Examen de la 2
a
Evaluación
2o Bach B. Matemáticas Aplicadas a las CCSSSOLUCIONES
1
Probabilidad
1. En un colegio hay 30 niños no nacidos en España, de los cuales 6 han nacido en el Este de Europa, 15 en el Norte de África y el resto son de origen asiático. Al comenzar el curso, el centro les mide el nivel de español con el …n de proporcionarles clases especiales a los que lo necesiten. Hecha la prueba de nivel se observa que 3 niños del Este de Europa, 9 norteafricanos y 6 asiáticos necesitan clases compensatorias.
(a) Si elegimos un niño del colegio al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea asiático y no necesite clases compensatorias?
(b) Si elegido un niño al azar resulta que ha tenido que asistir a clases com-pensatorias, ¿cuál es la probabilidad de que sea de origen norteafricano?
Solución. En el experimento de elegir un niño al azar, consideremos los sucesos E ="el niño elegido nació en el este de Europa", N ="el niño nació en el norte de África", A ="el niño elegido nació en Asia" y C ="el niño necesita clases compensatorias". Recopilamos la información del enunciado en la siguiente tabla de contingencia:
C Cc Total
E 3 3 6
N 9 6 15
A 6 3 9
Total 18 12 30
Hemos re‡ejado en negrita los datos que explícitamente aparecen en el enunciado. (a) Se pide la probabilidad de A\Cc: Por la regla de Laplace:
p(A\Cc) = casos favorables casos posibles
= n
o de niños asiáticos y sin necesidad de clases compensatorias
no total de niños
= 3 30 =
1 10
(b) Se pide p(N=C): Aplicamos de nuevo la regla de Laplace:
p(N=C) = casos favorables casos posibles =
no de niños norteafricanos con clases compensatorias no total de niños con clases compensatorias
= 9 18 =
1 2
(a) Calcula la probabilidad de que lea algún periódico.
(b) Si la persona elegida lee algún periódico, ¿cuál es la probabilidad de que sea votante del partido B?
Solución. En el experimento de elegir una persona censada al azar, consideremos los sucesos:
A="la persona es votante del partido A"; B ="la persona es votante del partidoB";
C ="la persona es votante del partido C"; L="la persona lee el periódico".
Con los datos del problema, podemos elaborar el siguiente diagrama de probabilidades de los sucesos involucrados:
Con los datos del diagrama, tenemos:
(a) Se pide p(L): Por el teorema de la proba-bilidad total:
p(L) = p(A) p(L=A) + p(B) p(L=B) + p(C) p(L=C)
= 0:4 0:4 + 0:35 0:4 + 0:25 0:15 = 0.45
(b) Por la regla de Bayes:
p(B=L) = p(B) p(L=B) p(L) =
0:35 0:4
0:45 = 0.311
3. En un experimento aleatorio, la probabilidad de un suceso A es dos veces la probabilidad de otro sucesoB y la suma de la probabilidad deAy la del suceso contrario de B es 1,3. Se sabe, además, que la probabilidad de la intersección de A y B es 0,18. Calcula la probabilidad de que:
(a) Se veri…que el suceso A o se veri…que el suceso B:
(b) Se veri…que el suceso contrario de A o se veri…que el suceso contrario de
B:
(c) ¿Son independientes los sucesos A y B?
Solución. En el enunciado se dice que p (A) = 2 p (B); que p (A) + p(Bc) = 1:3; y que p (A\B) = 0:18. Con las dos primeras identidades podemos deducir que:
p (A) + 1 p(B) = 1:3,2 p(B) + 1 p(B) = 1:3,p(B) = 0:3;
de donde inmediatamente obtenemos que p (A) = 0:6:
(a) Se pide la probabilidad del suceso A[B: Usamos la fórmula clásica:
p (A[B) = p (A) + p (B) p (A\B) = 0:6 + 0:3 0:18 = 0.72
(b) Se pide p (Ac
[Bc): Haciendo uso de las leyes de De Morgan:
(c) Observemos que p (A=B) = p (A\B) p (B) =
0:18
0:3 = 0:6 = p (A); por lo que la veri…cación de
B no afecta a la veri…cación o no de A; es decir,A y B son independientes.
4. En una capital se editan dos periódicos, CIUDAD y LA MAÑANA. Se sabe que el 85% de la población lee alguno de ellos, que el 18% lee los dos y que el 70% lee CIUDAD. Si elegimos al azar un habitante de esa capital, halle la probabilidad de que:
(a) No lea ninguno de los dos. (b) Lea sólo LA MAÑANA.
(c) Lea CIUDAD, sabiendo que no lee LA MAÑANA.
