Los filtros digitales presentan

(1)

UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA

UNXDAD XZTAPALAPA

PRESENTAN

t

DE

LA

LUZ

PUEBLA

VICTOR

MANUEL

GHENO FLORES

JULIO

CESAR

(2)

PRESENTACION

En l o s aPSos recientes, ha habido un tremendo incremento en el

uso

de computadoras digitales

y

circuiterla digital de propdsito

especial para desarrollar una amplia gama de funciones de

procesamiento de seffales que inicialmente fueron llevadas a cabo

con equipamiento analdgico.

La evolucidn continua de circuitos integrados relativamente

baratos a propiciado una variedad de microchputadoras

y

minicomputadoras que pueden

ser

usadas para varias funciones de

procesami ent

o

d e seffal

es.

Ahora es posible construir procesadores digitales de propdsito

especial dentro del mismo tamaffo y al mismo costo de aquellos de

natural eta analdgi

ca.

Este trabajo aborda una pequeffa

parte de los filtros digitales

adaptivos analizando

el

desempeffo de los algoritmos

LMS

y

VSLMS

(algoritmos para filtros digitales adaptivos no recursivos

o

F I I R )

mediante e1

uso

de

programas computacionales para la simulacidn de

tales algoritmos observando cual

es

s u deoempeffo para diferentes

tipos de secuencias de entrada, diferentes niveles de ruido

y

condiciones cambiantes de medio de transnision,

es

decir,

de la

funcihn de transferencia

del medio.

(3)

I

NTROWCCI

ON

Un f i l t r o

d i g i t a l

puede ser d e f i n i d o como un p r o c e s o c o m p u t a c i o n a l

o

_{a l g o r i t m o}

que

c o n v i e r t e u n a s e c u e n c i a

d e

nCrmeros r e p r e s e n t a n d o

una

sefial

d e

e n t r a d a e n o t r a s e c u e n c i a

d e

nClmeros r e p r e s e n t a n d o u n a

sefial

d e

sal

i d a , y

e n el c u a l

l a

c o n v e r s i b n

cambia

l a s

caracteristicas

d e

l a

sefial en una forma

preescrita.

Un f i l t r o

d i g i t a l es

d i s e f i a d o

p o r

l a d e t e r s i n a c i o n

d e

l o s

c o e f i e i c n t e s

d e l

a l g o r i t m o

d e

e n t r a d d s a l i d a p o r a l & n p r o c e s o

d e

aproximacidn.

Los

f i l t r o s

d i g i t a l e s

p r e s e n t a n

v a r i a s

v e n t a j a s

s o b r e

s u s

c o n t r a p a r t e s a n a l b g i c o s :

1.-

I n t e r v a l o d i n i m i c o .

E l

limite

s u p e r i o r

es f

i j a d o p o r

el

tanaf5o

d e l

namero que

el

hardware

d i g i t a l

p u e d e r e p r e s e n t a r ,

y

el

llmi

t e

i n f eri

o r

es

f i j a d o p o r el r u i d o

d e

c u a n t i z a c i b n

y errores d e

redondeo.

El

i n t e r v a l o e n t r e e s t o s

limites

depende Crnicaaaente

d e

l a s

l o n g i t u d e s

d e

palabra

u t i l i z a d a s

( o sea,

el

numero

de b i t s

u s a d o s

e n

l a r e p r e s e n t a c i d n

b i n a r i a

d e

la

seftall.

Si

l a s

l o n g i t u d e s

d e

palabra

se

pueden hacer l o

s u f i c i e n t e m e n t e

g r a n d e s , e n p r i n c i p i o

el

i n t e r v a l o d i n i m i c o n o t i e n e

limite.

L o s

limites

s o n i m p u e s t o s e n

l a practica

adaptandose

d e

manera

(4)

2.- Ausencia de problemas

de componentes.

L o s

parametros d e los filtros

se

representan por medio

de

n6meros b i n w i o y

n o

derivan con

el

tiempo.

Al

aumentar la

longitud d e palabra

se

hace posible la obtencibn de cualquier

grado d e exactitud deseado.

Dentro de los límites de esa

exactitud, el filtro funciona tal y como se diseKo.

No

hay

problemas de tolerancia o deriva de

componentes.

Y

ninguno

asociado con

un comportamiento no

ideal d e

resistores,

capacitores, inductores

o

amplificadores.

Tappoco

existen

problemas de impedancia

de

entrada y salida ni

efectos de

carga entre etapas.

3. -

Conmutabi

1 idad

Si

l o s

parimetros del filtro se conservan en registros

(

lo

contrario de conectarse fisicanente), el

contenido de estos

registros

se pueda cambiar a voluntad y en forma instantanea

(es

decir, entre tiempos de muestre0 consecutivos),

p o r

tanto,

l o s

filtros

se

pueden hacer perfectamente

conmutables.

Un s o l o

filtro conmutable tambien

se puede multicanalizar en

el tiempo

para procesar entradas

mdltiples.

(5)

4.

-

Adaptabi 1 idad.

Un

f i l t r o

d i g i t a l

puede implementarse en

hardware

o

b i e n como

programa

d e

computadora.

L o s

f i l t r o s

d i g i t a l e s

d e

hardware

tambien

se

a d a p t a n

s i n

d i f i c u l t a d

para

el c o n t r o l

p o r

computadora

d e sus

parametros.

E x i s t e n m u c h a s a p l i c a c i o n e s

d e

p r o c e s a m i e n t o

d e

seffales e n

c u a l e s

l a s

r e l a c i o n e s

d e

fase

s o n im p o r t a n t e s ,

y

no deben

p e r t u r b a d a s

p o r

el

f i l t r a d o .

P a r a

e s t o s

f i n e s

serla

ideal

f i l t r o con d e f a s a n i e n t o

cero;

e n

l a practica

se d e b e

b u s c a r

f i l t r o

cuyo

d e s p l a z a m i e n t o

sea

p r o p o r c i o n a l a

la

f r e c u e n c i a .

1 as

ser

un

Una d i s t i n c i b n f u n d a m e n t a l e n l o s

sistemas

d e

d a t o s n u e s t r e a d o s

y

p a r t i c u l a r m e n t e e n lo s f i l t r o s

d i g i t a l e s , es

_{l a}

_{d u r a c i b n}

d e

l a

r e s p u e s t a

al

impul

s o . Se h a b l a d e

r e s p u e s t a f i n i t a

al

impulso

(FIR,

d e

f i n i t e

i m p u l s e

r e s p o n s e )

y d e

sistemas

d e

r e s p u e s t a

i n f i n i t a

al

impulso

(IIR

d e

i n f i n i t e i m p u l s e r e s p o n s e ) :

a3

I I R

Un f i l t r o

IIR

es u n o

e n

el

cual

l a

r e s p u e s t a i m p u l s i v a H ( n ) t i e n e

un nitmero i n f i n i t o

d e

muestras.

h i ,

H(n)

es

no

cero

e n un nCtmero

(6)

b>

FIR

Un filtro

FIR

es

uno en el cual la respuesta

a l

impulso

H(n)

es

limitada a un n ~ m e r o

finito de muestras.

