RANGO DE UNA MATRIZ

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(1)

1

EJERCICIOS DE MATRICES

RANGO DE UNA MATRIZ

1. Calcula el rango de la matriz

1 3 1 2

4 1 3 1

3 2 4 1

1 0 0 0

A

 

 

 

   

 

 

SOLUCIÓN

Obtener una matriz escalonada por filas

Se puede cambiar el orden de las filas de la matriz: F1F4

1 0 0 0

4 1 3 1

3 2 4 1

1 3 1 2

A

 

 

 

   

 

 

'

2 2 1

'

3 3 1

'

4 4 1

4 3

F F F F F F F F F

  

 

1 0 0 0

0 1 3 1

0 2 4 1

0 3 1 2

 

 

 

   

 

 

'

3 3 2

'

4 4 2

2 3

F F F F F F

  

 

 



1 0 0 0

0 1 3 1

0 0 10 1

0 0 10 1

 

 

 

 

 

 

 

Al ser F4   F3 rg A( )3

2. Calcula según valores de m el rango de la matriz

1 ( 1)

0 1

m m m m

A m m

m m m

 

 

 

  

 

SOLUCIÓN

Se escalona la matriz A:

F

2'

F

1

F

2

;

F

3'

F

1

F

3

1 ( 1)

0 1 ( 2)

0 0 ( 2)

m m m m

m m m

m m

 

 

 

 

; 2

0

( 1)( 2) 0 1

2 m

A m m m m

m   

    

  

Para m0

0 1 0

0 0 0

0 1 0

A

 

 

 

 

rg A( )1

Para m1

1 0 0 1 0 1 1 0 1 A

 

 

 

 

rg A( )2

Para m2

2 1 2 2 0 2 2 1 2 A

 

 

 

 

rg A( )2

(2)

2 3. Dada la matriz 2 2

2

1

1

1

A

m

m

m

m

m

m

 

a) Halla los valores del parámetro m para que el rango de A sea menor que 3.

b) Estudia si el sistema

1

1

1

x

A y

z

   

   

   

   

   

tiene solución para cada valor de m del

apartado (a) SOLUCIÓN

a) El determinante de la matriz se iguala a 0 para obtener los valores del parámetro m.

2 2 2 2

2

1 1 1

0

( 1) 0

1 m

A m m m m m

m m m m

 

     

  ;

Para 0 y 1 ( ) 3 Para 0 y 1 ( ) 3

m m rg A

m m rg A

  

b) El sistema de ecuaciones según valores de m, se escribe

 

1 1 1 1 1 1 1 1

Para 0 : 0 0 0 1 , * 0 0 0 1 , ( ) 1 , * 2

0 0 0 1 0 0 0 1

A

x

m y A rg A rg A

z

       

      

      

      

       

Sistema incompatible.

 

1 1 1 1 1 1 1 1

Para 1 1 1 1 1 , * 1 1 1 1 , ( ) 1 , * 1

1 1 1 1 1 1 1 1

A

x

m y A rg A rg A

z

       

      

      

      

       

Sistema compatible indeterminado al ser de igual rango la matriz del sistema y la ampliada pero menor que el número de incógnitas.

1 2

1

(1, 0, 0) 1

( 1,1, 0) , ( 1, 0,1) x

P x y z y

u u

z

   

   

 

      

  

  

OPERACIONES MATRICIALES

4. Resolver las cuestiones

a) Expresión general de las matrices A que satisfacen la ecuación

0 1 0 0 1

0 2 A 0 0 2

   

 

   

   

b) Halla todas las matrices A que conmutan con la matriz 0 1 0 2 B  

(3)

3 SOLUCIÓN

a) Sea la matriz A2 3 a b c

d e f

 

  

  ;

0 1 0 0 1

0 2 2 2 2 0 0 2

a b c d e f

d e f d e f

      

       

       

0

0 1

d

e f

       

Por tanto la matriz será

0 0 1 a b c A  

 

b) 0 1 0 1 0 2 0

0 2 0 2 2 2 0 2 2

a b a b c d a b c

c d c d c d c d a b d

 

         

 

        

          

0 2

a b

A

a b

 

 

 

5. Dada 1 0

1 1

A  

 , a) Obtener todas las matrices

X

que conmutan con

A

. b) Calcula la matriz

Y

que verifica

A Y

 

A

1

 

Y

I

2.

