(b - 1)
320 320 320 320 81
b + b + b + … + b = 81
81 veces
Indica el valor de E = -x² + 2x - 5 = 1,5
x+1 x+1
2 - 3
x
3
Halla:
Si a + b + c = 0
Halla 2x - 5 si:
¿A qué es igual 3x + 2? si: Halla:
x
0,00 … 001234 = 1234 x 10
9
x = 9
3 x
23 ceros
M = 3(a + b)(a + c)(b + c) + 3abc5 5 5 9 9 9 a + b + c + a + b + c si:
E =
1632x= 842x
2x - 1
3 4 Calcula el valor de:
A =
A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 5
A) -8 B) 5 C) -13 D) -9 E) 13
A) 8 B) 16 C) 32 D) 4 E) 3
2n
A) 5 B) 6n n2 2
C) 5n D) 6 E) 6n
A) 3 B) 33 C) 99 D) 11 E) 39
A) 28 B) 29 C) 30 D) 31 E) 40 A) 32 B) 64 C) 128 D) 256 E) 1024 A) 1 B) 2 C) ½ D) 0 E) 4
A) 1 B) 6 C) -2 D) 0 E) ½
A) 48 B) 30 C) -59 D) 43 E) -40
A) 9 B) 29 C) 30 D) 81 E) 25
10 10 10 5
(a - c) + (a - b) - (c - a) + (b - c)
10 10 5
(c - a) - (a - c) + (b - c)
10.
11.
Resuelve:
Si KENAR x 99999 = ...12345, Halla: (K + A + R + E + N)
A = (1984(2016) + 256 (959)(1041) + 1681
12. 19.
20.
21.
22.
23.
24. 13.
14.
15.
16.
17.
18.
Si: x(y - z) + y(z - x) + z(x - y) = 0 Simplifica
Si (+)(+) = (-)(-), calcular el valor de:
Si -1 = i, calcula el valor de
Si
Halla K en:
Halla la suma de cifras de R:
30 30
R = (10 + 1)(10 - 1) Calcula L =
a a
x - y
a a
x y a
3 a
+ = 731,
x y
y x
108 108 1996
A = [(1-i) - (1 + i) ] S =
A = + +
5
ENERO ERA
DINERO DIRA
MASA AMENOS a + b x a - b x a² - b + b
Si: x² = 3x - 1; halla x³ +
Halla el valor de x para que verifique:
Si x² + y² = 20
Un matemático tiene 3 números; luego los suma de 2 en 2 y obtiene otros tres números que son 13, 17 y 24. Halla la semisuma de los dos mayores.
Si
Reduce E = Calcula el valor de
y a x b x c = 27
= =
a b
(12345)² - (12343)²
4
10 + 2344 c
a b c
Calcula K = (x + y)² + (x - y)² 14 + x + 14 - x = 4
3 3
1 x³ Halla y
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) T.A.
A) a B) a² C) a/2 D) 2b E) 2a
A) 81 B) 64 C) 246 D) 0 E) 243
28 54 5994
A) 1 B) 2(2 ) C) 0 D) 2 E) -2
A) ±2 B) ±3 C) 7 D) ±11 E) 17
A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 7
A) 630 B) 540 C) 360 D) 270 E) 300
3+ 2 3+ 2 = 7
(5 + 24)
48 k-1
k+1
A) 27 B) 8 C) 18 D) 24 E) 21
A) 4 B) 49 C) 81 D) 100 E) 169
A) 20 B) 40 C) 30 D) 50 E) 20
A) 20,5 B) 15 C) 12 D) 24 E) 30
A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) 18
25.
30.
31.
32.
33.
34. 26.
27.
28.
29.
