Ecuaciones Diferenciales Ordinarias EDO
Contenido temático
Primer orden
o Variables Separables o Lineales y Bernoulli
o Exactas y factor integrante
o Homogéneas
o Aplicaciones con Modelado Decaimiento Radiactivo Crecimiento poblacional Ley de enfriamiento y
calentamiento de Newton Circuitos eléctricos
Circuito RL Circuito RC Drenado de un fluido
Cono invertido Orden Superior Lineales
o Coeficientes constantes Homogéneas No homogéneas
por Coeficientes indeterminados Variación de
Parámetros
o Coeficientes x de grado escalonado Ecuación de Cauchi-Euler
Homogéneas
No homogéneas por Variación de Parámetros o Aplicaciones con modelado Transformada de Laplace
o Definición de Transformada de Laplace
o Transformada inversa
o Solución de ecuaciones diferenciales o
Solución de la ecuación diferencial
Se indica el método de solución algunos pasos algebraicos Orden primero se solicita:
o Nombre del Método de solución. o Modelo y algoritmo de solución o Prueba del método
o Integrales realizadas o Solución general o Valor de la constante C o Solución Particular Orden superior se solicita
o Método de solución
o Ecuación auxiliar para la parte homogénea
o Soluciones independientes: y1
y2
yc = C1 y1 + C2 y2 yp
yt = yc + yp ytp
Para problemas de modelado orden primero
o Ecuación diferencial o Integrales
o Soluciones independientes General directa
implícita o explicita Constantes, C, k Particular
Tema
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden
Ejercicios Resueltos
Variables Separables
Modelo
Solución
A) Cociente (derivada, diferenciales)
𝑑𝑦 𝑑𝑥 =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑦); 𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑦) 𝑑𝑥
𝑑☻
𝑑 = ☻ ; 𝑑☻= ☻ 𝑑
∫ 𝑔(𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶
∫☻𝑑☻= ∫ 𝑑 +©
B) Producto (derivada, diferenciales)
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑦) ; 𝑑𝑦= 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑦) 𝑑𝑥
𝑑☻
𝑑 = ☻ ;𝑑☻= ☻ 𝑑
∫ 𝑑𝑦
𝑔(𝑦)= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶
∫𝑑☻☻= ∫ 𝑑 +©
Metodología
1. Separar las variables g(y) dy lado izquierdo (de preferencia) y f(x) dx lado derecho 2. Integrar cada lado respecto a su variable. Para determinar la solución general. Se
prefiere cuando sea posible la solución explícita y cuando sea muy complicado se deja como una solución implícita
3. La estructura de la C puede ser: a. Lineal (Se queda igual)
A = 𝐵 + 𝐶
b. Semilogarítmica (se exponencian ambos lados y simplifica)
ln(𝐴) = 𝐵 + 𝐶
𝑒ln (𝐴) = 𝑒𝐵+𝐶 = 𝑒𝐵𝑒𝐶 = 𝐶𝑒𝐵 𝐴 = 𝐶𝑒𝐵
c. Logarítmica (la constante se pone en forma de logaritmo y se exponencian ambos lados y simplifica)
ln(𝐴) = ln(𝐵) + 𝐶; 𝐶 = ln (𝐶) ln(𝐴) − 𝑙𝑛(𝐵) = ln (𝐶)
ln (𝐴
𝐵) = ln (𝐶) 𝑒ln (𝐴/𝐵)= 𝑒ln (𝐶) 𝐴
𝐵= 𝐶 𝐴 = 𝐶𝐵
4. Para EDO con valores de Ci condiciones iniciales (PVI). a. Sustituir los valores de las Ci
𝑦(𝑥0) = 𝑦0
b. Se sustituye el valor de C en la solución general para hallar la solución particular.
Ejemplo 1.