SOLUCIÓN

a) Las matrices que conmutan con A son tales que X A  A X

1 0 1 0

1 1 1 1

a b a b

c d c d

 

      

 

      

       obteniendo el sistema de ecuaciones

0 ;

a b a c d a c

b a d

b b d b d

       

 

   

    

 

Por tanto X a 0 : ,a c c a

  

 

 

b) Calcula la matriz

Y

que verifica

A Y

 

A

1

 

Y

I

2. 1

1 1 1 0

1; ;

0 1 1 1

t

AA  A  

  

   

1

1

1 1 1 1

2

A Y

 

A

  

Y

I

A

A

Y

  

I

Y

A

A

 

 

I

A

A

 

1 1 0 1 0 2 0

1 1 1 1 0 2

AA          

   

      ;

1 0 2

1 0

2 Y

 

 

  

 

 

 

6. Dada la matriz columna a

b

c

          

Obtener una matriz A mediante t

A  

(4)

4 SOLUCIÓN

2

2

2

t

a a ab ac

A b a b c ba b bc

c ac bc c

 

 

 

 

 

     

 

 

   

Por otra parte

2 2 2 1 a

a b c b a b c

c  

       

   

1 1 1

p veces

1

p

A

a a a a

A b a b c b a b c b a b c b a b c A

c c c c

       

       

       

       

       

;

p

A

A p

7. Dadas las matrices 2 3 ; 1 4

1 1 3 2

B C

   

Busca una matriz X tal que B X B  C SOLUCIÓN

1

2 3 1 3

1 1 1 2

BB  

   

1 1

1 3 1 4 1 3 6 20

1 2 3 2 1 2 5 15

B X B C X B C B X

 

      

  

       

   

  

       

6 20

5 15

X   

 

8. Sea 1 1 1 1

1 1 1 1

M   

 

 

a) Hallar las matrices MMt y M Mt

b) Hallar las matrices

MMt

n y

M Mt

n para n

SOLUCIÓN

(5)

5

2

1 1

1 1 1 1 1 1 4 0 1 0

4 ;

1 1 1 1 1 1 0 4 0 1

1 1

1 1 2 0 2 0

1 1 1 1 1 1 0 2 0 2

2

1 1 1 1 1 1 2 0 2 0

1 1 0 2 0 2

1 0 1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1 0 1

;

1 0 1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1 0 1

t

t

MM I I

M M J

J J

 

     

 

 

 

     

 

   

   

   

 

 

   

   

   

  

  

 

  

  

  

1 0 1 0

0 1 0 1 2 1 0 1 0

0 1 0 1

J

 

 

  

 

 

 

b) Hallar las matrices

MMt

n y

M Mt

n para n

En primer lugar:

2 2

=4I4I=4 I

t

MM

MMt

n=4 I n además J22J

2 2 2 2 3

3 3 4 2 4 5

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

t

t

M M J J J J J

M M J J J J J

   

    

2 1

2

n

t n

M M   J

POTENCIAS DE MATRICES

9. Halla la potencia n-ésima de la matriz

1 1 1 1 1 1 1 1 1 A

 

 

  

 

 

SOLUCIÓN

2

3 2 2 2

1 2 2 2 2 2 1

1 1 1 1 1 1 3 3 3 1 1 1

1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 3

1 1 1 1 1 1 3 3 3 1 1 1

3 3 3(3 ) 3 .

Suponer n 3n n 3n 3n 3n (3 ) 3n

A A

A A A A A A A A

A   A AA AAAA

      

      

  

      

      

      

      

1 3

n n

A   A

10. Dada la matriz

1

0

0

1

1

0

0

0

1

A

 

Se pide:

(6)

6

b) Razona si la matriz

A

n tiene inversa para

n

,

n

1

Calcula dicha inversa.

