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(1)

Estadística - Mg. Rosa Padilla Castro

Capítulo

IX

PROBABILIDAD/DISTRIBUCIONES

DE PROBABILIDAD

... ...

Objetivo del

Capítulo

(2)

Estadística - Mg. Rosa Padilla Castro

9.1 Introducción

La estadística moderna se caracteriza por hacer uso de la estadística inferencial. Esta incluye un conjunto de técnicas que tienen el propósito de inferir o inducir leyes de comportamiento de una población a partir del estudio de una muestra. La inducción es posible debido a que suponemos que los datos muestrales siguen un modelo teórico de comportamiento, llamado comúnmente “Modelo matemático”, el cual tiene como elemento básico al cálculo de probabilidades.

¿Qué queremos decir con la palabra probabilidad? La probabilidad es la posibilidad u oportunidad de que suceda un evento particular. Se podría referir a

1. La posibilidad de que un individuo seleccionado aleatoriamente de una comunidad se encuentre perfectamente sano

2. La posibilidad de que un individuo seleccionado aleatoriamente de un grupo de empleados de una determinada empresa esté satisfecho con su trabajo.

3. La posibilidad de que tenga éxito un nuevo producto en el mercado

En cada uno de estos ejemplos, la probabilidad involucrada es una proporción o fracción cuyo valor varía entre 0 y 1 exclusivamente.

En los capítulos anteriores, se observó que la distribución de frecuencias de las observaciones de un fenómeno casual es un recurso muy poderoso para entender la variación del mismo, podemos construir un modelo que represente en forma adecuada a la distribución de frecuencias cuando el fenómeno es observado directamente, como ya se dijo anteriormente, tales modelos son llamados modelos matemáticos o modelos de probabilidad.

Cada experimento involucra el número de resultados favorables y el número total de resultados. En muchas instancias, sin embargo, debido al gran número de posibilidades, no es factible enumerar cada uno de los resultados, en este caso se han desarrollado técnicas de conteo.

9.2 Técnicas de Conteo 1. Factorial (n!)

Se utiliza para representar las operaciones de multiplicación secuencial. Su desarrollo significa el producto ordenado de los números enteros positivos, desde el que indica el signo factorial, hasta llegar a 1.

Ejemplo:

Tres factorial 3! = (3) (2) (1) = 6

Cinco factorial 5! = (5) (4) (3) (2) (1) = 120 . n factorial n! = (n) (n-1) ...(3) (2) (1)

Por definición 0! = 1 1! = 1

2. Permutaciones (interesa el orden)

Se entiende como cambio de lugar, esto es si se tienen dos objetos a y b, no es igual que a sea primero y b segundo, esto es (ab)

(ba), hay dos permutaciones.

Esto implica que el objeto debe ser distinguible, ya que importa el lugar que el objeto ocupe, la pregunta es ¿si es una permutación con reemplazo o sin reemplazo?

Se sabe que es sin reemplazo si no se repiten los elementos, por ejemplo, tres elementos 1, 2, 3, muestras de dos sin repetición son: (1,2). (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2); y con repetición sería (1,1), (1,2). (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3).

Permutaciones con repetición: nPk = nk

Permutaciones sin repetición: nPk =

)!

(

!

k

n

n

Ejemplos:

a) Sean a, b, y c tres objetos. Calcule el número de permutaciones diferentes de los tres objetos tomados 2 veces con y sin repetición.

 Permutaciones con repetición: n = 3 y k = 2 3

P

2

3

2

9

k

(3)

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 Permutaciones sin repetición: n = 3 y k = 2

6

!

2)

-(3

!

3

P

2

3

(a,b), (a,c), (b,a), (b,c), (c,a), (c,b)

b) Tres oficiales van a ser elegidos de 4 miembros de un club: presidente, vicepresidente y secretario. ¿De cuántas maneras pueden ser elegidos los tres oficiales?

Solución: Obsérvese que no es igual que alguien sea presidente y a la vez vicepresidente, esto es, importa el lugar. Por tanto es permutación; falta ver si es con reemplazo o sin reemplazo, como una persona no puede ocupar los dos puestos a la vez, entonces es sin repetición.

!

k)

(n

!

n

P

k

n

24

! ) 3 -(4 ! 4 P3

4  

c) Un educador en asuntos sanitarios tiene tres carteles para exhibir uno junto al otro en la pared del vestíbulo de un centro de salud, ¿en cuántas formas diferentes los puede colocar los carteles?

Solución

Por ejemplo A = cartel # 1, B cartel # 2, C cartel # 3, entonces: A B C

B A C, y sin repetición, aquí importa el orden, son permutaciones con:

n = 3, k = 3

3

!

6

)!

3

3

(

!

3

3

3

P

3. Combinaciones (No interesa el orden)

 Combinaciones sin repetición

k)!