Calcular la solución general y hallar la solución particular. Metodología general: a) Se sustituye, 𝑦′= 𝑑𝑦𝑑𝑥
b) Se separan las funciones, la función de la variable dependiente g(y) junto a dy en el lado izquierdo y la función dependiente f(x) junto a dx del lado derecho.
c) Se integra ambos lados respecto a su variable correspondiente.
(𝟐𝒙 + 𝟏) 𝒚´ = (𝟒𝒙 − 𝟑)(𝟐𝒚 − 𝟏)
;
y(1)=1, opción: y(0) =0
Separar las variables
𝑑𝑦 𝑑𝑥 =
(4𝑥 − 3)(2𝑦 − 1) (2𝑥 + 1)
1
(2𝑦 − 1)𝑑𝑦 =
(4𝑥 − 3) (2𝑥 + 1) 𝑑𝑥
Integrar (ambos lados más la constante)
∫ 1
(2𝑦 − 1) 𝑑𝑦 = ∫
4𝑥 − 3
2𝑥 + 1 𝑑𝑥 + 𝐶
Lado derecho por división de polinomios
∫ 1
(2𝑦 − 1) 𝑑𝑦 = 2 ∫ 𝑑𝑥 − 5 ∫ 1
2𝑥 + 1+ 𝐶
1
2ln(2𝑦 − 1) = 2𝑥 − 5
2ln (2𝑥 + 1) + 𝐶
Multiplicando (x 2)
ln(2𝑦 − 1) = 4𝑥 − 5 ln (2𝑥 + 1) + 𝐶 ln(2𝑦 − 1) + 5 ln(2𝑥 + 1) = 4𝑥 + 𝐶 ln(2𝑦 − 1)(2𝑥 + 1)5 = 4𝑥 + 𝐶
exponenciando (ambos lados)
𝑒𝑙𝑛(2𝑦−1)(2𝑥+1)5 = 𝑒(4𝑥+𝐶) = 𝑒4𝑥𝑒𝐶 = 𝐶𝑒4𝑥
Simplificando (exponencial/logaritmo)
Modelo estándar para Variables Separables
A) Cociente 𝑑∎
𝑑∆ = ∆ ∎;
∫∎𝑑∎= ∫ ∆𝑑∆ +©
B) Producto 𝑑∎
𝑑∆ = ∆ ∎; ∫𝑑∎
∎ = ∫ ∆𝑑∆ +©
1. División de polinomios
(4𝑥 − 3)
(2𝑥 + 1) = (2 − 5 2𝑥 + 1) 2. Integral (logaritmo). Incluye la
C pero de aquí en adelante se omite por espacio y además ya está considerada en la C de la solución de la EDO
∫𝑑𝑢
𝑢 = ln(𝑢) + 𝐶
∫ 𝑑𝑦
(2𝑦 − 1)= 1
2 ln (2𝑦 − 1)
∫ 𝑑𝑦
(2𝑥 + 1)= 1
(2𝑦 − 1)(2𝑥 + 1)5 = 𝐶𝑒4𝑥
(2𝑦 − 1) = 𝐶𝑒
4𝑥
(2𝑥 + 1)5
Despejando “y” (solución explícita)
2𝑦 = 𝐶𝑒
4𝑥
(2𝑥 + 1)5+ 1
𝑦 = 𝐶𝑒
4𝑥
2(2𝑥 + 1)5+
1 2=
𝐶𝑒4𝑥 (2𝑥 + 1)5+
1 2; 𝐶 =
𝐶 2
Solución general
𝒚 = 𝑪𝒆 𝟒𝒙
(𝟐𝒙 + 𝟏)𝟓+ 𝟏 𝟐
Condiciones iniciales
𝑦(1) = 1
Sustituir los valores x=1, y=1
1= 𝐶𝑒
4(1)
(2(1) + 1)5+
1 2
Despejar C
1 −1 2=
𝐶𝑒4
35 ; 𝐶 = (
1 2)
35
𝑒4 = 2.225
Solución particular, sustituyendo el valor de C, en la solución general.
