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FISICA I, 1º Grado en Ingeniería Aeroespacial

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Academic year: 2018

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(1)

Tema 2: Vectores libres

FISICA I, 1º Grado en Ingeniería Aeroespacial

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

(2)

Índice

Índice

Magnitudes escalares y vectoriales

Definición de vector

Vectores libres

Suma y producto por un escalar

Bases vectoriales

Producto escalar, vectorial, mixto

Doble producto vectorial

Derivada de un vector

(3)

Magnitudes escalares y vectoriales

Magnitudes escalares y vectoriales

Magnitud

escalar

: queda definida con un número y una unidad

Temperatura, longitud, carga eléctrica, tiempo, etc

Magnitud

vectorial

: require magnitud, dirección y sentido

Velocidad, aceleración, fuerza, etc

(4)

Índice

Índice

Magnitudes escalares y vectoriales

Definición de vector

Vectores libres

Suma y producto por un escalar

Bases vectoriales

Producto escalar, vectorial, mixto

Doble producto vectorial

Derivada de un vector

(5)

Definición de vector

Definición de vector

En Matemáticas es un elemento de un

espacio vectorial

En Física es un

segmento orientado

: una flecha

Módulo

Recta soporte

Dirección

Sentido

Punto de aplicación

Representación:

a

o

Rec

ta s

(6)

Tipos de vectores

Tipos de vectores

Libres

: módulo, dirección y sentido

Pueden moverse libremente en el espacio

Deslizantes

: módulo, dirección, sentido y recta soporte

Pueden desplazarse libremente sobre su recta soporte

Ligados

: módulo, dirección, sentido y punto de aplicación

No pueden desplazarse en el espacio

Una misma magnitud puede describirse con diferentes tipos de

(7)

Índice

Índice

Magnitudes escalares y vectoriales

Definición de vector

Vectores libres

Suma y producto por un escalar

Bases vectoriales

Producto escalar, vectorial, mixto

Doble producto vectorial

Derivada de un vector

(8)

Vectores libres

Vectores libres

Relación de equivalencia

:

a

y

b

son vectores equivalentes si tienen

el mismo módulo, dirección y sentido

Dos vectores libres equivalentes pueden hacerse coincidir si se desplazan

(9)

Índice

Índice

Magnitudes escalares y vectoriales

Definición de vector

Vectores libres

Suma y producto por un escalar

Bases vectoriales

Producto escalar, vectorial, mixto

Doble producto vectorial

Derivada de un vector

(10)

Vectores libres

Vectores libres

Suma

de vectores libres

Dos vectores

Suma

de vectores libres

Dos vectores

(11)

Vectores libres: suma

Vectores libres: suma

Propiedades de la suma

Conmutativa

Asociativa

Existencia de elemento neutro

(12)

Vectores libres: producto por un escalar

Vectores libres: producto por un escalar

El producto por un escalar es otro vector

Propiedades

Asociativa respecto al producto por un escalar

Distributiva respecto a la suma de vectores

Distributiva respecto a la suma de escalares

(13)

Índice

Índice

Magnitudes escalares y vectoriales

Definición de vector

Vectores libres

Suma y producto por un escalar

Bases vectoriales

Producto escalar, vectorial, mixto

Doble producto vectorial

Derivada de un vector

(14)

Bases vectoriales

Bases vectoriales

Una

base

en

E

3

es una terna de vectores,

B = {v

1

, v

2

, v

3

}

, tal que cualquier

vector

a

puede escribirse como combinación lineal de ellos

a

1

, a

2

, a

3

son las componentes de

a

en la base B

Para que tres vectores sean una base no deben ser ni colineales ni coplanarios

(

linealmente independientes

)

La dimensión del espacio vectorial es el número mínimo de vectores linealmente

(15)

Base cartesiana

Base cartesiana

Triedro OX

1

X

2

X

3

≡

OXYZ

X

1

≡

X

X

2

≡

Y

X

3

≡

Z

O

Componentes

Base

ortonormal

(16)

Índice

Índice

Magnitudes escalares y vectoriales

Definición de vector

Vectores libres

Suma y producto por un escalar

Bases vectoriales

Producto escalar, vectorial, mixto

Doble producto vectorial

Derivada de un vector

(17)

Producto escalar

Producto escalar

Definición

El resultado de la operación es un escalar

El punto es importante

Permite expresar de modo sencillo la condición de ortogonalidad, distancias y

ángulos

(18)

Producto escalar: aplicaciones

Producto escalar: aplicaciones

Condición de ortogonalidad para dos vectores

=

/2

Si uno de los vectores es unitario da la proyección ortogonal sobre él del otro

vector

Extrae la componente del vector paralela a la dirección del vector

Está relacionado con la proyección ortogonal de un vector sobre otro

(19)

Producto escalar: aplicaciones

Producto escalar: aplicaciones

Distancia entre dos puntos

X

1

X

2

X

3

P(p

1

,p

2

,p

3

)

O

Q(q

1

,q

2

,q

3

)

Ángulo entre dos vectores

(20)

Producto escalar: propiedades

Producto escalar: propiedades

Propiedades

Asociativa resp. prod. por un escalar

Conmutativa

Distributiva resp. a suma

(21)

Producto escalar: base ortonormal

Producto escalar: base ortonormal

Los vectores de una base ortonormal son mutuamente perpendiculares y

de módulo unidad

(22)

Producto escalar: base ortonormal

Producto escalar: base ortonormal

Aplicaciones

Distancia entre dos puntos

Ángulo entre dos vectores

Componentes cartesianas de un vector

Cosenos directores

X

X

2

X

3

O

1

2

(23)

