TEMA 5.- Cinemática de la partícula

TEMA 5.- Cinemática de la

partícula

ÍNDICE GENERAL

0.- Herramientas matemáticas de la Física.

0.1.- Aritmética y Álgebra.

0.2.- Trigonometría.

0.3.- Geometría.

0.4.- Cálculo vectorial.

0.5.- Derivadas.

1.- Concepto de Cinemática.

2.- Elementos del movimiento.

2.1.- Punto material.

2.2.- Sistema de referencia.

2.3.- Trayectoria.

3.- Magnitudes del movimiento.

3.1.- Posición, desplazamiento y distancia recorrida. Concepto de movimiento.

3.2.- Velocidad.

3.2.1.- Concepto.

3.2.2.- Tipos: velocidades media e instantánea.

3.3.- Aceleración.

3.3.1.- Concepto.

3.3.2.- Tipos: aceleraciones media e instantánea.

3.3.3.- Componentes intrínsecas de la aceleración.

4.- Tipos de movimiento.

4.1.- Movimiento rectilíneo uniforme (MRU): ecuación y diagramas de movimiento.

4.2.- Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA): ecuaciones y diagramas de

movimiento.

4.2.1.- Movimiento vertical o caída libre.

4.3.- Movimiento circular uniforme (MCU).

4.4.- Movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA).

4.5.- Composición de movimientos.

4.5.1.- Principio de superposición.

4.5.2.- Movimiento parabólico o tiro oblicuo.

0.- HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA.

• Conciso, pues expone de un modo breve y claro lo que se ha enunciado.

• Preciso, pues permite realizar cálculos con exactitud.

• Universal, pues es común para todos los científicos del mundo.

A lo largo de este apartado veremos algunos de los conceptos matemáticos más importantes que son de aplicación directa en la Física sobre todo (aunque también en la Química), y cuya comprensión es impres -cindible para poder entender estas ciencias.

Algunos de los símbolos más habituales del lenguaje matemático aparecen en la tabla siguiente:

0.1.- ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA.

OPERACIONES CON FRACCIONES:

• Suma algebraica: a b±

c d =

(ad±bc)

bd

• Producto: a_b · c d =

ac

bd Cociente: a b : cd =

ad bc

OPERACIONES CON POTENCIAS:

• Producto de potencias de la misma base: am_{· a}n_=am+n

• División de potencias de la misma base: a m

an =a m−n

• Potencia de una potencia: (am

)n=amn

• Expresión de una raíz: n

√

• a0₌₁ 1 an=a

−n

IDENTIDADES NOTABLES:

• (a±b)2=a2

+b2

±2ab

• a2_−b2_{= (a+b)·(a−b)}

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO:

Al resolver la ecuación ax2 _{+ bx + c = 0 pueden darse 3 casos, dependiendo del valor que tome el} discriminante

Δ = b2 _{- 4ac}

• Si b2 _{– 4ac < 0 ⇒ la ecuación no tiene soluciones reales.}

• Si b2 _{– 4ac = 0 ⇒ la ecuación tiene una solución doble:}

x= − b

2a

• Si b2 _{– 4ac > 0 ⇒ la ecuación tiene dos soluciones reales:}

x=−b±

√

2

−4ac 2a

Las soluciones matemáticas de una ecuación no siempre tienen sentido físico. Un ejemplo es la va-riable tiempo: un valor negativo no es una solución válida desde el punto de vista físico.

0.2.- TRIGONOMETRÍA.

ÁNGULOS:

• Los ángulos de lados perpendiculares son iguales.

• Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS:

El término “trigonometría” procede de los términos griegos trigono y metro, que juntos significan “medidas en un triángulo”. Así, en un triángulo rectángulo podemos definir las razones trigonométricas seno, coseno y tangente:

• senα =(cateto opuesto)

hipotenusa = AB BC

• cosα =(cateto contiguo)

hipotenusa = AC BC

• tgα = (cateto opuesto) (cateto adyacente)=

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS:

• sen α = cos (90 – α); cos α = sen (90 – α)

• sen2_{α + cos}2_{α = 1 (ecuación fundamental de la Trigonometría)}

• sen 2α = 2 sen α cos α; cos 2α = cos2_{α – sen}2_α

• sen(α ± β) =senαcosβ ±cosαsenβ ; cos(α ± β) =cosαcosβ ∓senαsenβ

EL RADIÁN:

El radián es un ángulo tal que el arco (o “trozo” de circunferencia) que abarca tiene la misma longitud que el radio con el que se ha trazado. Es, además, la unidad en que se mide el ángulo descrito en el S.I. Sin embargo, los ángulos también pueden me-dirse en vueltas (o revoluciones) y en grados; la equivalencia entre estas unidades es la siguiente:

1 vuelta o revolución = 2π rad = 360º

0.3.- GEOMETRÍA.