SOLUCIÓN a) Cálculo de

A

n

2

3

1 0 0 1 0 0 1 0 0

1 1 0 1 1 0 2 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1

1 0 0 1 0 0 1 0 0

2 1 0 1 1 0 3 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1

A

A

    

    

  

    

    

    

    

  

    

    

Suponer que se cumple hasta 1 1

1 0 0 1 0 0

1 1 0 1 0

0 0 1 0 0 1

n n n

An A AA n

   

   

  

   

   

1 0 0 1 0 0 0 1

n

A n

 

 

  

 

 

b) El determinante del producto de matrices es el producto de los determinantes

1

n

A  A A AA AA  Por tanto existe matriz inversa

 

1

1 0 0

1 0

0 0 1

n n

AAn

 

 

  

 

 

11. Dada la matriz

2 3

0 2

0 0

x x x

A x x

x

 

 

  

 

 

a) Mediante una ecuación matricial calcula totalmente simplificado An. b) Utilizando el resultado anterior calcula 1

A. ¿En que casos es posible?

SOLUCIÓN

1 0 0 0 2 3

0 1 0 0 0 2

0 0 1 0 0 0

A x x xI xN x I N

   

   

   

   

   

1 2 2 3 3

0 1 2 3

n

n n n n n n n n n n n

Ax INx  I   IN  IN   IN  

       

 

2

0 2 3 0 2 3 0 0 4

0 0 2 0 0 2 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

N

     

     

  

     

(7)

7 3

3

0 0 4 0 2 3 0 0 0

0 0 0 0 0 2 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

N

     

     

  

     

     

. Nilpotente de índice 3

1 0 0 0 2 3 0 0 4

( 1)

0 1 0 0 0 2 0 0 0

2

0 0 1 0 0 0 0 0 0

n n n n

A x n

     

     

     

 

2

2

13 3 4 2 (2 1)

2 n n

an   n  n n n ;

1 2 2 1

0 1 2

0 0 1

n n

n n n

A x n

 

 

 

 

En el caso

n

 

1

1

1 2 1

1

0 1 2

0 0 1

A x

 

 

 

 

Es posible siempre que

x

0

12. Sea la matriz

0 0 0 0

0 0

x

A y

z

 

 

  

 

 

a) Calcula 2 3 1

, , (para 0, 0, 0)

A A Axyz .

b) Calcula 1

, en función de y

k

A  k A A .

SOLUCIÓN

a) Calcula A2 ,A3 ,A1 (para x0,y0,z0).

2

3

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

x x xz

A y y xy

z z yz

xz x xyz

A xy y xyz xyzI

yz z xyz

    

    

  

    

    

    

    

  

    

    

3 2

AA  A xyzIA2  xyzA1

2 1

1

0 0

1 0 0

1

0 0

y

A A

xyz z

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(8)

8

3

3 3 1 3 2 2 1 1

( ) ; ( ) ; ( ) ( )

p p p p p p p

A xyzI

A xyz I Axyz A Axyz A xyzA

   

13. Dada la matriz

1

0

0

1

1

0

0

0

1

A

 

Se pide:

a) Encuentra la expresión general de la potencia n-ésima de A siendo n un número natural.

b) Razona si la matriz

A

n tiene inversa para

n

,

n

1

Calcula dicha inversa.

SOLUCIÓN a) Cálculo de

A

n

2

3

1 0 0 1 0 0 1 0 0

1 1 0 1 1 0 2 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1

1 0 0 1 0 0 1 0 0

2 1 0 1 1 0 3 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1

A

A

    

    

  

    

    

    

    

  

    

    

Suponer que se cumple hasta 1 1

1 0 0 1 0 0

1 1 0 1 0

0 0 1 0 0 1

n n n

An A AA n

   

   

  

   

   

1 0 0 1 0 0 0 1

n

A n

 

 

  

 

 

b) El determinante del producto de matrices es el producto de los determinantes

1

n

A  A A AA AA  Por tanto existe matriz inversa

 

1

1 0 0

1 0

0 0 1

n n

AAn

 

 

  

 

 

14. Sea k un número natural y sean las matrices

1 1 1 0

0 1 0 ; 1 ; 1 1 2

0 0 1 1

A B C

   

   

 

   

   

a) Calcula k

A

b) Halla la matriz X que verifique k

(9)

9 SOLUCIÓN

a) Calcula k

A

2

1 1 1 1 1 1 1 2 2

0 1 0 0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1

A

     

     

  

     

