RANGO DE UNA MATRIZ

1

EJERCICIOS DE MATRICES

RANGO DE UNA MATRIZ

1. Calcula el rango de la matriz

1 3 1 2

4 1 3 1

3 2 4 1

1 0 0 0

A



 

 

 



   

 

 

SOLUCIÓN

Obtener una matriz escalonada por filas

Se puede cambiar el orden de las filas de la matriz: F₁F₄

1 0 0 0

4 1 3 1

3 2 4 1

1 3 1 2

A

 

 

 



   

 



 

'

2 2 1

'

3 3 1

'

4 4 1

4 3

F F F F F F F F F

  



 



 _{ }



1 0 0 0

0 1 3 1

0 2 4 1

0 3 1 2

 

 

 



   

 



 

'

3 3 2

'

4 4 2

2 3

F F F F F F

  

 

 



1 0 0 0

0 1 3 1

0 0 10 1

0 0 10 1

 

 

 



 

 

 

 

Al ser F₄   F₃ rg A( )3

2. Calcula según valores de m el rango de la matriz

1 ( 1)

0 1

m m m m

A m m

m m m

 

 

 

  

 _ 

 

SOLUCIÓN

Se escalona la matriz A:

F

₂'



F

₁



F

₂

;

F

₃'



F

₁



F

₃

1 ( 1)

0 1 ( 2)

0 0 ( 2)

m m m m

m m m

m m

 

 

 _{ } 

 

 _ 

 

; 2

0

( 1)( 2) 0 1

2 m

A m m m m

m   

     _ 

  

Para m0

0 1 0

0 0 0

0 1 0

A



 

 

 _ _ 

 

rg A( )1

Para m1

1 0 0 1 0 1 1 0 1 A

 

 

 _ _

 

rg A( )2

Para m2

2 1 2 2 0 2 2 1 2 A

 

 

 _ _

 

rg A( )2

2 3. Dada la matriz 2 2

2

1

1

1

A

m

m

m

m

m

m









 

_



_





a) Halla los valores del parámetro m para que el rango de A sea menor que 3.

b) Estudia si el sistema

1

1

1

x

A y

z

   

   

_

   

   

   

tiene solución para cada valor de m del

apartado (a) SOLUCIÓN

a) El determinante de la matriz se iguala a 0 para obtener los valores del parámetro m.

2 2 2 2

2

1 1 1

0

( 1) 0

1 m

A m m m m m

m m m m

 

   _{  }

  ;

Para 0 y 1 ( ) 3 Para 0 y 1 ( ) 3

m m rg A

m m rg A

  



 _{  }



b) El sistema de ecuaciones según valores de m, se escribe

 

1 1 1 1 1 1 1 1

Para 0 : 0 0 0 1 , * 0 0 0 1 , ( ) 1 , * 2

0 0 0 1 0 0 0 1

A

x

m y A rg A rg A

z

       

      

 _{    } _{ }  

 _{   }  

       

Sistema incompatible.

 

1 1 1 1 1 1 1 1

Para 1 1 1 1 1 , * 1 1 1 1 , ( ) 1 , * 1

1 1 1 1 1 1 1 1

A

x

m y A rg A rg A

z

       

      

 _{    } _{ }  

 _{   }  

       

Sistema compatible indeterminado al ser de igual rango la matriz del sistema y la ampliada pero menor que el número de incógnitas.

1 2

1

(1, 0, 0) 1

( 1,1, 0) , ( 1, 0,1) x

P x y z y

u u

z

   

   

 

   _  _{  }

  

  

OPERACIONES MATRICIALES

4. Resolver las cuestiones

a) Expresión general de las matrices A que satisfacen la ecuación

0 1 0 0 1

0 2 A 0 0 2

   

 

   

   

b) Halla todas las matrices A que conmutan con la matriz 0 1 0 2 B  _

3 SOLUCIÓN

a) Sea la matriz A_{2 3} a b c

d e f



 

  

  ;

0 1 0 0 1

0 2 2 2 2 0 0 2

a b c d e f

d e f d e f

  _  _  _ 

       

       

0

0 1

d

e f

       

Por tanto la matriz será

0 0 1 a b c A  _

 

b) 0 1 0 1 0 2 0

0 2 0 2 2 2 0 2 2

a b a b c d a b c

c d c d c d c d a b d

 

   _  _  _  

 

         _  _{ }

          

0 2

a b

A

a b

 

  _ 

 

5. Dada 1 0

1 1

A  _ 

 , a) Obtener todas las matrices

X

que conmutan con

A

. b) Calcula la matriz

Y

que verifica

A Y

 

A

1

 

Y

I

₂.