Entre las posibles ventajas

de

l o s

filtros

F I R

son la

posible

realizaci6n d e caracteristicas ideales

d e

fase

y

menos

susceptibilidad de la implementacion

a

efectos de parametros de

cuantizacidn, ademas

de que estos, son siempre estables bajo

cual

qui

er

vari aci

6 n en sus coef

i ci entes.

1

Entre las desventajas son

l o s

grandes tiempos de retardo, la

necesidad d e funciones de mas alto orden para llevar

a

cabo los

requerimientos preescritos

de filtrado, y la carencia de procedi--

mientos mas

simples

de diseRo que peraitirlan la consecucibn

directa

de

las especificaciones

del filtro

I

a0

1 a 2

J,

an

I

(7)

a 0

J. al

J. a 2

J.

an-1

J.

an

I

ESTRUCTURA FILTRO IIR

Que hacen los filtros adaptivos?

L o s

filtros adaptivos se adaptan a las circunstancias cambiantes.

A

diferencia d e l a mayorla

de

1 os f

i 1

t r o s

convenci

m a l e s , 1

o s

filtros adaptivos predictivos son autodefinidos

en

el 'vuelo"

p o r

la secuencia

de

datos

de

entrada

mas

que

por un modelo a priori de

la sena1 esperada y las estadlsticas de ruido.

Para estadlsticas

de entrada estacionarias, los filtros adaptivos convergen

al

filtro bptiao Wiener,

el

cual

desde su primera

f

ormulacibn

expllcita en

1949,

es

el

mejor predictor

d e

mlniaos cuadrados

(8)

La p r e d i c c i b n l i n e a l

es

una t b c n i c a c l A s i c a de procesamiento de

sefiales que p r o v e e c a l c u l o s aproximados d e l v a l o r de un proceso de

entrada en un tiempo donde l o s datos medidos no e s t a n d i s p o n i b l e s ,

basados en mediciones del m i s m o proceso realizadas durante

i n t e r v a l o s que n o c o n t i e n e n e l t i e m p o de i n t e r e s . Las t b c n i c a s

s o n usadas generalmente en l a separacibn de s e b l e s y r u i d o

basados en l a s d i f e r e n c i a s d e l tiempo de coherencia de l a s e b l y

e l r u i d o .

Esto ha sido exitosamente aplicado a una amplia gapa de caabpos

incluyendo radar, sonar, estimacibn espectral, comunicaciones,

t e o r í a de c o n t r o l . c a n c e l a c i b n de ruido, sistema de

i d e n t i f i c a c i b n , astronomía, procesamiento de imagenes, i n g e n i e r í a

b i o d d i c a y o t r a s muchas areas.

kliener fue e l primero

en

d e r i v a r una f o r m u l a c i b n e x p l í c i t a d e l

p r e d i c t o r b p t i m o p o r m l n i m o r cuadrados para procesos estacionarios

c o n t i n u o s en tiempo.

Se

puede mostrar que 105 c o e f i c i e n t e s d e l

p r e d i c t o r b p t i m o p o r m í n i m o s cuadrados e s t a n d e f i n i d o s en terminos

de l a s e s t a d í s t i c a s de segundo orden d e l p r o c e s o e s t o c k t i c o .

Consacuentewmte, l a determinacibn de l o s c o e f i c i e n t e s d e l f i l t r o

b p t i m o r e q u i e r e c o n o c i m i e n t o e x p l í c i t o de l a s f u n c i o n e s de

c o v a r i a n c i a de l a seRal de datos de entrada.

(9)

E l

disef'ío de f i l t r o s de Wiener r e q u i e r e a p r i o r i de informacibn

acerca de l o s d a t o s e s t a d í s t i c o s de l a i n f o r m a c i b n a

ser

procesada. Cuando t a l i n f o r m a c i b n no e s t a d i s p o n i b l e , l a

i n f o r n a c i d n e s t a d í s t i c a r e q u e r i d a puede ser determinada de

l o s

datos de entrada usando estimacibn de m í n i m o s cuadrados. CIlgunas

t & c n i c a s como m l n i m o s cuadrados r e c u r s i v o s , pueden s e r u t i l i z a d a s

para proveer una implamentacibn mas e f i c i e n t e .

La p r e d i c c i b n a d a p t i v a basada en e s t i m a c i h de , g r a d i e n t e es

tambien usada p a r a p r e d e c i r una secuencia en tiempo con p a r 4 r e t r o s

e s t a d í s t i c o s desconocidos.

Los f i l t r o s adaptivos s o n autodisefiados basados en un a l g o r i t m o

r e c u r s i v o e l c u a l p e r m i t e a l f i l t r o aprender l o s parAmetros

e s t a d í s t i c o s i n i c i a l e s de l a entrada y r a s t r e a r l o s s i v a r í a n

lentamente

en el

t i e m p o .

Tales f i l t r o s empiezan de un conjunto predeterminado de

c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s ,

las

c u a l e s no contienen suposiciones acerca de l a s c a r a c t w l s t i c a s e s t a d í s t i c a s de

l o s

datos y entonces,

a c t u a l i z a

lor

c o e f i c i e n t e s d e l f i l t r o basado en

el

a l g o r i t m o

(10)

Para

e n t r a d a s

e s t a c i o n a r i a s ,

h a s i d o

mostrado

que

f i l t r o s

a d a p t i v o s

d i s e f i a d o s

a p r o p i a d a m e n t e

al

f i l t r o dptirno

d e

Meiner

d e n t r o

d e

un f a c t o r c o n o c i d o como r u i d o

d e

desajuste.

E l

r u i d o

d e

d e s a j u s t e

es

d e t e r m i n a d o p o r

l a magnitud

d e

l o s

e r r o r e s i n h e r e n t e s

d e 1 0 5

d a t o s

d e

e s t i m a c i b n adaptiva,

y

puede

ser

c o n t r o l a d o

p o r

l a

a p r o p i a d a

s e l e c c i d n

d e

l o s

par-bmetros f i j o s

d e l

f i l t r o

a d a p t i v o .