TRIÁNGULOS:

El área de un triángulo es:

A= bh

2

El teorema del coseno permite calcular la longitud de uno de los lados de un triángulo cualquiera, co-nocidos los otros dos y el ángulo que forman:

a2 _{= b}2 _{+ c}2 _{– 2·b·c·cos α}

En el caso de que el triángulo sea rectángulo, será cos α = 0, con lo que el teorema anterior queda re-ducido al teorema de Pitágoras:

a2 _{= b}2 _{+ c}2

PARALELOGRAMOS:

El área de un paralelogramo es:

A = b·h

• Si los ángulos son rectos, tendremos un rectángulo de área: A = a·b.

• Si, además, los lados son iguales, tendremos un cuadrado de área: A = a2_.

ECUACIÓN DE LA RECTA:

y – y1 = m·(x – x1)

siendo la pendiente de la recta:

m=tgα = y2−y1

x2−x1

CÓNICAS:

• Circunferencia de radio R (centrada en el origen).

Su ecuación es: x2 _{+ y}2 _{= R}2_{; su longitud es L = 2πR y el área del círculo que rodea, A = πR}2_.

• Parábola.

Es la representación gráfica de una ecuación de 2º grado. Su ecuación es: y = ax2 _{+ bx + c, su} vértice se encuentra en x= − b

2a y está dirigida hacia arriba si a > 0 y hacia abajo si a < 0.

• Hipérbola equilátera.

Su ecuación es y=cte

x , y su representación gráfica tiene 2 ramas (ver a la izquierda). Las variables x e y son inversamente proporcionales.

• Sólidos de revolución.

Consideraremos los 2 más característicos: una esfera de radio R y un cilindro de radio R y altura h. Entonces, sus áreas y volúmenes son los siguientes:

Esfera Cilindro

Área 4πR2 _2πR2 _{+ 2πRh}

Volumen 4

3πR

3 πR2h

0.4.- CÁLCULO VECTORIAL.

MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES:

Las magnitudes físicas pueden ser de 2 tipos:

• Magnitudes escalares: son aquellas para cuya completa descripción se necesita únicamente un valor numérico o módulo acompañado de la correspondiente unidad. Ejs.: masa, tiempo, temperatura,…

• Magnitudes vectoriales: son aquellas para cuya completa descripción necesitamos conocer:

✗ Su valor numérico absoluto o módulo.

✗ Su dirección (o recta sobre la que actúan).

✗ Su sentido (pues cada dirección tiene 2 posibles sentidos).

Magnitud Abreviatura

Posición ⃗r

Velocidad ⃗v

Aceleración ⃗a

Cantidad de movimiento ⃗p

Fuerza ⃗_F

Campo eléctrico _E⃗

El módulo o valor de la magnitud vectorial se representa escribiendo la magnitud y omitiendo la fle -cha, o bien escribiendo la magnitud vectorial entre dos barras verticales. Así, por ejemplo, el módulo o valor de la velocidad se escribe de la siguiente manera:

v = ∣⃗v∣

CONCEPTO DE VECTOR. REPRESENTACIÓN GRÁFICA EN EL ESPACIO:

Un vector es un segmento orientado en el espacio cuya longitud es su valor numérico o módulo o intensidad, su dirección es la recta a la que pertenece el segmento y su sentido es el indicado por una punta de fle-cha situada en uno de sus extremos. El otro extremo del vector es el origen o punto de aplicación.

Llamamos vector unitario a aquel vector cuyo módulo vale 1. Su importan-cia radica en que cualquier vector ⃗a puede considerarse que es “a” veces el vector unitario u⃗_a que tiene su misma dirección y sentido:

⃗

u_a=⃗a

a ⇒ ⃗a=au⃗a

ESPACIO VECTORIAL:

Consideremos un vector ⃗r en el espacio; entonces, tendrá 3 componentes (x, y, z) que coinciden con las proyecciones de dicho vector sobre cada uno de los ejes cartesianos. Si el origen del vector coincide con el origen del sistema de coordenadas, sus componentes coincidirán con las coordenadas del extremo del vector.

Sean ahora dos vectores r⃗₁y r⃗₂ dotados de las siguientes operaciones:

• Suma de vectores: es otro vector cuyas componentes son las sumas de las componentes de esos vec-tores:

⃗

r₁+ ⃗r₂= (x₁, y₁, z₁) + (x₂, y₂, z₂) = (x₁+x₂, y₁+y₂, z₁+z₂)

La suma de vectores cumple las propiedades asociativa, conmutativa y de existencia del elemento neutro (vector cero) y del vector opuesto para cualquier vector.

k⃗r = (kx, ky , kz)

El producto de un vector por un escalar cumple las propiedades distributiva, asociativa y existencia del elemento neutro (k = 1).

Llamamos espacio vectorial a la estructura algebraica formada por el conjunto de los vectores con estas dos operaciones.