-(n

k!

n!

C

n k k

n





 Combinaciones con repetición

n(CR)k

k!

1)!

-(n

1)!

-k

(n

Ejemplos:

a) De un equipo multidisciplinario, formado por un economista, un sociólogo, un psicólogo ¿Cuántos comités de dos profesionales pueden formarse?

Solución:

Datos: n = 3, k = 2

Luego la cantidad de comités a formarse, serán:

3

2

6

)!

1

)(

1

2

(

1

2

3

)!

2

3

(

!

2

!

3

3 3

2

C

x

x

x

C

Respuesta: Se pueden formar tres comités, que serían. Primer comité : Economista, Sociólogo Segundo comité : Sociólogo, psicólogo Tercer comité : Economista, psicólogo.

b) Para la comida un paciente de un hospital puede elegir una de cuatro carnes, dos de cinco vegetales, y uno de tres postres. ¿Cuántas comidas diferentes puede elegir el paciente, si selecciona el número especificado de cada grupo?

Solución

(4)

Estadística - Mg. Rosa Padilla Castro

 Supongamos que A es una de cuatro carnes, entonces tenemos: C14=

4

!

)(3)

(1!

!

4

 B es dos de cinco vegetales, entonces tenemos: C52 = 10  C es uno de tres postres: C13 = 3

Entonces por el principio de la multiplicación, tenemos: A x B x C = 4 x 10 x 3 = 120 formas de combinar su comida.

c) Un investigador tiene cuatro medicamentos que desea poner a prueba pero sólo cuenta con los suficientes animales de experimentación para probar a tres de los medicamentos, ¿cuántas combinaciones de medicamentos puede poner a prueba?

Solución

La pregunta ya nos dice que son combinaciones, ahora falta saber si son con repetición o sin repetición. Así que toma 3 de 4, esto es, no lo repite, entonces son combinaciones sin repetición, donde:

N = 4 y k = 3

C

34

4

9.3 Definiciones básicas en probabilidad

DETERMINÍSTICO

* Suma de dos números naturales. * Lanzar una piedra desde una

determinada altura. Bajo las mismas

condiciones los resultados son los mismos cuantas veces

se repita.

EXPERIMENTO

Proceso que puede repetirse y obtener un

resultado, llamado espacio muestral:

ALEATORIO

*Lanzar un dado *Concebir un hijo *Lanzar una moneda Los resultados no se

pueden predecir a pesar de repetir bajo

las mismas condiciones

A = Sexo de un niño al ser concebido

= {H, M} n(

) = 2 B = Observar el número de caras que aparece al lanzar 3 monedas

= {sss, ccc, csc, ccs, ssc, css, scc, scs} n(

) = 8

1. Experimento Determinístico: Experimento que puede ser repetido bajo "las mismas condiciones", del que puede establecerse el conjunto de sus posibles resultados.

2. Experimento Aleatorio (no determinístico): Es cuando los resultados de la observación no se pueden predecir por exactitud antes de realizar el experimento.

Ejemplo: lanzar un dado, concebir un hijo, extraer con o sin reemplazo una ficha de una urna, decir los efectos que produce un x fármaco en un organismo humano.

3. Espacio Muestral: Es el conjunto de todas los posibles resultados de un experimento, se denota por

(5)

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= {w/wi es un resultado de experimento}

Ejemplo:

* Determinar

de un experimento de lanzar un dado.

1

,

2

,

3

,

4

,

5

,

6

n

(

)

6

* Determinar

del experimento que consiste en lanzar 3 monedas y observar el número de caras que aparece.

= {sss, ccc, csc, ccs, ssc, css, scc, scs}

n

(

)

8

* Sexo de un niño al ser concebido

= {H, M}

n

(

)

2

* Una mujer portadora de hemofilia tiene 3 hijos ¿Cuál es el espacio muestral apropiado para estudiar la posible hemofilia de estos?

Opción a: Cada hijo puede padecer hemofilia (s) o no (n), por tanto

={sss, ssn, sns, nss, snn, nsn, nns, nnn}

Donde, por ejemplo, 'sns' significa el primero y el tercero la padecen y el segundo no. Hay que asegurarse que no se olvida ninguno.

En este espacio muestral, el suceso "dos hijos padecen hemofilia" se representa como A1={ssn, sns, nss} y el suceso

"los dos primeros no la padecen" como A2={nns, nnn}

4. Evento o Suceso: Es el conjunto de posibles resultados favorables del experimento. Es un subconjunto del espacio muestral y se denota por letras mayúsculas. En particular

Evento cierto o seguro

; Evento imposible.

Ejemplo:

* Se lanza un dado, sean los eventos

A: aparece un número par

B: aparece un número < 3.