L o s

par-bmetros f i j o s

d e l

f i l t r o

d i g i t a l

s o n

a l g u n o s

tales

como

:

orden

d e l

f i l t r o ,

c o n s t a n t e

d e

a d a p t a c i b n ,

y

d i s t a n c i a

d e

p r e d i c c i d n .

La

razdn

a

la

c u a l

el

f i l t r o c o n v e r g e

es

d e f i n i d a

como

el

tiempo

d e

a p r e n d i z a j e

d e l

p r o c e s o

a d r p t i v o

( l a c o n s t a n t e

d e

tiempo

a d a p t i v a ) . L a m a g n i t u d

d e

l a

c o n s t a n t e

d e

t i e m p o ad a p t i v o

y

el

r u i d o

d e

d e s a j u s t e ,

son

i n v e r s a m e n t e r e l a c i o n a d o s .

E l

ma5

s i m p l e y

mas

e x t e n s i v a m e n t e a l g o r i t m o a d r p t i v o u t i l i z a d o

es

el

WCE

(least

mean

square).

E s t e a l g o r i t m o u t i l i z a u n a t 4 c n i c a

d e

busqueda

d e

g r a d i e n t e

para

d e t e r m i n a r l o s c o e f i c i e n t e s ,

1

o s

c u a l e s m i n i m i z a n el

error

cuadr-btico medio

d e

p r e d i c c i b n .

Los

a l g o r i t a o s

LHS

r e q u i e r e n s o l o

2N

o p e r a c i o n e s p o r it e r a c i b n

para

d a t o s

reales,

y

n o r e q u i e r e n

d e

la

d e t e r m i n a c i d n e x p l í c i t a

d e

l o s

c o e f i c i e n t e s

d e

la

c o r r e l a c i d n

d e

l a

eefial

de

e n t r a d a .

(11)

Avances recientes d e algoritmos para filtrado adaptivo

y

hardware

digital de alta velocidad han producido familias

de

algoritmos

computaci

m a l m e n t e efectivos, l o s cuales, pueden ser iaplerentados

(12)

E n t r e l o s a l g o r i t m o s a d a p t i v o s mas usados tenernos a q u e l l o s basados

en l a basqueda del gradiente. Esto se debe p r i n c i p a l m e n t e a su

robustez y s i m p l i c i d a d .

En general un a l g o r i t m o basado en l a bCrsqueda d e l g r a d i e n t e e s t a

dado p o r :

H(n+l)

=

H(n)

-

p

V ( n )

(1)

donde :

H(n)

=

tho , h a ,

...

h n - a 3 T

Es e l v e c t o r de c o e f i c i e n t e s . Y :

Es e l g r a d i e n t e de e r r o r c u a d r a t i c 0 medio y p es un f a c t o r que

c o n t r o l a l a e s t a b i l i d a d y v e l o c i d a d de adaptacidn del algoritmo.

(13)

De l a f i g u r a a n t e r i o r tenemos que :

e(n)

=

d(n)

-

y ( n )

CIsi asumiendo que:

X ( n )

=

C x ( n ) , x(n-1)

...,

x ( n - N + l ) l T

representa e l vector de entrada, de

2,4

y 5 obtenemos :

e(n)

=

d ( n )

-

HTX (n)

y sustituyendo ( 6 ) en ( 3 ) obtenemos:

E l

c a l c u l o de

V ( n )

no es simple en l a p r a c t i c a debido a l operador

espcctacibn. Esta d i f i c u l t a d r a d i c a p r i n i c i p a l a e n t e en e l hecho

de que l a s u p e r f i c i e de error es en general, desconocida en l a

p r a c t i c a , y debe 5er estimada p a r t i r de

10s

datos de entrada.

(14)

E l c u a l

d e ( 6 ) se

puede

reescribir

como:

V(n)

=

-2

Ce(n)x (n)

,

e ( n ) x ( n - 1 )

,

. . ..

, e ( n ) x (n-N+l)

1 ( 9 )

&si, reemplazando V(n) por

V'

( n ) e n

( 1 1 , d e ( 9 )

obtendremos:

H(n+l)

=

H(n)

-

p

V' ( n )

( 1 0 )

La

c u a l se puede reescribir como:

h x ( n + l ) = h r ( n )

+

2 p c ( n ) x ( n

-

I )

Las

e c u a c i o n e s

1 0 y

11 se conocen como el a l g o r i t m o

LMS

( 1

crast

means square)

o

a l g o r i t m o

d e

Widrow-Hopf.

S o l u c i o n

Optima.

Considerando

l a

a i n i a i z a c i d n

d e l e r r o r

c u a d r i t i c o m e d i o d a d o

por

L a c u a l

d e

(2)

y ( 5 ) se

puede reescribir como

:

E

C

e 2 ( n )

3

=

E

C(d(n)

-

XTH)'l (13)

(15)

La m i n i m i t a c i h de 13 puede l l e v a r s e a cabo usando e l p r i n c i p i o de

o r t o g o n a l i d a d e l c u a l c o n s i s t e en s e l e c c i o n a r H de modo t a l que l a

sef3al de error sea ortogonal a l v e c t o r de entrada, es decir:

&sumiendo que l o s c o e f i c i e n t e s y

el

v e c t o r de entrada s o n n o

correlacionados, de (15) obtenemos: ₁

P = R H

donde:

(16)

(17)

es e l v e c t o r de c o r r e l a c i d n e n t r e

el

v e c t o r de entrada y l a ref'íal

de r e f e r e n c i a , y :

R

=

E C X ( ~ ) X ~ ( ~ ) I (18)

es

la

m a t r i z de a u t o c o r r e l a c i d n de

l a

sefial

de entrada.

M u l t i p l i c a n d o a (16) por e1 l a d o i z q u i e r d o p o r R "S

,

obtenemos :

H m

R"P

(19)

(16)

Convergencia d e l a l g o r i t m o LMS.

Considere l a

seffal

de

error

la

cual esta dada por :

donde :

H

tho,

hi,

h a , hN-61 T

Y

X ( n )

=

C x t n ) ,

x(n-l)...x(n-N+l)I T (21 1

Sustituyendo 20 en l a expresidn correspondiente a l a l g o r i t m o LMS

Tomando e l v a l o r esperado de

24, asumiendo que

l o s c o e f i c i e n t e s

s o n

n o c o r r e l e c i o n r d o r en l a sena1 de entrada, obtenemos:

Seguidamente, sustrayendo H o p dado por (19) m r a b o s lados de l a

e c u a c i h

(251,

obtenemos:

(17)

ECH(n)I

-

R-'P

=

ECH(n-113

-

R-'P

+

2pR<R-'P

-

ECH(n-1)33 (29)

donde:

E l significado de este proceso es una traslacidn de

ejes.

