Apuntes de Teor´ıa de Conjuntos y N´

(1)

Iv´

an Giovanny Mosso Garc´ıa

Departamento de Formaci´

on B´

asica

Matem´

aticas Discretas

Apuntes de Teor´ıa de Conjuntos y N´

umeros Enteros

1. Algebra de conjuntos

´

Teorema 1.1. ( ´Algebra de conjuntos, Propiedades de los conjuntos)

SeanA, B yC conjuntos de un universo U. Entonces tenemos las siguientes propiedades.

i. Propiedad del doble complemento (Ac)c =A

ii. Propiedad conmutativa

A∩B =B ∩A A∪B =B ∪A

iii. Propiedad asociativa

A∩(B∩C) = (A∩B)∩C A∪(B∪C) = (A∪B)∪C

iv. Propiedad distributiva

A∩(B ∪C) = (A∩B)∪(A∩C)

A∪(B ∩C) = (A∪B)∩(A∪C)

v. Propiedad de De Morgan

(A∩B)c ₌_Ac_∪_Bc

(A∪B)c ₌_Ac_∩_Bc

vi. Propiedad de los neutros

A∩ U =A A∪φ=A

vii. Propiedad de los inversos

A∩Ac =φ A∪Ac ₌_U

viii. Propiedad de dominaci´on

A∩φ=φ A∪ U =U

ix. Propiedad de idempotencia

A∩A=A A∪A=A

x. Propiedad de absorci´on

(2)

2 CARDINALIDAD 2

Demostraci´on.- ejercicio

Observaciones 1.2. Sean A y B conjuntos de un universo U.

i. A\B =A∩Bc,

ii. Ac =U \A, iii. φc =U y Uc =φ.

Proposici´on 1.3. SeanA, B yC conjuntos de un universo U tales que A⊆B. Entonces A∩C⊆B ∩C yA∪C⊆B ∪C.

Demostraci´on.- Probemos primero que A∩C ⊆B∩C.

Sea x ∈A∩C, luego x ∈A y x ∈C. Como A ⊆B entonces x∈B, as´ıx ∈B ∩C. Por lo tantoA∩C ⊆B∩C.

Ahora probemos queA∪C ⊆B∪C.

Tenemos que A⊆B y que B ⊆B∪C , luego A⊆B∪C. Por otro lado C⊆B∪C. Por lo tantoA∪C ⊆B∪C.

En esta demostraci´on se utilizaron algunas propiedades de la contenci´on.

2. Cardinalidad

Definici´on 2.1. Sea A un conjunto en universo U. Definimos a la cardinalidad del con-juntoA como:

i. |A|= 0 siA =φ,

ii. |A|=n, donden ∈Ny n es la cantidad de elementos que tiene el conjunto A.

iii. |A|=∞ en otro caso.

Si|A| ∈_N∪ {0}, entonces decimos que A es de cardinalidad finita y escribimos|A|<∞. En otro caso, decimos queA es de cardinalidad infinita y escribimos |A|=∞.

Ejemplos 2.2. i. Sea el universo U = N. Sean A = {1,2,3,4,5}, B = {2,3,6,7} y

C ={6,7,8}. Tenemos que:

|A|= 5,

|B|= 4,

|C|= 3,

|U |=|_N|=∞,

|A∩B|=|{2,3}|= 2,

(3)

2 CARDINALIDAD 3

ii. Si en el ejemplo anterior el universo es U ={1,2, . . . ,8,9}, entonces

|Ac_|₌_|{₆_,₇_,₈_,₉_}|_{= 4.}

Proposici´on 2.3. Sean A y B conjuntos de un universo U. Entonces

i. si |A|<∞ (A es de cardinalidad finita), entonces |Ac|=|U | − |A|.

ii. si |A∩B|<∞, entonces |A∪B|=|A|+|B| − |A∩B|.

iii. si |A∩B|<∞, entonces |A\B|=|A| − |A∩B|.

Demostraci´on.- pendiente

Ejemplo 2.4. Se desarrolla una encuesta entre 100 estudiantes de la ESCOM para saber cuales materias , de entre Matem´aticas Discretas, F´ısica y Calculo, les parecen dif´ıciles. Se obtienen los siguientes resultados.