= {1, 2, 3, 4, 5, 6} A ={2,4,6} n(A) = 3

B ={1,2} n(B) = 2

5. Probabilidad de un Evento: Sea un espacio muestral

y sea A un evento cualquiera, entonces la probabilidad de A es igual a n(A) / n(

)

P(A) =

)

(

)

(

n

A

n

Ejemplos:

 Si se lanza un dado, hallar la probabilidad de obtener un número par.

50

.

0

2

1

6

3

)

(

A

P

 Al lanzar 3 monedas hallar la probabilidad de obtener B: dos caras

8

3

)

(

)

(

)

(

n

B

n

B

P

# de resultados favorables

(6)

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9.4 Axiomas de probabilidad

1. 0 < P(A) < 1

2. P(

) = 1

= {1,2,3,4,5,6}

P(

) = P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 6

6

6

= 1

9.5 Distribuciones de probabilidad

Algunos experimentos con características comunes han sido largamente estudiados determinándose para ellos funciones teóricas, que dentro de algunos supuestos, nos sirven para asignar probabilidades a sus resultados. Este es el caso de:

Variable aleatoria discreta: Distribución Binomial Distribución Poissón

Distribución Hipergeométrica

Variable aleatoria continua: Distribución Normal Distribución T- Student Distribución Chi-cuadrado Distribución F- Snedecor

9.6 Distribución Binomial

Una distribución muy útil para la descripción de muchos experimentos es la Distribución Binomial. Esta distribución considera variables que se obtienen a partir de la repetición de un experimento simple, conocido como experimento Bernoulli. Este experimento tiene únicamente dos resultados posibles llamados “éxito” o “fracaso”.

La Distribución Binomial, asigna probabilidades a la variable aleatoria definida como el número de éxitos obtenidos en el total de repeticiones del experimento.

La función que asigna dichas probabilidades es:

o acumulativ ino

térm x

-n x n x n x x) P(X

individual término

x -n x n x f(X) x) P(X

q

P

C

q

P

C

 

  

Donde:

n = número de ensayos

x = resultados que se desea obtener o éxitos p (X = x) = probabilidad de obtener x éxitos q = 1- p

Los supuestos de la distribución Binomial son:

1. La variable, en cada repetición, sólo toma dos valores 2. Las repeticiones son independientes

3. La probabilidad de éxito es constante 4. Todas las repeticiones son idénticas

Si un experimento cumple con estas cuatro condiciones, podemos utilizar la Distribución Binomial para asignar probabilidades a sus resultados.

Características de la Distribución Binomial

Media = np Varianza = npq

Desviación estándar =

npq

Ejemplo de estos experimentos aleatorios son:

(7)

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*Estado de salud de una persona

Sano o enfermo *Situación ocupacional de una persona

Ocupado o desocupado

Al llevar a cabo un experimento Binomial, siempre estamos interesados en que suceda uno de los dos resultados. Si el resultado que esperábamos efectivamente sucede, diremos que hubo ÉXITO. Si el resultado que esperábamos no sucede, entonces diremos que hubo FRACASO. Estos dos resultados, se designan en términos de probabilidad, como p y q.

Se debe cumplir que p + q = 1 (por definición de probabilidad).

A través de un ejemplo, explicaremos el cálculo de probabilidades utilizando la distribución Binomial.

Ejemplo:

Supongamos que en el distrito de Chaclacayo, se toma una muestra y se encontró, que el 30% de la población en edad activa estaban desempleados y el 70% tenía empleo.

En este experimento esperamos como éxito que la población tenga empleo, y como fracaso que la población esté desempleada. Por lo tanto:

EVENTOS RESULTADOS PROBABILIDAD

Empleados Desempleados

Éxito Fracaso

p = 0.70 q = 0.30

Total P + q = 1.00

Podemos decir entonces: Si seleccionamos una persona al azar de la población, la probabilidad de que se encuentre con empleo es de 0.70, y de que se halle desempleado es de 0.30. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar dos personas ocupadas en esta población?, en una muestra de tamaño 2.

Solución:

Datos: n = 2 x = 2 personas ocupadas p = 0.70 q = 0.30

P(X = 2) =

(

0

.

70

)

(

0

.

30

)

0

.

49

)!

2

2

(

!

2

!

2

2 2 2

,

La probabilidad de seleccionar dos personas ocupadas de esta población, es de 49 %.