Solución. En el experimento de elegir un habitante al azar, consideremos los sucesosC = "el habitante lee Ciudad" y M = "el habitante lee La Mañana": Los datos del enunciado, en términos de probabilidades, a…rman que:
p(C[M) = 0:85; p(C\M) = 0:18; p(C) = 0:7:
(a) Se pide la probabilidad del sucesoCc\Mc (no lea ni Ciudad ni La Mañana). Por las leyes de De Morgan:
p (Cc\Mc) = p [(C[M)c] = 1 p (C[M) = 1 0:85 = 0.15
(b) Si lee sólo la mañana, en particular no leerá Ciudad. Se pide por tanto la probabilidad de
Cc
\M:
p(Cc\M) = p(M C\M) = p(M) p(C\M)
Pero no conocemos p(M): Comop(C[M) = p(C) + p(M) p(C\M); deducimos que:
p(M) = p(C[M) p(C) + p(C\M) = 0:85 0:7 + 0:18 = 0:33;
y por tanto:
p(Cc\M) = p(M C\M) = p(M) p(C\M) = 0:33 0:18 = 0.15
(c) Se pide p(C=Mc): Aplicamos la de…nición de probabilidad condicionada:
p(C=Mc) = p(C\M c) p(Mc) =
p(C C\M) 1 p(M) =
p(C) p(C\M) 1 p(M) =
0:7 0:18
0:67 = 0.776 12:
2
Muestreo e Inferencia
5. (a) En un pueblo habitan 700 hombres adultos, 800 mujeres adultas y 500 menores. De él se quiere seleccionar una muestra de 80 personas, utilizando para ello, muestreo estrati…cado con a…jación proporcional. ¿Cuál es la com-posición que debe tener dicha muestra?
Solución. (a) La población tiene un total de 700 + 800 + 500 = 2000 individuos. Sean n1;
n2 y n3 el número de hombres adultos, mujeres adultas y menores de cada estrato,
respectiva-mente. Por el tipo de muestreo realizado, debe cumplirse necesariamente la siguiente cadena de igualdades:
80 2000 =
n1
700 =
n2
800 =
n3
500; de donde:
n1 =
80 700
2000 =28 personas de pelo negro,
n2 =
80 800
2000 =32 personas de pelo rubio,
n3 =
80 500
2000 =20 personas de pelo castaño.
(b) Las muestras de tamaño 2 que pueden elaborarse con los datos poblacionales, mediante muestreo aleatorio simple con reemplazamiento, son:
f1;1g f1;5g f1;7g
f5;1g f5;5g f5;7g
f7;1g f7;5g f7;7g
Observemos que la media poblacional es:
= 1 + 5 + 7
3 =
13 3 ;
y la varianza poblacional es:
2 = 12 + 52+ 72
3
13 3
2
= 25 169 9 =
56 9 :
Como sabemos, existe la siguiente relación entre la varianza 2
X de las medias muestrales y la varianza poblacional, cuando se realiza muestreo aleatorio simple con reemplazamiento:
2
X =
2
n ;
donde n es el tamaño de las muestras. En nuestro caso n= 2;por lo que:
2
X =
56 9
2 = 28
9
6. El peso, en kg, de los alumnos de primaria de un colegio sigue una distribución Normal de media 28 kg y desviación típica 2,7 kg. Consideremos muestras aleatorias de 9 alumnos.
(a) ¿Qué distribución sigue la media de las muestras?
Solución. (a) SeaX la variable aleatoria "peso en kg de los alumnos de primaria del colegio". Por hipótesisX N(28;2:7):Representemos ahora porX a la variable aleatoria "peso medio de los alumnos de las muestras de tamaño 9". El teorema central del límite nos asegura que
X N 28;p2:7
9 =N(28;0:9):
(b) Se pide la probabilidad de que el valor que tome X en particular, para la muestra selec-cionada, se encuentre entre 26 y 29 kg, es decir, p 26 X 29 : Tipi…camos la variable y miramos en la tabla de la normal estándar, para obtener el valor solicitado:
p 26 X 29 = p 26 28 0:9
X 28
0:9
29 28
0:9 'p [ 2:22 Z 1:11] = p [Z 1:11] p [Z < 2:22] = p [Z 1:11] (1 p [Z <2:22]) = 0:8655 (1 0:9868) = 0.8523
Es decir, aproximadamente el 85,23% de las muestras de tamaño 9 de los alumnos de primaria de ese colegio, tiene un peso medio comprendido entre los 26 y los 29 kilogramos.
7. (a) Para estudiar el gasto mensual en teléfono móvil de una ciudad se ha elegido una muestra aleatoria de 16 estudiantes, con los resultados siguientes expresados en euros:
4;6;30;14;16;14;15;16;22;8;3;56;42;26;30;18
Admitiendo que este gasto mensual sigue una ley Normal con desviación típica 13,78 euros, determina un intervalo de con…anza al 97%, para la media del gasto mensual.
(b) En una población, una variable aleatoria sigue una ley Normal de media desconocida y desviación típica 9. ¿De qué tamaño, como mínimo, debe ser la muestra con la cual se estime la media poblacional con un nivel de con…anza del 97% y un error máximo admisible igual a 3?
