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LA SUMA LLEVÁNDOSE HASTA EL NÚMERO 100

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Academic year: 2018

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(1)

FUNDAMENTOS DEL CÁLCULO ARITMÉTICO

EN EL PRIMER CICLO

DE LA ENSEÑANZA PRIMARIA.

LA SUMA LLEVÁNDOSE

HASTA EL NÚMERO 100

(2)

Introducción.

Si bien la llamada operación de la suma llevándose no presenta la dificultad que muestra la resta llevándose, ni tampoco presenta gran dificultad para entender la razón del algoritmo empleado, pone de manifiesto, sin embargo y de forma clara, diversos errores que se producen en la enseñanza del cálculo aritmético. Dos de los errores que pone de manifiesto son:

- Los alumnos no dominan el concepto de número natural.

- Los alumnos no calculan; los alumnos cuentan.

Estas dos afirmaciones las fundamento en la observación práctica que realizo a menudo, tanto con alumnos como con profesores:

Formulo una primera pregunta:

“Si sumamos 7 más 5, ¿qué resultado obtenemos?” En todos los casos responden: 12.

A continuación formulo la segunda cuestión:

¿Por qué da 12? ¿Cómo sabes que da 12? ¿Cómo has calculado el resultado?

En la mayoría de los casos la respuesta es insatisfactoria. Unos, se limitan a repetir el resultado de la operación:

- “Porque si sumamos a siete, cinco unidades más, nos da doce”

Otros, simplemente cuentan, incluso sirviéndose de los de las manos:

- “Porque si vamos añadiendo a siete una más hasta llegar a doce, tenemos que añadir cinco.”

- “Tenemos siete, ocho, nueve, diez, once y doce.”

Los últimos dicen no entender la pregunta.

(3)

C

3

7 + 5 = 12

Les planteo la siguiente situación práctica:

- A la derecha tienes 7 unidades; a la izquierda, 5 unidades. Operando solamente con la regleta de la derecha, con la regleta 5 que es la que suma, tenemos que ver, al final, el resultado, es decir, el número 12 que tenemos escrito en la pizarra. Aquí tienes también la caja con el resto de las regletas por si las necesitaras para hacer algún tipo de operación.

Las acciones que con más frecuencia realizan, tanto alumnos como profesores, son las dos siguientes:

Ante estas dos formas de resolver la acción propuesta, les planteo la siguiente pregunta:

(4)

- ¿Dónde vemos en el franelograma la cifra 1 y la cifra 2 del número 12?

Este tipo de respuestas pone de manifiesto que lo dominante en las aulas es que los alumnos cuentan cinco a partir de siete y, al mismo tiempo, que no saben que el número 12 representa una agrupación de 10 elementos o unidades más 2 unidades sueltas.

Otro de los errores que se produce en relación a la suma llevándose es que los profesores ponen el énfasis en que los alumnos dominen la mecanización del algoritmo. Esta visión unilateral de la operación produce un empobrecimiento de las matemáticas. Por ejemplo, la enseñanza y el aprendizaje de la suma 37 + 25 se limita a que el alumno resuelva la operación diciendo:

- “7 más 5 son 12. Me llevo una. 3 y 1 son 4. 4 más 2 son 6.”

Si centramos toda nuestra atención en este procedimiento, nos olvidaremos de muchos aspectos y matices que presenta la operación de sumar y que enriquece el pensamiento matemático y desarrolla la capacidad del cálculo aritmético. Lo vemos con un ejemplo que suele ser habitual en nuestra vida práctica:

Tenemos 37 euros. Esta cantidad la tenemos en un billete de 20, otro de 10, otro de 5 y, finalmente, en una moneda de 2 euros. Por otra parte, tenemos también 25 euros, formados por un billete de 20 y otro de 5 euros. Si quisiéramos saber la cantidad total de dinero que tenemos, no operaríamos con arreglo al procedimiento que empleamos en el aula sino uno similar a este otro:

De un lado, juntaríamos los dos billetes de 20 euros. Tenemos 40 euros. A continuación, añadiríamos el billete de 10 y los dos de 5, formando otros 20 euros. Ya tendríamos 60 euros. Más la moneda de 2 euros, haría un total de 67 euros.

Es decir y como ejemplo, en las aulas no se enseña a calcular la suma 37 + 25 de esta otra manera más acorde con la vida práctica:

37 + 25 = 32 + 5 + 25 = 32 + 30 = 62.

Si observamos este procedimiento, veremos que realizamos diversas acciones:

- Descomponemos el número 37 en 32 más 5.

- Componemos el número 30 a partir de 25 más 5.

- Hallamos el resultado final componiendo las decenas de los números 32 y 30.

(5)

C

5 - Desarrollar la capacidad del cálculo aritmético mediante la aplicación de un conjunto de acciones que lo fundamentan (componer, descomponer, completar/comparar).

- Conseguir que los alumnos calculen cantidades sin necesidad de contar unidades.

(6)

Fases de la estrategia empleada para la “suma llevándose”

Como todo proceso, la estrategia que emplearemos para dotar de significación a la mecanización de la suma llevándose, recorrerá diversas y sucesivas fases. Por ello, analizaremos a continuación todas y cada una de estas fases propuestas. Para mejor comprensión de las sucesivas fases y el entrelazamiento de las mismas, tomaremos como referencia final la suma 28 + 45.

Las fases de realización de la estrategia empleada para la “suma llevándose” serán:

1ª. Paso de las unidades a la primera decena, empleando objetos representados y objetos simbólicos sin agrupar. Sumas del tipo: 8 + 5.

2ª. Paso a la decena siguiente, empleando objetos representados y objetos simbólicos sin agrupar. Sumas del tipo: 28 + 5.

3ª. Paso de las unidades a la primera decena, empleando los objetos simbólicos agrupados (Regletas). Sumas del tipo: 8 + 5.

4ª. Paso a la decena siguiente, empleando los objetos simbólicos agrupados (Regletas). Sumas del tipo: 28 + 5.

(7)

C

7

Fase 1ª. Paso de las unidades a la primera decena, empleando objetos representados y objetos simbólicos sin agrupar. Sumas del tipo: 8 + 5.

Comenzamos esta primera fase empleando la “máquina de contar”. Básicamente consiste en tiras rectangulares de madera fina y poco pesada, cuyas dimensiones son 7 cm. de ancho y 60 cm. de alto. Estas tiras aparecen divididas en 10 partes iguales, es decir, en 10 rectángulos de 7 cm. de ancho por 6 cm. de alto. En cada uno de estos 10 rectángulos se colocará un trozo de velcro hembra para posibilitar adherir en él los objetos representados y plastificados. A su vez, las tiras rectangulares, y en su parte trasera, llevarán colocadas trozos de velcro macho con el fin de adherirla al franelograma.

Este recurso puede emplearse igualmente para trabajar la construcción del concepto de número natural formados por dos cifras. En el caso que nos ocupa, emplearemos este recurso como transición antes de usar las regletas.

Iniciaremos la fase con la siguiente actividad práctica:

Formamos en el franelograma el número 8 con naranjas, (una tira con ocho naranjas sueltas) y el número 5 (una tira con cinco naranjas sueltas). También colocaremos a dos personajes: Elena y Javier. Colocaremos, igualmente las tarjetas de numeración debajo de cada caja.

(8)

Les preguntaremos a los alumnos:

- ¿Cuántas naranjas tiene Elena en su caja? 8 naranjas.

- ¿Cuántas naranjas tiene Javier en su caja? 5 naranjas.

- ¿Cuántas naranjas le faltan a Elena para tener completa su caja? Dos naranjas.

- Elena y Javier quieren juntar sus naranjas. Por ese motivo Elena le dice a Javier: “Para saber cuántas naranjas juntamos, primero tenemos que completar mi caja de 10”. ¿Cuántas naranjas de la caja de Javier tenemos que traspasar a la caja de Elena para que esté completa? 2 naranjas.

