GUIA PARA EL EXAMEN EXTRAORDINARIO DE PRECÁLCULO

(1)

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS ENE-JUN-2012 Página 1 Función lineal

1)

Se desea conocer la concentración de Riboflavina (vitamina del grupo b), en una muestra de pescado, experimentalmente se realizo una curva de calibración en el espectrofotómetro s21D, dicha curva cumple con la ley de Bouger Lambert-Beer (la absorbancia es directamente proporcional a la concentración), a continuación se muestran los datos iníciales y finales de la curva.

a) Hallar la relación matemática entre absorbancia y % de concentración

b) Si la muestra dio una absorbacia de 0.047, ¿qué porciento de concentración le corresponde?

c) Si la muestra dio una absorbacia de 0.095, ¿qué porciento de concentración le corresponde?

Solución:

Relación matemática entre absorbancia y % de concentración Cálculo de la pendiente: m =

=

= 0.29

Cálculo de la ordenada:

Cálculo de la concentración a una absorbancia de 0.047

=

= 0.16

Cálculo de la concentración a una absorbancia de 0.095

=

= 0.32

% DE CONCENTRACION ABSORBANCIA

0.06 0.017

(2)

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS ENE-JUN-2012 Página 2

2)

Los productos farmacéuticos deben especificar dosis recomendada para adultos y niños. Dos formulas para modificar los niveles de medicamento para adulto y para niños, son:

Regla de Cowling: Regla de Frend:

Si = 100 y dosis de adulto (en miligramos) y t denota la edad del niño (en años).

a) ¿Para qué edad las dos formulas especifican la misma dosis? b) ¿Qué dosis se tiene para dicha edad?

Solución:

a) Si a = 100 entonces se tiene:

+

=

= Cowling

= 8t Frend

Si las dosis son iguales para ambas ecuaciones y despejando a t tenemos que:

= 8t

(3)

3)

Se ha investigado que la frecuencia con que chirrían los grillos es una función lineal afín a la temperatura ambiental. Los siguientes datos se obtuvieron experimentalmente.

x 41º 44º ºF

f(x) 4 16 Chirridos por

minuto

a) Hallar la relación matemática de la frecuencia de chirridos de los grillos en función de la temperatura

b) Determine la frecuencia de chirridos a una temperatura de 43 ºF

Solución:

Cálculo de la pendiente

Cálculo de la ordenada al origen Ecuación:

El número de chirridos por minuto a una temperatura de 43º F es:

4)

En los países anglosajones suelen usar la escala Fahrenheit para medir temperaturas. En esta escala el punto de congelación del agua se alcanza a 32ºF, y el de ebullición a 212ºF. Nosotros usamos la escala Celsius en la que estos puntos se alcanzan a 0ºC y 100ºC respectivamente.

a) Hallar la ecuación que relacione ºC con ºF y dibujarla. b) ¿A cuántos ºC equivalen 80ºF?

c) ¿A cuántos ºF equivalen 36ºC?

(4)

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS ENE-JUN-2012 Página 4 5)

Un bebé pesa 10 libras al nacer y 3 años más tarde el peso del niño es 30 libras. Suponga que el peso W (en libras) en la infancia está linealmente relacionado con la edad t (en años).

a) Exprese w en términos de t

b) ¿Cuál es el peso en el sexto cumpleaños del niño? c) ¿A qué edad el niño pesará 70 libras?

Solución: a) b) 49.96 libras c) 9 años

6)

Si la dosis de un medicamento que se recomienda para un adulto es D en mg, entonces para determinar la dosis aceptable para un niño de edad , los farmacéuticos usan la ecuación , suponga que la dosis para un adulto es 200 mg.

a) Determine la pendiente y que representa b) ¿cuál es la dosis para un recién nacido?

Solución: a) pendiente = 8.34 y represente el incremento en la dosis por cada año en la edad, b) 8.34 mg

7)

La relación entre las escalas de temperatura Fahrenheit (ºF) y Celsius (ºC) se expresa mediante la relación:

Completar la siguiente tabla y determinar la temperatura a la cual las dos escalas tienen el mismo valor.

Solución: -76ºF, -4ºF, 14ºF, 32ºF, -12.22ºC, 10ºC, 23.88ºC, 37.77ºC y ambas escalas son iguales en el valor de -40.

ºC ºF -60 -20 -10 0

(5)

8)

En el juego de video que se muestra en la figura, un avión vuela de izquierda a derecha a lo largo de la trayectoria dada por y = 1 + y dispara balas en la dirección tangente a criaturas colocadas sobre el eje X, en X= 1, 2, 3 y 4

Mediante un cálculo, la pendiente

de la recta tangente a la

trayectoria en P (1,2) es m = -1 y en

Q( , ) es m = - , determine si una criatura será blanco de balas cuando el avión esté en:

a) P b) Q

9)

(6)

10)

En la superficie del mar, la presión del agua es cero y la presión total es la presión atmosférica, la cual tiene un valor de 14.6885 lbf/plg

2

, por debajo de la superficie la presión aumenta 4 lbf/plg

2

por cada 10 pies que se desciende.

a) Determine una ecuación para la relación entre presión y profundidad del mar

b) Trace una grafica de esta ecuación obtenida

c) ¿Qué representa la pendiente y la ordenada al origen de la grafica?