Si 3 = 1,
Si x = 7
Si (x - 2)² + (x - 1)² + x² = (x + 1)² + (x + 2)²
Calcula la suma de las cifras de N, luego de efectuar:
Halla la suma de cifras del resultado de:
Calcula:
R = (323 x 325 + 1) x 9 x 111
4
18 x 37
N = 22 x 202 x 20002 x 100000001
M = (5555556)² - (4444445)² Halla : x
x - 4 Calcula el valor de:
A = x + x + x + … + x n veces
xx7
x x x
x
x x…
x 7
7 7
7
y x +
Si x = y ; x e y Î Z , x y,
Calcula la suma de cifras del resultado de E
Calcula la suma de cifras del resultado de
Calcula el valor de x² + 1 si: 2(5x² + 15) + 5(6 + 2x²) = 420 A =
60 cifras
60 cifras
+ + + … +
13 15
1313 1515
131313 151515
1313...13 1515...15 E = 1 x 3 x 5 x 17 x 257 + 1
(x+y)
Calcula: (y - x) calcula el valor de:
3 + 3 + 3 + … (8k + 10 veces) 3 + 3 + 3 + … (18k + 1 veces) A =
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
7
A) n B) n C) 7n D) 49n E) 14n
A) 0 B) 1 C) 3/2 D) 2 E) A ó C
A) 128 B) 140 C) 150 D) 138 E) 100
A) 14 B) 12 C) 21 D) 20 E) 28
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 2 B) 4 C) 16 D) 32 E) 64
A) 6 B) 12 C) 10 D) 16 E) 13
A) 6 B) 7 C) 9 D) 8 E) 10
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
D
A
D
C
B
C
B
D
C
E
C
E
C
E
B
C
C
D
B
E
C
E
C
B
B
E
E
D
D
C
E
A
B
C
B
C
B
E
C
E
35. 38.
39.
40. 36.
37.
Halla el resultado de: Si x - y = 3, además xy = -2, calcula
4 4
E = x + y
Si 3a + 2b + c = 0, halla
Si xy = z yz = x zx = y
Calcula E = x² + 2y² + 3z² xyz E = a + c
a + b b - c a + b
x y + 1
Si 2 = 8
y x-9
9 = 3 Halla x + y
Si m - 3n = 4p, calcula E = p + nm - p C = 2,52(0,16)² + (0,16)³ + (0,84)² x (0,48)+(0,84)³
A) 5,25 B) 1 C) 3,87 D) 1,03 E) 2
A) 10 B) 15 C) 23 D) 13 E) 17
A) 8 B) 4 C) -8 D) -4 E) 6
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
A) 21 B) 6 C) 27 D) 18 E) 35
6. Si: x + y = 5 ; x y = 2 1. Si: a + b = ab / a; b Î N hallar:
Calcular:
a) 1 b) 2 c) 1920
d) 0 e) 4
a) 0,1 b) 0,5 c) 1
d) 2 e) 0,2
2. Reducir:
7. Si:
Hallar:
a) -ab b) c)
2 2
d) ab e) a b
a) 100 b) 95 c) 30
d) 25 e) 110
3. Luego de simplificar:
8. Calcular:
[(1001)(999) - (1002)(998)]²
n a) 3 b) 9 c) 2
a) 1 b) 2 c) 2
d) 4 e) 0
n 2n - 1
d) 4 e) 2
9. Efectuar:
4. Resolver en “x” (200)
[
300² + (300)(100) + 100²]
+ 100³2 2 3
a) 300 b) 30 c) 300
3
d) 400 e) 2008 Siendo: a + b ¹ 0
10. Hallar: a) a + b b) a - b c) a b
d) a/b e) b - a
2 2
5. Si se cumple: x + 12 y = (y + 6) indicar el valor de:
a) 1 b) 3 c) 6
d) 12 e) 36
PRACTICANDO 02
1920 1920
a - b ——————
a + b x² + y²
—————— x³ + y³ + 10 P =
1 ——
x³ x³ +
1 ——
x x + = 5 a³ + b³ - (a + b) (a² + b²)
———————————— a + b
n + 1 3n
2 - 2 ———————-n + 2 n + 1
2 - 2
x ——
a
x ——
b
a² + 2ab + b² ab ———————
; se obtiene:
; ab ¹ 0
+ =
1 ——
ab
a ——
b ; a ¹ - b
4 4
E = (x + y - 2x² y²)[(x + y)(x - y)]³10
1 ——
100
11. Calcular la suma de cifras de: 17. Si : a + b + c = 20, calcular : M = (99995)² + (999995)² + (9999995)²
a) 36 b) 48 c) 45
d) 32 e) 50 a) 10 b) 20 c) 30
d) 40 e) 50
12. Calcular la suma de cifras de:
18. Evaluar:
Si: a; b ; c; verifican la relación:
a) 385 b) 392 c) 189
d) 467 e)546 a) 2 b) 3 c) 5
d) 4 e) 1
13. En qué cifra termina:
19.