BASE CARTESIANA. COMPONENTES Y MÓDULO DE UN VECTOR:

Llamamos base cartesiana al conjunto de vectores unitarios cuyas direccio-nes son las de los ejes coordenados y cuyos sentidos son los positivos de dichos ejes. Podemos distinguir dos posibilidades:

• En el plano (2 dimensiones), la base cartesiana está formada por los vectores:

⃗_{i = (1, 0) y} ⃗_{j= (0, 1)}

• En el espacio (3 dimensiones), la base cartesiana está formada por los vectores:

⃗_{i= (1, 0, 0);} ⃗_{j= (0, 1, 0);} ⃗_{k= (0, 1, 1)}

Consideremos un vector ⃗v en el espacio. Si α, β y γ son los ángulos que forma el vector con cada eje, entonces las componentes del vector serán las proyecciones ortogonales del vector sobre los ejes:

vx = v·cos α; vy = v·cos β; vz = v·cos γ

siendo cos α, cos β y cos γ los cosenos directores del vector. De esta ma-nera, el módulo del vector se calcula de la manera siguiente:

v=

√

+vy 2

+vz 2

pues cos2_{α + cos}2_{β + cos}2_{γ = 1.}

Finalmente, podemos expresar cualquier vector en función de los vectores unitarios que forman la base carte-siana:

⃗

v=v_x⃗_i+v

y⃗j+vz⃗k= (vx, vy, vz)

En el caso de que el vector se encuentre en el plano, sus componentes y su módulo serán los siguien-tes:

⃗

v=v_x⃗_i+v

y⃗j= (vx, vy)

siendo

vx = v·cos α; vy = v·sen α

y, por tanto,

v=

√

OPERACIONES CON VECTORES:

A) SUMA Y RESTA (MÉTODO GRÁFICO)

La suma de 2 vectores concurrentes (el origen o punto de aplicación del segundo coincide con el sentido del primero) es otro vector cuyo origen es el ori-gen del primer vector, y cuyo sentido es el sentido del segundo vector. Si los 2 vectores tienen el mismo origen o punto de aplicación, el vector-suma se calcula gráficamente aplicando la regla del paralelogramo: la re-sultante de la suma de dos vectores es la diagonal del pa-ralelogramo que ambos forman, cuyo origen coincide

con el origen de ambos. Ambos casos aparecen en la figura de la derecha.

Para restar dos vectores, sumamos a uno de ellos el opuesto del otro; para ello, unimos el extremo del segundo vector con el del primero, tal y como se in-dica en la figura de la izquierda.

B) PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores ⃗a= (a_x, a_y, a_z) y ⃗_{b= (b}

x, by, bz) , se define el producto escalar de ambos como el siguiente número (o escalar):

⃗

a ·⃗_{b=a · b ·cosα =a}

x· bx+ay· by+az· bz

donde α (0≤ α ≤ π) es el ángulo que forman ambos vectores. El producto escalar tiene las siguientes propiedades: conmutativa, distributiva respecto a la suma de vectores y asociativa respecto al producto por escalares.

Comentarios:

• El cuadrado de un vector es el producto escalar del vector por sí mismo.

• Si dos vectores son perpendiculares, su producto escalar será nulo.

C) PRODUCTO VECTORIAL

Dados dos vectores ⃗a y ⃗_{b , el producto vectorial de ambos,} ⃗

a× ⃗b , es el vector de módulo:

∣⃗a× ⃗b∣=a · b ·senα

donde α (0≤ α ≤ π) es el ángulo que forman ambos vectores. Las caracte-rísticas de este vector son las siguientes:

• Dirección: perpendicular al plano formado por ⃗a y ⃗_{b .}

• Sentido: el del avance de un tornillo o sacacorchos que, haciendo coincidir los orígenes de

⃗

a y ⃗_{b , gira en el sentido del primero al segundo por el camino más corto.}

El producto vectorial tiene dos propiedades: distributiva respecto a la suma de vectores y asociativa respecto al producto por escalares. No tiene la propiedad conmutativa, pues ⃗a× ⃗b= − ⃗b× ⃗a , tal y como puede observarse en la figura de la página anterior.

En los siguientes vídeos puedes apreciar la importancia de los vectores para la Física: http://www.youtube.com/watch?v=t35HjAI6psY (1 de 2)

0.5.- DERIVADAS.

APROXIMACIÓN AL CONCEPTO DE DERIVADA:

La derivada de una función y = f(x) es una operación que nos permi-te estudiar el comportamiento de la función cuando varía la variable x un intervalo infinitamente pequeño (Δx → 0). En Matemáticas suele re-presentarse escribiendo y´ o bien f´(x) (se lee “derivada de y respecto de

x”); sin embargo, en Física se utiliza una notación diferente

(

)

y ´=f ´(x) = dy

dx=Δlimx→0

Δy

Δx =Δlimx→0

f(x+ Δx) −f(x) Δx

Observar en la gráfica superior izquierda que la derivada de una función en un punto coincide con la pen-diente de la recta tangente a la función en dicho punto.