Para comprobarlo, saldrá un alumno y completará la caja de Elena traspasando las dos naranjas de arriba de la caja de Javier a la caja de Elena.

- ¿Cuántas naranjas hay ahora en la caja de Elena? 10 Naranjas.

- ¿Cuántas naranjas hay ahora en la caja de Javier? 3 naranjas.

- Quita entonces las tarjetas de los números 8 y 5 y coloca en su lugar las tarjetas correctas, las que indican el número de naranja que tienen ahora cada uno de ellos.

(9)

C

9

8

5

Finalmente, el profesor le pedirá al alumno que junte las cajas.

- Como Elena y Javier quieren juntar sus naranjas, coloca tú ahora las dos cajas juntas. ¿Cuántas naranjas tienen entre los dos? 13 naranjas.

- Junta entonces las dos tarjetas para que veamos el número 13.

El profesor debe ser consciente que a lo largo del proceso de la acción que hemos realizado se han dado tres momentos:

El primero. Al principio, teníamos 8 naranjas y 5 naranjas.

El segundo. Después, teníamos 10 naranjas y 3 naranjas.

El tercero. Finalmente, tuvimos 13 naranjas.

Cada uno de estos tres momentos quedó reflejado por las tarjetas que empleamos:

Primer momento:

3

(10)

1 0

3

1

3

9

4

Segundo momento:

Tercer momento:

Para afianzar el comienzo de esta primera fase, realizaremos distintos ejercicios semejantes al que acabamos de analizar.

Posteriormente, y con el fin de asegurar la conexión entre la acción, el pensamiento y el lenguaje matemático, realizaremos actividades similares pero acompañando la realización práctica con su expresión escrita en la pizarra. En un principio, la acción la realizarán los alumnos y el profesor escribirá las operaciones. Posteriormente, un alumno realizará la acción, otro escribirá en la pizarra y el resto del grupo lo hará en su cuaderno de actividades.

Lo vemos con otro ejemplo. Ahora emplearemos yogures en lugar de naranjas.

Saldrán dos alumnos. Dos de ellos colocarán, respectivamente, en las tiras rectangulares de la “máquina de contar” 9 yogures y 4 yogures. Posteriormente, colocarán también las correspondientes tarjetas de numeración.

(11)

C

11

1 0

3

El profesor dirá y escribirá en la pizarra:

- Como vemos 9 yogures y 4 yogures y queremos sumarlos, yo escribiré en la pizarra:

9 + 4

A continuación le preguntará al alumno que tiene 9 yogures:

- ¿Cuántos yogures le tienes que pedir a tu compañero para que tú tengas una caja completa, una decena de yogures? Un yogur.

Le pediremos al otro compañero que le dé un yogur para poder completar la decena y seguidamente le preguntaremos:

- ¿Tú, en lugar de tener 4 yogures, cuántos tienes ahora? Tres yogures.

Entonces, le pediremos que retiren las tarjetas que anteriormente habían colocado y, en su lugar, pongan las nuevas tarjetas. De este modo:

(12)

1 0

3

El profesor entonces dirá y añadirá en la pizarra a continuación de lo que anteriormente había escrito:

- Como seguimos teniendo la misma cantidad de yogures escribo el signo igual pero como veo los números 10 y 3, tendré que escribir:

9 + 4 = 10 + 3

Finalmente, el profesor les pedirá a los dos alumnos que junten las cajas.

- Ahora junten las dos cajas para que veamos todos cuántos yogures tienen entre los dos.

- ¿Cuántos yogures tienen entre los dos? 13 yogures

- Junten entonces las dos tarjetas para que veamos el número 13.

(13)

C

13

8

6

- Como seguimos teniendo la misma cantidad de yogures escribo el signo igual pero como ahora veo el número 13, tendré que escribir:

9 + 4 = 10 + 3 = 13

Ahora los tres momentos del proceso de la acción quedan reflejados en forma de lenguaje matemático. De esta manera, aseguramos la conexión entre la acción, el pensamiento y el lenguaje.

Vemos un último ejemplo, empleando ahora los objetos simbólicos sin agrupar (cuadrados de color rojos que simbolizarán unidades) y participando tres alumnos. Dos de ellos realizarán la acción de forma práctica y el tercero escribirá en la pizarra lo que va viendo en el franelograma.

- Formen ustedes dos los números 8 y 6 y coloquen debajo las tarjetas de numeración

- Como vamos a sumar los números que vemos en el franelograma, tú tienes que escribir en la pizarra la suma que vamos a realizar.

(14)

1 0

4

Le preguntaremos al alumno que colocó el número 8.

- ¿Cuántas unidades le tienes que pedir a tu compañero para que tú tengas 10 unidades, es decir, una decena? Dos unidades.

Le preguntaremos al alumno que colocó el número 6.

- ¿Estás de acuerdo con tu compañero? Sí.

- Como se ve que tú eres buena persona, dale a tu compañero las dos unidades que le hace falta para completar la decena.

Este segundo alumno traspasará dos unidades de su tira rectangular a la tira de su compañero. El profesor seguirá preguntando:

- ¿Cuántas unidades tienes ahora? 10 unidades.

- ¿Y tú cuantas unidades tienes ahora? 4 unidades.

- Retiren entonces las tarjetas de los números 8 y 6 y coloquen las nuevas tarjetas.

(15)

C

15

1 0

4

El profesor preguntará al alumno encargado de escribir en la pizarra:

- Como seguimos teniendo en el franelograma la misma cantidad de unidades que al principio, ¿qué signo tienes que escribir? El signo igual.

- Pero como ahora vemos los números 10 y 4, ¿qué suma tendrás que escribir?

El alumno, en definitiva, escribirá en la pizarra:

8 + 6 = 10 + 4

Hacemos ahora un pequeño paréntesis en nuestro análisis para realizar una reflexión de tipo conceptual. Podemos observar que en el franelograma seguimos teniendo la misma cantidad que al principio pero ahora vemos distintos números. Por lo tanto, podemos deducir que, desde el punto de vista conceptual, no es lo mismo cantidad que número.

Finalmente, solicitaremos a los dos alumnos que junten sus tiras rectangulares y coloquen sus tarjetas de numeración con el fin de ver el número del resultado final.

(16)

Para terminar el ejercicio, le pediremos al alumno encargado de escribir en la pizarra que escriba el resultado final, haciéndole ver que como seguimos teniendo la misma cantidad, tenemos que escribir en primer lugar el signo igual. El alumno, en definitiva, tendrá que añadir a lo anteriormente escrito el signo igual y el número 13.

8 + 6 = 10 + 4 = 13

Es conveniente que cuando participen estos tres alumnos, el resto de los alumnos del grupo vayan realizando el ejercicio en su cuaderno de actividades. Para que ello sea posible, tendremos que elegir uno de los primeros ejercicios que aparecen en dicho cuaderno.

Cuando los alumnos muestren un cierto dominio de los movimientos que conlleva la acción de sumar o componer cantidades, nos desprenderemos de los recursos didácticos materiales y realizarán únicamente las actividades en su forma escrita que aparecen en sus cuadernos. Por ejemplo:

Calcula paso a paso las siguientes sumas: Calcula paso a paso las siguientes sumas:Calcula paso a paso las siguientes sumas: Calcula paso a paso las siguientes sumas:

8 + 8 + 8 +

8 + 6 = 10 + =6 = 10 + =6 = 10 + =6 = 10 + =

9 + 5 = + = 9 + 5 = + = 9 + 5 = + = 9 + 5 = + =

(17)

C

17

Fase 2ª. Paso a la decena siguiente, empleando objetos representados y objetos simbólicos sin agrupar. Sumas del tipo: 28 + 5.

