Los apuntes que ellos no quieren que sepas de

Un Resumen Comprensivo

De

Matemática III

WhittiLeaks

Nota sobre notación y símbolos:

Si

S

es una superficie que contiene un volumen V S/ V (como un globo que contiene helio) entonces podríamos considerar

S

la frontera de

V

. Esto lo denotamos como



V

(la frontera de

V

), donde

S

 

V

.

Similarmente, tenemos el interior de

V

, lo que denotamos como V 

. El interior de

V

excluye

S

, ósea, no contiene su frontera. Entonces tenemos V V V



 

Se usará la notación _Cn _{para funciones que son derivables}

nveces y aun son continuas. El tema de Parametrizaciones se encuentra al final.

Nota sobre Version : Un incremento en la letra de la version (a,b,c...) indica un cambio o que se agrego contenido. Un incremento al numero de version indica una correccion critica al contenido.

Agradecimientos: Al grupo de whatsapp Física 2 & Mate 3

Enviar correcciones, sugerencias para demostraciones a pwhittingslow@itba.edu.ar

 Y (And)

 O (Or)

 Es idéntico a

 Pertenece a/Es un elemento de

 _{Es un subespacio de}

v

Sombrero de vector unitario

Continuidad

Si

f

es continua en

x

₀ entonces: 0

0

lim ( )

( )

xx

f

x



f

x

Que se puede probar mediante la definición rigurosa o T. del sándwich donde la definición rigurosa en 2 es:

 

0 0

0 0

( , )x ylim(x y, )f x y( , )L     0  0 0 ( , ) (x y  x y, )  f x y( , ) L 

Se usa la notación

C

npara funciones que son derivables n veces con continuidad. 0

f C



f

continua Matriz Jacobiana

f

 

grad

f

es para funciones escalares

f

:

n



Donde

1 2

, , ,

n

f f f

f

x x x

   

  _{  } 

  es el gradiente de

f

.

0

( )

f x



apunta en la dirección que

f

aumenta más rápido en

x

₀,



f x

( )

₀ en la dirección que

f

decrece más rápido en x0(Si

1

fC ).

: n m; 2

g  m 



1 n m

m g

Dg g





 

 

_{ } _ 

 

Dg

es la matriz Jacobiana de

g



Dg

 

g



Diferenciabilidad

Diremos que

f

diferenciable



f

dif

Sea _{f U}:  n  _;

0 x U







f dif en x0

0

0 0 0

( ) ( )

0

( ) ( ) ( )( )

0

lim

x x

f x f x f x x x x x



  

 



, f f x y

 

  continuas en x0



f

difenx0



Si 1

f



C

en 2

U





f

dif en U Si

f

dif en x₀ f , f

x y

  

 



en x₀ Diferenciabilidad



Continuidad

Plano Tangente a

f

enx₀:

0 0

0 0 0

( ) ( )

( ) ( )

( )

x f x x x f x y y

x y

z

f

   

 





Regla de la Cadena

Supongamos que

f

es función de y y₁, ₂...y_n donde cada y está en función dex, entonces:

1 2

1 2

...

n

n

y

y

y

df

f

f

f

dx

y

x

y

x

y

x



















 









Sean g: n  m; f : m  p,dif enx₀ y y₀ respectivamente donde g x( 0) y0, entonces





( 0) ( 0) ( 0)

D f g x Df y Dg x

Teorema: Si 0

gC enx₀, 0

f C en

y

0



f

g



C

0 Si

g

dif enx0,

f

dif eny0



f

g

dif en x0 Relación con Gradiente: f : n  ,h t( ) f





( )t



entonces:

dh

f



( ) . ( )

t



t

dt

 







Derivada Direccional

Sea 2

:

f  , entonces la derivada direccional en la dirección v(unitario) en el punto x0 está dada por:

0 0

0 0

(

)

( )

( )

lim

f x

v

f x

f

x

v













_





La derivada direccional también está dada por:

f

dif enx0

0

0 ( )

( ). . cos

f x

f x v f v

v





    



donde



es el ángulo entre vyf x( 0)

Caso Especial: Hay funciones "malas" que tienen derivada direccional en todas las direcciones, pero carecen de continuidad y diferenciabilidad. En estos casos 0

0

( )

( ).

f x

f x

v

v



_{ }



La clásica "mala"

2

4 2 ( , ) (0, 0) ( , )

0 ( , ) (0, 0) x y

x y f x y x y

x y



 

 

 _

Integrales de Línea

Cparametrizada por



/C:





:[ , ]a b  n



Decimos que es parametrización es regular si





C

1 Si



es continua pero su derivada no lo es en punto(s) aislados





regular a trozos (se separa en

parametrizaciones regulares)

Ecuaciones para una curva parametrizada por ( ) :[ , ]t a b n





Longitud: a ( )

b



 t dt



_

Masa: a



( )



( )

b

m



 

t



t dt; _ ( )t__x t y t z t( ), ( ), ( )_



es la densidad





0 siempre Baricentro: Ver Tabla de Momentos

Área Telón: f x y( , )0sobre C; 2 ( ) :[ , ]t a b







( )



( )

b

C a

A



fds



f



t



 t dt

Teorema:



( ) :[ , ]t a b  n,

( ) :[ , ]

n

t

c d





Ambas C1y parametrizaciones de la misma curva



( ) ( )

a c

b



t dt d



u du



_

_

Teorema:



( ) :[ , ]t a b  n,



( ) :[ , ]

t

c d



n

Ambas C1a trozos y parametrizaciones de la misma curva



; f : n  sobre C, entonces:



( )



( ) ( ) ( )

a c

b f



t



 t dt d f 



u 



u du



_

_

Momento Estático (1er Orden)

Momento de Inercia

2

( ) ( , )

( ) ( , )

x _A

y _A

M A y x y dS

M A x x y dS

   





2 2 ( ) ( , ) ( ) ( , ) x _A y _A

I A y x y dS

I A x x y dS

   





3 ( ) . ( ) . ( ) . yz _V xz V xy V

M V x dV

M V y dV

M V z dV

     







2 2 2 2 2 2 ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ). x _V y V z V

I V y z dV

I V x z dV

I V x y dV

        







Integral Doble 2 : ;

f R  Run rectángulo con dimensiones [ , ] [ , ]a b  c d

: ( , ) 0 ( , )

S f x y

 

x y

 

R

El volumen debajo de S es: c a _{( , )}

d b

f x y dxdy

 

Región de integración: Se debe poder representar como un tipo de región:

2

1

( )

( )

( , )

a g x

b g x

f x y dydx

 

(Región tipo 1)

2

1

( )

( )

( , )

c y

d y

f x y dxdy





 

(Región tipo 2)

Cambio en el orden de integración: Si

D

es una región tipo 3 (se puede representar como tipo 1 o tipo 2)

2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( )

( , )

( , ) c y d y

a g x

b g x

f x y dydx

f x y dxdy

 





_{ }

_{ }

Sea

T

:

2  2una transformación 1

C dada por

x( , )u v  y( , )u v; ( , )x y D u v;( , )D*

Área de

*

Ddxdy D J dudv

D









Donde

es el Jacobiano de la transformación

T

Sea T*: *D D, el Jacobiano de

T

*

que lleva las coordenadas a (x,y) de vuelta es igual a J 1 Info Tabla de Momentos: mmasa

Baricentro( , , )x y z ;dSdxdy;dV dxdydz;



es la densidad (





0

)

Momento de Inercia respecto eje

de coordenadas (M. Polar) Baricentro

2 2 2

0( ) _A( )

I A 



x y



dS

( ) ( ) y x M A x m M A y m  

3 2 2 2

0( ) _V( )

I V 



x y z 



dV

Integral Triple

     



3



2 1 2 1

/ ( ) ( ) ( , ) ( , )

x a x b y y y x y z x y

D          

D

es una región que permite integral triple, cualquier región que tenga este formato lo permite. Tal vez otra región se puede representar con

z

en lugar de x y x en lugar de

z

etc.





1 1 1

2 2 2

( ) ( , ) ( ) b

1 2

( ) ( , ) ( )

vol( )= ( , ) ( , )

y x y b y

a y x y a y

D dzdydx x y x y dydx

  

  

 

 

  

 

Sea 3 3

:

T W   una transformaciónC1:

( , , )

: ( , , )

( , , )

u v t

x u v t T y u v t J

u v t

z u v t

u v t



















_

_

_

      



  

  

 _{  }

 

 _{  }

  



Sea

D

*

la región transformada después de aplicada la transformación a la región

D

*

( , , ) ( , , )

Df x y z dxdydz  D f

  

J dudvdt



_

_

3

:

; ( , , )

0

f D 



x y z



la densidad de masa ( , , )

D

m





x y z dxdydz es la masa del "solido"

Integrales de Funciones Vectoriales sobre Superficies

Buscamos el flujo a través de una superficieS, definida

como:



u v



S S

F ndS   F   dudv





*Ver orientación

Tenemos la superficie S orientada y definida en

A

; Su

parametrización inyectiva 2 2

:U

   ; y la

función vectorial _{F A:}  3 3





( , )u v ( , ), ( , )u v  u v

  ;

, ; ,

u v

u u v v

   

   

   

 _{ }  _{ }

   

   

Orientación: Una superficie orientada tiene dos lados, un lado exterior/positivo, y un lado interior/negativo. Si la parametrización elegida invierte la orientación (uno puede fijarse inspeccionando el vector normal dado por

u v

  ) entonces basta multiplicar la integral por -1 para obtener la orientación deseada.

