Tema 12: Funciones de varias variables. Funciones
vecto-riales. Límites y continuidad
1
Funciones de varias variables
Observación 1.1 Conviene repasar, en este punto, lo dado en el Tema 6 para topología en Rn: bolas, puntos interiores y de acumulación, conjuntos abiertos, cerrados, actados y compactos, en especial en el plano R2 y en el espacio tridimensional R3.
Definición 1.2 Llamaremosfunción real de varias variables(ocampo escalar) a toda función
f :Rn→R
Y llamaremosfunción vectorial de varias variables (o campo vectorial) a toda función
f :Rn→Rm
En ambos casos se dice que f es una función de n variables.
Ejemplo 1.3 i) f :R2
→R dada por
f(x, y) =x2y+ecosylogx−3
es una función real de 2 variables.
ii) f :R3
→R dada por
f(x, y, z) = cos(x−y−2) +√z5−1 tan(ex+y)
es una función real de 3 variables.
iii) f :Rn
→R dada por
f(x1, x2, ..., xn) =e √
x2
1+x22+...+x2n
es una función real de nvariables.
iv) f :R3 →R2 dada por
f(x, y, z) = (x−y+z−20, zlog[ezy−7])
es una función vectorial de 3 variables y2 coordenadas.
v) f :R4 →R5 dada por
f(x, y, z, t) = (x−y, xcosz, t2+ey,0,3−xyzt)
Definición 1.4 Sea f : Rn
→ Rm (una función vectorial). Llamaremos funciones coordenadas
de f a las funciones
f1, f2, ..., fm :Rn→R
que verifican que
f(x1, x2, ..., xn) = (f1(x1, x2, ..., xn), f2(x1, x2, ..., xn), ..., fm(x1, x2, ..., xn))
En esta situación pondremos
f = (f1, f2, ..., fm)
Observación 1.5 Para el ejemplo iv) anterior se tiene que
f :R3 →R2
tiene por funciones coordenadas
f1, f2 :R3 →R
dadas por
f1(x, y, z) = x−y+z−20
f2(x, y, z) = ztan[exy]
Para el ejemplo v) anterior se tiene que
f :R4 →R5
tiene por funciones coordenadas
f1, f2, f3, f4, f5 :R4 →R
dadas por
f1(x, y, z, t) =x−y f2(x, y, z, t) =xcosz f3(x, y, z, t) =t2+ey
f4(x, y, z, t) = 0 f5(x, y, z, t) = 3−xyzt
Igual que en el caso de funciones reales de una variable real (f :R→R) se entiende pordominio
de una función de varias variables al conjunto de puntos de Rn en el cual tienen sentido todas las
expresiones que definen a la función. Si f = (f1, f2, ..., fm) es una función vectorial se tiene además
que
Domf =Domf1∩Domf2 ∩...∩Domfm
Observación 1.6 En el ejemplo i) anterior el dominio está formado por todos los puntos (x, y) que cumplen que x >0.
En el ejemplo ii) el dominio está formado por todos los puntos (x, y, z) de R3 que verifican
z5
−1≥0 y cos(ex+y)
6
= 0, simultáneamente.
En el ejemplo iii) el dominio es todo Rn, así como en el ejemplo v).
Finalmente en el ejemplo iv) el dominio está formado por todos los puntos (x, y, z) de R3 que verifican ezy >7.
El dominio de la función
f(x, y) = cos( 1
x2+y2)
es todoR2 salvo el punto (0,0) (observar que es el único punto que hace nula la suma de cuadrados
x2+y2.