𝒚 =𝟐. 𝟐𝟐𝟓 𝒆 𝟒𝒙
(𝟐𝒙 + 𝟏)𝟓 + 𝟏 𝟐
La solución gráfica hay una discontinuidad Infinita en x=(-1/2)
¡Recuérdame!
Álgebra Derivadas Integrales
Propiedades de los logaritmos: ln(𝐴 ∙ 𝐵 ) = ln(𝐴) + ln(𝐵)
ln (𝐴
𝐵) = ln(𝐴) − ln(𝐵) ln(𝐴𝑟 ) = r ∙ ln(𝐴)
Tabla de soluciones
Método de solución Variables separables Solución general directa 1
2ln(2𝑦 − 1) = 2𝑥 − 5
2ln (2𝑥 + 1) + 𝐶 Solución exponenciada (2𝑦 − 1)(2𝑥 + 1)5= 𝐶𝑒4𝑥
Solución reducida (explicita) 𝑦 = 𝐶𝑒4𝑥
(2𝑥 + 1)5+
1 2 Valor de la constante C 𝐶 = 2.225
Solución Particular 𝒚 =2.225 𝑒4𝑥
(2𝑥 + 1)5+
1 2
Ejercicio suplementario 1:
(𝒙 + 𝟏) 𝒚´ = (𝟑𝒙 + 𝟏)(𝟐𝒚 − 𝟏) ; 𝑦(0) = 2;
𝒚 = 𝑪𝒆 𝟔𝒙
(𝟐𝒙 + 𝟏)𝟒+ 𝟏 𝟐
𝒚 =𝟑 𝟐
𝒆𝟔𝒙 (𝟐𝒙 + 𝟏)𝟒+
Ejemplo 2.
Calcular la solución general y hallar la solución particular.Metodología general: A. Se sustituye, 𝑦′= 𝑑𝑦
𝑑𝑥
B. Se separan las funciones, la función de la variable dependiente g(y) junto a dy en el lado izquierdo y la función dependiente f(x) junto a dx del lado derecho. C. Se integra ambos lados respecto a su variable
(𝟐𝒙 − 𝟏) 𝒚
′= 𝒚
𝟐− 𝒚
;𝑦(1) = −1
𝑑𝑦 𝑑𝑥 =
𝑦(𝑦 − 1) (2𝑥 − 1)
Separar las variables
1
𝑦(𝑦 − 1)𝑑𝑦= 1
(2𝑥 − 1) 𝑑𝑥
Integrar (ambos lados más la constante)
− ∫1
𝑦𝑑𝑦 + ∫ 1
(𝑦 − 1) 𝑑𝑦 = ∫ 1
2𝑥 − 1 𝑑𝑥 + 𝐶
− ln(𝑦) + ln (𝑦 − 1) =1
2ln (2𝑥 − 1) + 𝐶
Multiplicando (x2)
−2 ln(𝑦) + 2ln (𝑦 − 1) = ln (2𝑥 − 1) + 𝐶
Propiedades de C por el formato de la solución
−2 ln(𝑦) + 2ln (𝑦 − 1) = ln (2𝑥 − 1) + ln (𝐶)
Propiedades de los logaritmos
ln ((𝑦 − 1)
2
𝑦2 ) = ln (𝐶(2𝑥 − 1)) exponenciando
Propiedades de la constante C exponenciando (ambos lados)
Modelo estándar para Variables Separables
C) Cociente 𝑑∎ 𝑑∆ =
∎ ∆ ∫1
∎𝑑∎= ∫ 1
∆𝑑∆ +©
1. Por fracciones parciales
1 𝑦(𝑦 − 1)=
𝐴 𝑦+
𝐵 𝑦 − 1; 1 = 𝐴(𝑦 − 1) + 𝐵𝑦 = 𝐴𝑦 − 𝐴 + 𝐵𝑦
1 = 𝑦(𝐴 + 𝐵) − 𝐴;