11)

La presión del gas es directamente proporcional a su temperatura (Ley de Gay Lussac).

•Si aumentamos la temperatura, aumentará la presión. •Si disminuimos la temperatura, disminuirá la presión.

En la siguiente gráfica hallar la ecuación que relacione presión y temperatura

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0 100 200 300 400 500

Temperatura

K P

r e s i ó n

(7)

En el laboratorio de química se elaboró una solución, en la cual se midió la temperatura en dos tiempos diferentes, las temperaturas fueron de 5ºC y 50ºC. Para estudiarla es más conveniente establecer una nueva escala de temperatura, a la cual la llamaremos grados OMEGA (ºΩ), si a 0º Ω le corresponden -10ºC y a 100ºΩ le corresponden 90ºC, determinar:

a) La función lineal, para calcular los grados Celsius como una función de los grados OMEGA.

b) Utilizando la función del inciso anterior calcula los grados Celsius que le corresponden a 60ºΩ.

c) Calcula los grados omega que le corresponden a 5ºC y 50ºC.

13)

Un auto inicia su movimiento en el kilómetro 20 de una carretera, siendo las 13:00 horas del día y 9 horas después de haber comenzado, cruza el kilómetro 70. Si este movimiento es rectilíneo uniforme en todo momento (función lineal), determina:

a) La función lineal, para calcular el desplazamiento como una función del tiempo

b) Utilizando la función del inciso anterior calcular a que kilometro llegará en el momento en que han transcurrido 11 horas de viaje. (las condiciones del movimiento se mantendrán)

14)

Un ingeniero químico fabrica cosméticos y observa que cuesta 2200 pesos manufacturar 100 labiales rojo carmín en un día, y 4800 pesos producir 300 labiales en un día.

a) Si se supone que la relación entre costo y número de labiales fabricados es lineal, encuentre una ecuación que exprese esta relación. Luego grafique la ecuación.

b) ¿Cuál es la pendiente de la recta del inciso anterior y qué representa?

(8)

15)

Según la ecuación química 3H₂_{ }_g N₂_{ }_g 2NH₃_{ }_g , el número de

moles de NH₃_{ }_g son una función lineal del número de moles de H₂_{ }_g .

Si en una reacción previa obtuvimos 5 moles de NH₃_{ }_g A) Plantea

la función correspondiente para responder los siguientes incisos. B) ¿Cuál será el número total de moles de NH₃_{ }_g si agregamos 10 moles

más de H₂_{ }_g ? C) ¿Cuántos moles más de H₂_{ }_g debo agregar si

requiero 15 moles más de los 5 iniciales de NH₃_{ }_g ? Y D) ¿Cuántos

moles de H₂_{ }_g se agregarón en la reacción previa para obtener los

primeros 5 moles de NH₃_{ }_g ?

16)

Según la ecuación química 2KClO₃_{ }_s 2KCl_{ }_s 3O₂_{ }_g , el número

de moles de O₂_{ }_g son una función lineal del número de moles de

 

3 s

KClO . Si en una reacción previa obtuvimos 7 moles de O₂_{ }_g A)

Plantea la función correspondiente para responder los siguientes incisos. B) ¿Cuál será el número total de moles de O₂_{ }_g si agregamos

5 moles más de KClO₃_{ }_s ? C) ¿Cuántos moles más de KClO₃_{ }_s debo

agregar si requiero 15 moles más de los 7 iniciales de O₂_{ }_g ? Y D)

¿Cuántos moles de KClO₃_{ }_s se agregaron en la reacción previa para

(9)

En algún lugar de México se construirá un lago salado artificial, en ese lugar la presión atmosférica es de 2

7lb_f / pulg y por debajo de la

superficie la presión aumenta 2 lbf/plg 2

por cada 5 pies que se desciende. d) Determine una función para la relación entre presión total y

profundidad del lago.

e) Trace una gráfica de esta función obtenida. Utilizando la función anterior responde:

f) ¿Qué presión total se tendrá a 9 pies de profundidad?

g) Si el material con el que se recubrirá el fondo del lago artificial

soporta 2

30lb_f / pulg ¿Cuál es la mayor profundidad que puede

tener este lago?