En la primera fase sumábamos dos números menores que 10, siendo el resultado de la suma otro número natural pero mayor que 10 y menor que 20. Ahora en esta fase, el primer número será mayor que 10, es decir, estará compuesto por varias decenas.

La estrategia de aprendizaje para esta segunda fase será la misma que la que empleamos para la fase anterior. En realidad, ambas fases son iguales ya que, como veremos, el alumno únicamente operará con las unidades de ambos números. Dado que ambas fases son esencialmente la misma y teniendo en cuenta que se repetirán posteriormente empleando el recurso de las regletas, no se estima conveniente detenernos mucho tiempo en esta fase, ni emplear números que superan las tres decenas, ya que entonces tendremos que emplear mucho tiempo para formar los números en el franelograma.

Del mismo modo, y con el fin de agilizar y acortar nuestra exposición, veremos dos únicos ejemplos, uno con objetos representados y otro con objetos simbólicos sin agrupar, pero de forma resumida, es decir, sin exponer las preguntas que el profesor formulará a los alumnos ya que serán similares a las efectuadas en la fase anterior.

Primer ejemplo: 19 + 6

Los alumnos formarán los números en las tiras rectangulares y colocarán las tarjetas:

1

(18)

El profesor escribirá en la pizarra:

19 + 6

El alumno que formó el número 6, cederá una naranja al alumno del número 19 con el fin de éste complete la segunda decena. Retirarán las tarjetas de los números 19 y 6 y colocarán en su lugar las nuevas tarjetas apropiadas. De este modo, veremos ahora en el franelograma el segundo momento del proceso: los números 20 y 5.

El profesor escribirá en la pizarra:

19 + 6 = 20 + 5

Finalmente, los alumnos realizan la acción de unir o componer las tiras rectangulares y las tarjetas de numeración. De este modo, tendremos ante nuestros ojos el tercer momento, esto es, el resultado final de la suma.

(19)

C

19

De igual modo el profesor escribirá en la pizarra el resultado final, a continuación de lo que anteriormente había escrito.

19 + 6 = 20 + 5 = 25

Al mismo tiempo, que los dos alumnos realizan la actividad de forma práctica y el profesor va escribiendo en la pizarra, el resto de los alumnos irán realizando el ejercicio en sus cuadernos de actividades. Podemos proceder directamente de este modo ya que, como hemos afirmado con anterioridad, esta fase es esencialmente la misma que la primera.

Para que el resto de los alumnos vayan realizando la actividad en su cuaderno, es necesario que ésta figure como uno de los primeros ejercicios escritos.

Veamos ahora el segundo ejemplo: la suma 28 + 5 pero empleando los objetos simbólicos no agrupados. Para ello, procederemos del mismo modo:

(20)

2 0

8

5

Los alumnos formarán los números en las tiras rectangulares y colocarán las tarjetas:

Tenemos el primer momento de la acción.

El profesor escribirá en la pizarra:

28 + 5

A continuación, el alumno que formó el número 5, cederá dos unidades al alumno que formó el número 28 con el fin de éste complete la tercera decena. Retirarán las tarjetas de los números 28 y 5 y colocarán en su lugar las nuevas tarjetas apropiadas.

De este modo, veremos ahora en el franelograma el segundo momento del proceso: la descomposición del número 5 en 1 y 4 y, al mismo tiempo la acción de completar la nueva decena.

(21)

C

21

3 0

3

El profesor añadirá en la pizarra:

28 + 5 = 30 + 3

Finalmente, los alumnos realizan la acción de unir o componer las tiras rectangulares y las tarjetas de numeración.

De este modo, tendremos ante nuestros ojos el tercer momento, esto es, el resultado final de la suma. Este tercer momento, se realiza gracias a la acción de componer las decenas con las unidades, es decir, mediante la composición del número.

Si observamos todo el proceso, éste consta de:

1º. Una acción de descomponer un número en dos partes. (5 = 2 + 3)

2º. Una acción de completar una nueva decena. (28 + 2 = 30)

(22)

3 0

3

Finalmente en el franelograma veremos:

Y el profesor añadirá en la pizarra:

28 + 5 = 30 + 3 = 33

Por su parte, el resto de los alumnos realizarán el ejercicio en su cuaderno de actividades. Es decir:

Calcula paso a pas Calcula paso a pasCalcula paso a pas

Calcula paso a paso las siguientes sumas:o las siguientes sumas:o las siguientes sumas:o las siguientes sumas:

19 1919

19 + + + + 6 = 26 = 26 = 26 = 20 + 0 + 0 + 0 + ====

28 2828

(23)

C

23

8

5

1 0

3

Fase 3ª. Paso de las unidades a la primera decena, empleando los objetos simbólicos agrupados (Regletas). Sumas del tipo: 8 + 5.

Retornamos de nuevo a la primera fase pero ahora empleando los objetos simbólicos agrupados, es decir, las regletas. A simple vista pudiera parecer innecesario retornar a la primera fase de nuevo. Sin embargo, con el hecho de emplear el recurso didáctico de las regletas, obligaremos a los alumnos a realizar una nueva acción fundamental para llevar a cabo la suma llevándose de dos números. Veamos, pues, ahora en qué reside la diferencia entre emplear los objetos representados o los objetos simbólicos no agrupados con respecto a utilizar el nuevo recurso, las regletas.

Lo vemos con un ejemplo, con la suma 8 + 5. En primer lugar, la realizaremos empleando los objetos simbólicos sin agrupar. En segundo lugar, la realizaremos con regletas.

Formamos los números en el franelograma colocando los objetos simbólicos sin agrupar y observemos cómo procedía el alumno en un primer momento:

(24)

volvía a contar. Después, observaba como un hecho consumado, que en el número de la derecha le quedaban tres unidades. De una manera implícita, el alumno realizaba la descomposición del número 5 en los números 2 y 3. Sin embargo y a efectos prácticos, el alumno no realizaba la acción de descomponer el número 5 sino que contaba dos veces de forma sucesiva, es decir, no descomponía de una forma explícita, de una forma consciente.

Veamos ahora que sucederá cuando el alumno realice esta misma operación de forma práctica pero utilizando las regletas.

Primero formará los números con las regletas:

En primer lugar y en este caso, el alumno no puede ver que le faltan 2 unidades para completar la decena ya que no existen huecos vacíos. Por lo tanto, no tendrá más remedio que calcular las que le faltan a 8 para tener la decena completa, esto es, moverse en la esfera del pensamiento ya que no cuenta con ninguna apoyatura perceptiva.

En segundo lugar, y una vez que calcule que tiene que añadir 2 unidades al número 8 para completar la decena, no podrá traspasar las unidades desde el número 5 hasta el número 8 ya que las 5 unidades están agrupadas en una regleta y, por ello, no se muestran independientes las unidades como sucedía cuando empleaba los objetos simbólicos sin agrupar. Por lo tanto, en este caso el alumno no puede traspasar contando unidades. En este caso, no tendrá más remedio que descomponer la regleta 5 en la regleta 2 y en la regleta 3. De este modo, obligaremos al alumno a sustituir la acción de contar por la acción de descomponer. En definitiva, mediante el uso de las regletas obligaremos a los alumnos a calcular e impediremos, al mismo tiempo, que emplee el recurso de contar. Precisamente, uno de los males que aqueja al dominio del cálculo aritmético en nuestras aulas es que los alumnos no calculan sino cuentan.

(25)

C

25 la decena. Posteriormente, le presentaremos una actividad práctica similar pero con ya con las dos regletas.

Comenzamos, por ejemplo, con la suma 7 + 6.

Presentamos a los alumnos los números construidos en el franelograma.