Para la función
g(x, y) = x
2+y2
xy
el dominio es
Domg ={(x, y)∈R2 tales que xy6= 0},
en definitiva todo R2 salvo los ejes coordenados x= 0 e y= 0. Y el dominio de la función h(x, y) = (xy2,log(x−y),√x2−1) es
Domh={(x, y)∈Rn :y= 06 , x−y >0, x2−1≥0}
La gráfica de una funciónf :Rn
→Rm es el siguiente conjunto de puntos de Rn+m
{(x1, x2, ..., xn, f(x1, x2, ..., xn))∈Rn+m : (x1, x2, ..., xn)∈Domf}
Casos donde puede visualizarse la gráfica:
• Una función real de variable real f : R→ R. En este caso la gráfica es una curva en R2, que
está formada por todos los puntos de la forma(x, f(x)), donde xrecorre el dominio def. Ésta es la situación que hemos analizado en el Tema 6 de la asignatura.
• Una función real de dos variables f : R2
→ R. En este caso la gráfica es una superficie, que está formada por todos los puntos de la forma (x, y, f(x, y)), donde (x, y) recorre el dominio def. Ésta será la situación que analizaremos en el presente tema y en los restantes.
• Una función vectorial de una variable f : R → Rn, cuando n= 2,3. En este caso tenemos lo
que se denomina una curva parametrizada en R2 ó
R3. Ésta es una situación especial que se
A continuación vemos algunas superficies (aquí están dadas mediante una ecuación implícita):
Esferax2+y2+z2 = 1 Cilindro x2+y2 = 1 Cono z2 =x2+y2
Paraboliodez =x2+y2 Silla de montar z =x2 −y2
Toro z2 = 1
−(px2+y2−2)2
Lafigura ocho Una espiral La hélice circular
gráfica de una superficiez =f(x, y)se hace necesario otro recurso que facilite en buena medida esta labor. Así podemos utilizar lascurvas de nivel, que son las proyecciones sobre el planoOXY de los puntos de la superficie que están a cierta altura constante (para cada altura k al hacer la proyección sobre el plano OXY de la superficie obtenemos la curva de nivel {(x, y) : f(x, y) = k). Algunas pinceladas sobre esto comentaremos en el apéndice.
2
Límite de funciones de varias variables
La idea intuitiva de límite es similar a la del caso de funciones reales de una variable real, con las generalizaciones correspondientes. En principio la idea inicial que tenemos de límite consiste, como ocurría para las funciones reales de una variable, es sustituir en el punto:
Ejemplo 2.1 1. lim
(x,y)→(0,1)
x2+y2−2
1+xcosy = −
1 1 =−1
2. lim
(x,y)→(−2,π)[siny−3 cos(yx)]
2
= [sinπ−3 cos(−2π)]2 = [0−3]2 = 9
3. lim
(x,y,z)→(1,−1,0)x
2y3(z+ 2)
−4 = 12( −1)3
·2−4 =−2−4 =−6
Consideremos una función real de varias variables
f :Ω⊆Rn →R
y x0 = (a1, a2, ..., an) un punto de acumulación de Ω (recordemos que esto se da cuando toda bola
centrada enx0 contiene infinitos puntos de Ω; en adelante cuando estudiemos el límite en un punto
siempre supondremos que estamos con un punto de acumulación).
Diremos que L∈Res el límite de f cuando x= (x1, x2, ..., xn) tiende hacia x0 a través de Ω (también se dice que es ellímite restringido a Ω) cuando (de modo intuitivo) al aproximarnos al puntox0 por puntos x∈Ω el valor de la funciónf(x)se aproxima a L.
Esto lo denotaremos de alguna de las siguientes maneras
lim
(x1,x2,...,xn)→(a1,a2,...,an),x∈Ω
f(x1, x2, ..., xn) =L lim
x→x0,x∈Ω
f(x) =L lim
x→x0
x∈Ω
f(x) =L
Observación 2.2 Rigurosamente hablando es preciso, como se indica anteriormente, sólo para plan-tear la existencia del límite de una función f en un punto x0 a través de un conjunto Ω, que dicho punto sea de acumulación del conjunto. En lo sucesivo, aunque no hagamos mención de tal de-talle, cada vez que se plantee un límite, supondremos que ocurrirá así, es decir, el punto será de acumulación del conjunto, aunque no hagamos mención expresa de ello.
