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TEMAS 2ª PARTE
EXPRESIONES ALGEBRÁICAS. ECUACIONES • Simbolización de cantidades conocidas o
desconocidas mediante letras. Codificar y descodificar.
• Traducción de enunciados verbales al lenguaje matemático.
• Expresiones algebraicas con el signo “=”: como separador de operaciones y como equivalencia entre expresiones.
• Propiedades de reversibiliad y transitividad de las igualdades.
• Conservación de igualdades por adición o producto de un número.
• Identidades notables.
• Valor numérico de una expresión algebraica. • Ecuaciones de primer grado. Solución
GRÁFICAS Y FUNCIONES •Coordenadas cartesianas: •Tablas y gráficos.
•Lectura e interpretación de gráficas cartesianas.
•Variaciones de la gráfica por modificación de la unidad o de la escala.
•Dependencia funcional y no funcional. Características de la tabla y gráfica en la dependencia funcional.
•Variables dependiente e independiente. •Funciones de proporcionalidad directa:
caracterización por la tabla, gráfica y fórmula.
•Funciones lineales: caracterización por la tabla, gráfica y fórmula.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS. ECUACIONES
1. Indica lo que representa cada letra usada en la expresión algebraica y relaciona dicha expresión con la expresión verbal que le corresponda:
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
EXPRESIÓN VERBAL
2B = 3L 1. El área de un rectángulo es igual a 10 unidades cuadradas. n + (n + 1) = 21 2. La edad de Victoria es tres años menor que la de Ana. a • b = 10 3. Tengo tres bolis por cada dos lápices.
x = y – 3 4. Pagué 5.000 ptas. por dos LPs y tres CD.
5000 = 2x + 3y 5. La suma de dos números enteros consecutivos es 21
Nº Indica el significado de cada letra. 1
2 3 4
5 n es el menor de los dos números enteros consecutivos
2. Escribe algebraicamente las siguientes expresiones verbales, sabiendo que cuando hagamos referencia a un número le llamaremos n.
Un número más tres n + 3
El triple de un número La quinta parte de un número El cuadrado de un número
Veinte es cinco unidades menor que el cuadrado de un número Un número mas su mitad es igual a siete
3. Escribe una expresión para:
• La superficie de un cuadrado de lado a. • El perímetro de un cuadrado de lado a.
• El perímetro de un triángulo equilátero de lado x. • La superficie del triángulo del dibujo.
• El perímetro y la superficie del rectángulo del dibujo
4. Escribe en lenguaje algebraico:
a) El cuadrado de un número, menos 1: ………..
b) Un número más su 25% : ………
c) La mitad de la suma de dos números consecutivos: ...
d) Llamando x a la edad actual de Luis, su edad hace cinco años era ...; dentro de dos años será ... Pepe tiene el doble de edad que Luis, es decir, tiene...
e) La propiedad conmutativa del producto de números enteros:
………
f) El Álgebra te permite escribir cualquier número par como 2n, esto te ayudará a escribir cualquier múltiplo de 5: ...
g) El producto de dos potencias de la misma base es otra potencia con la misma base cuyo exponente es la suma de los exponentes de los dos factores. ...
h) El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia con la misma base cuyo exponente es la resta de los exponentes de los dos factores. ...
5. Suma. Términos semejantes.
a) Las manzanas cuestan a x € el Kg. Ana compra 5 Kg. y Luís compra 3 Kg. Expresa lo que se gastan entre los dos.
b) Las manzanas cuestan a x € el Kg. y los naranjas a y € el Kg. Ana compra 5 Kg. de manzanas y Luís compra 3 Kg. de naranjas. Expresa lo que se gastan entre los dos.