𝐴 = −1; 𝐴 + 𝐵 = 0; 𝐵 = 1
1 𝑦(𝑦 − 1)=
−1
𝑦 +
1 𝑦 − 1
2. Integral (logaritmo natural).
∫𝑑@
@ = ln(@)
∫ 𝑑@
@ + =
1
ln(@ + )
∫𝑑𝑦
𝑦 = ln(𝑦)
∫ 𝑑𝑦
(𝑦 − 1)= ln (𝑦 − 1)
∫ 𝑑𝑦
(2𝑥 − 1)= 1
2 ln (2𝑥 − 1) 3. Propiedades de C
C = ln(𝐶)
4. Propiedades de los logaritmos ln(∎ ∙ ∆ ) = ln(∎) + ln(∆) ln (∎
𝑒𝑙𝑛[
(𝑦−1)2
𝑦2 ]
= 𝑒(𝐶(2𝑥−1))
Simplificando (exponencial/logaritmo)
((𝑦 − 1) 2
𝑦2 ) = 𝐶(2𝑥 − 1)
Solución general explícita
(𝑦 − 1)2 = 𝐶𝑦2(2𝑥 − 1)
Condiciones iniciales
𝑦(1) = −1
Sustituir los valores x=1, y= -1
(−1 − 1)2 = 𝐶(−1)2(2(1) − 1)
Despejar C
4= 𝐶 ; 𝐶 = 4
Solución particular, sustituyendo el valor de C, en la solución general.
(𝑦 − 1)2 = 4𝑦2(2𝑥 − 1)
La solución gráfica
𝑥 →1
2, 𝑥 = 0.3; 𝑥 = −1
Tabla de soluciones
Método de solución Variables separables Solución general directa
− ln(𝑦) + ln (𝑦 − 1) = 1
2ln (2𝑥 − 1) + 𝐶 Solución general arreglada −2 ln(𝑦) + 2ln (𝑦 − 1) = ln (2𝑥 − 1) + ln (𝐶)
ln ((𝑦 − 1)
2
𝑦2 ) = ln (𝐶(2𝑥 − 1))
Solución exponenciada y reducida
𝑒𝑙𝑛[
(𝑦−1)2
𝑦2 ]
= 𝑒(𝐶(2𝑥−1))
(𝑦 − 1)2
𝑦2 = 𝐶(2𝑥 − 1 Solución general reducida (implícita) (𝑦 − 1)2 = 4𝑦2(2𝑥 − 1)
¡Recuérdame!
Álgebra Derivadas Integrales
Propiedades de los logaritmos: ln(𝐴 ∙ 𝐵 ) = ln(𝐴) + ln(𝐵)
ln (𝐴
𝐵) = ln(𝐴) − ln(𝐵) ln(𝐴𝑟 ) = r ∙ ln(𝐴)
𝑒ln(𝐴)= 𝐴 La constante C
Valor de la constante C 𝐶 = 4
Solución Particular (𝑦 − 1)2 = 4𝑦2(2𝑥 − 1)
Buscando la solución general explícita a partir de la solución implícita
(𝑦 − 1 𝑦 )
2
= 𝐶(2𝑥 − 1)
𝑦 − 1
𝑦 = ±𝐶√2𝑥 − 1 1 −1
𝑦 = ±𝐶√2𝑥 − 1
−1
𝑦 = ±𝐶√2𝑥 − 1 − 1
Multiplicando por (-1)
1
𝑦= ±𝐶√2𝑥 − 1 + 1
Despejando y
1 = (±𝐶√2𝑥 − 1 + 1)𝑦
𝑦= 1
(1 ± 𝐶√2𝑥 − 1)
Condiciones iniciales
𝑦(1) = −1
𝑦 − 1
𝑦 = ±𝐶√2𝑥 − 1
±𝐶 = −1 − 1
(−1)√2(1) − 1= 2 𝐶 = ±2
La solución particular
𝑦= 1
(1 ± 2√2𝑥 − 1)
La gráfica solución no está Determinada para valores
𝑥 <1 2
Ejercicio suplementario 1:
1B. (2𝑥 + 1) 𝑦′ = 𝑦2− 𝑦
𝑦(4) = −1
𝑦= 3
TABLA DE DERIVADAS E INTEGRALES BÁSICAS
DERIVADAS (©=cte) INTEGRALES (+C)
1. 𝑑(©)
𝑑 = 0
1.