SOLUCIÓN

a) Las matrices que conmutan con A son tales que X A  A X

1 0 1 0

1 1 1 1

a b a b

c d c d

 

      

 

  _   _   

       obteniendo el sistema de ecuaciones

0 ;

a b a c d a c

b a d

b b d b d

       

 

   

_{  } _{  }

 

Por tanto X a 0 : ,a c c a

  

_{ }  _

 

 

b) Calcula la matriz

Y

que verifica

A Y

 

A

1

 

Y

I

₂. 1

1 1 1 0

1; ;

0 1 1 1

t

A  A _ _ A _ _

  

   









1





1

1 1 1 1

2

A Y

 

A



  

Y

I

A



A



Y

  

I

Y

A



A

 

 

I

A



A

 

1 1 0 1 0 2 0

1 1 1 1 0 2

AA _  _{ }  _{ }   _

   

      ;

1 0 2

1 0

2 Y



 

 

  



 

 

 

6. Dada la matriz columna a

b

c



          

Obtener una matriz A mediante t

A  

4 SOLUCIÓN





2

2

2

t

a a ab ac

A b a b c ba b bc

c ac bc c

 

 

 

 

 

  _{    }

 

 

   

Por otra parte





2 2 2 1 a

a b c b a b c

c  

       

   

















1 1 1

p veces

1

p

A

a a a a

A b a b c b a b c b a b c b a b c A

c c c c

       

       

_{ } _{   }  _{ } 

       

       

;

p

A



A p



7. Dadas las matrices 2 3 ; 1 4

1 1 3 2

B_ _ C_ _

   

Busca una matriz X tal que B X B  C SOLUCIÓN

1

2 3 1 3

1 1 1 2

B_ _B _ _ 

   

1 1

1 3 1 4 1 3 6 20

1 2 3 2 1 2 5 15

B X B C X B C B X

 

      

  

       

_{  } _{ } _{ } _

  

       

6 20

5 15

X   _ 

 

8. Sea 1 1 1 1

1 1 1 1

M   _

 

 

a) Hallar las matrices MMt y M Mt

b) Hallar las matrices



MMt



n y



M Mt



n para n

SOLUCIÓN

5

2

1 1

1 1 1 1 1 1 4 0 1 0

4 ;

1 1 1 1 1 1 0 4 0 1

1 1

1 1 2 0 2 0

1 1 1 1 1 1 0 2 0 2

2

1 1 1 1 1 1 2 0 2 0

1 1 0 2 0 2

1 0 1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1 0 1

;

1 0 1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1 0 1

t

t

MM I I

M M J

J J

 

 _ 

 _{ }    

_{ } _{ } _{ }

 

 

 _{ }    



 

   

 _{ } _  

   

_{  }_{ }

 

 

   



   

   

  

  

 

  

  

  

1 0 1 0

0 1 0 1 2 1 0 1 0

0 1 0 1

J

 

 

 _{ }

 

 

 

b) Hallar las matrices



MMt



n y



M Mt



n para n

En primer lugar:





2 2

=4I4I=4 I

t

MM 



_MMt



n=4 I n _{además J}2_2J









2 _{2 2 2 3}

3 _{3 4 2 4 5}

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

t

t

M M J J J J J

M M J J J J J

   

    





2 1

2

n

t n

M M   J

POTENCIAS DE MATRICES

9. Halla la potencia n-ésima de la matriz

1 1 1 1 1 1 1 1 1 A

 

 

  

 

 

SOLUCIÓN

2

3 2 2 2

1 2 2 2 2 2 1

1 1 1 1 1 1 3 3 3 1 1 1

1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 3

1 1 1 1 1 1 3 3 3 1 1 1

3 3 3(3 ) 3 .

Suponer n 3n n 3n 3n 3n (3 ) 3n

A A

A A A A A A A A

A   A A  A A  A  A  A

      

      

_{   } _ _{ }

      

      

      

      

1 3

n n

A   A

10. Dada la matriz

1

0

0

1

1

0

0

0

1

A









 

_



_





Se pide:

6

b) Razona si la matriz

A

n tiene inversa para

n



,

n



1

Calcula dicha inversa.