     

3

1 1 1 1 2 2 1 3 3

0 1 0 0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1

A

     

     

  

     

     

 

1

1 1 1 1 1 1 1 1

0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

k k

k k k k k k

A A

   

       

       

   

       

       

b) Halla la matriz X que verifique k

A   X B C

 

1

k k

A    X B C XA   B C

 

1

1 0

0 1 0 1 1 1 2

0 0 1 1

0 0 0 0

1 1 1 2 1 1 2

1 1 1 2

k

k k

X A B C

X

        

       

   

   

   

   

  

 

   

Comprobación:

1 0 0 0 0 0 0

0 1 0 1 1 2 1 1 2

0 0 1 1 1 2 1 1 2

0 0 0 0

1 1 1 2 1 1 2

1 1 1 2

k

k k

A X

B C

     

     

    

    

     

   

   

   

 

   

15. Se consideran las matrices

1 3 1 2

; 0

1 1 1

0 2

AB

 

 

 

   

 

donde  .

a) Encuentra los valores de  para que A B sea invertible b) Encuentra los valores de  para que B A sea invertible SOLUCIÓN

a) Encuentra los valores de  para que A B sea invertible

1 2 3 2

(1 2 ) (1 )(3 2 )

1 1

A B   A B   

 

 

         

 

2

2 3 2

(10)

10

Por lo que A B será invertible para cualquier otro valor del parámetro . b) Encuentra los valores de  para que B A sea invertible

2

4 1 3

2

2 2 2

B A

  

 

 

 

   

 

2 2

16 2 2 ( 3) 4 ( 3) 8 2 0

B A              

B ANO SERÁ INVERTIBLE PORQUE B A 0. SE ANULA EL DETERMINANTE B A PARA TODO VALOR DE .

16. Dada la matriz

0 2

1 0

1 m

A m

m m

 

 

 

 

a) Calcula los valores del parámetro m para los que A tenga inversa. b) Para m = 0 Calcula 3 1 9

; ;

A AA .

c) Para m = 0 Calcula la matriz

X

que verifica

A X

 

b

; siendo 2 1 1 b

           SOLUCIÓN

a) La matriz no tiene inversa si A 0.

2 2

0 2

2 No tiene inversa

1 0 2 0 2

2 Tiene inversa 1

m

m

A m m m

m

m m

   

        

   

b) Para m = 0. 2

0 0 2 0 0 2 0 2 0

1 0 0 1 0 0 0 0 2

0 1 0 0 1 0 1 0 0

A

     

     

       

    

     

3 2

0 2 0 0 0 2

0 0 2 1 0 0

1 0 0 0 1 0

A A A

   

   

      

  

   

2 0 0

0 2 0 2

0 0 2 I

 

 

 

 

 

; A3 2I

 

1

2

3 2 1

2 ; 2

A

A A A I A A I

     

 

1

0 1 0

0 0 1

1/ 2 0 0 A

 

 

 

 

 

3

 

3

9 3

2 8

AAII 9

8 0 0 0 8 0 0 0 8 A

 

 

  

 

 

(11)

11

 

1

0 1 0 2 1

0 0 1 1 1

1/ 2 0 0 1 1

X Ab

 

     

     

                

 

1 1 1 X

           

MATRICES ESPECIALES

17. Calcula la inversa de la matriz cos cos

sen A

sen

 

 

 

 

  comprobando que es una matriz ortogonal.

SOLUCIÓN

Esta matriz es ortogonal por tanto la inversa coincide con la traspuesta

1 cos

cos sen A

sen

 

 

   

 

Las matrices ortogonales tienen por columnas vectores unitarios tales que el producto escalar dos a dos de los vectores columnas es cero.

El determinante de una matriz ortogonal vale 1 ó -1:

2 1

1 1

t

A A   A AA AA   A  

18. Sea A una matriz invertible tal que A I 0 y A I 0. Demostrar que la matriz B es singular si se verifica: 1

A B A B

Solución

1 1 2

2

0 ( ) ( ) 0

( ) ( ) 0 0

A B A B A A B A A B A B B

A I B A I A I B

A I A I B B

 

            

          

       

Como B 0 la matriz B es singular.