18)

En algún lugar de México se construirá un lago salado artificial, en ese lugar la presión atmosférica es de 2

5lb_f / pulg y por debajo de la

superficie la presión aumenta 2

3lb_f / pulg por cada 9 pies que se sumerge.

h) Determine una función para la relación entre presión total y profundidad del lago.

i) Trace una gráfica de esta función obtenida. Utilizando la función anterior responde:

j) ¿Qué presión total se tendrá a 5 pies de profundidad?

k) Si el material con el que se recubrirá el fondo del lago artificial

soporta 2

20lb_f / pulg ¿Cuál es la mayor profundidad que puede

(10)

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS ENE-JUN-2012 Página 10 Función de segundo grado

1)

Graficar la siguiente parábola mediante el vértice (completando el trinomio cuadrado perfecto) y sus intersecciones con los ejes de coordenadas.

Y =

Se desea la forma:

Se procede a factorizar los términos en x: Se completa el cuadrado:

[ ]

Vértice: V(-2,-3)

Intersecciones con los ejes de coordenadas Si y = 0

A partir de la ecuación obtenida: Y = = 0

Se despeja x-. x = √

o bien x1 = √ y

x2 = √

Si x = 0 en Y = entonces se tiene: y = 17

2).

Obtener el vértice y las intersecciones de la parábola

, haciendo uso del trinomio cuadrado perfecto.

Solución:

Se desea la forma:

Se procede a factorizar los términos en x:

Se completa el cuadrado:

[ ]

Vértice: V(-2,-2)

Intersecciones con los ejes de coordenadas Si y = 0

(11)

√

por lo tanto se tiene (0,0) y (-4,0)

Si x = 0 en

la intersección es en (0,0)

3)

Y =

Solución: Vértice: V(-1,9) Intersecciones con los ejes de coordenadas

, ,

4)

Y =

Solución: Vértice: V(2,-4) Intersecciones con los ejes de coordenadas

,

5)

Obtener el vértice y las intersecciones de la función , haciendo uso del trinomio cuadrado perfecto.

Solución: V

(12)

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS ENE-JUN-2012 Página 12 -5

-3 -1 1 3 5 7 9

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

6)

Obtener el vértice y las intersecciones de la función

, haciendo uso del trinomio cuadrado perfecto. Solución: V

Intersecciones: (√ ) ( √ )

7)

Determinar el dominio, rango, vértice, intersecciones con los eje coordenados y la monotonia de la función: Y =

Solución: como es una función polinómica de segundo grado el dominio será todo el conjunto de los números reales .

Para determinar el vértice de la función es necesario factorizar completando el trinomio cuadrado perfecto (ver sección de la parábola).

Vértice: V(-2,-3)

(13)

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS ENE-JUN-2012 Página 13 Ejercicios

Calcula la concavidad, el vértice (indicando si es un máximo o un mínimo), las raíces , el dominio, el rango, monotonía y grafica de las siguientes funciones cuadráticas.

a. b. c. d. e.

f.

g.

_{f x}

_{ }

  _{3 5}_x₄_x2

h.

_{ }

2

3 6 1

f x  x  x

i.

_{f x}

 

 _{5 7}_x₇_x2

j.

_{f x}

 

  _{8 5}_x₆_x2

8)

La rapidez de crecimiento (en libras por mes) de un infante está relacionada con el peso actual (en libras) por la fórmula

, donde es una constante positiva y 0<x<21. ¿A qué peso se presenta la máxima rapidez de crecimiento?

Solución:

Completando el trinomio cuadrado perfecto: (

)

[ _]

(14)

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS ENE-JUN-2012 Página 14 Por lo tanto el peso será de o bien 10.5 libras

9)

El número de manzanas que produce cada árbol en una huerta depende de la densidad de árboles plantados. Si se plantan arboles en un acre de tierra, entonces cada árbol produce manzanas, así que el número de manzanas producidas por acre es

¿cuántos árboles se deben plantar por acre a fin de obtener la producción máxima de manzanas?

Solución: arboles de acre

10)

La trayectoria que sigue una persona al saltar desde una plataforma de 7 metros de altura esta dada por la ecuación , donde es la distancia horizontal y es la altura, ambas variables están dadas en metros.

a) ¿A qué distancia entrara al agua a partir del punto máximo?

b) ¿Cual es la altura máxima total que alcanza la persona a partir del nivel del agua

Solución: a) 9 metros; b) 3 metros

Y

X

(15)

Cuando cierto fármaco se toma oralmente, su concentración en el torrente sanguíneo del paciente después de minutos está dada por

donde y la concentración se mide en mg/L. ¿cuándo se alcanza la concentración máxima, y cuál es esa concentración máxima?

Hipérbola equilátera o función racional f x =

 

ax+b

cx+ d

1)

Graficar la siguiente hipérbola

Solución:

Al desarrollar algebraicamente tenemos:

Completamos los términos faltantes

Por lo tanto el centro de la hipérbola es Las ecuaciones de las asíntotas son:

Asíntota vertical

Asíntota Horizontal

Ahora tabulamos por parejas, tales que el producto de ambos sea constante e igual a 6.