SOLUCIÓN a) Cálculo de

A

n

2

3

1 0 0 1 0 0 1 0 0

1 1 0 1 1 0 2 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1

1 0 0 1 0 0 1 0 0

2 1 0 1 1 0 3 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1

A

A

    

    

_{   } _

    

    

    

    

_{   } _

    

    

Suponer que se cumple hasta 1 1

1 0 0 1 0 0

1 1 0 1 0

0 0 1 0 0 1

n n n

A  n A A  A n

   

   

_  _  _{ }

   

   

1 0 0 1 0 0 0 1

n

A n

 

 

  

 

 

b) El determinante del producto de matrices es el producto de los determinantes

1

n

A  A A A  A A A  Por tanto existe matriz inversa

 

1

1 0 0

1 0

0 0 1

n n

A  A n

 

 

  _{ }

 

 

11. Dada la matriz

2 3

0 2

0 0

x x x

A x x

x

 

 

  

 

 

a) Mediante una ecuación matricial calcula totalmente simplificado An. b) Utilizando el resultado anterior calcula 1

A _{. ¿En que casos es posible?}

SOLUCIÓN





1 0 0 0 2 3

0 1 0 0 0 2

0 0 1 0 0 0

A x x xI xN x I N

   

   

 _{ } _{ }   

   

   





1 2 2 3 3

0 1 2 3

n

n n n n n n n n n n n

A x IN  x _{ } I  _{ }I N _{ }I  N  _{ }I  N  _

       

 

2

0 2 3 0 2 3 0 0 4

0 0 2 0 0 2 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

N

     

     

_{  } _{ } _

     

7 3

3

0 0 4 0 2 3 0 0 0

0 0 0 0 0 2 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

N

     

     

_{  } _{ } _

     

     

. Nilpotente de índice 3

1 0 0 0 2 3 0 0 4

( 1)

0 1 0 0 0 2 0 0 0

2

0 0 1 0 0 0 0 0 0

n n n n

A x n

     



     

 _{ } _{ } _{ }

     

_{     }

 

2

2

13 3 4 2 (2 1)

2 n n

a  n   n  n n n ;





1 2 2 1

0 1 2

0 0 1

n n

n n n

A x n



 

 

 _{ }

 

 

En el caso

n

 

1

1

1 2 1

1

0 1 2

0 0 1

A x





 

 

 _  _

 

 

Es posible siempre que

x



0

12. Sea la matriz

0 0 0 0

0 0

x

A y

z

 

 

  

 

 

a) Calcula 2 3 1

, , (para 0, 0, 0)

A A A x y z .

b) Calcula 1

, en función de y

k

A  k A A .

SOLUCIÓN

a) Calcula A2 ,A3 ,A1 (para x0,y0,z0).

2

3

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

x x xz

A y y xy

z z yz

xz x xyz

A xy y xyz xyzI

yz z xyz

    

    

_{   } _

    

    

    

    

_{   } _

    

    

3 2

A  A  A xyzI A2  xyzA1

2 1

1

0 0

1 0 0

1

0 0

y

A A

xyz z

x



 

 

 

 

 _{  }

 

 

 

 

8

3

3 3 1 3 2 2 1 1

( ) ; ( ) ; ( ) ( )

p p p p p p p

A xyzI

A xyz I A  xyz A A  xyz A xyz  A



   

13. Dada la matriz

1

0

0

1

1

0

0

0

1

A









 

_



_





Se pide:

a) Encuentra la expresión general de la potencia n-ésima de A siendo n un número natural.

b) Razona si la matriz

A

n tiene inversa para

n



,

n



1

Calcula dicha inversa.

SOLUCIÓN a) Cálculo de

A

n

2

3

1 0 0 1 0 0 1 0 0

1 1 0 1 1 0 2 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1

1 0 0 1 0 0 1 0 0

2 1 0 1 1 0 3 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1

A

A

    

    

_{   } _

    

    

    

    

_{   } _

    

    

Suponer que se cumple hasta 1 1

1 0 0 1 0 0

1 1 0 1 0

0 0 1 0 0 1

n n n

A  n A A  A n

   

   

_  _  _{ }

   

   

1 0 0 1 0 0 0 1

n

A n

 

 

  

 

 

b) El determinante del producto de matrices es el producto de los determinantes

1

n

A  A A A  A A A  Por tanto existe matriz inversa

 

1

1 0 0

1 0

0 0 1

n n

A  A n

 

 

  _{ }

 

 

14. Sea k un número natural y sean las matrices





1 1 1 0

0 1 0 ; 1 ; 1 1 2

0 0 1 1

A B C

   

   