- En el franelograma he formado dos números: el número 7 con una regleta y el número 6 con unidades sueltas. Y queremos sumar los dos números. Por eso escribo en la pizarra:

7 + 6

A continuación preguntamos al grupo:

- ¿Cuántas unidades sueltas tenemos que añadir a la regleta 7 para completar la decena? 3 unidades sueltas.

- ¿Después de hacerlo, cuántas unidades sueltas me quedarán en la parte derecha? Otras 3 unidades sueltas.

- Vamos a comprobarlo, a ver si es verdad.

Saldrá un alumno del grupo y realizará la acción y colocará las nuevas tarjetas

7 6

(26)

El profesor dirá y escribirá en la pizarra:

- Como seguimos teniendo la misma cantidad pero ahora veo los números 10 y 3, escribiré en la pizarra:

7 + 6 = 10 + 3

Finalmente le pediremos al alumno que desplace las tres unidades sueltas y las coloque junto al número 10. Lo mismo hará con las tarjetas de numeración.

El profesor dirá y escribirá finalmente en la pizarra:

- Como seguimos teniendo la misma cantidad pero ahora sólo veo el número 13, escribiré en la pizarra:

7 + 6 = 10 + 3 = 13

Se realizarán diversas actividades como las que acabamos de ver. Los alumnos escribirán en su cuaderno de actividades, lo que el profesor escribe en la pizarra.

Finalmente pasamos a plantear la actividad empleando las regletas para representar a ambos números. Le proponemos a un alumno la siguiente suma:

8 5

(27)

C

27 - Tienes que unir, tienes que sumar la regleta 5 a la regleta 8, de modo que al final tenemos que ver el número 13 construido en el franelograma, es decir, tenemos que ver 1 decena y 3 unidades ya que eso es lo que significa el número 13. Además con una condición: solamente puedes tocar la regleta 5.

- Al mismo tiempo, yo iré escribiendo en la pizarra en forma de lenguaje matemático, todo lo que tú haces con las regletas. Como ahora lo que aparece en el franelograma es la regleta 8 y la regleta 5 y tú tienes que sumarlas, yo comenzaré escribiendo en la pizarra:

El alumno necesariamente tendrá que desprender del franelograma la regleta 5 y cambiarla por la regleta 2 y la regleta 3. En ese momento, antes de colocarlas en el franelograma, y dado que es la primera acción que realiza el alumno, le preguntaremos:

- Antes tenías la regleta 5; ahora ¿que dos regletas tienes en las manos? La 2 y la 3.

La segunda acción que realizará el alumno será colocar la regleta 2 encima de la regleta 8, con el fin de completar y formar la decena, esto es, el número 10. De esta forma:

8 + 5 =

(28)

Una vez que el alumno ha realizado esta nueva acción, el profesor la reflejará en la pizarra:

- Como ahora vemos en el franelograma la regleta 10, es decir, una decena completa, y también la regleta 3, entonces yo tendré que escribir en la pizarra:

Finalmente, el alumno realizará la última acción: colocará la regleta 3 al lado de la decena y formará el número 13. De este modo:

Por último, intervendrá el profesor:

- ¡Te felicito. Lo has conseguido! En efecto, vemos el número 13 porque vemos 1 decena completa y 3 unidades. Claro que a mí aún me falta escribir en la pizarra lo que vemos en el franelograma, el resultado final.

Es conveniente observar que con nuestro proceder y partiendo de un aprendizaje intuitivo y perceptivo, no separamos la acción del pensamiento sino que se dan unidos y simultáneamente. Las manos del alumno operan con regletas pero es el pensamiento del alumno quien dirige sus manos.

De otro lado, el algoritmo matemático se manifiesta como un proceso que recorre distintas fases y que éstas se corresponden con cada de las sucesivas acciones que el alumno realiza de forma práctica.

8 + 5 = 10 + 3 =

8 + 5 = 10 + 3 = 13

(29)

C

29 Por último, las fases que recorre el pensamiento del alumno se objetivan en forma de lenguaje matemático. Lo que escribimos se corresponde con lo que hacemos y vemos. En definitiva, acción, pensamiento y lenguaje son manifestaciones de un mismo proceso.

A continuación y con el fin de asegurar el aprendizaje, recomendamos efectuar distintos ejercicios similares al que hemos descrito. Pero ahora, no será el profesor quien escriba en la pizarra sino otro alumno. Ahora participarán tres alumnos: uno operando con las regletas, otro colocando las tarjetas y el último escribiendo en la pizarra. El profesor orientará a los alumnos a base de preguntas. El resto de los alumnos escribirán en su libreta, lo mismo que el alumno de la pizarra.

- Ahora vamos hacer, tanto con regletas como mediante el lenguaje matemático escrito, la suma de 9 y 6. Tú tienes que colocar en el franelograma las regletas adecuadas, tú colocando las tarjetas y tú tienes que ir escribiendo en la pizarra los pasos de la operación matemática que vamos a realizar.

- ¿Cuántas le falta a 9 para completar el 10, para completar la decena? 1.

- ¿Entonces, cómo debemos descomponer la regleta 6? En 1 y 5.

-

9 + 6 =

(30)

9 + 6 = 10 + 5 =

¿Con qué número tendremos que componer el 9 para completar la decena? Con 1.

El alumno colocará la regleta 1 sobre la regleta 9 y formará el número 10. El segundo alumno colocará las tarjetas apropiadas.

El tercer alumno escribirá en la pizarra:

- Por último, ¿qué composición tenemos que hacer con las regletas? Juntar el 10 y el 5.

El siguiente paso consistirá en liberarnos de las regletas, es decir,

9 + 6 = 10 + 5 = 15

5 1 0

(31)

C

31 cantidades sino únicamente números representados en forma de lenguaje matemático. Ahora, la acción no se realizará de forma práctica sino que se dará en forma de representación mental en el pensamiento del alumno.

Ahora un alumno escribirá en la pizarra y el resto de la clase, en su libreta. El profesor orientará mediante preguntas.

- Vamos a efectuar la suma de 7 y 5, paso a paso.

- ¿Cuántas le falta a 7 para completar el 10, para completar la decena? 3.

- ¿Entonces, cómo debemos descomponer el número 5? En 3 y 2.

- ¿Con qué número tendremos que componer el 7 para completar la decena? Con el 3.

- Por último, ¿qué composición tenemos que hacer? Juntar el 10 y el 2.

Afianzaremos el aprendizaje con los ejercicios escritos del cuaderno de actividades:

---- Calcula Calcula Calcula las sumas paso a paso Calcula las sumas paso a pasolas sumas paso a paso:::: las sumas paso a paso

8 + 5 = 10 + 8 + 5 = 10 + 8 + 5 = 10 +

8 + 5 = 10 + = = = =

9 + 6 = 9 + 6 = 9 + 6 =

9 + 6 = + + + + = = = =

7 + 5 =

7 + 5 = 10 + 2

(32)

Posteriormente, realizarán este mismo ejercicio escrito de forma abreviada. Pero a la hora de la corrección, los alumnos tendrán que explicar como han pensado para calcular el resultado final, ya que lo realmente importante es el proceso de razonamiento y no solamente el resultado obtenido.

Los alumnos realizarán en su cuaderno de actividades ejercicios como los siguientes:

---- Calcula directamente el resultado de las sumas: Calcula directamente el resultado de las sumas: Calcula directamente el resultado de las sumas: Calcula directamente el resultado de las sumas:

8 + 5 = 8 + 5 = 8 + 5 =

8 + 5 = 9 + 6 = 9 + 6 = 9 + 6 = 9 + 6 = 8 + 6 = 8 + 6 = 8 + 6 = 8 + 6 =

7 + 4 = 7 + 4 = 7 + 4 =

(33)

C

33

Fase 4ª. Paso a la decena siguiente, empleando los objetos simbólicos agrupados (Regletas). Sumas del tipo: 28 + 5.