Teorema: Dado



:D 2  3que parametriza S, dado



( , )u v 





( , ), ( , ), ( , )u v



u v



u v







dif

( , ); ( , ); ( , )u v u v u v







 dif

Propiedad:

1 2

0

S S

F

F ndS

F ndS

 



_





_



Donde S2 es una superficie contenida enS1/S2sea una zona 'hueca' de S₁ (Se usa en la ley de Gauss)

Integral de Campo Escalar sobre Superficie

0

f C sobre una superficie S; 2 3 :D



  una

parametrización de S

. [ ( , )] _{u v}

S S

f dS  f



u v

 

 dudv



_

_

Divergencia y Rotor de un Campo Vectorial

x

y

z











  

_

_

_







es el operador nabla en

3

3 3

1 2 3

:

/

( ,

,

)

F



F



F F F

un campo vectorial 1 C , denominamos divergencia de F como:

3

1 2

div

F

F

F

F

F

x

y

z







 













; y el rotor de F :

3 2 1 3 2 1

rotF F F F , F F , F F

y z z dx x y

      

  _    _

     

 

Si F 0



Fes solenoidal (incompresible) Consecuencia de Campo de Gradientes: Sea

3 3

:

G A  ;

A

siendo un conjunto

simplemente conexo



rotG(0, 0, 0)



Ges campo de gradientes

Teorema: 2 2 3

/ :

f C f 

   tenemos que

 

f rot grad



f



(0, 0, 0)

    

Teorema: 2 3 3

/ : F C F

   tenemos que



F



div rot F 0

Teorema de la Divergencia de Gauss

Sea



una región elemental en 3

;Denotamos  como la frontera que acota a



con normales salientes.

1

FC , definido en  



div

F ndxdy

Fdxdydz













Esto representa el Flujo de Fa través de  Teorema de Gauss en el Plano

Sea

D

una región de tipo 3 en 2;FC1en

D

2

F ; Sea



la curva que acota

D

/

  

D

div

D

F ndt

Fdxdy









_

_

Ley de Gauss

Sea V una región elemental en 3; V orientada con normales salientes; (0, 0, 0) V;r( , , )x y z

3 3

: (0, 0, 0)

F _  _ , F r₂

r donde r r ;

r r 

r

2

4

si (0, 0, 0)

0

si (0, 0, 0)

V V

V

r n

F dS

dS

V







 



_











_{ }



_







_r

Teorema de Stokes

Sea Suna superficie orientada; La curva   S orientada positivamente;FC1 en S 

rot

S

F tdS

F ndS











_

_

El teorema de Stokes vincula la circulación a lo largo de



con TODA superficie que tenga



como borde (dado el mismo campo vectorial)

Teorema de Green

Sea Quna región del tipo 3 en 2 y sea la curva C Q orientada positivamente;

F



( ,

F F F

1 2

,

3

)

;

1

FC

2 1

C Q

F

F

F tdS

dxdy

x

y















_



_













Campos Conservativos

Diremos



f independiente del camino



f ind

: n n( 2,3)

F A  n ; 



:A n /

F F





 

es campo de gradientes/conservativo



es la primitiva de F y se le dice función potencial Teorema Fundamental para Integrales de Línea:

: n n

F A  ; FC0 en

A

;x0A Si

0

( )

x

x

F tdS







x





La integral es ind x A





es la función potencialC1



( )

x



F x( ) Corolario para Campos conservativos: Si la integral de

línea de F es ind



0

C

F tdS F tdS

    





La curva Cva de un punto aa un punto b y



va del punto ba el punto a(ambos pertenecen al intervalo de definición de

F

) A partir de esto podemos deducir que una integral de una curva cerrada siempre nos va dar 0

Teorema Fundamental del Calculo Vectorial:

: n n

F A  ;FC0;x x1, 2A;



/ 



F

2

1 2 1

( )

( )

x

x

F tdS







x





x



_

0 es ind F

F tdS F tdS



 _{ } 

 _{  } 

  





Si se cumple una, se cumplen todas

Consecuencia de Campo Gradiente en 3:

1

1 2 3

;