19. 12. Sean A B, M2( ) tales que A es simétrica y B antisimétrica. Indica de forma razonada entre las siguientes matrices cuales son simétricas y cuales

antisimétricas:

 

2 2

) ; ) ; ) ; )

a A B  B A b A B  B A c A d B SOLUCIÓN

A es simétrica si t

AA ; B es antisimétrica si t

B  B

)

a A B  B A

A B  B A

t (A B )t(B A )tBtAtA Btt      B A A ( B)    (A B B A) Luego es antisimétrica.

)

b A B  B A

A B  B A

t (A B )t(B A )tBtAtA Btt      B A A ( B)(A B  B A) Luego es simétrica.

2 )

c A :

   

2 t t 2 2

(12)

12 2

)

d B :

   

2 2 2 2

( )

t t

BB  BB . Luego es simétrica

SOLUCIÓN

A es simétrica si t

AA ; B es antisimétrica si t

B  B

)

a A B  B A

A B  B A

t (A B )t(B A )tBtAtA Btt      B A A ( B)    (A B B A) Luego es antisimétrica.

)

b A B  B A

t ( )t ( )t t t t t ( ) ( )

A B  B AA B  B A BAA B      B A A BA B  B A Luego es simétrica.

2 )

c A :

   

A2 tAt 2 A2. Luego es simétrica

2 )

d B :

   

2 2 2 2

( )

t t

BB  BB . Luego es simétrica

20. Sea A una matriz idempotente. Demostrar que si B I A la matriz B es también idempotente y se verifica que A y B conmutan. Demostrar que si la matriz C2AI , entonces C es involutiva.

SOLUCIÓN

A es idempotente 2

AA ; B I A

 

2 2 2

2

BIA  I AIAA   I A B. Luego B es idempotente B2 B

A y B conmutan:

2 2

( )

A B   A I A  A A   I A AIA A  B A

A B  B A También

2

2

0

( ) 0

A B A I A A A A A

B A I A A A A A A           

         

C es involutiva si 2

CI ; 2



2

2 2 4 4 4 4

CA IA I  AA I  AA I I

21. Demostrar las siguientes propiedades de la matriz A de orden n a) A es involutiva y ortogonal  A es simétrica

b) A es involutiva y simétrica  A es ortogonal c) A es ortogonal y simétrica  A es involutiva SOLUCIÓN

Recordar: 2

1 Simétrica: Involutiva: Ortogonal:

t

t

A A

A I

AA

 

 

a) A es involutiva y ortogonal  A es simétrica

Involutiva: 2 1

A     I A A I A A ; Ortogonal 1 t t

A A  A A Simétrica b) A es involutiva y simétrica  A es ortogonal

(13)

13 c) A es ortogonal y simétrica  A es involutiva Ortogonal 1 t

A  A ; Simétrica: t 1

A  A A A Involutiva

22. Prueba que la matriz A es involutiva si y sólo si

I

n

A

n



I

n

A

n

0

n

SOLUCIÓN

Directo: Si A es involutiva se deduce que

I

A I



A

0



2 2

0

0

I I

I

A I

A

I

    

I A

A I

A

  

I

I

Recíproco: Si se verifica

I

A I



A

0

se deduce que A es involutiva



2

2 2

0

0

0

I

A I

A

 

I

A

A

A

 

A

I

por tanto involutiva

MATRIZ INVERSA

23. Halla la matriz inversa de

0 0 0 1

1 1 0 0

0 1 1 0

0 0 1 0

A

 

 

  

 

SOLUCIÓN

2 1

3 2

4 3

1 4

1 2 3 1

2 3 2

' ' ' '

' '

0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0

1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0

0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0

1 0 0 0 0 1 1 1

0 1 0 0 0 0 1 1

0 0 1 0 0 0 0 1

0 0 0 1 1 0 0 0

F F F F F F F F

F F F F F F F

A I

   

    

 

   

 

   

 

   

 

   

 

 

 

 

1 0 0 0 0 1 1 1

0 1 0 0 0 0 1 1

0 0 1 0 0 0 0 1

0 0 0 1 1 0 0 0

  

  

 

 

   

   

  

1

0 1 1 1

0 0 1 1

0 0 0 1

1 0 0 0

A

  

 