La estrategia de aprendizaje para esta fase será la misma que la que empleamos para la fase anterior. En la fase anterior veíamos cómo los alumnos calculaban sumas como la siguiente:

8 + 5 =

En esta fase veremos cómo calculan sumas como la siguiente:

38 + 5 =

Partimos de la siguiente actividad práctica:

Formamos en el franelograma el número 38 a la izquierda y el número 5 a la derecha. De este modo:

Le proponemos a un alumno la siguiente actividad:

- Tienes que unir, tienes que sumar el número 38 con el número 5, de modo que al final tenemos que ver el número 43 construido en el franelograma, es decir, tenemos que ver 4 decena y 3 unidades ya que eso es lo que significa el número 43. Además con una condición: solamente puedes tocar la regleta 5.

- Al mismo tiempo, yo iré escribiendo en la pizarra en forma de lenguaje matemático, todo lo que tú haces con las regletas. Como ahora lo que aparece en el franelograma es el número 38 y el número 5 y tú tienes que sumarlos, yo comenzaré escribiendo en la pizarra:

El alumno necesariamente tendrá que desprender del franelograma la regleta 5 y cambiarla por la regleta 2 y la regleta 3. En ese momento, antes de colocarlas en el

38 + 5 =

(34)

38 + 5 = 40 + 3 =

franelograma, y dado que es la primera acción que realiza el alumno, le preguntaremos:

- Antes tenías la regleta 5; ahora ¿que dos regletas tienes? La 2 y la 3.

La segunda acción que realizará el alumno será colocar la regleta 2 encima de la regleta 8 del número 38, con el fin de completar una nueva decena, esto es, el número 40. De esta forma:

Una vez que el alumno ha realizado esta nueva acción, el profesor la reflejará en la pizarra:

- Como ahora vemos en el franelograma 4 decenas, es decir, las 3 que teníamos más la que hemos completado, y también la regleta 3 en tus manos, entonces yo tendré que añadir en la pizarra:

(35)

C

35 Finalmente, el alumno realizará la última acción: colocará la regleta 3 al lado de las 4 decenas y formará el número 43. De este modo:

Por último, intervendrá el profesor:

- En efecto, vemos el número 43 porque vemos 4 decena completas y 3 unidades. Por este motivo yo escribo en la pizarra el resultado final.

Posteriormente y como en la primera fase, participarán tres alumnos: uno operando con las regletas, otro colocando las tarjetas de numeración y el último escribiendo en la pizarra. El profesor orientará a los alumnos a base de preguntas. El resto de los alumnos escribirán en su libreta, lo mismo que el alumno de la pizarra.

- Ahora vamos hacer, tanto con regletas como mediante el lenguaje, la suma de 29 y 6. Tú tienes que colocar en el franelograma las regletas adecuadas, tú colocar las tarjetas de numeración y tú tienes que escribir en la pizarra la operación matemática que vamos a realizar.

38 + 5 = 40 + 3 = 43

3 4

6 9

(36)

- ¿Cuántas le falta a la regleta 9 del número 29 para completar una nueva decena, es decir, cuántas le faltan al número 29 para llegar al número 30? Falta 1.

- ¿Entonces, cómo debemos descomponer el número 6? En 1 y 5.

- ¿Qué dos regletas tendremos que componer para formar el número 30? La regleta 9 con la regleta 1.

- Por último, ¿qué composición tenemos que hacer para formar el número 35? Juntar el 30 y el 5.

29 + 6 =

29 + 6 = 30 + 5

=

(37)

C

37 De nuevo nos liberamos de las regletas. De nuevo, un alumno escribirá en la pizarra y el resto de la clase, en su libreta. El profesor orientará el ejercicio mediante preguntas.

- Vamos a efectuar la suma de 67 y 5, paso a paso.

- ¿Cuántas le tiene que pedir el número 67al número 5 para llegar a la siguiente decena, es decir, a 70? 3.

- ¿Entonces, cómo debemos descomponer el número 5? En 3 y 2.

- ¿Con qué número tendremos que componer el 67 para llegar a la siguiente decena, es decir, al número 70? Con el 3.

- Por último, ¿qué composición tenemos que hacer? Juntar el 70 y el 2.

29 + 6 = 30 + 5 = 35

67 + 5 =

67 + 5 = 70 + 2

67 + 5 = 70 + 2 = 72

(38)

Otra vez afianzaremos el aprendizaje con los ejercicios escritos que aparecen en el cuaderno de actividades del alumno:

---- Calcula Calcula Calcula las sumas Calcula las sumas las sumas paso a paso las sumas paso a paso paso a paso paso a paso...

38 + 5 = 38 + 5 = 38 + 5 =

38 + 5 = 44440 + 0 + 0 + 0 + = = = =

59 + 6 = 60 + 59 + 6 = 60 + 59 + 6 = 60 +

59 + 6 = 60 + = = = =

48 + 6 = 48 + 6 =48 + 6 =

48 + 6 = + + + + = = = =

27 + 4 = 27 + 4 =27 + 4 = 27 + 4 =

---- Calcula directamente el resultado Calcula directamente el resultado Calcula directamente el resultado de las sumas Calcula directamente el resultado de las sumas de las sumas:::: de las sumas

28 + 5 = 28 + 5 = 28 + 5 =

28 + 5 = 39 + 6 = 39 + 6 = 39 + 6 = 39 + 6 = 48 484848 ++++ 6 = 6 = 6 = 6 =

57 + 4 = 57 + 4 = 57 + 4 =

57 + 4 = 67 + 6 = 67 + 6 = 67 + 6 = 67 + 6 = 87 +87 + 87 +87 + 7 = 7 = 7 = 7 =

Es conveniente que, cuando vayamos a corregir este último ejercicio, además del resultado, le solicitemos al alumno que explique cómo ha calculado dicho resultado final.

El proceso que acabamos de analizar permite realizar sumas “llevándose” de dos números naturales siendo uno de ellos un número de dos cifras y el otro de una. La experiencia me ha informado que este procedimiento, este movimiento del pensamiento, resulta muy útil para el desarrollo del cálculo mental y para abordar, de manera significativa, otros cálculos aritméticos con facilidad. Pongamos un ejemplo donde se pone de manifiesto este movimiento del pensamiento.

Al final del 4º curso de Primaria los alumnos tenían que calcular la siguiente suma: 3’7 m + 0’63 m. Los alumnos razonaron de la siguiente manera:

- 3’7 m son 3 metros enteros y 7 decímetros, o lo es lo mismo, 3 metros y 70 centímetros. 0’63 m son 63 centímetros.

- Como tengo 3 metros y 70 centímetros, me faltarían 30 centímetros para completar los 4 metros.

(39)

C

39

- En total tendré 4 metros y 33 centímetros, es decir, 4’33 m

En definitiva, operaron de la siguiente manera:

3’7 m + 0’63 m = 3’70 m + 0’30 m + 0’33 m = 4 m + 0’33 m = 4’33 m.

Sin embargo, y dado que algunos docentes se muestran muy preocupados por la mecanización de los algoritmos, el procedimiento que acabamos de exponer no nos proporciona de una manera clara el significado del algoritmo de la suma “llevándose”. Por este motivo, también trabajamos este segundo procedimiento y que nos lleva a la mecanización de este tipo de suma de números naturales.

Este segundo procedimiento se fundamenta, de un lado, en la descomposición polinómica del número de dos cifras y, de otro lado, en el dominio que presentan los alumnos para efectuar la suma de dos números naturales menores de 10 pero cuyo resultado supera la barrera de la decena. Los alumnos presentan este dominio ya que fue trabajada en la fase anterior.

Iniciamos el aprendizaje de este segundo procedimiento partiendo de la siguiente actividad con las regletas:

- Construye en el franelograma el número 38 y el número 5.