6. Entre las siguientes sumas, efectúa las que lo permiten:
a) 4x2 + 3x2 = b) - 3x + 5x = c) 2,5x – 5,2x = d) 3y – 2x =
e) 4x – 2x2 + 3x – x2 = f)
+
−
x
x
x
2
1
3
4
3
= g) 2x + x2 = h) 3x3 – 2x2 =
i) x4 + 2x3 – 3x4 = j) 2x + 14 – (5x + 15) = k)
−
−
x
=
3
1
5
x
2
x
l) 2x5 – x3 + x5 + 5x3 =a
7. Reduce las siguientes expresiones agrupando los términos semejantes:
a) 2x + 5x -4x = b) 2x2 – 7x2 + 3x2 =
c) 12y – 2xy + 3y – 9xy – y =
d)
3 2 3 73 5 4
m+ p− m+ p
=
e) 5x – 7 – 3x + 4x
2– x
2– 2 – 5x
2=
f) 7xb - 3b + 4x – 2xb + x =
8. Efectúa las siguientes multiplicaciones y simplifica reduciendo los términos semejantes:
a) (3x) . (-2y) =
b) x . (3x
2) =
c) -5x (-2x
2+ 4x –7) =
d) 2(x + 7) – 5(x – 3) =
e) x(x + 1) – 2x =
f) a – 2(3a – 4) =
9. Dados los siguientes polinomios A(x) = 3x2 – 5x + 2 B(x) = 3x – 5 C(x) = - 4 x2 + 3, efectúa las operaciones: a) A(x) + B(x) + C(x) b) A(x) - B(x) c)[A(x) + B(x)] - C(x) d) 2x · A(x)
10. Efectúa las siguientes operaciones algebraicas:
a)
(
2
x
)
⋅
(
−
x
3) (
⋅
−
3
x
2)
=
b)(
−
7
)
⋅
(
3
4)
⋅
(
2
2)
=
b
b
b
c)x
⋅
(
2
x
4)
⋅
(
−
3
x
)
=
d)
(
2
a
)
⋅
(
5
a
2)
⋅
( )
2
b
=
e)
a
⋅
(
−
4
ab
) (
⋅
−
3
b
)
=
f)⋅
(
)
⋅
(
−
2)
=
2
3
2
x
xy
y
11. Recuerda las IDENTIDADES NOTABLES.
(a + b)2 = (a + b)·(a + b) = (a + b)·a + (a + b)·b = a2 + ba + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
Calcula: (a – b)2 =
(a + b)·(a – b) =
12. Efectúa las siguientes multiplicaciones y reduce los términos semejantes:
a) (a – 2)(b + 5) = b) (2q + 1)2 = c) (m – 1)(m + 6) = d) (3a – 4)2 =
e) (y + 3)(y – 3) = f) (4 – 3a)2 = g) (a + 2) (a – 2) = h) (a + 1)2 – 3a =
i) y – 2(3y – 2)2 = j) (x + y)2 – (x – y)2 = b) (x + 5)2 = c) (2 + x)(2 - x) =
13. Efectúa las siguientes operaciones algebraicas:
a) 2ab (3a2 – 7ab + 5b3) = b) (3 – 2y)(3 + 2y) = c) 2
5
3 21
3
2
3
6
x
⋅
x
−
x
+
=
14. Sacar factor común. Propiedad distributiva.
El producto 3·(2 + x) se puede representar como el área del rectángulo con base (2 + x) y altura 3:
Se ve claramente que dicha área se pude descomponer como suma del área de dos rectángulos de altura 3, uno de base 2 y otro de base x
Es decir: 3·(2 + x) = 3·2 + 3·x
En general: a·(b + c) = a·b + a·c , y de igual forma: a·(b – c) = a·b – a·c
2
x
15. Saca todos los factores comunes posibles:
a) 6p + 6 b) 14a – 35b c) 4 – 16p d) 6pq – 5q
e) 5a2 – a f) 2a2 – 4ab g) 3pq – 5p2 h) 2xy – 3y2
i) 6a2b + 12b2 j) a2 + a k)
4
st
4
t
−
l)3
n
+
2
1
m) 2x2 – 3x n) 6x3 – 3x ñ) 21x2 – 28x o) 4xy + 12x – 8 x2y
16. Halla en cada caso lo que se indica, teniendo en cuenta los datos dados:
a) El espacio, e, siendo la velocidad (v) 70 km/h y el tiempo (t) dos horas y media. E = v · t
b) El valor de la expresión 5x + 3, cuando x = 4
c) El valor de la expresión 3x + 2x + 5, siendo x = -1
d) El espacio, e, sabiendo que la velocidad inicial (v) es 10 m/s, la aceleración (a) es 2 m/s2 y el tiempo (t) 10 segundos. E = v · t + (1/2) · a · t2
17. Comprueba si los números -5, -1,
1
3
−
, 0, 1,
4
3
, 2, 5 son solución de las ecuaciones que siguen:Ecuaciones: (a) 2(2x – 3) = 6 – 5x (b)
4
−
x
=
3
(c)(3
x
−
3)
3=
27
18. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones:
ECUACIÓN SOLUCIONES COMPROBACIÓN
x2 = 9 x = 3
x = -3 32 = 9 ; (-3)2 = 9
x4 = 81 x = x =
4
3
x
−
=
2
1
x
1
4
1
=
+
2
3
x
1
x
1
x
1
=
+
+
(x – 2) · (x – 3) = 0 x = 2 x =
(2 – 2) · (2 – 3) = 0
x (x – 1) = 0
(x – 2)3 = 0
19. Indica las transformaciones realizadas para despejar x en la ecuación 42 = 3 (2 + 6x).
Ecuación inicial
42
=
3
⋅
(
2
+
6
x
)
(
)
3
x
6
2
3
3
42
⋅
+
=
x
6
2
14
=
+
2
x
6
2
2
14
−
=
+
−
x
6
12
=
6
x
6
6
12
=
x
2
=
2
x
=
20. Ejemplo:
18
3
x
3
7
3
x
4
10
35
x
15
−
−
=
−
+
−
6
1
x
7
3
x
4
2
7
x
3
−
−
=
−
+
−
Simplificamos las fracciones, si es posible.