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES MÁS HABITUALES:

En la siguiente tabla aparecen las derivadas de las funciones más habituales:

Función Derivada

y = xn _{y´ = n·x}n-1

y = sen x y´ = cos x

y = cos x y´= - sen x

y = tg x _{y ´=} 1

cos2x

y = ln x _{y ´=} 1

x

PROPIEDADES DE LAS DERIVADAS:

En la siguiente tabla aparecen las propiedades más importantes de las derivadas:

Derivada de una suma y =f(x) ±g(x) y ´=f ´(x) ±g ´(x)

Derivada de un producto y = f(x)·g(x) y´= f´(x)·g(x) + f(x)·g´(x)

Derivada de un cociente

y =f(x)

g(x) y ´=

f ´(x)· g(x) −f(x)· g ´(x) [g(x)]2

DERIVADA DE UN VECTOR:

La derivada de una función vectorial

⃗r(t) =x(t)⃗i +y(t)⃗j+z(t)⃗k

d⃗r dt =

dx dt ⃗i+

dy dt ⃗j+

dz dt ⃗k

En los siguientes vídeos puedes apreciar la importancia de las derivadas en la Física: http://www.youtube.com/watch?v=lUHdYTw5cAo (1 de 2)

http://www.youtube.com/watch?v=ZDUacKzg3FM (2 de 2)

1.- CONCEPTO DE CINEMÁTICA.

La Mecánica es la rama de la Física cuyo objeto de estudio es el movimiento. A su vez, está formada por dos ciencias:

• Cinemática: es la parte de la Mecánica que se encarga de estudiar el movimiento pero sin considerar las causas que lo producen.

• Dinámica: es la parte de la Mecánica que se encarga de estudiar el movimiento desde el punto de vista de las causas que lo producen, que son las fuerzas.

Tal vez sea Galileo Galilei (1564 - 1642) el primer científico que desarrolló algunos conceptos cinemáticos con rigor científico. Así, estudió el movimiento de bolas cayendo por planos inclinados, estableció que todos los objetos caen con la misma aceleración – la de la gravedad -, etc., utilizando para ello las matemáticas y la experimentación como herramien-tas básicas.

2.- ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO.

Antes de llegar al concepto de movimiento y de estudiar las magnitudes que lo describen, vamos a discutir sus principales elementos, a saber: punto material, sistema de referencia y trayectoria.

2.1.- PUNTO MATERIAL.

A lo largo de todo el tema (y de los siguientes) consideraremos como objeto o punto material a cualquier cuerpo que se mueva, de tal manera que las dimensiones del mismo sean muy pequeñas en compa-ración con la distancia que se desplaza. Lógicamente, la masa de dicho cuerpo estará entonces concentrada en un punto en el espacio (llamado centro de gravedad o centro de masa). Tal situación no es real, sino que consiste en un modelo empleado para simplificar el estudio del movimiento.

2.2.- SISTEMA DE REFERENCIA.

El sistema de referencia de un movimiento es el lugar desde el cual se observa dicho movimiento. En Física, cuando un punto material se mueve en el espacio, se escoge como sistema de referencia un conjunto de 3 ejes coordenados o cartesianos, de tal manera que el lugar en que se encuentre el objeto en cada momento queda perfectamente definido por las 3 coordenadas de un punto. Los sistemas de referencia pueden ser de 2 tipos:

• Sistemas de referencia inerciales: son aquellos que permanecen en reposo o que se mueven con velo-cidad constante. Únicamente en ellos se cumplen las leyes de la Dinámica (como veremos en el tema siguiente).

2.3.- TRAYECTORIA.

La trayectoria de un punto material que se desplaza con respecto a un sistema de referencia es la lí -nea imaginaria que describe dicho punto mientras se desplaza de un lugar a otro. También puede definirse como el lugar geométrico de las sucesivas posiciones que va tomando un punto material que se mueve en el espacio. En función de la forma de la trayectoria los movimientos pueden ser rectilíneos, circulares, parabóli-cos, etc.

3.- MAGNITUDES DEL MOVIMIENTO.

Cualquier movimiento puede ser descrito, además de por el tiempo, por 3 magnitudes físicas: posi-ción, velocidad y aceleración.

3.1.- POSICIÓN, DESPLAZAMIENTO Y DISTANCIA RECORRIDA. CONCEPTO DE MOVI

-MIENTO.

La posición de un objeto es el punto en el que se encuentra en un instante dado en un sistema de re-ferencia. De esta definición podemos extraer varias conclusiones:

1. La posición de un objeto viene determinada, en el espacio, por las co-ordenadas (x, y, z). Lógicamente, dichas coco-ordenadas dependerán del tiempo: en cada instante de tiempo, el objeto se encontrará en una de-terminada posición. Matemáticamente, esta dependencia se indica mediante las llamadas ecuaciones paramétricas del movi miento:

x = x(t) y = y(t) z = z(t)

Para determinar la ecuación de la trayectoria eliminamos la variable “t” de las ecuaciones paramétri cas del movimiento.