- Ahora vamos a sumar los dos números paso a paso. Yo escribo en la pizarra la operación:

- Ahora separa las unidades del número 38 y las colocas en medio de las 3 decenas y de las otras 5 unidades.

38 + 5 =

5 8

(40)

- Yo sigo escribiendo lo que tú haces en el franelograma:

- Junta ahora las dos regletas de las unidades y forma el número que obtienes al sumar 8 más 5.

- Escribo en la pizarra lo que veo ahora:

- Junta ahora los dos números. ¿Qué numero has formado como resultado final? El número 43.

38 + 5 = 30 + 8 + 5 =

38 + 5 = 30 + 8 + 5 = 30 + 13

5 8

3 0

(41)

C

41 - Yo escribo también el resultado final en la pizarra:

Realizamos actividades similares. Ahora un alumno construye y opera con las regletas; otro alumno va escribiendo en la pizarra. Finalmente, reforzamos el aprendizaje, realizando la operación solamente en su expresión matemática escrita. Para ello emplearemos los ejercicios propuestos en el cuaderno de actividades del alumno.

Calcula las siguientes sumas agrupando las unidades Calcula las siguientes sumas agrupando las unidadesCalcula las siguientes sumas agrupando las unidades Calcula las siguientes sumas agrupando las unidades....

38 + 5 38 + 5 38 + 5

38 + 5 = = = = 30 + 30 + 30 + 30 + + + + + = 30 + = 30 + = 30 + = 30 + = = = =

29 + 6 = 20 + 29 + 6 = 20 + 29 + 6 = 20 +

29 + 6 = 20 + + + + + = 20 + = 20 + = 20 + = 20 + = = = =

48 + 6 = 48 + 6 =48 + 6 =

48 + 6 = + + + + + + + + = = = = + + + + = = = =

27 + 4 = 27 + 4 =27 + 4 = 27 + 4 =

Calcula Calcula Calcula

Calcula las las las sumas las sumas sumas paso a paso pero de forma más corta. sumas paso a paso pero de forma más corta. paso a paso pero de forma más corta. paso a paso pero de forma más corta.

38 + 5 = 30 + 38 + 5 = 30 + 38 + 5 = 30 +

38 + 5 = 30 + = = = =

29 + 6 = 29 + 6 = 29 + 6 =

29 + 6 = + + + + = = = =

48 + 6 = 48 + 6 =48 + 6 = 48 + 6 =

38 + 5 = 30 + 8 + 5 = 30 + 13 = 43

(42)

Calcula directamente Calcula directamenteCalcula directamente Calcula directamente....

3 8 3 8 3 8

3 8 2 92 92 92 9 4 8 4 8 4 8 4 8 2 7 2 7 2 7 2 7 +

+ +

+ 5 5 5 5 + + + + 6 6 6 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 4+ 4+ 4+ 4

(43)

C

43

Fase 5ª. Sumar dos números naturales menores que 100 y cuyo resultado sea otro número natural menor que 100, empleando los objetos simbólicos agrupados (Regletas). Sumas del tipo: 28 + 45.

.

Esta fase es similar a la anterior. El pensamiento operará de la misma forma pero se aplicará a la suma de dos números mayores que 10.

En la fase anterior veíamos cómo los alumnos calculaban sumas como la siguiente:

3 8 + 5 =

En esta fase veremos cómo calculan sumas como la siguiente:

38 + 25 =

También ahora veremos los dos procedimientos que podemos aplicar para calcular este tipo de sumas. El primer procedimiento consistirá en completar una nueva decena de uno de los dos números a partir las unidades del otro número. El segundo de los procedimientos consistirá en la composición de unidades y decenas.

Comenzamos viendo el primer procedimiento, es decir, mediante la acción de completar uno de los números hasta la decena. Para ello, partimos de nuevo de la siguiente actividad práctica:

Formamos en el franelograma el número 38 a la izquierda y el número 25 a la derecha. De este modo:

Le proponemos a un alumno la siguiente actividad:

- Tienes que unir, tienes que sumar el número 38 con el número 25, de modo que al final tenemos que ver el número 63 construido en el franelograma, es decir, tenemos que ver 6 decena y 3 unidades ya que eso es lo que significa el número 63. Además con una condición: solamente puedes tocar las regletas del número 25.

2 5 8

(44)

- Al mismo tiempo, yo iré escribiendo en la pizarra en forma de lenguaje matemático, todo lo que tú haces con las regletas. Como ahora lo que aparece en el franelograma es el número 38 y el número 225 y tú tienes que sumarlos, yo comenzaré escribiendo en la pizarra:

Como el número 38 está más cerca de una nueva decena que el número 25, el alumno tendrá que desprender del franelograma la regleta 5 y cambiarla por la regleta 2 y la regleta 3. Esta primera acción no la expresaremos en forma de lenguaje matemático con el fin de simplificar dicho lenguaje. Además y por otra parte, el alumno ya la expresó en la fase anterior. Es decir, no será necesario escribir en la pizarra la expresión:

38 + 25 = 38 + 23 + 2

La segunda acción que realizará el alumno será colocar la regleta 2 encima de la regleta 8 del número 38, con el fin de completar una nueva decena, esto es, el número 40. De esta forma:

38 + 25 =

(45)

C

45 Una vez que el alumno ha realizado esta nueva acción, el profesor la reflejará en la pizarra:

- Como ahora vemos en la parte izquierda del franelograma 4 decenas, es decir, las 3 que teníamos más la que hemos completado, y también, en la parte derecha, el número 23, entonces yo tendré que añadir en la pizarra:

Finalmente, el alumno realizará la última acción: colocará las regletas del número 23 al lado de las 4 decenas y formará el número 63. De este modo:

Por último, intervendrá el profesor:

- En efecto, vemos el número 63 porque vemos 6 decena completas y 3 unidades. Por este motivo, yo escribo en la pizarra el resultado final.

Posteriormente y como en las fases anteriores, participarán tres alumnos: uno operando con las regletas, otro colocando las tarjetas y el tercero escribiendo en la pizarra. El profesor orientará a los alumnos a base de preguntas. El resto de los alumnos escribirán en su libreta, lo mismo que el alumno de la pizarra.

- Ahora vamos hacer, tanto con regletas como mediante el lenguaje escrito, la suma de 29 y 36. Tú tienes que colocar en el franelograma las regletas adecuadas y tú tienes que escribir en la pizarra la operación matemática que vamos a realizar.

38 + 25 = 40 + 23

38 + 25 = 40 + 23 = 63

(46)

- ¿Cuál de los dos números está más cerca de una nueva decena y será más fácil de completar? El número 29.

- ¿Cuántas le falta a la regleta 9 del número 29 para completar una nueva decena, es decir, cuántas le faltan al número 29 para llegar al número 30? Falta 1.

- ¿Entonces, cómo debemos descomponer la regleta 6 del número 36? En 1 y 5.

- ¿Qué haremos con la regleta 1? Completar el número 30. Completar una nueva decena.

29 + 36 =

6 3 9

2

(47)

C

47 - Como vemos ahora en el franelograma los números 30 y 35, ¿qué suma tenemos que escribir en la pizarra?

- Por último, ¿qué tenemos que hacer para formar el número 65? Juntar el 30 y el 35.

- ¿Qué tendremos que escribir finalmente en la pizarra?

De nuevo nos liberamos de las regletas. De nuevo, un alumno escribirá en la pizarra y el resto de la clase, en su libreta. El profesor orientará el ejercicio mediante preguntas.

- Vamos a efectuar la suma de 67 y 25, paso a paso.

- ¿Cuántas le faltan a 67 para llegar a la siguiente decena, es decir, a 70? 3.

- Si las 3 que le faltan para completar 70 se las pide al número 25, el número 25 se convierte, ¿en qué numero? En el 22.