A 45 les parece dif´ıcil Matem´aticas Discretas

A 50 les parece dif´ıcil F´ısica

A 55 les parece dif´ıcil C´alculo

A 15 de los que no los parece dif´ıcil Calculo les parece dif´ıcil F´ısica.

Suman 70 a los que les parecen dif´ıciles Matem´aticas Discretas o C´alculo.

A 5 les parecen dif´ıciles Matem´aticas Discretas y F´ısica pero no C´alculo.

Son 25 a los que les parecen dif´ıciles las tres materias y 20 a los que ninguna.

Determinemos la cantidad de estudiantes a quienes les parecen dif´ıciles Matem´aticas Discretas y C´alculo pero no F´ısica, y la de quienes solo creen que F´ısica es dif´ıcil.

Sea U los alumnos encuestados. Sean

A los alumnos a los que les parece dif´ıcil Matem´aticas Discretas,

B los alumnos a los que les parece dif´ıcil F´ısica,

C los alumnos a los que les parece dif´ıcil C´alculo.

Entonces los datos que conocemos son:

|U |= 100,

|A|= 45,

|B|= 50,

|C|= 55,

(4)

2 CARDINALIDAD 4

|A∪C|= 70,

|(A∩B)\C|= 5

|A∩B∩C|= 25 y

|(A∪B ∪C)c|= 20.

Los datos que queremos conocer son |(A∩C)\B|y |B\(A∪C)|. Calculemos primero |(A∩C)\B|.

Tenemos que

|(A∩C)\B| =|A∩C| − |(A∩C)∩B|

= (|A|+|C| − |A∪C|)−(|A∩B ∩C|)

= (45 + 55−70)−25

= 5

Ahora calculemos |B\(A∪C)|.

|B \(A∪C)| =|B| − |B∩(A∪C)|

=|B| − |(B∩A)∪(B∩C)|

=|B| −[|B∩A|+|B∩C| − |(B ∩A)∩(B ∩C)|]

=|B| −[|A∩B|+|C∩B| − |A∩B∩C|]

Notemos que los datos desconocidos son |A∩B| y |C∩B|.

Sin embargo tenemos que |(A∩B)\C| =|A∩B| − |(A∩B)∩C|, luego |A∩B| =

|(A∩B)\C|+|(A∩B)∩C|.

Tambi´en tenemos que |Cc _∩_B| ₌_|B_∩_Cc_|₌_|B _\_C| _{y que} _|B_\_C| ₌_{|B| − |B}_∩_C|_,

luego|B ∩C|=|B| − |Cc_∩_B|_.

Entonces

|B\(A∪C)| =|B| −[|A∩B|+|C∩B| − |A∩B∩C|]

=|B| − |A∩B| − |C∩B|+|A∩B∩C|

=|B| −[|(A∩B)\C|+|A∩B ∩C|]−[|B| − |Cc_∩_B|_{] +}_|A_∩_B_∩_C|

=−|(A∩B)\C|+|Cc_∩_B|

=−5 + 15

(5)

3 CONJUNTO POTENCIA 5

3. Conjunto Potencia

Definici´on 3.1. SeanU un universo yAun conjunto en el universo. Definimos al conjunto potencia de A como

P(A) = {B

B ⊆A}.

P(A) es el conjunto que contiene a los subconjuntos de A.

Nota 3.2. i. Tenemos que P(A) es un conjunto en el universo P(U).

P(U) es el conjunto de todos los subconjuntos del universo U.

ii. Tenemos que φ∈ P(A) y que A∈ P(A).

Ejemplo 3.3. Sea A={1,2,3,4} un conjunto del universo _N. Entonces

P(A) = 





φ,{1},{2},{3},{4}, {1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}, {1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4}, A







Observaciones 3.4. SeaA un conjunto del universo U. Sea n∈_N∪ {0}tal que n =|A|.

i. Entonces

|P(A)|= 2|A|= 2n

.

ii. Sea r∈N. Si 1≤r≤n, entonces existen

n r

= n!

r!(n−r)!

subconjuntos de A de cardinalidad r.