Seguidamente, usando una matriz ortonormal representarnos

R

de

la

si

qui

e n t e

manera:

Donde:

A r i de 32 y 33 obtenrmos

R

=

K=Q K

K*K

=

I

(32)

(33)

(18)

K R K ~

=

K K ~ Q

K K ~ (35)

Q

=

K R K ~

donde

:

Q

=

diagCXi,

XZ,....,XN>

(36 1

(37)

y

Xi

es

el

i-esino eigenvalor o valor propio

de la matriz

de

autocorrelacibn

R. Asi sustituyendo 34

en

30 obtenemos

:

Multiplicando

(40) p o r K

en el .lado izquierdo, obtenemos:

q ( n )

=

KKT(I

-

2pQ)Iy(n-l)

V(n)

=

( I

-

2pQ)V(n-l)

E l

significado d e

esta operacidn

es

una rotrcidn d e ajes.

(41)

(42)

(19)

I t e r a n d o

l a

e c u a c i d n

(32)

obtenemos:

1

-2gA2

I

I I

.

I I

(43)

1

De

aqui

se

p u e d e v e r q u e

Vi

(k

1

aproxima

a O

si

:

1

-

2 p X ~ C

1 D e

donde

se

obtiene? que

si

O

<

p

<

1 / Xi

(44)

(45)

l a

i-esiaa

componente

d e l

v e c t o r

V

c o n v e r g e r & a

O ( c e r o ) .

CIsi

con el o b j e t o

d e

a s e g u r a r

l a c o n v e r g e n c i a

d e

t o d o s

l o s

componentes

d e l

v e c t o r

V se

r e q u i e r e q u e

:

0

<

p

<

1

/ . X MAX

E s t o

se

_deduce

_{d e}

_el

hecho d e

que

(20)

Una c o n d i c i b n

d e

c o n v e r g e n c i a ,

l a

c u a l

es

s u f i c i e n t e

p e r o

no

n e c e s a r i a , se p u e d e o b t e n e r

d e

l a

t e o r i a

d e

matrices

observando

que:

t r R

>

X MAX ( 4 7 )

Donde t r R s i g n i f i c a

l a

suma

d e

t o d o s l o s e l e m e n t o s e n

l a

d i a g o n a l

p r i n c i p a l

de

R. Y a

q u e

R

esta

dado

por

(181,

es

facil

d e d u c i r q u e

Donde x 2 ( n ) d e n o t a

l a

p o t e n c i a

d e

l a

renal

d e

e n t r a d a .

~ ~~ ~

A s i

f i n a l m m t a o b t e n e m o s q u e

el

a l g o r i t m o

LHS

sera

c o n v e r g e n t e

si:

(21)

Para

p o d e r

t e n e r

u n a

o p t i m i z a c i d n

c o m p l e t a

e n

l a

aproximacidn

a d a p t i v a ,

debemos

d e

t o m a r

c u e n t a ,

e n

l a

v e l o c i d a d

d e

c o n v e r g e n c i a ,

l a

d i s t o r s i d n

d e

l a

seffal

y

l o s r e t a r d o s

d e

t r a n s m i -

s i d n

d e

d a t o s ,

l o s

c u a l e s

d e b e n

ser

mínimos. Generalmente

l a s

e s t r u c t u r a s

adaptivas

no pueden proveer

un g r a n

f a c t o r

d e

decirnacidn

y

un pequeffo r e t a r d o

da

t r a n s a i s i d n m i e n t r a s m a n t i e n e

u n a g r a n v a l o r

d e

ERLE

( e c h o r e t u r l o s s e n h a n c e m e n t ) .

Con

un

g r a n

f a c t o r

d e

decirnacidn

y

una a l t a a t e n u r c i b n

d e e c o

r e p u e r i r l a e o s

d e

un orden

d e l

f i l t r o muy a l t o

y

c a u s a r í a

g r a n d e s

r e t a r d o s

d e

t r a n s m i s i d n .

E l a l g o r i t m o

VLHS

es u n a p r o p u e s t a

el

c u a l permite v e l o c i d a d

y

d e t e c c i o n

precisa

para

l a

a p r o x i n a c i d n

d e

l o s c o e f i c i e n t e s

d e l

f i t r o a d a p t i v o .

E l p r i n c i p i o

basic0

d e l

f u n c i o n a m i e n t o d e

este

a l g o r i t m o ,

es

i r

v a r i a n d o el tamaPIo

d e l paso

a

medida

e n q u e

este

sa

va aproximando

a

l a

sePIa1,

es

decir,

el

t a m d o

d e l

p a s o va disminuyendo

a medida

q u e

el

a l g o r i t m o

va

c o n v e r g i e n d o

h a c i a

e 1

v e c t o r

d p t i m o

d e

(22)

El

p r i n c i p i o

d e

este a l g o r i t m o

es

b k i c a m e n t e

similar al

LMS

d e s c r i t o

a n t e r i o r m e n t e

a d i f e r e n c i a

d e l a s

c o n d i c i o n e s

e n

l a

c u a l e s v a

a

v a r i a r

el

paso d e

c o n v e r g e n c i a .

P a r t i e n d o

d e

que

l a

v a r i a b l e

d e

p a s o

es p r o p o r c i o n a l

a

l a

p o t e n c i a

d e l err o r :

N-1

1

h ( k ) 2

k 3 1

N

Por l o c u a l a l n ) q u e d a

d e l a

s i g u i e n t e m a n e r a :

N- 1

K=l

A s i

p o r

l o t a n t o

:

(23)

Cssi

para

que el algoritmo converja ma5 ripidamente definimos las

siguientes condiciones:

si

s i

A M A X

=

1.0 entonces

a(n)

=

B

entonces

a(n1

=

1.0 Las

siguientes

paginas

nuestran

el

programa

corputpciorrpl

donde

se

implenentan

ambos

algoritrrps,

así

corn

l a

i n t r r f a z

hacia

el

t

(24)

*"""""""""""""""""""""""""""""""

*I

*

PROGRAMA VSNLMS

AND LMS

* )

*"""""""""""""""""""""""""""""""

*I

Este programa implementa

l o s algoritmos vsnlms

y

lms

*)

para la simulacion de filtros adaptivos no recurs1vos

*cS

el cual muestra la relacion señal/ruido que presenta

*)

tal simulacion.