9.7 Distribución de Poisson

Proporciona un modelo para la frecuencia relativa del nº de eventos que ocurren en una unidad de tiempo, área, volumen, etc. Esta distribución no sólo es aplicable a muchos experimentos, sino también se puede utilizar para aproximar la Distribución Binomial en algunos casos especiales. Con esta distribución se puede modelar, por ejemplo, el número de llamadas telefónicas que se reciben en una central telefónica entre las 10 y las 12 pm (el intervalo de tiempo indicado puede ser dividido en infinitos subintervalos y en cada uno de estos podría ocurrir una llamada). El número de personas que llega a un centro de emergencias puede ser modelado también con una distribución de Poisson si se considera que la población de la cual acceden las personas que concurren al hospital en el intervalo indicado es muy grande y que puede ser considerada como infinita para propósitos prácticos

Al igual que la Distribución Binomial, esta distribución considera la repetición de un experimento simple. La diferencia, en este caso, es que el número de repeticiones es muy grande y la probabilidad de éxito es muy pequeña.

Los supuestos de la distribución Poisson:

1. La probabilidad de las n ocurrencias del suceso por unidad de tiempo o espacio t, es exactamente la misma, no importa donde comience el intervalo t; es decir la tasa media de que el evento ocurra por unidad de tiempo o espacio es la misma; esta tasa media se denota por

, que se llama "lambda".

2. Los sucesos que ocurren en un intervalo de tiempo o región espacial son independientes de los que ocurren en cualquier otro intervalo de tiempo o región del espacio, no importa como se seleccione el intervalo. 3. Nos interesa la variable aleatoria X, número de ocurrencias de un suceso en un intervalo de tiempo o en un

área del espacio t.

La función que asigna dichas probabilidades es:

!

)

(

x

e

x

X

P

x

(8)

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Donde x = 0, 1, 2, …

> 0 es una constante (número promedio de ocurrencias en un tiempo) e = 2.718, constante

= número promedio de ocurrencias en un tiempo t

Esta distribución infinita contable se presenta en muchos fenómenos naturales, tales como el número de llamadas telefónicas por minuto en un hospital, el número de erratas por página en un texto grande, el número de partículas emitidas por una sustancia radioactiva.

Características de la distribución de Poisson

Media =

Varianza =

Desviación estándar =

Forma gráfica de la distribución de Poisson según su promedio

Ejemplo:

Una determinada planta nuclear desprende una cantidad detectable de gases radioactivos. Un promedio de 2 veces al mes. Hallar la probabilidad de que:

a) No se produzcan tales emisiones durante un periodo de tres meses. b) Haya como máximo cuatro de tales emisiones al mes.

c) Exactamente 5 emisiones durante ese periodo. Rpta: 0.036 d) A lo más dos emisiones en un mes. Rpta: 0.677

e) Por lo menos 4 emisiones radioactivas en un mes.

Solución

=2 veces al mes,

=2 x 3 = 6 veces en un periodo de tres meses

a)

0

.

002

!

0

6

)

(

0 6

o

e

x

P

b)

P

(

x

4

)

0

.

947

e)

p

(

x

4

)

1

p

(

x

3

)

1

0

.

857

0

.

143

9.8 Distribución Normal (campana de gauss-laplace)

Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución.

(9)

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En otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales, tipo B(n,p), para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores, se ve que sus polígonos de frecuencias se aproximan a una curva en "forma de campana".

En resumen, la importancia de la distribución normal se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal

Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie, por ejm. tallas, pesos, envergaduras, diámetros, perímetros,...

Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de abono.

Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen.

Caracteres psicológicos, por ejemplo: cociente intelectual, grado de adaptación a un medio,... Valores estadísticos muestrales, por ejemplo: la media.

Otras distribuciones como la Binomial o la de Poisson son aproximaciones normales, ... Y en general cualquier característica que se obtenga como suma de muchos factores.

Características de la distribución Normal

Media =

Varianza =

2

Desviación estándar = Raíz cuadrada de la varianza

FUNCIÓN DE DENSIDAD

Empleando cálculos bastante laboriosos, puede demostrarse que el modelo de la función de densidad que corresponde a tales distribuciones viene dado por la fórmula

La distribución normal queda definida por dos parámetros, su media y su desviación típica y la representamos así: N (

,

); Para cada valor de

y

tendremos una función de densidad distinta, por lo tanto la expresión N (

,

) representa una familia de distribuciones normales.

TIPIFICACIÓN O ESTANDARIZACIÓN

Si la variable X es N

(

,

2

)

entonces la variable tipificada de X es

)

(

x

, y sigue también una

distribución normal, pero con media

0

y

2

1

, es decir una N (0, 1)

Característica de la distribución normal tipificada (reducida, estándar)

ianza

típica

Desv

media

var

.

2

2

1

)

(

x

f

e

2

2

2 ) (

 

x

abscisa

x

e

7182

.