2. Al vector cuyo origen es el origen del sistema de referencia y cuyo sentido coincide con la posición del objeto se le llama vector de posición. En el espacio, dicho vector tendrá 3 componentes (2 si el movimiento tiene lugar en el plano), las cuales dependerán del tiempo, y a su expresión también se le llama ecuación del movimiento del objeto:

⃗r(t) = (x(t), y(t), z(t)) =x(t)⃗i +y(t)⃗j+z(t)⃗k

La posición de un objeto se mide en metros en el S.I.

Consideremos un objeto que se desplaza de una posición a otra; en-tonces, el extremo de su vector de posición también se desplazará a lo largo de la trayectoria que dicho objeto describe. Al vector que une las posiciones inicial y final se le llama vector desplazamiento ( Δ ⃗r ), y al módulo o valor de dicho vector (distancia en línea recta que une las posiciones inicial y final) se le llama desplazamiento del punto material. Si observamos la fi-gura al margen, deducimos que si r⃗₀ y ⃗_{r son los vectores de posición}

inicial y final, el vector desplazamiento se calculará mediante:

⃗

La distancia recorrida por un punto material en su movimiento es la distancia (expresada en m en el S.I.) que éste ha avanzado a lo largo de su trayectoria.

¡OJO! No debemos confundir los conceptos de trayectoria y de desplazamien-to: ambas magnitudes coincidirán únicamente cuando la trayectoria del objeto sea rec-tilínea. De hecho, en algunas situaciones un objeto puede recorrer una cierta distancia a lo largo de una trayectoria y tener un desplazamiento nulo (como sucede si la trayec-toria es cerrada), tal y como se indica en la figura de la derecha.

Con todo lo dicho hasta ahora, podemos dar una definición precisa del concepto de movimiento:

Un punto material se encuentra en movimiento cuando su vector de posición cambia con respecto a un siste-ma de referencia durante un cierto tiempo, recorriendo una determinada distancia a lo largo de una

trayecto-ria.

De la definición anterior se deduce que el movimiento es relativo, es decir, un punto material puede estar, o no, en movimiento dependiendo del sistema de referencia desde donde el observador se encuentre analizando el movimiento.

3.2.- VELOCIDAD.

3.2.1.- CONCEPTO.

La velocidad es una magnitud vectorial que relaciona el desplazamiento de un punto material con el tiempo que tarda en efectuar dicho desplazamiento.

3.2.2.- TIPOS: VELOCIDADES MEDIA E INSTANTÁNEA.

Consideremos un punto material que se mueve con respecto a un sistema de referencia desde una po-sición inicial hasta otra final, empleando en ello un tiempo Δt. Podemos distinguir entonces dos tipos de ve-locidad:

a) Velocidad media ( v⃗_m ) : relaciona el vector desplazamiento con el tiempo que el objeto tarda en alcanzar la posición final partiendo de la inicial:

⃗

vm=

Δ ⃗r

Δt =

⃗r − ⃗r₀ t−t0

La velocidad media se expresa en m/s (ó m·s-1_{) en el S.I. La velocidad media no es la velocidad real} del objeto sino que se trata de un valor representativo (o valor medio) de todas las velocidades que ha tenido durante el tiempo que se ha estado moviendo.

b) Velocidad instantánea ( ⃗v ) : es la velocidad que tiene el objeto en cada instante de su movimiento. Matemáticamente se expresa como el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo es muy pequeño (tiende a cero):

⃗

v= lim

Δt→0 v⃗m=Δlimt→0

Δ ⃗r

Δt = d⃗r

dt

OBSERVACIONES:

1. La velocidad instantánea es la derivada del vector de posición con respecto a la variable tiempo. Por tanto, nos indica cómo varía la posición de un punto material en un intervalo de tiempo muy peque-ño (infinitesimal), es decir, en un instante dado.

2. El vector velocidad es siempre, en un punto de la trayectoria, tangente a la trayectoria en dicho punto y su sentido coincide con el sentido del movimiento.

3.3.- ACELERACIÓN.

3.3.1.- CONCEPTO.

La aceleración es una magnitud vectorial que relaciona el cambio de velocidad de un punto material con el tiempo que ha durado dicha variación.

3.3.2.- TIPOS: ACELERACIONES MEDIA E INSTANTÁNEA.

Consideremos un punto material cuya velocidad varía de v⃗₀ a ⃗v en un tiempo Δt. Podemos dis-tinguir entonces dos tipos de aceleración:

a) Aceleración media ( a⃗_m ) : relaciona la variación del vector velocidad con el tiempo que dura di-cha variación:

⃗

am=

Δ ⃗v

Δt =

⃗

v− ⃗v₀ t−t0

La aceleración media se expresa en m/s2 _{ó en m·s}-2 _{en el S.I. La aceleración media no es la acelera} ción real del objeto sino que se trata de un valor representativo (o valor medio) de todas las ace-leraciones que ha tenido durante el tiempo que se ha estado moviendo.

b) Aceleración instantánea ( ⃗a ) : es la velocidad que tiene el objeto en cada instante de su movi-miento. Matemáticamente, puede expresarse como el límite de la velocidad media cuando el interva-lo de tiempo es muy pequeño (tiende a cero):

⃗

a= lim

Δt→0 a⃗m=Δlimt→0

Δ ⃗v

Δt = d⃗v

dt

La aceleración media se expresa en m/s2 _{ó en m·s}-2 _{en el S.I. Observar que la aceleración instantánea} coincidirá con la aceleración media cuando el objeto se mueva con aceleración constante siguiendo una trayectoria rectilínea.