(
3
x
7
)
2
(
4
x
)
6
7
(
x
1
)
3
−
+
−
=
⋅
−
−
Multiplicando ambos miembros de la ecuación por un mismo número (m.c.m. de los denominadores) y simplificando, obtenemos una ecuación equivalente, que no tiene denominadores.
1
x
42
x
2
8
21
x
9
−
+
−
=
−
+
Quitamos paréntesis mediante la prop. distributiva.8
21
1
42
x
x
2
x
9
−
+
=
+
+
−
Agrupamos los términos en x en un miembro y los términos numéricos en el otro, sumando o restando un mismo número o expresión a ambos miembros.
56
x
8
=
Reducimos términos semejantes.7
x
=
Despejamos x dividiendo ambos miembros por un mismo número, el 8, para obtener así la solución: x = 7.21. Resuelve y clasifica las siguientes ecuaciones .
a) 2(2x – 3) = 6 – 5x b) 3x - 2(x – 1) = 5(x – 3) + 3 c)
6
x
1
1
9
x
2
+
=
+
a) 7 + 2 · (2x – 1) = 3 – (x – 5) b) 5 – 5a – 5’2 = 10a + 9’8 i)
2
3
2
3
=
+
x
c) 2 (y – 1) – (y – 2) – y = 0 d) 3 (2x – 3) – 4 (x – 5) = 2x k)
2
1
2
3
x
2
1
e)
4
3
p
3
2
3
2
p
2
1
p
+
−
=
−
+
−
f)4
5
x
2
x
2
1
x
3
2
x
−
+
+
=
−
−
j)6
p
4
3
p
2
3
6
p
−
=
−
−
−
g)
(
)
10
x
2
1
2
x
1
5
x
1
3
1
−
−
=
+
+
−
h)(
)
2
1
x
10
1
15
2
x
3
5
4
x
−
−
=
−
+
−
22. a) ¿Qué diferencia hay entre una ecuación y una identidad?
b) ¿Qué es la solución de una ecuación?
23. En los siguientes problemas lo primero que tienes que hacer es traducir del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico, definiendo claramente la incógnita y planteando una ecuación, resolverla y contestar a la pregunta que se plantee:
a) Ana y Luís tenían el mismo dinero. Ana compra 4 refrescos y le ha sobrado 1 €, Luis compra sólo 3 y le han sobrado 4,5 €. ¿Cuánto cuesta un refresco? ¿Cuánto dinero tenía cada uno?
b) En una familia la abuela tiene el doble de edad que el padre, el padre tiene el triple de edad que la hija y la suma de las edades de los tres es 120 años. ¿Cuántos años tienen cada uno?
c) Un señor tiene 42 años y su hijo 10. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será triple que la del hijo?
d) Una señora tiene 70 años y su hijo la mitad. ¿Cuántos años hace que la madre tenía tres veces la edad del hijo?
e) La suma de un número y su anterior es 245. Calcúlalo.
f) Calcula tres números consecutivos sabiendo que su suma es 177.
g) Halla un número sabiendo que sus tres cuartos superan en 22 unidades a su mitad.
h) Reparte 120’20 euros entre tres personas, de manera que la primera reciba 6 euros más que la segunda y ésta reciba 12 euros más que la tercera.
i) Un hotel tiene habitaciones dobles y sencillas. Tiene en total 50 habitaciones y 87 camas. ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo?
j) El perímetro de un triángulo isósceles es 18 dm. Cada uno de los lados iguales es 30 cm mayor que la base. ¿Cuánto mide cada lado?
k) De un barril lleno de agua se saca la mitad del contenido y después un tercio del resto, quedando en él 200 litros. Calcula la capacidad del barril.
l) Se mezclan 80 kg de pintura blanca a 12 € el kilo con 40 kg de pintura roja, para conseguir pintura rosa, ésta sale a 13 € el kilo. ¿Qué pintura es más cara?, ¿cuál es el precio del kilo de pintura roja?
m) Para construir un depósito cilíndrico de 4 metros de altura se tiene una chapa metálica de 4000 mm x 7854 mm que se usará para el tubo. Se desea conocer qué radio deberá tener la chapa circular que se coloque como fondo.
