Olimpiada de Matemáticas para Alumnos de Primaria y Secundaria en Guanajuato

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Olimpiada de Matemáticas para Alumnos de Primaria y Secundaria en Guanajuato 13 de diciembre de 2014

Tercer Selectivo (NIVEL PRIMARIA) Instrucciones.

1. Tienes 4 horas y media para hacer el examen. Lee las instrucciones con calma y asegúrate que las entiendes del todo. Te puedes quedar esta hoja. Recuerda checar los resultados en la página onmapsguanajuato.wordpress.com durante la siguiente semana.

2. Los problemas están numerados del 1 al 5. Para cada problema, explica detalladamente todo tu procedimiento en las hojas blancas. La respuesta numérica a los problemas tiene poco valor; se dará puntaje más alto a aquellos cuyo procedimiento sea correcto y esté bien explicado y desarrollado.

3. Recuerda que para resolver los problemas puedes escribir todo lo que necesites pero no está permitido el uso de CALCULADORAS, APUNTES, CELULARES o TABLAS, sólo puedes usar lápiz o pluma, sacapuntas, borrador, y si quieres juego de geometría.

4. Tienes sólo la primera hora para hacer preguntas sobre la redacción del examen.

1.- Un punto 𝑃 está en el interior de un triángulo rectángulo 𝐴𝐵𝐶, de tal manera que 𝐴𝐵 = 7, 𝐵𝐶 = 24 y 𝐶𝐴 = 25. 𝐷, 𝐸 y 𝐹 son puntos sobre los lados 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 y 𝐴𝐵, respectivamente, de tal forma que los segmentos 𝑃𝐷, 𝑃𝐸 y 𝑃𝐹 son perpendiculares a los lados 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 y 𝐴𝐵, respectivamente. Si 𝑃𝐷 = 𝑃𝐸 = 2, ¿Cuánto vale 𝑃𝐹?

2.- Determinar todos los posibles valores para 𝑎, 𝑏 y 𝑐 tales que 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son dígitos distintos y que cumplen que

6𝑐𝑎 2𝑏𝑎= 3

(Nota: 6𝑐𝑎 y 2𝑏𝑎 son números de 3 dígitos)

3.- En casa de Christian, un grupo de ratones roba pedazos de queso de la cocina. Picho, la gata, observa que ningún ratón ha robado más de 10 pedazos y ninguno robó la misma cantidad o exactamente la mitad que algún otro. ¿Cuál es el máximo número de ratones ladrones en la casa de Christian?

4.- Encuentra todas las posibles parejas de dígitos (𝑎, 𝑏) tales que el número 24𝑎𝑏32 es divisible entre 99.

5.- La maestra de Chema dibuja en el pizarrón tres polígonos, los cuales llama 𝐴, 𝐵 y 𝐶. Al terminar, Chema nota que:

 Los polígonos 𝐴 y 𝐵 tienen 30𝑐𝑚 de perímetro.  El polígono 𝐴 tiene 4 lados más que 𝐵.

 El perímetro de 𝐶 es el doble de 𝐵.

 Cada lado de los polígonos 𝐵 y 𝐶 miden 5 cm.

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Tercer Selectivo (NIVEL 1° SECUNDARIA) Instrucciones.

4. Tienes sólo la primera hora para hacer preguntas sobre la redacción del examen. 1.- En la lista de 6 números 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, cada uno (a partir del

segundo, de izquierda a derecha) es la suma de los números anteriores a él. Si 𝑓 = 7392, ¿cuánto vale 𝑎?