OBSERVACIONES:

1. La aceleración instantánea es la derivada del vector velocidad con respecto a la variable tiempo. Por tanto, nos indica cómo varía la velocidad de un punto material en un intervalo de tiempo muy peque-ño (infinitesimal), es decir, en un instante dado.

2. A diferencia de lo que le sucede al vector velocidad, el vector aceleración no es siempre tangente a la trayectoria. En el siguiente apartado desarrollaremos este punto con más detalle.

3.3.3.- COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓN.

Sea cual sea la trayectoria de un punto material, su vector aceleración (instantánea) puede descomponerse en dos componentes perpendiculares entre sí, llamadas aceleración tangencial y aceleración normal, radial o centrípeta. Ello se debe a que la aceleración es una magnitud vectorial que tiene en cuenta la variación del vector velocidad en el tiempo:

• Si cambia el módulo o valor del vector velocidad, entonces se dice que el punto material tiene aceleración tangencial.

• Si cambian la dirección y el sentido del vector velocidad, entonces se dice que el punto material tie -ne aceleración normal o centrípeta.

Dicho lo anterior, podemos expresar el vector aceleración de la manera siguiente:

⃗

a= ⃗a_T+ ⃗a_N=a_Tu⃗_T+a_N u⃗_N

donde u⃗_T y u⃗_N son los vectores unitarios en las direcciones tangencial y normal (o perpendicular) a la trayectoria, respectivamente.

Las aceleraciones tangencial y normal son las componentes intrínsecas de la aceleración. Este nom-bre se debe a que el origen del sistema de referencia escogido se encuentra en el mismo objeto que se mueve (es intrínseco a él). Las estudiamos a continuación con mayor detenimiento:

a) Aceleración tangencial ( a⃗_T ): un punto material en movimiento tiene aceleración tangencial siempre que varía el módulo o valor de su velocidad. Por tanto, se calculará de la manera siguiente:

a_T= dv

dt

b) Aceleración normal ( a⃗_N ): un punto material en movimiento tiene aceleración normal (o centrí-peta) siempre que cambien la dirección y el sentido de su velocidad. Se calcula de la manera siguiente:

aN= v2 R

donde R es el radio de la trayectoria del objeto.

Así pues, la aceleración de un punto material que describe una trayectoria mientras se mueve podrá escribirse de la siguiente manera:

⃗

a=d∣⃗v∣

dt u⃗T+

∣⃗v∣2

R u⃗N

Los valores de las aceleraciones tangencial y normal dependen de las características del movimiento del objeto, como veremos en el siguiente apartado.

En la siguiente página web puedes consultar de forma interactiva los aspectos del movimiento estudiados hasta ahora:

4.- TIPOS DE MOVIMIENTO.

Dependiendo de los elementos y de las magnitudes del movimiento, podemos establecer una clasifi-cación de los movimientos más importantes (y sencillos) de la manera siguiente:

4.1.- MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU): ECUACIÓN Y DIAGRAMAS DE MO

-VIMIENTO.

Las características de este movimiento son las siguientes:

• Trayectoria: es una línea recta.

• Módulo de la velocidad: es constante.

• Dirección y sentido de la velocidad: son constantes.

• Aceleración tangencial: es nula, pues el valor de la velocidad es constante.

• Aceleración normal: es nula, pues la dirección y el sentido de la velocidad no cambian.

La ecuación que rige el movimiento rectilíneo uniforme (MRU) es:

⃗r = ⃗r₀+ ⃗v t

siendo r⃗₀ y ⃗_{r los vectores de posición inicial y final,} ⃗v el vector velocidad y “t” el tiempo que el obje-to tarda en moverse de una posición a otra.

Para estudiar el MRU elegimos un sistema de referencia tal que uno de sus ejes cartesianos coincida con la trayectoria del objeto; con ello, conseguimos que todas las magnitudes del movimiento tengan la mis-ma dirección del eje elegido (y, por tanto, una sola componente). Ahora bien, dependiendo del sentido de la posición y de la velocidad deberemos tener en cuenta el siguiente criterio de signos:

✗ El signo de la posición coincide con el signo de los semiejes cartesianos.

✗ El signo de la velocidad es positivo cuando el objeto se desplaza en el sentido positivo del se-mieje OX o del OY (hacia la derecha o hacia arriba) y negativo en caso contrario (hacia la iz-quierda o hacia abajo).

4.2.- MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (MRUA): ECUACIO

-NES Y DIAGRAMAS DE MOVIMIENTO.

Las características de este movimiento son las siguientes:

• Trayectoria: es una línea recta.

• Módulo de la velocidad: es variable (aumenta o disminuye).