_{ } _{ } 

   _

   

a) Calcula k

A

b) Halla la matriz X que verifique k

9 SOLUCIÓN

a) Calcula k

A

2

1 1 1 1 1 1 1 2 2

0 1 0 0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1

A

     

     

_{  } _{ } _

     

     

3

1 1 1 1 2 2 1 3 3

0 1 0 0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1

A

     

     

_{  } _{ } _

     

     

 

1

1 1 1 1 1 1 1 1

0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

k k

k k k k k k

A A 

   

       

       

_{  } _{ } _ _{ }

       

       

b) Halla la matriz X que verifique k

A   X B C

 

1

k k

A    X B C X  A   B C

 









1

1 0

0 1 0 1 1 1 2

0 0 1 1

0 0 0 0

1 1 1 2 1 1 2

1 1 1 2

k

k k

X A B C

X

        

   _{   } 

   _

   

   

   

_{ } _{ }

 _ _{  } 

   

Comprobación:





1 0 0 0 0 0 0

0 1 0 1 1 2 1 1 2

0 0 1 1 1 2 1 1 2

0 0 0 0

1 1 1 2 1 1 2

1 1 1 2

k

k k

A X

B C

     

     

 _{  } _{ } _

  _{  }  _{  } 

     

   

   

 _{ } _{ }

 _ _{  } 

   

15. Se consideran las matrices

1 3 1 2

; 0

1 1 1

0 2

A  B 

 

  _{ }

_{ } _{ }

 

   

 

donde  .

a) Encuentra los valores de  para que A B sea invertible b) Encuentra los valores de  para que B A sea invertible SOLUCIÓN

a) Encuentra los valores de  para que A B sea invertible

1 2 3 2

(1 2 ) (1 )(3 2 )

1 1

A B   A B   



 

 

 _{ }       



 

2

2 3 2

10

Por lo que A B será invertible para cualquier otro valor del parámetro . b) Encuentra los valores de  para que B A sea invertible

2

4 1 3

2

2 2 2

B A



  

 

 

 

   

 _{ } 

 

2 2

16 2 2 ( 3) 4 ( 3) 8 2 0

B A              

B A NO SERÁ INVERTIBLE PORQUE B A 0. SE ANULA EL DETERMINANTE B A PARA TODO VALOR DE .

16. Dada la matriz

0 2

1 0

1 m

A m

m m

 

 

 _{ }

 _ 

 

a) Calcula los valores del parámetro m para los que A tenga inversa. b) Para m = 0 Calcula 3 1 9

; ;

A A A .

c) Para m = 0 Calcula la matriz

X

que verifica

A X

 

b

; siendo 2 1 1 b

           SOLUCIÓN

a) La matriz no tiene inversa si A 0.

2 2

0 2

2 No tiene inversa

1 0 2 0 2

2 Tiene inversa 1

m

m

A m m m

m

m m

   

      _{  }

   

b) Para m = 0. 2

0 0 2 0 0 2 0 2 0

1 0 0 1 0 0 0 0 2

0 1 0 0 1 0 1 0 0

A



     

     

 _{  }  _{ }  _

 _   _   

     

3 2

0 2 0 0 0 2

0 0 2 1 0 0

1 0 0 0 1 0

A A A



   

   

  _   _{  }

   _ 

   

2 0 0

0 2 0 2

0 0 2 I

 

 _{ }

 

 

 

; A3 2I

 

1

2

3 2 1

2 ; 2

A

A A A I A A I



     

 

1

0 1 0

0 0 1

1/ 2 0 0 A



 

 

_  _

 

 

 

3

 

3

9 3

2 8

A  A  I  I 9

8 0 0 0 8 0 0 0 8 A

 

 

  

 

 

11

 

1

0 1 0 2 1

0 0 1 1 1

1/ 2 0 0 1 1

X A b

 

     

     

  _  _{    }   _{       }

 

1 1 1 X

      _{ }    

MATRICES ESPECIALES

17. Calcula la inversa de la matriz cos cos

sen A

sen

 

 

 

 _ 

  comprobando que es una matriz ortogonal.

SOLUCIÓN

Esta matriz es ortogonal por tanto la inversa coincide con la traspuesta

1 cos

cos sen A

sen

 

 

 _{ }  



 

Las matrices ortogonales tienen por columnas vectores unitarios tales que el producto escalar dos a dos de los vectores columnas es cero.