2.- En la siguiente figura (derecha) el triángulo 𝐴𝐵𝐶 es equilátero, tiene lado 2𝑐𝑚 y la semicircunferencia tiene diámetro 𝐵𝐶. ¿Cuánto vale el área sombreada? (Puedes usar que el área de un triángulo equilátero de lado 2 es √3, lo cual aproximadamente es 1.7321)

3.- Mane debe estacionar un auto en cada uno de los 12 lugares de estacionamiento como el de la figura (izquierda). En cada lugar puede estacionar

un auto blanco, uno negro o uno rojo (y hay al menos 12 de cada color). Debe hacer esto sin que queden dos autos del mismo color en lugares vecinos de manera vertical y horizontal (diagonal sí se puede). ¿De cuántas maneras

puede Mane hacer esto?

4.- ¿Cuántos números entre 100 y 1000000 hay que sean divisibles por 3 y que todos sus dígitos sean iguales?

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4. Tienes sólo la primera hora para hacer preguntas sobre la redacción del examen. 1.- Ayer por la tarde, Mario perdió su tarjeta de crédito, pero recuerda que:

 Su número de cuenta es un número de 7 cifras distintas.  La suma de los 7 dígitos es 32.

 El número formado por las primeras cuatro cifras menos el número formado por las últimas tres es 95.

¿Cuál es el número de cuenta de Mario?

2.- Se parte a la mitad un círculo de alambre de 2m de diámetro. Una de las mitades del círculo se colocan sobre una mesa rectangular y la otra mitad se desdobla y se coloca estirada a lo largo del centro de la mesa, como se muestra en la figura (derecha). ¿Cuál es el área de la región sombreada?

3.- Mane debe estacionar un auto en cada uno de los 12 lugares de estacionamiento como el de la figura (izquierda). En cada lugar puede estacionar un auto blanco, uno negro o uno rojo (y hay al menos 12 de cada color). Debe hacer esto sin que queden dos autos del mismo color en lugares vecinos de manera vertical y horizontal (diagonal si se puede). ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?

4.- Se coloca una ficha en la esquina de un tablero de ajedrez que puede moverse de forma horizontal y vertical por las casillas del tablero. ¿Es posible llevar la ficha hasta la esquina opuesta del tablero pasando por todas las casillas exactamente una vez?

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4. Tienes sólo la primera hora para hacer preguntas sobre la redacción del examen.

1.- En una recta se marcan 2014 puntos y se colorean de rojo y de azul. A continuación se pintan los segmentos entre dos puntos consecutivos como sigue,

 Si los dos extremos son rojos, el segmento se pinta de rojo.  Si los dos extremos son azules, el segmento se pinta de azul.

 Si los extremos son de colores distintos, el segmento se pinta de gris.

Si se sabe que el primer punto es de color rojo y al final se colorean 122 segmentos grises, ¿Cuál es el color del último punto?

2.- Wicho piensa un número de cinco dígitos 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒. Luego elige uno de los dígitos y lo elimina formando un nuevo número de cuatro dígitos. Si al sumar estos dos números Wicho obtiene 52713, ¿cuál es la suma de los dígitos del número que pensó?

3.- En el lado 𝐵𝐶 del triángulo 𝐴𝐵𝐶, 𝐻 es un punto tal que 𝐴𝐻 es perpendicular a 𝐵𝐶. Además, 𝐴𝐻 = 8, 𝐴𝐵 = 10 y el área del triángulo 𝐴𝐵𝐶 es 84. Determina el perímetro de 𝐴𝐵𝐶.

4.- Hay 2014 salones en fila en un corredor muy largo. Inicialmente hay 2014 personas en el primer salón. Cada que pasa un minuto ocurre lo siguiente: en cada uno de los salones en los que hay más de una persona, una y sólo una de ellas decide que el cuarto está muy lleno y se va al siguiente. Todos estos movimientos son simultáneos (nadie cambia de cuarto más de una vez por minuto). Después de 197 minutos, ¿cuántos salones tienen gente dentro de él?

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PRIMARIA (23,4,11,30,6)

2.- (Primaria) Se va construyendo una escalera como sigue: el primer escalón se construye de altura 1cm y largo 2 cm, el segundo escalón de altura 3cm y largo 4 cm, el tercer escalón de altura 5cm y largo 6 cm y así sucesivamente hasta acabar la escalera como se muestra en la figura. Si al terminar la escalera esta tiene una altura de 400 cm, ¿Cuál es el largo de la escalera?

