SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS

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(1)

TRIGONOMETRÍA

SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS

Para medir ángulos se utilizan: 1.− Sistema sexagesimal:

La unidad de medida en este sistema es el grado sexagesimal

Un ángulo mide un grado sexagesimal (10) si su arco central correspondiente, es la trescientas sesentava parte de la circunferencia.

Por tanto:

• Un ángulo completo (aquél cuyo arco es una circunferencia) mide 3600.

• Un ángulo llano mide 1800.

• Un ángulo recto mide 900.

Cada uno de los 60 ángulos iguales en los que podemos dividir el ángulo de 10 mide 1 minuto (1´), y cada uno de los 60 ángulos iguales en los que podemos dividir el ángulo de 1´ mide 1 segundo (1´´).

1´ = 60

1

de 10⇒ 10 =60´; 1´´ = 60

1

de 1´ ⇒ 1´=60´´

2.− Sistema natural

La unidad de medida en este sistema es el radián (1 rad.).

Un ángulo mide 1 radián si al trazar uno cualquiera de sus arcos, la longitud de dicho arco coincide con la del radio con que se ha trazado. La definición de radián no depende del radio elegido para trazar el arco.

Un ángulo completo (3600) contiene 2·π radianes, ya que como la longitud de una circunferencia es 2·π·r, contiene a su radio ⋅π⋅ =2⋅π

r r 2

veces.

Luego: Un ángulo llano (1800) contendrá la mitad, es decir π radianes. Un ángulo recto (900) contendrá

2

π

(2)

EQUIVALENCIA ENTRE LOS SISTEMAS DE MEDIDA DE ÁNGULOS

Acabamos de ver que:

3600 = 2·π rad. 1800 = π rad. 900 = 2

π

rad.

Si queremos saber cuantos radianes (β rad.) mide un ángulo que mide α0, o viceversa, tendremos en cuenta la siguiente proporción:

rad. 180 rad.

0 0

π

β

α

=

EJERCICIOS:

1. −Expresa en radianes los siguientes ángulos: 450, 300, 600, 3000, 3300, 2100. 2. −Expresa en grados sexagesimales los ángulos.

rad 4 3π

, rad 6 7π

, rad 2 3π

, rad 3 7π

.

2. −¿Cuántos grados sexagesimales mide un ángulo de 1 rad.? 3. −Haz los ejercicios n0

32 y 36 de la página 136 de tu libro.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO

Dado un ángulo α agudo (0<α <900), se definen para él los siguientes números constantes, llamados razones trigonométricas de α.

Tomamos un punto A cualquiera, sobre cualquiera de sus lados y trazamos la perpendicular a dicho lado por A, formándose un triángulo rectángulo BAC.

Se definen los números siguientes:

Seno de α =

hipotenusa a opuesto

cateto

α

,

a b sen

α

=

Coseno de α =

hipotenusa a contiguo

cateto

α

,

(3)

Tangente de α =

α

α

a contiguo cateto a opuesto cateto , c b tgα = Llamadas razones trigonométricas directas de α.

Cosecante de α =

α

a opuesto cateto hipotenusa , b a cosecα =

Secante de α =

α

a contiguo cateto hipotenusa , c a secα =

Cotangente de α =

α

α

a opuesto cateto a contiguo cateto , b c cotgα =

Llamadas razones trigonométricas inversas de α (por ser inversas de las anteriores).

•Veamos que las seis razones trigonométricas definidas para un ángulo α son números constantes, es decir que, no dependen del triángulo rectángulo que hallamos formado:

Si formásemos otro triángulo rectángulo distinto BA´C´, sería semejante al BAC (tienen los tres ángulos iguales), luego sus lados serían proporcionales.

c´ c a´

a b´

b = =

Por lo tanto: sen α = a´ b´ a b =

; nos daría el mismo número eligiendo un triángulo u otro. Igual ocurre con las demás razones trigonométricas.

• Si nos fijamos en las definiciones, como la hipotenusa es mayor que cualquier cateto: 0< sen α < 1; 0<cos α <1; cosec α >1; sec α >1 (cuando α es agudo).

• Las razones trigonométricas no se expresan en ninguna unidad.

Ejemplo:

Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos del siguiente triángulo rectángulo: sen α = 0,6

5 3 =

cosec α = 1,6 3 5 = )

cos α = 0,8 5 4 =

sec α = 1,25 4 5 =

tg α = 0,75 4

3

= cotg α = 1,3

3

4 )

(4)

¿Y para β? Sigue tú.

EJERCICIOS:

De la página 126 de tu libro (Santillana), haz el nº 1 y el nº 2. De la página 136 los nº 26, 27, y 28.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ANGULOS: 30º, 45º, 60º

Estúdialo en tu libro (Ed. Santillana) (pregunta nº 3 de este tema).

EJERCICIOS:

De la página 128 los nº 7, 8 y 9. De la página 137 los nº 45, 46, y 48.

RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Dado un ángulo agudo α, formamos un triángulo rectángulo cualquiera que lo tenga como uno de sus ángulos agudos.

Se verifican las siguientes relaciones:

I)

Relación fundamental de la trigonometría

Se cumple que (sen

α

)2 +(cos

α

)2 =1, o escrito de otra forma sen2α +cos2α =1 Demostración:

Si nos fijamos en el triángulo anterior, tenemos que sen α = a b

, y cos α = a c

; por tanto

sen2α + cos2α = 2

a b      

+ 2

a c      

= 1

a a a

c b

2 2

2 2 2

= = +

c.q.d.

II) a)

α α α

cos sen

tg = b)

αα α

(5)

Demostración:            = = = = = = = = ⇒       = = c.q.d. cotg b c b·a c·a a b a c sen cos b) c.q.d. tag c b c·a b·a a c a b cos sen a) a c cos a b sen

α

α

α

α

α

α

α

α

III) a)

α = α sen 1 cosec b) α α cos 1

sec = c)

α

α

tag 1 cotg = Demostración:

a) Como sen α = a b

, tendremos que

α

α

b cosec a a b 1 sen 1 = =

= c.q.d.

Igual se demuestran las demás.

IV)

Relaciones secundarias:

a) 1 + tg2α = sec2α b) 1 + cotg2α = cosec2α Demostración:

a) 1 + tg2α = 1 +

α

α

α

α

α

α

α

α

α

2 2 2 2 2 2 2 2 sec cos 1 cos sen cos cos sen 1 cos

sen = + = + = =

      c.q.d.

b) 1 + cotg2α = 1 +

α

α

α

α

α

α

α

α

α

2 2 2 2 2 2 2 2 cosec sen 1 sen cos sen sen cos 1 sen

cos = + = + = =

      c.q.d. EJERCICIOS:

De la página 127 de tu libro, haz el nº 4 y el nº 5. De la página 136 los nº 34, 35, 36, 40, 41, 42, 43, 44. Uso de la calculadora.

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Resolver un triángulo es calcular todos sus elementos, es decir, calcular todos sus lados y ángulos desconocidos.

(6)

Si el triángulo que queremos resolver es rectángulo, tendremos en cuenta: • El Teorema de Pitágoras a2 = b2 + c2

• Bˆ +Cˆ =90º

• La definición de las razones trigonométricas de Bˆ y Cˆ , y las relaciones entre ellas.

• El Teorema del cateto y el Teorema de la altura.

EJERCICIO:

En un triángulo rectángulo se conocen la hipotenusa a = 5 cm. y un cateto b = 4 cm. Calcula los demás elementos.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA

AMPLIACIÓN DEL CONCEPTO DE ÁNGULO

La interpretación del ángulo como la porción de plano limitado por dos semirrectas con un origen común, limita los valores de los ángulos entre 0º y 360º. Sin embargo es posible y deseable para muchas situaciones, disponer de una definición que permita la existencia de ángulos con amplitudes superiores a 360º o, incluso, amplitudes negativas.

Ejemplo: Para echar del todo una cerradura hay que girar la llave dos vueltas y media.

a) ¿Qué ángulo, en grados, habrá que girar la llave para abrir la cerradura?

b) Si solo está echada una vuelta y quiere cerrar del todo, ¿qué ángulo habrá que girar la llave? Solución:

a) Hay que girar la llave 2,5 vueltas a la izquierda. Como una vuelta completa son 360º, habrá

que girar la llave 2,5·360º = 900º a la izquierda.

b) Ahora debemos girar la llave 1,5 vueltas a la derecha, es decir 1,5·360º = 540º a la derecha.

Una forma alternativa de dar los resultados sin necesidad de escribir “a la izquierda” o “a la derecha” es escribir +900º en el apartado a y −−−−540º en el apartado b.

El signo −−−− indica que el giro lo hemos dado hacia la derecha (sentido en el que se mueven las agujas de un reloj) y el signo + indica que hemos girado hacia la izquierda (sentido contrario en el que se

(7)

REPRESENTACIÓN DE ÁNGULOS

Para representar ángulos comprendidos entre 0º y 360º, e incluso mayores de 360º o negativos, se utiliza la circunferencia goniométrica. Se le llama así a la circunferencia que tiene de radio la unidad. Normalmente se toma centrada en el origen de coordenadas.

Los ángulos se representan siempre haciendo coincidir su vértice con el origen de coordenadas y su primer lado con el semieje positivo de abscisas.

Se consideran “positivos” si el giro se hace en sentido contrario en que se mueven las agujas de

un reloj, y “negativos” si se hace en el mismo en que se mueven las agujas de un reloj.

Utilizando esta representación, a todo ángulo se le puede asociar un ángulo positivo comprendido ente 0º y 360º, llamado “ángulo reducido” del primero. En la circunferencia goniométrica, el segundo lado de un ángulo y el de su reducido coinciden.

Ejemplo:

Calcula los ángulos reducidos asociados a 1000º, −210º.

Solución: 1000º = 2·360º + 280º, ya que al dividir 1000 entre 360 se obtiene 2 de cociente y 280 de resto. Luego el ángulo reducido de 1000º es 280º.

Como −210º +360 = 150º; el, ángulo reducido de −210º es 150º.

Cuando fijamos unos ejes de coordenadas cartesianas rectangulares, el plano queda dividido en cuatro zonas o cuadrantes.

Si un ángulo α cumple que 0º< α <90º (0 rad.< α < π/2 rad.), como el segundo lado del ángulo estaría en el primer cuadrante, diremos que α es un ángulo del primer cuadrante.

Si 90º< α < 180º (π/2 rad. < α <π rad.) sería del segundo cuadrante, etc…

Lo resumimos en la tabla siguiente:

+ α

−α

I II

(8)

1er Cuadrante 2º Cuadrante 3er Cuadrante 4º Cuadrante 0º < α <90º

0 rad.< α < 2

π

rad.

90º < α < 180º

2

π

rad. < α <

π

rad.

180º < α < 270º

π

rad. < α < 2 3

π

rad.

270º < α < 360º

2 3

π

rad. < α < 2

π

rad.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO DEL 1er CUADRANTE

En la figura siguiente se ha representado un ángulo del primer cuadrante α.

Sea A el punto de corte del segundo lado del ángulo con la circunferencia goniométrica y A´ su proyección sobre el primer lado (eje OX).

Sea B el punto de corte de la circunferencia goniométrica con el eje OX y A´´ el punto de corte del segundo lado del ángulo con la perpendicular al eje OX en el punto B.

Recordando las definiciones de las razones trigonométricas para ángulos agudos y teniendo en cuenta que la hipotenusa del triángulo rectángulo OA´A mide 1, tendremos que:

sen α =

____ ____

____

AA´ 1

AA´ OA

AA´

=

= , que es la ordenada del punto A.

cos α =

____ OA´ 1

OA´ OA

OA´= =

, que es la abscisa del punto A.

tg α = A"B

1 B A"

OB B A"

OA´ AA´ A punto del abscisa

A punto del ordenada

) ( ____

= =

=

∗ , que es la ordenada del punto A”.

(∗) Tma de Thales, pues OA´A ∼ OBA”

Esta nueva definición de las razones trigonométricas en función de las coordenadas de puntos se puede extender y aplicar fácilmente a cualquier ángulo no agudo.

α

(9)

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO DEL RESTO DE LOS CUADRANTES Si α es un ángulo del 2º, 3º, o 4º cuadrante, en todos los casos este ángulo determina los puntos A y A”, cuyas coordenadas nos van a dar las razones trigonométricas de acuerdo con la definición utilizada en el caso del primer cuadrante.

Así, si A(x, y) y A”(1, y”), se definen: sen α = y cos α = x tg α = y”

2º CUADRANTE: 3er CUADRANTE 4º CUADRANTE

Teniendo en cuenta el signo de las coordenadas de un punto en los distintos cuadrantes, se determina de forma inmediata el signo de las razones trigonométricas de un ángulo si se sabe en qué cuadrante se encuentra su ángulo reducido correspondiente. α

VALOR DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS A partir de la definición, es fácil ver que:

−1 ≤ sen α≤ 1 −1 ≤ cos α≤ 1 − ∞ < tg α < + ∞

Al ser la cosecante y la secante las razones inversas del seno y del coseno respectivamente, sus signos coinciden con los de éstos y se cumple que:

cosec α ∈ (− ∞, −1] ∪ [1, + ∞] sec α ∈ (− ∞, −1] ∪ [1, + ∞)

En el caso de la cotangente, como inversa de la tangente, coincide con su signo en cada cuadrante y puede tomar cualquier valor real. − ∞ < cotg α < + ∞

Cuadrante de α sen α cos α tg α

I (+, +) + + +

II (−, +) + − −

III (−, −) − − +

IV (+, −) − + −

α α

α

tg α

tg α tg α

(10)

También aplicando la definición, tendremos que:

α sen α cos α tg α cosec α sec α cotg α

0º = 0 rad. 0 1 0 No definida 1 No definida

90º = π/2 rad. 1 0 No definida 1 No definida 0

180º = π rad. 0 −1 0 No definida −1 No definida

270º = 3π/2 rad −1 0 No definida −1 No definida −1

OBSERVACIÓN:

Aunque se ha utilizado una circunferencia de radio la unidad para extender la definición de las razones trigonométricas, el procedimiento habría sido igual para un radio diferente. En este caso, las razones trigonométricas no serían directamente las coordenadas de A y A”, sino divididas por el radio de la circunferencia utilizada:

sen α = r y

cos α = r x

tg α = r

EJERCICIO: Indica el signo de las razones trigonométricas directas de los ángulos siguientes:

a) 120º b) −70º c) 256º d) 800º e) 315º f) 1200º

g) 55º h) −460º i)

3 11π

rad. j) 3 4π

rad. k)

6 7π

− rad. l)

4 9π − rad.

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

Consiste en relacionar las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera con las razones trigonométricas de un ángulo agudo (ángulo que pertenece al primer cuadrante).

α

A”

r

y

(11)

ÁNGULOS DEL SEGUNDO CUADRANTE: ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

Si ββββ es un ángulo del segundo cuadrante, existe un ángulo α del primer cuadrante (su suplementario) tal que β = 180º −α (α + β = 180º y α=180º−β).

Los triángulos OA´A y OC´C son iguales, luego: sen β = CC´=AA´=sen α

cos β = −OC´=−OA´ = −cos α

tg β = −BD=−A"B = −tg α

Resumiendo:

Si la unidad angular que manejamos fuese el grado sexagesimal,

sen ββββ = sen (180º −−−−ββββ) cos ββββ = −−−− cos (180º −−−−ββββ) tg ββββ = −−−−tg (180º −−−−ββββ) Si la unidad fuese el radián,

sen ββββ = sen (ππππ−−−−ββββ) cos ββββ = −−−− cos (ππππ−−−−ββββ) tg ββββ = −−−−tg (ππππ−−−−ββββ)

EJERCICIO: Calcula las razones trigonométricas del ángulo de 150º, mediante la reducción al primer cuadrante..

ÁNGULOS DEL TERCER CUADRANTE: ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º

Si β pertenece al tercer cuadrante, existe un ángulo α del primer cuadrante (que se diferencia de β en 180º) tal que β = 180º + α (α = β −180º).

Los triángulos OA´A y OC´C son iguales, luego: sen β = −CC´=−AA´=−sen α

cos β = −OC´=−OA´ = −cos α tg β = A" = tg α B

Resumiendo:

Si la unidad angular que manejamos fuese el grado sexagesimal, r =1

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sen ββββ = −−−−sen (ββββ−−−− 180º) cos ββββ = −−−− cos (ββββ−−−− 180º) tg ββββ = tg (ββββ−−−− 180) Si la unidad fuese el radián,

sen ββββ = −−−−sen (ββββ−−−−ππππ) cos ββββ = −−−− cos (ββββ−−−−ππππ) tg ββββ = tg (ββββ−−−−ππππ)

EJERCICIO: Calcula las razones trigonométricas del ángulo de 210º, mediante la reducción al primer cuadrante.

ÁNGULOS DEL CUARTO CUADRANTE: ÁNGULOS QUE SUMAN 360º. ÁNGULOS OPUESTOS

Si β es un ángulo del cuarto cuadrante, existe un ángulo α del primer cuadrante (que es la diferencia hasta 360º de β), que cumple que β = 360º − α (α = 360º − β). Los triángulos OA´A y OA´C son iguales, luego: sen β = −A´C=−AA´=−sen α

cos β = OA´ = cos α

tg β = −BD=−A"B = −tg α

Resumiendo:

Si la unidad angular que manejamos fuese el grado sexagesimal,

sen ββββ = −−−−sen (360º −−−−ββββ ) cos ββββ = cos (360º −−−−ββββ ) tg ββββ = −−−−tg (360º −−−−ββββ) Si la unidad fuese el radián,

sen ββββ = −−−−sen (2ππππ−−−−ββββ) cos ββββ = −−−−cos (2ππππ−−−−ββββ) tg ββββ = −−−−tg (2ππππ−−−−ββββ)

EJERCICIO: Calcula las razones trigonométricas del ángulo de 330º, mediante la reducción al primer cuadrante.

• Dado un ángulo α, si representamos los ángulos 360º−α y −α (opuesto de α) en la circunferencia goniométrica; el segundo lado de ambos ángulos es el mismo. Por tanto también lo serán sus razones trigonométricas, luego podemos escribir:

D r =1

(13)

sen(−−−−αααα) = −−−−sen(360º −−−−αααα) = −−−−sen αααα cos(−−−−αααα) = cos(360º−−−−αααα) = cos αααα tg(−−−−αααα) = −−−−tg(360º −−−−αααα) = −−−−tg αααα

RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Si β es el ángulo complementario de α, se cumple que β = 90º −α (α +β =90º y α = 90º −β)

Los triángulos OA´A y OB´B son iguales, luego: sen β = BB´=OA´=cosα

cos β = OB´=AA´ = sen α

tg β =

α α = β β

sen cos cos

sen

= cotg α

Resumiendo:

Si la unidad angular que manejamos fuese el grado sexagesimal,

sen ββββ = cos (90º −−−−ββββ ) cos ββββ = sen (90º −−−−ββββ ) tg ββββ = cotg (90º −−−−ββββ) Si la unidad fuese el radián,

sen ββββ = cos (ππππ/2−−−−ββββ) cos ββββ = sen (ππππ/2 −−−−ββββ) tg ββββ = cotg (ππππ/2 −−−−ββββ)

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS ββββ∉∉∉∉ [0, 360º)

Las razones trigonométricas de un ángulo ββββ ∉∉∉∉ [0, 360º) son las de su ángulo reducido, ya que al representarlos en la circunferencia goniométrica el segundo lado de ambos coincide.

Puede ocurrir que:

1. ββββ ≥ 360º. En este caso para calcular el ángulo reducido habrá que dividir β entre 360º. Si llamamos n al cociente y α al resto de dicha división, tendremos que β = 360·n + α. Por tanto α es su ángulo reducido.

Ejemplo: Si β = 940º, dividimos 940 entre 360 y obtenemos 2 de cociente y 220 de resto. Luego 940º = 360º·2 + 220. El ángulo reducido de 940º es 220º.

(14)

2. ββββ < 0º

a. Si −360º < β < 0, su ángulo reducido será α = β + 360º.

Ejemplo: Si β = −60º, su ángulo reducido es α = (−60º) + 360º = 300º. Las razones

trigonométricas de −60º serán las mismas que las de 300º.

b. Si β ≤ −360º, dividimos −β (que será positivo) entre 360º. Llamando n al cociente y α al resto de dicha división (α<360º), tendremos que −β = 360·n + α. Multiplicando por −1 los dos miembros, β = −360·n − α. Las razones trigonométricas de β serán iguales a las de −α; y como −360º<−α <0º, se calculan como en el apartado “a”.

Ejemplo: Calcula las razones trigonométricas de β = −780º

Figure

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