UTP UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PEREIRA Msc. JEMAY OSPINA
MATEMATICAS 4
FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones más simples.
Hay cuatro casos:
1) Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal. 2) Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido.
3) Descomposición en fracciones parciales con un factor cuadrático irreducible. 4) Descomposición en fracciones parciales con factor cuadrático repetido.
Procedimiento para:
Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal.
Paso 1:
Siempre me debo de fijar si el grado de la función del numerador es menor que la del denominador. Si es mayor debo realizar una división larga para bajar el grado de la función del numerador.
Paso 2:
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales, px +q, o factores cuadráticos irreductibles, ax2bxc, y agrupar los factores repetidos para que la función del denominador sea un producto de factores
diferentes de la forma
pxq
m , donde m1o
ax2bxc
n los números m y n no pueden ser negativos.Paso 3:
Si son Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un factor lineal repetido.
... factor factorsegundo
B primer
A
Ejemplo 1:
Determinar la descomposición en fracciones parciales de:
x x x
x x
3 2
9 13 4
2 3
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una división larga.
2 3
3
1
32 2 2
3
x x x x
x x x x x
Tercero: coloco cada factor obtenido de la siguiente forma 1
3 3
2
9 13 4
2 3
2
x C x
B x A x x x
x x
Obtengo el mínimo común denominador, lo opero y lo igualo al numerador.
3
1
1
3
913
4 2
x x C x
x B x
x A x
x
Podemos resolverlo por matrices o por el método que más nos convenga: Opero los paréntesis
x x
Bx x
C x x
Ax
x 13 9 2 3 3
4 2 2 2 2
Ahora formo mi primera ecuación con los términos al cuadrado asi
A B C
x A B C
A xx x
A Cx Bx Ax Cx
Bx Ax x
x
Cx Cx
Bx Bx A Ax Ax
x x
Cx Cx
Bx Bx A Ax Ax
x x
x x C x x B x
x A x
x
3 3 2
9 13 4
3 3 2
9 13 4
3 3
2 9
13 4
3 3
2 9
13 4
3 3
2 9
13 4
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
Mis tres ecuaciones son: 4 1
1
1
A B C
13 3
1
2A B C A
3 9
Tomo la tercera ecuación y encuentro el valor de A A
3 9
A A
3 3 9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
1 3 4
4 3
4 1
3
4 1
1 1
C B
C B
C B
C B
C B A
Multiplico las letras en los paréntesis
Quito los paréntesis
Los ordeno
7 3
6 13 3
13 3 6
13 3 3
2
13 3
1 2
C B
C B
C B
C B
C B
A
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
7 3
1
C B
C B
2 C
8 4
C
1 2 1
1 2
1
B B B
C B
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1 2 3 1 3 1 3
3 2
9 13 4
2 3
2
x x
x x
C x
B x A x x x
x x
Hay otro sistema que se puede usar únicamente cuando los términos son lineales y no repetidos que es mucho mas fácil.
1 3 3
2 9 13 4
2 3
2
x C x
B x A x x x
x x
Obtengo el mínimo común denominador, lo opero y lo igualo al numerador.
3
1
1
3
913
4x2 x Ax x B x x C x x
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fracción parcial
0
x
3 0 3
x x
1 0 1
x x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
3
1
1
3
913
A A C B A C B A 3 3 9 0 0 1 3 9 0 0 3 0 0 1 0 0 1 0 3 0 9 0 13 0 4 2x = -3
3
1
1
3
913
4x2 x Ax x B x x C x x
B B C B A C B A 1 12 12 0 3 4 3 4 0 9 39 36 3 3 3 1 3 3 1 3 3 3 9 3 13 3 4 2x = 1
3
1
1
3
913
4x2 x Ax x B x x C x x
C C C B A C B A 2 4 8 4 1 0 1 0 4 9 13 4 3 1 1 1 1 1 1 1 3 1 9 1 13 1 4 2 Respuesta: 1 2 3 1 3 1 3 3 2 9 13 4 2 3 2 x x x x C x B x A x x x x x EJERCICIOS 1)
2
3
1 8 x x x2)
1 4 29 x x x 3) 12 4 342
x x x 4) x x x 4 12 5 2
5)
3 2 1 1 15 4 2 x x x x x6)
5 2 20 19 2 x x x x x 7) x x x x x 5 4 15 5 4 2 3 2 8)
6 5 111 37
2
x x x
Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido.