 

  

 

DETERMINANTES

24. Hallar en función de a el valor del Determinante

2 3 2

4 3 2

a a a a

a a a

a a

a  

(14)

14

1 1 1 1

2 3 2

4 3 2

a a a a

a a a

'

4 4 3

'

3 3 2

'

2 2 1

C C C C C C C C C

 

 

 

3

1 0 0 0

2 2 0 0

( 2)

3 1 2 0

4 1 1 2

a

a a a

a

a

  

 

  

25. Calcula el determinante de la matriz 4

,

ii

ij

a x A

a b i j

 

SOLUCIÓN

x b b b b x b b A

b b x b b b b x

 A cada columna restar la anterior

0 0

0 0

0 0

x b x b x b b x

b x b b x

b x b

 

 

Sumar a la primera fila las demás

3 0 0 0

0 0

0 0

x b

b x b b x

b x b b x

b x b

 

 

= 3

(x3 )(b x b )

26. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Si A es antisimétrica y n impar, hallar det

 

A

SOLUCIÓN

 

 

det A det At pero t

A  A, por tanto det

 

A det

 

At det(A) Se saca factor común -1 en cada una de las n filas de A:

det(A) ( 1) det( )n A

Por ser n impar resulta ( 1) n  1

det( )A det(A) ( 1) det( )n A  det( )A  det( )A 0

27. Dada la matriz AMn( ) cuyo determinante es 1 2

A   . Calcula: a) 3A ; b) 3

A ; c)

4A

1 Solución

a) 3 3 3 1

2

n n

A A  

  

(15)

15 b)

3

3 1 1

2 8

A    A A A A A A     

 

c)

 

1

2 1 2

1 1 1 1

4

1

4 4 2

2

2

n n n

A

A A

    

  

 

 

28. Halla el valor del Determinante

2 2 2

5 5 5

3 3 3

7 7 7

A a b c

a b c

Solución

Sacar factor: 5 en la 1ª fila, 3 en la 2ª fila y 7 en la 3ª fila y resulta un determinante de Vandermonde

2 2 2

1 1 1

5 3 7 105( )( )( )

A a b c b a c a c b

a b c

      

29. Halla el valor del Determinante

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

a A

b c

  Solución

Restar a todas las filas la 1ª y desarrollar por la 2ª fila

1 1 1 1

1 1 1 0 0 0

( 1) 0 0

0 0 0

0 0

0 0 0

a

A a b abc

b

c c

    

30. Resolver la ecuación

1 0 1

1 1 0

0

0 1 1

1 0 1

x x

x x

 

Solución

Sumar a la 1ª fila las demás:

1

restar a cada fila la 1ª Desarrollar por

2 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1

2 1 0 1 1 0 0 1 1 1

(2 ) (2 )

2 1 1 1 1 1 0 0 0

2 0 1 1 0 1 0 1 1 1

C

x

x x x x

x x

x x x x

x x x x

     

    

   

(16)

16

1 1 1

1 1

(2 ) 0 0 (2 )( ) (2 )( ) ( 2)

1 1

1 1 1

x

x

x x x x x x x x

x x

  

  

         

  

  

2

( 2)( 2) 0 x xx 

31. Sean A B, Mn( ) dos matrices congruentes. Demostrar que si A es simétrica B también lo es.

Solución

Dos matrices congruentes verifican: t

BP A P  . P es la matriz de paso

t

 

t

t t t t t t

BP A P  P A  PP A P  Luego B es también simétrica.

Se han aplicado las propiedades de la matriz traspuesta y el hecho de que una matriz simétrica coincide con su traspuesta.

32. Comprobar que dos matrices A B, Mn( ) semejantes tienen el mismo determinante.

Solución

Dos matrices semejantes verifican: 1

BP  A P. P es la matriz de paso

1 1 1

B P A P P A P A P A

P

 

         

Se ha aplicado que el determinante del producto de matrices es el producto de los determinantes y que el determinante de la inversa es el inverso del determinante.

33. Sea AMn( ) una matriz idempotente demuestra que su determinante vale 0 ó 1

Solución

La matriz idempotente verifica: 2 AA.

Además 2

0

1 0

1 A A A A A A A A A

A   

        

Figure

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