2

(10)

Estadística - Mg. Rosa Padilla Castro

No depende de ningún parámetro

Su media es 0, su varianza es 1 y su desviación típica es 1. La curva f(x) es simétrica respecto del eje X

Ejemplo:

1. Entre los diabéticos, el nivel de glucosa en sangre X, en ayunas, puede suponerse de distribución aproximadamente normal, con media 106 mg/100 ml y desviación típica 8 mg/100 ml, es decir

a) Hallar la probabilidad de que el nivel de la glucosa sea menor o igual a 120 mg/100 ml b) ¿Qué porcentaje de diabéticos tienen niveles comprendidos entre 90 y 120?

c) Hallar que porcentaje de diabéticos tienen niveles comprendidos entre 106 y 110. d) Hallar la probabilidad de que el nivel de la glucosa sea menor o igual a 121 mg/100 ml

e) Hallar el punto x caracterizado por la propiedad de que el 25% de todos los diabéticos tiene un nivel de glucosa en ayunas inferior o igual a x.

Solución:

a) Hallar la probabilidad de que el nivel de la glucosa sea menor o igual a 120 mg/100 ml P(x

120) = P(Z

8

106

120

) = P (Z

1.75) = 0.96

b) ¿Qué porcentaje de diabéticos tienen niveles comprendidos entre 90 y 120 ?

94

.

0

02

.

0

96

.

0

)

2

(

)

75

.

1

(

)

75

.

1

2

(

)

8

106

120

8

106

90

(

)

120

90

(

P

p

Z

p

Z

p

Z

p

El 94% de diabéticos presenta sus niveles de glucosa entre 90 y 120 mg/100ml c) Hallar que porcentaje de diabéticos tienen niveles comprendidos entre 106 y 110.

%

19

int

cos

19

.

0

50

.

0

69

.

0

)

0

(

)

5

.

0

(

)

5

.

0

0

(

)

8

106

110

8

106

106

(

)

110

106

(

de

es

ervalo

este

en

os

comprendid

diabéti

de

porcentaje

el

Z

p

Z

p

Z

p

P

p

d) Hallar la probabilidad de que el nivel de la glucosa sea menor o igual a 121 mg/100 ml P(x

121) = P(Z

8

106

121

) = P (Z

1.88) = 0.97

e) Hallar el punto x caracterizado por la propiedad de que el 25% de todos los diabéticos tiene un nivel de glucosa en ayunas inferior o igual a x.

ml

mg

x

x

x

Z

100

.

64

/

100

8

106

67

.

0

2. Durante cierta epidemia de gripe, enferma el 30% de la población. En un aula con 200 estudiantes de Medicina, (a) ¿cuál es la probabilidad de que menos de 40 padezcan la enfermedad? (b) Calcular la probabilidad de que haya 60 estudiantes con gripe.

1 2 3

-3 -2 -1

3 2   2 3

(11)

Estadística - Mg. Rosa Padilla Castro

Solución: La v.a. que contabiliza el número de alumnos que padece la gripe es

)

30

.

0

,

200

(

B

n

p

X

Cuya media es

n

.

p

60

y su varianza es

2

n

p

q

42

Realizar los cálculos con la ley binomial es muy engorroso, ya que intervienen números combinatorios de gran tamaño, y potencias muy elevadas. Por ello utilizamos la aproximación normal de X, teniendo en cuenta que se verifican las condiciones necesarias para que el error sea aceptable

Así aproximando la v.a. discreta binomial X, mediante la v.a. continua normal XN tenemos:

a) P(x

40) = P (Z

42

60

40

) = P (Z

- 3.09) = P (Z

3.09) = 0.99900

b) También es necesario calcular P(X = 60). Esta probabilidad se calcula exactamente como:

Por ejemplo, podemos aproximar P (X = 60) por el valor de la función de densidad de XN en ese punto, la posibilidad

es considerar un intervalo de longitud centrado en el valor 60 del que deseamos hallar su probabilidad y hacer:

0638

.

0

)

08

.

0

08

.

0

(

)

5

.

60

5

.

59

(

)

60

(

X

P

P

P

9.9 Distribución t

Hemos estudiado la distribución z y encontrado que z es normal con

0

y

1

. Ahora estudiaremos una segunda distribución, llamada la distribución t. Un inglés llamado Gosset desarrollo la teoría de la distribución t e hizo esto por una razón muy práctica. Trabajo en una fábrica de cerveza midiendo, vamos a suponer, el contenido de agua en una cerveza que se había comenzado a producir. Tuvo que muestrear muchos barriles de cerveza para estar seguros que la desviación estándar de su muestra (s) es una estimación estable de la desviación estándar verdadera (

). Por alguna razón desconocida, se interesó en desarrollar una técnica que le permitiera usar muestras más pequeñas que las que había utilizado anteriormente, es así como desarrollo la técnica de la muy importante distribución t y preparo el camino para el desarrollo ulterior de la teoría estadística de muestras pequeñas. Gosset publicó su trabajo bajo el seudónimo de “Student”. Por esta razón es que se la conoce como distribución t de Student.