278
(89462)
Calcular : E = ab + bc + cd
a) 1 b) 2 c) 3
d) 6 e) 4
a) 10 b) 90 c) 80
d) 30 e) 19
14. En qué cifra termina:
43375 20. Sea: a + b + c = a² + b² + c² = 1
(654393)
+
Ù {a, b, c} Ì R indique el valor de:
a) 5 b) 3 c) 7
d) 4 e) 8
15. En qué cifra termina:
a) 2 b) -2 c) 3
CORPORACIÓN
E = (AFUL236 + INGRESO120) d) 5 e) -5
a) 5 b) 2 c) 3
d) 6 e) 8 21. Si: (x + y)² = (1 + x)(1 + y) - 1, y ¹ -x
16. Si: a² + b² + c² = 26 Calcular el valor de la expresión: ab + ac + bc = 5
Hallar :
a) 2 b) -2 c)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 9 e) 36 d) 1 e) -1
(666 … 66)² 23 cifras
a + b ———
6 - c
a + c ———
6 - b
b + c ———
6 - a
a —
c
a —
c
(ab)² + (bc)² + (ac)² abc
—————————
x² + xy + y² x + y ——————
1 2 — 2
b —
c c —
d
a² + b² + c² a² - bc ——————
b —
c +
= = y (a² + b² + c²)(b² + c² + d²) = 8100 = -1
+ +
22. Si : 26. Calcular: a + b
2 4 6 8
(2376) + (825) + (23476) + (12925) = ...ab
El valor numérico de: a) 2 b) 6 c) 7
d) 8 e) 12
27. Hallar la suma de las cifras de: (1111)² + (11111)² + (111111)²
a) b) 1
a) 31 b) 32 c) 34
c) -5 d) 6 e) -6 d) 41 e) 48
23. Sabiendo que: (a + 2 ab + b)(a - 2 ab + b) = 0 28. En qué cifra termina:
Hallar el valor de: AMOR
E = (TE 132 + QUIERO 023 + MUCHO) donde O = cero
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
a) 12 b) 17 c) 19
2 2
d) 27 e) a + b
29. En qué cifra termina:
24. Calcular el resultado de: 1234
D = (AMOR 27 - MIO 24) [(10001)(9999) - (10002)(9998)]²
a) 3 b) 4 c) 8
d) 2 e) 1
a) 3 b) 9 c) 2
d) 4 e) 12
30. En qué cifra termina: 25. Calcular:
UNIDAD
E = (GIS 17 + JUN 18)
1/2
[600² + 300² + 2(300)600)] +
1/3
[400³ + 100³ + 3(500)(400)(100)]
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
a) 1050000 b) 1060000 c) 103000 d) 1070000 e) 4300000
x = 5 - 3
5 + 3 + 2
y = 2 - 5 z = 3 - 2
E = x² + y² + z² — + + xy + yz + zx
—————— x² yz —— y²
xz —— z²
xy ——
P = ————a + 2b + + + a + b
a² + 4b² ————
a² + b²
a³ + 8b³ ————
a³ + b³
4
a4 + 16b ————4 4
1. Hallar “x”: 6. Reducir sin realizar operaciones:
a) 0,1 b) 0,01 c) 10
a) 1 b) 1,3 c) 2,5
d) 100 e) 1
d) 1,2 e) 1,5
7. Calcular: 2. Simplificar:
a) 1/5 b) 1 c) 5
d) 1/25 e) 25
a) 1 b) 2 c) 3
8. Si:
d) 3 e) 2
Calcular: 3. Simplificar:
a) 1 b) 1/2 c)
n d) e)
a) 1 b) 2 c) 2
9. Dado: a² + b² + c² = 29
n 2n-1
d) 4 e) 2
a + b + c = 9
4. Calcular: Hallar: E = ab + ac + bc
(13794528)² - (13794527)² a) 24 b) 26 c) 28
d) 22 e) 20
a) 1 b) 15 c) 27589055
10. Si:
4
d) 23457 x 10 e) 374159928
Calcular:
-1
5. Si: M + M = 5
a) 3 b) 2 c) 1
3 3
Hallar: M + M
d) e)
a) 100 b) 95 c) 30
d) 25 e) 110
PRACTICANDO 03
n-5 = 36x-1
