Los apuntes que ellos no quieren que sepas de

Texto completo

(1)

Un Resumen Comprensivo

De

Matemática III

WhittiLeaks

(2)

Nota sobre notación y símbolos:

Si

S

es una superficie que contiene un volumen V S/ V (como un globo que contiene helio) entonces podríamos considerar

S

la frontera de

V

. Esto lo denotamos como

V

(la frontera de

V

), donde

S

 

V

.

Similarmente, tenemos el interior de

V

, lo que denotamos como V 

. El interior de

V

excluye

S

, ósea, no contiene su frontera. Entonces tenemos V V V

 

Se usará la notación Cn para funciones que son derivables

nveces y aun son continuas. El tema de Parametrizaciones se encuentra al final.

Nota sobre Version : Un incremento en la letra de la version (a,b,c...) indica un cambio o que se agrego contenido. Un incremento al numero de version indica una correccion critica al contenido.

Agradecimientos: Al grupo de whatsapp Física 2 & Mate 3

Enviar correcciones, sugerencias para demostraciones a pwhittingslow@itba.edu.ar

 Y (And)

 O (Or)

 Es idéntico a

 Pertenece a/Es un elemento de

Es un subespacio de

v

Sombrero de vector unitario

(3)

Continuidad

Si

f

es continua en

x

0 entonces: 0

0

lim ( )

( )

xx

f

x

f

x

Que se puede probar mediante la definición rigurosa o T. del sándwich donde la definición rigurosa en 2 es:

 

0 0

0 0

( , )x ylim(x y, )f x y( , )L     0  0 0 ( , ) (x yx y, )  f x y( , ) L

Se usa la notación

C

npara funciones que son derivables n veces con continuidad. 0

fC

f

continua Matriz Jacobiana

f

 

grad

f

es para funciones escalares

f

:

n

Donde

1 2

, , ,

n

f f f

f

x x x

   

  

  es el gradiente de

f

.

0

( )

f x

apunta en la dirección que

f

aumenta más rápido en

x

0,



f x

( )

0 en la dirección que

f

decrece más rápido en x0(Si

1

fC ).

: n m; 2

gm 

1 n m

m g

Dg g

 

 

 

 

Dg

es la matriz Jacobiana de

g

Dg

 

g

Diferenciabilidad

Diremos que

f

diferenciable

f

dif

Sea f U:  n;

0 x U

f dif en x0

0

0 0 0

( ) ( )

0

( ) ( ) ( )( )

0

lim

x x

f x f x f x x x x x

  

 

, f f x y

 

  continuas en x0

f

difenx0

Si 1

f

C

en 2

U

f

dif en U Si

f

dif en x0 f , f

x y

  

 

en x0 Diferenciabilidad

Continuidad

Plano Tangente a

f

enx0:

0 0

0 0 0

( ) ( )

( ) ( )

( )

x f x x x f x y y

x y

z

f

   

 

Regla de la Cadena

Supongamos que

f

es función de y y1, 2...yn donde cada y está en función dex, entonces:

1 2

1 2

...

n

n

y

y

y

df

f

f

f

dx

y

x

y

x

y

x

 

Sean g: nm; f : mp,dif enx0 y y0 respectivamente donde g x( 0) y0, entonces

( 0) ( 0) ( 0)

D f g xDf yDg x

Teorema: Si 0

gC enx0, 0

fC en

y

0

f

g

C

0 Si

g

dif enx0,

f

dif eny0

f

g

dif en x0 Relación con Gradiente: f : n  ,h t( ) f

( )t

entonces:

dh

f

( ) . ( )

t

t

dt

 

Derivada Direccional

Sea 2

:

f  , entonces la derivada direccional en la dirección v(unitario) en el punto x0 está dada por:

0 0

0 0

(

)

( )

( )

lim

f x

v

f x

f

x

v

La derivada direccional también está dada por:

f

dif enx0

0

0 ( )

( ). . cos

f x

f x v f v

v

    

donde

es el ángulo entre vyf x( 0)

Caso Especial: Hay funciones "malas" que tienen derivada direccional en todas las direcciones, pero carecen de continuidad y diferenciabilidad. En estos casos 0

0

( )

( ).

f x

f x

v

v

 

La clásica "mala"

2

4 2 ( , ) (0, 0) ( , )

0 ( , ) (0, 0) x y

x y f x y x y

x y

 

 

(4)

Integrales de Línea

Cparametrizada por

/C:

:[ , ]a bn

Decimos que es parametrización es regular si

C

1 Si

es continua pero su derivada no lo es en punto(s) aislados

regular a trozos (se separa en

parametrizaciones regulares)

Ecuaciones para una curva parametrizada por ( ) :[ , ]t a b n

Longitud: a ( )

b

t dt

Masa: a

( )

( )

b

m

 

t

t dt;  ( )tx t y t z t( ), ( ), ( )

es la densidad

0 siempre Baricentro: Ver Tabla de Momentos

Área Telón: f x y( , )0sobre C; 2 ( ) :[ , ]t a b

( )

( )

b

C a

A

fds

f

t

t dt

Teorema:

( ) :[ , ]t a bn,

( ) :[ , ]

n

t

c d

Ambas C1y parametrizaciones de la misma curva

( ) ( )

a c

b

t dtd

u du

Teorema:

( ) :[ , ]t a bn,

( ) :[ , ]

t

c d

n

Ambas C1a trozos y parametrizaciones de la misma curva

; f : n  sobre C, entonces:

( )

( ) ( ) ( )

a c

b f

t

t dtd f 

u 

u du

Momento Estático (1er Orden)

Momento de Inercia

2

( ) ( , )

( ) ( , )

x A

y A

M A y x y dS

M A x x y dS

   





2 2 ( ) ( , ) ( ) ( , ) x A y A

I A y x y dS

I A x x y dS

   





3 ( ) . ( ) . ( ) . yz V xz V xy V

M V x dV

M V y dV

M V z dV

     







2 2 2 2 2 2 ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ). x V y V z V

I V y z dV

I V x z dV

I V x y dV

        







Integral Doble 2 : ;

f R  Run rectángulo con dimensiones [ , ] [ , ]a bc d

: ( , ) 0 ( , )

S f x y

 

x y

 

R

El volumen debajo de S es: c a ( , )

d b

f x y dxdy

 

Región de integración: Se debe poder representar como un tipo de región:

2

1

( )

( )

( , )

a g x

b g x

f x y dydx

 

(Región tipo 1)

2

1

( )

( )

( , )

c y

d y

f x y dxdy

 

(Región tipo 2)

Cambio en el orden de integración: Si

D

es una región tipo 3 (se puede representar como tipo 1 o tipo 2)

2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( )

( , )

( , ) c y d y

a g x

b g x

f x y dydx

f x y dxdy

 

 

 

Sea

T

:

2  2una transformación 1

C dada por

x( , )u v  y( , )u v; ( , )x yD u v;( , )D*

Área de

*

Ddxdy D J dudv

D

Donde

es el Jacobiano de la transformación

T

Sea T*: *DD, el Jacobiano de

T

*

que lleva las coordenadas a (x,y) de vuelta es igual a J 1 Info Tabla de Momentos: mmasa

Baricentro( , , )x y z ;dSdxdy;dVdxdydz;

es la densidad (

0

)

Momento de Inercia respecto eje

de coordenadas (M. Polar) Baricentro

2 2 2

0( ) A( )

I A



xy

dS

( ) ( ) y x M A x m M A y m  

3 2 2 2

0( ) V( )

I V



xyz

dV

(5)

Integral Triple

     

3

2 1 2 1

/ ( ) ( ) ( , ) ( , )

x a x b y y y x y z x y

D          

D

es una región que permite integral triple, cualquier región que tenga este formato lo permite. Tal vez otra región se puede representar con

z

en lugar de x y x en lugar de

z

etc.

1 1 1

2 2 2

( ) ( , ) ( ) b

1 2

( ) ( , ) ( )

vol( )= ( , ) ( , )

y x y b y

a y x y a y

D dzdydx x y x y dydx

  

  

 

 

  

 

Sea 3 3

:

T W   una transformaciónC1:

( , , )

: ( , , )

( , , )

u v t

x u v t T y u v t J

u v t

z u v t

u v t

      

  

  

 

  

Sea

D

*

la región transformada después de aplicada la transformación a la región

D

*

( , , ) ( , , )

Df x y z dxdydzD f

  

J dudvdt

3

:

; ( , , )

0

f D 

x y z

la densidad de masa ( , , )

D

m



x y z dxdydz es la masa del "solido"

Integrales de Funciones Vectoriales sobre Superficies

Buscamos el flujo a través de una superficieS, definida

como:

u v

S S

F ndS   F   dudv





*Ver orientación

Tenemos la superficie S orientada y definida en

A

; Su

parametrización inyectiva 2 2

:U

   ; y la

función vectorial F A:  3 3

( , )u v ( , ), ( , )u vu v

  ;

, ; ,

u v

u u v v

   

   

   

   

   

   

Orientación: Una superficie orientada tiene dos lados, un lado exterior/positivo, y un lado interior/negativo. Si la parametrización elegida invierte la orientación (uno puede fijarse inspeccionando el vector normal dado por

u v

  ) entonces basta multiplicar la integral por -1 para obtener la orientación deseada.