La distribución t, al igual que la distribución z, es importante en problemas en los cuales se estima la media verdadera (

) a partir de la media de la muestra (

x

). La distribución t, a diferencia de la distribución z, no requiere el conocimiento de la desviación estándar poblacional; todo lo que se requiere para la t es que la muestra sea tomada de una población normalmente distribuida y que está muestra tenga una media (

x

) y una desviación estándar (s)

Distribución t y distribución Normal

Error estándar de la media

(12)

Estadística - Mg. Rosa Padilla Castro

n

x

la distribución t está dada por la fórmula:

PROBLEMAS DE REPASO DEL CAPÍTULO

1. Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y desviación típica 15. a) Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110.

b) ¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al 50% de la población?

2. En un examen tipo test de 200 preguntas de elección múltiple, cada pregunta tiene una respuesta correcta y una incorrecta. Se aprueba si se contesta a más de 110 respuestas correctas. Suponiendo que se contesta al azar, calcular la probabilidad de aprobar el examen.

3. Un estudio ha mostrado que, en un cierto barrio, el 60% de los hogares tienen al menos dos televisores Se elige al azar una muestra de 50 hogares en el citado barrio. Se pide:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 20 de los citados hogares tengan cuando menos dos televisores? b) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 35 y 40 hogares tengan cuando menos dos televisores?

4. En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.

5. En la ciudad de Ica, cada tres meses ocurren en promedio 12 muertos por accidentes de tránsito ¿cuál es la probabilidad de que en cualquier mes haya:

a) Exactamente 4 muertos? b) Por lo menos tres muertos? c) A lo más dos muertos?

6. Los registros hospitalarios indican que el 10% de los casos de cierta enfermedad es fatal. si hay cinco pacientes que sufren de la enfermedad, encontrar las probabilidad:

a) Que todos sanen

b) Que por lo menos tres mueran c) Que exactamente tres mueran

7. Las lesiones laborales graves que ocurren en una planta siderúrgica, tienen una media anual de 2.7. Dado que las condiciones de seguridad serán las iguales en la planta durante el próximo año, ¿Cuál es la probabilidad de que el número de lesiones laborales graves sean:

a) a lo más dos? b) exactamente tres? c) por lo menos uno?

8. Dañando los cromosomas del óvulo o del espermatozoide, pueden causarse mutaciones que conducen a abortos, defectos de nacimiento, u otras deficiencias genéticas. La probabilidad de que tal mutación se produzca por radiación es del 10%. De las siguientes 150 mutaciones causadas por cromosomas dañados, ¿cuántas se esperaría que se debiesen a radiaciones?, ¿cuál es la probabilidad de que solamente 10 se debiesen a radiaciones?

9. La tasa de mortalidad para cierta enfermedad es 18 por 1000 ¿Cuál es la probabilidad de que 5 mueran de esta enfermedad de un grupo de 500?

10. En una encuesta reciente se concluyó que únicamente el 15% de los médicos de una área rural fuman. Se observó que dos de los ocho médicos seleccionados de una lista suministrada por el directorio médico local, también fuman. Suponiendo que la encuesta esté en lo correcto ¿Cuál es la probabilidad de obtener esté resultado?

11. Las investigaciones médicas señalan que el 20% de la población general sufre efectos negativos colaterales al ingerir un nuevo fármaco. Si un médico receta dicho fármaco a cuatro pacientes ¿Cuál es la probabilidad de que:

a) Ninguno sufra efectos colaterales? b) Todos los tengan?

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Estadística - Mg. Rosa Padilla Castro

12. Existe un 90% de probabilidad de que un tipo determinado de componente se comporte adecuadamente bajo condiciones de alta temperatura. Si el dispositivo en cuestión tiene cuatro de tales componentes, calcule la probabilidad de que cada uno de los siguientes eventos por medio de la fórmula para probabilidades Binomiales:

a) Todos los componentes se comportan adecuadamente

b) El dispositivo no es operacional por que falla uno de los cuatro componentes c) El dispositivo no es operacional por que falla uno o más de los componentes.

13. Un tratamiento para cierta enfermedad produce una cura en 75% de los casos. Se seleccionan aleatoriamente 6 pacientes. ¿Cuál es la probabilidad de que:

a) Todos están curados b) Ninguno está curado c) Cuatro están curados

d) Al menos cuatro están curados e) Menos de tres se curen f) Tres o menos se curen g) Más de cuatro estén curados.

14. La probabilidad de muerte resultante del uso de píldoras anticonceptivas es de 3/100.000. De 1.000.000 de mujeres que utilizan este medio de control de natalidad:

a) ¿Cuántas muertes debidas a esta causa se esperan?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya, como máximo, 25 de estas muertes?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de muertes debidas a esta causa esté entre 30 y 35, inclusive? 15. Supóngase que los niveles de ácido úrico en el suero en varones normales se distribuyen aproximadamente de

forma normal con una media de 5.4 mg/100 ml. Y su desviación estándar es de 2.5 ¿Cuál es la probabilidad de que un varón sano seleccionado al azar tenga un nivel de ácido úrico en el suero fuera del rango de 4 a 7 mg/100 ml?