X 1 -1 2 -2 3 -3 6 -6

y 6 -6 3 -3 2 -2 1 -1

Para localizar los puntos de la hipérbola se miden las distancias de cada pareja de nú meros, tomando como referencia el centro.

(16)

-10 -5 0 5 10 15

-15 -10 -5 0 5 10 15 20

(por ser positivo), de tal manera que el punto localizado es un punto de la hipérbola equilátera.

.

2)

Graficar la siguiente función

Solución:

Centro de la hipérbola Ecuaciones de las asíntotas son:

Asíntota vertical

Asíntota horizontal

X 1 -1 2 -2 5 -5 10 -10

(17)

3)

Solución:

Centro de la hipérbola

Asíntota vertical

X 1 -1 2 -2 4 -4 8 -8

y 8 -8 4 -4 2 -2 1 -1

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

(18)

4)

Solución:

X 1 -1 -2 -2 4 -4 8 -8

y -8 8 4 4 -2 2 -1 1

Centro

-26 -21 -16 -11 -6 -1 4 9 14 19

(19)

-15 -10 -5 0 5 10 15 20

-15 -10 -5 0 5 10 15

Asíntota vertical

5)

Solución:

Centro

X 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 6 -6 12 -12

(20)

-10 -5 0 5 10 15

-15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

6)

Bosquejar la siguiente grafica

x puntos

-4

-2

-1

(

) ( )

(

) ( )

(

) ( )

(

) ( )

( ) 1

2

(21)

-10 -5 5 10

-10 -7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5

símbolo significa

x→a-

x→a+

x→-∞ x→∞

tiende a por la izquierda tiende a por la derecha

tiende a menos infinito; es decir, disminuye sin cota

tiende a infinito; es decir, incrementa sin cota

Asíntota: es una línea recta horizontal o vertical donde la grafica se acerca a ella y en algunos casos la toca. En términos informales, la asíntota de una función es una línea a la que la grafica de una función se aproxima cada vez más cuando se va a lo largo de esta línea.

𝑓 𝑥 → 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → +

𝑓 𝑥 → 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 →

𝑓 𝑥 → 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → -

𝑓 𝑥 → 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 →

(22)

-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-15 -10 -5 0 5 10 15

Transformaciones de

7.

Bosqueje la siguiente función

Tenemos una función racional de la forma

, se puede graficar si se desplaza, alarga o refleja la grafica de

. (Recordar el tema 2.4)

Factor 3

(23)

-2 -1 0 1 2 3

-15 -10 -5 0 5 10 15

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

Podemos observar que la grafica de se obtiene de la grafica de

desplazando 5 unidades a la derecha y alargando verticalmente por un factor de 3. Así tiene una asíntota vertical en y una asíntota horizontal en

8)

Al hacer la división larga tenemos

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-15 -10 -5 0 5 10 15

𝑡 𝑥 𝑥

Reflexión de la grafica 𝑓 𝑥 _𝑥

𝑡 𝑥 𝑥

Desplazamiento horizontal de cuatro unidades a la izquierda

(24)

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS ENE-JUN-2012 Página 24 0

2 4 6 8 10 12

-15 -10 -5 0 5 10 15

Finalmente se puede observar que la grafica de se desplaza 5 unidades a la izquierda, y se desplaza hacia arriba 6 unidades. Así

tiene una asíntota vertical y una asíntota horizontal

9)

Desplazamiento vertical de seis unidades hacia arriba

(25)

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS ENE-JUN-2012 Página 25 -1.5

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-15 -10 -5 0 5 10 15

-6 -4 -2 0 2 4 6

-15 -10 -5 0 5 10 15

-6 -4 -2 0 2 4 6

-15 -10 -5 0 5 10 15

Al realizar la división larga se tiene

𝑝 𝑥

𝑥 𝑝 𝑥 𝑥

(26)

-20 -10 0 10 20 30

-5 -3 -1 1 3 5

0bservamos que la grafica de se desplaza 1 unidad a la derecha, y se desplaza hacia arriba 2 unidades. Así tiene una asíntota vertical y una asíntota horizontal y su intersección con el

eje es en el punto y

con el eje .

Ejercicios propuestos

Graficar las siguientes funciones

𝑝 𝑥 𝑥

(27)

Ejercicios propuestos FUNCIONES RACIONALES

De las siguientes funciones encuentre las intersecciones con los ejes, asíntotas, dominio, rango y grafique la función.

Dominio y rango

1)

Determinar el dominio y rango de la función:

Solución: igualando el denominador a cero

El dominio estará formado por todos los reales excepto el número 3 es decir, Df: -{3}.

(28)

-40 -20 0 20 40 60

-2 0 2 4 6 8 10

√

[

Rango:[0,∞)

2)

Determinar el dominio y el rango de la siguiente función:

√

Solución: Es una raíz de índice impar, por lo tanto el dominio de la función es de

El rango es de

3)

Determinar el dominio de la siguiente función:

√

Solución:

(29)

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS ENE-JUN-2012 Página 29 Analizando el denominador: es una raíz de índice par, por lo tanto la cantidad de la raíz tiene que ser mayor o igual a cero.