∫©𝑑 =©
2. 𝑑(© )
𝑑 =©
𝑑( )
𝑑 =©
2.
∫© 𝑑 =©(1 2)
2
3. 𝑑( ∆
)
𝑑 =∆
(∆−1) 3. ∫© ∆ 𝑑 =©( 1
∆+ 1)
(∆+1)
4. 𝑑(sin(© ))
𝑑 =©cos (© )
4.
∫ sin(© )𝑑 = − 1
©cos (© )
5. 𝑑(cos(© ))
𝑑 =− ©sin (© )
5.
∫ cos(© )𝑑 = 1
©sin (© )
6. 𝑑(tan(© ))
𝑑 =©sec
2 (© ) 6. ∫ tan(© )𝑑 = 1
©𝑙𝑛 (cos (© ))
7. 𝑑(𝑡𝑎𝑛−1(© ))
𝑑 =©
1 1 + 2
7.
∫ 1
∆2+ (© )2𝑑 =
1
©𝑡𝑎𝑛
−1(
∆)
8. 𝑑(𝑠𝑒𝑛ℎ−1(© ))
𝑑 =©
1 √1 + 2
8.
∫ 1
√∆2− (© )2𝑑 =
1
©𝑠𝑖𝑛
−1(
∆)
9. 𝑑(𝑒 © )
𝑑 =© 𝒆
(© ) 9. ∫𝑒(© ) 𝑑 = (1
©) e
(© )
10. 𝑑(ln(© ))
𝑑 =
1 10.
∫ 𝑙𝑛(© )𝑑 = 1
© (𝑙 𝑛( © )− 1)
Aritmética Exponentes y Radicales
11. ∆∎ +∆ =∆(∎ + ) 11. ∎∆ ∎⊗ = ∎(∆+⊗)
12. ∆
∎+@=
∆+ ∎@
∎
12. (∎∆)⊗= ∎∆⊗
13. ∆
∎+
@
=∆ +∎@
∎
13. ∎∆ ⊗∆= (∎ ⊗)∆
14. ∆+@
∎ =
∆
∎+
@ ∎
14. ∆√∎
= ∎1⁄∆
15. ∆ @
∎ =
∆
∎@=∆
@ ∎
15. √∎∆
√⊗ ∆ = √∎∆ ⊗ 16. @ ∆+ ∎≠ @ ∆ + @ ∆ 16. √ √∎⊗ ∆ = √∎∆⊗
Factorización 17.
∎−∆= 1 ∎∆
17. (☻− )(☻+ ) = (☻2
− 2) 18. ⊗∆
∎∆ = (
⊗
∎)
∆
18. (☻3
− 3) = (☻− )(☻2+☻ + 2 ) 19. √∆
√∎= √
∆ ∎
19. (☻3
+ 3) = (☻+ )(☻2−☻ + 2 ) Logaritmos
20. (☻+ )2= (☻2
+ 2☻ + 2) 20. ln(∎ ∙∆ ) = ln(∎) + ln(∆)
21. 21.
ln (∎
22. 22. ln(∎∆ ) =∆ ∙ ln(∎)
Jea
ne
tt
e
G
on
zá
le
z R
ob
les
S
án
ch
e
z
E
cua
cio
ne
s D
iferenc
ia
les
V
ari
ab
les
S
ep
ara
bl
es