Este programa

es capaz de analizar

*)

distintas señales de entrada desde

la mas simple funcion

*I

escalon hasta una señal totalmente aleatoria,

la cual

* I

ira siendo aproximada p o r

el filtro adaptivo convergiendo

*)

a

un valor de ganancia

dado

* )

'ROGRAM

VSLMS-LMS;

USES

CRT,

VENTANAS,

GRAPH,

PTOOLS;

CONS

J

fct

=

'.FCT';

erl

=

'.ERL';

sig

=

' . S I G ' ;

( *

el programa s e auxilia de estas

* )

( *

unidades, las cuales slrven para

* )

( *

realizar la parte de graficacion,

* I

( *

la parte de interface a usuario y

*)

( *

para proposlto propios del lenguaje

*)

I

( *

Estas constantes son declaradas para

*I

( *

para poder identificar

l o s archivos

*I

( *

de texto que generara

y

utilizara el

* I

( *

programa

*)

TYPE

vector=arrayCO..

3001

o f

real

;

cadena

=

stringC303;

cadena1

=

stringC41;

VAR

A ,

AT,

XT,

AR,

A R 1 ,

XR,

XS,

DT

n , i x 2 , i x l

libre

:

vector;

:

integer;

:

boolean;

(*"""-"""""""""""""""""""""""""""

*)

(*

GENERADOR DE RUIDO GAUSSIAN0

*)

(*"""""""""""""""""""""""-"""""""

*)

(*

generador de numeros uniformemente distribuidos

*)

( *

para asi poder realizar la simulacion del ruido blanco

*I

procedure unif(uni

:

integer;

V A R

i x l , i x 2

:

integer;

VAR ry

:

real);

V A R

(25)

BEG I N

i f u n i = l t h e n i : c : = i x l el

se

i x : = i x Z ; i s : = i x * 1 7 9 ; i f i x < O t h e n

r y : =i x / 3 2 7 6 8 . O ;

i f u n i = l t h e n

el

se

i x : = i x + 3 2 7 6 7 + 1 ;

i x l : = i x

i x Z : = i x ; END

;

*

G a u s s i a n o s n u m e r o s g e n e r a d o r d e

* )

*

E s t e p r o c e d i m i e n t o se a y u d a d e l p r o c e d i m i e n t o UNIF p a r a *I

*

g e n e r a r a l e a t o r i a m e n t e d a t o s q u e s i r v a n p a r a d e t e r m i n a r * I

*

u n a

señal

d e e n t r a d a y

l a

r e s p u e s t a i m p u l s i v a d e l

sistema

*)

r o c e d u r e n o i s e ( u n i : i n t e g e r ; s d :

r e a l ;

VAR i x 1 , i x z I : i n t e g e r ; VAR x l , : c 2 :

r e a l ) ;

I

LhBEL

1.;

VAR

vl,v2,r,s,b,y

:

r e a l ;

BEGIN

1 : u n i f ( m i , i x l , i x 2 , r ) ; v l : = 2 * r - l ;

u n i f ( u n i , i x l , i x 2 , r ) ; vZ: =2*r-l j

S : = s q r

( v l )

+ s q r ( v 2 )

;

i f

s>1.0

t h e n g o t o

1;

b: "2. O*ln ( 5 )

;

y : = s q r t ( b / s )

;

x

1

: = s d * v l * y ;

x í ! : =sd*vZ*y;

END;

(*"""""""""""""""""""""""""""""""

* I

(*

PROCEDIMIENTO RESIMF

*)

(*"""""""""""""""""""""""""""""""

*)

(26)

roceaure res1mp:ma : L n r i l g e r ; VAR sdl,xl,xL : r e a l ; VAR A R , A R l : v e c t o r ) ;

VAR

j , k , i x l , i x 2 : i n t e g e r ;

REG

I N

s d l

:=

1 ;

i x 1 :

=232;

i x 2 : =345;

FOR k:=O t o ma-1

DO

b e g i n

noiseIl,sdl,ixl,ix2,xl,x2);

A R C k l : = ( x l / 3 . 0 ) * e x p ( - ( 6 . ~ * k ) / ( m a - l ) I ; A R l C k l : = ( x 2 / 3 . 0 ) * e x p ( - ( 6 . ~ * k ) / ~ m a - l ) ) ; end;

END;

'*~""""""""""""""""""""""""""""""

*)

:*

PROCEDIMIENTO TRANSV

*)

;*""""""""""""""""""""~"""""""""--

*)

:*

E s t e p r o c e d i m i e n t o o b t i e n e v e c t o r e l o l a m a t r i z de *I [ * s a l i d a d e l s i s t e m a empleando l a sumatoria de convo-

,

* I

:*

l u c i o n , p a r a l a c u a l i n v i e r t e l a s e ñ a l de entrada *I

f * y e s l a

que

v a r e c o r r i e n d o s o b r e la r e s p u e s t a im p u l s i v a *I

, r o c e d u r e t r a n s v ( V A R m a , n a : i n t e g e r ; VAR x 1 , y : r e a l ; VAH A T , X T : v e c t o r ) ;

VAR

k : i n t e g e r ;

BEG I N

FOR

k:=O

t o na-1

DO

( *

r e c o r r e l a l i n e a de r e t a r d o * I b e g i n

end;

XTCnal: =x 1

;

( *

i n t r o d u c e s e ñ a l l a d e e n t r a d a

*)

FOR k:=O t o ma-1

DO

beg¡ n

end;

XTCkl:=XTCk+ll

y :

=o.

o;

y:=y+ATCkl*XTCna-kl

( *

c o n v o l u c i o n a o b t e n i e n d o y l t )

*)

END;

(*"""""""""""~"""""""""""""""""""

*)

( *

PROCEDIMIENTO STEPSIZE *I

(*"""""""""""""""""""-""""""""""--

*)

( *

E s t e p r o c e d i m i e n t o e s l a mas i m p o r t a n t e d e n t r o d e l

*)

(*

programa, y a d e t e r m i n a p a s o e l c o n v e r g e n c i a d e d e

* )

( *

acuerdo con l a s e l e c c i o n d e l a l g o r i t m o s e l e c c i o n a d o

*)

(27)

rocedure stepslze(VAR ma,na : i n t e g e r ;

VAR m i u , e r r o r , a l f a : r e a l ; VAR

XT

: v e c t o r ;

ch : char ) ;

VFIR

k

: I n t e g e r ;

am1 u, m i up, mmax

,

m m i n : r e a l

;

BEGIN

amiu:

=O.