habitual es que pretendamos aproximarnos al puntox0 a través del conjunto más amplio posible, el
dominio de la función, para el que pondremos
lim
x→x0
f(x) =L
y al que nos referiremos simplemente diciendo queLes el límite def cuandoxtiende haciax0 (como
ocurría con lim
x→0+
√
x = 0 ó lim
x→0+ logx = −∞, que podemos poner, respectivamente, xlim→0 √
x = 0 ó
lim
x→0logx=−∞, dando por hecho que el límite sólo puede hacerse por la derecha, es decir, a través
del conjunto{x:x >0}).
Veamos cómo puede cambiar la cosa si nos acercamos a través de diversos conjuntos:
Ejemplo 2.3 Dada la función
f(x, y) = 9x
2 −y2
x2+y2
definida para todo punto excepto para el origen (0,0), vamos a determinar el valor del límite de la función cuando nos acercamos al origen, a través de los siguientes conjuntos:
1. La recta y=x,
lim
(x,y)→(0,0),y=x
9x2 −y2
x2+y2 =limx→0
9x2 −x2
x2+x2 =limx→0
8x2
2x2 = 4
2. La recta y= 3x,
lim
(x,y)→(0,0),y=3x
9x2 −y2
x2+y2 =limx→0
9x2 −9x2
x2+ 9x2 =limx→0
0
10x2 =limx→00 = 0
3. La parábola x=y2,
lim
(x,y)→(0,0),x=y2
9x2−y2 x2 +y2 =limy→0
9y4−y2 y4+y2 =limy→0
9y2−1
y2+ 1 =−1
Nota: Puede ocurrir así (el límite sale distinto, según el conjunto que se tome para la aproxi-mación) en casos en los que al sustituir directamente no se obtenga un valor determinado
En lo sucesivo, las propiedades que enunciemos acerca del límite a través del dominio podrán ser generalizadas para límites a través de algún conjuntoΩ.
De modo similar se define el límite de unafunción vectorial de varias variables
f :Rn→Rm
sólo que Lno es un número real sino un vector
Para determinar la existencia del límite de una función vectorial basta estudiar el límite de sus funciones coordenadas. De este modo nos centraremos en estudiar límites de funciones reales. Esto se debe al siguiente resultado:
Propiedad: Sea
f = (f1, f2, ..., fm) :Rn→Rm
yx0 ∈Rn. Se tiene que existe lim
x→x0
f(x)y vale L= (L1, L2, ..., Lm) si y sólo si existen los límites de
las funciones coordenadas
lim
x→x0
f1(x), lim
x→x0
f2(x)..., lim
x→x0
fm(x)
y valenL1,..., Lm, respectivamente. En conclusión
lim
x→x0
f(x) = lim
x→x0
(f1(x), f2(x), ..., fm(x)) = µ
lim
x→x0
f1(x), lim
x→x0
f2(x), ..., lim
x→x0
fm(x)
¶
Ejemplo 2.4 1. Para f :R3
→R2 dada por
f(x, y, z) = (x−y+z−20, ztan[π 4e
zy])
se tiene que
lim
(x,y,z)→(1,0,−1) f(x, y, z) =(x,y,z)lim→(1,0,−1)(x−y+z−20, ztan[
π
4e
zy
]) =
= ( lim
(x,y,z)→(1,0,−1)[x−y+z−20],(x,y,z)lim→(1,0,−1)ztan[
π
4e
zy
]) =
= (−20,−tanπ
4) = (−20,−1)
2.
lim
(x,y)→(3,0) (
x ey,
y−1
3x ,5) = (
3 1,
−1
9 ,5) = (3,− 1 9,5)
También es posible que loslímitesde funciones de varias variables seaninfinitos, generalizando la definición dada para funciones reales de una variable.