n-5 n-5 2 + 3 —————
5-n 5-n 2 + 3
m
m m
m²+4 m²+1 m²-1
3 + 3(3 ) - 12(3 ) ————————————
m²+3 m²+2 m²-1
3 + 2(3 ) - 6(3 )
(22000)(0,39)0,00035) ———————————— (0,15)(770000)(0,0000026)
n+1 3n
2 - 2 —————
-n+2 n+1
2 - 2
(a-b)³ + (b-c)³ + (a-c)³ ——————————
10 S =
5 ¸ 5 ¸ 5 ¸ 5 ¸ 5 ¸—1 5
1 —
5 1 —
5 1 —
5 1 —
5
¸ ¸ ¸ ¸
a(a - 1) + b(b - 1) = 2 ab ( ab - 1)
a + b
2 3
a - b = b - c = 3 3
3 ——9
10
3 3
5
4
-1 -1 -1 16. Hallar el valor de: 11. Si : a + b + c = 0
Hallar el valor de :
a) 1574515 b) 0 c) 1
d) 1447915 e) F.D. 17. Calcular el valor de :
a) -1 b) 1 c) 3
d) -3 e) 0
12. Efectuar:
Sabiendo que : x + y = 3 xy (200)[300² + (300)(100) + 100²] + 100³
3 5 5 4 4
a) 3 b) 3 + 3 c) 3 + 3
4 4
2 2 3 d) 3 e) 3
a) 300 b) 30 c) 300
3 3
d) 400 e) 100
18. Calcular:
(135)² + (85)² + (65)² + (145)² 13. Hallar:
a) 50700 b) 57000 c) 70500
Para a = 0,75 d) 75000 e) 70050
a) 1,75 b) 1,05 c) 1
d) 0,75 e) 0,5
19. Hallar la última cifra luego de efectuarse el producto.
14. Si: 2000 1999 1998 2
P= (2 +1)(2 +1) (2 +1) ... (2 +1)
a) 1 b) 3 c) 5
d) 7 e) 9
20. Calcular la suma de las cifras del resultado:
a) 1 b) 2 c) 3
d) ½ e) 1/3
15. Hallar:
a) 900 b) 1000 c) 1100
d) 1200 e) 1300
21. Calcular:
a) 2305 b) 2420 c) 2505
a) 16 b) 18 c) 9
d) 2515 e) 2525
d) 8 e) 1
a —
b
a —
c b
— a
b —
c c
— a
c —
b
+ + + + +
M =
x —
y y —
x + = 62
1 + a - 1 + a M =
x + y ———
xy Hallar : E =3
- 1 2(1000)(501)(1004)(1006) + 4²
2 x 3 x 4 + 1 - 1
——————————————— E =
1 ——
100
P = (y - a)(y - b)(y - c)...(y - z)
y —
x
3 3
x —
y
+ 1 + + 1
P = (333...33)²
100 cifras
2 4 8
3(2 + 1)(2 + 1)(2 + 1) + 1
22. Dada la expresión : 28. En qué cifra termina:
SALUD44
2n+1 3/8 2n
2 k = 2 (AQUI32 + TOMAMOS91 + PILSEN74)
Hallar el valor de k, para n = ¾ a) 1 b) 3 c) 7
d) 9 e) 5
a) 16 b) 8 c) 25
d) 32 e) 1/4
29. En qué cifra terminar:
23. Si: (+) (+) = (-)(-) PIENSA
(JACINTA5555 - SIGIFREDO79)
a) 4 b) 6 c) 8
d) 0 e) 2
a) 1/2 b) 1 c) 1,5
d) 2 e) 2,5
30. En qué cifra termina: 24. Hallar la suma de cifras del resultado de:
a) 7 b) 5 c) 3
a) 5 b) 7 c) 9 d) 1 e) 0
d) 10 e) 17
31. En qué cifra terminar: 25. En que cifra termina:
INGRESO2001
SABER47 AFUL815
75 ( + )
1275
a) 2 b) 4 c) 6
a) 3 b) 0 c) 5 d) 8 e) 0
d) 2 e) 7
32. Si: p - q - r = 2 26. Hallar la suma de las dos últimas cifras del
resultado de: pq + pr = qr
2 3 7
(176) + (12476) + (77776) Hallar p² + q² + r²
a) 9 b) 8 c) 11 a) 4 b) -4 c) 2
d) 10 e) 7 d) -2 e) q
27. En que cifra termina:
470
(AMORCITO 23 + CHIQUITO 76)
a) 0 b) 1 c) 9
d) 7 e) 2
Hallar K = —————SUMA + SUMENO
AMOR —————
MORENO
M = 123456789 - 2468 (1981)