Como la división entre cero no existe, el denominador nunca puede ser igual a cero

Por lo tanto el dominio de la función es:

4)

Determinar el dominio de la siguiente función:

√ Solución:

Factorizar y resolver la desigualdad

Este tipo de desigualdades ya fueron analizadas anteriormente. Dominio ] [

Ejercicios Propuestos

Hallar el dominio y rango de las siguientes funciones.

1.

R. Dominio y rango todos los reales

16.

2.

R. Dominio y rango todos los reales

17.

3. _18._√

Df:[ Rf: [0,∞)

4.

19. √

5. Df: , Rf:

(30)

6. _21._√

7.

Df: , Rf:

22. √ Df:

[ ]

8. _23._√ _D

f:

(-∞,-3] [4,∞)

9.

Df: -{- }, Rf: -{ }

24. √

10.

Df: -{- }, Rf: -{ }.

25. √

11.

26.

√ Df:

12.

27. √ Df: (2, ∞)

13.

Df: -{1}. Rf: -{2}.

28. √

14.

Df:

29. √ √

15.

(31)

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS ENE-JUN-2012 Página 31 Operaciones con funciones

Ejemplo 1.

₍ _{– )} ( _{– )}

_– ₊₁

Df: Df:

₍ _{– )}₍ ₎

_{El denominador debe ser} diferente a cero

Df: 𝕹 para que la función

exista, por lo tanto:

Df: - {0,

Ejemplo 2.

Df:

( )

El denominador debe ser diferente a cero

Df: para que la función

exista, por lo tanto:

Df: - {0,

(32)

√

√ √

Para que exista la función se tiene: Para que exista la función se tiene:

Df: [-3,∞) Df: [-3,∞)

( √ ) ( ) √ Df: [-3, ∞) Numerador: [-3, ∞)

Denominador: - {0

Df: [-3, ∞) - {0

Ejemplo 4.

√

Df: [1, ∞)

Df: [1, ∞) √ ( )

√

Df: [1, ∞) Df: (1, ∞)

Ejemplo 5.

Para el numerador: Df: Para el numerador: Df:

(33)

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS ENE-JUN-2012 Página 33 Por lo tanto el Df: - {-5, Por lo tanto el Df: -

{-5,

( )

Df: - {

Df: - {-5,

Ejemplo 6.

√ √

√ √ √

√

Se observa que se plantean las mismas desigualdades

de la suma, por lo tanto Df:[ ]

Df:[ ]

(√ √ ) ( ) √

√ para que el cociente exista se debe cumplir:

Df:[ ]

Por lo tanto: Df:[ ]

(34)

Encuentre (compruebe las in funciones

inversas obtenidas), así como los respectivos dominios de las funciones resultantes.

1.

6.

2.

7.

3.

8.

√

4.

9.

5.

10. √

(35)

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS ENE-JUN-2012 Página 35 Función compuesta

Ejemplo 1.

_√

√ √

√ = x Df: Df:

Ejemplo 2.

√

Df: Df: -{

Ejemplo 3.

√ √

√√

√√ se debe cumplir:

√√

El dominio de [ el dominio de

[

√ así mismo:√

al resolver las siguientes desigualdades, entonces Df: [

tenemos por lo tanto Df: [

entonces Df: [

(36)

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS ENE-JUN-2012 Página 36 Se debe cumplir que el Dominio de el dominio de

debe estar en el

este en el dominio de , por lo tanto dominio de . por lo tanto Dfg: [

los valores serán: [

Ejemplo 4.

_√

√ √ _√_Resolver

, ] [

√ Dominio de es

Resolver , [ Dg f = ] [

El dominio de [ El dominio de es [

Ejemplo 5.

√ √

√ √ √

√√ Dominio de [ Dominio de

]

Resolver: √ √ Dominio de Dgf = ]

Por lo tanto el dominio de la desigualdad anterior es:

(37)

Encuentre y el dominio de la función resultante.

1.

10. _√ √

2.

11.

–

3. _12.

4.

13. √

5.

6.

7.

8.

√

(38)

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS ENE-JUN-2012 Página 38 Función inversa

Hallar la inversa de las siguientes funciones y comprobar si son inversas una de la otra

1.

Sea

Despejar en términos de

Si -1 : esto es: -1

Como el símbolo empleado para la variable no tiene importancia, también se puede escribir: -1(x)

Comprobación: -1

-1( )

estas verificaciones

demuestran que la función inversa de está dada por -1(x)

2. Sea

; Si

-1

: esto es: -1

-1(x)

Comprobación: -1

-1( )

3. Sea

(39)

Si -1 : esto es: -1

-1(x)

Comprobación: -1 (

) ( )

-1( )

( )

4. Sea

Si

-1

: esto es: -1

Comprobación: -1

( )

-1( )

Encuentre la función inversa de y demuestre que la función -1 corresponde a

5.