O;

( *

c a l c u l o de l a p o t e n c i a

* )

FOR

k:=O t o ma-1

DO

(*

de l a señal de entrada

* )

b e g i n

( *

para as¡ determinar e l

*)

amlu:=amlu+sqt- (XTCna-kl) ( * paso

*)

end;

i f ch

=

' L '

then

el

se

m i u

:=

a l f a / a m i u

(*

c a l c u l o de m i u

*)

begin

mmax:

=l.

O / a m i u ; ( * r a d i o de convergencia de m l u *I

mmin:=O.Ol/amlu; i f m i

u=O.

O then e l se

m i up : =mmax

rnlup:=0.999*miu+0.00048*error*error;

miu:=miup;

( *

condiciones de m l u para *I I f miup>mmax then miu: =mmax;

( *

l a convergencia del

* )

I f miup(mmin then miu:=mmin;

( *

a l g o r i t m o *I

end;

END;

(*."~"""""""~"""""""~""-""""""""""---

* )

( *

PROCEDIMIENTO

LMS

*)

(*""""""""""""""""""""""""""""""-

*)

( *

Este procedimiento evalua e l a l g o r i t m o con e l c u a l e l

*)

c*

f i l t r o a d a p t i v a i r a aproximando su respuesta impulsiva *I

( *

a l a respuesta impulsiva del sistema

*)

procedure lms(VAR ma,na : i n t e g e r ;

VAR e r r o r , m i u : r e a l ;

(28)

FOR

k:=O

to ma-1 DO

begin

end;

**ATCkl:=ATCkl+miuerrorXTCna-kl**

END;

.*""""""""""""~""""~""""~"~"""""-

*I

*

FRESENTACION

*)

*""""""""~""""""""""""""""""""""

*I

)rocedure presentacion;

BEGIN

ventana(l,l,80,24,1,",1,14~;

gotoxy

( 2 2 , 6 )

;

write('SIMULACI0N DE FILTROS ADAPTIVOS

MEDIANTE');

write('L0S ALGORITMOS VLMS

Y

LMS');

write

( '

ELABORADO FOR

: '

I

;

write(' DE LA

LUZ PUEBLA VICTOR

MANUEL');

write

( '

GHENO FLORES JULIO

CESAR');

gotoxy(22,14)

;

write

( '

BAJO LA ASESORIA DE:');

g o t o x y ( 2 2 , l S )

;

write(

'

Dr. HECTOR PEREZ

MEANA');

gotoxy(20,18);Write('

UAM-I

1994');

textcolor(31);Gotoxy(70,22);

write('.i;<ESFERE>>');

del

ay

(2000)

;

textcol

or

(14)

;

gotoxy(22,7)

;

gotoxy(22,9)

;

gotoxy(22,lO)

;

g o t o x y

(22,ll)

;

END;

(*""""""""""""""""""""""""""""""-

*I

( *

PROCEDIMIENTO DE INICIALIZACION

*)

(*"""""""""""""""""""""""""""-"""

*)

( *

Este procedimiento inicializa

l o s

vectores a utilizar

*)

( *

durante la ejecucion del programa, esto con

el

f i n

de

*)

( *

evitar ruido

que

pueda ser introducido

*I

procedure inicializa(VAR A,AT,XT,AR,ARl,XR,XS,DT:vector);

'JAR

k

:

integer;

BEGIN

FOR k :

=O

to

300 DO

begin

A C k l

:=O.O;

(29)

X T t k l : = O . O ; XSCKl:=O.O; DTCkl:=O.O; end;

END:

y""""""~""~""""""""""""""""""""-"""

*)

*

GUARDAR DATOS EN ARCHIVO *I

*"""""""""""""""""""""""""""""""---

* )

*

E n e s t e p r o c e d i m i e n t o damos l a opclon de que e l u s u a r i o * )

*

p u e d a g u a r d a r e n a r c h i v o s d e t e x t o l o s d a t o s que haya

* )

*

generado

el

programa, dandole l a opcion de que l o pueda

*)

*

guardar en c u a l q u i e r u n i d a d de d i s c o y b a j o c u a l q u i e r *I

*

s u b d i r e c t o r i o . Y l a e x t e n s i o n d e l a r c h i v o g e n e r a r a l a

*)

*

e s t e de acuerdo

al

p r o c e d i m i e n t o r e a l i z a d o *I

r o c e d u r e g u a r d a r c

(DT:vector;extension:cadenal);

VAR

i , r e s u l t a d o : i n t e g e r ;

s a l i d a : c h a r ;

n o m b r e , a r c h i v o : cadena;

OUDA : t e x t ;

I

BEGIN

p t w s e t ( 1 , 1 3 , 7 , 6 7 , 1 7 , 1 , 7 , 0 , " ) ; ptwopen ( 1 1

;

w r i t e l n ( ' T E C L E E EL NOMBRE DEL ARCHIVO SIN EXTENSION. L A E X - ' 1 ; w r i t e l n ( ' T E N S I 0 N ASIGNADA SERA ' , e x t e n s i o n , '

.

EL ARCHIVO S E ' ) ;

writeln('GUARDARA EN L A UNIDAD D E TRABAJO, S I DESEA GRABARLO');

w r i t e l n ( ' E N OTRA UNIDAD INDICARLA DE L A SIGUIENTE MANERA: ' I ; w r i t e l n ( '

C U N I D A D l : ~ \ C S U B D I R 3 \ ~ ~ E N O M E R E l

' 1

;

w r i t e l n ( ' PARA ABORTAR TECLEE FIN ' 1 ;

w r i t e l n ; r e p e a t

ptwset(2,13,15,67,17,1,4,15,");

ptwopen

( 2 )

;

r e a d l n ( n o m b r e )

;

i f (nombre-' ' 1 t h e n

b e g i n

r e s u l t a d o : = l ; p t w c l o s e ; end

b e g i n e l se

i f (nombre

< >

' F I N ' ) then b e g i n

a r c h i v o

:=

concat(nombre,extension);

a s s i g n ( O U D A , a r c h i v o ) ; <$I->

r e w r i t e (OUDA)

;

r e s u l t a d o : = I O R e s u l t ; .:: B I

+

3

(30)

wrrteln('UN1DAD DE DESTINO NO V A L i L M ' ) ; w r i t e l n ;

write('PRES1ONE INTRO PARA CONTINUAR');

s a l i d a

:=

r e a d k e y ;

p t w c l o s e ; { c i e r r e de

31

p t w c l o s e ; , : c i e r r e d e 23 End;

end;

u n t i l ( r e s u l t a d o

=

O )

o r (nombre = ' F I N ' )

;

i f nombre

< >

' F I N ' t h e n

beg¡ n

F o r

i

:=

1 t o 180 do

c l o s e ( o u d a )

;

writeln(OUDA,i:b,DTEiI:l4:6);

end;

p t w c l o s e ; E c l e r r e d e

2)

p t w c l o s e ; { c i e r r e de

1 1

END;

*"""""""""""""""""""-"""""""""""""

*)

*

LEER DATOS D E ARCHIVO

*)

*-""""""""""""""""""""""""""""""""

*)

*

E s t e p r o c e d i m i e n t o l e e a r c h i v o , d e l o s d a t o s que han

*)

*

s i d o e d i t a d o s p r e v i a m e n t e , c o n l a e x t e n s i o n que r e q u j e r a

*)

*

c a d a f u n c i o n . T a m b i e n , t i e n e l a c a p a c i d a d de l e e r de

*)

*

s u b d i r e c t o r i o c u a l q u i e r y / o d i s c o u n i d a d d e *I

r o c e d u r e le e a r c (VAR DT : v e c t o r ; e x t e n s i o n : c a d e n a l ; VAR a r c h i v o : c a d e n a ) ;

VAR

i n d i c e , r e s u l t a d o , aux aux 1

s a l i d a nombre

I NDA

: i n t e g e r ; : r e a l ; : c h a r ;

: cadena;

: t e x t ;

BEGIN

p t w s e t ( 4 , 1 3 , 7 , 6 7 , 1 7 , 1 , 7 , 0 , " ) ;

ptwopen

(4)

;

W r i t e l n t ' T E C L E E EL NOMBRE DEL ARCHIVO SIN EXTENSION. L A

EX-

' 1 ;

w r i t e l n ( ' T E N S I 0 N ASIGNADA SERA ' , e x t e n s i o n , '

.

EL ARCHIVO S E ' ) ; w r i t e l n ( ' L E E R D E L A UNIDAD DE TRABAJO, SI DESEA LEER DESDE ' 1 ;

w r i t e l n ( ' 0 T R A UNIDAD INDICARLA, DE L A SIGUIENTE MANERA: ' 1 ;

wri t e l n ( ' CUNIDADl:C\CSUBDIR3\>CNOMBRE3 ' 1 ;

wri t e l n ( ' PARA ABORTAR TECLEE FIN ' ) ;

w r i t e l n ; r e p e a t

p t w s e t ( 5 , 1 3 , 1 5 , 6 7 , 1 7 , 1 , 4 , 1 5 , " ) ;

ptwopen (5) ; r e a d l n (Nombre) ;

i f

nombre = " then

b e g i n

r e s u l t a d o

:=

1 ; p t w c l o s e ;

(31)

b e g i n

i f nombre

< >

' F I N ' then b e g i n

a r c h i v o

:=

c o n c a t ( n o m b r e , e x t e n s i o n ) ; a s s i g n ( I N D A , a r c h i v o ) ;

.:S

1 - 3

r e s e t (INDA)

;

r e s u l t a d o :

=

IOResul t ; I +I

B e g i n

i f r e s u l t a d o .<>

O

then

p t w ~ e t ~ 6 , 1 9 , 9 , 6 1 , 1 5 , 1 , 3 , 0 , " ) ;

ptwopen ( 6 )

;

w r i t e l n ( ' E L ARCHIVO ESPECIFICADO NO SE ENCUENTRA'); wri t e l n ;

w r i t e ( ' P R E S I 0 N E INTRO PARA C O N T I N U A R ' ) ; s a l i d a := r e a d k e y ;

p t w c l o s e ; ptwcl ose; End;

end; end;

u n t i l ( r e s u l t a d o

=

O )

o r (nombre

=

' F I N ' )

;

i f nombre <:> ' F I N ' then

b e g i n

i n d i c e

:=

O ;

WHILE ( ( n o t

e o + ( I N D A > )

o r ( i n d i c e ( l 8 0 ) ) do b e g i n

r e a d l n ( I N D A , a u x , A U X l ) ; D T C i n d i c e J : = a w l :

i n d i c e : = i n d i c e

+

1 ; end;

close(1NDH);

end

e l s e a r c h i v o

:=

' F I N ' ; p t w c l o s e ;

p t w c l o s e ; END;

(*""""""""""""""""""""""""""""""""

*)

( *

SELECCION

DE

L A SEGAL

*)

(*""""""""""""""""""""""""""""""""

*)

( *

E s t e p r o c e d i m i e n t o g e n e r a

la

s e ñ a l de e n t r a d a a

la

*)

( *

que e s t a r a s u j e t o

el

p r o g r a m a , p r o p o r c i o n a a l g u n a s *I

(*

s e ñ a l e s

_tales

como, s e n o i d a l , e s c a l o n , t r e n de p u l s o s *I

( *

y s e ñ a l e s a l e a t o r i a s ; t a m b i e n t i e n e o p c i o n l a de que * I

( *

pueda e s c r i b i r a , o l e e r de d i s c o s e ñ a l e s e l e g i d o s p o r *I

(*

el

usuar i o

*)

(32)

( *

este procedimiento

sirve para seleccionar el periodo

* j

( * de

las señales que

1 o

requieran

* )

procedure periodo (var t

:

real)

;

V A R

bandera

:

byte;

BEG

I

N

Repeat

ptwset(7,15,i0,65,14,1,6,14,");

ptwopen ( 7 )

;

writeln('QUE PEfiIODO TENDRA

LA

SEÑAL

? ' I ;

write('T:=

' 1 ;

<$I-)

readln

(TI;

.:$I+:.

;

bandera

: =

i

oresult;

i f

bandera

.:';

>

O

then

ptwclose

Until (bandera

=

O )

;

textcol

or

(31

1 ;

write

(

'.::(.::EVALUANDO).>>

'

1 ;

END;

*"""""".""""""""""""""""""""""""""

_*)

*

FUNCIONES

DE

SEKALES

*)

' * " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "

"

* )

*

En

las siguientes lineas

se editan algunas funciones

*)

:*

que

s o n

las utilizadas

en el programa

* I

I

(*""""""""""""""

SENOIDAL---

* )

function senoidal (t:real;indice:integer): real;

BEGIN

END

;

**senoidal:= sin((2piindice)/t)**

+

2;

VAR

j : b y t e ;

BEGIN

k: =O;

while k

< =

i80

d o

BEG

I

N

for

j

:=i

to

4

d o

X S C k + j - 2 1

:=

1;

f o r j :=5

to

8

d o

X S C k + j - 2 1

:=

O;

k

:=

k

+

8;

END

;

(33)

i " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "

"

* )

i.

cuerpo principal del generador de señales

*I

~""""""""""""""""""""""""""""--

* I

3EGIN

x

:=

' z ';

WHILE

x

< >

'S'

d o

BEG

I

N

ventana(1,1,80,24,1,",1,14);

g o t o x y ( l 2 , 2 ) ;

write('EN ESTA OPCION PODRA INTRODUCIR LA SECíAL

DE

ENTRADA

' 1 ;

g o t o x y ( l 8 , 3 ) ;

write('DEL SISTEMA

DE

COMUNICACIQN');

textcol

or

( 1 5 )

;

g o t o x y ( 2 , 8 ) ;

write('[[:

A 1 1 ' ) ;

gotoxy(2,10);write('CC

B

1 3 ' ) ;

gotoxy(2,12);write('CC C

1 3 ' ) ;

gotoxy(2,14);write('CC D

1 3 ' ) ;

gotoxy(Z,lb);write('CC

E

1 1 ' ) ;

gotoxy(2,18);write('CC

F

1 1 ' 1 ;

gotoxy(Z,2O);write('LC

S 1 3 ' ) ;

textcolor(l4);

gotosy(l2,8); write('SEijAL ESCALON

' 1 ;

gotoxy(12,lO) ;write( 'SEÑAL SENOIDAL

' 1 ;

gotoxy(l2,lZ)

;write('SEijAL ALEATORIA

' 1

;

gotoxy(l2,14);write('LEER

SEÑAL DE DISCO

' 1 ;

gotoxy(lZ,lb);write('ESCRIBIR SEÑAL

EN

DISCO

' ) ;

gotoxy(12,18);write('TREN

DE PULSOS

I

gotoxy(l2,20);write('REGRESAR

AL MENU PRINCIPAL');

p t w s e t ( 8 , 1 , 2 2 , 8 0 , 2 4 , 1 , 4 , 1 5 , " ~ ;

ptwopen

(8)

;

REPEAT

clrscr;

write('SELECCI0NE

L A

LETRA DE SU OPCION

' ) ;

x:=

upcase(readkey1;

' ) ;

g o t o x y ( 4 , 2 1 ) ;

UNTIL

( x

=

' A ' )

or

( x

=

'B')

or

( x

=

'C') or

( x

=

'D') or

( x

=

'E') o r

( x

=

' F ' )

or

( x

=

'S');

write

( x 1

;

CQSE

x O F ' A '

'C'

.

BEGIN

signal

:

=

'ESCALON

'

;

f o r k

:=!

O

t o

180 d o

X S C k I

:=

escal on;

textcolor (31)

;

write(' < < < E V A L U A N D O > > > ' )

END;

BEGIN

signal

:=

'SENOIDE';

peri

o d o

(t

) ;

for

k

:=

0 t o 180

d o

X S C K I

:=senoidal (t,k);

ptwclose;

.:cierre de

73.

END;

BEGIN

signal

:=

'ALEATORIA';

ventana(30,10,70,13,3,",7,0);

gotoxy(31,ll)

;

(34)

' D '

' E '

'F

'

ZtG 1 x iv

n o l s e ( l , l , l x l , i x 2 , x í , x 2 ) ;

XSCKl :=xl; END

;

END;

: BEGIN

s i g n a l

:=

'DE ARCHIVO'; l e e a r c ( X S , S I G , a r c h i v o ) ; END

;

: g u a r d a r c ( X S , S I G ) ;

: BEGIN

s i g n a l :

=

'TREN DE FULSOS'

;

t r e n d e p u l s o ( X S )

;

END; END;

<case>

p t w c l o s e ; ' ; c i e r r e d e

83.

f l a g - s i g :

=

t r u e ;

END;

END

;

*""""~"""""""""""~""""~""""""~"""""

*)

*

SELECCION DEL TAMANO DE MIU

*)

*""""""""""""""""""""~"""-"""""---

*)

u

E s t e p r o c e d i m i e n t o es l a l n t e r f a z dque t i e n e e l u s u a r ) o * )

*

p a r a d e t e r m i n a r q u e a l g o r i t m o d e s e a u t i l i z a r y e l tamaño

*)

*

d e l p a s o

que

desee *I

r o c e d u r e s e l e c - a l g ( V A R a l f a : r e a l ; VAR c h : c h a r ;

VAR a l g o r i t m o ; cadena; VAR f l a g - a l g : b o o l e a n ) ;

BEG I N

v e n t a n a ( l , 1 , 8 0 , 2 4 , 1 , " , 1 , 1 5 ) ;

g o t o x y ( l S , 2 ) ; t e x t c o l o r ( l 4 ) ;

w r i t e l n ( ' E S T E PROGRAMA PUEDE IMPLEMENTAR

DOS

TIPOS DE ALGORITMOS');

gotoxy

(15,2)

;

w r i t e l n ( ' E L ALGORITMO "LMS" QUE UTILIZA UN FASO D E AFROXIMACION ' 1 ;

w r i t e l n ( ' C O N S T A N T E , EL CUAL E S INTRODUCIDO POR EL USUARIO ' 1

;

w r i t e l n ( ' Y EL ALGORITMO "VLMS", EL CUAL UTILIZA UN FASO

DE

' ) ;

writeln('APROXIMACI0N VARIABLE, EL CUAL EL PROGRAMA EVALUA. ' ) ;

w r i t e l n ( ' S E L E C C I 0 N E EL ALGORITMO A IMPLEMENTAR: ' 1 ; g o t o x y ( 2 0 , 1 3 )

;

t e x t c o l o r ( 1 5 )

;

wri t e ( '.<< L

>>

' 1

;

g o t o x y ( 4 0 , 1 3 > ; w r i t e ( ' ~ ~ V > > ' ) ; t e x t c o l o r ( l 4 ) ;

gotoxy(28,13);write('LMS');

g o t o x y ( 4 8 , 1 3 ) ; w r i t e ( ' V L M S

' 1 ;

REPEAT

UNTIL ( ( c h = ' L ' ) o r ( c h

=

' U ' ) ) ;

I F c h

=

' L ' then

g o t o x y ( 1 5 , 3 ) ;

g o t o x y ( 1 5 , 4 ) ;

g o t o x y ( l S , 5 ) ;

g o t o x y ( l 5 , l O ) ;

c h :

=

u p c a s e ( r e a d k e y )

;

BEG I N Repeat

ventana(32,15,48,17,3,'LMS',4,15);

g o t o x y ( 3 3 , 1 6 )