• Dirección y sentido de la velocidad: son constantes.

• Aceleración tangencial: es constante (si es positiva, el movimiento es acelerado; si es negativa, el movimiento es decelerado o retardado).

• Aceleración normal: es nula, pues la dirección y el sentido de la velocidad no cambian.

Las ecuaciones que rigen el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) son:

⃗r = ⃗r₀+ ⃗v₀t+1

2 ⃗a t 2

⃗

v= ⃗v₀+ ⃗a t

donde v⃗₀ es el vector velocidad inicial y ⃗a es el vector aceleración.

El criterio de signos que debemos tener en cuenta al utilizar las dos ecuaciones anteriores es el si-guiente:

✗ El signo de la posición coincide con el signo de los semiejes cartesianos.

✗ El signo de la velocidad es positivo cuando el objeto se desplaza en el sentido positivo del semieje OX o del OY (hacia la derecha o hacia arriba) y negativo en caso contrario (hacia la izquierda o ha-cia abajo).

✗ El signo de la aceleración es positivo si su sentido coincide con el de la velocidad positiva, y negati -vo si su sentido es contrario a la misma.

4.2.1.- MOVIMIENTO VERTICAL O CAÍDA LIBRE.

La caída libre (o movimiento vertical) es un caso especial de MRUA, y consiste en el movimiento de los objetos bajo la acción de la gravedad; el primer científico que dio una explicación de dicho fenómeno fue Galileo: “En ausencia de la fricción con el aire, todos los cuerpos caen hacia la Tierra con la misma acelera-ción”.

Esta aceleración se llama aceleración de la grave dad; su valor en las proximidades de la superficie terrestre es el siguiente:

⃗

g= −9 ´8⃗_{j m· s}−2

Así pues, si situamos el origen del sistema de referencia en la superficie terrestre, tendremos las si-guientes ecuaciones para la caída libre:

⃗r = ⃗r0+ ⃗v0t+ 1 2 ⃗g t

2

⃗

v= ⃗v₀ + ⃗g t

En los siguientes vídeos puedes observar en qué consiste la ley de la caída de los cuerpos: http://www.youtube.com/watch?v=e6wXsAeICRc (1 de 2)

http://www.youtube.com/watch?v=UXula1V2qKo (2 de 2)

4.3.- MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU).

Sus características son las siguientes:

• Trayectoria: es una circunferencia de radio R.

• Módulo de la velocidad: es constante.

• Dirección y sentido de la velocidad: al ser la velocidad tangente a la trayec-toria, su dirección y sentido cambian constantemente.

• Aceleración tangencial: es nula.

• Aceleración normal: es constante, pues el valor de la velocidad y el radio de la circunferencia tam-bién lo son. Se calcula como hemos explicado en el apartado 3.3.3.

Consideremos un objeto que describe un MCU (ver figura superior derecha), desplazándose de P1 a P2. Entonces,la distancia recorrida, s, sobre la circunferencia – arco o cuerda – está relacionada con el ángulo girado, φ, de la siguiente manera:

s = φ·R

Sin embargo, al tratarse de un movimiento circular es mucho más sencillo estudiarlo considerando la rapidez con que el objeto describe un cierto ángulo; a esta magnitud se le llama velocidad angular (ω), la cual se calculará de la manera siguiente:

ω = φ

t

La unidad de velocidad angular en el S.I. es el rad/s, aunque también puede medirse en revoluciones por mi -nuto (rpm) o en revoluciones por segundo (rps).

• Período (T): es el tiempo que el objeto tarda en completar una vuelta. Se mide en segundos en el S.I. y está relacionado con la velocidad angular de la siguiente manera:

ω = 2π

T

• Frecuencia (f): es el número de vueltas que el objeto describe en 1 s. Se mide en hertzios (Hz) en el S.I., y está relacionada con el período de la manera siguiente:

f = 1

T

Por último, al igual que el arco y el radio están relacionados, así también las velocidades lineal y an-gular:

⃗

v= ⃗ω × ⃗r ⇒ v= ωr

De la ecuación anterior deducimos, al tratarse de un producto vectorial, que la veloci-dad angular es perpendicular al plano formado por la velociveloci-dad lineal v y por R (el plano de la circunferencia), y que puede apuntar hacia arriba o hacia abajo según el movimiento sea antihorario u horario, respectivamente.

En los siguientes vídeos puedes observar los aspectos más importantes del m.c.u.: http://www.youtube.com/watch?v=neRMaE8_mcM (1 de 2)

http://www.youtube.com/watch?v=VdhkM1ZHgU8 (2 de 2)

4.4.- MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO (MCUA).

Sus características son las siguientes:

• Trayectoria: es una circunferencia de radio R.

• Módulo de la velocidad: es variable (aumenta o disminuye).

• Dirección y sentido de la velocidad: al ser la velocidad tangente a la trayectoria, su dirección y sen-tido cambian constantemente.

• Aceleración tangencial: es constante (si es positiva, el movimiento es acelerado; si es negativa, el movimiento es decelerado o retardado).