Ejemplo 2.5
lim
(x,y)→(0,0)
x+1
y =
1
0 =∞ (x,ylim) →(2,0)
1+x
(x−2)2+y2 =
3
0 = +∞ (x,y)lim
→(1,−3)(2y, 3
2.1
Operaciones con límites
Y al igual que ocurría para el caso de funciones reales de una variable real se tratan lasoperaciones usualespara las funciones de varias variables, siempre que tengan sentido. Así:
Propiedad: Sean f :Rn
→Rm yg : Rn
→Rm funciones para las que existe el límite y es finito
cuando la variable tiende a un puntox0 y sean α yβ números reales. Entonces
lim
x→x0
[f(x)±g(x)] = lim
x→x0
f(x)± lim
x→x0
g(x) lim
x→x0
[αf(x)] =α lim
x→x0
f(x)
Además en el caso en quem = 1 (es decir, cuando las funciones no son vectoriales sino reales) se tiene:
Sean f, g :Rn → R funciones para las que existe el límite y es finito cuando la variable tiende a un puntox0. Entonces
lim
x→x0
[f(x)·g(x)] = lim
x→x0
f(x)· lim
x→x0
g(x) lim
x→x0
f(x)
g(x) = lim
x→x0
f(x)
lim
x→x0
g(x)
(esto último tiene sentido si lim
x→x0
g(x)6= 0).
Además, estos resultados también son válidos para algunas situaciones de las distintas de las anteriores, como algunas en las que interviene algún infinito (de modo análogo a como ocurría para funciones de una variable: ver la Sección ”Operaciones Simbólicas” del Tema 6):
Ejemplo 2.6
lim
(x,y)→(0,1) e
−y
x2 =e−∞ = 0
Nos planteamos ahora la relación existente entre los límites a través de diferentes con-juntos. Y entonces se cumple que:
Para que el límite exista deben coincidir todos los límites planteados a través de todos los conjuntos posibles.
Ejemplo 2.7 La función
g(x, y) = x−y
x+y
definida en todo punto posible no tiene límite en el punto (0,0) pues a través del conjunto
Ω0 ={(x, x) :x∈R}={(x, y) :y =x}
su límite existe y vale 0 y a través del conjunto
Ω00={(x,2x) :x∈R}={(x, y) :y= 2x}
2.2
Límites direccionales
A la hora de estudiar el límite de una función de dos variables mediante límites a través de algunos conjuntos es típico considerar conjuntos del tipo rectas, parábolas y en general curvas de algunas de las formas
y =g(x) x=h(y)
Una situación especial es el caso de los límites a través de rectas que contienen al punto, deno-minados tambiénlímites direccionales. Estas rectas, como ya sabemos, son las de la forma
y−b=m(x−a) junto con la recta vertical x=a
Notemos que la existencia de los límites direccionales no garantiza la existencia del límite, ni siquiera cuando todos ellos coinciden. Lo más que se puede decir es lo siguiente:
Consecuencia: Si no existe algún límite direccional o al menos dos de ellos son dis-tintos entonces no existe el límite (a través del dominio).
Nota: Como comentamos anteriormente se puede generalizar el resultado anterior y deducir que si el límite a través de al menos dos conjuntos da un valor distinto (pueden ser dos direccionales, dos no direccionales o uno direccional y otro no direccional) entonces el límite no existe.
Ejemplo 2.8 Calcular los límites direccionales de la función
x2 −y2
x2+ 2y2
en el punto (0,0). Éstos son
lim
(x,y)→(0,0),y=mx x2−y2
x2+2y2 =lim
x→0
x2−m2x2
x2+2m2x2 =lim
x→0 1−m2
1+2m2 =
1−m2
1+2m2
lim
(x,y)→(0,0),x=0
x2−y2
x2+2y2 =lim
y→0 −y2
2y2 =−
1 2
Como consecuencia vemos que el límite no existe puesto que hay límites direccionales que difieren (basta observar que hay límites direccionales distintos: por ejemplo el último límite, que vale −12, y alguno de los otros, por ejemplo param = 0, cuyo valor es 1; o por ejemplo para m = 0, cuyo valor es 1 y para m= 1, cuyo valor es0).