Ejemplo 3.5. Sea A como en el ejemplo anterior. Entonces

i. |A|= 4,

(6)

4 PRODUCTO CARTESIANO 6

iii. Existen 6 subconjuntos de A con 2 elementos, pues

4 2

= _2!(44!₋_2)! = 24₄ = 6

Proposici´on 3.6. Sean A y B conjuntos de un universo U. Entonces

i. A ⊆B si y solo si P(A)⊆ P(B),

ii. P(A∩B) =P(A)∩ P(B),

iii. P(A)∪ P(B)⊆ P(A∪B).

Demostraci´

on.-i. ⇒) ejercicio

⇐) Supongamos P(A) ⊆ P(B). Sea x ∈ A. Luego {x} (el conjunto que contiene al elemento x) es un subconjunto de A, es decir {x} ⊆ A, entonces {x} ∈ P(A). Como P(A)⊆ P(B), entonces {x} ∈ P(B), por lo que {x} ⊆ B, luego x∈ B. Por lo tanto A⊆B.

ii. ⊆) Sea X ∈ P(A∩B). Entonces X ⊆ A ∩B. Como A∩B ⊆ A y A ∩B ⊆ B

entonces X ⊆ A y X ⊆B, luego X ∈ P(A) y X ∈ P(B). As´ıX ∈ P(A)∩ P(B). Por lo tanto P(A∩B)⊆ P(A)∩ P(B).

⊇) ejercicio

De ⊆) y de ⊇) concluimos que P(A∩B) =P(A)∩ P(B).

iii. ejercicio

4. Producto Cartesiano

Definici´on 4.1. Sean A1 y A2 conjuntos no vac´ıos de los universos U1 yU2 (es decir, los

conjuntos pueden pertenecer a distintos universos). Definimos al Producto Cartesiano de

A1 porA2 como

A1×A2 ={(x, y)|x∈A1 y y ∈A2}

A1×A2 es el conjunto de los pares ordenados (x, y) donde la primer entrada est´a en

el primer conjunto y la segunda entrada en el segundo conjunto.

Nota 4.2. i. Tenemos que A1×A2 es un conjunto en el universo U1× U2.

U1× U2 es el conjunto de todos los pares ordenados donde la primera entrada est´a en

el universo U1 y la segunda entrada en el universo U2.

ii. Tenemos que A1×A2 =A2×A1 si y solo si A1 =A2. Por lo cual podemos escribir

(7)

4 PRODUCTO CARTESIANO 7

Ejemplos 4.3. i. Sean los conjuntos A = {P edro, Bob, Bart} en el universo de las

personas y B ={Dino, Gary, Huesos} en el universo de las mascotas. Entonces

A×B = 





(P edro, Dino),(P edro, Gary),(P edro, Huesos),

(Bob, Dino),(Bob, Gary),(Bob, Huesos),

(Bart, Dino),(Bart, Gary),(Bart, Huesos) 





.

Por otro lado B ×A= 





(Dino, P edro),(Dino, Bob),(Dino, Bart),

(Gary, P edro),(Gary, Bob),(Gary, Bart),

(Huesos, P edro),(Huesos, Bob),(Huesos, Bart) 





.

En este caso A×B 6=B ×A, es m´as, ni siquiera est´an en el mismo universo.

ii. Sean los conjuntos A={1,2,3},B ={3,4} y C={4} dondeU =N. Entonces

A×B ={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4)}

B×B ={(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)}

B×C ={(3,4),(4,4)}

(A×B)×C ={((1,3),4),((1,4),4),((2,3),4),((2,4),4),((3,3),4),((3,4),4)}

A×(B×C) ={(1,(3,4)),(1,(4,4)),(2,(3,4)),(2,(4,4)),(3,(3,4)),(3,(4,4))}

Notemos que si no tom´aramos en cuenta la asociatividad en (A ×B) ×C y en

A×(B ×C), entonces los conjuntos ser´ıan los mismos es decir:

A×(B×C) = (A×B)×C =A×B×C={(1,3,4),(1,4,4),(2,3,4),(2,4,4),(3,3,4),(3,4,4)}

Observaciones 4.4. Sean A1, A2 y A3 conjuntos de los universos U1, U2 y U3

respecti-vamente. Entonces

i.

|A1×A2|=|A1||A2|.

ii. Podemos considerar que

(8)

5 PRINCIPIO DE INDUCCI ´ON MATEM ´ATICA 8

5. Principio de inducci´

on Matem´

atica

Los naturales (_N={1,2,3, . . .}) cumplen el siguiente axioma.