( ,

,

)

F



C F



F F F

y sea

1 1 1

2 2 2

3 3 3

F F F

x y z

F F F

DF

x y z

F F F

x y z

   

 _{  } 

 

   

  _{  } 

 

   

 _{  } 

 

Si 2

/ F

D

F simetrica ( C )







  



 , y vale la

Condición necesaria en 2:

F



( ,

F F

1 2

)



C

1; Si

F

es campo gradiente

F

1

F

2

y

x



_









Matriz Hessiana en 2

2 :

f U   ; 2

f C en x0



el hessiano de

f

en x0es:

 

2 2

2

0 _{2 2}

0 2 ( )

f f

x y x Hf x

x

f f

x y y

     _{  }      _{ }        



0



det Hf x( )

 

Teorema: 2

:

f U   ; 2

f C en x₀;x₀ punto crítico de f



2 0 0 2 2 0 0 2 0

( ) 0

0

( ) 0

0 es punto silla 0

Max relativo en

Min relativo en

El criterio no decide

f x x x f x x x x   _  _{ }     _ _  _{ }  _{ }   _{ }     









Definición: f U:  n  ;

f

dif

en

U

;x0U; 0

( ) 0

f x

 



x0es punto crítico de f

Teorema: : n

f U   ;

f

dif

en

U

;x0U es extremo local



f x( ₀)0

Multiplicadores de Lagrange

Teorema del multiplicador de Lagrange:

: n

f A  ; : n

A

g

  ; ambas C(son suaves); x0A g x/ ( 0)c;Sea S c: g x y( , ,...) un conjunto de nivel; Suponemosg x( )0 0Si f restringida a

S

tiene un max/min en

S

0 0

/ f x( ) g x( )





   



Parametrizaciones Curva/Línea: 2

:

( )

( )

( )

x

t

y

f x

t

y

f t











_{ }





domxdomt

Para 3buscas que te quede todo en función de una variable dentro lo posible, tal vez haga falta un cambio de variable. Ejemplo básico abajo:

( ) ( ) ( ) ( ( ), , ( )) dom dom

zh y  x  y  t   t t h t y t

Recta 2 3_de 0 P a P1:

0 1 0

( )t P t P( P);t[0,1]

Elipse:

2 2

2 2

cos

1

( )

;

[0, 2 ]

sen

x

a

t

x

y

t

t

y

b

t

a

b











 



_{ }





Hipérbola donde a es positivo:

2 2

2 2 1

x y

a b 

cosh

cosh

( )

; ( )

;

senh

senh

x

a

t

x

a

t

t

t

t

y

b

t

y

b

t







_









_

 











Donde



es el lado xpositivo y



lado negativo. Superficies:

Circunferencia de radio

r

centrada en ( ,x y0 0): 0

2 2 2

0 0

0

cos [0, 2 ]

( ) ( ) ( , )

sen [0, ]

x x t t

x x y y r t

y y t r

            _{ }      

J r

constante Línea de Circunferencia

Polares / 2 2 2

cos

: ( , ) sin

( , ) x

x y y

z







 

      _     r r Cónica:

2 2 2

( , )

( cos sen ) 2

x y z

n n                    Paraboloide:

2 2 2

2 2 2

( , )

(2 cos 2 sen , ) 4 1

x y z

Volúmenes:

Esfera centrada en(0, 0, 0): x2y2z2 R

cos sen

[0, ]

( , , )

sen sen

[0, 2 ]

cos

[0, ]

x

R

S

y

z





 

  





 











 











_



_





_

_

_





2_sen

J 







constante nos da la parametrización superficial de la esfera.

Demostraciones

Ley de Gauss

(0, 0, 0)V ;  F 0



tomamos una superficie dentro de la región elementalSea S( )



una bola de radio



centrada en (0, 0, 0)



su normal es

r

Como

F

solenoidal

( )

V

F ndS

S

F ndS











_

_

2 2 2

( ) ( ) ( )

Int. superfice de S( )

1

1

S S S

r

ndS

dS

dS

  















_r





2 2 1

4



4 QED





 

Probar

      

(

)

2 2 /  C2

x

(

)

div(

,

_y

,

_z

)

  

   

Regla cadena

2 2 2

x xx y yy z zz

            

2 2

2

2 2 2 2

( xx yy zz) x y z

   

                 

Nota:  C2; Si



es Armónica



  2 0

Probar rot

 





(0, 0, 0)  



C2; :



3,2

2 2 2 2 2 2

rot , , , ,

x y z y z z y z x x z y x x y

          

         

_    _

_{  }  _{           }

   