12.

6. √ 13.

(40)

1

Funciones por intervalos

En muchas ocasiones se requiere más que una sola fórmula para describir una función. Se dice que estas funciones son funciones definidas por tramos.

Ejemplo 1.

Calcular

𝑦 𝑥 _{𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥}

𝑦 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥

𝑦 √𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥

La función 𝑓 𝑥 no es una función que representa tres funciones, es una sola función en la cual el dominio esta definido por todos los reales, la grafica se divide en tres secciones:

Rango de la función: [ ]

𝑥 𝑠𝑖 𝑥 𝑥 𝑠𝑖 𝑥

𝑠𝑖 𝑥 𝑥 𝑠𝑖 𝑥

𝑥 𝑥

(41)

0

Finalmente

2) Calcular

3.

Calcular

𝑥 𝑠𝑖 𝑥 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥

𝑥 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 𝑓 𝑥

(42)

0 1

4)

Para las funciones determinar,

( )

𝑥 _𝑥

𝑥

𝑥 𝑥

𝑥 _𝑥 _{𝑠𝑖 𝑥}

𝑥 _𝑥 _{𝑥 𝑠𝑖 𝑥}

𝑥 𝑠𝑖 𝑥 𝑥 𝑠𝑖 𝑥

𝑓 𝑥 _{𝑔 𝑥}

𝑥 𝑥

𝑥

(43)

𝑥 𝑠𝑖 𝑥 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 𝑥 𝑠𝑖 𝑥

𝑓 𝑥 𝑔 𝑥

𝑥 _𝑥_{𝑠𝑖 𝑥} 𝑥 _𝑥_{𝑠𝑖 𝑥}

(44)

Para cada una de las funciones determinar,

( ) ( ) con sus respectivos dominios.

𝑥 𝑠𝑖 𝑥 𝑥 𝑥 𝑠𝑖 𝑥

𝑓 𝑥 𝑔 𝑥

𝑥 𝑠𝑖 𝑥 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥

𝑥 𝑠𝑖 𝑥 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 𝑔 𝑥

𝑥 _{𝑠𝑖 𝑥}

𝑥 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥

𝑥 _{𝑠𝑖 𝑥}

𝑔 𝑥

𝑥 𝑠𝑖 𝑥 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 𝑥 𝑠𝑖 𝑥

(45)

Función exponencial

Obtener la asíntota horizontal y las intersecciones con los ejes, dominio y rango de las siguientes funciones exponenciales. También bosqueje la función para los ejercicios

Grafica las siguientes funciones exponenciales

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. ( )

11. {

12. {

13.

Función Respuesta

 

0,6

_y _{ }₂

; Ix



1/ 4,0



;Iy



0, 1



y  1_;I_x



   

1,0 , 2,0



_;I_y



0, 3/ 4



( )

y  1/4_;I_x





 3,0 , 3,0

  



_;I_y



0,7/ 4



_y _{ }₁_;

 

x

(46)

Resuelva para x, en las siguientes ecuaciones exponenciales:

1 ₄x2₄3 x  1

2

 

24 x  1 15 x 1

3 32x41 x 2

4 _ex2_{ }_e ₀ _x _₁

5 log 16₂

 

x log 2₂

 

2x 1 x 1/2

6 ₂x ₄x ₇₂ x 3

7 2x 4x 8x 84 x 2

8 2 10 3

4x 2x 2 2 x 3

9

 

2x 322x22x  6 0 x 0

10 22x  2 2x 1 25 x 2

3x 1 3



x   2



2 x 0

15

x 

18

 

2x 12152 x 4

19



3x 1





x1/3 4/3



 

125

21.

 

1

 

1

3

 9

25.

 

2 3

 

1 4

x

f x   g x  

26. f(x)3x154 g(x)3x2270

27. f(x)3x181 g(x)3x227

28. _{f x}( )2x148

g(x)2x3 32

29. f(x)2x232 g(x)2x316

30. f(x)3x181 g x( )3x227

(48)

FUNCIONES LOGARÍTMICAS

Reformula la expresión exponencial en forma de una expresión logarítmica equivalente. 32.

33. 34. 35. 36. 37. ( )

Reformula la expresión logarítmica en forma de una expresión exponencial equivalente.

38. 39. 40. _√ 41.

42. 43.

Obtener las ecuaciones de las asíntotas horizontales, las intersecciones con los ejes, dominio y rango para las siguientes funciones logarítmicas. También bosqueje dichas funciones.

Función Respuesta (x =asíntota; I_x=intersección con el eje

de las abscisas; I_y=intersección con el eje de las ordenadas)

1 _{f x}

 

_



_x _{ }



2

_;I_y

 

0,4

3 _{f x}

 

_



_x _{ }



3

9

 





e

Grafica las siguientes funciones logarítmicas

44.