Axioma 5.1. (Principio del Buen Orden)

Sea A ⊆ _N con A 6= φ. Entonces existe un elemento m0 ∈A, tal que m0 ≤ x para todo

x∈A.

Ejemplos 5.2. i. Sea A ={10,533,42,6,123123,543}. Tenemos que A ⊆N, A 6= φ, luego A tiene un elemento m´ınimo. De hecho 6 es el elemento m´ınimo de A.

ii. Sea B = {z ∈ N|z = 2t tal que t es entero}. Tenemos que, por definici´on del con-junto, B ⊆ _N, adem´as tenemos que 20∈ B pues existe el 10 que es entero y es tal que 20 = 2(10), as´ı que, como B tiene al menos un elemento, entonces B 6=φ. Por lo anterior, tenemos que B tiene un elemento m´ınimo. De hecho es 2 es el elemento m´ınimo.

iii. Sea C = {_n1|n ∈ N}. Tenemos que C = {1,12, 1

3, . . .}. Como C 6⊆ N no podemos

asegurar que tenga elemento m´ınimo. De hecho, lo que podemos asegurar es que no tiene un elemento m´ınimo.

Teorema 5.3. (Principio de Inducci´on Matem´atica)

Sea p(n) una proposici´on abierta sobre los naturales tal que:

i. p(1) es verdadera.

ii. Para cualquier k∈N, si p(k) es verdadera, entonces p(k+ 1) es verdadera.

Entonces p(n) es verdadera para todo n∈_N.

(9)

6 LOS N ´UMEROS ENTEROS 9

6. Los N´

umeros Enteros

Tenemos que los n´umeros enteros (_Z={. . . ,−3,−2,−1,0,1,2,3}) cumplen los sigu-ientes axiomas.

Axioma 6.1. Sean a, b, c∈_Z. Tenemos las siguientes propiedades algebraicas.

i. a+b ∈Z. Cerradura de la suma.

ii. a+b =b+a. Propiedad conmutativa de la suma.

iii. a+ (b+c) = (a+b) +c. Propiedad asociativa de la suma.

iv. a+ 0 =a. Existencia del neutro aditivo.

v. a+ (−a) = 0. Existencia del inverso aditivo.

vi. ab∈Z. Cerradura del producto.

vii. ab=ba. Propiedad conmutativa del producto.

viii. a(bc) = (ab)c. Propiedad asociativa del producto.

ix. 1a=a. Existencia del neutro multiplicativo.

x. Si ab= 0, entonces a= 0 o b= 0.

xi. a(b+c) = ab+ac. Propiedad distributiva.

Y las siguientes propiedades de orden.

i. a ≤b o b≤a. Orden total.

ii. Si a≤b y b≤a, entonces a=b. Irreflexividad.

iii. Si a≤b y b≤c, entonces a≤c. Transitividad.

iv. Si a≤b, entoncesa+c≤b+c. Monoton´ıa de la suma.

v. Si a≤b y c >0, entonces ac≤bc. Monoton´ıa parcial en el producto.

Proposici´on 6.2. a0 = 0 para cualquier a∈_Z.

Demostraci´on.- Sea a ∈_Z. Entonces

a0 =a0 + 0 =a0 + [a+ (−a)] = [a0 + 1a] + (−a) = [a(0 + 1)] + (−a) =

[a(1 + 0)] + (−a) =a1 + (−a) = 1a+ (−a) =a+ (−a) = 0.

Proposici´on 6.3. En _Z el neutro aditivo, el neutro multiplicativo y los inversos son ´

(10)

Demostraci´on.- Demostremos cada echo.

i. Demostremos que el neutro aditivo 0 es ´unico. Esto quiere decir que no hay otro

entro x tal que a+x=a para cualquier a∈_Z. Comencemos.

Supongamos que x ∈ _Z es tal que a+x = a para cualquier a ∈ _Z. Probemos que

x= 0.

x=x+ 0 = 0 +x= 0

. La primera igualdad se da por la propiedad del 0, la segunda por la propiedad conmutativa y la ´ultima por la supuesta propiedad dex.

ii. Unicidad del neutro multiplicativo ejercicio.

iii. Unicidad de los inversos ejercicio.