Teorema: Dado

:D 2  3que parametriza S, dado

( , )u v

( , ), ( , ), ( , )u v

u v

u v

dif

( , ); ( , ); ( , )u v u v u v

 dif

Propiedad:

1 2

0

S S

F

F ndS

F ndS

 





Donde S2 es una superficie contenida enS1/S2sea una zona 'hueca' de S1 (Se usa en la ley de Gauss)

Integral de Campo Escalar sobre Superficie

0

fC sobre una superficie S; 2 3 :D

  una

parametrización de S

. [ ( , )] u v

S S

f dSf

u v

 

dudv



Divergencia y Rotor de un Campo Vectorial

x

y

z

  

es el operador nabla en

3

3 3

1 2 3

:

/

( ,

,

)

F

F

F F F

un campo vectorial 1 C , denominamos divergencia de F como:

3

1 2

div

F

F

F

F

F

x

y

z

 

; y el rotor de F :

3 2 1 3 2 1

rotF F F F , F F , F F

y z z dx x y

      

     

     

 

Si F 0

Fes solenoidal (incompresible) Consecuencia de Campo de Gradientes: Sea

3 3

:

G A  ;

A

siendo un conjunto

simplemente conexo

rotG(0, 0, 0)

Ges campo de gradientes

Teorema: 2 2 3

/ :

f C f

   tenemos que

 

f rot grad

f

(0, 0, 0)

    

Teorema: 2 3 3

/ : F C F

   tenemos que

F

div rot F 0

(6)

Teorema de la Divergencia de Gauss

Sea

una región elemental en 3

;Denotamos  como la frontera que acota a

con normales salientes.

1

FC , definido en  

div

F ndxdy

Fdxdydz







Esto representa el Flujo de Fa través de  Teorema de Gauss en el Plano

Sea

D

una región de tipo 3 en 2;FC1en

D

2

F ; Sea

la curva que acota

D

/

  

D

div

D

F ndt

Fdxdy



Ley de Gauss

Sea V una región elemental en 3; V orientada con normales salientes; (0, 0, 0) V;r( , , )x y z

3 3

: (0, 0, 0)

F   , Fr2

r donde rr ;

r r

r

2

4

si (0, 0, 0)

0

si (0, 0, 0)

V V

V

r n

F dS

dS

V

 

 





r

Teorema de Stokes

Sea Suna superficie orientada; La curva   S orientada positivamente;FC1 en S

rot

S

F tdS

F ndS



El teorema de Stokes vincula la circulación a lo largo de

con TODA superficie que tenga

como borde (dado el mismo campo vectorial)

Teorema de Green

Sea Quna región del tipo 3 en 2 y sea la curva C Q orientada positivamente;

F

( ,

F F F

1 2

,

3

)

;

1

FC

2 1

C Q

F

F

F tdS

dxdy

x

y



Campos Conservativos

Diremos

f independiente del camino

f ind

: n n( 2,3)

F A  n ; 

:An /

F F

 

es campo de gradientes/conservativo

es la primitiva de F y se le dice función potencial Teorema Fundamental para Integrales de Línea:

: n n

F A  ; FC0 en

A

;x0A Si

0

( )

x

x

F tdS

x

La integral es ind x A

es la función potencialC1

( )

x

F x( ) Corolario para Campos conservativos: Si la integral de

línea de F es ind

0

C

F tdS F tdS

    

La curva Cva de un punto aa un punto b y

va del punto ba el punto a(ambos pertenecen al intervalo de definición de

F

) A partir de esto podemos deducir que una integral de una curva cerrada siempre nos va dar 0

Teorema Fundamental del Calculo Vectorial:

: n n

F A  ;FC0;x x1, 2A;

/ 

F

2

1 2 1

( )

( )

x

x

F tdS

x

x

0 es ind F

F tdS F tdS

 

  

Si se cumple una, se cumplen todas

Consecuencia de Campo Gradiente en 3:

1

1 2 3

;

( ,

,

)

F

C F

F F F

y sea

1 1 1

2 2 2

3 3 3

F F F

x y z

F F F

DF

x y z

F F F

x y z

   

 

   

 

 

   

 

Si 2

/ F

D

F simetrica ( C )

  

 , y vale la

(7)

Condición necesaria en 2:

F

( ,

F F

1 2

)

C

1; Si

F

es campo gradiente

F

1

F

2

y

x

Matriz Hessiana en 2

2 :

f U   ; 2

fC en x0

el hessiano de

f

en x0es:

 

2 2

2

0 2 2

0 2 ( )

f f

x y x Hf x

x

f f

x y y

                   

0

det Hf x( )

 

Teorema: 2

:

f U   ; 2

fC en x0;x0 punto crítico de f

2 0 0 2 2 0 0 2 0

( ) 0

0

( ) 0

0 es punto silla 0

Max relativo en

Min relativo en

El criterio no decide

f x x x f x x x x                      

Definición: f U:  n  ;

f

dif

en

U

;x0U; 0

( ) 0

f x

 

x0es punto crítico de f

Teorema: : n

f U   ;

f

dif

en

U

;x0U es extremo local

f x( 0)0

Multiplicadores de Lagrange

Teorema del multiplicador de Lagrange:

: n

f A  ; : n

A

g

  ; ambas C(son suaves); x0A g x/ ( 0)c;Sea S c: g x y( , ,...) un conjunto de nivel; Suponemosg x( )0 0Si f restringida a

S

tiene un max/min en

S

0 0

/ f x( ) g x( )

   

Parametrizaciones Curva/Línea: 2

:

( )

( )

( )

x

t

y

f x

t

y

f t

 

domxdomt

Para 3buscas que te quede todo en función de una variable dentro lo posible, tal vez haga falta un cambio de variable. Ejemplo básico abajo:

( ) ( ) ( ) ( ( ), , ( )) dom dom

zh y  xy  t   t t h t yt

Recta 2 3de 0 P a P1:

0 1 0

( )tPt P( P);t[0,1]

Elipse:

2 2

2 2

cos

1

( )

;

[0, 2 ]

sen

x

a

t

x

y

t

t

y

b

t

a

b

 

 

Hipérbola donde a es positivo:

2 2

2 2 1

x y

ab

cosh

cosh

( )

; ( )

;

senh

senh

x

a

t

x

a

t

t

t

t

y

b

t

y

b

t

 

Donde

es el lado xpositivo y

lado negativo. Superficies:

Circunferencia de radio

r

centrada en ( ,x y0 0): 0

2 2 2

0 0

0

cos [0, 2 ]

( ) ( ) ( , )

sen [0, ]

x x t t

x x y y r t

y y t r

                 

Jr

constante Línea de Circunferencia

Polares / 2 2 2

cos

: ( , ) sin

( , ) x

x y y

z

 

          r r Cónica:

2 2 2

( , )

( cos sen ) 2

x y z

n n                    Paraboloide:

2 2 2

2 2 2

( , )

(2 cos 2 sen , ) 4 1

x y z

(8)

Volúmenes:

Esfera centrada en(0, 0, 0): x2y2z2 R

cos sen

[0, ]

( , , )

sen sen

[0, 2 ]

cos

[0, ]

x

R

S

y

z

 

  

 

 

2sen

J

constante nos da la parametrización superficial de la esfera.

Demostraciones

Ley de Gauss

(0, 0, 0)V ;  F 0

tomamos una superficie dentro de la región elementalSea S( )

una bola de radio

centrada en (0, 0, 0)

su normal es

r

Como

F

solenoidal

( )

V

F ndS

S

F ndS





2 2 2

( ) ( ) ( )

Int. superfice de S( )

1

1

S S S

r

ndS

dS

dS

  



r





2 2 1

4



4 QED

 

Probar

      

(

)

2 2 /  C2

x

(

)

div(

,

y

,

z

)

  

   

Regla cadena

2 2 2

x xx y yy z zz

            

2 2

2

2 2 2 2

( xx yy zz) x y z

   

                 

Nota:  C2; Si

es Armónica

  2 0

Probar rot

 

(0, 0, 0)  

C2; :

3,2

2 2 2 2 2 2

rot , , , ,

x y z y z z y z x x z y x x y

          

         

  

           

   

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Descargar ahora (8 pages)