• Aceleración normal: no es constante, pues el valor de la velocidad es variable. Se calcula como he-mos explicado en el apartado 3.3.3.

Análogamente al MRUA, las ecuaciones del MCUA son las siguientes:

φ = φ₀+ ω₀t+ 1

2 α t 2

ω = ω₀+ αt

donde ω0 y ω son las velocidades angulares inicial y final, y α es la aceleración angular (rad/s2_{), la cual relaciona el cambio de velocidad angular con el tiempo.}

v = ωR aT = αR aN= v2 R

En la siguiente página web puedes estudiar de forma interactiva los principales tipos de movimiento: http://recursostic.educacion.es/newton/web/materiales_didacticos/movimiento%28II%29/obmov2.htm

4.5.- COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS.

4.5.1.- PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN.

Existen muchas situaciones en que un objeto está sometido simultáneamente a 2 o más movimientos simultáneos. En tales casos, para estudiar el movimiento hay que aplicar el principio de superposición:

Si una partícula está sometida simultáneamente a varios movimientos elementales independientes entre sí, el movimiento resultante se obtiene sumando vectorialmente dichos movimientos parciales.

El principio de superposición se aplica a muchísimas situaciones físicas, no solamente en Cinemática, tal y como veremos este curso y el curso próximo.

Así pues, la posición, velocidad y aceleración del movimiento resultante se calcularán de la siguiente manera:

⃗r = ⃗r1+ ⃗r2+...=

∑

⃗

ri ⃗v= ⃗v1+ ⃗v2+...=

∑

⃗

vi ⃗a= ⃗a1+ ⃗a2+...=

∑

⃗ a_i

4.5.2.- MOVIMIENTO PARABÓLICO O TIRO OBLICUO.

El movimiento parabólico o tiro oblicuo tiene lugar cuando un objeto se lanza con una velocidad ini-cial v0 que forma un cierto ángulo α con la horizontal (ángulo de elevación o de tiro). Para estudiar este mo-vimiento escogemos como sistema de referencia el suelo (eje X) y como eje Y, la vertical; de acuerdo con este sistema de referencia, la velocidad inicial tendrá 2 componentes (ver dibujo en la página siguiente):

v0x = v0·cos α v0y = v0·sen α

• En la dirección horizontal (eje X) hay un MRU, el cual explica el avance del proyectil:

x = v0x·t = v0·cos α·t

• En la dirección vertical (eje Y) hay un movimiento vertical de caída libre, el cual explica el mo-vimiento hacia arriba al principio y hacia abajo al final, debido a la gravedad:

⃗r = ⃗r0+ ⃗v0t+ 1 2 ⃗a t

2

⇒ y⃗j=y0⃗j+v0y⃗j − 1 2 g ⃗j t

2

⇒y =y0+v0·sen α · t− 1 2 g t

2

Las dos ecuaciones anteriores son las ecuaciones del movimiento parabólico (o tiro oblicuo), pues nos indican en qué posición se encuentra el objeto en cada instante:

⃗r(t) =x(t) ⃗i +y(t) ⃗j=v₀·cosα·t ⃗_i+

(

0+v0·senα· t− 1 2 g t

2

)

De la ecuación de la posición podemos obtener la velocidad del objeto en cada instante:

⃗

v= d⃗r

dt =v0· cosα ⃗i+ (v0·senα −g · t) ⃗j (m·s-1)

Así pues, las dos componentes de la velocidad son las siguientes (en cualquier instante del movimiento del objeto):

vx = v0·cos α vy = v0·sen α - gt

OBSERVACIONES:

1. Si eliminamos la variable “t” de las 2 ecuaciones del movimiento obtenemos la ecuación de una pa-rábola invertida: la trayectoria del tiro oblicuo es parabólica, de ahí que también se le llame movi-miento parabólico.

2. Si observamos el esquema anterior, vemos que el ángulo β que forma el vector velocidad con la hori-zontal en cualquier instante puede calcularse mediante:

tgβ =vy

vx

3. El tiempo de vuelo es el tiempo que el proyectil permanece en el aire. Para calcularlo, hemos de te-ner en cuenta que cuando el proyectil vuelve al suelo, y = 0.

4. El alcance (xmáx) es la distancia horizontal máxima que el proyectil recorre. Para calcularla, impone-mos la condición y = 0; a continuación, sustituiimpone-mos el tiempo hallado en la ecuación de x (posición horizontal).

5. La altura máxima (ymáx) se calcula teniendo en cuenta que, en dicho punto, la componente vertical de la velocidad es nula (vy = 0). Finalmente, sustituimos el valor calculado del tiempo en la ecuación de la posición vertical.

inaltera-ble.

7. Si consideráramos el rozamiento con el aire, la trayectoria real del proyectil no sería parabólica, sino que se parecería a una porción de elipse:

En la siguiente página web puedes estudiar de forma interactiva la composición de movimientos, así como el movimiento parabólico como aplicación del principio de superposición: