Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden

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Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales

Ordinarias de Primer Orden

Prof. Luis Eduardo L´opez M.

e-mail: lelopezm@yahoo.es Youtube: Mate.Math-University

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Ecuaciones diferenciales de Variables Separables

Muchos fen´omenos f´ısicos en la naturaleza se rigen por la siguiente ley:

La rapidez de crecimiento o descomposici´on de una sustancia var´ıa en forma proporcional a la cantidad presente

x(t) :Cantidad de una sustancia en tiempo t dx

dt : Rapidez de crecimiento (descomposici´on) de x con respecto a t. PVI

dx

dt =kx, k∈R (1)

x(0) =x0

Soluci´on

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Ejemplo: Crecimiento de Bacterias

Inicialmente un cultivo tiene 1000 bacterias. Al cabo de una hora se determina que el n´umero de bacterias es 1500. Si la raz´on de

crecimiento es proporcional al n´umero de bacteriasP(t) presentes en el tiempo t, determine el tiempo necesario para que se triplique el n´umero inicial de bacterias.

P(t) = 1000ekt_{, con}_P_{(1) = 1500.}

P(1) = 1000ek_{= 1500}

⇒k = ln (3/2)≈0.4055

P(t) = 1000 3₂t

SiP(t) = 1000 3₂t = 3000

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Ecuaciones diferenciales de Variables Separables Vida Media

En f´ısica la vida media es una medida de la estabilidad de una sustancia radiactiva. La vida media es, simplemente, el tiempo que tarda en desintegrarse o transmutarse en otro elemento la mitad de los ´atomos en una muestra inicial. Mientras mayor sea la vida media de una sustancia, m´as estable es la sustancia.

Ejemplo: Un reactor de cr´ıa convierte Uranio 238 relativamente

estable en el isotopo plutonio 239. Después de 15 años, se ha determinado que 0.043 % de la cantidad inicialA0 de plutonio se ha desintegrado. Determine la vida media de ese isotopo, si la razón de desintegración es proporcional a la cantidad que queda.

A(t): cantidad de plutonio que queda al tiempo t. A(0) =A0

A(15) = 0.99957A0

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A(15) =A0e15k = 0.99957A0

⇒ e15k = 0.99957

⇒ k = ₁₅1 ln 0.99957

Es decir:

A(t) =A0e

t

15ln 0.99957=A₀eln (0.99957) t/15

=A0(0.99957)t/15

Ahora necesitamos hallart de modo que A(t) = A0

2

A(t) =A0(0.99957)t/15= A0

2 ⇒t=

−15 ln 2

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Ejemplo: Se encuentra que un hueso fosilizado contiene la mil´esima

parte de la cantidad de C-14 encontrada en la materia viva.

Determine la edad del f´osil si se conoce que el tiempo de vida media de C-14 es 5600 a˜nos.

C(t) :Cantidad de C-14 que queda en el hueso, en tiempo t Entonces, dC_dt =kC, con C(0) = C0

C(t) =C0ekt ⇒ C(5600) = 1₂C0 ⇒ C0e5600k = C0

2 ⇒ k =

−ln 2 5600

C(t) =C02−t/5600

ComoC(t) = C0

1000 ⇒ C02

−t/5600 ₌ C0

1000

t = 5600 ln 1000

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Ley de Enfriamiento-Calentamiento de Newton

La rapidez con la que cambia la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la del medio que lo rodea, que se llama temperatura ambiente.

SeaT(t) la temperatura del cuerpo en un tiempo t. SeaTm(t) la temperatura ambiente en un tiempot. Entonces,

dT

dt =k(T(t)−Tm(t)) la cual es una EDO lineal que se escribe como:

dT

dt −kT(t) =kTm(t), con T(0) =T0 En el caso particular queTm sea constante, la EDO

dT

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Ejemplo: Al sacar un pastel del horno, su temperatura es 3000F.

Tres minutos despu´es su temperatura es de 2000_F_{. Determine la} temperatura del pastel 5 minutos despu´es de sacado del horno, si se conoce que su temperatura ambiente permanece constante en 700F?

dT

dt =k(T −Tm), Tm = 70 y T0 = 300

⇒ dT

dt =k(T −70) con T(0) = 300 ⇒T(t) = 70 + 230e kt

como T(3) = 200 ⇒ e3k₌ 13

23 ⇒ k =

ln (13/23) 3

T(t) = 70 + 230

13 23

−t/3

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Ecuaciones de Bernoulli Crecimiento Log´ıstico

Sup´ongase que un medio ambiente es capaz de sostener, como m´aximo, una cantidad K de una determinadamagnitud N. La cantidad K se llama capacidad de sustentodel ambiente.