El determinante de una matriz ortogonal vale 1 ó -1:

2 1

1 1

t

A A   A A  A A A   A  

18. Sea A una matriz invertible tal que A I 0 y A I 0. Demostrar que la matriz B es singular si se verifica: 1

A B A B

Solución





1 1 2

2

0 ( ) ( ) 0

( ) ( ) 0 0

A B A B A A B A A B A B B

A I B A I A I B

A I A I B B

 

            

          

       

Como B 0 la matriz B es singular.

19. 12. Sean A B, M₂( ) tales que A es simétrica y B antisimétrica. Indica de forma razonada entre las siguientes matrices cuales son simétricas y cuales

antisimétricas:



 



2 2

) ; ) ; ) ; )

a A B  B A b A B  B A c A d B SOLUCIÓN

A es simétrica si t

A  A ; B es antisimétrica si t

B  B





)

a A B  B A



A B  B A



t (A B )t(B A )t BtAtA Bt t      B A A ( B)    (A B B A) Luego es antisimétrica.





)

b A B  B A



A B  B A



t (A B )t(B A )t BtAtA Bt t      B A A ( B)(A B  B A) Luego es simétrica.

2 )

c A :

   

2 t t 2 2

12 2

)

d B :

   

2 2 2 2

( )

t _t

B  B  B B . Luego es simétrica

SOLUCIÓN

A es simétrica si t

A  A ; B es antisimétrica si t

B  B





)

a A B  B A



A B  B A



t (A B )t(B A )t BtAtA Bt t      B A A ( B)    (A B B A) Luego es antisimétrica.





)

b A B  B A





t ( )t ( )t t t t t ( ) ( )

A B  B A  A B  B A B A A B      B A A B  A B  B A Luego es simétrica.

2 )

c A :

   

A2 t  At 2 A2. Luego es simétrica

2 )

d B :

   

2 2 2 2

( )

t _t

B  B  B B . Luego es simétrica

20. Sea A una matriz idempotente. Demostrar que si B I A la matriz B es también idempotente y se verifica que A y B conmutan. Demostrar que si la matriz C2AI , entonces C es involutiva.

SOLUCIÓN

A es idempotente 2

A  A ; B I A



 



2 2 2

2

B  I A  I A I  AA   I A B. Luego B es idempotente B2 B

A y B conmutan:





2 2

( )

A B   A I A  A A   I A A  I A A  B A

A B  B A También





2

2

0

( ) 0

A B A I A A A A A

B A I A A A A A A           



         

C es involutiva si 2

C I ; 2







2

2 2 4 4 4 4

C  A I A I  A  A I  A A I I

21. Demostrar las siguientes propiedades de la matriz A de orden n a) A es involutiva y ortogonal  A es simétrica

b) A es involutiva y simétrica  A es ortogonal c) A es ortogonal y simétrica  A es involutiva SOLUCIÓN

Recordar: 2

1 Simétrica: Involutiva: Ortogonal:

t

t

A A

A I

A A

 



 

 _



a) A es involutiva y ortogonal  A es simétrica

Involutiva: 2 1

A     I A A I A A ; Ortogonal 1 t t

A A  A A Simétrica b) A es involutiva y simétrica  A es ortogonal

13 c) A es ortogonal y simétrica  A es involutiva Ortogonal 1 t

A  A ; Simétrica: t 1

A  A A A Involutiva

22. Prueba que la matriz A es involutiva si y sólo si



I

_n



A

_n



I

_n



A

_n





0

_n

SOLUCIÓN

Directo: Si A es involutiva se deduce que



I



A I





A





0







2 2

0

0

I I

I



A I



A



I

    

I A

A I

A

  

I

I

Recíproco: Si se verifica



I



A I





A





0

se deduce que A es involutiva







2





2 2

0

0

0

I



A I



A

 

I



A



A



A

 

A



I

por tanto involutiva

MATRIZ INVERSA

23. Halla la matriz inversa de

0 0 0 1

1 1 0 0

0 1 1 0

0 0 1 0

A



 

_ 

 



  

 _ 

 

SOLUCIÓN





2 1

3 2

4 3

1 4

1 2 3 1

2 3 2

' ' ' '

' '

0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0

1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0

0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0

1 0 0 0 0 1 1 1

0 1 0 0 0 0 1 1

0 0 1 0 0 0 0 1

0 0 0 1 1 0 0 0

F F F F F F F F

F F F F F F F

A I

   

    

 

   

_   _ 

   

_{ }  _{ }

 

   

 

   

 

 _

 

 

 

1 0 0 0 0 1 1 1

0 1 0 0 0 0 1 1

0 0 1 0 0 0 0 1

0 0 0 1 1 0 0 0

  