45. 46.

47. 48. 49. 50. 51. | | 52. | |

Usando las propiedades de los logaritmos combine los términos para obtener uno solo:

1. 2. 3. √ (

)

Solución:

1. ( ) ( )

2. √ (√ )

Posteriormente

(√

√ ) (√ )

Con lo cual se concluye que:

(√ √ )

3. √ (

) ( ) ( √ )= ( √

)

Usa las propiedades de logaritmos para reescribir las siguientes expresiones como un solo logaritmo.

53.

(50)

Expansión de expresiones logarítmicas.

Ejemplos: expanda las expresiones: 1.

2. ( ) 3. (

√ )

Solución:

1. 2. (

) ( )

Desarrollando cada término del lado derecho

( )

Finalmente se obtiene:

(

)

3. (

√ ) (

₎

( ₎ _{

Entonces

(

√ )

Expanda las expresiones:

59. y ln_b x

yz    _ _  

60. ylog_b xy

61. yln



yz 3 yx2



62.

2 3

2 log_b x

y

yz 

63.

3 4 5

2 ln x y

y

z 

Aplica las propiedades de logaritmos de modo que la expresión no

contenga productos, cocientes ni potencias

64. √

√

log2



x 1



3 x 3

9 log3



x 3



log3



x1



3log 23

 

x 1

10 log3





log 54

 

x 25

17 log9

 

x log 29

 

x  log 29

 

x4

5 x 3

19 3  2   _{ }

ln 2

log log 2 2

ln 3

x  x   _x _₄

20 log 2e

 

loge



x3



log 3e

 

loge



x2



x 13

21 log 23



x 4



log3



x  2



log3



x 1



log 5/23

 

x 3

22 _log₂

26 _log_1/3



log₃ x



 _2 1 x 



33, 27



27 _log₂



log_1/2 x



_ 2 1 1, 2

4 2

x   

 

 

28 [ ] x

_{ } 

 

     

 

 

2 2

(52)

Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas

67. 68. 69. 70. ( )

71.

72.

Problemas de aplicación de ecuaciones exponenciales y logarítmicas a la Ingeniería Química

1. La ecuación de Arrhenius se utiliza para modelar la dependencia de la constante de rapidez de una reacción química. Este modelo depende de dos parámetros de la siguiente manera:

/ e

E R T

k k 0 

Donde los parámetros son el factor de frecuencia (k₀) y la energía de activación (E ). R

es la

constante de los gases. Dada la temperatura (T) queda determinada la constante de rapidez (k).

Usando las propiedades de los logaritmos y exponenciales muestre que los parámetros pueden determinarse dadas dos temperaturas con las respectivas constantes (k1 y k2) de

la siguiente manera:

T T k

E R

T T k

   

 _ _  _{ } _

   

1 2 2

2 1 1

ln _y

E R T

k k

/ 1 0 1e

2. La viscosidad de un líquido puede calcularse con la siguiente expresión: B

T

A  e

Donde  es la viscosidad y A y B son constantes arbitrarias y T la temperatura a la cual se desea la viscosidad en kelvin.

Para el siguiente conjunto de datos encuentre las constantes A y B.

T , g/cm-s

273 1.054

313 0.639

343 0.441

373 0.326

Resp. A=0.0135 g/cm-s; B=1195.7 K

3. La presión de vapor (Pv) en bar de una sustancia pura en estado líquido puede

calcularse con la correlación de Antoine la cual tiene la forma:

 

V

B P A T C    ln

Donde T es la temperatura en K; A, B y C son constantes que dependen de cada fluido. Para el ciclohexeno las constantes son: A=9.2041; B=2813.53 y C=-49.98 para 300≤T≤360 K

(53)

Resp. 0.1288, 0.3583 y 0.8405 bar.

4. La ecuación de van´t Hoff en su forma integrada permite calcular la constante de equilibrio de una reacción reversible como una función de la temperatura y la entalpía de reacción. Dicha ecuación es:

e           H

R T T

K K 1 0

1 1

1 0

Donde K₀ es la constante de equilibrio a una temperatura de referencia (T₀),K₁ es la constante de equilibrio a la temperatura T₁, Hes la entalpía de reacción y R es la constante de los gases.

a) Despeje T₁ de dicha ecuación. Resp.

  ln / RT H T T

k k 

  0 1 ₀ 1 0 1 .

b) Muestre H y K₀ pueden determinarse si se conocen a varias temperaturas diferentes los correspondientes valores de las constantes de equilibrio. Resp. Graficar

 

ln K_i vs 1/T

5. De la siguiente ecuación despeje ₁, x₁ y x₂:

 

A A x

A x      _  _   2 12 1 1 12 21 2 ln 1

6. Un laboratorista mide la concentración molar de iones H+ en gmol/L (

H

C _) en una solución que contiene algo de ácido clorhídrico. El valor reportado del pH fue de 13.288. Sin embargo su jefe se da cuenta de que la fórmula del pH usada por el laboratorista fue:

 

H

pH  log C₂ _

¿Cuál es el valor real del pH? Resp. pH=4.0

Derive una fórmula para determinar el pH real como una función de la fórmula empleada por el laboratorista.