(Falta dibujo)

11.-(Primaria) En casa de Christian un grupo de ratones roba pedazos de queso de la cocina. Picho, la gata observa que ningún ratón ha robado más de 10 pedazos y ninguno robó la misma cantidad o exactamente la mitad que algún otro. ¿Cuál es el máximo número de ratones ladrones en la casa de Christian?

29.- (Primaria) En un examen de 100 puntos que se le aplicó a un grupo, el promedio de las niñas fue de 91 y el de los niños fue 85. Si el promedio del grupo fue 89, ¿qué fracción del total de alumnos son niñas?

23.- (Primaria) Un punto 𝑃 está en el interior de un triángulo rectángulo 𝐴𝐵𝐶, de tal manera que 𝐴𝐵 = 7, 𝐵𝐶 = 24 y 𝐶𝐴 = 25. 𝐷, 𝐸 y 𝐹 son puntos sobre los lados 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 y 𝐴𝐵, respectivamente, de tal forma que los segmentos 𝑃𝐷, 𝑃𝐸 y 𝑃𝐹 son perpendiculares a los lados 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 y 𝐴𝐵, respectivamente. Si 𝑃𝐷 = 𝑃𝐸 = 2, ¿Cuánto vale 𝑃𝐹?

6.- (Primaria) La maestra de Chema dibuja en el pizarrón tres polígonos A, B y C, al terminar, Chema nota que:

 Los polígonos A y B tienen 30cm de perímetro.  El polígono A tiene 4 lados más que B.

 El perímetro de C es el doble de B.

 Cada lado de los polígonos B y C miden 5 cm.

¿Cuántos lados dibujó la maestra de Chema?

30.- (Primaria y 1) Encuentra todas las posibles parejas de dígitos (a,b) tales que el número 24ab32 es divisible entre 99.

4.-(Primaria y 1) Determinar a, b, c dígitos distintos tales que,

6𝑐𝑎 2𝑏𝑎= 3

10.-(Primaria y 1) Inés tiene dos bolsitas de gomitas, la bolsita A con 7 gomitas rojas y la bolsita B con 10 gomitas amarillas. Cada día Inés puede tomar 3 gomitas de la bolsa A, 2 gomitas de la bolsa B o una gomita de cada una. ¿Cuál es el mínimo número de días que Inés necesita para poder vaciar ambas bolsas?

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9.-(Primaria y 1) Alejandra construye un tetraedro ABCD formado con palitos de madera y bolitas de plastilina como se muestra en la figura, luego etiqueta cada uno de los palillos y bolitas con un número del 1 al 11 sin contar el número 10 (y sin repetir números), de tal manera que el número en cada palillo es la suma de los números en las dos bolitas de sus extremos. Si el palillo AB lo ha etiquetado con el número 9, ¿Con que número ha etiquetado al palillo CD?

(Falta dibujo)

PRIMERO (19,18,27,25,14)

3. (1) Se tiene la sucesión de números 1, 11, 111, 1111, 11111, … ¿Cuál es el dígito de las centenas de la suma de los primeros 2014 números de la sucesión?

22.- (1) Una circunferencia con centro en el punto X se divide en 20 arcos de la misma longitud y se marcan en el sentido de las manecillas del reloj con las letras de la A la S (incluyendo la Ñ). ¿Cuál es la medida del ángulo <AHX ?

25.- (1) ¿Cuántos números entre 100 y 1000000 hay que sean divisibles por 3 y que todos sus dígitos sean iguales?