16. La presión sanguínea media en hombres de 20 a 25 años de edad es 123 unidades con desviación típica de 13.7 unidades. Si se selecciona al azar uno de estos hombres, calcule la probabilidad de que su presión sanguínea esté comprendida entre 120 y 128 unidades. Suponer distribución normal

17. En una clínica del seguro social se establece que el periodo de hospitalización está distribuido normalmente con una media de 7.6 días y una desviación típica de 2.2 días. ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo que sea internado permanezca.

a) Por lo menos 4 días? b) A lo más 9 días?

18. Se sabe que el 5% de los libros encuadernados en cierto taller tienen encuadernación defectuosa. Calcúlese la probabilidad de que:

a) 2 de 100 libros terminados en este taller tengan una encuadernación defectuosa.

b) Menos de cuatro de 100 libros terminados en este taller tengan una encuadernación defectuosa.

19. Una compañía de seguros contra incendio tiene 3840 asegurados. Si la probabilidad de que alguno de ellos presente una reclamación en un año cualquiera es 1/1200. Calcule la probabilidad de que en un año cualquiera: a) Tres de los asegurados presenten una reclamación.

b) Por lo menos dos asegurados presenten una reclamación. c) A lo más dos asegurados presenten una reclamación.

20. En promedio, cierto estudiante puede resolver la mitad de los problemas que se le presenten; para aprobar es necesario solucionar 7 de 10 preguntas de un examen. ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante apruebe el examen?

21. Se observó en un centro recreacional en la costa que durante un período largo, el número promedio de días lluviosos en el mes de marzo era de 9. Con base en este promedio. ¿Cuál es la probabilidad de que llueva durante 4 días o más, durante una semana de vacaciones en el mes de marzo, en ese lugar?

22. Dada una distribución normal estandarizada con una media de 0 y una desviación estándar de 1. ¿Cuál es la probabilidad de que:

a) Z esté entre la media y +1.08?

b) Z sea menor que la media o mayor que +1.08? c) Z esté entre –0.21 y la media?

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Estadística - Mg. Rosa Padilla Castro

23. Los gastos mensuales de comida de familias de 4 miembros promedian S/480 con una desviación estándar S/160. Suponiendo que los gastos mensuales de comida se distribuyen normalmente:

a) Qué porcentaje de estos gastos son inferiores a S/350 b) Qué porcentaje de estos gastos están entre S/250 y S/350 c) Qué porcentaje de estos gastos están entre S/250 y S/450

24. Toby´sTrucking Company determino que sobre una base anual, la distancia viajada por camión se distribuye normalmente con una media de 50.0 mil millas y una desviación estándar de 12.0 mil millas.

a) ¿Qué proporción de camiones puede esperarse que viajen entre 34.0 y 50.0 mil millas al año?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un camión seleccionado aleatoriamente viaje entre 34.0 y 38.0 mil millas al año?

c) ¿Qué porcentaje de camiones puede esperarse que viajen menos de 30.0 o 60.0 mil millas al año? d) ¿Cuántos de los 1000 camiones de la flota se espera que viajen entre 30.0 y 60.0 mil millas al año? e) ¿Cuántas serán recorridas por al menos 80% de los camiones?

25. Un fisioterapeuta nota que las calificaciones que se obtienen en cierta prueba de habilidad manual están distribuidas aproximadamente en forma normal, con una media de 10 y una desviación estándar de 2.5. Si un individuo elegido al azar realiza la prueba, ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga una calificación de 15 o más? 26. En un estudio de huellas digitales, una importante característica cuantitativa es el número total de surcos para los

10 dedos de un individuo. Supóngase que los números totales de surcos de los individuos en cierta población están distribuidos aproximadamente en forma normal, con una media de 140 y una desviación estándar de 50. Hallar la probabilidad de que un individuo elegido al azar de esta población tenga un número de surcos:

a) De 200 a más b) Menor de 100 c) Entre 100 y 200 d) Entre 200 y 250.

27. Un psicólogo descubre que sujetos ¨normales¨ completan una tarea determinada en un periodo de 10 minutos. El tiempo requerido para completar la tarea está aproximadamente normalmente distribuido con una desviación típica de tres minutos. Hallar lo siguiente:

a) La proporción de sujetos normales que completan la tarea en menos de 4 minutos b) La proporción de sujetos que requieren más de 5 minutos para completar la tarea

c) La probabilidad de que un sujeto normal, a quién se le haya asignado la tarea, la complete en tres minutos. 28. Los puntajes en una prueba de aptitud escolar están normalmente distribuidos con una media de 600 y una

varianza de 10000

a) ¿Qué proporción de encuestados tiene un puntaje por debajo de 300?

b) Una persona va a presentar la prueba. ¿Qué probabilidad tiene de obtener un puntaje de 850 o más? c) ¿Qué proporción de puntajes estará entre 450 y 700?