Producto escalar: ecuación vectorial de un plano

Producto escalar: ecuación vectorial de un plano

X

Y

Z

P

1

O

P

Punto por el que pasa el plano

Punto genérico del plano

Vector normal al plano

Condición para que el punto P esté en el plano

(24)

Producto vectorial

Producto vectorial

Definición

El resultado de la operación es un vector

Escritura alternativa

Permite expresar de modo sencillo la condición de paralelismo

Permite construir rápidamente vectores perpendiculares

(25)

Producto vectorial

Producto vectorial

Condición de paralelismo

=0

=

Se relaciona con la componente perpendicular de la proyección ortogonal

Si |

u

|=1 es la componente perpendicular de la proyección

(26)

Producto vectorial

Producto vectorial

Propiedades

No es asociativo

Anticonmutativa

Asociativa resp. al prod. por un escalar

Distributiva respecto a la suma

(27)

Producto vectorial: base cartesiana

Producto vectorial: base cartesiana

Es una base ortonormal dextrógira

(28)

Producto vectorial: ecuación vectorial de una recta

Producto vectorial: ecuación vectorial de una recta

Punto por el que pasa la recta

Punto genérico de la recta

Vector director de la recta

Condición para que el vector

sea paralelo al vector director

Ecuaciones de la recta

(29)

Producto mixto

Producto mixto

Definición: involucra tres vectores

El resultado de la operación es un escalar

El valor absoluto es el volumen del paralelepípedo

Condición de coplanariedad

h

(30)

Producto mixto

Producto mixto

Propiedades

Permutabilidad cíclica

Permutabilidad acíclica

(31)

Producto mixto: ecuación de un plano que pasa por tres puntos no alineados

Producto mixto: ecuación de un plano que pasa por tres puntos no alineados

X

Y

Z

P

1

O

P

3

P

2

Puntos por los que pasa el plano

Condición de coplanariedad

Punto genérico del plano

(32)

Índice

Índice

Magnitudes escalares y vectoriales

Definición de vector

Vectores libres

Suma y producto por un escalar

Bases vectoriales

Producto escalar, vectorial, mixto

Doble producto vectorial

Derivada de un vector

(33)

Doble producto vectorial

Doble producto vectorial

Aplicación al desarrollo del producto escalar de dos productos vectoriales

Definición: involucra tres vectores

El resultado de la operación es un vector

(34)

Índice

Índice

Magnitudes escalares y vectoriales

Definición de vector

Vectores libres

Suma y producto por un escalar

Bases vectoriales

Producto escalar, vectorial, mixto

Doble producto vectorial

Derivada de un vector

(35)

Derivada de un vector

Derivada de un vector

Un vector puede ser función de una variable (típicamente el tiempo)

Variación del módulo

Variación de la dirección

(36)

Derivada de un vector

Derivada de un vector

Derivada de un vector expresado en una base cartesiana

Derivada del producto escalar y vectorial de dos vectores

(37)

Índice

Índice

Magnitudes escalares y vectoriales

Definición de vector

Vectores libres

Suma y producto por un escalar

Bases vectoriales

Producto escalar, vectorial, mixto

Doble producto vectorial

Derivada de un vector

(38)

Vectores deslizantes

Vectores deslizantes

A

G

B

1

B

2

La fuerza

F

equilibra la barra al ser aplicada en cualquier punto de la

recta

Δ

A

G

Vector deslizante

La misma fuerza aplicada en otra recta no equilibra la barra

Son vectores deslizantes distinto

s

En un vector deslizante hay que especificar la recta soporte

(39)

Vectores deslizantes: momento de un vector deslizante

Vectores deslizantes: momento de un vector deslizante

La recta soporte puede especificarse usando el momento del vector

respecto a un punto

O

P

1

El momento es el mismo para todos los puntos P

1

de la recta

Es perpendicular al plano que contiene a la recta y pasa por el punto O

O

P

1

(40)

Álgebra de vectores deslizantes

Álgebra de vectores deslizantes

Definimos la suma de un conjunto de vectores deslizantes

El resultado es otro vector deslizante, definido por un cursor

R

(resultante) y su

momento respecto a un punto

M

O

(momento resultante)

O

P

1

P

2

X

Y

O

(41)

Vectores ligados

Vectores ligados

El vector está ligado a un punto

Ejemplo: a cada punto del espacio se le asigna un vector de posición

X

Y

Z

O

P

El resultado de realizar el desplazamiento indicado por el vector

depende del punto de partida

Ejemplo: momento de un vector deslizante respecto a un punto

(42)

Resumen

Resumen

Definición de vector

Vectores libres

Suma y producto por un escalar

Bases vectoriales

Conjunto mínimo de vectores linealmente independientes que permiten expresar todos los vectores del

espacio

Base cartesiana: tres vectores unitarios y mutuamente perpendiculares constantes en todo el espacio

Producto escalar

Condición de ortogonalidad

Permite calcular distancias y ángulos: define una métrica en el espacio

(43)

Resumen

Resumen

Producto vectorial

Condición de paralelismo

Extrae la componente perpendicular de la proyección ortogonal de un vector sobre una dirección

Área del paralelogramo

Producto mixto

Condición de coplanariedad

Volumen del paralelepípedo

Doble producto vectorial

Derivada de un vector

Puede cambiar el módulo y/o la dirección

Derivada de un producto escalar y vectorial

Referencias

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