Solución. (a) Sea X la variable aleatoria "gasto mensual en euros en teléfono móvil de los estudiantes de la ciudad". Por hipótesis, X N( ;13:78); donde es el gasto medio desconocido que deseamos estimar. Representemos porX a la variable aleatoria "gasto medio mensual en euros en teléfono móvil (de los estudiantes) de las muestras de tamaño 16". Para la muestra seleccionada, el gasto medio particular resultante ha sido:
x = 4 + 6 + 30 + 14 + 16 + 14 + 15 + 16 + 22 + 8 + 3 + 56 + 42 + 26 + 30 + 18 16
= 320
16 = 20 euros.
La variable X se distribuye también normalmente (teorema central del límite). De hecho,
X N ;13p:78
16 = N( ;3:445). Como el nivel de con…anza es 1 = 0:97; tenemos que 2 = 0:015: Para obtener un intervalo de con…anza que estime la media del gasto mensual, debemos obtener un valor característico z
2 = z0:015 de la variable tipi…cada Z =
X
3:445
N(0;1) tal quep [Z z0:015] = 1 0:015 = 0:985:Buscando en la tabla de la normal estándar,
vemos quez0:015= 2:17: Por tanto, un intervalo para estimar el gasto medio es:
IC = x z
2 pn ; x+z2 pn
(b) SeaX la variable aleatoria considerada. Por hipótesis,X N( ;9); donde es la media desconocida. Si el error máximo admisible es 3, tendremos que z
2 pn 3;donde ahora ahora
z
2 =z0:015 = 2:17;en virtud de lo obtenido en el apartado anterior. Podemos despejar entonces
el tamaño de la muestra:
z
2 pn 3,2:17
9
p
n 3,3 2:17
p
n,n 6:512 = 42:3801:
Por tanto, el mínimo tamaño que deberá tener la muestra para asegurar la condición requerida es n=43.
8. Se ha aplicado un medicamento a una muestra de 200 enfermos y se ha ob-servado una respuesta positiva en 140 de ellos.
(a) Estima, mediante un intervalo de con…anza del 99%, la proporción de enfermos que responderían positivamente si este medicamento se aplicase a la población de la que se ha extraído la muestra.
(b) Interpreta el signi…cado del intervalo obtenido.
(c) Explica detalladamente cómo varía la amplitud del intervalo si aumenta el tamaño de la muestra, o si disminuye el nivel de con…anza.
Solución. (a) Sea p la proporción de enfermos que han mostrado una respuesta positiva al medicamento. Representemos por Pb a la variable aleatoria "proporción de enfermos que han mostrado una respuesta positiva al medicamento, de las muestras de tamaño 200". Un valor
particular de esta variable para la muestra obtenida es pb= 140
200 = 0:7; y por tantoqb= 1 pb= 0:3: Como 0:1 < bp < 0:9; y el tamaño de la muestra n = 200 > 30; podemos suponer que la
variable aleatoria Pb es prácticamente normal, siendoPb N p;
q p(1 p)
n =N p; ppq
n :
(a) Como 1 = 0:99; deducimos rápidamente que
2 = 0:005: Para obtener el intervalo solicitado, necesitamos un valor característicoz0:005 de la variable tipi…cada (normal estándar)
Z = Pbppqp n
N(0;1) tal que p [Z z0:005] = 1 0:005 = 0:995: Buscando en la tabla de la
normal estándar encontramos que z0:005 = 2:575: Un intervalo de con…anza, con un nivel de
con…anza del 99%, para estimar la proporción poblacional de enfermos con respuesta positiva al medicamento es:
IC = pb z
2
r b
pbq
n , bp+z2
r b
pqb n
!
= 0:7 2:575 r
0:7 0:3
200 , 0:7 + 2:575 r
0:7 0:3 200
!
= (0:61656 ,0:78344)
(b) El intervalo anterior signi…ca que con una seguridad del 99%, la proporción poblacional desconocida de enfermos con respuesta positiva al medicamento se hallará entre el 61.656% y el 78.344%. Más técnicamente, representando de nuevo por p a la proporción poblacional estimada, se tiene que
p [p2(0:61656 ; 0:78344)] = p [0:61656< p <0:78344] = 0:99:
(c) Con un nivel de con…anza 1 …jo, si aumenta el tamaño de la muestra,n; el valor de bpnqb
disminuirá (suponiendo idéntica proporción muestral en cada caso), por lo que q
b
pqb
irá disminuyendo, y por tanto también el error máximo admisiblez
2
q
b
pqb
n;lo que signi…ca que la amplitud del intervalo de con…anza, centrado en la proporción muestral p;b será menor y la inferencia que se realice sobre la proporción poblacional será consecuentemente mejor.
Si el tamaño de la muestra fuese constante, y el nivel de con…anza fuese menor, el valor z
2
será menor pues 1 disminuye y por tanto aumenta, lo que signi…cará que, en la variable tipi…cada, el área de las colas de su distribución (normal estándar) será mayor y eso es posible
sólo si z
2 es menor. Por tanto, si z2 es menor, el valor z2
q
b
pqb