29. Un contratista de producción afirma que puede renovar un comedor y una cocina de 200 pies cuadrados en 40 horas de trabajo, más o menos 5 (es decir la media y la desviación estándar, respectivamente). El trabajo incluye plomería, instalación eléctrica, armarios, revestimiento para el suelo, pintura y la instalación de nuevos accesorios. Suponiendo, de la experiencia anterior, que los tiempos para completar proyectos similares se distribuyen normalmente con una media y una desviación estándar como las estimadas anteriormente.

a) Cuál es la probabilidad de que el proyecto quede terminado en menos de 35 horas? b) Cuál es la probabilidad de que el proyecto quede terminado entre 28 y 32 horas después? c) Cuál es la probabilidad de que el proyecto quede terminado entre 35 y 48 horas después? d) 10% de tales proyectos requieran más de cuántas horas?

30. En una clínica del seguro social se establece que el periodo de hospitalización está distribuido normalmente con una media de 7.6 días y una desviación típica de 2.2 días. ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo que sea internado permanezca.

a) Por lo menos 4 días? b) A lo más 9 días?

31. Calcular la probabilidad de que una familia que tiene 4 hijos, tres de ellos sean varones. Rpta:0.25

32. Se ha pasado una prueba sobre fluidez verbal a un numeroso grupo de niños de una localidad socialmente deprimida, y se ha detectado que el 35% tiene fluidez verbal prácticamente nula; el resto se puede considerar aceptable. De una muestra aleatoria formada por 7 niños, hallar:

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Estadística - Mg. Rosa Padilla Castro

b) Calcular la probabilidad de que 4 de los 7 niños presente una fluidez verbal prácticamente nula

33. Un laboratorio afirma que una droga causa de efectos secundarios en una proporción de 3 de cada 100 pacientes. Para contrastar esta afirmación, otro laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que aplica la droga.

a) ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos? b) Ningún paciente tenga efectos secundarios. c) Al menos dos tengan efectos secundarios.

d) ¿Cuál es el número medio de pacientes que espera laboratorio que sufran efectos secundarios si elige 100 pacientes al azar?

34. La contaminación constituye un problema en la fabricación de discos de almacenamiento óptico. El número de partículas de contaminación que ocurre en un disco óptico tiene una distribución de Poisson y el número promedio de partículas por centímetro cuadrado de superficie del disco es 0.1. El área de un disco bajo estudio es 100 centímetros cuadrados.

a) Encuentre la probabilidad de que ocurran 12 partículas en el área del disco bajo estudio b) La probabilidad de que ocurran cero partículas en el área del disco bajo estudio

c) Determine la probabilidad de que 12 o menos partículas ocurran en el área del disco bajo estudio E(x)=100 cm x 0.1 partículas/ cm = 10 partículas

35. Si se contesta sin pensar un test de 10 preguntas en las que hay que contestar si es cierto o falso. ¿Cuál es la probabilidad de acertar el 70 % o más de las preguntas?, ¿y exactamente 7 de las 10 respuestas?

36. Una prueba de inteligencia consta de diez cuestiones cada una de ellas con cinco respuestas de las cuales una sola es verdadera .Un alumno responde al azar

a) ¿Cuál es la probabilidad de que responda al menos a dos cuestiones correctamente? b) ¿Cuál la de que responda bien a seis?

c) ¿Cuál la de que responda bien como máximo a dos cuestiones?

37. En un estudio estadístico sobre la altura de los españoles y de los ingleses. Se han obtenido los siguientes datos: Nacionalidad

Españoles Ingleses

Media 170.2 175.4

Desviación típica 6.4 5.9

a) ¿Quién es más alto en su país, un español que mide 177 cm o un inglés que mide 181 cm? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un español mida más de 180 cm?

c) ¿cuál es la probabilidad de que un inglés mida entre 160 y 170 cm? d) ¿Cuál es la probabilidad de que un español sea más alto que un inglés?

38. Una prueba de inteligencia consta de diez cuestiones cada una de ellas con cinco respuestas de las cuales una sola es verdadera .Un alumno responde al azar

a) ¿Cuál es la probabilidad de que responda al menos a dos cuestiones correctamente? b) ¿Cuál la de que responda bien a seis?

c) ¿Cuál la de que responda bien como máximo a dos cuestiones? P(A)=1/5=0.20=p

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