Entonces éste fenómeno se modela mediante la ecuación diferencial:

dN dt =rN

1− N

K

, N(0) =n0

donder es la tasa de crecimiento de la magnitud N.

La soluci´on al PVI es:

N(t) = Kn0

(K−n0)e−rt+n0

Ejercicio:Resuelva el PVI para

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Ecuaciones de Bernoulli

Ejemplo: Una enfermedad contagiosa, por ejemplo un virus de gripe,

se propaga a través de una comunidad por personas que han estado en contacto con otras personas enfermas. Para este caso se supone que la razón con la que se propaga la enfermedad es proporcional al número de encuentros, ointeracciones, entre estos dos grupos de personas.

x(t) :Número de personas que han contra´ıdo la enfermedad. y(t) :Número de personas que aún no han sido expuestas. N : Número total (constante) de personas.

dx

dt =kxy dondex+y=N ⇒y=N −x,

dx

dt =kx(N−x), con x(0) = 1

Ejercicio:Resuelva el problema paraN = 1000, six(0) = 1 y

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Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden Ecuaci´on de Continuidad

Tasa de acumulaci´on = Tasa de entrada - Tasa de salida

Ejemplo: Mezcla homog´enea

Una Salmuera (solución de sal en agua), entra en un tanque a una velocidadv1 galones de salmuera/minuto y con una concentración de c1 lib. sal/gal. salmuera. Inicialmente el tanque tieneQ0 galones de agua en la cual están disueltas x0 libras de sal. La mezcla bien homogeneizada abandona el tanque a una velocidad de v2 galones de salmuera/min. Encontrar una ecuación para determinar las libras de sal que hay en el tanque en cualquier instante de tiempot.

x(t) :Cantidad de Libras de Sal dx

dt : Tasa de acumulaci´on de sal. dx

dt =v1c1−v2c2,

c2 =

x Q+ (v1−v2)t

Libras de sal

galones

Lb de sal

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Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden

De esta manera,x(t) satisface el siguiente PVI.

dx dt +

v2 Q+ (v1−v2)t

x=v1c1, con x(0) =x0,

la cual es una EDO lineal con factor integrante

µ= (Q0+ (v1−v2)t)

v₂

v1−v2 , v₁ 6=v₂

cuya soluci´on particular es:

x(t) =c1(Q0+ (v1−v2)t)+(x0−c1Q0)Q

v2 v1−v2

0 (Q0 + (v1 −v2)t)

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Para el caso v1 =v2 =v, Q(t) = Q0 constante y,

x(t) =c1Q0+ (x0−c1Q0)e

− v Q₀t

Por ejemplo, si v1 =v2 = 3, c1 = 2,

Q= 300y P = 50. Entonces:

dx dt+

1

100x= 6, con x(0) = 50.

cuya soluci´on es:

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Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden Circuito LR

Para un circuito en serie que sólo contiene un resistor y un inductor la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma de la ca´ıda de voltaje a través del inductor L_dtdi más la ca´ıda de voltaje a través del resistor iR es igual al voltaje aplicadoE(t) al circuito. As´ı:

Ldi

dt +Ri=E(t)

donde: L es la inductancia,R la resistencia ei(t) es la corriente en tiempo t.

Por ejemplo, si L= 1₂ Henry, R= 10 Ohms y E(t) = 12 volts,

1 2

di

dt + 10i= 12

se tiene que,

i(t) = 6 5−

6 5e

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Circuito RC

La ca´ıda de voltaje a trav´es de un capacitor de capacitancia C es

q(t)

C , donde q es la carga del capacitor. Por tanto,

Ri+ 1

Cq =E(t)

Pero la corrientei y la carga q est´an relacionadas por i= dq_dt, as´ı:

Rdq dt +

1

Cq=E(t)

Por ejemplo, si R = 5 Ohms, C = 0.5 Microfaradios y

E(t) = 12 volts, con t = 0, i= 0.

5dq dt +

1

2q = 12

se tiene que,

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Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden Caida libre con resistencia del aire Bajo ciertas circunstancias, un cuerpo que cae de masa m, encuentra una resistencia del aire que es proporcional a su velocidad instantáneaV.Si en este caso, tomamos la dirección positiva dirigida hacia abajo, entonces la fuerza neta que está actuando sobre la masa está dada por F =mg−kV. Aplicando la segunda ley de Newton se tiene que:

mg−kv =md 2_S

dt2

Tomando dV_dt = d_dt2S2 se tiene que:

mdV

dt =mg−kV, V(0) =V0

Ejercicio:Resuelva el PVI para

m= 20kg, V0 = 3m/s y

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Bibliograf´ıa

Boyce, DiPrima (2004). Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en la Frontera. Cuarta Edici´on. LIMUSA-WILLEY.

Jaime Escobar.Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones en Maple. Universidad de Antioquia.