Proposici´on 6.4. Si a, b∈_Z entonces −(−a) =a, (−a)b =a(−b) =−aby (−a)(−b) =

ab.

Demostraci´on.- Demostremos cada echo.

i. Sea a∈Z tenemos que

−(−a) =−(−a) + 0 =−(−a) + [a+ (−a)] = [a+ (−a)] + (−(−a))

=a+{(−a) + [−(−a)]}=a+ 0 =a.

ii. Seana, b∈Z tenemos que

ab+ (−a)b =ba+b(−a) =b(a+ (−a)) = b0 = 0

Como los inversos son ´unicos entonces −ab = (−a)b. Un argumento similar se usa para probar que a(−b) = −ab.

iii. Probar que (−a)(−b) =ab es ejercicio

Proposici´on 6.5. Sea A⊆_Z con A 6=φ. Si existe m ∈_Z tal que m≤x para todo x en A, entonces existe m0 ∈A tal que m0 ≤x para todo x en A.

Demostraci´on.- Sea A ⊆ _Z con A =6 φ. Supongamos que m ∈ _Z es tal que m ≤ x

para todox enA.

Sea A0 un conjunto dado por

(11)

Por otro lado, como m ≤ x, por la monoton´ıa de la suma, si sumamos (−m) + 1 en ambos enteros, tenemos que 1 ≤ x+ (−m) + 1. Por lo tanto x+ (−m) + 1 ∈ _N, luego

A0 ⊆_N.

As´ı que, por el Principio del Buen Orden existe m0₀ ∈ A0 tal que m0₀ ≤ y para todo

y∈A0.

Luego existe un elementom0 ∈Atal quem00 =m0+ (−m) + 1. Entoncesm0+ (−m) +

1≤y para todo y ∈A0, as´ım0+ (−m) + 1≤x+ (−m) + 1 para todo x∈ A. Sumando

(12)

7 DIVISIBILIDAD 12

7. Divisibilidad

Definici´on 7.1. Sean a, b∈_Z. Decimos que b divide a a si existeq ∈ _Z tal que a =bq. Escribimos b|a.

Observaci´on 7.2. Si b|a yb 6= 0, entonces q es ´unico.

Demostraci´on.- ejericicio

Teorema 7.3. Sean a, b, c∈_Z. Entonces tenemos las siguientes propiedades de la divisi-bilidad.

i. bb.

ii. b0.

iii. 1a y −1 a.

iv. 0a si y solo si a= 0.

v. Si b1, entonces b = 1 o b=−1.

vi. Si ba y a

b, entonces a =b o a=−b.

vii. Si ba y a

c, entonces b c.

viii. Si ba y b

c, entonces b

a+c y b a−c.

ix. Si ba, entonces b

at para todo t∈Z.

x. Si ba y b

c, entonces b

as+ct para todos s, t ∈Z.

xi. ba ssi b

−a ssi −b

a ssi −b −a.

xii. ba ssi b

|a| ssi |b|

a ssi |b| |a|.

Demostraci´on.- en clase

Proposici´on 7.4. Sean a, b∈_Z. Si ba y a6= 0, entonces |b| ≤ |a|.

Demostraci´on.- Supongamos ba y a 6= 0. Entonces b 6= 0 y existe q ∈ Z tal que

a=bq con q 6= 0, luego 1≤ |b| y 1≤ |q|, entonces

|b| ≤ |q||b|=|qb|=|bq|=|a|.

(13)

8 SISTEMAS DE NUMERACI ´ON 13

8. Sistemas de Numeraci´

on

Definici´on 8.1. Sea b ∈ _Z con b ≥ 2. Un sistema de numeraci´on de base b es un conjunto deb s´ımbolos que sirve para representar a los enteros de la siguiente forma. Sea

A={s0, s1, . . . , sb−1}, donde s0 representa al 0, s1 al 1, y as´ı sucesivamente hasta sb−1 al

s−1. Entonces la secuencia

ζnζn−1· · ·ζ1ζ0

donde ζj ∈ A y ζn 6= s0 para todo 0 ≤ j ≤ n, es decir ζj = si para alg´un 0 ≤ i ≤ b,

representa al entero

ζ0b0+ζ1b1+· · ·+ζn−1bn−1+ζnbn.