Ejemplo 2.9 Calcular los límites direccionales de la función x−1
y+2 en el punto (1,−2). Éstos son
lim
(x,y)→(1,−2),y+2=m(x−1)
x−1
y+2 =limx→1
x−1
m(x−1) =limx→1 1
m =
1
m
lim
(x,y)→(1,−2),x=1
x−1
y+2 = limy→−2 0
y+2 = limy→−2 0 = 0
Ejemplo 2.10 Comprobar que no existe el siguiente límite
lim
(x,y)→(0,0)
xy2 x2+y4
Ver que los límites direccionales, a pesar de ser todos iguales, resultan distintos del límite a través del conjunto x=y2.
Los límites direccionales valen
lim
(x,y)→(0,0),y=mx xy2
x2+y4 =lim
x→0
xm2x2
x2+m4x4 =lim
x→0
x(1−m2)
1+x2m4 =
0 1 = 0
lim
(x,y)→(0,0),x=0
xy2
x2+y4 =lim
y→0 0·y2
y4 =lim
y→0 0
y4 =lim
y→00 = 0 y el límite a través del conjunto mencionado es
lim
(x,y)→(0,0),x=y2
xy2
x2+y4 =limy→0
y2y2
y4+y4 =limy→0
y4
2y4 =limy→0
1 2 =
1 2
2.3
Cambio a coordenadas polares en
R
2Supongamos que tenemos una función
f :R2 →R
para la que planteamos el límite en un puntox0 = (a, b). Para hacer el límite
lim
(x,y)→(a,b)f(x, y)
podemos probar haciendo el ”cambio de variable”
x = a+ρcosθ y = b+ρsinθ
El caso más sencillo y el que más habitualmente vamos a utilizar es cuando a = 0, b = 0, es decir, cuando estamos con el punto (0,0), en el que queda así la cosa
x = ρcosθ y = ρsinθ
Concretamente se tiene la siguiente relación:
Propiedad: Si no existe el límite
lim
ρ→0 f(a+ρcosθ, b+ρsinθ) =L
o este valor, L, depende de θ ∈[0,2π[, entonces no existe el límite
lim
(x,y)→(a,b)f(x, y) =L
Ejemplo 2.11 Para la función
g(x, y) = 2x
2+ 3y2 −2y3 x2+y2 en el punto (0,0), se tiene que como
lim
ρ→0g(ρcosθ,ρsinθ) =limρ→0 [
2ρ2cos2θ+ 3ρ2sin2θ−2ρ3sin3θ ρ2cos2θ+ρ2sin2θ ] =
=lim
ρ→0[
ρ2(2 cos2θ+ 3 sin2θ
−2ρsin3θ)
ρ2(cos2θ+ sin2θ) ] =
=lim
ρ→0[2 cos
2θ+ 3 sin2θ
−2ρsin3θ)] = 2 cos2θ+ 3 sin2θ
depende deθ, entonces no existe el límite lim
(x,y)→(0,0) g(x, y).
Observación 2.12 A veces las expresiones que salen dependientes de θ pueden realmente no serlo. Imaginemos que sale cos2θ + sin2θ que vale constantemente 1. Pero no es el caso anterior. Si no se tiene claro lo mejor es darle unos cuantos valores aθ y ver que salen diferentes resultados. En el último ejemplo si en la expresión2 cos2θ+ 3 sin2θ le damos el valor θ= 0 nos da 2 y si le damos el valor θ= π
2 nos da 3.