 

H log C pH   2 

2

log 10

7. La viscosidad de un hidrocarburo de petróleo se puede calcular con la siguiente

fórmula:



 cT



A B

 

T

    

 

10 10 1 1 10

log log 0.7 log

Donde A1 ,B1y cT son constantes que se obtienen de tablas, T es la temperatura absoluta

y  es la viscosidad cinemática.

Despeje de esta ecuación

a) la temperatura. Resp. T 



10A B1/ 1



_log₁₀



0.7c_T



_1/ 1B

b) el coeficiente de viscosidad: Resp.





A _TB

T c          

(54)

Grafica las siguientes funciones trigonométricas

73. f x

 

sen x ₄ 1



 

 _  _

 

74. f x

 

cos



x



2

75.

 

2 2

2

f x  sen x_ _

 

76.

 

tan 1

3 2

f x  _x _

 

77. 78. 79. 80. 81. 82. 83. 84. 85. 86. 87. 88. 89. 90.

Grafica las siguientes funciones en los intervalos dados

91.

_{ }

2 4

y sen x    x 

92. 1 4 4

4 2

x

y  sen _{ }    x x  

93. 3cos 4 4

2

x

y     x 

94. 1cos 2





2 2

3

y x   x

Grafica las siguientes funciones y expresa su dominio y rango

95. f x

 

1

101.  arctan

 

 3

102. 3

2

arcsen

  __ __

 

103.  arccos

 

1

Simplifique cada expresión utilizando identidades fundamentales

104. tan

   

x csc x

105.

 

_{ }

2 sec 1 tan x x  106.

 

2 2 1 1

csc x sec x

107.



 



 

2 ₂

1 cos

x sen x

x

 



108.

 



 



 

2 2

cos 1

1

x sen x

sen x

 



Verifica las siguientes identidades

109. tan

   

x sen x cos

 

x sec

 

x

x

111. tan

     

x sen x cos x sen x

     

cos x ctg x 1

112. ctg2

 

x cos2

 

x 



ctg x

   

cos x



2

113. 1 tan 2

   

x tan x sec 2

 

x

114.









tantan

 

tantan

 

sen x y x y

 



(56)

Resuelva los siguientes problemas de ecuaciones trigonométricas:

1 √ {

}

2 _√ {

}

3 _√ {

}

4 √ { }

5 _√ {

}

6 {

}

7 * √ + {

}

8 √ { }

9 {

}

10 √ √ {

}

11

{

}

12 { }

13 { }

14 {

}

15

{

(57)

ECUACIONES TRIGONOMETRICAS

Determina todas las soluciones de cada una de las ecuaciones trigonométricas siguientes 115.

116. 117. 118. √ 119. 120. 121. 122.

123.

 

 sen2

 

 0 0 x 2

134. 4cos2

 

2x 4cos 2

 

x  1 0 0 x 2

135. 2 2 3 1 0 0 2

2 2

x x

sen  _{ } sen _{ }   x 

(58)

Calcula las Raíces de polinomios de grado mayor a dos

136. 137.

138. 139.

140. 141.

142. 143. 144.

Encuentra las soluciones reales de las ecuaciones

145.

146. 147.

148. 149.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por regla de Cramer y Gauss-Jordan

150. {

151. {

152. ,

153. ,

154. {

155. {

156. {

157. ,

(59)

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES PARA RESOLVER UTILIZANDO “ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDAN” Y “REGLA DE CRAMER”

159.

4 3 15

2 2

2 2 4

x y z

     _ _{ }   _ _{ }  160.

3 2 4

3 3 2

6 3 2 6

x y z

     _ _{  }   _ _{  }  161.

2 3 5 4

7 6 7

7 2 9 6

x y z

     _ _{  }   _ _{ }  162.

5 4 5 6

6 2 4

4 9 12 5

x y z

     _ _{ }   _ _ _  163.

2 3 8

5 2 3 13

2 5 15

x y z

     _ _{  }   _ _{ }  164. 3 2

2 2 5

5 2 7

x y z

x z      _ _{ }   _{ }  165.

3 2 4 4

7 5 9

9 9 1

x y z

     _ _{ }   _ _{ }  166. 5 2

4 3 5 3

3 2 4 1

x y z

     _ _{ }   _ _{ }  167.

3 5 2 2

2 3 3

4 3 8

x y z

x z y z       _{  }   _{ }  168.

2 3 8 2

3 2 5

2 3 3

3 2 3 7 5

w x y z

(60)