24. Entra en la página de internet Thatquiz y realiza las actividades con los siguientes códigos:
Simplificar
VUOO1327
ZRBA0283
VFUY0357
DTIY0693
IHLC3685
GRÁFICAS Y FUNCIONES
Entra en la página de internet Thatquiz y realiza las actividades con los siguientes códigos: Puntos DGIY6025TYVQ9719YCLT2888WFEF0624
Valor numérico LIGU4537XSOA3637XJNS5633LFPQ3583VMSQ0677MZME6113
1.
Antonio, Bernabé, Carlos y Delicia salen cada mañana a las 7:30 de Villa Pi hacia su Instituto, que está a unos 10 Km. Las clases comienzan a las 8:15. Las siguientes gráficas muestran cómo haceel recorrido
cada uno.
Antonio: Salgo con calma. En el camino comienzo a pedalear más fuerte.
Bernabé: Acababa de salir cuando me di cuenta de que olvidé las zapatillas y tuve que volver. Carlos: Fui en moto, pero por el camino me quedé sin gasolina. Así que pie al suelo y andando. a) ¿A quién corresponde cada gráfica?
b) ¿Qué diría Delicia?
2. Dos monos subieron por un poste, las gráficas muestran cómo fue el ascenso de cada uno.
a) El 1º subió lentamente al principio y después aumentó la velocidad gradualmente Señala la gráfica que corresponde a este mono.
b) Describe brevemente el ascenso del otro mono.
c) ¿Qué separación había entre los monos después de 1 minuto, 2 minutos, 3 minutos?
d) ¿Qué tiempo emplearon en llegar a la mitad del poste?
e) Completa la gráfica sabiendo que el mono B se quedó arriba y el mono A bajó a velocidad constante.
3. José está enfermo. La tabla nos muestra su temperatura corporal, tomada por su madre cada hora.
Hora 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Temperatura 37'1 37'1 37'2 37'4 37'6 38'7 38'1 38'4 38'6 38'3
A continuación tienes una gráfica correspondiente a estos datos.
a) ¿Te parece que la gráfica refleja bien esos cambios? ¿Cómo podrías modificar la gráfica para que la representación fuese más clara? Realiza la gráfica con las modificaciones que consideres adecuadas.
b) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Y la dependiente?
c) Señala los valores de la variable independiente x para los que la gráfica es creciente y para los que es decreciente.
4. Una función relaciona dos variables. Las variables se representan por letras, en principio podrían ser cualesquiera, pero normalmente se designan por “x” e “y”.
“x” es la variable independiente, e “y” es la variable dependiente, es decir, aquella cuyo valor depende del valor de x.
Para que una relación sea una función, a cada valor de la variable independiente x, le corresponderá un único valor de la variable dependiente y.
a) En los ej. 1 y 2, indica la variable independiente y la dependiente. ¿En qué eje se representa cada una? b) Dibuja una gráfica que no sea una función, explicando por qué.
5. Las funciones pueden venir dadas por gráficas, como en los casos anteriores, o bien por tablas de datos, por un enunciado que nos indica cuál es la relación, e incluso por una fórmula matemática. En cada uno de los siguientes casos, realiza una tabla con puntos (x, y) de la función o funciones que aparezcan, haz la gráfica correspondiente a cada una de ellas y escribe una expresión que permita hallar la variable dependiente, y, a partir de la variable independiente, x.
a) En una playa se alquilan hamacas, 1h por 0’60 €; patinetes, 1h por 1€; motos náuticas, 1h por 3€. b) Sin embargo los veleros no se encuentran en la playa, si queremos alquilar uno, hemos de pagar 2 €
para que nos lo traigan, más 3 € por cada hora de uso.
6. Ya sabes lo que son magnitudes directamente proporcionales. a) ¿Qué característica tiene la tabla donde se relacionan?
b) De los casos del ejercicio 4, qué magnitudes son directamente proporcionales? Da la constante de proporcionalidad.
c) Cuando se relacionan dos variables que son directamente proporcionales, hablamos de la Función de Proporcionalidad. ¿Qué característica tiene la gráfica de las funciones de probabilidad?
7. En unos ejes de coordenadas representa las siguientes funciones:
5
3
3
2
2
3
5
2
3
2
=
−
=
−
=
=
−
=
+
=
−
+
=
x
y
x
y
x
y
y
y
x
y
x
y
8. Representa gráficamente una carrera de 200 metros entre dos corredores (distancia recorrida en función del tiempo) , con las siguientes características:
- El corredor A sale más rápido que el B y, en 5 segundos, le saca 10 m de ventaja.