Ejemplo 2.13 Pasemos el siguiente límite
lim
(x,y)→(0,1)
x3
x2+ (y−1)2 a coordenadas polares
x = ρcosθ y = 1 +ρsinθ
L = lim
ρ→0
(ρcosθ)3
(ρcosθ)2 + (1 +ρsinθ−1)2 =limρ→0
ρ3cos3θ
ρ2cos2θ+ρ2sin2θ =
= lim
ρ→0
ρ3cos3θ
ρ2(cos2θ+ sin2θ) =limρ→0 ρcos 3
θ = 0
Nota: Este límite sí existe, como puede consultarse en el apéndice. Ejemplo 2.14 Pasemos el siguiente límite
h(x, y) = xy
2
x2+y4 a coordenadas polares.
Se tiene que
lim
ρ→0h(ρcosθ,ρsinθ) =limρ→0ρ
cosθsin2θ
cos2θ+ρ2sin4θ = 0 Puede verse en el ejemplo 2.10 que
@ lim
Ejercicio 2.15 Estudiar el valor del límite
lim
(x,y)→(−1,2)(2−
(x+ 1)3
(x+ 1)2+ (y−2)4)
en coordenadas polares
x = −1 +ρcosθ y = 2 +ρsinθ
Solución: 2.
3
Continuidad de funciones de varias variables
La definición de continuidad es enteramente análoga al caso de funciones de una variable real. Diremos que una función f es continua en un punto x0 cuando el punto está en el dominio, la
función tiene límite (finito) en el punto y el valor de la función y de su límite en el punto coinciden. Es decir:
1)x0 ∈Domf (∃f(x0)).
2) Existe el límite de f en x0 (y es finito).
3) lim
x→x0
f(x) =f(x0).
El estudio de la continuidad de una función en un punto se reduce fundamentalmente al estudio de la existencia y, en su caso, el valor del límite de la función en el punto. Además, al igual que pasaba con los límites, el estudio de la continuidad de una función vectorial se reduce al de sus funciones coordenadas pues:
Propiedad: Una función vectorial es continua si y sólo si son continuas sus funciones coordenadas.
Además,las funciones usuales(constantes, polinomios, exponenciales, trigonométricas, logarit-mos, etc.) son funciones continuasen todo punto de su dominio. También al igual que pasaba con las funciones de una variable real, lasoperaciones usualesque se hacencon funciones continuas
dan como resultado una función continua: sumas, restas, multiplicación por escalares, composición de funciones, productos, cocientes con denominador no nulo, y otras operaciones usuales. Así por ejemplo serán funciones continuas, en todo punto de su dominio, las siguientes:
Ejemplo 3.1 1) f1(x, y) = 3xy+x
6
e
x
y + 5(x
2+ 1)x (continua en
{(x, y) :y6= 0}).
2) f2(x, y) = (sin(x2+x−y2y)−log(x+y2), etan(x+1)) (continua en {(x, y) :x+y2 >0,cos(x+ 1)6= 0}).
Observación 3.2 En ocasiones ocurre que por problemas de dominio no podemos plantear el límite a través de R2, sólo podemos plantearlo a través del dominio. Así ocurre por ejemplo con la función
plantearse a través del dominio, que es el conjunto {(x, y) : x ≥ y}. En este caso el resultado del límite es 0. Entonces podemos interpretar que la función, que está definida en (0,0) tomando el valor 0, es continua en dicho punto, por supuesto, continua a través del dominio. Admitiremos pues dentro de la definición de continuidad tal generalidad (que denominaremos continuidad a través de un conjunto), especialmente en el caso en que el límite lo realicemos a través del dominio.
A continuación, y para finalizar el tema, damos la versión en varias variables del Teorema de Weierstrass que generaliza el caso de una variable:
Teorema 3.3 Si f : Rn
→ Rm es una función continua en Ω
⊆ Domf y Ω es compacto entonces
f(Ω) es también compacto.
Corolario 3.4 Si la función f :Rn→R es continua en el conjunto compacto Ω⊆Domf, entonces existenx0, y0 ∈Ω tales que
f(x0) = max{f(x) :x∈Ω}