29 + 36 = 30 + 35 =

29 + 36 = 30 + 35 = 65

67 + 25 =

(48)

- Entonces, la suma 67 + 25 la transformamos, ¿en qué suma? En 70 + 22

- ¿Por último, si unimos o sumamos las dos cantidades, ¿qué resultado final obtenemos? 92

Finalmente y de nuevo, reforzamos el aprendizaje, realizando la operación solamente en su expresión matemática escrita. Para ello emplearemos los ejercicios propuestos en el cuaderno de actividades del alumno.

Calcula las sumas Calcula las sumas Calcula las sumas

Calcula las sumas completando decenas completando decenas completando decenas completando decenas. . . .

38 + 38 + 38 +

38 + 25 = 425 = 425 = 425 = 40 + 0 + 0 + 0 + = = = =

29 + 29 + 29 +

29 + 11116 = 6 = 6 = 6 = + + + + = = = =

48 + 6 = 48 + 6 =48 + 6 = 48 + 6 =

Calcula directamente Calcula directamenteCalcula directamente Calcula directamente....

3 8 3 8 3 8

3 8 2 92 92 92 9 4 8 4 8 4 8 4 8 2 7 2 7 2 7 2 7 +

+ +

+ 2222 5 5 5 5 + +++ 3333 6 6 6 6 ++++ 2 6 2 6 2 6 2 6 + + 5555 4+ + 4 4 4

Es conveniente que, cuando vayamos a corregir este último ejercicio, además del resultado, le solicitemos al alumno que explique cómo ha calculado dicho resultado final.

Veamos ahora el segundo procedimiento para calcular este tipo de sumas y que nos permitirá dotar de significación a la mecanización del algoritmo. Para ello partimos de la misma situación inicial, esto es, construimos en el franelograma los números 38 y 25.

67 + 25 = 70 + 22 =

(49)

C

49 - Construye en el franelograma el número 38 y el número 25.

- Ahora vamos a sumar los dos números paso a paso. Yo escribo en la pizarra la operación:

- Ahora separa, en los dos números, las decenas y las unidades.

- Coloca los dos grupos de decenas al principio y a continuación las unidades.

38 + 25 =

8

3 2 5

3 0 8 2 0 5

(50)

- Escribo ahora en la pizarra lo que veo en el franelograma:

- Suma ahora las regletas de las unidades y las regletas de las decenas.

Puede ocurrir que el alumno junte las regletas de las unidades sin formar el número 13, es decir, sin formar una decena y tres unidades. En ese caso, le haremos saber al alumno que no vemos el número 13 porque ver el número 13 significa ver 1 decena y tres unidades.

- Ahora, añado en la pizarra lo nuevo que veo en el franelograma:

- Junta ahora los dos números. ¿Qué numero has formado como resultado final? El número 63.

38 + 25 = 30 + 20 + 8 + 5 =

38 + 25 = 30 + 20 + 8 + 5 = 50 + 13

6 0 1 8

(51)

C

51 - Yo escribo también el resultado final en la pizarra:

Realizamos actividades similares. Ahora un alumno construye y opera con las regletas, un segundo alumno coloca las tarjetas de numeración y un tercero va escribiendo en la pizarra. Finalmente, reforzamos el aprendizaje realizando la operación solamente en su expresión matemática escrita:

---- Calcula las siguientes sumas paso a paso. Calcula las siguientes sumas paso a paso. Calcula las siguientes sumas paso a paso. Calcula las siguientes sumas paso a paso.

38 + 25 = 38 + 25 = 38 + 25 =

38 + 25 = ++++ + + + + + + + + === = + + + + = = = =

29 + 46 = 29 + 46 = 29 + 46 =

29 + 46 = + + + + ++ ++ ++++ = == = + + + + = = = =

47 + 24 = 47 + 24 =47 + 24 = 47 + 24 =

36 + 25 = 36 + 25 =36 + 25 = 36 + 25 =

Calcula CalculaCalcula

Calcula sumando las decenas y sumando las unidades sumando las decenas y sumando las unidades sumando las decenas y sumando las unidades. sumando las decenas y sumando las unidades. . .

38 + 25 = 38 + 25 = 38 + 25 =

38 + 25 = + + + + = = = =

29 + 46 = 29 + 46 = 29 + 46 =

29 + 46 = + + + + = ===

44447 7 7 7 + 2+ 2+ 2+ 26 6 6 6 ====

33339999 + + + + 38383838 = = = =

Una vez que el alumno domina este proceso, podemos pasar a la mecanización del algoritmo que predomina en las aulas. El proceso es el mismo pero introducimos algunas variantes para facilitar la comprensión del algoritmo. En primer lugar, procederemos a agrupar las unidades y posteriormente las decenas. En segundo lugar, al agrupar las unidades, el alumno colocará sobre el franelograma la regleta de las unidades de dicha suma. Lo ilustramos con un ejemplo.

(52)

Efectuamos la suma que nos ha servido de referencia hasta ahora: 38 + 25

Formamos sobre la parte izquierda del franelograma los números y escribimos en la pizarra la operación colocando los números que vamos a sumar de forma vertical. De este modo:

3 8

+ 2 5

Le daremos las siguientes instrucciones al alumno:

- Despega las regletas de las unidades del franelograma. Si unes o sumas las regletas 8 y 5, ¿qué resultado obtienes? 13.

- Sustituye, entonces, las regletas 8 y 5 por una regleta de 10 y una de 3.

- Coloca en el centro del franelograma solamente la regleta de las unidades, es decir, la regleta 3. La decena, la regleta de 10, no la coloques ahora.

(La regleta 10 puede mantenerla el alumno en las manos o colocarla en el borde derecho del franelograma para poder realizar mejor la posterior composición, la de las decenas de los dos números)

(53)

C

53 El profesor entonces dirá y escribirá en la operación de la pizarra:

- 8 más 5 son 13. Escribimos el 3 y nos llevamos una decena.

3 8

+ 2 5

3

El profesor pedirá al alumno que señale en el franelograma la cifra 3 que escritos en la pizarra y la decena que nos llevamos.

- ¿Dónde está en el franelograma la cifra 3 que hemos escrito? El alumno señalará la regleta de 3 unidades.

- ¿Dónde está en el franelograma la nueva decena que hemos formado y que es la que nos llevamos? El alumno señalará la regleta correspondiente a la nueva decena.

Seguiremos dándole instrucciones al alumno:

- Une ahora todas las regletas de las decenas, las que tenías al principio y la nueva decena que hemos formado.

El profesor entonces dirá y escribirá en la operación de la pizarra:

- 2 decenas más 3 decenas son 5 decenas. Más una decena que nos llevamos, son en 6 decenas. Escribimos el 6.

3 8

+ 2 5

6

3

(54)

cada una de las cifras. Es fundamental, que la acción que realiza el alumno con las regletas, el movimiento que recorre su pensamiento y el lenguaje matemático que emplea, constituyan la unidad de un mismo proceso.

Con el fin de afianzar el aprendizaje, se repetirán ejercicios como el que acabamos de analizar pero dando de forma progresiva mas protagonismo a los alumnos. Cuando éstos hayan interiorizado todo el proceso, cuando el pensamiento vaya por delante de la acción, será el momento de desprenderse de las regletas y quedarnos únicamente en la expresión numérica. Será el momento de proponer ejercicios como los que se adjuntan en el cuaderno de actividades.

Cuando realicemos las operaciones de la suma llevándose, tanto en su forma práctica como en su forma numérica, es necesario realizar de vez en cuando sumas sin llevarse para que los alumnos establezcan diferencias entre ambas operaciones y comprueben de forma práctica que en la suma sin llevarse no formamos una nueva decena y que, por ello, no nos llevamos ninguna.