  

  _{ } 

_ 

   

   



  

1

0 1 1 1

0 0 1 1

0 0 0 1

1 0 0 0

A

  

 

 _{ } 

 



  

_ 

 

DETERMINANTES

24. Hallar en función de a el valor del Determinante

2 3 2

4 3 2

a a a a

a a a

a a

a  

14

1 1 1 1

2 3 2

4 3 2

a a a a

a a a

'

4 4 3

'

3 3 2

'

2 2 1

C C C C C C C C C

 

 

 

3

1 0 0 0

2 2 0 0

( 2)

3 1 2 0

4 1 1 2

a

a a a

a

a 

  

 

  

25. Calcula el determinante de la matriz ₄

,

ii

ij

a x A

a b i j 



  _{ } 

SOLUCIÓN

x b b b b x b b A

b b x b b b b x

 A cada columna restar la anterior

0 0

0 0

0 0

x b x b x b b x

b x b b x

b x b



 

 



Sumar a la primera fila las demás

3 0 0 0

0 0

0 0

x b

b x b b x

b x b b x

b x b



 

 



= 3

(x3 )(b x b )

26. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Si A es antisimétrica y n impar, hallar det

 

A

SOLUCIÓN

 

 

det A det At pero t

A  A, por tanto det

 

A det

 

At det(A) Se saca factor común -1 en cada una de las n filas de A:

det(A) ( 1) det( )n A

Por ser n impar resulta ( 1) n  1

det( )A det(A) ( 1) det( )n A  det( )A  det( )A 0

27. Dada la matriz AM_n( ) cuyo determinante es 1 2

A   . Calcula: a) 3A ; b) 3

A ; c)



4A



1 Solución

a) 3 3 3 1

2

n n

A A  

   _ _

15 b)

3

3 1 1

2 8

A    A A A A A A   _ _  

 

c)





 

1

2 1 2

1 1 1 1

4

1

4 4 2

2

2

n _n n

A

A A







    

 _{ } 

 

 

28. Halla el valor del Determinante

2 2 2

5 5 5

3 3 3

7 7 7

A a b c

a b c



Solución

Sacar factor: 5 en la 1ª fila, 3 en la 2ª fila y 7 en la 3ª fila y resulta un determinante de Vandermonde

2 2 2

1 1 1

5 3 7 105( )( )( )

A a b c b a c a c b

a b c

      

29. Halla el valor del Determinante

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

a A

b c 



  Solución

Restar a todas las filas la 1ª y desarrollar por la 2ª fila

1 1 1 1

1 1 1 0 0 0

( 1) 0 0

0 0 0

0 0

0 0 0

a

A a b abc

b

c c

    

30. Resolver la ecuación

1 0 1

1 1 0

0

0 1 1

1 0 1

x x

x x 



 



Solución

Sumar a la 1ª fila las demás:

1

restar a cada fila la 1ª Desarrollar por

2 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1

2 1 0 1 1 0 0 1 1 1

(2 ) (2 )

2 1 1 1 1 1 0 0 0

2 0 1 1 0 1 0 1 1 1

C

x

x x x x

x x

x x x x

x x x x



     

    

   

16





1 1 1

1 1

(2 ) 0 0 (2 )( ) (2 )( ) ( 2)

1 1

1 1 1

x

x

x x x x x x x x

x x

  

  

         

  

  

2

( 2)( 2) 0 x x x 

31. Sean A B, M_n( ) dos matrices congruentes. Demostrar que si A es simétrica B también lo es.

Solución

Dos matrices congruentes verifican: t

BP A P  . P es la matriz de paso





t

 

t

t t t t t t

B  P A P  P A  P P A P  Luego B es también simétrica.

Se han aplicado las propiedades de la matriz traspuesta y el hecho de que una matriz simétrica coincide con su traspuesta.

32. Comprobar que dos matrices A B, M_n( ) semejantes tienen el mismo determinante.

Solución

Dos matrices semejantes verifican: 1

BP  A P. P es la matriz de paso

1 1 1

B P A P P A P A P A

P

 

         

Se ha aplicado que el determinante del producto de matrices es el producto de los determinantes y que el determinante de la inversa es el inverso del determinante.

33. Sea AM_n( ) una matriz idempotente demuestra que su determinante vale 0 ó 1

Solución

La matriz idempotente verifica: 2 A A.

Además 2





0

1 0

1 A A A A A A A A A

A   

      _{  }