Ejemplos 8.2. Vemos representaci´on de enteros en otros sistemas.

i. Sea A ={α, β, γ} un sistema en base 3 donde α representa al 0, β representa al 1

y γ representa al 2. Entonces la secuencia

γβαβγγ

2·30+ 2·31+ 1·32+ 0·33+ 1·34+ 2·34 = 2·1 + 2·3 + 1·9 + 0·27 + 1·81 + 2·243 = 584.

ii. Sea A = {0,1} un sistema en base 2 donde cada s´ımbolo representa al entero

correspondiente. Entonces la secuencia

110010

0·20+ 1·21+ 0·22+ 0·23+ 1·24+ 1·25 = 2 + 16 + 32 = 50.

iii. Sea A = {0,1,2,3} un sistema en base 4 donde cada s´ımbolo representa al entero

correspondiente. Entonces la secuencia

12031

1·40+3·41+0·42+2·43+1·44 = 1·1+3·4+0·16+2·64+1·256 = 1+12+128+256 = 397.

Notaci´on 8.3. A partir de ahora para un sistema de numeraci´on en base b con b ≤ 10 usaremos los s´ımbolos 0,1,2, . . . , b−1 si 10< b <36 usaremos el s´ımboloApara el 10,B

para el 11, C para el 12 y as´ı hasta donde sea necesario. Para indicar que una secuencia

ζnζn−1· · ·ζ1ζ0 se encuentra en un sistema en base b con b6= 10 usaremos como sub´ındice

al final de secuencia al n´umero b.

(14)

8 SISTEMAS DE NUMERACI ´ON 14

i. 10102 es el entero 10 en base 2,

ii. 10103 es el entero 30 en base 3,

iii. 568 es el entero 46 en base 8,

iv. 569 es el entero 51 en base 9,

v. 56 es el entero 56 en base 10,

vi. AB13 es el entero 141 en base 13,

vii. AB16 es el entero 171 en base 16.

Notaci´on 8.5. Si ζnζn−1· · ·ζ1ζ0 en base b1 y ηmηm−1· · ·η1η0 en base b2 representan al

mismo entero, entonces decimos que son iguales y escribimos

ζnζn−1· · ·ζ1ζ0 =ηmηm−1· · ·η1η0.

Ejemplo 8.6. 11002 = 1103 = 225 = 12 = 1111 =B13=B16.

Teorema 8.7. (Cambio de base)

Seana, b∈_Z, a≥0yb ≥2. SeaA ={s0, s1, . . . , sb−1}un sistema en baseb. Luego existe

una ´unica representaci´on en base b del entero a.

Demostraci´on.- Sea i= 0. Comencemos el siguiente algoritmo.

i. Con el algoritmo de la divisi´on encontremos qi y ri enteros tales que a = bqi +ri

con 0≤ri < b.

ii. Si qi = 0, ya terminamos.

iii. Si qi >0, repetimos el paso I con a=qi e i=i+ 1

Vemos que el algoritmo es finito por contradicci´on, es decir supongamos que es infinito. Primero veamos que q ≥ 0 cuando a≥ 0 y b >0. Sean q, r ∈_Z tales que a =bq +r

con 0 ≤ r < b, si q ≤ −1 entonces bq ≤ −b luego bq +r ≤ −b+r, como −b+r < 0, entoncesa =bq+r <0 lo cual es una contradicci´on luego q ≥0.

Ahora vemos que q < acuando a≥0 y b > 1. Sean q, r∈_Z tales que a =bq+r con 0≤r < b. Tenemos que q < bq ≤bq+r =a.

Ahora seaQ={qi|i∈N}. Si el algoritmo es infinito, entonces qi >0 para todo i∈N

luego Q ⊆ _N y Q 6= φ. Entonces existe m0 ∈ Q tal que m0 ≤ x para todo x ∈ Q. Sea

n ∈_N tal que qn =m0. Aplicando el paso I a qn tenemos que existe qn+1 y rn+1 tal que

qn = bqn+1 +rn+1 luego, por lo anterior, qn+1 < qn. Pero, como el algoritmo es infinito,

entoncesqn+1 ∈A, luegoqn≤qn+1, lo cual es una contradicci´on. As´ı el algoritmo es finito.

Sea n ∈_N∪ {0} donde termino el algoritmo. Entonces