Sin embargo, nunca nos impondremos como objetivo primordial que el alumno realice este tipo de suma por el algoritmo tradicional porque entonces corremos el peligro de cometer el error tan común que podemos observar en las aulas y que consiste en que los alumnos operan con cifras y no con cantidades.

Calcula directamente Calcula directamente Calcula directamente Calcula directamente

3 8 3 8 3 8 3 8 2 92 92 92 9 4 74 74 74 7 3 6 3 63 6 3 6

++++ 2222 5 5 5 + 4 5 + 4 + 4 + 4 6 6 6 6 + + + + 2 4 2 4 2 4 2 4 + 2 5+ 2 5+ 2 5+ 2 5

(55)

C

55

FUNDAMENTOS DEL CÁLCULO ARITMÉTICO

EN EL PRIMER CICLO

DE LA ENSEÑANZA PRIMARIA.

LA SUMA LLEVÁNDOSE

HASTA EL NÚMERO 100.

ANEXO:

(56)

Introducción

Los ejercicios numéricos que a continuación se ofertan, se corresponden con cada una de las fases que acabamos de describir para la estrategia de la suma llevándose.

Cada actividad está identificada con dos dígitos. El primero hace referencia a la fase de la estrategia; el segundo dígito, al orden que ocupa la actividad dentro de esa fase. Por ejemplo, la actividad 3. 2., quiere decir que es la 2ª actividad de la 3ª fase.

Cada alumno trabajará su propio cuaderno de actividades. El profesor, según tenga organizada la clase, bien podrá entregárselo en su totalidad a cada uno de ellos, bien entregando una a una las distintas actividades según el trabajo diario y posteriormente archivándolas.

Es fundamental que antes de realizar las actividades en su fase numérica, se trabajen de forma práctica mediante el recurso didáctico correspondiente hasta que los alumnos mecanicen los movimientos y las acciones que llevan implícitas, es decir, hasta que el pensamiento se anticipe a la acción.

(57)

C

57

La

La

La

La suma

suma

suma

suma

llevándose

llevándose

llevándose

llevándose....

Cuader

Cuader

Cuader

Cuaderno de

no de

no de

no de

Actividades

Actividades

Actividades

Actividades

Alumno

Alumno

Alumno

(58)

Alumno

Alumno

Alumno

Alumno

/

a:

a:

a:

a:

1.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

Calcula las siguientes sumas completando la decena:

Calcula las siguientes sumas completando la decena:

Calcula las siguientes sumas completando la decena:

Calcula las siguientes sumas completando la decena:

9999 + + + + 2222 = 10 + = 10 + = 10 + = 10 + ==== 9 9 9 9 + + 3333 = + + = = = + + + + ====

9 + 9 + 9 +

9 + 4444 = = = = + = + = + = + = 9 9 + 9 9 + + 5555 = + = = = + = + =+ =+ =

9 + 9 + 9 +

9 + 6666 = = = = + = + = + = + = 8 8 + 8 8 + + + 3333 = = = = + =+ =+ =+ =

8888 + + + 4444 = + = = = + = + = + = + = 8 + 8 8 8 + + + 5555 = = = = + =+ =+ =+ =

8888 + + + 6666 = + = = = + = + = + = + = 8 + 8 8 8 + + + 7777 = = = = + =+ =+ =+ =

8888 + + + 8888 = + = = = + = + = + = + = 7 + 7 7 7 + + + 4444 = = = = + =+ =+ =+ =

7777 + + + 5555 = + = = = + = + = + = + = 7 + 7 7 7 + + + 6666 = = = = + =+ =+ =+ =

(59)

C

59

Alumno

Alumno

Alumno

Alumno

/

a:

a:

a:

a:

1.

1.

1.

1.

2222....

Calcula las siguientes sumas

Calcula las siguientes sumas

Calcula las siguientes sumas

Calcula las siguientes sumas completando la decena

completando la decena

completando la decena::::

completando la decena

8 + 6 = 10 + 8 + 6 = 10 + 8 + 6 = 10 +

8 + 6 = 10 + ==== 9999 + + + 5555 = + = = = + + + + ====

9 + 9 + 9 +

9 + 7777 = = = = + = + = + = + = 8888 + + 3333 = + + = = = + =+ =+ =+ =

9 + 9 +9 +

9 + 6666 = = = = + = + = + = + = 8 + 5 = 8 8 8 + 5 = + 5 = + 5 = + =+ =+ =+ =

7777 + 5 = + 5 = + 5 = + 5 = + = + = + = + = 7 7 + 7 7 + + + 4444 = = = = + =+ =+ =+ =

6666 + 5 = + 5 = + 5 = + 5 = + = + = + = + = 7 7 + 7 7 + + + 7777 = = = = + =+ =+ =+ =

8888 + + + 4444 = + = = = + = + = + = + = 9 + 9 + 9 + 2222 = 9 + = = = + =+ =+ =+ =

5555 + + + + 6666 = = = = + = + = + = + = 4 + 4 4 4 + + 7777 = + = = = + =+ =+ =+ =

(60)

Alumno

Alumno

Alumno

Alumno

/

:

:

:

:

1.

1.

1.

1.

3333....

Calcula las siguientes sumas

Calcula las siguientes sumas

Calcula las siguientes sumas

Calcula las siguientes sumas completando la decena

completando la decena

completando la decena::::

completando la decena

9 + 9 + 9 +

9 + 4444 = = = = + = + = + = + = 6666 + + 7777 = + + = = = + =+ =+ =+ =

5555 + + + + 7777 = = = = + = + = + = + = 5555 + + + 9999 = + = = = + = + =+ =+ =

7777 + + 6666 = + + = = = + ++ = + = = = 7777 + + + + 9999 = = = = + =+ =+ =+ =

4444 + + + 8888 = + = = = + = + = + = + = 3333 + + + 8888 = + = = = + =+ =+ =+ =

9 + 5 = 9 + 5 = 9 + 5 =

9 + 5 = + = + = + = + = 2222 + + 9999 = + + = = = + =+ =+ =+ =

3 3 3

3 + + + 9999 = + = = = + = + = + = + = 7777 + + + + 8888 = = = = + =+ =+ =+ =

9 + 9 + 9 +

9 + 8888 = = = = + = + = + = + = 6666 + + 8888 = + + = = = + =+ =+ =+ =

(61)

C

61

Alumno

Alumno

Alumno

Alumno

/

a:

a:

a:

a:

2222....

1.

1.

1.

1.

Calcula las siguientes sumas completando la decena

Calcula las siguientes sumas completando la decena

Calcula las siguientes sumas completando la decena

Calcula las siguientes sumas completando la decena

::::

11118 + 6 = 28 + 6 = 20 + 8 + 6 = 28 + 6 = 20 + 0 + 0 + === = 29 29 29 29 + + 5555 = + + = = = + + + + === =

33339 + 9 + 9 + 9 + 7777 = = = = + = + = + = + = 48 + 48 48 48 + + 3333 = + = = = + = + =+ = + =

11119 + 9 + 9 + 6666 = 9 + = = = + = + = + = + = 28 + 5 = 28 28 28 + 5 = + 5 = + 5 = + =+ =+ =+ =

37 3737

37 + 5 = + 5 = + 5 = + 5 = + = + = + = + = 47 + 47 47 47 + + 4444 = + = = = + = + =+ = + =

56 5656

56 + 5 = + 5 = + 5 = + 5 = + = + = + = + = 57 57 + 57 57 + + + 7777 = = = = + =+ =+ =+ =

68 6868

68 + + + + 4444 = = = = + = + = + = + = 69 + 6 6 69 + 9 + 2222 = 9 + = = = + = + =+ = + =

75 7575

75 + + + + 6666 = = = = + = + = + = + = 84 + 84 84 84 + + + 7777 = = = = + =+ =+ =+ =

68 6868

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