Ejemplo:
2 2 3 36 10 x x x x
23 3
x C x
B x A
Si fuera al cubo el término repetido
x3
3 lo pondríamos:
2
33 3
3
x D x
C x
B x A
Ejemplo resuelto por pasos:
2 23 36 10
x x
x x
Primero escribimos en el denominador del término lineal x, luego escribimos en el denominador el término repetido elevado a la 1 y por último escribimos en el denominador el término repetido elevado al cuadrado así:
2
22
3 3
3 36 10
x C x
B x A x
x x x
Como tenemos término repetido ya no podemos usar la forma fácil de resolver únicamente por sistemas de ecuaciones.
Pasos operamos el mínimo común denominador y lo igualamos al numerador.
x
B
x x
C x Ax
x210 36 3 2 3
Operamos los paréntesis
x x
Bx x
C
x Ax
x210 36 26 9 23
A B
x A B C
A xx x
A Cx Bx Ax Bx
Ax x
x
Cx Bx Bx
A Ax Ax
x x
Cx Bx Bx
A Ax Ax
x x
9 3
6 36
10
9 3
6 36
10
3 9
6 36
10
3 9
6 36
10
2 2
2 2 2
2 2
2
2 2
2
Formo mis 3 ecuaciones
36 9
10 3
6 1
A
C B A
B A
Resolviendo me queda:
Multiplico las letras en los paréntesis
Quito los paréntesis
Los ordeno
4 36 9
A A
Sustituyo valores en la primera ecuación:
5 1 4
1 4
1
B B
B B A
Sustituyo valores en la segunda ecuación
1 9 10
10 9
10 15
24
10 3
6
C C
C C
C B A
respuesta
2
22
3 1 3 5 4 3
36 10
x x
x x
x x x
EJERCICIOS
9)
21 3 2
x
x
10)
2 4 5
2 2
x x
x
11) 3 2
2
5 3
25 50 19
x x
x x
12)
25 10 10
2
x x
x
13)
2
2 1
62
x x
x
14)
2
2 21 1 2
x x
Descomposición de una fracción parcial que contiene un factor
cuadrático irreducible.
4 8 2
29 15 4
2 3
2 3
x x x
x x x
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una división larga.
2 4 8
2x3x2 x 4x3 x215x29 4x32x216x 8 x2 x 21
4 8 2
21 2
4 8 2
29 15 4
2 3
2 2
3 2 3
x x x
x x x
x x
x x x
Factorizo el denominador:
2 1
4 2 1
4
2 1
48
2x3x2 x x2 x x x2 x
4
2
x es un término cuadrático irreducible por lo que ahora opero asi:
1 2 4 4
8 2
21
2 2
3 2
x C x
B Ax x
x x
x x
Operamos el mínimo común denominador
A C
x A B
B C
xx x
C B Bx Ax Cx Ax x
x
C Cx B Bx Ax Ax x
x
x C x
B Ax x
x
4 2
2 21
4 2
2 21
4 2
2 21
4 1
2 21
2 2
2 2 2
2 2
2
2 2
Formar las ecuaciones:
Multiplico las letras en los paréntesis
Quito los paréntesis
Los ordeno
21 4
1 2
1 2
C B
B A
C A
Puedes resolverlo por el método que quieras, en este caso seguiremos practicando la resolución por matices
21 4 1 0
1 0 2 1
1 1 0 2
1 1 0 2
21 4 1 0
1 0 2 1
1 1 4 0
21 4 1 0
1 0 2 1
85 17 0 0
21 4 1 0
1 0 2 1
5 85 17
C C
1
20 21
21 4
B B
C B
3 2 1
2 1
1 2
A A
B A
B A
RESPUESTA:
1 2
5 4 1 3 2 1 2 4 2
4 8 2
21 2
4 8 2
29 15 4
2 2
2 3
2 2
3 2 3
x x
x x
C x
B Ax x
x x
x x x
x x
x x x
1
1 R
R
3 3 1
2R R R
1 1 4 0
1 1 0 2
2 0 4 2
3 3 2
4R R R
85 17 0 0
1 1 4 0
84 16 4 0