18.- (1) En la siguiente figura el triángulo ABC es equilátero, tiene lado 2cm y la semicircunferencia tiene diámetro BC. ¿Cuánto vale el área sombreada? (Puedes usar que el área de un triángulo equilátero de lado 2 es 1.7321)

(Falta dibujo)

8.-(1 y 2) A partir del sexto elemento de la sucesión 1,-1, -1, 1, -1,…, cada número es el producto de los dos números anteriores. ¿Cuál es la suma de los primeros 2013 elementos de la sucesión?

12.-(1 y 2) Un jardinero va a plantar una línea de 20 pinos y manzanos. Si no puede plantar exactamente tres árboles en medio de dos manzanos ¿Cuál es la mayor cantidad de manzanos que puede plantar?

14.- (1 y 2) Dos triángulos equiláteros ABC y DEF de perímetros 36 cm y 27cm respectivamente, están sobrepuestos, formando un ángulo de 120º como se muestra en la figura. ¿Cuál es el perímetro del hexágono sombreado?

(Falta dibujo)

27.- (1 y 2) Mane debe estacionar un auto en cada uno de los 12 lugares de estacionamiento como el de la figura. En cada lugar puede estacionar un auto blanco, uno negro o uno rojo (y hay al menos 12 de cada color). Debe hacer esto sin que queden dos autos del mismo color en lugares vecinos de manera vertical y horizontal (diagonal si se puede). ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?

(Falta dibujo)

15.- (1 y 2) Ayer por la tarde, Mario perdió su tarjeta de crédito, pero recuerda que:

(7)

 El número formado por las primeras cuatro cifras menos el número formado por las últimas tres es 95.

¿Cuál es el número de cuenta de Mario?

SEGUNDO (15,5,27,13,8)

5.-(2) Se parte a la mitad un círculo de alambre de 2m de diámetro. Una de las mitades del círculo se colocan sobre una mesa rectangular y la otra mitad se desdobla y se coloca estirada a lo largo del centro de la mesa, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el área de la región sombreada?

(Falta dibujo)

1.- (2 y 3) Demuestra que al colocar 6 fichas en las casillas de un tablero de 4x4 (a lo más una ficha por casilla) siempre se pueden eliminar todas las fichas colocadas, eliminando dos filas y dos columnas del tablero.

13.-(2 y 3) Se coloca una ficha en la esquina de un tablero de ajedrez que puede moverse de forma horizontal y vertical por las casillas del tablero. ¿Es posible llevar la ficha hasta la esquina opuesta del tablero pasando por todas las casillas exactamente una vez?

26.- (2 y 3) Para saber el número secreto de Chus se tienen las siguientes pistas:

 Es un número de 6 dígitos que se lee igual de derecha a izquierda que de izquierda a derecha.

 Es un múltiplo de 9.

 Si se tachara el primer y el último dígito, el único divisor primo del número que queda es 11.

¿Cuál es el número de Chus?

16.- (2 y 3) En una recta se marcan 2014 puntos y se colorean de rojo y de azul. A continuación se pintan los segmentos entre dos puntos consecutivos como sigue,

 Si los dos extremos son rojos, el segmento se pinta de rojo.  Si los dos extremos son azules, el segmento se pinta de azul.

 Si los extremos son de colores distintos, el segmento se pinta de gris.

Si se sabe que el primer punto es de color rojo y al final se colorean 122 segmentos grises, ¿Cuál es el color del último punto?

TERCERO (16,7,24,28,27

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20.-(3) En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 1 y los cuartos de círculo tienen centros en A, B, C y D. ¿Cuál es la longitud de PQ?

(Falta figura)

21.-(3)En cada una de las caras de un cubo se escribió un número entero positivo y a cada uno de los vértices del cubo se le asignó el producto de los números que aparecían en las caras adyacentes al vértice. Si la suma de los números en los vértices es 70. ¿Cuál es la suma de todos los números que aparecen en las caras?

24.- (3) En el lado BC del triángulo ABC, H es un punto tal que AH es perpendicular a BC. Además, AH=8, AB=10 y el área del triángulo ABC es 84. Determina el perímetro de ABC.